2016-2017学年高一下期末数学试题(A)含答案解析
山东省济南市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2016—2017学年度第二学期期末考试高一数学试题第I卷（选择题，每题5分，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有.. 一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1. -HI.： -："：1的值是（）A. B. C. D.2 2【答案】A【解析】由题意可得：.ii、二、.iii —T-二'.in ri = ■. -i ='.本题选择A选项.2. 已知I.：：. li ■:.H.I :■：:'，且丄-「一L；，则".的值分别为（）A. - 7,—5B. 7 , - 5C. —7, 5D. 7 , 5【答案】C【解析】试题分析:沁:iQ,，」「■；.■＜：, ，解得：—一‘，故选C.考点：向量相等3. 在区间上随机取一个数，「:的值介于0到之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在区间上随机取一个数x,即x€时，要使:左；的值介于0到之间，」I 7T TTX TI 卜TT TTX TI需使或:'■■■;2 2或：冬詔,区间长度为，TT¥由几何概型知：•「•一的值介于0到之间的概率为.本题选择A选项.4. 已知圆._ + ||r.[:上任意一点M关于直线• I . ■的对称点N也再圆上，则的值为（）A. |B. 1C. :'D. 2【答案】D【解析】T圆x2+y2- 2x+my=0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，•••直线x+y=0经过圆心I ,故有[- ■，解得m=2,本题选择D选项•5. 下列函数中，周期为，且在 |上单调递增的奇函数是（）A. -；|||；：;- - :B. _ I :；C. . - ；D. . -din --；【答案】C【解析】化简所给函数的解析式：A. --…凡，该函数周期为，函数为偶函数，不合题意；B. ■. |~ ■-，该函数周期为，在|上单调递减，不合题意；C. . - ' :: - ..ii ■■-,该函数周期为，在|上单调递增，函数是奇函数符合题意；D. ■■■ - siix：：-:'一：汎汽喪，该函数周期为.':i，不合题意；本题选择C选项•6. 已知7血中，i"，t;分别是角-F； <的对边，讥山，则=（）A. L 辽B. I:.C. J.35 或£D.【答案】B【解析】由题意结合正弦定理可得，汕" ,a<b,则A<B=60°A=45°.本题选择B选项.点睛：1 •在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解.2 •正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化•如a2= b2+ c2—2bccos A可以转化为sin2 A = sin2 B+ sin2 C —2sin Bsin CCos A 利用这些变形可进行等式的化简与证明.7. 将函数• -，「：.的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为（）•A. 二I wB. . - ' ■ iii ■C. . - I .：■!. -D. .-11 -【答案】B【解析】将函数• -的图象向右平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为：=|'二in'-,再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的解析式为.- I本题选择B选项.点睛：由y= sin x的图象，利用图象变换作函数y= Asin（ w x +© ）（ A> 0, 3> 0）（ x€ R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别•先平移变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是| 0 |个单位；而先周期变换（伸缩变换）再平移变换，平移的量是A个单位.8. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）•若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）甲组S62 516 1 ? yX 4?gA. 3 , 5B. 5 , 5C. 3 , 7D. 5 , 7【答案】C【解析】由已知中甲组数据的中位数为"h,故乙数据的中位数为即一二，，可得乙数据的平均数为'-,即甲数据的平均数为■-,故’「r-... ■=■■,故选.【方法点睛】本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于难题•要解答本题首先要弄清中位数、平均数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据； (3)平均数既是样本数据的算数平均数「 .9. 在；中，点在上，且汕二j| ，点Q 是AC 的中点，若：-.二：丄工， 贝g"等于()•A. ( — 6,21)B. (6 , - 21)C. (2, - 7) D. (— 2,7)【答案】A【解析】由题意可得：I I 7「I 、： ,则：N 二,结合题意可得：：」.,「： I-.,.:.本题选择A 选项.10. 从某高中随机选取 5名高一男生，其身高和体重的数据如下表所示: 身高x(cm)160165170175180身高y(kq)63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程 ，「:一....据此模型预报身高为172cm 的高一男生的体重为 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55 D. 71.05 【答案】B【解析】由表中数据可得样本中心点一定在回归直线方程上故'.■： 解得 W 1故「二门in当 x=172 时，：I! ：：•「丨：工J 门|丄、, 本题选择B 选项.点睛： (1)正确理解计算；「•的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键. ⑵ 回归直线方程 li-. - 1必过样本点中心■■- •63^ 55 + 70 + 72 + 7-15-〔-心,(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测. 11.函数匸-:1、|门 +- ■. I--: 的最大值为( )A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】整理函数的解析式:t(x) = |sin(x + 鲁)+ cosjx-^ = |sin(x + ^ + sin(x + ^ 6 . i lit 6 二評叫X+詁弓 本题选择A 选项•12. 已知是两个单位向量，且■■ I. ..I i| . ii.若点C 在一，1 •内，且—二二，则------------ »------------ K-------------- 1- mOC 二 mOA + nOBfrn.in 曲)，则R 二()A. B. 3 C. D. :;因为I ：-是两个单位向量，且■ '■■■ - ■: .'I ■.所以'' :'K ,故可建立直角坐标系如图所示。
2016-2017学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
江苏省苏州市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程．1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=．2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是．7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为．12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为．14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）] （其中a＞0）的定义域为B．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x（km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n 项和为S n且S n=1﹣b n．（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令c n=，①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【参考答案】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．∁∪A={x|0＜x＜3}【解析】全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A={x|0＜x＜3}，故答案为：{x|0＜x＜3}．2．12【解析】∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：22×3=12．故答案为：12．3．300【解析】高二年级抽取的人数为60﹣30﹣15=15，则该校高二年级学生人数为1200×=300，故答案为：300．4．【解析】集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，∴基本事件总数N=4×3=12，点P在直线x+y=5上包含的基本事件有：（2，3），（3，2），（4，1），共有M=3个，∴点P在直线x+y=5上的概率为：p==．故答案为：．5．【解析】∵cosθ=﹣，θ∈（，π），∴sinθ==，则cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=•（﹣）+•=，故答案为：．6．5【解析】模拟程序的运行，可得i=0，S=0满足条件S＜10，执行循环体，S=0，i=1满足条件S＜10，执行循环体，S=1，i=2满足条件S＜10，执行循环体，S=3，i=3满足条件S＜10，执行循环体，S=6，i=4满足条件S＜10，执行循环体，S=10，i=5不满足条件S＜10，退出循环，输出i的值为5．故答案为：5．7．【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，∴3a2=﹣3，3a5=6，∴a2=﹣1，a5=2．∴3d=a5﹣a2=2﹣（﹣1）=3，解得d=1，∴a1=a2﹣d=﹣2．则S n=﹣2n+×1=．故答案为：．8．（﹣2，0）∪（2，+∞）【解析】根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（x）=﹣（x2+x）=﹣x2﹣x，即当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，分2种情况讨论：①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x2﹣x＞x，即x2﹣2x＞0，解可得x＜0或x＞2，则此时不等式的解集为（2，+∞），②当x＜0时，不等式f（x）＞x为﹣x2﹣x＞x，即x2+2x＜0，解可得﹣2＜x＜0，则此时不等式的解集为（﹣2，0），综合可得：不等式f（x）＞x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．9．【解析】P（2，4）．由几何概型的概率公式可知==，∴曲边三角形OAP面积约为S正方形OAPB==．故答案为：．10．或【解析】△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sin A=3，所以sin A=，所以A=60°或120°；A=60°时，cos A=，BC===；A=120°时，cos A=﹣，BC==；综上，BC的长是或．故答案为：或．11．﹣3【解析】设z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得A（﹣1，1），代入目标函数z=2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3，∴目标函数z=2x﹣y的最小值是﹣3．故答案为：﹣3．12．【解析】x，y是正实数，则+=+﹣≥2﹣=．当且仅当x=y时，取得最小值．故答案为：．13．1【解析】以O为原点，以AB为x轴建立坐标系，如图所示：则A（﹣2，0），M（﹣1，），B（2，0），C（0，），∴=（1，），=（﹣2，），∴=﹣2+3=1．故答案为：1．14．7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*【解析】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，可得a1+d+b1q=4，a1+2d+b1q2=5，a1+3d+b1q3=2，解得a1=6，b1=1，d=q=﹣1，可得a n+b n=6﹣（n﹣1）+（﹣1）n﹣1=7﹣n+（﹣1）n﹣1，故答案为：7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，可得A=（1，8），函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B，当a=4时，可得B={x|﹣（x+4）（x﹣4﹣2）＞0}={x|﹣4＜x＜6}=（﹣4，6），即有A∩B=（1，6）；（2）A⊆B，且B={x|﹣（x+a）（x﹣a﹣2）＞0}={x|﹣a＜x＜a+2}，可得﹣a≤1，且8≤a+2，且a＞0，即有a≥6，则正实数a的取值范围为[6，+∞）．16．解：∵=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），∴f（x）=•=（2cos x，sin x）•（3cos x，﹣2cos x）==6×==．（1）函数f（x）的最小正周期为T=；（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣]，则sin（2x﹣）∈[﹣]．∴f（x）的值域为[，6]．17．解：（1）=（1，﹣3），=（3，2）．==．由平行四边形的性质可得：=，可得=+=（6，3）．∴=（7，1），可得：==5．（2）C（a，b），且，∴=+（3，1）=（a+3，b+1）．∴=（a+4，b﹣1）．=（a﹣2，b﹣4）．∴=（a﹣2）（a+4）+（b﹣4）（b﹣1）=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4=（a+1）2+﹣≥，当且仅当a=﹣1，b=时取等号．18．