第5节 函数的单调性与最值
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
同济大学高数 第五节 函数的极值与最大值最小值
2 3
y
y f ( x)
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
最大值最小值的求法
若函数 f ( x )在 [a , b]上连续, 除个别点外处处可导, 并且至多有有限个导数为零的点, 则 f ( x )在 [a , b] 上的最值的计算步骤如下： 1. 求驻点和不可导点; 2. 求区间端点、 驻点及不可导点的函数值, 比较大小, 哪个大哪个就是最大值, 哪个 小哪个就是最小值. 注意: 如果区间内只有一个极值, 则这个极值就是 最值 (最大值或最小值).
第三章 微分中值定理 和导数的应用
第五节 函数的极值与 最大值最小值
问题：单调性发生改变的点是怎样的？
y y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b )内有定义, x0是 (a , b ) 内的一个点. 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于该邻域内的 任何点 x, 除了点 x0外, f ( x ) f ( x0 ) 均成立, 就 称 f ( x0 ) 是函数 f ( x )的一个极大值; 类似可定义 极小值
f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x0 ))
则
f ( x0 ) 0.
定理2 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个 邻域内连续并且可导 (导数 f ( x0 )也可以不存在),
(1)如果在点 x0的左邻域内 f ( x ) 0; 在点 x0的右 邻域内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ( x ) 0; 在点 x0的右 邻域内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, f ( x )不变号, 则 f ( x ) 在 x0处没有极值.
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。
2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。
4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。
5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。
六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。
函数单调性与最值公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负， 即 f ( x) 0 .
定 理：
设函数 y f x在 a,b连续, 在 a,b 可导,
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的 点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件）
设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处获得极
值，则必有 f ( x0 ) 0 .
阐明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。 可导函数的极值点必是驻点， 但 驻点不一定是极值点。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U ( xˆ0 , ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种 极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种
极小值， x0 称为极小值点。 极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
有唯一的实根。 证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1 且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内最少有一根; 再证明根的唯一性：
sec3 x sin x(2 cos3 x) 0
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。
2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。
3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。
4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。
高数 函数的单调性与极值(课堂PPT)
f(x)0
综上可知，无论 x 为什么值，总有 f(x)f(0)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立。
8
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法2：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
f(x)2arcx t1 a 2x x n 21 2x x22arcxtan 对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有
由 y x 1 1 0 ，所以函数 y y(x) 在 x 1
2 y 1
处有极小值 y 1 .
27
9、设函数 f ( x ) 在(a, ) 内连续，f ( x )在(a, )
内存在，且 f (x) 0，证明当x a时，函数
F(x) f(x)f(a) 单调增加。
xa
解 F(x)(xa)f(x)[f(x)f(a)] (xa)2
定义: 设函f(数 x)在 (a,b)内有,定 x0 义 (a,b), 若存x在 0的一个邻 ，在域 其中当 xx0 时,
(1) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极大点 , 称 f (x0)为函数的极大值 ;
(2) f(x)f(x0),则称 x 0 为 f (x) 的极小点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
2xarcx tlan 1n (x2)2arctxan
式中 在 0 与 x 之间，由于 arctan与 x 同号，
则无论 x为什么值，总有 f (x)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立
9
例5 证明 f (x) (1 1)x 在 (0, ) 内单调增加。
x 证明 此函数为幂指函数，两边取对数
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法一：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
单调性与最值知识点总结
函数的单调性与最值知识点总结本节主要知识点 （1）函数的单调性. （2）函数的最值. （3）单调函数的运算性质. （4）复合函数的单调性. 知识点一 函数的单调性 1.增函数与减函数增函数、减函数定义中两个自变量的值21,x x 的三个特征:（1）任意性 自变量的值21,x x 必须是在区间D 上任意选取的,不可以随便取两个特殊值.（2）有序性 一般要对21,x x 的大小作出规定,通常规定21x x <.（3）同区间性 即21,x x 要属于同一个单调区间. 2.单调性、单调区间和单调函数如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做函数)(x f y =的单调区间.单调函数 如果函数)(x f y =在整个定义域上具有单调性,那么就称函数)(x f y =为单调函数.对函数单调性和单调区间的理解:（1）区间D 必为函数定义域I 的子集,即I D ⊆.所以单调性是函数的局部性质. （2）区间D 可以是整个定义域,此时函数为单调函数.如函数1+=x y 在整个定义域()+∞∞-,上是增函数,函数x y -=在整个定义域()+∞∞-,上是减函数.（3）区间D 可以是定义域的真子集.如函数2x y =在整个定义域()+∞∞-,上没有单调性,但在区间()0,∞-上是减函数,在区间()+∞,0上是增函数.（4）函数在某个区间上单调,但在整个定义域上不一定单调. 如函数xy 1=在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但在整个定义域上不具有单调性（反比例函数的图象是不连续的）. （5）不是所有的函数都具有单调性.如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(,它的定义域是R ,但不具有单调性.（6）若函数)(x f 在区间D 上为增函数,则称区间D 为函数)(x f 的增区间;若函数)(x f 在区间D 上为减函数,则称区间D 为函数)(x f 的减区间.正确书写单调区间（1）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数x y 1=在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数xy 1=的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.（2）函数的单调性是对某个区间而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性.因此在书写单调区间时,对区间端点的开闭不作要求,可以包括区间端点,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括.单调性定义的等价形式:（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021<-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121>--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021>-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121<--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x f x f x x .3.常见函数的单调性确定函数的单调性,有一种方法叫做直接法:对于我们所熟悉的基本初等函数,如正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数等,可以直接利用它们的性质判断单调性.说明:（1）由单调函数的定义可知,一次函数为在R 上的单调函数（单调增函数或顶点减函数）.（2）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2()0≠a ,所以:①当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数; ②当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数.例 1. 若函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且满足()()()321f f f <<,则函数)(x f 在()+∞,0上【 】（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）先增后减 （D ）单调性不能确定解:函数单调性的定义强调了自变量的值21,x x 的任意性,仅凭区间内有限个函数值的大小关系,不能作为判断函数单调性的依据.选择【 D 】.提示:（1）判断函数的单调性时,不能根据21,x x 的两个特殊值,对函数的单调性进行判断;（2）若要说明函数)(x f 在某个区间上不是增函数（减函数）时,只需在该区间上找到两个自变量的值21,x x ,证明当21x x <时,)(1x f ≥)(2x f （)(1x f ≤)(2x f ）成立即可.例2. 下列说法中正确的个数为:①定义在()b a ,上的函数)(x f ,如果有无穷多个()b a x x ,,21∈,当21x x <时,有()()21x f x f <,那么)(x f 在()b a ,上为增函数;②如果函数)(x f 在区间1I 上为减函数,在区间2I 上也为减函数,那么)(x f 在区间1I 2I 上就一定是减函数;③对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()02121<--x x x f x f 时,)(x f 在()b a ,上是减函数;④对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()()[]02121>--x f x f x x 时, )(x f 在()b a ,上是增函数.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ①不正确,函数单调性的定义强调了21,x x 的任意性,“无穷多个”不能代表“所有”、“任意”;②不正确,一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.以反比例函数xy 1=为例,函数在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数xy 1=的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.