九年级数学上册 第二十四章 圆 专题36 与切线有关的角度计算
九年级数学上册第24章圆教材回归三有关切线的辅助线作法课件 新人教版
[2017·南充]如图 8，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径 作⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 CF＝2，DF＝4，求⊙O 直径的长．
图8
(1)证明：如答图，连接 OD，CD.
∵PA＝PD， ∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线．
[2017·资阳]如图 7，AB 是半圆的直径，AC 为弦，过点 C 作直线 DE 交 AB 的延长线于点 E.若∠ACD＝60°，∠E＝30°.
(1)求证：直线 DE 与半圆相切； (2)若 BE＝3，求 CE 的长．
∵OA＝OB，CA＝CB，
图5
∴△OAB 是等腰三角形，OC 是底边 AB 上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB 是⊙O 的切线．
【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，如果该直线与已知圆有公共点， 即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”； 如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到 直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到 “直径所对的圆周角是直角”这一性质．
(1)证明：如答图，连接 OC. ∵∠ACD＝60°，∠E＝30°，∴∠A＝30°. 又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°， ∴直线 DE 与半圆相切． (2)解：连接 OB. 在 Rt△OCE 中，∠E＝30°，∴OE＝2OC. 又∵OC＝OB，∴OE＝2BE＝6，∴OC＝3， ∴CE＝ OE2－OC2＝3 3.
图9
(1)证明：如答图(1)，连接 OC.
人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算
圆的切线证明与计算一、知识回顾1、切线证明的两种主要类型：（1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
（2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。
二、例题讲解：例1：如图1，在Rt △ABC 中，C 90∠=,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥.（１） 求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； （２）若26,62==AE AD ，求EC 的长.注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。
（2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。
例2：如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。
求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。
证明：（1）过点D 作DF ⊥AC 于F.∵AB 为⊙D 的切线, AD 平分∠BAC, ∴BD=DF .∴AC 为⊙D 的切线 .（2）在△BDE 和△DCF 中, ∵BD=DF, DE=DC,∴△BDE ≌△DCF （HL ）, ∴EB=FC .又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC .三、课堂练习：1、如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，在∠ACD的外部作∠ACE=∠ACD，CE的反向延长线交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP的值．2、如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D,AB＝5,EB＝3.求证:⑴AC是⊙O的切线；⑵求线段AC的长.3、如图5，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB = 15，EF = 10，求AE的长．4、已知：如图6，∠ACB=60°，CE为∠ACB的角平分线，O为射线CE上的一点，⊙O切AC于点D．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，P为⊙O上一点，且使得∠DPC=90°，求DP的长．5、（20XX元月调考试题）如图7，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.(1)求证：CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF周长之比.四、课后作业：1、如图8，AB为⊙O的直径，D是⊙O 外一点，AD交⊙O于C，AE平分∠BAD交⊙O于E，AD⊥ED于D。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
第二十四章 圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于 点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示， 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线
九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为 ，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上； 点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线 的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ．【答案】 ；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°， 求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝ ，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝ ．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)． 由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ． 解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此， 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣 弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
人教课标版初中数学九年级上册第二十四章与圆有关的角度计算专题复习教案-精选教学文档
圆的复习（与圆有关的角度计算）教学设计一、内容和内容解析1.内容综合应用本章的知识解决“圆中求角问题”。
2.内容解析本节课是习题课，是在学生已经学习圆的所有基本性质的基础上，对本章内容的综合应用。
从求圆外一角的简单问题入手，结合本章所学的切线的性质，圆周角定理等知识，由易到难，逐一剖析，并在教学过程中逐步进行归纳解题方法与思路。
重点引导学生理解几何计算题和证明题中的转化思想和方程思想的运用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从“圆中求角问题”的具体问题中，理解并掌握“圆中求角”问题中的分析方法和解题思路。
二、目标和目标解析1.目标（1）复习圆的基本性质，掌握“圆中求角问题”的分析方法。
（2）感悟与圆有关计算的转化思想，体会各部分知识间的联系。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：熟记圆中的基本性质和定理，并能恰当的运用这些性质定理解决简单问题。