解：（1）∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，∴S△AMP==8﹣x，S△DMN==4，S△NCQ==8﹣2y，S△BPQ=，∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），∴8﹣x+4+8﹣2y+xy=4×8﹣15=17，∴y==．令0＜y＜4，即0＜＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．（2）由题意可知0＜x＜3，∴x+y=x+=x+2﹣，令f（x）=x+2﹣，则f′（x）=1﹣，令f′（x）=0得x=4﹣，∴当0＜x时．f′（x）＞0，当4﹣＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，4﹣）上单调递增，在（4﹣，3）上单调递减，∴当x=4﹣时，f（x）取得最大值6﹣2．∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6﹣2）=40000（3﹣）km．19．解：（1）∵（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，∴[（n+1）a n+1﹣na n]（a n+1+a n）=0，又a n+1+a n＞0．∴（n+1）a n+1﹣na n=0，解得=．∴a n=••…••a1=••…•×1=．∴a n=．∵数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=1﹣b n﹣（1﹣b n﹣1），化为：b n=b n﹣1．n=1时，b1=S1=1﹣b1，解得b1=．∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为．∴b n=．（2）①c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=++…+．∴=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，可得：S n=2﹣．②假设存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列，则2c3=c2+c m，∴=+，化为：2m﹣2=m．m=4时，满足：2m﹣2=m．m≥5时，2m﹣2﹣m=（1+1）m﹣2﹣m=1++++…﹣m=1+m﹣2+++…﹣m=++…﹣1＞0．∴m≥5时，2m﹣2﹣m＞0，因此2m﹣2=m无解．综上只有m=4时，满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列．20．解：（1）当a=4时，f（x）=x|x﹣4|+2x，当x≥4时，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；当x＜4时，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）；（2）当a∈[0，3]时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[﹣1，]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15﹣3a；当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=∈（，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；当a≤x≤4时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[，1]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，即有f（a）取得最小值，且为2a．综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15﹣3a；a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a．（3）当x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=当a∈[0，2]知a﹣=≤0，可得x＜a为增函数；当x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=，当a∈[0，2]知a﹣=＞0，可得x≥a为增函数；则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．当a∈[2，4]时，a＞+1＞﹣1，∴y=f（x）在（﹣∞，+1）上单调增，在（+1，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增，∴当f（a）＜tf（a）＜f（+1）时，关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；即2a＜t•2a＜（+1）2，∵a∈[2，4]，∴1＜t＜（1++），设h（a）=（1++），∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证h（a）=（1++）在[2，4]上单调增，∴h（a）max=h（4）=，∴1＜t＜．。
浙江省温州市高一数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．sin480°=（）A．B．C．D．2．已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．13．已知sin（3π﹣α）=，则sinα=（）A．B．C．﹣D．4．已知正方形ABCD的边长为1， =a， =b，则a+b的模等于（）A．1 B．2 C．D．5．下列函数中，最小正周期为的是（）A．y=|sinx| B．y=sinxcosx C．y=|tanx| D．y=cos4x6．数列{a n}满足a n+1=，a1=1，则=（）A．B．C．D．7．不等式＜﹣1的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＜0}8．已知cosθ=﹣（＜θ＜π），则cos（）=（）A．B．C．﹣D．9．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．y＞0 B．xz＞yz C．xy＞yz D．xy＞xz10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC，则角A的大小为（）A．B．C． D．11．函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ=（）A．B．C．D．12．已知tanα=2，tan（α﹣β）=﹣3，则tanβ=（）A．﹣1 B．1 C．D．513．将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=45，则3a4+a8=（）A．10 B．20 C．35 D．4515．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1216．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值X围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜217．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=， =， =，=（）A．B．C．D．18．若存在x∈R，使不等式|x﹣1|+|x﹣a|≤a2﹣a成立，则实数a的取值X围（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．a≤﹣1或a≥1 D．﹣1≤a≤119．设向量=（2，1），=（3，2），则||=．20．角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则cos2A值为．21．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则=．22．已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=1，则ab的取值X围是．三、解答题（共3小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．设函数f（x）=﹣sinx cosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，且f（x）=，求cosx的值．24．在△ABC中，已知AB=2，cosB=（Ⅰ）若AC=2，求sinC的值；（Ⅱ）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=，求BC的长．25．已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析1．sin480°=（）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：sin480°=sin120°=．故选：B．2．已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的性质能求出m．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．3．已知sin（3π﹣α）=，则sinα=（）A．B．C．﹣D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：sin（3π﹣α）=，可得sin（3π﹣α）=sin（π﹣α）=sinα=，故选：B．4．已知正方形ABCD的边长为1， =a， =b，则a+b的模等于（）A．1 B．2 C．D．【考点】93：向量的模．【分析】推导出=，从而||=||，由此能求出结果．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1， =， =，∴=，∴||=||===．故选：C．5．下列函数中，最小正周期为的是（）A．y=|sinx| B．y=sinxcosx C．y=|tanx| D．y=cos4x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用函数y=|Asin（ωx+φ）|的周期为、y=Acos（ωx+φ）的周期为、y=|tanx|的周期为，得出结论．【解答】解：由于y=|sinx|的最小正周期为π，故排除A；由于y=sinxcosx=sin2x的最小正周期为=π，故排除B；由于y=|tanx|的最小正周期为π，故排除C；由于y=cos4x的最小正周期为=，故D满足条件，故选：D．6．数列{a n}满足a n+1=，a1=1，则=（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推公式依次求出该数列的前5项，由此能求出的值．【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1=，a1=1，∴，=，=，=，∴===．故选：B．7．不等式＜﹣1的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＜0} 【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之．【解答】解：原不等式等价于＜0，即x（x+1）＜0，所以不等式的解集是（﹣1，0）；故选：A．8．已知cosθ=﹣（＜θ＜π），则cos（）=（）A．B．C．﹣D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵cosθ=﹣（＜θ＜π），∴sinθ==，∴cos（）=cosθcos+sinθsin=（﹣）×=．故选：B．9．已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．y＞0 B．xz＞yz C．xy＞yz D．xy＞xz【考点】71：不等关系与不等式．【分析】根据x＞y＞z和x+y+z=0，有3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，从而得到x＞0，z＜0．再不等式的基本性质，可得到结论．【解答】解x＞y＞z，且x+y+z=0，∴x＞0，z＜0，y∈R，故A错误∴xz＜yz，故B错误，当y≤0时，C不成立，∵x＞y＞z∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，∴x＞0，z＜0．由得：xy＞xz，故D正确故选D10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC，则角A的大小为（）A．B．C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理、和差公式、三角形内角和定理即可得出．【解答】解：∵（2b﹣c）cosA=acosC，∴（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴2sinBcosA=（sinCcosA+sinAcosC）=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，A∈（0，π），∴A=．故选：B．11．函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ=（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得φ的值．【解答】解：函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，可得y=cos2（x ﹣φ）=cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则﹣2φ+=2kπ﹣，k∈Z，求得φ=，故选：C．12．已知tanα=2，tan（α﹣β）=﹣3，则tanβ=（）A．﹣1 B．1 C．D．5【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知及两角差的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵tanα=2，tan（α﹣β）===﹣3，∴tanβ=﹣1．故选：A．13．将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=g（x）=2cos（2x﹣）的图象，令x=﹣，可得g（x）=﹣，故函数y=g（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，也不关于于直线x=﹣对称，故排除A、C；令x=时，求得g（x）=0，可得函数y=g（x）的图象关于点（，0）对称，不关于直线x=对称，故B正确、D不正确，故选：B．