③正确, 因为()()02121<--x x x f x f ,等价于()()⎩⎨⎧>-<-002121x f x f x x 或()()⎩⎨⎧<->-002121x f x f x x ,所以()()⎩⎨⎧><2121x f x f x x 或()()⎩⎨⎧<>2121x f x f x x ,即)(x f 在()b a ,上是减函数;④正确,同③.故正确的结论有两个.选择【 B 】.例3. 下列四个函数中,在()+∞,0上为增函数的是【 】 （A ）x x f -=3)( （B ）x x x f 3)(2-= （C ）x x f 2)(= （D ）xx f 1)(=解:对于函数x x f -=3)(,因为01<-=k ,所以其图象在R 上从左到右是下降的,为R 上的单调减函数,在()+∞,0上肯定也是减函数;对于函数49233)(22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x f ,在 ⎝⎛⎥⎦⎤23,0上为减函数,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23上为增函数;对于函数x x f 2)(=,因为02>=k ,所以其图象在R 上从左到右是上升的,为R 上的增函数,在()+∞,0上肯定也是增函数; 对于函数xx f 1)(=,在()+∞,0上为减函数. 综上,选择【 C 】.注意:（1）对于一次函数()0≠+=k b kx y ,当0>k 时,在R 上单调递增;当0<k 时,在R 上单调递减.（2）对于反比例函数()0≠=k xky ,当0>k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递减;当0<k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递增.（3）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2()0≠a ,当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数,当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数. 应熟练掌握以上常见函数的单调性.4.定义法判断和证明函数的单调性用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论. （1）取值 设21,x x 是给定区间上的任意两个值,且21x x <; （2）作差 计算()()21x f x f -;（3）变形 对()()21x f x f -进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;（4）判号 即判断()()21x f x f -的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的.例4. 讨论函数xx x f 4)(+=在()+∞,2上的单调性. 分析:对于一些简单的具体函数,常用定义法确定函数的单调性.定义法分为取值、作差、变形、判号和定论五步. 解:任取()+∞∈,2,21x x ,且21x x <,则有:()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-21212211214444x x x x x x x x x f x f ()()()()()21212121212112214414x x x x x x x x x x x x x x x x --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-=∵()+∞∈,2,21x x ,且21x x < ∴04,0,0212121>-<->x x x x x x ∴()()04212121<--x x x x x x ,即()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f <∴函数函数xx x f 4)(+=在()+∞,2上为增函数.例5. 求函数()01)(>+=x xx x f 的单调区间. 解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有:()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-22112111x x x x x f x f()()()()()2121212121211221212111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴0,02121<->x x x x ,对()121-x x 的符号的判断,分为两种情况: ①当()1,0,21∈x x 时,1021<<x x ,∴0121<-x x ∴()()021>-x f x f ,即()()21x f x f > ∴函数xx x f 1)(+=在()1,0上为减函数; ②当)[∞+∈,1,21x x 时,121>x x ,∴0121>-x x ∴()()021<-x f x f ,即()()21x f x f <∴函数xx x f 1)(+=在)[∞+,1上为增函数. 综上所述,函数()01)(>+=x x x x f 的单调递减区间为()1,0,单调递增区间为)[∞+,1.注意:（1）变形后若结果中的某一项的符号不能确定,则应进行分类讨论.（2）对于()021>-p p x x 的符号的判断,可取21x x =,由021=-p x x 得到临界数p x x ±==21.5. 对勾函数及其单调性形如xpx y +=（0>p ,且p 为常数）的函数,称为对勾函数. 对勾函数xpx y +=（0>p ,且p 为常数）在](p -∞-,和)[∞+,p 上为增函数,在()0,p -和()p ,0上为减函数.对勾函数有两条渐近线,一条是y 轴（0≠x ,图象无限接近于y 轴,但不相交）,另一条是直线x y =（当x 趋近于无穷大时,x p 趋近于0,y 趋近于x ,因为0≠xp,所以x y ≠）. 对勾函数xpx y +=（0>p ,且p 为常数）的图象如下图所示.)如例4中的函数x x x f 4)(+=和例5中的函数xx x f 1)(+=都是对勾函数.例6. 讨论函数1)(2-=x axx f 在()1,1-上的单调性,其中a 为非零常数. 分析:本题函数解析式中含有参数a ,若变形后结果的符号不能确定,则需要对a 的符号进行讨论.解:任取()1,1,21-∈x x ,且21x x <,则有:()()()()()()111111222121222122221121-----=---=-x x x ax x ax x ax x ax x f x f ()()()()11122212112--+-=x x x x x x a∵()1,1,21-∈x x ,且21x x <∴01,01,01,022212112<-<->+>-x x x x x x ∵a 为非零常数,∴分为两种情况:①当0>a 时,()()021>-x f x f ,∴()()21x f x f > ∴()x f 在()1,1-上是增函数;②当0<a 时,()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴()x f 在()1,1-上是减函数.6. 单调函数的运算性质利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性,则在区间D 上具有以下性质: （1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性. （2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时,)(x af 与)(x f 具有相同的单调性;当0<a 时,)(x af 与)(x f 具有相反的单调性.（4）若)(x f ≥0,则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值,则当0>a 时,)(x f 与)(x f a具有相反的单调性;当0<a 时,)(x f 与)(x f a具有相同的单调性. （6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:7. 复合函数的单调性对于复合函数))((x g f y =,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”:确定复合函数单调性的步骤: （1）求出复合函数的定义域;（2）分解复合函数为几个基本初等函数; （3）判断每一个分解函数的单调性;（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.例7. 求函数228)(x x x f --=的单调区间.分析:在确定函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则. 解:由题意可知:228x x --≥0,解之得:4-≤x ≤2. ∴函数)(x f 的定义域为[]2,4-. 设u y =,228x x u --=∴()912++-=x u ,其单调增区间为](1,-∞-,单调减区间为()+∞-,1∴函数)(x f 的单调增区间是[]1,4--,单调减区间是(]2,1-.例8. 已知函数)(x f 在定义域[)+∞,0上单调递减,求函数()21x f -的递减区间. 分析:判断复合函数的单调性时,要注意在定义域内进行. 解:∵函数)(x f 的定义域为[)+∞,0 ∴21x -≥0,解之得:1-≤x ≤1 ∴()21x f -的定义域为[]1,1-. 令21x u -=,则()()u f x f =-2121x u -=的单调递增区间为[]0,1-,单调递减区间为(]1,0 ∴函数()21x f -的递减区间为[]0,1-.★例8. 已知函数32)(2--=x x x f ,)5()(2x f x g -=,试求()x g 的单调区间. 分析:求复合函数的单调区间的方法是“同增异减”.函数()25x f -可以看成是由25x t -=与32)(2--=t t t f 复合而成的. 解:令25x t -=,则32)(2--=t t t f .()4132)(22--=--=t t t t f 在(]1,∞-上单调递减,在[)+∞,1上单调递增由25x -≥1得:x ≤2-或x ≥2;由25x -≤1得:2-≤x ≤2 函数25x t -=在(]0,∞-上单调递增,在[)+∞,0上单调递减∴函数()x g 的单调递增区间为[]0,2-和[)+∞,2;单调递减区间为(]2,-∞-和[]2,0.xt +∞∞例9. 函数541)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________.分析:先求出函数)(x f 的定义域,在其定义域内确定单调递增区间.解:由题意可知:0542≠--x x ,解之得:1-≠x 且5≠x ∴函数)(x f 的定义域为()()()+∞--∞-,55,11, . 函数541)(2--=x x x f 是由函数ty 1=和函数542--=x x t 复合而成的. 函数ty 1=在()0,∞-和()+∞,0上单调递减函数542--=x x t 在(]2,∞-上单调递减,在[)+∞,2上单调递增 ∴函数)(x f 的单调递增区间为()1,-∞-和(]2,1-.注意:若函数的定义域内不包含某端点,则该端点必须表示为开区间.例10. 已知函数)(x f y =在R 上是减函数,则()3-=x f y 的单调减区间是【 】 （A ）()+∞∞-, （B ）[)+∞,3 （C ）[)+∞-,3 （D ）(]3,∞-分析:本题涉及到绝对值函数x x f =)(,其图象如下图所示.把函数x x f =)(的图象向右平移3个单位长度,即可得到函数3-=x y 的图象.3f (由图象可知,函数3-=x y 在(]3,∞-上为减函数,在[)+∞,3上为增函数. 雅慧,你要掌握绝对值函数图象的特征.解:函数()3-=x f y 可以看成是由函数3-=x t 和函数)(t f y =复合而成的. 由题意可知,函数)(t f y =在R 上为减函数. 函数3-=x t 的单调增区间为[)+∞,3∴由复合函数的单调性可知,函数()3-=x f y 的单调减区间为[)+∞,3.选【 B 】.8.抽象函数的单调性抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法:（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=- 或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .例11. 已知函数)(x f 对于任意的∈y x ,R ,总有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,()0<x f .求证:)(x f 在R 上为减函数.分析:本题为“和型”抽象函数问题.注意到条件“当0>x 时,()0<x f ”,若设21x x <,则012>-x x ,所以()012<-x x f .这样就充分利用了题目所给的条件. 证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()0<x f ∴()012<-x x f ,∴()()()()()()()()0)(121112111212<-=-+-=-+-=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上为减函数.注:本题也可以这样变形:()()()()()()()()0)(121121112121>--=---=+--=-x x f x f x x f x f x x x f x f x f x f ∴()()21x f x f >例12. 已知函数)(x f 对于任意的∈b a ,R ,都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,()1>x f .