【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 高考小题综合练(一)理

高考小题综合练(一)
1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x <3} B ．{x |－1<x <3} C ．{x |x <－1}
D ．{x |x >3}
2．(2015²四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a
＞3b
＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．下列四个函数中，属于奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( ) A ．y ＝(12)|x |
B ．y ＝x －42－x
C ．y ＝log 2|x |
D ．y ＝－x 1
3
4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD →＝2DA →，那么CD →²CA →
等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．(2015²浙江省名校联考)当x ＝π
4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0)取得最小值，则函
数y ＝f ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π4－x 是( )
A ．奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0对称
B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称
C ．奇函数且图象关于直线x ＝π
2
对称
D ．偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0对称 6．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *
，且a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．10 B ．20 C ．30
D ．40
7．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则
a 的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．(0，3)
C ．(1，2)
D ．(1，3)
8．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( ) A ．(1－3，2) B ．(0,2) C ．(3－1,2)
D ．(0,1＋3)
9．已知椭圆y 2a 2＋x 2b
2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →²BC
→
＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →
|，则其焦距为( ) A.463
B.43
3 C.863
D.23
3
10．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2
x 的图象向左平移π8个单位长度后得
到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A ．最大值为2，图象关于直线x ＝π
2对称
B ．周期为π，图象关于(π
4，0)对称
C ．在(－π
2，0)上单调递增，为偶函数
D ．在(0，π
4
)上单调递增，为奇函数
11．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (1
2
)>f (－3)>0，则方程f (x )＝0的根的个数为________．
12．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *
)，数
列{c n }满足c n ＝a n ²b n .则数列{c n }的前n 项和S n ＝___________________.
13．(2014²江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
14．设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点
Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．
15.如图，VA ⊥平面ABC ，△ABC 的外接圆是以边AB 的中点为圆心的圆，点
M、N、P分别为棱VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的有________(把正确结论的序号都填上)．
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.
答案精析
高考小题综合练(一)
1．A [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}，画出数轴可以求得答案为A.]
2．B [∵3a
>3b
>3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a <3b
>3”是
“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．]
3．D [选项A ，y ＝(12)|x |为偶函数，因此排除；选项B ，y ＝x －42－x ＝－x －4x －2＝－(1－2
x －2)＝
－1＋
2
x －2
对称中心为(2，－1)，在(2，＋∞)和(－∞，2)递减，不符合题意，排除；选项C ，y ＝log 2|x |是偶函数，因此不符合题意，排除C.答案为D.]
4．D[如图，CD →＝CB →＋BD →
. 又∵BD →＝2DA →，
∴CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)，
即CD →＝23CA →
＋
13
CB →， ∵∠C ＝π2，∴CA →²CB →
＝0，
∴CD →²CA →＝(23CA →＋13CB →)²CA →
＝23CA →2＋13
CB →²CA →
＝6.] 5．C [由题意得，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝－1，
∴φ可取－3π
4.
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4－x －3π4
＝－A sin x ， ∴选C.]
6．A [a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2
m ＝0， 又a m ≠0，所以a m ＝2，
则S 2m －1＝ 2m －1 a 1＋a 2m －1
2＝(2m －1)a m
＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.]
7．A [此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a 的棱长一定大于0且小于 2.选A.]
8．A [根据题意得C (1＋3，2)．
作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，
即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，
∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．] 9．C [由题意，可知|OC →|＝|OB →
| ＝12|BC →
|，且a ＝4， 又|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|， 所以，|BC →|＝2|AC →|.故|OC →|＝|AC →
|. 又AC →²BC →＝0，所以AC →⊥BC →.
故△OAC 为等腰直角三角形，|OC →|＝|AC →
|＝2 2.
不妨设点C 在第一象限，则点C 的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得22
42＋22
b 2＝1，解得b 2
＝163.
所以c 2＝a 2－b 2＝42
－163＝323，c ＝463.
故其焦距为2c ＝86
3
.]
10．D [f (x )＝－cos x (cos x －2sin x )＋sin 2
x ＝2sin x cos x －(cos 2
x －sin 2
x ) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π
4)，
所以g (x )＝2sin[2(x ＋π8)－π
4]
＝2sin 2x .
结合正弦函数的性质，可知D 正确．]
11．2
解析 由于函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (－3)＝－f (3)>0，故有f (3)<0，因为函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (1
2)>0，由零点存在性定理
知，存在c ∈(1
2，3)，使得f (c )＝0，即函数f (x )在(0，＋∞)上有唯一零点，由奇函数图
象的特点知，函数f (x )在(－∞，0)也有一个零点，故方程f (x )＝0的根的个数为2. 12.23－3n ＋23³(14)n (n ∈N *) 解析 由题意知a n ＝(14)n
，b n
＝3n －2(n ∈N *
)，
所以c n ＝(3n －2)³(14
)n (n ∈N *
)．
所以S n ＝1³14＋4³(14)2＋7³(14)3＋…＋(3n －5)³(14)n －1＋(3n －2)³(14)n
，
于是14S n ＝1³(14)2＋4³(14)3＋7³(14)4＋…＋(3n －5)³(14)n ＋(3n －2)³(14)n ＋1
.
两式相减，得
34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)³(1
4)n ＋1 ＝12－(3n ＋2)³(14
)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23³(14)n (n ∈N *)．
13.π
6
解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π3＋φ＝cos π3，
因为0≤φ<π，所以φ＝π
6.
14．±1
解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋1 ，y 2＝4x .
化简得：k 2x 2
＋(2k 2
－4)x ＋k 2
＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2k
2
k
2，y 1＋y 2
＝k (x 1＋x 2＋2)＝4
k
.
∴x 0＝2－k 2
k 2，y 0＝2k
.
由 x 0－1 2＋ y 0－0 2
＝2
得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2
k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 2
＝4.
∴k ＝±1. 15．①④⑤
解析 对于①，因为点M 、N 分别为棱VA 、VC 的中点， 所以MN ∥AC ，又MN ⊄平面ABC ， 所以MN ∥平面ABC ，所以①正确； 对于②，假设OC ⊥平面VAC ， 则OC ⊥AC ，
因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC ，矛盾， 所以②是不正确的；
对于③，因为MN ∥AC ，且BC ⊥AC ， 所以MN 与BC 所成的角为90°， 所以③是不正确的；
对于④，易得OP ∥VA ，又VA ⊥MN ， 所以MN ⊥OP ，所以④是正确的；
对于⑤，因为VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以VA ⊥BC ，
又BC ⊥AC ，且AC ∩VA ＝A ，
所以BC ⊥平面VAC ，又BC ⊂平面VBC ， 所以平面VAC ⊥平面VBC ，所以⑤是正确的． 综上，应填①④⑤.。