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=45，则3a4+a8=（）A．10 B．20 C．35 D．45【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和前n项和公式得a5=5，由此利用等差数列通项公式能求出3a4+a8．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=45，∴=45，解得a5=5，∴3a4+a8=3（a1+3d）+a1+7d=4（a1+4d）=4a5=20．故选：B．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：4x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=4x+5y取得最小值10．【解答】解：作出不等式组约束条件表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点C（0，2）时，z=4x+5y取得最小值10．故选：C．16．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值X围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】=（x+2y）（）=++4=8．不等式＞m2+2m成立⇔m2+2m ＜，即可求得实数m的取值X围【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y=1，∴ =（x+2y）（）=++4=8．（当∵不等式＞m2+2m成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选：D17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=， =， =，=（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义进行转化求解即可．【解答】解： =+=﹣=（﹣）﹣（+）=﹣+ =+=﹣﹣=﹣（﹣）﹣（+）=﹣，∴=（﹣+）（﹣）=﹣﹣+=﹣（4+9）+×2×3×=﹣，故选：A18．若存在x∈R，使不等式|x﹣1|+|x﹣a|≤a2﹣a成立，则实数a的取值X围（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．a≤﹣1或a≥1 D．﹣1≤a≤1【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值的意义得到关于a的不等式|1﹣a|≤a2﹣a，通过讨论a的X围，求出a 的X围即可．【解答】解：|x﹣a|+|x﹣1|在数轴上表示到a和1的距离之和，显然最小距离和就是a到1的距离，∴|1﹣a|≤a2﹣a，①a≥1时，a﹣1≤a2﹣a，即a2﹣2a+1≥0，成立；②a＜1时，1﹣a≤a2﹣a，解得：a≥1（舍）或a≤﹣1，综上，a≤﹣1或a≥1，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）19．设向量=（2，1），=（3，2），则||=．【考点】93：向量的模．【分析】利用平面向量运算法则求出，由此能求出||．【解答】解：∵向量=（2，1），=（3，2），∴=（5，3），∴||==．故答案为：．20．角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则cos2A值为﹣．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinA和cosA的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2A的值．【解答】解：角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=①，∴1+2sinAcosA=，∴sinAcosA=﹣，∴A为钝角，∴sinA﹣cosA===②，由①②求得sinA=，cosA=，则cos2A=2cos2A﹣1=﹣，故答案为：．21．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则= 4 ．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】对||≥||=|﹣|两边平方，并设•=m，整理可得关于t的一元二次不等式，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，求得m的值．【解答】解：||≥||=|﹣|，两边平方可得，﹣2t•+t2≥﹣2•+，设•=m，则22t2﹣2tm﹣（22﹣2m）≥0，又|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则判别式△=4m2+4×4（4﹣2m）≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，由于（m﹣4）2≥0，则m=4，即•=4．故答案为：4．22．已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=1，则ab的取值X围是[，1]．【考点】7F：基本不等式．【分析】灵活应用基本不等式a2+b2≥2ab，即可求出ab的取值X围．【解答】解：当ab＞0时，∵a，b∈R，且a2+b2﹣ab=1，∴a2+b2=ab+1，又a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立；∴ab+1≥2ab，∴ab≤1，当且仅当a=b=±1时“=”成立；即0＜ab≤1；当ab=0时，不妨设a=0，则b=±1，满足题意；当ab＜0时，又∵a2+b2≥﹣2ab，∴ab+1≥﹣2ab，∴﹣3ab≤1，∴ab≥﹣，当且仅当a=，b=﹣，或a=﹣、b=时“=”成立；即0＞ab≥﹣；综上，ab的取值X围是[﹣，1]．故答案为[，1]．三、解答题（共3小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．设函数f（x）=﹣sinx cosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，且f（x）=，求cosx的值．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（Ⅱ）若x∈[0，]，利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，求得cosx的值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣sinx cosx+1=﹣sin（x+）+1，故该函数的最小正周期为2π，令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若x∈[0，]，则x+∈[，]，又f（x）=，即﹣sin（x+）+1=，即sin（x+）=，∴cos（x+）=±=±．若cos（x+）=﹣，则cosx=cos[（x+）﹣]=cos（x+） cos+sin（x+）sin=﹣•+=＜0，不合题意，舍去．若cos（x+）=，则cosx=cos[（x+）﹣]=cos（x+） cos+sin（x+）sin=•+=．综上可得，cosx=．24．在△ABC中，已知AB=2，cosB=（Ⅰ）若AC=2，求sinC的值；（Ⅱ）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=，求BC的长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理即可解得sinC 的值．（Ⅱ）在△ABC中，设BC=a，AC=b，由余弦定理可得：b2=a2+4﹣，①，由于cos∠ADB=﹣cos∠BDC，利用余弦定理可得﹣a2=﹣6，②，联立即可得解BC的值．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵cosB=，∴sinB==，…2分∵，且AC=2，AB=2，∴sinC==…4分（Ⅱ）在△ABC中，设BC=a，AC=b，∵AB=2，cosB=，∴由余弦定理可得：b2=a2+4﹣，①…6分在△ABD和△BCD中，由余弦定理可得：cos∠ADB=，cos∠BDC=，…7分∵cos∠ADB=﹣cos∠BDC，∴=﹣，解得：﹣a2=﹣6，②…9分∴由①②可得：a=3，b=3，即BC的值为3…10分25．已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过S n=2a n﹣n（n∈N+）与S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1）（n≥2）作差、变形可知a n+1=2（a n﹣1+1），进而计算即得结论．（Ⅱ）利用，（k=1，2，…n），=﹣（k=1，2，…n），可证明，+…（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣n（n∈N+），∴S n﹣1=2a n﹣1﹣n+1=0（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣1+1，变形可得：a n+1=2（a n﹣1+1），又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，∴数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，a n=2n﹣1．（Ⅱ）由，（k=1，2，…n），∴=，由=﹣，（k=1，2，…n），得﹣=，综上，+…（n∈N*）．。
乌鲁木齐地区2016-2017学年高一下期末考试数学试卷含答案
乌鲁木齐地区2016-2017学年第二学期期末试卷高一年级数学第Ⅰ卷(必修2 共100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项代号的字母填写在答卷的相应位置上 1.310y -+=的倾斜角是.A 30︒ .B 60︒ .C 120︒ .D 150︒2.利用斜二测画法画边长为3cm 的正方形的直观图，正确的是.A .B .C .D3.点(0,2)P40y +-=的距离是.A12.B 1 .C 2 .D 4 4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体可以是.A 圆柱 .B 三棱柱 .C 圆锥 .D 球5.下列命题中，正确的是.A 一个平面把空间分成两部分 .B 两个平面把空间分成三部分 .C 三个平面把空间分成四部分 .D 四个平面把空间分成五部分6.空间直角坐标系中，点(2,3,4)A 与点(1,2,1)B -的距离是.A.B.C.D7.下列命题中，错误的是.A 平行于同一条直线的两个平面平行.B 平行于同一个平面的两个平面平行 .C 一个平面与两个平行平面相交，交线平行.D 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交8.在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11A C 的中点，则直线CE 垂直于直线.A AC .B BD .C 1A D .D 11A D9.若圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为,A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是.A 10x y +-= .B 210x y -+= .C 210x y -+= .D 10x y -+=10.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是.A π .B2π .C 3π .D 4π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请将正确的答案写在答卷题号后面的横线上11.经过两点(2,3)A ，(0,1)B -的直线l 的斜率是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 12.不共面的四点可以确定⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽个平面13.直线l ：360x y --=被圆22:240C x y x y +--=截得的弦AB 的长为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽14.用一个平面截正方体，截面边数最多是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，求证：VB AC ⊥16.求满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点(3,2)A ，且与直线420x y +-=平行 （Ⅱ）经过点(3,0)B ，且与直线250x y +-=垂直17.求过三点(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标ABVC第Ⅱ卷(必修5+必修2 共50分)一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项代号的字母填写在答卷的相应位置上 1. ,a b R ∈，下列命题正确的是.A 若a b >，则22a b > .B 若a b >，则22a b > .C 若a b >，则22a b > .D 若a b ≠，则22a b ≠2.由11,3a d ==确定的等差数列{}n a ，当298n a =，序号n 等于.A 96 .B 98 .C 100 .D 1013.与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为.A 3450x y +-= .B 3450x y ++= .C 3450x y -+= .D 3450x y --=4.如果实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是.A 12.B 3 .C 2 .D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将正确的答案写在答卷题号后面的横线上 5.不等式255122xx -+>的解集是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 6.正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 7.两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 8.经过点(3,4)P --，且在x 轴、y 轴上截距相等的直线l 的方程是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 三、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 9.