2020届高三三诊模拟考试数学理科试卷

高三三诊模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =IA ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<2．z C ∈，若||12z z i -=+，则z =A ．322i - B ．322i + C ．22i + D ．22i -3．若sin 78m =o ，则sin 6=o A ．12m + B ．12m- C ．1m + D ．1m- 4．函数()21x f x x-=的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 912216,4,2a a a =+=则数列1{}nS 的前10项和为 A ．1112B ．1011 C ．910D ．896．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为 A ．12πB ．6π C ．3π D ．4π 7．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为111,,236，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为 A ．536B ．56C ．512D ．128．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为A ．54B ．5CD ．29．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6C π=，12a b +=，则ABC V 面积的最大值为 A ．8B ．9C ．16D ．2110．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为A ．B ．C ．D ．11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为 A ．322- B ．233C ．23D ．2212．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞ 第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．=+o o 75cos 75sin ．14．设,a b v v 是两个向量，则“a b a b +>-v vv v ”是“0a b ⋅>v v ”的__________条件.15．圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点,A B 分别以,A B 为切点的22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为__________．16．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是______．三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(12分)已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ， 34b =， 37S =，数列{}n a 满足()*11n n a a n n N +-=+∈，且11a b =．（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.（I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30°，求二面角C PB D --的大小.19．(12分)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（I ）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（II ）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （III ）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =，204.7514.31=；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.20．(12分)中心在原点的椭圆E 的一个焦点与抛物线2:4C x y =的焦点关于直线y x =对称，且椭圆E 与坐标轴的一个交点坐标为()2,0. （I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过点()0,2-的直线l （直线的斜率k 存在且不为0）交E 于A ，B 两点，交x 轴于点P 点A 关于x 轴的对称点为D ，直线BD 交x 轴于点Q .试探究||||OP OQ ⋅是否为定值？请说明理由.21．(12分)已知函数2()2ln f x x ax x =-+． （I ）当5a =时，求()f x 的单调区间； （II ）若()f x 有两个极值点12,x x ,且12113x x e<<<，求a 取值范围．（其中e 为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．(I)设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ； (II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知：0x >，0y >，且6x y +=（I ）若|5||4|6x y -+-≤求x 的取值范围；（II ）|5||4||2|x y m -+-≥-恒成立，求m 的取值范围.理科数学参考答案1．C 2．B3．B4．D5．B6．D7．C8．C9．B10．C11．A12．D13．2614．充分必要15．191622=+y x .16．),2(+∞17．（Ⅰ）根据题意，设{}n b 的公比为q ，所以2121114,{7,b q b b q b q =++=解得11,{2.b q ==又11n n a a n +-=+，所以()()()()11232211n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+-+()()2112122n n n nn n ++=+++⋯++==． （Ⅱ）因为2121121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以1211111111111221212231111n n a a a n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋯+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18．（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ， 由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =u u u v，(,)1,1PB a =-u u u r ，()0,1,1PC =-u u u r ，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =v，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩u u u v vu u u v v ，得00ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =r ，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30o ，得21cos ,212DB n DB n DB n a ===+⨯u u u r r g u u u r r u u ur r ，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-u r，由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯r u rr u r g r u r ，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.19．（1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95概率0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=.20．（1）因为椭圆E 的一个焦点与抛物线2:4C x y =的焦点关于直线y x =对称，所以椭圆E 的右焦点为1,0（），所以1c =.又椭圆E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0（），所以2a =，又2223b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）设直线l 的方程为2y kx =-，0k ≠，则点2,0P k ⎛⎫⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y 则点()11,D x y -，联立直线l 与椭圆E 的方程有221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 得()22341640kxkx +-+=，所以有()248410k ∆=->，即214k >且1221221634434k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即直线BD 的方程为112121y y x x y y x x +-=+- 令\0y =，得点Q 的横坐标为()()121212*********Q kx x x x x y x y x y y k x x -++==++-，代入得：()228322421216434Q k k k x k k k --===--+， 所以2||||24P Q OP OQ x x k k⋅=⋅=⋅=，所以||||OP OQ ⋅为定值4. 21.（1）()f x 的定义域为()0+∞，，()()()2212225225x x x x f x x x x x---+='=-+=， ()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2∵()22222x ax f x x a x x='-+=-+，()f x 有两个极值点∴令()222g x x ax =-+，则()g x 的零点为12,x x ，且12113x x e<<<. ∴216a ∆=-＞０, ∴4a <- 或4a >∵1202ax x +=>，121=x x ∴4a >.根据根的分布，则1()03g >且g(1e ) <0 即 1122093a ⨯-+>, 21220ae e⋅-+<. ∴a 的取值范围是22023e a e +<< 22．（1）l的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得交点为()11,0,,22A B ⎛- ⎝⎭, 所以AB1=； （2）曲线2C：1cos 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）．设所求的点为1cos ,22P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则P 到直线l的距离d ==)4πθ+.当cos()14pq +=-时，d取得最大值24+． 23．（1）把6y x =-代入原不等式得|5||2|6x x -+-≤，此不等式等价于2526x x x <⎧⎨-+-≤⎩或25526x x x ≤≤⎧⎨-+-≤⎩或5526x x x >⎧⎨-+-≤⎩分别解得：122x ≤<或25x ≤≤货1352x <≤，故原不等式解集为113,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）|5||4||9|3x y x y -+-≥+-=，当且仅当05x <≤，04y <≤时取等号， ∴|2|3m -≤，故15m -≤≤.。