达成目标（2）的标志是：能够在具体的问题中，运用转化思想分析和解决圆中求角问题。
三、教学问题诊断分析学生在初中阶段开始接触几何证明与计算，但对于分析问题的方法始终是难点与重点，对部分接受能力弱的学生来说一直难以掌握。
对于几何计算与证明，要求学生提前熟悉所涉及到的基本性质和定理，并且学会分析问题和转化问题。
四、教学过程设计1.自主学习，引入圆中求角问题问题1：在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝27°，求∠P 的大小.师生活动：教师出示问题，学生先独立思考，回答。
为了帮助学生有逻辑地思考，教师可追问以下问题：教师追问1：分析已知条件，见到切线联想到切线有什么性质？教师追问2：分析求证，要求∠P 可以转为求哪一个与其相关的角？设计意图： 学生要学分析已知和求证，通过这道题，引导学生对所有进行转化，并且进行一题多解进行简单探究，最后归纳多法归一，所有的方法都是在进行转化，只不过转化的方法与途径不同。
《中考数学专题—与圆切线有关的计算和证明》教学设计
1《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目： 学习流程 一、揭示目标 二、自学指导 1.复习下列内容1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?2、直线与圆相切有哪几种判断方法？3、思考作图：已知：点A 为⊙o 上的一点，如和过点A 作⊙o 的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA 过A 点作OA 的垂线 从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？4、思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径， 直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？ 小结：（1）圆的切线 （ ） 过切点的半径。
（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（ ）两条，就必然满足第三条。
5、例题精析：例1、（教材103页例1）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。
oCAB例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。
（无点作垂线证半径）方法小结：如何证明一条直线是圆的切线 四、当堂检测1、下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.ACD COA3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
九年级数学上册第二十四章圆专题课堂九与圆的切线有关的计算与证明课件新版新人教版
6．(2019·贵阳)如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP， 点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． (1)求证：OP∥BC； (2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.如果∠D＝90°，DP＝1， 求⊙O的直径．
AC×BD＝12 BC×AE，∴BD＝BCA×CAE ＝6×54 ＝254 ，∵EF 是
△ CDB 的中位线，∴EF＝12 BD＝152
4．(2019·淮安)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分 ∠BAC，DE⊥AC，垂足为E. (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长.
解：(1)如图，连接 OA，
∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝ 90°，∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，∴∠C＝90° －∠AOE＝90°－50°＝40° (2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ AOC＝2∠B，∴∠AOC＝2∠C，∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C ＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴OA＝12 OC，设⊙O 的
解：(1)证明：∵A 关于 OP 的对称点 C 恰好落在 ⊙O 上．∴ AP ＝ PC ，∴∠AOP＝∠COP，∴
∠AOP＝12 ∠AOC，又∵∠ABC＝12 ∠AOC，∴ ∠AOP＝∠ABC，∴OP∥BC
(2)如图，连接 PC，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC⊥CD，又 AD⊥CD， ∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝ ∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO 为等边三角形，∴∠ AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又 OC＝ OB，∴△BCO 为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180° －(∠AOP＋∠COB)＝60°，又 OP＝OC，∴△POC 也为等边三角 形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD ＝30°，在 Rt△PCD 中，PD＝12 PC，又∵PC＝OP＝21 AB，∴PD ＝14 AB，∴AB＝4PD＝4
九年级数学上册第二十四章圆为判定切线支招辅导素材新人教版(2021年整理)
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为判定切线支招同学们，证明直线是圆的切线的问题，你会感到困难吗?这里，为大家支个招，介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法：一是如果欲证的切线已知与圆有公共点，则经过这个公共点作圆的半径（或直径），然后证明该半径（或直径）与该直线垂直,简称“作半径，证垂直”;二是如果欲证的切线与圆无公共点，则经过圆心作该直线的垂线,然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径，简称“作垂直,证相等”.这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件，在运用是要注意正确选择．下面举例说明,供同学们学习时参考．一、“连半径，证垂直”例1（2016•南宁）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线,点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D．求证:AC 是⊙O的切线．分析：由已知条件可知欲证的切线AC与⊙O有公共点D，因此，连接OD，再证明OD⊥AC即可．证明：如图1，连接OD．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD。
∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD.,∴∠CBD＝∠ODB.∴OD∥BC.∵∠C＝90°，∴∠ODA＝∠C＝90°，即OD⊥AC.∴AC是⊙O的切线．二、“作垂直，证相等”例2（2015∙黔东南）如图2，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A，B两点.求证：PN与⊙O相切。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题(八) 与切线有关的证明与计算
第二十四章 圆
专题(八) 与切线有关的证明与计算
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以 CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°.