在等比数列{}n a 中，已知11a =-，464a =，求q 与4S10.如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30︒，与O 相距10海里的C 处，现甲船以30海里每小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船，甲船需要几小时到达B 处2016～2017学年高一年级第一学期期末试卷数学参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（必修2 共100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分,共50分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项代号的字母填写在答卷的相应位置上.的横线上.OCB11．2 12．4 13． 10 14．6三、解答题：（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15.（10分）取AC 中点O ，连接OV OB ,,∵VC VA =，O 是中点， ∴AC VO ⊥，同理AC BO ⊥，∴VOB AC 平面⊥， ∴AC VB ⊥. …10分16.(10分)（Ⅰ）0144=-+y x ； …5分（Ⅱ）032=--y x . …10分 17.(10分)圆的方程06822=+-+y x y x (6)分圆心坐标()3,4-； …8分半径5=r ． …10分第Ⅱ卷（必2+必修5 共50分）一、选择题：（本大题共4小题，每小题4分,共16分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将选项代号的字母填写在答卷的相应位置上.二、填空题：（本大题共4题，每小题4分，共16分）请将正确的答案直接写在题后面的横线上.5．{}32|><x x x 或 6．[)∞+,97．9:4 8．07=++y x 或034=-y x （写一个给2分） 三、解答题：（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 9.（9分） 由64164143-=-==a a q ，解得4-=q ； …4分 所以514146411414=+⨯+-=--=q q a a S . (9)分 10.（9分）由题意，对于CB 的长度可用余弦定理求解，得 700200400100120cos 222=++=︒-+=OB CO OB CO CB (4)分因此 710=CB ，所以甲船需要的时间为3730710=（小时） …8分答：甲船需要37小时到达B 处. …9分。
2016-2017学年天津市部分区高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
天津市部分区2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B 车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样系统抽样B．分层抽样简单随机抽样C．系统抽样简单随机抽样 D．简单随机抽样分层抽样2．（4分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n﹣m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（4分）给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．D．36．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则a的值为（）A．1或2 B．1 C．2 D．7．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A． B． C． D．8．（4分）若a，b，c，d∈R，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则＜9．（4分）从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：根据如表可得回归方程=0.56x+，据此模型可预报身高为172cm的高一男生的体重为（）A．70.12kg B．70.29kg C．70.55kg D．71.05kg10．（4分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），则S5等于（）A．85 B．255 C．341 D．1023二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）把二进制数110101（2）转化为十进制数为 ．12．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是 ．13．（4分）已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若a 6=5，S 4=12a 4，则公差d 的值为 ．14．（4分）在[﹣5，5]上随机的取一个数a ，则事件“不等式x 2+ax +a ≥0对任意实数x 恒成立”发生的概率为 ．15．（4分）已知a ＞0，b ＞0，且是3a 与3b 的等比中项，若+≥2m 2+3m 恒成立， 则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N 的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求出表中N 及a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求频率分布直方图中d 的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2a sin B=b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（i）列出所有可能抽取的结果；（ii）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．【参考答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．B【解析】①个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多可简单随机抽样法．故选B．2．D【解析】由茎叶图，得：甲组学生成绩的平均数：m==88，乙组学生成绩的中位数：n=89，n﹣m=89﹣88=1．故选D．3．C【解析】在①中，某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确．故选C．4．B【解析】设口袋中装有一些大小相同的红球和黑球的个数分别为a，b，∵从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，∴，解得a=4，b=2，∴取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率：p==．故选B．5．C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，解得A（1，），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+=．即目标函数z=2x+y的最大值为．故选C．6．A【解析】由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accos30∘，∵b=1，c=，B=30°，∴1=a2+3﹣2a××=a2+3﹣3a，∴a2﹣3a+2=0，解得a=1或a=2，故选A．7．B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1++ +…的值，由于：S=1+++…==．故选B．8．D【解析】对于A：若a=0，b=﹣1，则不满足，对于B：若a=1，b=﹣1，c=0，d=﹣2，则不满足，对于C：若a=﹣2，b=﹣1，则不满足，对于D：若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd，两边同除以cd得到＜．故选D.9．A【解析】根据已知数据，计算=×（160+165+170+175+180）=170，=×（63+66+70+72+74）=69，回归系数=﹣=69﹣0.56×170=﹣26.2，∴y与x的线性回归方程为=0.56x﹣26.2；把x=172代入线性回归方程中，计算=0.56×172﹣26.2=70.12，∴估计该男生的体重为70.12kg．故选A．10．C【解析】∵数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），∴a2=3a1+1，∴a1+3a1+1=5，解得a1=1，a2=4，a3=3S2+1=3（1+4）+1=16，a4=3S3+1=3（1+4+16）+1=64，a5=3S4+1=3（1+4+16+64）+1=256，∴S5=1+4+16+64+256=341．故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．53【解析】110101（2）=1+1×22+1×24+1×25=53故答案为53．12．9【解析】模拟程序的运行，可得a=1，b=9满足条件a＜b，执行循环体，a=5，b=7满足条件a＜b，执行循环体，a=9，b=5不满足条件a＜b，退出循环，输出a的值为9．故答案为9．13．【解析】∵{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a6=5，S4=12a4，∴，解得，d=．∴公差d的值为．故答案为．14．【解析】由已知不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立，所以△=a2﹣4a≤0，解答0≤a≤4，，所以在[﹣5，5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为：；故答案为．15．[﹣3，]【解析】a＞0，b＞0，且是3a与3b的等比中项，可得3a•3b=（）2，即有a+b=1，+=（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9，当且仅当b=2a=时，取得等号，即最小值为9．由+≥2m2+3m恒成立，可得2m2+3m≤9，解得﹣3≤m≤．故答案为[﹣3，]．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．解：（Ⅰ）由频率分布表得：，解得N=200，a=80，b=0.4，c=0.2．（Ⅱ）由频率分布表得[25，27.5）频率为0.2，∴d==0.08．（Ⅲ）由频率分布表知产品的质量不少于25千克的频率为0.2+0.1=0.3，∴从该产品中随机抽取一件，估计这件产品的质量少于25千克的概率p=1﹣0.3=0.7．17．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，若b=2a sin B，可得sin B=2sin A sin B，∴由sin B≠0，可得sin A=，∵A为锐角，∴A=60°．（Ⅱ）∵A=60°．a=，△ABC的面积为=bc sin A=bc，∴bc=6，∴由余弦定理可得：7=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣18，∴解得：b+c=5，∴△ABC的周长l=a+b+c=+5．18．解：（Ⅰ）∵高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．∴A班有学生：=32人，B班有学生：=40人，C班有学生：=48人．（Ⅱ）（i）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析，基本事件总数有15个，分别为：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，{}，{C3，C5}，{C3，C6}，{C4，C5}，{C4，C6}，{C5，C6}．（ii）A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，则事件A包含的基本事件个数为8，分别为：{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，∴事件A发生的概率p=．19．解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），∴a1=S1==5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣[]=3n+2，当n=1时，上式成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=3n+2．∵数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，∴，解得q=2．∴数列{b n}的通项公式b n=4×2n﹣1=2n+1．（Ⅱ）∵c n=a n•b n=（3n+2）•2n+1=（6n+4）•2n，∴数列{c n}的前n项和：T n=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n，①2T n=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1=20+6×﹣（6n+4）×2n+1=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1，∴T n=（6n﹣2）×2n+1+4．20．解：（Ⅰ）当a=时，不等式f（x）＜3，即为x2+x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，解得﹣＜x＜1，则原不等式的解集为（﹣，1）；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，即有x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即为﹣a＜x+在0＜x＜2恒成立，由y=x+的导数为y′=﹣，可得函数y在（0，）递减，（，2）递增，则y=x+的最小值为2=，即有﹣a＜，解得a＞﹣；（Ⅲ）f（x）﹣a2﹣1＞0，即为3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，当a=0时，即为x2＞0，解集为{x|x≠0}；当a＞0时，＞﹣a，解集为{x|x＞或x＜﹣a}；当a＜0时，＜﹣a，解集为{x|x＜或x＞﹣a}．。