求证:)(x f 是R 上的增函数.证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()1>x f ∴()112>-x x f ,∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f ∴()()21x f x f < ∴)(x f 是R 上的增函数.例13. 设)(x f 是定义在R 上的函数,对∈n m ,R ,恒有()()()n f m f n m f ⋅=+,（()()0,0≠≠n f m f ）,且当0>x 时,()10<<x f . （1）求证1)0(=f ;（2）求证∈x R 时,恒有0)(>x f ; （3）求证)(x f 在R 上是减函数.分析:（1）通过赋值求)0(f ;（2）通过()()()1)()0(=-⋅=-+=x f x f x x f f 证明0)(>x f ;（3）利用单调性的定义证明函数)(x f 的单调性.（1）证明:令0=m ,则有()()()n f f n f ⋅=+00 ∴()()()n f f n f ⋅=0 ∵()0≠n f ∴1)0(=f ;（2）令0<x ,则0>-x ∵当0>x 时,()10<<x f ∴()10<-<x f∵()()()()1)(0=-⋅=-+=x f x f x x f f ∴()()01>-=x f x f 综上,∈x R 时,恒有0)(>x f ;（3）任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∴()1012<-<x x f∴()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-()()()()()[]11211112--=-⋅-=x x f x f x f x f x x f∵∈x R 时,恒有0)(>x f ,()1012<-<x x f ∴()()01,0121<-->x x f x f ∴()()012<-x f x f ∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上是减函数.例14. 已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意()+∞∈,0,y x ,恒有()()()y f x f xy f +=,且当10<<x 时,0)(>x f ,判断函数)(x f 在()+∞,0上的单调性.分析:本题为“积型”抽象函数问题.注意到条件“当10<<x 时,()0>x f ”,任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则1021<<x x ,所以021>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .这样就充分利用了题目所给的条件.解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有1021<<x x ∵当10<<x 时,0)(>x f∴021>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .∴()()()()()0212212221221>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减.例15. 定义在()+∞,0上的函数)(x f ,满足()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）,且当1>x 时,()0>x f . （1）求()1f 的值;（2）求证:()()n f m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛;（3）求证:)(x f 在()+∞,0上是增函数; （4）若()12=f ,解不等式()()222>-+x f x f ;（5）比较⎪⎭⎫⎝⎛+2n m f 与()()2n f m f +的大小. （1）解:令1==n m ,则由题意可知:()()()1111f f f +=⨯ ∴()01=f ;（2）证明:∵()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n m f n f n m n f m f ∴()()n f m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛;证法二:由（1）可知:()01=f∴()011=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅n f n f n n f ∴()n f n f -=⎪⎭⎫⎝⎛1∴()()()n f m f n f m f n m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛11. （3）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有112>x x ∵当1>x 时,()0>x f∴012>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数;（4）解:∵()12=f （利用函数的单调性解不等式） ∴()()()()()24222222==⨯=+=f f f f f ∵()()222>-+x f x f∴()422f x x f >⎪⎭⎫⎝⎛+∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>+422022xx xx ,解之得:720<<x∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<720x x ;解法二:∵()()222>-+x f x f ∴()()()422f x f x f +>+ ∴()()x f x f 82>+∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+xx x x 820802,解之得:720<<x∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<720x x .（5）()()()mn f n f m f 212=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+222122212n m f n m f n m f n m f ∵2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m mn n m ≥0（这里在作差比较22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 与mn 的大小） 当且仅当n m =时取等号.∴22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m ≥mn ∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎭⎫⎝⎛+2n m f ≥()()2n f m f +.例16. 已知函数()x f y =的定义域为R ,且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,对任意∈n m ,R ,都有1)()()(-+=+n f m f n m f ,当21->x 时,()0>x f .（1）求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值;（2）求证()x f y =在定义域R 上是增函数.分析:本题第（2）问具有较大的难度,前面提到判断抽象函数的单调性时,要凑定义或凑已知,即要充分利用题目所给的条件.条件“当21->x 时,()0>x f ”不好利用,若设∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ,∴212112->--x x ,02112>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x f .（1）解:∵221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴()31221212121211=-+=-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f f∴()112112121-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛f f f f ∴()0132112121=+-=+-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ; （1）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x∵当21->x 时,()0>x f ,∴212112->--x x ,∴02112>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()02122211121211212111212121212>⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x f x x f f x x f x x f x x f ∴()()21x f x f <∴()x f y =在定义域R 上是增函数.9. 图象法确定函数的单调性（适用于比较容易画出图象的函数）一般通过已知条件作出函数图象的草图,若函数的图象在某个区间从左到右上升,则函数在这个区间上是增函数;若函数的图象在某个区间上从左到右下降,则函数在这个区间上是减函数.虽说是画出函数图象的草图,但还是要注意画图的准确性,如正确画出函数图象上的一些关键点.例17. 已知函数4)(-=x x x f .（1）在坐标系内画出函数()x f 的大致图象; （2）指出函数()x f 的单调递减区间.分析:函数()x f 为含有绝对值的函数,先转化为分段函数的形式,再分段作图.解:（1）4)(-=x x x f ()()⎩⎨⎧<+-≥-=444422x x x x x x ,其大致图象如下图所示;（2）由图象可知,函数()x f 的单调递减区间为[]4,2.当然了,这是用几何画板软件绘制的图象,手画草图如图所示. 例18. 画出函数322++-=x x y 的图象,并指出函数的单调区间.解:()()⎩⎨⎧<+--≥++-=++-=03203232222x x x x x x x x y ,其图象如下页图所示.由图象可知,函数322++-=x x y 的单调递增区间是(]1,-∞-和[]1,0,单调递减区间是[]0,1-和[)+∞,1.例19. 求函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.分析:用图象法确定函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.由函数图象的翻折变换:要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可解:先作出函数322-+=x x y 的图象,然后保留其在x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数32)(2-+=x x x f 的图象,如下图所示.由图象可知,函数32)(2-+=x x x f 的单调递增区间是[]1,3--和[)+∞,1;单调递减区间是(]3,-∞-和[]1,1-.3例20. 求函数()21-++=x x x f 的单调区间.解:()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=-+--=-++=2122131122121x x x x x x x x x x f ,其图象如图所示.+ 1 + x 2由图象可知,函数()21-++=x x x f 的单调递减区间为(]1,-∞-,单调递增区间为[)+∞,2.10. 性质法确定函数的单调性利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:例21. 求函数()034)(3<+-=x x x x x f 的单调区间. 解:()03434)(23<+-=+-=x xx x x x x f ∵函数42-=x y 与函数xy 3=在()0,∞-上都是减函数 ∴函数xx x x f 34)(3+-=在()0,∞-上是减函数.∴函数()034)(3<+-=x xx x x f 的单调递减区间为()0,∞-,无增区间. 例22. 求函数x x y 23-=的单调区间.解:函数xx y 23-=的定义域为()()+∞∞-,00, .∵函数x y 3=与函数xy 2-=在()0,∞-和()+∞,0上均为增函数∴函数x x y 23-=在()0,∞-和()+∞,0上是增函数∴函数xx y 23-=的单调递增区间为()0,∞-和()+∞,0,无减区间.11. 判断函数单调性的方法总结 判断或证明函数的单调性的方法有: （1）定义法; （2）直接法; （3）图象法; （4）性质法.判断抽象函数单调性的方法:（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=- 或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .12.一道有代表性的判断函数单调性的题目例23. 求函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调区间. 分析:先确定函数的定义域,记住“定义域优先”的原则. 解法一:函数bx ax x f ++=)(的定义域为()()+∞--∞-,,b b . 