(1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若DF＝2，DC＝6，求BE的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE， ∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB， ∴AB是⊙O的切线
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若△ABC的边长为4，求EF的长．
解：(1)证明：如图，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝ 60°.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝60°.∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝30°，∴∠ODE＝90°.∴DE⊥OD.∵点D在⊙O上，∴DE是 ⊙O的切线
(2)如图，连接 AD，BF，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°，∴AF⊥BF，AD⊥ BD.∵△ABC 是等边三角形，边长为 4，∴DC ＝21 BC＝2，FC＝21 AC＝2.∵∠EDC＝30°，
∴EC＝12 DC＝1，∴EF＝FC－EC＝1
3．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)求∠B的度数．
(2)如图，连接 EF，ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD－DF＝4，∵CO＝ OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE 为⊙O 的直径，∴∠EFC＝ 90°，∴EF＝ DE2－DF2 ＝4 2 ，∴BE＝ BF2＋EF2 ＝4 3
2．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D， 交AC边于点F，作DE⊥AC于点E.
人教版九年级上册数学专题课件：专题36 与切线有关的角度计算
∠D的度数是____．
55°
5．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A， B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB
3
6．如图，AC为⊙O的直径，MA，MB分 别切⊙O于点A，B，BD⊥AC于点E，交 ⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的度
OAP＝∠OBP＝90°，∴∠DOE＝1∠AOB＝1(180°－∠P)＝70°
2
2
4
第二十四章 圆
专题36 与切线有关的角度计算
武汉专版·九年级上册
1
一、一条切线
1．如图，BD为11⊙6° O的直径，直线ED为
⊙O的切线，A，C两点在圆上，AC平分
∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，
︵
则∠AFB的度B数D 为____.
110°
2．如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O 2
二、两条切线 50°
数． 【解析】连接AD，易证四边形ADBM为菱形，则BD＝AD，连接AB，又
∵BD⊥AC，AC为直径，∴AC垂直平分BD，AB＝AD，则△ABD为等边三 角形，∴∠ADE 与⊙O 相切于 C 点，连接 OA，OB，OC，则∠AOD＝∠COD，∠BOE＝∠COE，∠
人教2011课标版初中数学九年级上册第二十四章与圆有关的角度计算专题(教案)
-综合运用知识解决实际问题：学生在面对综合性的问题时，可能会难以将所学的各个知识点串联起来，形成完整的解题思路。
-难点举例：在一个包含多个圆或弧的问题中，如何选择合适的方法和定理进行角度计算。
-逻辑推理和证明：要求学生能够通过逻辑推理来证明圆中的角度关系，这对学生的逻辑思维能力是一个考验。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了与圆有关的角度计算，我感到非常欣慰看到学生们积极参与，课堂氛围活跃。通过这节课的教学，我发现了一些值得反思的地方。
首先，关于导入新课的部分，我意识到提出与日常生活相关的问题能够迅速吸引学生的注意力，使他们对接下来的学习内容产生兴趣。在今后的教学中，我应更多地采用这种贴近生活的方式，激发学生的学习热情。
人教2011课标版初中数学九年级上册第二十四章与圆有关的角度计算专题（教案）