福建省宁德市高一数学下学期期末试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡卡的相应位置填涂．1．直线x+=0的倾斜角为（）A．60° B．90° C．120°D．不存在2．函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2π3．已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l=0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=04．sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45° C．60° D．90°6．要得到函数y=sin2x+cos2x﹣的图象，只需将y=sinx图象上所有的点（）A．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向左平移个单位B．横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变D．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则•的取值X围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0]8．已知α，β为两个不同平面，m，n为两条不同直线，以下说法正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，则n⊥βD．若m丄n，m∥α，则n⊥α9．已知A﹣BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．2 D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． +6 B． +7 C．π+12 D．2π+611．己知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=b（b∈R），若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种12．f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f （x）=tan x，则方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是（）A．7 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置13．已知向量的夹角为，且||=3，||=，则||=．14．已知角α的终边过点P（3，4），则=．15．圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的长为．16．南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．17．已知点 O（0，0），A（2，1），B（﹣2，4），向量=+λ．（I ）若点M在第二象限，某某数λ的取值X围（II）若λ=1，判断四边形OAMB的形状，并加以证明．18．己知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．（I ）求直线l的方程；（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．19．已知向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）=（I ）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（2α）=，求的值．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．21．己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点 M，N．（1 ）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．22．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/h ）关于时间t（单位：h）的关系均近似地满足函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如下：（Ⅰ）根据图象求函数解析式；（II）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过5m3/h，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡卡的相应位置填涂．1．直线x+=0的倾斜角为（）A．60° B．90° C．120°D．不存在【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线x+=0的斜率不存在，∴倾斜角为，即为90°．故选：B．2．函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2π【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求出函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴．【解答】解：对于函数y=2sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，可得它的图象的对称轴为x=kπ+，k∈Z，令k=0，可得它的一条对称轴是x=，故选：C．3．已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l=0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据题意设出直线l的方程，把点P（2，﹣1）代入方程求出直线l的方程．【解答】解：根据直线l与直线2x+y﹣l=0互相垂直，设直线l为x﹣2y+m=0，又l过点P（2，﹣1），∴2﹣2×（﹣1）+m=0，解得m=﹣4，∴直线l的方程为x﹣2y﹣4=0．故选：B．4．sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin 70° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin （70°﹣40°）=sin30°=．故选：A．5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45° C．60° D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．【解答】解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：D．6．要得到函数y=sin2x+cos2x﹣的图象，只需将y=sinx图象上所有的点（）A．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向左平移个单位B．横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变D．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角恒等变换化简原函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后所得函数的解析式．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），故只需将y=sinx图象上所有的点向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得y=sin（2x+）的图象，故选：D．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则•的取值X围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，再求出数量积•的取值X围．【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示；则A（0，0），B（2，0），C（0，2），E（1，1），设D（0，y），则0≤y≤2；∴=（1，1），=（﹣2，y），∴•=1×（﹣2）+y=y﹣2；由y∈[0，2]，得y﹣2∈[﹣2，0]，∴的取值X围是[﹣2，0]．故选：B．8．已知α，β为两个不同平面，m，n为两条不同直线，以下说法正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，则n⊥βD．若m丄n，m∥α，则n⊥α【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面平行，面面垂直以及线面平行线面垂直的性质定理和判定定理对选项分析选择．【解答】解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或者异面；故A错误；对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或者m⊂α；故B 错误；对于C，若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，根据面面垂直的性质以及线面平行的性质定理可判断n⊥β；故C正确；对于D，若m丄n，m∥α，则n与α位置关系不确定；故D错误；故选C．9．已知A﹣BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．2 D．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故选A．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． +6 B． +7 C．π+12 D．2π+6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，根据数据即可计算．【解答】解：根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，长方体的棱长分别为1，2，1；圆柱的底面半径为1，高为1，则该几何体的表面积为s=（1+1+2）×1+1×2×2+2×2+=π+12故选：C11．己知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=b（b∈R），若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：圆C上到直线l的距离为1的点的个数为0，1，2，3，4，则S的可能取值共有5种．【解答】解：设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：当d＞3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为0，当d=3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为1，当1＜d＜3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2，当d=1时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3，当d＜1时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4，∴圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有5种．故选：D12．f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f （x）=tan x，则方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是（）A．7 B．5 C．4 D．3【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】利用已知条件画出y=f（x）与y=的图象，即可得到方程解的个数．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f（x）=tan x，方程5πf（x）﹣4x=0解的个数，就是f（x）=解的个数，在坐标系中画出y=f（x）与y=的图象，如图：两个函数的图象有5个交点，所以方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是：5．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置13．已知向量的夹角为，且||=3，||=，则||= 2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，设||=t，（t＞0），由向量数量积的运算公式可得|+|2=（+）2=9+t2+2•=9+t2+3t=19，化简可得t2+3t﹣10=0，解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设||=t，（t＞0）若||=3，||=，向量的夹角为，则有|+|2=（+）2=9+t2+2•=9+t2+3t=19，即t2+3t﹣10=0，解可得t=2或t=﹣5（舍），则||=2；故答案为：2．14．已知角α的终边过点P（3，4），则= ﹣．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x，y，r，由任意角的三角函数的定义可得sinα，利用诱导公式化简所求求得结果．【解答】解：∵由题意可得x=3，y=4，r=5，由任意角的三角函数的定义可得sinα==，∴=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣．15．圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的长为．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到求出直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0得：6x﹣8y﹣18=0，即3x﹣4y ﹣9=0∵圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离d==，r=3，则公共弦长为2=2=．故答案为：．16．南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为32π【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【解答】解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S=π（42﹣4|y|），S1=π（42﹣y2）﹣π[4﹣（2﹣|y|）2]=π（42﹣4|y|）∴S1=S，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，∵Γ1=××（43﹣23﹣23）=×48=32π，∴Γ=32π．