任取()+∞-∈,,21b x x ,且21x x <,则有:()()()()()()()()()()()()b x b x x x b a b x b x b x a x b x a x bx a x b x a x x f x f ++--=++++-++=++-++=-2112211221221121.∵21,0x x b b a <<->>∴()0,0,0,021112>+>--=+>->-b x b x b x x x b a ∴()()021>-x f x f ∴()()21x f x f >∴函数()x f 在()+∞-,b 上为减函数,即函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()+∞-,b ;同理可证函数()x f 在()b -∞-,上为减函数. 综上所述,函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 解法二:（利用单调函数的运算性质）bx ba b x b a b x x f +-+=+-++=1)(,函数的定义域为()()+∞--∞-,,b b ∵0>>b a ,∴0>-b a∴函数b x ba y +-=在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数 ∴函数()0)(>>++=b a b x ax x f 在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数 即函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 注意:本题中函数b x b a y +-=和函数()0)(>>++=b a b x ax x f 在相同的单调区间()b -∞-,和()+∞-,b 上具有相同的单调性.例24. 已知()a x ax xx f ≠-=)(. （1）若2-=a ,试证明)(x f 在()2,-∞-上单调递增; （2）若0>a 且)(x f 在()+∞,1内单调递减,求a 的取值范围. 解:（1）当2-=a 时2212222)(+-=+-+=+=x x x x x x f ,函数的定义域为()()+∞-∞-,22, . ∵函数22+-=x y 在()2,-∞-上单调递增∴函数2)(+=x xx f 在()2,-∞-上单调递增;（2）ax aa x a a x a x x x f -+=-+-=-=1)( ∵0>a ,∴函数a x ay -=在()a ,∞-和()+∞,a 上为减函数∴函数a x xx f -=)(在()a ,∞-和()+∞,a 上单调递减∵)(x f 在()+∞,1内单调递减 ∴a <0≤1,即a 的取值范围为(]1,0.知识点二 函数的最值 1.函数的最大（小）值的定义2.对最值的理解（1）最值指的是函数值,即存在一般自变量0x ,使得()0x f 等于最值;（2）对于定义域内的任意一个x ,都有)(x f ≤()0x f 或)(x f ≥()0x f .“任意”两个字不可以省略;（3）使函数取得最值的自变量的值可能不止一个;（4）函数的最值是函数值域的元素.反映的是函数的整体性质（定义域内）,具有非常明显的几何意义;（5）函数)(x f 的最大值记作max )(x f ,最小值记作min )(x f . 3.函数的最值和值域的关系（1）联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域,而函数的单调性反映的却是函数的局部性质. （2）区别:①函数的值域一定存在,但函数的最值不一定存在;（另外,在定义域上,函数可能既没有最大值,也没有最小值;可能有最大值,但没有最小值;可能有最小值,但没有最大值）②函数的最值若存在,则最值是值域的元素;③若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.由以上函数的最值和值域的关系,我们可以可以函数的值域来确定函数的最值. 3.求函数最值的常用方法 （1）单调性法; （2）图象法.4.利用单调性法求最值的结论（1）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递增,在区间[]c b ,上单调递减,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最大值)()(max b f x f =.如下页图所示;（2）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如下页图所示.f x ()max = f b ()f x ()min = f b ()知识点三 二次函数的最值问题求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R ,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.求二次函数()0)(2>++=a c bx ax x f 在区间[]n m ,上的最值分为以下三种情况:（1）对称轴在区间的左侧 若m abx <-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是增函数,最大值为()n f ,最小值为()m f ; （2）对称轴在区间内若m ≤a b2-≤n ,则)(x f 的最小值为a b ac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()m f 、()n f 中的较大者（或区间端点n m ,中与直线abx 2-=的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为a bac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =. （3）对称轴在区间的右侧若n abx >-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是减函数,最大值为()m f ,最小值为()n f . 注意:当抛物线的对称轴a b x 2-=在区间[]n m ,上,即m ≤ab2-≤n 时,函数的最小值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即a b ac a b f x f 442)(2min-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,函数最大值的确定需要分为两种情况:区间[]n m ,的中点为2nm +（由中点坐标公式得到）. ①当m ≤a b 2-≤2nm +时（即右端点n 距离对称轴较远）,函数的最大值为()n f ;②当a b n m 22-<+≤m 时（即左端点m 距离对称轴较远）,函数的最大值为()m f . 综上所述,二次函数的最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =.二次函数的最值的图象说明对称轴在区间的左侧对称轴在区间的右侧对称轴在区间内靠近左端点对称轴在区间内靠近右端点常见的二次函数最值问题类型 类型1 定轴定区间例25. 已知函数5123)(2+-=x x x f ,当自变量在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.（1）R ; （2）[]3,0; （3）[]1,1-分析:这是定轴定区间上的最值问题,应结合抛物线的开口方向和对称轴的位置进行解答,在必要时可画出函数图象的简图来辅助解答.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递减,在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,2a b 上单调递增;当0<a 时,在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递增,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a b 上单调递减.解:()7235123)(22--=+-=x x x x f（1）当∈x R 时,函数的最小值为()()72min -==f x f ,无最大值; （2）当∈x []3,0时,对称轴2=x 在区间[]3,0内,且32230<<+,所以函数在0=x 时取得最大值,最大值为()()50max ==f x f ;在2=x 时取得最小值,最小值为7-; （3）当∈x []1,1-时,函数在区间[]1,1-上为减函数,所以()()201max =-=f x f ,()()41min -==f x f .类型二 动轴定区间例26. 已知函数22)(2+-=ax x x f ,[]1,1-∈x ,求函数)(x f 的最小值.分析:本题抛物线的开口方向确定,对称轴不确定,需要根据对称轴与定区间的相对位置关系进行讨论,必要时画出函数图象的简图,用数形结合思想解决问题. 解:()222222)(a a x ax x x f -+-=+-=,其图象的开口方向向上,对称轴为直线a x =.当1-<a 时,函数()x f 在[]1,1-上是增函数,所以()()321min +=-=a f x f ; 当1-≤a ≤1时,()()2min 2a a f x f -==;当1>a 时,函数()x f 在[]1,1-上是减函数,所以()()321min +-==a f x f .综上所述,函数)(x f 的最小值为()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=132112132)(2min a a a a a a x f .例27. 求函数12)(2--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值和最小值.解:()112)(222---=--=a a x ax x x f ,其图象的开口方向向上,对称轴为直线a x =.（1）当0<a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是增函数,所以1)0()(min -==f x f ,()()342max +-==a f x f ;（2）当0≤a ≤2时,()()12min --==a a f x f : ①若0≤a ≤1220=+,则()()342max +-==a f x f ; ②若1＜a ≤2,则()()10max -==f x f .（3）当2>a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是减函数,所以34)2()(min +-==a f x f ,()()10max -==f x f .综上所述,()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=234201012mina a a a a x f ,()()()⎩⎨⎧>-≤+-=11134maxa a a x f . 类型三 定轴动区间例28. 求函数22)(2+-=x x x f 在区间[]1,+t t 上的最小值()t g . 解:()1122)(22+-=+-=x x x x f ,其开口方向向上,对称轴为直线1=x .当1>t （此时对称轴在给定区间的左侧）时,函数()x f 在区间[]1,+t t 上为增函数,所以()()222+-==t t t f t g ;当t ≤1≤1+t ,即0≤t ≤1时,()()11==f t g ;当11<+t ,即0<t 时,函数()x f 在[]1,+t t 上为减函数,所以()()112+=+=t t f t g .综上所述,()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110112222t t t t t t t g .例29. 若函数34)(2-+-=x x x f 的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-,则实数t 的取值范围是【 】（A ）(]4,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 （C ）[)+∞,2 （D ）[]4,2分析:若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.解:()1234)(22+--=-+-=x x x x f ,其图象开口向下,对称轴为直线2=x .当2=x 时,1=y ;当3342-=-+-x x 时,4,021==x x . ∵函数的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-∴2≤t ≤4,即实数t 的取值范围是[]4,2.选择【 D 】.类型四 动轴动区间例30. 求函数()a x x y --=在∈x []a ,1-上的最大值.分析:本题要结合对称轴（含参数）与给定闭区间（含参数）之间的相对位置关系进行讨论,并结合函数的单调性确定最大值.解:()4222a a x a x x y +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=,其图象开口向下,对称轴为直线2a x =. 由题意可知:1->a .（区间的左端点必小于右端点）（见区间的表示） 当12-≤a,即2-≤a 时,与1->a 矛盾,舍去; 当21a <-≤a ,即a ≥0时,422max a a f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=;当a a>2,即01<<-a 时,函数在区间[]a ,1-上是增函数,所以()0==a f y mzx .综上所述,()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥=010042maxa a ay . 例31. 已知函数12)(2++=ax ax x f 在区间[]2,1-上有最大值4,求实数a 的值. 分析:本题未指明函数是二次函数,所以要对a 是否等于0展开讨论.二次函数)(x f 的对称轴为直线122-=-=aax ,对称轴在区间[]2,1-的左侧,但抛物线的开口方向不确定,取得最大值的条件也就不确定,所以还要对a 的符号进行讨论. 解:当0=a 时,1)(=x f ,不符合题意,舍去;当0≠a 时,函数12)(2++=ax ax x f 为二次函数,其对称轴为直线122-=-=aax . ∵函数在[]2,1-上有最大值4 ∴分为两种情况:①当0>a 时,函数在区间[]2,1-上为增函数 ∴()()41442max =++==a a f x f ,解之得:83=a ; ②当0<a 时,函数在区间[]2,1-上为减函数 ∴()()4121max =+-=-=a a f x f ,解之得:3-=a .综上所述,实数a 的值为83或3-.知识点四 求函数最值的方法 求函数最值的常用方法有:（1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围. （2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围. （3）图象法 即数形结合的方法.（4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响. 利用函数的单调性求最值例32. 求函数xx x f +=1)(的最小值.解:由题意可知函数的定义域为()+∞,0.。