一、教学内容
人教2011课标版初中数学九年级上册第二十四章与圆有关的角度计算专题，本节课将涵盖以下内容：
1.圆心角、弧、弦的关系：掌握圆心角、弧、弦的定义及其相互之间的关系，能够运用圆心角、弧、弦定理解决相关问题。
2.圆周角定理及其应用：理解圆周角定理，能够运用圆周角定理解决角度计算问题，如求圆周角、圆心角等。
此外，学生小组讨论环节，大家表现得非常踊跃，提出了很多有见地的观点。然而，时间有限，部分小组的讨论并不充分。在以后的教学中，我应适当调整时间分配，确保每个小组都有足够的时间进行深入讨论。
在总结回顾环节，我发现有些学生对课堂所学知识掌握得不够牢固，这让我意识到课堂巩固和课后复习的重要性。为了帮助学生更好地消化吸收所学知识，我计划在课后布置一些针对性的练习题，并加强对学生的辅导。
（二）新课讲授（用时10分钟）
九年级圆的切线知识点
九年级圆的切线知识点圆是几何学中的一种基本图形，它具有很多重要的性质和知识点。
其中，圆的切线是一个非常重要的概念。
下面，我将为大家介绍九年级圆的切线的相关知识点。
一、什么是切线在圆的几何中，切线是指与圆相切且只有一个交点的直线。
切线的特点是与圆的切点处的切线段垂直于半径。
根据切线与半径的关系可以推导出切线的性质。
二、切线的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的切点处的切线段垂直。
2. 切线与半径的夹角：切线与从切点到圆心的半径之间的夹角为90度。
3. 切线的斜率：切线的斜率等于切线与圆心连线的斜率的负倒数。
4. 切线的长度：切线的长度等于与圆心连线的长度的平方减去半径的平方再开根号。
三、切线的证明1. 证明切线与半径的关系：我们可以通过作图来证明切线与半径的切点处的切线段垂直。
首先，以圆心为原点建立坐标系，假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。
则圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。
假设切线过切点的斜率为k，则切线的方程为y - y0 = k(x -x0)。
由于切点处的切线段垂直于半径，所以切线的斜率等于半径与切线的夹角的正切值。
即k = -x0 / y0。
将k带入切线的方程得到y - y0 = (-x0 / y0)(x - x0)。
将切线与圆的方程联立解得切点坐标(x0, y0)。
由此可证明切线与半径的切点处的切线段垂直。
2. 证明切线与半径的夹角为90度：我们可以通过证明切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1来证明切线与半径的夹角为90度。
假设切点坐标为(x0, y0)，圆的半径为r。
则切线的斜率为- x0 / y0，半径的斜率为y0 / x0。
由于切线的斜率与半径的斜率的乘积为-1，所以切线与半径的夹角为90度。
四、切线的应用圆的切线在很多问题中都有重要的应用。
比如，切线的长度可以用来计算切点到圆心的距离，这对于解决与切线和半径有关的问题非常有用。
切线还可以用来解决与切线和直线的交点有关的问题，如切线与直线的夹角等。
2018-2019学年九年级数学上册 第24章 圆教材回归(三)有关切线的辅助线作法课件 (新版)新
教材回归(三) 有关切线的辅助线作法
一 切线的性质 (教材 P101 习题 24.2 第 5 题) 如图 1 所示，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点．求证：AP＝BP.
图1
证明：连接 OP. ∵AB 是小圆的切线，∴OP⊥AB. 在大圆中由垂径定理，得 AP＝BP. 【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂 直是常用的辅助线作法．
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°＝∠BDC.
又∵E 为 BC 的中点，
∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
变形3答图
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝90°，∴DE 是⊙O 的切线．
(2)解：设⊙O 的半径为 x. 在 Rt△ODF 中，OD2＋DF2＝OF2， 即 x2＋42＝(x＋2)2. 解得 x＝3. ∴⊙O 的直径为 6.
∵PA＝PD， ∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线．
[2017·资阳]如图 7，AB 是半圆的直径，AC 为弦，过点 C 作直线 DE 交 AB 的延长线于点 E.若∠ACD＝60°，∠E＝30°.