故答案为：32π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．17．已知点 O（0，0），A（2，1），B（﹣2，4），向量=+λ．（I ）若点M在第二象限，某某数λ的取值X围（II）若λ=1，判断四边形OAMB的形状，并加以证明．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由=+λ得（x，y）=（2，1）+λ（﹣2，4），即M（2﹣2λ，1+4λ）又，⇒λ＞1（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（﹣2，4）可得OB∥AM且OB=AM，又，OB⊥OA，OA∴≠OB，四边形OAMB是矩形．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得，由=+λ得（x，y）=（2，1）+λ（﹣2，4）⇒x=2﹣2λ，y=1+4λ即M（2﹣2λ，1+4λ）又∵点M在第二象限，∴，⇒λ＞1；（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（﹣2，4）∴，OB∥AM且OB=AM∴四边形OAMB是平行四边形．又，∴OB⊥OA∵，OB=2，四边形OAMB是矩形．18．己知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．（I ）求直线l的方程；（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．【考点】IG：直线的一般式方程．（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．可【分析】得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．可得S△OAB=b ×b=8，解得b即可得出．（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．直线l′的方程为：y=﹣x．设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），则，解得A′（﹣2，﹣2）．|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．∴S△OAB=b×b=8，解得b=4．∴直线l的方程为：y=﹣x+4．（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．直线l′的方程为：y=﹣x．设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），则，解得，∴A′（﹣2，﹣2）．∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，∴当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．∴（|PA|+|PB|）min=|A′B|=4．19．已知向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）=（I ）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（2α）=，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；GL：三角函数中的恒等变换应用；H5：正弦函数的单调性．【分析】（I ）根据向量的乘积运算求出f（x）的解析式，化简，根据三角函数性质即可求函数f（x）的单调递增区间（II）根据f（x）的解析式把x=2a带入，即f（2α）=，切化弦即可得答案．【解答】解：（I ）向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）==2sin﹣cos﹣cos=2（sin﹣cos）=2sin（）由2kπ≤≤，k∈Z．解得：4kπ≤x≤4kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z．（II）由（I ）可得f（x）=2sin（）∵f（2α）=，即2sin（）=∴sin（）=，那么===（cosα﹣sinα）2=2sin2（）=2×=．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，由E，F分别为VB、CB的中点，得EF∥VC，从而DO∥面VAC，由此得到D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是的中点时，（V V﹣）max=4，此时VC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥面VAC，进而∠CAB是直线AB与面VAC所成的ABC角，由此能求出三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．【解答】解：（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，则线段EF即为点D的轨迹，如图所示．理由如下：∵E，F分别为VB、CB的中点，∴EF∥VC，又EF⊄面VAC，VC⊂面VAC，又D∈EF，OD⊂面EOF，∴DO∥面VAC，∴D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，∵VC⊥面ABC，∴==，∵d∈（0，2]，∴当d=2，即C是的中点时，（V V﹣ABC）max=4，∵VC⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴VC⊥BC，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴AC⊥BC，∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC，∴AC是AB在面VAC上的射影，∴∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，∵C是的中点，∴CA=CB，∴∠CAB=45°，∴三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．21．己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点 M，N．（1 ）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．【考点】9R：平面向量数量积的运算；J1：圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意得出圆C的圆心在x轴上，设出圆C的标准方程，求出圆心与半径即可；（II）【解法一】由题意设出直线AP的方程，根据AP⊥BP写出直线BP的方程，求出M、N的坐标，设点Q的坐标，利用坐标表示、和数量积•，计算•为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解法二】由题意设出点P的坐标，根据点P在圆C上，结合直线AP的方程求出点M、N的坐标；设出点Q的坐标，利用坐标表示出、，计算数量积•为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），∴圆C的圆心在x轴上，设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2（r＞0），则，解得a=0，r=2；∴圆C的方程为x2+y2=4；（II）【解法一】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），又由已知可得直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），∵AB是圆C的直径，∴AP⊥BP，∴直线BP的方程为y=﹣x﹣2，联立，解得；∴M（﹣，﹣3）；同理可求N（k，﹣3）；如图所示，设Q（t，0），则=（﹣﹣t，﹣3），=（k﹣t，﹣3）；∴•=（﹣﹣t）（k﹣t）+（﹣3）×（﹣3）=t2+4+（﹣k）t，当t=0时，•=4为常数，与k无关，即在x轴上存在一定点Q（0，0），使的值为常数4．【解法二】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），设P（x0，y0），由已知得，点P在圆C上，且异于点A、B，∴x0≠0，y0≠2，且+=4；∴直线AP的方程为y=x+2，当y=﹣3时，x=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣3），同理：点N的坐标为（﹣，﹣3）；设Q（t，0），则=（﹣﹣t，﹣3），=（﹣﹣t，﹣3），∴•=（﹣﹣t）（﹣﹣t）+9=t2+（+）t+•+9=t2+（+）t+4；当t=0时，•=4为常数，与k无关，即在x轴上存在一定点Q（0，0），使的值为常数4．22．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/h ）关于时间t（单位：h）的关系均近似地满足函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如下：（Ⅰ）根据图象求函数解析式；（II）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过5m3/h，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由图可得A，b，利用周期公式可求ω，将t=0，y=3，代入y=sin（t+φ）+2，结合X围0＜φ＜π，可求φ从而可求函数解析式．（II）设乙车间至少比甲车间推迟m小时投产，据题意得cos[（t+m）]+2+cos（t）+2≤5，化简可得﹣≤cos（m）≤，由m∈（0，6），可得X围2≤m≤4，即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由图可得：A=（3﹣1）=1，…1分b=（3+1）=2，…2分∵=6，∴ω=，…3分∴将t=0，y=3，代入y=sin（t+φ）+2，可得：sinφ=1，又∵0＜φ＜π，∴φ=，…5分∴y=sin（t+）+2=cos（t）+2，∴所求函数的解析式为y=cos（t）+2，（t≥0），…6分（注：解析式写成y=sin（t+）+2，或未写t≥0不扣分）（II）设乙车间至少比甲车间推迟m小时投产，…7分根据题意可得：cos[（t+m）]+2+cos（t）+2≤5，…8分∴cos（t）cos（m）﹣sin（t）sin（m）+cos（t）≤1，∴[1+cos（m）]cos（t）﹣sin（t）sin（m）≤1，∴≤1，∴≤1，可得：2|cos（m）|≤1，…11分∴﹣≤cos（m）≤，由m∈（0，6），可得：≤m≤，∴2≤m≤4，∴为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产…12分。
河北省2016-2017学年高一下学期期末考试理数试题-含答案
2016—2017学年度下学期高一年级期末考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若过不重合的22(2,3)A m m +-，2(3,2)B m m m --两点的直线l 的倾斜角为45︒，则m 的取值为（ ） A ．1-B ．2-C ．1-或2-D ．1或2-2.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A -与点(1,2,3)B ---关于（ ）对称 A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D ．z 轴3.方程22(4)0x x y +-=与2222(4)0x x y ++-=表示的曲线是（ ） A ．都表示一条直线和一个圆B ．都表示两个点C ．前者是两个点，后者是一条直线和一个圆D ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点4.在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列{}1(1)n n a --的前21项和为（ ） A ．21B ．21-C ．441D ．441-5.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体；第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱；第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:1C ．2:1D ．3:16.过直线1y x =+上的点P 作圆C ：22(1)(6)2x y -+-=的两条切线1l ，2l ，若直线1l ，2l 关于直线1y x =+对称，则||PC =（ ）A ．1B． C．1+D ．27.已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ）A1B1C1D18.如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）A．3πB．3π+ C．6π+D．6π+9.若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：20mx xy mx -+=有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A．(33-B ．3(,)(,)33-∞-+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．3(,0)(0,)33-10.三棱锥P ABC -的三条侧棱互相垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为（ ） ABCD 11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1161n n n n a S nS S +++=-+，1a m =，现有如下说法：①25a =；②当n 为奇数时，33n a n m =+-；③224232n a a a n n +++=+…．则上述说法正确的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断：①直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直于1AC ；③三棱锥1E AAO -的体积为定值；④1AE EC +的最小值为 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线220x y +-=与直线460x my ++=平行，则它们之间的距离为 ．14.