《高等数学教学资料》05第五节函数极限与最大值最小值.docx
第五节函数的极值与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，两数先是单调增加(或减少)，到达某一点后又变为单调减少(或增加)，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3・4・5中，点兀=1和兀=2就是具有这样性质的点，易见，对兀=1的某个邻域内的任一点兀(2 1),恒有f(x) </(I),即曲线在点(1,/(1))处达到“峰顶”：同样，对“2 的某个邻域内的任一点X(XH2),恒有f(x) > /(2),即曲线在点(2,/(2))处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重耍的意义.由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★函数极值的定义★函数极值的求法★例1★例2★例3笫二充分条件★例4★例5★例6最大值最小值的求法★例7★例8★例9★例10★例11★例］2内容小结★课堂练习★习题3・5 ★返回内容要点一、函数的极值极值的必要条件第一充分条件与第二充分条件求函数的极值点和极值的步骤(1)确定函数/(兀)的定义域，并求其导数;(2)解方程f\x) = 0求出于(兀)的全部驻点与不可导点；(3)讨论厂(劝在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点；(4)求出各极值点的函数值，就得到函数/(兀)的全部极值.二、函数的最大值与最小值在实际应用屮，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容暈最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题.求函数在创上的最大(小)值的步骤如下：(1)计算函数/(兀)在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；(2)对于闭区间［d,b］上的连续函数/(兀)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点,并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区I'可上的最大值(或最小值)点.例题选讲求函数的极值例1 (E01)求出函数/(%) = x3 -3x2 -9x4-5的极值.解f(x) =3X2-6X-9=3(X +1)(X一3),令f(x) = 0,得驻点x1=-l,x2=3.列表讨论如下：X(―-1)-1(-1, 3)3(3, 4- °°)•厂⑴+0——0+f(x)f极大值1极小值t所以，极大值/(-!) = 10,极小值/(3) = -22.例2 (E02)求函数的极值.解⑴ 函数f(兀)在(-oo,+oo)内连续，除x = -l外处处可导，且厂(无)=孝二2;3沿+1(2)令f\x) = 0,得驻点x = l;兀=-1为/*(兀)的不可导点;(3)列表讨论如下：(-00,-1)-1(-1, 1)1(1,+呵/'(X)+不存在—0+/⑴f极大值1极小值t⑷ 极大值为/(-1) = 0,极小值为/⑴=-3^4.3例3求函数y(x) = x-jx2/3的单调增减区间和极值.解求导数= 当"1时八0) = 0,而x = 0时/©)不存在，因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：X(一8,0)0(0,1)1(1, + °°) f\x)+ 不存在—0+fM/极大值0极小值-丄2/由上表可见：函数/(兀)在区间(_oo,0),(l,+oo)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点x =()处有极大值，在点兀=1处有极小值/(I) = 如图.例4 (E03)求出函数/(x) = x3 + 3x2一24兀- 20的极值.解f(x) = 3x2 +6x-24 = 3(x + 4)(兀—2),令f\x) = 0,得驻点册=-4,勺=2.又/'(x) = 6x + 6, ・・・/"(-4) = —18vO,故极大值于(一4) = 60, /*(2) = 18>0,故极小值/(2) = -4&注意：1./"(必)=0吋，/(X)在点勺处不一定収极值，仍用第一充分条件进行判断.2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点.例5 (E04)求函数f(x) =(X2 -厅+ I的极值.解由/，(X)=6X(X2-I)2=0,得驻点可=一1,七=0*3=1. f\x) = 6(x2 -l)(5x2 -1).因f\x) = 6 > 0,故/(x)在x = 0处収得极小值，极小值为/(0) = 0.因厂(-1)=厂⑴=0,故用定理3无法判别.考察一阶导数f\x)在驻点册=-1及勺=1左右邻近的符号：当兀取-1左侧邻近的值时，f(x) < 0;当兀取-1右侧邻近的值吋，f(x) < 0;因厂(兀)的符号没有改变，故/(兀)在x = -l处没有极值.同理，/(兀)在x = l 处也没有极值.如图所示.例6求出函数/W=1-(X-2)2/3的极值.2 --解f'M = -一(兀-2) '("2). x = 2是函数的不可导点.当xv2时，f(x) > 0;当x>2时，.厂(兀)v0. /. /(2) = 1为/(兀)的极大值.例7 (E05)求y = 2疋+ 3兀$ _ 12x + 14的在［-3,4］上的最大值与最小值.解*«*= 6(x + 2)(兀一1),解方程f\x) = 0,得x, =-2,X2 =1.计算/(-3) = 23; /(—2) = 34; /⑴二7; /⑷二142;比较得最大值/⑷=142,最小值/(I) = 7.例8求函数)usin2x-x在-彳冷上的最大值及最小值.解函数y = sin2x- x在-巴工上连f\x) = / = 2cos2x-1, 2 2令)/ = (),得/ = 土牛.故皿¥上最大值为务最小值为号例9 (E06)设工厂4到铁路线的垂直距离为20km,垂足为3.铁路线上距离B为100km 处有一原料供应站C,如图3-5-4.现在要在铁路BC屮间某处D修建一个原料屮转车站，再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么，D 应 选在何处，才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省？解 BD = x (km), CD = 100 — x (km), AD = ^202 + x 2 ・铁路每公里运费眈公路每公里5R,记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式: y = 5kAD + 3k-CD 即y = 5k ・ 7400 +x 2 + 3k(l 00-x) (0<x<100).问题归结为：x 収何值时目标函数y 最小./ \ I求导得y f = k 1 =一3，令y" = 0得x = 15(km).、V400 + x~ ) 由于 y(0) = 400£, y(15) = 380£, y(100) = 100@£. 从而当BD = 15 (kmJB'J-，总运费最省.例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部 租111去.当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月兀元，租出去的房子有50-（犬二型］套，每月总收入为10V =70 一一，解 R\x ） = 0,得兀=350 （唯一驻点）. 故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为/?（350） = 10890（元）.求函数的最大值最小值例11敌人乘汽车从河的北岸A 处以1米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从 河的南岸B 处向正东追击，速度为2千米/分钟，问我军摩托车何吋射击最好（相距最近射击 最好）?解（1）建立敌我相距函数关系 设t 为我军从B 处发起追击至射击的事件（分）.敌我相距函数5（/）5(f) = J(0.5 + r)2+(4-2r)2⑵求5 = 5(r)的最小值点5/-7.5 7(0.5 + z)2+(4-2r)2令= o,得唯一驻点（ = 1.5.故得我军从B 处发起追击后1.5分钟设计最好. 实际问题求最值应注意：（1） 建立目标函数； （2） 求最值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最人（或最小）值.R(x) = U - 20) 50- x-180、10 )X = (x-20) 68——,I 10丿 + (“20)卜茁2 2例12求内接于椭圆与+务=1而面积最大的矩形的各边之长. a~ b~ 解 设M(x,y)为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为S(x) = 2x- 2y = — x^a 1 -x 2,0 <x<a,a且 S(0) = S(d) = 0.Qyla 2-x 2是S(x)的最人值,最大值仏=乎诗卜倍!=切课堂练习1. 下列命题正确吗？若兀()为/(X )的极小值点，则必存在旳的某邻域，在此邻域内，/(兀)在兀()的左侧下降，而 在兀()的右侧上升.2. 若/(d)是/(兀)在［d,切上的最大值或最小值，且广⑺)存在，是否一定有f(a) = 0?4b a 2 -2x 2 万需2“由 S3 = o,求得驻点尤0 =为唯一的极值可疑点.依题意，S(x)存在最大值，故对应的y 值为即当矩形的边长分别为血a, Qb 时面积最大.。
函数的单调性
《函数的单调性》的教学设计
一．教材分析：函数单调性是学生了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是学生进入高中后学习的第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习其他函数性质提供了方法依据。
二．学情分析：对于函数单调性学生在初中已经从图象的上升和下降角度有了初步的了解，本节课的内容就是引导学生用数学符号语言去刻画图象的上升和下降，这种由直观到抽象的转化对于刚升入高中的学生是困难的，另外对于函数单调性证明的代数化简也是一个难点，考虑到我校学生基础薄弱，数学思维能力相对较弱的特点，本节课将函数单调性的概念的形成和理解作为重点和难点。
三．教学目标：1.理解函数单调性的概念,根据函数图象会判断函数的单调性.
2.通过对函数单调性的探究，体会数形结合的思想，培养学生抽象概括能力.
3.通过引导学生用符号语言刻画函数单调性的过程让学生体会到严谨的态度，认真细心对于数学学习的重要性，让学生体会从具体到抽象由特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
四．学习重难点
重点：函数单调性的概念，函数单调性的判断。
难点：归纳抽象函数单调性的定义。
五．教学方法：学生自主探究与教师启发讲授相结合。
以学生为本，通过课前自主学习，教师初步掌握学生的理解深度和思维想法，针对学生思维上的问题，教师课堂通过提问给予纠正和完善，最后通过练习检测学生理解掌握情况，做好课后完善工作。
函数的单调性(1)
函数f ( x)对任意的a, b R, 都有 f (a b) f (a ) f (b) 1, 并且当x 0时，f ( x) 1 (1)探求f ( x)在R上的单调性 （2）若f (4) 5, 解不等式f (3m m 2) 3.
2
补充练习：
求下列函数的单调区间.（复合函数）
解析
函数 f(x)的对称轴：x＝1，单调增区间
为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
2．已知函数 y＝f(x)在 R 上是减函数，A(0，－2)、 B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2 的解集 为________．
(－3,解集为
考点小结
本节课的主要考点是函数单调性的概念，求函数的单调区间；
证明函数的单调性；复合函数的单调性，函数单调性的应用：①
比较函数值的大小； ②解不等式.
注意:①函数的单调性的证明方法，通常用定义法或导数法.
②在证明、判断、讨论函数的单调性时，一定要注意定义中的 “任意”两字.
③判断函数单调性的一些常用方法有：图象法、定义法、导数法；
图像在区间D是下降的
、求函数的单调区间的常用方法有： （1）从定义入手 （2）从导数入手：令f’(x)>0(<0),转化为求关于x的不等式 （3）从图象入手(数形结合) （4）从熟悉的函数入手
基础自测 1． f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为