(1)求证：直线 DE 与半圆相切； (2)若 BE＝3，求 CE 的长．
如图 2 所示，两个同心圆的半径分别为 4 cm 和 5 cm，大圆的一
条弦 AB 与小圆相切，则弦
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
图2
如图 3，在⊙O 中，点 C 是直径 AB 延长
线上的一点，过点 C 作⊙O 的切线，切点为 D，连接 BD.
九年级数学上册 第二十四章 圆 专题训练(十二)与圆的切线有关的计算与证明课件上册数学课件
(2)∵∠AEB＝90°，∴AE＝ AB2－BE2 ＝ 52－32 ＝4，∵△ABC 的面积＝
1 2
AC×BD＝12
BC×AE，∴BD＝BCA×CAE
＝6×5 4
＝254
，∵EF 是△ CDB 的中
位线，∴EF＝12 BD＝152
第五页，共十八页。
类型(lèixíng)2 三角形或四边形的内切圆问题 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别 相切于点D、E、F. (1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．
第六页，共十八页。
解：(1)证明：∵⊙O 是△ ABC 的内切圆，切点为 D、E、F，∴AD ＝AF，BD＝BE，CE＝CF，∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即 BD＝CF，∴BE＝CE (2)连接 OD、OE、OF，∵⊙O 是△ ABC 的内切圆，切点为 D、E、 F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，又∵OD＝OF，∴四边形 ODAF 是正方形，设 OD＝AD＝AF＝r，则 BE＝BD＝CF＝CE＝2－r，在 △ ABC 中，∠A＝90°，∴BC＝ AB2＋AC2 ＝2 2 ，又∵BC＝BE ＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2 2 ，得 r＝2－ 2 ，∴⊙O 的半径是 2 －2
2 ).∴符合条件的点 Q 的坐标为( 2 ，－ 2 )或(－ 2 ， 2 )
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第二十四章 圆。1．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径(zhíjìng)，AD⊥l于点D.。2．(玉林中
考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径(zhíjìng)作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过 点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD.。(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．。(2)若∠ABC ＝60°，AB＝10，求线段CF的长．。(1)当点P为AB中点时，请直接写出P点坐标。则AB＝2OC
人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算
BBA人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算1AB 为⊙O 的直径，PA 为⊙O 的切线，BC//OP 交⊙O 于C，PO 交⊙O 于D，(1)求证：PC 为⊙O 的切线；（2）过点D 作DE⊥AB 于E,交AC 于F，PO 交AC 于H,BD 交AC 于G,DF=FG,DF=5,CG=6,求⊙O 的半径。
2如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．3如上右图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，E 为AB 上一点，∠C=∠BEO，O 是BC上一点，以D 为圆心，OB 长为半径作⊙O，，AC 是⊙O，的切线．(1)求证：OE=OC；(2)若BE=4，BC=8，求OE 的长.4如图，△ABE 中，AB=AE ，以AB 为直径作⊙O ，⊙O 交BE 于D ，交AE 于F ，过D 点作CD ⊥AE 于M ，交AB 的延长线于C（1）求证：直线CM 是⊙O 的切线OM F EDCBAOECBA（2）若CD=5，DM=3，求EF的长。
5在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点O，E为AB上一点，OE=OC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AC=10，AB=6，求BE的长．6.如图D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ΔABC三边于E,F,G三点，连接FE,FG.（1）求证∠EFG=∠B;(2)若AC=2BC=45,D为AE的中点，求CD的长。
7如图9，⊙0是 ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，DE ⊥BC于E，AF⊥BC于F(1)求证BE=CF;(2)作OG⊥BC于G，若DE=BF=3，OG=1，求弦AC的长．FE BDOCA8．如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．9.已知：如图8，AD 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF⊥BC，F 为垂足．(1)求证：BF=EC;(2)若C 点是AD 的中点，且DF=3AE=3，求BC 的长．10.在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.（1）求证CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比11．小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD 于点N，若OM=ON，则AB=CD．（1）请帮小雅证明这个结论；（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的O D与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC的周长．。