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1111AC B D E =，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则cos()αβ-= ．15.已知直线l：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于C ，D两点，若||AB =，则||CD = ． 16.已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+（*n N ∈），若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+（*n N ∈），132b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上．（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程； （Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程．18.若圆1C ：22x y m +=与圆2C ：2268160x y x y +--+=外切． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点，且点P 在圆1C上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BA 平面PCD ，平面PAD ⊥平面ABCD CD AD ⊥，APD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ===（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅱ）若三棱锥B PAD -的体积为13，求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值．20.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n n S na +=（*n N ∈）．（Ⅰ）若数列{}n a t +是等比数列，求t 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 21.如图，由三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1CC ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，1AB =12BC BB ==，1C D CD ==，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为棱1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC的值，若不存在，说明理由． 22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1320a a +=，28a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n nnb a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n ，不等式1(1)2n n n nS a ++>-⋅恒成立，求实数a 的取值范围．2016—2017学年度下学期高一年级期末考试理数试卷答案一、选择题1-5BCDAC6-10BAADB11、12：DC 二、填空题15.416.4(,)5-∞三、解答题17.解：（Ⅰ）因为AB边所在的直线的方程为360x y--=，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3-．又因为点(1,1)T-在直线AD上，所以AD所在直线的方程为13(1)y x-=-+，即320x y++=．（Ⅱ）由360,320,x yx y--=⎧⎨++=⎩可得点A的坐标为(0,2)-，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(2,0)M．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，又||AM==，从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8x y-+=.18.解：（Ⅰ）圆1C的圆心坐标(0,0)m>），圆2C的圆心坐标(3,4)，半径为3，35=，解得4m=．（Ⅱ）由题易得点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,2)，设P点的坐标为00(,)x y，由题意，得点M的坐标为02(0,)2yx-，点N的坐标为02(,0)2xy-，四边形ABNM的面积1||||2S AN BM=⋅⋅0000221(2)(2)222x yy x=⋅-⋅---0000004224221222y x x yy x----=⋅⋅--20000(422)12(2)(2)y xy x--=⋅--，由点P在圆1C上，得22004x y+=，∴四边形ABNM 的面积0000004(422)4(2)(2)x y x y S y x --+==--，∴四边形ABNM 的面积为定值4．19.解：（Ⅰ）∵CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴CD ⊥平面PAD ，∵AP ⊂平面PAD ，∴CD AP ⊥， 又AP PD ⊥，PDCD D =，∴AP ⊥平面PCD ， 又AP ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PCD ． （Ⅱ）∵平面ABCD 平面PCD CD =，//BA 平面PCD ，且BA ⊂平面ABCD ，∴//BA CD ．由（Ⅰ），知CD ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ， ∴111323B PAD V AB PA PD -=⋅⋅=，∴1AB =． 取AD 的中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴PO ⊥平面ABCD ．以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(2,1,0)C -，(1,1,1)PB =-，(2,1,1)PC =--． 由（Ⅰ），易知平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)m =， 设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y z x y z +-=⎧⎨--=⎩取2x =，得(2,1,3)n =，∴14cos ,7||||m n mn m n ⋅<>==，20.解：（Ⅰ）当1n =时，由1111122S a a ++==，得11a =． 当2n ≥时，1122(1)n n n n n a S S a n a n --=-=--+-， 即121n n a a -=+， ∴23a =，37a =．依题意，得2(3)(1)(7)t t t +=++，解得1t =， 当1t =时，112(1)n n a a -+=+，2n ≥， 即{}1n a +为等比数列成立， 故实数t 的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ），知当2n ≥时，112(1)n n a a -+=+， 又因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．所以11222n nn a -+=⨯=， ∴21nn a =-（*n N ∈）.（Ⅲ）由（Ⅱ），知111111n n n n n n n a b a a a a a ++++=+=12(21)(21)n n n +=--1112121n n +=---， 则2233411111111111121212121212121212121n n n n n T -+=-+-+-++-+-----------…11121n +=--（*n N ∈）.21.解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故1AC CC ⊥，因为平面1CC D ⊥平面11ACC A ，且平面1CC D平面111ACC A CC =，AC ⊂平面11ACC A ，所以AC ⊥平面1CC D ， 又1C D ⊂平面1CC D ， 所以1AC DC ⊥.（Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//AA CC ，平面//ABC 平面111A B C ， 所以1AA ⊥平面111A B C ， 因为11A B ，11A C ⊂平面111A B C ， 所以111AA A B ⊥，111AA AC ⊥. 又11190B AC ∠=︒，所以1A A ，11A C ，11A B 两两垂直，以1A A ，11A C ，11A B 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系1A xyz -， 依据已知条件，可得(2,0,0)A，C，1C ，(2,0,1)B ，1(0,0,1)B ， 取1CC 的中点N，由1C D CD ==，得2DN =，且1DN CC ⊥． 又平面1CC D ⊥平面11ACC A ， 平面1CC D平面11ACC A 1CC =，所以DN ⊥平面11ACC A ，故可得2)D ．所以1(2,0,0)BB =-，(BD =-． 设平面1DBB 的一个法向量为(,,)n x y z =，由10,0,n BB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0,x x z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令1y =，得z =0x =，于是(0,1,n =， 因为M 为1DC 的中点，所以1(2M ，所以3(2AM =-，由3(2AM n ⋅=-(0,1,0⋅=， 可得AM n ⊥，所以//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）由（Ⅱ），可知平面1BB D的一个法向量(0,1,n =， 设BP BC λ=，[]0,1λ∈，则,1)P λ-，故1)DP λ=--， 若直线DP 与平面1DBB 所成角为3π，则|||cos ,|||||24n DP n DP n DP ⋅<>===⋅， 解得[]50,14λ=∉， 故不存在这样的点．22.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则211(1)20,8,a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩∴22520q q -+=，解得12q =或2q =． ∵1q >，∴14,2,a q =⎧⎨=⎩∴数列{}n a 的通项公式为12n n a +=．（Ⅱ）由题意，得12n n n b +=， ∴23411232222n n nS +=++++…， 34121121 22222n n n n n S ++-=++++…，两式相减，得2341211111222222n n n n S ++=++++-...， ∴1231111122222n n n n S +=++++- (111112221122)2n n n n n +++-+=-=-， ∴1(1)12n n a -⋅<-对任意正整数n 恒成立， 设1()12nf n =-，易知()f n 单调递增， 当n 为奇函数时，()f n 的最小值为12， ∴12a -<，即12a >-； 当n 为偶函数时，()f n 的最小值为34， ∴34a <． 综上，1324a -<<， 即实数a 的取值范围是13(,)24-．。
安徽省铜陵市高一数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．D．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．3．各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，若a2﹣a5=﹣78，S3=13，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．B、2n﹣1C．3n D．3n﹣14．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．1015．设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．96．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．48 B．56 C．64 D．727．设a＞0，b＞0，若2是4a和2b的等比中项，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．58．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1629．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a6（直线MP不过点O），则S20=（）A．10 B．15 C．20 D．4010．已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则2a2+b2的最小值为（）A．1 B．C．2 D．211．（理）若实数a、b∈（0，1），且满足，则a、b的大小关系是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b12．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈，则的取值X围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角余弦值为．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．15．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为．16．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．叙述并推导等比数列的前n项和公式．18．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值X围．19．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值X围是．20．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为5、、．