[1,4] ；f(x)max＝________. 8 __________
注意： 1、求函数的单调区间必须在定义域里边求 函数的单调性是局部性质，从定义上看，是指函数 在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征． 在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2、图像特征 图像在区间D是上升的 函数在区间D单调递增 函数在区间D单调递减
函数的单调性与值域 - 解析版
函数单调性与值域【教学目标】一、函数单调性【知识点】 函数的单调性（1）函数单调性的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为x ，如果对于定义域()f x −内的某个区间y 内的任意两个自变量()f x ，当y 时，都有()f x −（()f x ），那么就说()f x −−在区间x 上是增函数（减函数）。
如果一个函数在某个区间M 上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性. 其中，区间M 称为单调区间.增(减)函数定义中的y ，x 的三个特征：一是任意性；二是有大小，即()1xf x x =−−；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可。
（一）定义法证明函数单调性【知识点】用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取1212x x D x x ∈<，，且； 2.作差: 12()()f x f x －；3.变形:通常是通分、因式分解和配方；4.定号:判断差12()()f x f x －的正负；5.结论:指出函数()f x 在给定的区间D 上的单调性.【例题讲解】★☆☆例题1．根据定义证明函数1y x x=+在区间1,)+∞（上单调递增。
证明：1212,(1,),,x x x x ∀∈+∞<且有12121212,(1,),1, 1.1,10x x x x x x x x ∈+∞>>>−>由得所以★☆☆练习1．已知函数[]()0,21f x x =−∈+（，x ，用定义证明()f x 在区间[]0,2上是增函数.由1202x x ≤≤＜ ，得()()21120110x x x x －＞，＋＋＞ ，所以()()120f x f x －＜ ，即()()12f x f x ＜ ， 故()f x 在区间[]0,2 上是增函数. 知识点要点总结：定义法证明函数单调性的步骤是比较固定的，需要注意的就是第3步变形过程中注意，变形的目的是化成一个能够判断正负的形式，结合12x x <能够判断正负。
第五节 函数y=Asin(ωx+φ )的图象与性质(二)(知识梳理)
第五节函数y=Asin(ωx+φϕ)的图象与性质(二)复习目标学法指导1.会求形如y=Asin(ωx+ϕ)的函数的单调区间、最值、周期.2.能运用三角函数知识分析和处理实际问题. 1.能以复合函数的观点分析与解决函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象与性质问题.2.能用换元法、整体思想将复合函数问题转换为正、余弦函数的图象与性质解决.3.能用建模思想处理与三角函数有关的实际问题.函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的性质1.奇偶性:ϕ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+ϕ)为奇函数; ϕ=kπ+π2 (k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+ϕ)为偶函数.2.周期性:y=Asin(ωx+ϕ)存在周期性,其最小正周期为T=2πω.3.单调性:根据y=sin t和t=ωx+ϕ的单调性来研究,由-π2+2kπ≤ωx+ϕ≤π2+2kπ,k∈Z得单调递增区间;由π2+2kπ≤ωx+ϕ≤3π2+2kπ,k∈Z得单调递减区间.4.对称性:利用y=sin x图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+ϕ=kπ(k∈Z),求得x.利用y=sin x图象的对称轴为x=kπ+π2(k∈Z)求解,令ωx+ϕ=kπ+π2(k∈Z)得其对称轴.1.性质理解(1)奇偶性:对函数y=Acos(ωx+ϕ),当ϕ=kπ(k∈Z)时,函数为偶函数;当ϕ=kπ+π2(k∈Z)时,函数为奇函数.(2)单调性:对于函数y=Asin(ωx+ϕ),当A<0或ω<0时,欲求函数的增区间,需将ωx+ϕ代入函数y=sin x的减区间,因为函数y=Asin(ωx+ϕ),y=Acos(ωx+ϕ),y=Atan(ωx+ϕ)的单调性的实质是复合函数的单调性.2.与奇偶性、对称性相关的结论(1)若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.(2)对于函数y=Asin(ωx+ϕ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(3)三角函数的对称性、奇偶性与周期性一般可以“知二求一”,具体规律结合其图象可以直观的理解,而且注意这些性质的迁移应用.1.将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数解析式为( D )(A)y=2sin(2x+π4)(B)y=2sin(2x+π3)(C)y=2sin(2x-π4)(D)y=2sin(2x-π3)解析:函数y=2sin(2x+π6)的周期为π,将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=2sin[2(x-π4)+π6]=2sin(2x-π3),故选D.2.已知函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,ϕ∈R),则“f(x)是奇函数”是“ϕ=π2”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若f(x)是奇函数,则f(0)=0,所以cos ϕ=0,所以ϕ=π2+kπ(k∈Z);若ϕ=π2,则f(x)=Acos(ωx+π2)=-Asin ωx,f(x)是奇函数.所以f(x)是奇函数是ϕ=π2的必要不充分条件.故选B.3.设ω>0,函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( C )(A)23(B)43(C)32(D)3解析:由题意得2πω·k=4π3(k∈N*),所以ω=32k(k∈N*),所以ωmin=32.4.函数y=-|sin(x+π4)|的单调递减区间是.解析:作出函数y=-|sin(x+π4)|的简图(如图),由图象得函数的单调递减区间为[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z).答案:[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z)5.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,则y=f(x+π6)取得最小值时x的取值集合为.解析:根据所给图象,周期T=4×(7π12-π3)=π,故π=2πω,所以ω=2,因此f(x)=sin(2x+ϕ).图象经过点(7π12,0),代入得2×7π12+ϕ=π+2kπ(k∈Z),再由|ϕ|<π2,得ϕ=-π6,所以f(x)=sin(2x-π6),所以f(x+π6)=sin(2x+π6),当2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)时,y=f(x+π6)取得最小值.答案:{x|x=k π-π3,k ∈Z}考点一 函数y=Asin(ωx+ϕ)的奇偶性、周期性与对称性 [例1] 已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+1(ω>0,A>0,0<ϕ<π2)的周期为π,f(π4)=3+1,且f(x)的最大值为3,则函数f(x)的对称中心为 ,对称轴方程为 . 解析:因为T=π,所以ω=2, 因为最大值为3,所以A=2. 所以f(x)=2sin(2x+ϕ)+1, 因为f(π4)=3+1,所以2sin(π2+ϕ)+1=3+1,所以cos ϕ=3.因为0<ϕ<π2,所以ϕ=π6. 所以f(x)=2sin(2x+π6)+1. 令2x+π6=k π,k ∈Z, 得x=π2k -π12(k ∈Z),所以对称中心为(π2k -π12,1)(k ∈Z). 由2x+π6=k π+π2,k ∈Z, 得x=π2k +π6(k ∈Z), 所以对称轴方程为x=π2k +π6(k ∈Z). 答案:(π2k -π12,1)(k ∈Z) x=π2k +π6(k ∈Z) (1)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义;②利用公式:y=Asin(ωx+ϕ)和y=Acos(ωx+ϕ)的最小正周期为2πω,y=tan(ωx+ϕ)的最小正周期为πω;③利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出图象,结合图象进行判断.(2)三角函数的对称性、奇偶性①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心;②若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为偶函数,则ϕ=π2+kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+ϕ)为奇函数,则ϕ=kπ(k∈Z);③若求f(x)=Asin(ωx+ϕ)的对称轴,只需令ωx+ϕ=π2+kπ(k∈Z),求x即可;若求f(x)=Asin(ωx+ϕ)的对称中心的横坐标,只需令ωx+ϕ=kπ(k∈Z),求x即可.1.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-1cos22x-+2=32cos 2x+52,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.2.(2019·湖州高三检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点(π3,3)对称,则m的值可能为( D )(A)π6 (B)π2 (C)7π6 (D)7π12解析:依题意得333A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得3,3A B ⎧⎪⎨⎪⎩ 2T=πω=2π3-π6=π2, 故ω=2,则3ϕ3又f(π63π3+ϕ333故π3+ϕ=π2+2k π(k ∈Z), 即ϕ=π6+2k π(k ∈Z). 因为|ϕ|<π2,故ϕ=π6, 所以3sin(2x+π63将函数f(x)的图象向左平移m 个单位长度后得到3sin(2x+π63的图象,又函数g(x)的图象关于点(π3,3)对称,即h(x)=3sin(2x+π6+2m)的图象关于点(π3,0)对称,故3sin(2π3+π6+2m)=0,即5π6+2m=k π(k ∈Z),故m=π2k -5π12(k ∈Z).令k=2,则m=7π12.故选D.考点二 函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性[例2] 已知函数f(x)=-2sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π),若(π5,5π8)是f(x)的一个单调递增区间,则ϕ的取值范围为( )(A)[-9π10,-3π10] (B)[4π10,9π10](C)[π10,π4] (D)(-π,π10]∪[π4,π) 解析:令2k π+π2≤2x+ϕ≤2k π+3π2,k ∈Z, 所以k π+π4-2ϕ≤x ≤k π+3π4-2ϕ,k ∈Z, 又因为(π5,5π8)是f(x)的一个单调递增区间,|ϕ|<π, 所以5π8≤k π+3π4-2ϕ,k ∈Z,解得ϕ≤π4, 同理由π5≥k π+π4-2ϕ,k ∈Z,可得ϕ≥π10, 所以π10≤ϕ≤π4.故选C. (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+ϕ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是 .解析:令π2+2k π≤ωx+π4≤3π2+2k π,k ∈Z,即π4ω+2πk ω≤x ≤5π4ω+2πk ω,k ∈Z, 则5π2ππ,4π2ππ,42k k ωωωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩得12+4k ≤ω≤54+2k,k ∈Z, 因为k>0时上式无解,所以k ≤0, 又因为ω>0,所以k=0,所以12≤ω≤54. 答案:[12,54] 考点三 由函数y=Asin(ωx+ϕ)的性质求解析式[例3] 已知函数f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f(π4)=0,其中a ∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值;(2)若f(4α)=-25,α∈(π2,π),求sin(α+π3)的值. 解:(1)因为f(x)=(a+2cos 2x)cos(2x+θ)是奇函数, 而y 1=a+2cos 2x 为偶函数, 所以y 2=cos(2x+θ)为奇函数, 又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f(x)=-sin 2x ·(a+2cos 2x), 由f(π4)=0得-(a+1)=0,解得a=-1.解:(2)由(1)得f(x)=-12sin 4x,因为f(4α)=-12sin α=-25, 即sin α=45,又α∈(π2,π),从而cos α=-35, 所以sin(α+π3)=sin αcos π3+cos αsin π3=433-. 