切线与角度长度计算
切线与角度、线段长度的计算一．角度的计算1.如图，AB为⊙O的直径，BD为⊙O的弦，过D点的弦交BA延长线于C，∠C=40°，则∠B= 。
⌒的中点，E为BA延长线上的一点，EC为⊙O的切线，切点为C，CD交AB于2.如图，AB是⊙O的直径，D为ABF，∠DFB=75°，则∠E= 。
3.如图，点C是⊙O的直径BA延长线上的一点，CD切⊙O于点D，若圆周角∠DEB=110°，则∠C= 。
二．利用直径转化圆周角4.如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，若∠C=50°，则圆周角∠AED= 。
5.如图，△ABC是⊙O的圆内接三角形，过A作⊙O的切线交CB的延长线于点P，若∠C=40°，则∠PAB= 。
三．利用勾股定理求线段的长6.如图，点P为⊙O外的一点，PC与⊙O相切于点C，PO的延长线交⊙O于E，⊙O的半径为3，PC=4.（1）求PE的长；（2）求CE的长。
7.如图，等边△ABC内接于⊙O，BE与⊙O相切于点B，AE⊥BE，⊙O的半径为10，求AE的长。
四．构造矩形用勾股8. 如图，在⊙O 的内接△ACB 中，∠ABC=30°，AC 的延长线于过点B 的⊙O 的切线相交于D ，若⊙O 的半径为1，∠D=60°，则CD 的长为 。
9. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC⌒ 的中点，DF ⊥AB 于F ，若DF=5，AB=372，则AC 的长为 。
五．切线长定理与勾股10. 如图，四边形ABCD 中，∠D=90°，以点D 为圆心，AD 为半径作⊙D ，AB 和BC 分别切⊙D 于点A 和点E ，若AB=4，DC=10，则AD 的长为 。
11. 如图，正方形ABCD 的边长为6，以D 为圆心，DA 为半径作⊙D ，E 在AB 上，EF 切⊙D 于点G 交BC 于F ，若CF=2，FE 的延长线交直线AD 于H ，则DH 的长为 。
九年级数学上册第二十四章圆专题36与切线有关的角度计算
专题36 与切线相关角度计算
武汉专版·九年级上册
第1页
一、一条切线
1．如图，BD为⊙O直径，直线ED为⊙O切线，A，C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝
19°，则∠AFB度数为____.
Hale Waihona Puke 116°2．如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是 上一点，∠PDA＝20°，则∠C度数是___1_1．0°
第2页
二、两条切线 4．如图，AB是⊙O直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝25°，则∠D度数是____．50° 5．如图，PA，PB分别是⊙O切线，A，B是切点，AC是⊙O直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB度数为 _____5.5°
第3页
6．如图，AC为⊙O直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求 ∠AMB度数．
【解析】连接AD，易证四边形ADBM为菱形，则BD＝AD，连接AB，又 ∵BD⊥AC，AC为直径，∴AC垂直平分BD，AB＝AD，则△ABD为等边三角形， ∴∠AMB＝∠ADB＝60°.
7．如图，PA，PB，DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，求∠DOE.
第4页
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二、两条切线 4．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是_5_0_°_．
5．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度 数为_5_5_°__.
6．如图，AC为⊙O的直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求 ∠AMB的度数．
OAP＝∠OBP＝90°，∴∠DOE＝1∠AOB＝1(180°－∠P)＝70°
2
2
【解析】连接AD，易证四边形ADBM为菱形，则BD＝AD，连接AB，又 ∵BD⊥AC，AC为直径，∴AC垂直平分BD，AB＝AD，则△ABD为等边三角形， ∴∠AMB＝∠ADB＝60°.
7．如图，PA，PB，DE分别与⊙O相切，若∠P＝40°，求∠DOE.
【解析】设 DE 与⊙O 相切于 C 点，连接 OA，OB，OC，则∠AOD＝∠COD，∠BOE＝∠COE，∠
第二十四章 圆
专题36 与切线有关的角度计算
武汉专版·九年级上册
一、一条切线 1．如图，BD为⊙O的直径，直线ED为⊙O的切线，A，C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若 ∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为__1_1_6.°
2．如图，割线PAB过圆心O上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是_1_1_0_°．