【超级经典】全等三角形全判定和性质91页

A D O B E
C
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点 O,AB=AC, ∠B= ∠C，求证：AD=AE. 证明：在△ADC和△AEB中 ∠A= ∠A AC=AB ∠C= ∠B ∴△ADC≌△AEB（ASA） ∴AD=AE
A D O B E
C
三角形全等判定定理
定理四：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简 写成“角角边”或“AAS”。 A 用数学语言表示为： 在△ABC和△DEF中，
全等三角形
学习目标
• 1、了解全等形和全等三角形的概念 • 2、了解常见的全等三角形的基本图形 • 3、理解全等三角形的性质
观察下列图形有什么特点？
• 全等形定义：能够完全重合的图形叫做全等形。全等图形 的形状相同，大小相等。 • 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 • 两个全等三角形互相重合后，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
A
D
B
E
C
F
定理五： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成 “斜边，直角边”或“HL”。
用数学语言表示为： 在Rt△ACB和Rt△DFE中， AC=DF AB=DE ∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL）
A D
C
B
F
E
课堂小结
1、三角形全等的判定方法： SSS、SAS、ASA、AAS、HL 2、题目中若条件不够，则应该看看是否有隐含条件可以用，如 对顶角、公共边、公共角等，若条件还是不够，则应该确定还 要找出哪些条件。 （1）根据已知找条件 已知两边，则可以找夹角（SAS），找直角（HL），找另一边 （SSS） 已知一边一角，则可以找任一角（AAS或ASA），找其中一角的 对边（SAS） 已知两角，则可以找两角的夹边（ASA），找一角的对边（AAS） （2）添加辅助线 通常辅助线的做法有做平行，垂直，延长中线，截长补短等方法， 需根据题目实际情况加以应用
AE=AD ∠A=∠A AC=AB
∴△AEC≌△ADB(SAS)
例3：如图，AE=AF, ∠AEF=∠ AFE, BE=CF,求证：AB=AC
A
证明：∵∠AEF=∠AFE ∴180°-∠AEF=180°-∠AFE ∴∠AEB=∠AFC 在△ABE和△ACF中， B E AE=AF ∠AEB=∠AFC BE=CF ∴△ABE≌△ACF（SAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
12 B
D C
例2、已知如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE， AC∥DF且AC=DF，求证：BE=FC.
A
D
B
E
C
F
例2、已知如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE， AC∥DF且AC=DF，求证：BE=FC. 证明：∵AB∥DE ∴∠B=∠DEF ∵AC∥DF ∴∠ACB=∠DFE 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF ∠ACB=∠DFE AC=DF ∴△ABC≌△DEF（AAS） ∴BC=EF ∴BC-EC=EF-EC 即BE=FC
2017/12/11
三角形全等的判定
三角形全等判定定理
定理二： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成 “边角边”或“SAS". A 用数学语言表示为： 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SAS)
B D
C
E
F
例1：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断BC=AD吗？说 明理由。
A D
B
C
E
F
一一对应哦！ 记作：∆ABC ≌ ∆DEF 读作：∆ABC全等于 ∆DEF 思考：你能否直接从∆ABC ≌ ∆DEF中判断出所有的对应顶 点、对应边、对应角？
• • • •
∆ABC ≌ ∆DEF 其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
AB=AC BD=CD AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SSS)
2017/12/11
证明的书写步骤
1、准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； 2、三角形全等书写步骤： 写出在哪两个三角形中； 摆出三个条件用大括号括起来； 写出全等结论。
2017/12/11
你会用刻度尺和圆规画全等三角形吗？
A D B
O
E
操作测量题: OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA， PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入 下表：
2cm
4cm
2017/12/11
2cm
4cm
给三个条件： 1、三条边 2、三个角
3、两边一角
4、两角一边
2017/12/11
三角形全等判定定理
定理一： 有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“sss". 用数学语言表述： A 在△ABC和△DEF中， AB=DE BC=EF AC=DF
A
B
C
D
E
课堂小结
• 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 • 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 找对应边、对应角的方法： 1、由全等三角形的记法确定对应边和对应角 2、特殊位置法：在两个全等三角形中，公共角、对顶角必 为对应角，公共边必为对应边。 3、数量对应法： 在两个全等三角形中（不等边）， 在两 个全等三角形中，最长边对最长边；最小边对最小边；最 大角对最大角；最小角对最小角。
D
B
C
E
• 大胆说出你的想法！
证明：在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） AC=AC（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等） ∴AC是∠A的角平分线
经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方 法吗？
2、尺规作角的平分线 画法：
C
证明:在△ABC与△BAD中 AC=BD A ∠CAB=∠DBA AB=BA ∴△ABC≌△BAD（SAS） ∴BC=AD（全等三角形的 对应边相等）
D
B
例2：如图，在△AEC 和 △ADB 中，已知AE=AD，AC=AB请说明 △AEC ≌ △ADB 的理由。
C
证明：在△AEC和△ADB中，
D A E B
三角形全等的判定
知识回顾
1、什么叫做全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
A D
B
C
E
F
2017/12/11AB=DE NhomakorabeaBC=EF AC=DF ∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
小明家的衣橱上镶有两块全等的三角 形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于 点N． A ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心． 大于 1/2 ＭＮ的长为半径 Ｍ 作弧．两弧在∠ＡＯＢ的 Ｃ 内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求．
Ｂ
动手操作：画一个已知角的角平分线。
Ｎ
Ｏ
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕 为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你 能得到什么结论?
A D
B
C
E
F
• 想一想：∆ABC ≌ ∆DEF，对应边有什么 关系？对应角有什么关系？ • 全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等。 全等三角形的对应角相等。
• 几种常见的全等三角形基本图形
A D
1、平移
F
B
C
E
D A E B C F
B E C F A D
• 几种常见的全等三角形基本图形
E D
B D C
∠B=∠E ∠C=∠F AC=DF ∴△ABC≌△DEF(AAS)
E
F
例1、已知如图，AB⊥BC,AD ⊥DC,垂足分别为B、D， ∠1=∠2，求证：AB=AD
A
12 B
D C
例1、已知如图，AB⊥BC,AD ⊥DC,垂足分别为B、D， ∠1=∠2，求证：AB=AD
A
证明：∵AB⊥BC,AD ⊥DC ∴∠B=∠D=90° 在△ABC和△ADC中， ∠B=∠D ∠1=∠2 AC=AC ∴△ABC≌△ADC（AAS） ∴AB=AD
F
C
作一个角等于已知角
已知：∠AOB 求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB
作法： 1. 以点O为圆心,任意长为半径画弧, 分别交OA，OB于点C，D； O 2. 画一条射线O′A′，以点O′为圆心， OC长为半径画弧，交O′A′于点C′ 3. 以点C′为圆心，CD长为半径画 弧，与前弧交于点D′ 4. 过点D′画射线O′B′。 ∴∠A′O′B′就是所求的角。
A
画法：1、画线段BC=6cm 2、分别以点B、C为圆 心，以3cm、5cm长为半 径画弧，交于点A; 3、连结AB,AC △ABC就是所求三角形。
5cm
3cm
B 6cm
C
2017/12/11
课堂小结
1、三角形全等的判定定理：
有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边 边”或“sss".
2、用刻度尺和圆规画三角形
B D
C
∴△ABC≌△DEF(SSS)
E
2017/12/11
F
如下图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是 连接A与BC中点D的支架.求证： △ABC≌△DEF