依据三角函数性质求y=Asin(ωx+ϕ)+B,一是用性质求参数,二是以点的代入求参数,求解过程中注意参数的范围限制.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,-π2≤ϕ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2且过点(2,-12),求函数f(x)的解析式.解:据已知两个相邻的最高点和最低点的距离为222()(11)2T++2解得T=4,故ω=2πT =π2,即f(x)=sin(π2x+ϕ). 又函数图象过点(2,-12), 故f(2)=sin(π2×2+ϕ)=-sin ϕ=-12, 即sin ϕ=12. 又-π2≤ϕ≤π2,解得ϕ=π6,故f(x)=sin(π2x +π6).考点四 易错辨析[例4] 设函数f(x)=sin(π4x -π6)-2cos 2π8x +1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x ∈[0,43]时y=g(x)的最大值.解:(1)f(x)=sin π4xcos π6-cos π4xsin π6-cos π4xsin π4x-32cos π4xπ4x-π3). 故f(x)的最小正周期为T=2ππ4=8.解:(2)法一 在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于直线x=1的对称点为(2-x,g(x)).由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而π4(2-x)-π3]π2-π4x-π3]π4x+π3). 当0≤x ≤43时,π3≤π4x+π3≤2π3, 因此y=g(x)在区间[0,43]π3.法二 因为区间[0,43]关于x=1的对称区间为[23,2],且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在[0,43]上的最大值就是y=f(x)在[23,2]上的最大值, 由(1)知π4x-π3),当23≤x≤2时,-π6≤π4x-π3≤π6,因此y=g(x)在[0,43]上的最大值为3sin π6=3.易错分析解答该类问题的易错点(1)对三角公式不熟导致三角恒等变换错误.(2)不能正确将x的范围转化为ωx+ 的范围致误.已知函数f(x)=4tan xsin(π2-x)cos(x-π33(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[-π4,π4]上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为(x|x≠π2+kπ,k∈Z).f(x)=4tan xcos xcos(x-π33=4sin xcos(x-π33=4sin x(1233323333=2sin(2x-π3).所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.解:(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z,由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=[-π4,π4],B={x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z},易知A∩B=[-π12,π4].所以当x∈[-π4,π4]时,f(x)在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.三角函数图象与性质的综合问题[例题] 设3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(π6)的值.解3π-x)sin x-(sin x-cos x)232x-(1-2sin xcos x)333=2sin(2x-π33-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)(或(kπ-π12,kπ+5π12)(k∈Z)).解:(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-π33把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-π3)+3-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sin x+3-1的图象,即g(x)=2sin x+3-1,所以g(π6)=2sin π6+3-1=3.规范要求:(1)三角变换与性质问题的解决依据一般是针对y=Asin(ωx+ϕ)+b的形式,所以化简整理是关键的一步.(2)函数化为asin ωx+bcos ωx是求函数解析式的难点,可借助诱导公式辅助分析确定.(3)求三角函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的性质一般利用y=sin x 的性质解决,此时应用复合函数的单调性方法处理.温馨提示:解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步:将f(x)化为asin x+bcos x的形式,构造22a b+ϕ)(其中ϕ为辅助角).第二步:利用22a b+ϕ)研究三角函数的性质.第三步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.[规范训练1] 已知点(5π12,0)是函数f(x)=(asin x+cos x)cos x-12图象的一个对称中心.(1)求实数a的值;(2)求f(x)在闭区间[-π6,π3]上的最大值和最小值及取到最值时对应的x 值.解:(1)由题意得f(x)=(asin x+cos x)cos x-12=2a sin 2x+12cos 2x.因为f(x)的图象关于点(5π12,0)中心对称, 所以f(5π12)=2a sin 5π6+12cos 5π6=0,解得.解:(2)由(1)得sin 2x+12cos 2x=sin(2x+π6), 设t=2x+π6,x ∈[-π6,π3], 则t ∈[-π6,5π6], 所以f(x)min =-12,此时x=-π6. f(x)max =1,此时x=π6. [规范训练2] 设函数f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0. (1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-π4,3π4]上的最小值. 解:(1)因为f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),所以ωx-12cos ωx-cos ωxsin ωx-32cos ω(12sin ωcos ωx)ωx-π3).由题设知f(π6)=0, 所以π6 -π3=k π,k ∈Z,故ω=6k+2,k ∈Z. 又0<ω<3,所以ω=2. 解:(2)由(1)得f(x)=3sin(2x-π3),所以g(x)=3sin(x+π4-π3)=3sin(x-π12). 因为x ∈[-π4,3π4],所以x-π12∈[-π3,2π3],当x-π12=-π3, 即x=-π4时,g(x)取得最小值-32.类型一 函数y=Asin(ωx+ϕ)的奇偶性、周期性与对称性 1.已知曲线3关于点(x 0,0)成中心对称,若x 0∈[0,π2],则x 0等于( C ) (A)π12 (B)π6 (C)π3(D)5π12 解析:由题意可知f(x)=2sin(2x+π3), 其对称中心为(x 0,0), 故2x 0+π3=k π(k ∈Z), 所以x 0=-π6+π2k (k ∈Z), 又x 0∈[0,π2], 所以k=1,x 0=π3,故选C. 2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=2tan 1tan x x+的最小正周期为( C ) (A)π4 (B)π2(C)π (D)2π解析:由已知得f(x)= 2tan 1tan x x +=2sin cos sin 1cos xx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=222sin cos cos sin cos x x xxα+=sin x ·cos x=12sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.故选C. 3.已知函数sin ωx+cos ωx(ω>0),x ∈R.在曲线 y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为 . 解析sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+π6)(ω>0).由2sin(ωx+π6)=1,得sin(ωx+π6)=12, 所以ωx+π6=2k π+π6或ωx+π6=2k π+5π6(k ∈Z). 令k=0,得ωx 1+π6=π6,ωx 2+π6=5π6, 所以x 1=0,x 2=2π3ω. 由|x 1-x 2|=π3,得2π3ω=π3, 所以ω=2.故f(x)的最小正周期T=2π2=π. 答案:π类型二 函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性4.(2018·天津卷)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( A ) (A)在区间[3π4,5π4]上单调递增 (B)在区间[3π4,π]上单调递减 (C)在区间[5π4,3π2]上单调递增 (D)在区间[3π2,2π]上单调递减解析:函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度后的图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin 2x,则函数y=sin 2x 的一个单调增区间为[3π4,5π4],一个单调减区间为[5π4,7π4].由此可判断选项A正确.故选A.5.函数y=sin(ωx+ϕ)(ω>0且|ϕ|<π2)在区间[π6,2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( A ) (A)12(B)2(C)3(D)62+解析:函数y=sin(ωx+ϕ)的最大值为1,最小值为-1,由该函数在区间[π6,2π3]上单调递减,且函数值从1减小到-1,可知2π3-π6=π2=2T ,T=π,ω=2, 则y=sin(2x+ϕ).又由函数y=sin(ωx+ϕ)的图象过点(π6,1), 代入可得ϕ=π6(|ϕ|<π2), 因此函数解析式为y=sin(2x+π6), 令x=0,可得y=12.故选A. 类型三 由函数性质求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式6.函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B(π3,-1),则 f(x)= .解析:由已知得2T =π3,所以T=2π3, 又T=π2ω,所以ω=3.因为f(0)=1,所以sin ϕ=12,又因为0<ϕ<π2,所以ϕ=π6,所以f(x)=2sin(3x+π6)(经检验满足题意).答案:2sin(3x+π6)7.若向量sin ωx,0),n=(cos ωx,-sin ωx)(ω>0),在函数f(x)=m ·(m+n)+t 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为π4,且当x ∈[0,π3]时,f(x)的最大值为1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间. 解:(1)由题意得f(x)=m ·(m+n)+t =m 2+m ·n+t =3sin 2ωsin ωx ·cos ωx+t=32-32cos 2ωsin 2ωx+tωx-π3)+32+t. 因为对称中心到对称轴的最小距离为π4, 所以f(x)的最小正周期为T=π,所以2π2ω=π,所以ω=1, 所以sin(2x-π3)+32+t. 当x ∈[0,π3]时,2x-π3∈[-π3,π3], 所以2x-π3=π3,即x=π3时,f(x)取得最大值3+t. 因为f(x)max =1,所以3+t=1, 所以t=-2,所以sin(2x-π3)-12.解:(2)令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+512π,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+512π](k∈Z).。
函数的单调性与最值
证明：必要性。设函数 f(x)在区间 [a，b]上单调增加，在区间 （a，b）内任取两点x, x+x，有
（1）当x 0时，则 x < x+x，从而
于是
f(x+x) - f(x) 0；
f(x+x) f(x)，
（2）当x < 0时，则 x x+x，从而
于是
f(x+x) - f(x) 0；
有了这些结果以后，我们就可以利用导数的性质来判断函数的 性质，这可以说是导数的一个重要应用。它通常包含三个典型 的问题：
（1）、求函数的单调区间； （2）、证明不等式，通常是两项不等式； （3）、证明方程只有一个实根。
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
则对于开区间（a，b）内的任意两点 x1 ， x2 ，且设 x1 < x2 ， 由拉格朗日中值定理可知，有
f ( x2 ) f ( x1) f ' ( )( x2 x1 )
由于 f () 0，因此， f( x2) f( x1)。即 f(x)为单调增加。 对于单调减少的情况类似可以证明。
f(x+x) f(x)，
综合（1）、（2）即知，对任意的 x，恒有
从而有
f (x x) f (x) 0. x
lim f (x x) f (x) f ' (x) 0.
x0
x
充分性。设函数 f(x)在 开区间（a，b）内可导，且 f (x) 0，
（2）当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) f(x2)（或 f(x1) f(x2)）,则称函 数 f(x)在开区间（a，b）内单调减（或严格单调减）；
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标知识与技能：1. 理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性；2. 掌握函数的最值的概念，能够求出函数的最值；3. 学会运用函数的单调性和最值解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察函数图象，探究函数的单调性和最值；2. 利用数学软件或图形计算器，验证函数的单调性和最值的计算结果。
情感态度价值观：1. 培养学生的数学思维能力，提高学生对函数学科的兴趣；2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容第一课时：函数的单调性1. 引入单调性的概念，讲解单调性的定义和判断方法；2. 通过举例，让学生理解单调性的性质和应用。
第二课时：函数的最值1. 引入最值的概念，讲解最值的定义和求法；2. 通过举例，让学生理解最值的性质和应用。
第三课时：函数的单调性和最值的综合应用1. 通过实例，让学生学会运用单调性和最值解决实际问题；三、教学重点与难点重点：1. 函数的单调性的判断和应用；2. 函数的最值的求法和应用。
难点：1. 函数的单调性的证明；2. 函数的最值的计算方法。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数的单调性和最值；2. 利用数学软件或图形计算器，进行函数图象的演示和验证；3. 通过实例，让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂问答：通过提问，了解学生对函数单调性和最值的理解程度；2. 课后作业：布置有关函数单调性和最值的练习题，检验学生的掌握情况；3. 实践应用：让学生运用函数的单调性和最值解决实际问题，评价学生的应用能力。
六、教学准备1. 教学PPT：制作包含函数单调性和最值概念、判断方法和求法的内容；2. 教学素材：收集一些有关函数单调性和最值的实例；3. 数学软件或图形计算器：用于演示和验证函数图象及单调性和最值的计算。
七、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引入本节课的学习主题——函数的单调性与最值；2. 讲解与演示：通过PPT和教学素材，讲解函数的单调性和最值的概念、判断方法和求法；3. 实践操作：让学生利用数学软件或图形计算器，进行函数图象的演示和验证；4. 例题解析：分析实例，引导学生学会运用函数的单调性和最值解决实际问题；5. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解题方法；八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括：1. 学生对函数单调性和最值概念的理解程度；2. 学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力；3. 教学方法的适用性和改进措施；4. 学生课堂参与度和反馈意见。
17-18版 第2章 第2节 课时分层训练5函数的单调性与最值
课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－x B.y ＝x C ．y ＝log 2xD.y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x 与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．]2．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )【导学号：01772028】A ．增函数 B.减函数 C ．先增后减D.先减后增B [由题意知，a ＜0，b ＜0，则－b2a ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减， 又y ＝ln t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，254上递增，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．(2017·长春质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1] B.(－∞，－1] C ．[－1，＋∞)D.[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.]5．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )【导学号：01772029】A ．[－1,0) B.[0,1] C ．[－1,1]D.[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]二、填空题6．(2017·江苏常州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵0＜－x 2＋22≤22， ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值， f (x )max ＝f (0)＝log 222＝32， ∴f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.]7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ＜n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，则实数x 的取值范围是________．＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.]8．(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a的取值范围是________．【导学号：01772030】[3，＋∞) [当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1.由题意知a －1≥2，∴a ≥3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．[解] 设0≤x 1＜x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).3分由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， 6分 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数. 10分 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－23. 12分10．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．[解](1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2)(x1＋2)(x2＋2). 2分∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增. 5分(2)f(x)＝xx－a＝x－a＋ax－a＝1＋ax－a，当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，8分又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·湖北枣阳第一中学3月模拟)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x －3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为()【导学号：01772031】A．[0,3] B.(1,3)C．[2－2，2＋2] D.(2－2，2＋2)D[由题可知f(x)＝e x－1＞－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3＞－1，即b 2－4b ＋2＜0， 解得2－2＜b ＜2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)，故选D.]3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 3分(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，5分即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数. 7分(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，9分而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2. 12分。
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。
一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。
另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。
因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。
函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。
因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。
二、目标和目标解析1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。
理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。
理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。
3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。
4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。
函数的单调性与周期性
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4． y＝ f[g(x)]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x) 的单调性相同，则其复合函数 f[g(x)]为增函数；若 f(x)、 g(x)的单调性相反，则其复合函数 f[g(x)]为减函数． 5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相 同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
1 答案： (－∞，0)∪( ， 2] 2
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(理)若奇函数 f(x)在区间 [3,7]上是增函数且最大值为 5，则 f(x)在区间[－7，－ 3]上是( A．增函数，且有最小值－ 5 B．增函数，且有最大值－ 5 C．减函数，且有最小值－ 5 D．减函数，且有最大值－ 5 )
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2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导 数证明． (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取 x1、 x2∈D，且 x1<x2； ②作差 f(x1)－ f(x2)，并适当变形 (“分解因式”、配 方成同号项的和等 )； ③依据差式的符号确定其增减性．
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2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域 3．注意 f(x)在区间 A 上单调增与 f(x)的单调增区间 为 A 的区别．
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一、利用复合函数的单调性解题 对于复合函数 y＝f[g(x)]，若 t＝ g(x)在区间(a， b)上 是单调增(减 )函数， 且 y＝f(t)在区间 (g(a)， g(b))或者 (g(b)， g(a))上是单调函数，那么函数 y＝ f[g(x)]在区间 (a， b)上 的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函 数的定义域 .
《函数的单调性》重难点解读
《函数的单调性》重难点解读正如前面的背景中对函数所做的分析：函数是高中数学的核心内容，是整个高中数学教学中的一条最重要的主线，它贯穿于整个初等数学体系之中……它把各种数学知识有机地结合在一起，不但能形成各种层次且丰富多彩的问题和思想方法，还能解决各种或抽象或形象或理论或实际的问题，体现着数学的博大精深，诠释着数学的应用价值。
在高中，引领学生学习函数，起到了承上启下的重要作用：既是对小学数学中函数的潜意识的开发，也是对初中数学中的函数概念的一般化与深化，而且对到大学进一步学习更加丰富的函数的起到了筑基铺路的既重要又必要的作用。
函数的单调性是函数的首要性质，下面是对函数的单调性的几个方面的分析：一、知识点：作为数学的重要知识点的函数的单调性，中学生对它的各方面认识大致分为三个相容的过程或阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有了一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面较为理性地理解单调性的概念；第三阶段则是在高二或高三以导数为工具研究函数的单调性.在高一对单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又是为高二或高三的学习奠定基础．二、知识线：在函数这条主要且重要的知识线上，函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，它主要是用数学符号语言来刻画的.而在函数这条主线上的函数的奇偶性、周期性等，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识和学习，都是运用了数形结合的思想，经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都是从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质以及其它数学线上的数学知识和性质提供了思想方法依据，同时也为后面学习指数函数、对数函数等函数及数列这种特殊的函数打下基础。
三、知识面：在数学这片广阔的知识面上.函数的单调性是学习不等式、数列、极限、导数、解析几何等其它数学知识的重要基础，是解决各类数学问题的常用工具，也是培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。
函 数 的 单 调 性
能力目标
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
·教学思路
研探新知
2．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（ increasing function）. 3.从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类 比增函数的定义，你能概括出减函数定义吗? 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部 性质； 有f(x必1)须<是f(x对2)于．区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总 4．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函 数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单 调区间：
2、书面作业：课本P45习题1、3题（A组）第1-5题
结束语
谢谢
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时 经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函 数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的 应用。
·教学目标
知识目标
（1）建立增（减）函数的概念。通过观察一些函数图象的特征，形成增 （减）函数的直观认识. 再通过具函数值的大小比较，认识函数值随自变量 的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义 证明函数单调性的步骤。
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第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)增函数、减函数自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( ) (3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 3．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．4．若函数y ＝x 2－2ax ＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选C 函数y ＝x 2－2ax ＋1图象的对称轴方程为x ＝a ，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a ≥2.5．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7]6．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________． 解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一 确定函数的单调性(区间) (重点保分型考点——师生共研)1．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 2．求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．[解题师说]1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题) 2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数； (2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同． 3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域(最值) (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)． 答案：[－1,1)2．若函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：152[方法点拨](1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x 2≥0，e x >0等)求解即可．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，那么f (x )在区间端点处取最值；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，那么y max ＝f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，那么y min ＝f (b )，从而得出值域．方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) [方法点拨]先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值． 方法(三) 换元法求函数的值域(最值) 5．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． 解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[]0，π， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2. 答案：[2]6．已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________． 解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12. 令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12， 令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12. ∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78 [方法点拨]对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值) 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________． 解析：y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3， 所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}． 答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为________．解析：由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3 ∴所求函数的最小值为85答案：85[方法点拨]通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．[怎样快解·准解]求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0，e x >0等)确定函数的值域或最值．(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(3)形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(4)形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．考点三 函数单调性的应用 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 比较函数值的大小1．(2018·哈尔滨联考)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c .[题型技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度(二) 解函数不等式2．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，知f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫－12<f (log 19x )<f ()0， ∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3[题型技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．角度(三) 利用单调性求参数的取值范围(或值)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减， 故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[题型技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题“根”探求]对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：1．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)2．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x (2x －a )，x >a 2，－x (2x －a )，x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.答案：8(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0)B.⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0， ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0， ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象如图所示． 由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)． 6．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：28．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②因为t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④因为u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③B 级——中档题目练通抓牢1．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C.[]－3，－22D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．2．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．3．(2018·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 对任意两个不相等的正数x 1，x 2，不妨设x 1>x 2， ∵x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0， ∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1x 2＝f (x 1)x 1－f (x 2)x 2>0，即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2， ∴f (x )x是(0，＋∞)上的增函数． ∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log 25>2， ∴0.32<30.2<log 25， ∴b <a <c .4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1) 5．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4. 答案：(－∞，－4)6．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.7．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． C 级——重难题目自主选做1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0， 3 ] C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)．4.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 解析：选D 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a ＞x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a ＞－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a ＞134，故选D. 5.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x 3－2，f (x )＝x －2在定义域内都为增函数， 且f (1)＜f (2)，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6.(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：由f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1令t ＝x －1，则t ∈[－2,2]，则y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.答案：47.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x >0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－k ≤k ，1－k >0，解得12≤k <1.答案：⎣⎡⎭⎫12，1 8．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.答案：(－∞，－4)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． B 级——拔高题目稳做准做1.函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象知f (x )在(－∞，0]和⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增．又因为当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g (x )＝f (log a x )单调递减，则需log a x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，即0≤log a x ≤12， 解得x ∈[a ，1]．2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，则其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≤2，log 12(x －1)＋1，x ＞2，若f (a 2－3a )＞f (2a －6)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f 1(x )＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上为减函数，f 2(x )＝log 12(x －1)＋1在(2，＋∞)上为减函数． 又f 1(2)＝f 2(2)＝1，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以f (a 2－3a )＞f (2a －6)，则a 2－3a ＜2a －6⇒a 2－5a ＋6＜0，解得2＜a ＜3.答案：(2,3)5.已知函数f (x )＝2x －a x 的定义域为(0,1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取0<x 2<x 1≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.∵0<x 2<x 1≤1，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，当x ＝1时取得最大值1，∴f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－a x ，当 －a 2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当 －a 2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤ －a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝ －a 2时取得最小值2－2a . 6.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。