（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积．22．设数列{a n}的前n项和为S n，已知=a n﹣2n（n∈N*）．（1）求a1的值，若a n=2n，证明数列{}是等差数列；（2）设b n=log2a n﹣log2（n+1），数列{}的前n项和为B n，若存在整数m，使对任意n ∈N*且n≥2，都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值．2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．D．2【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理求出sinC，由内角的X围和条件求出C，由内角和定理求出A，利用边角关系求出a．【解答】解：∵c=，b=，B=120°，∴由正弦定理得，，则sinC===，∵0°＜C＜120°，∴C=30°，∴A=180°﹣B﹣C=30°，即A=C，a=c=，故选B．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得：b2﹣a2=，又c=2a，可解得a2+c2﹣b2=3a2，利用余弦定理可得cosB，结合X围0＜B＜π，即可解得sinB．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．3．各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，若a2﹣a5=﹣78，S3=13，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．B、2n﹣1C．3n D．3n﹣1【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设公比为q的等比数列{a n}，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到所求通项公式．【解答】解：各项均为正数，公比为q的等比数列{a n}，a2﹣a5=﹣78，S3=13，可得a1q﹣a1q4=﹣78，a1+a1q+a1q2=13，解得a1=1，q=3，则a n=a1q n﹣1=3n﹣1，n∈N*，故选：D．4．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【考点】8E：数列的求和．【分析】由数列的通项公式，可得前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197），计算即可得到所求和．【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．5．设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．9【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由题意可得a7+a8=0，从而可得数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，∴2（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，又a1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n最大时，n=7故选：B6．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，组合体的下方是三个长为2，宽为4，高为1的长方体，上方为长为2，宽为4，高为5的长方体，利用长方体的体积公式，可求组合体的体积．【解答】解：由题意，组合体的下方是三个长为2，宽为4，高为1的长方体，上方为长为2，宽为4，高为5的长方体．所以组合体的体积为3×2×4×1+2×4×5=64．7．设a＞0，b＞0，若2是4a和2b的等比中项，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．5【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得4a×2b=22，分析可得2a+b=2，分析可得+=（+）（2a+b）=，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，若2是4a和2b的等比中项，则有4a×2b=22，即22a+b=22，则有2a+b=2，+=（+）（2a+b）=≥（5+2）=，当且仅当a=b=时，等号成立；故选：C．8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a6（直线MP不过点O），则S20=（）A．10 B．15 C．20 D．40【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量共线定理可得：a15+a6=1，再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a16（直线MP不过点O），∴a15+a6=1，∴S20==10（a15+a6）=10，故选A．10．已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则2a2+b2的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【考点】3W：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质求出ab=1，根据基本不等式的性质求出2a2+b2的最小值即可．【解答】解：∵已知a＞b，二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴2a2+b2≥2=2，当且仅当2a2=b2即b=a时“=”成立，故选：D．11．（理）若实数a、b∈（0，1），且满足，则a、b的大小关系是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b【考点】72：不等式比较大小．【分析】可根据条件，利用不等式的性质将化为即可得到答案．【解答】解：∵a、b∈（0，1），且满足，∴，又，∴，∴b＞a．故选A．12．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈，则的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划；7D：简单线性规划的应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值X围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由||=2，||=1，•（+）=5，利用平面向量数量积的运算公式可求得向量与夹角余弦值．【解答】解：∵||=2，||=1，•（+）=5，∴+||•||cos＜，＞=4+2cos＜，＞=5∴cos＜，＞=，即向量与夹角余弦值为：，故答案为：．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．15．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为88 ．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，求出长方体的高，再求长方体的表面积．【解答】解：由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，球的半径为．则有：⇔解得h=2长方体的表面积S=2×4×6+2×2×4+2×2×6=88故答案为88．16．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】依题意可求得该等比数列的通项公式a n，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，求得q=，分析即可．【解答】解：由题意，a n=281q n﹣1，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，则为a m•a t=a p，即281q m﹣1•281q t﹣1=281•q p﹣1，（q，m，t，p∈N*），∴q=，故p﹣m﹣t+1必是81的正约数，即p﹣m﹣t+1的可能取值为1，3，9，27，81，即的可能取值为1，3，9，27，81，所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}三、解答题（共6小题，满分70分）17．叙述并推导等比数列的前n项和公式．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】写出等比数列的求和公式，可由错位相减法证明．【解答】解：若数列{a n}为公比为q的等比数列，则其前n项和公式S n=，（q≠1），当q=1时，S n=na1．下面证明：∵S n=a1+a2+a3+…+a n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n﹣1，①∴qS n=a1q+a1q2+a1q3+…+a1q n，②①﹣②可得（1﹣q）S n=a1﹣a1q n，当q≠1时，上式两边同除以1﹣q可得S n=，当q=1时，数列各项均为a1，故S n=na1．18．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值X围．【考点】57：函数与方程的综合运用；3H：函数的最值及其几何意义；75：一元二次不等式的应用．【分析】（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值X围是．19．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于﹣；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值X围是[，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等等价于t≥=恒成立，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）：f（x）＞k⇔kx2﹣2x+6k＜0．由已知{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}是其解集，得kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，解得k=﹣，（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等价于t≥=恒成立，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴t≥，故答案为：（1）：﹣，（2）：[，+∞）20．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为5、、．（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由棱锥的对边相等可知四面体为长方体切去4个小棱锥得到的，求出长方体的棱长即可得出四面体的体积和外接球的表面积．【解答】解：（1）∵四面体的三组对边分别相等，∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为a，b，c，则，解得，∴四面体的体积V=abc﹣abc×4=abc=20．（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长=5，∴外接球的半径为r=，∴外接球的表面积为S=4πr2=50π．22．设数列{a n}的前n项和为S n，已知=a n﹣2n（n∈N*）．（1）求a1的值，若a n=2n，证明数列{}是等差数列；（2）设b n=log2a n﹣log2（n+1），数列{}的前n项和为B n，若存在整数m，使对任意n ∈N*且n≥2，都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值．【考点】8K：数列与不等式的综合；8C：等差关系的确定．【分析】（1）由=，得，从而，由此能求出a1=4；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣=，从而得到=1，由此能证明数列{} 1是首项为2，公差为1的等差数列．（2）求出=2+（n﹣1）×1=n+1，从而，进而b n=log2a n﹣log2（n+1）=n，由此得到，B3n﹣B n=，令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）==＞=0，从而数列{f（n）}为递增数列，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=，从而＜，由此能求了出m的最大值．【解答】证明：（1）由=，得，∴，解得a1=4，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2n+1）﹣（2a n﹣1﹣2n）=，∴，n≥2，∴ =1，∵a n=2n，∴=，∴，﹣﹣1=1，∴数列{}是首项为2，公差为1的等差数列．（2）∵=1， =2，∴ =2+（n﹣1）×1=n+1，∴，∴b n=log2a n﹣log2（n+1）=n，∵数列{}的前n项和为B n，∴，∴B3n﹣B n=，令f（n）=，则，∴f（n+1）﹣f（n）==＞=0，∴f（n+1）＞f（n），∴数列{f（n）}为递增数列，∴当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）==，据题意，＜，得m＜19，又m为整数，∴m的最大值为18．。
江苏省盐城市2016-2017学年高一下学期期末考试数学-含答案-精编
2016/2017学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数()2sin(2)3f x x π=-的最小正周期为 ▲ ．2．已知直线l 过定点(1,0)，且倾斜角为3π，则直线l 的一般式方程为 ▲ ． 3．若2sin()23πα+=，则cos2α= ▲ ． 4．在Rt ABC ∆中，2A π=，4AB =，3AC =，则CA CB ⋅= ▲ ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若首项13a =-，公差2d =，5k S =，则正整数k = ▲ ．6．设a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是 ▲ ．（填写所有正确命题的序号）①若a //b ，a //α，则b //α； ②若a //b ，a α⊂，b β⊥，则αβ⊥； ③若α//β，a α⊥，则a β⊥；④若αβ⊥，a b ⊥，a α⊥，则b β⊥． 7．已知正项等比数列{}n a ，且153537225a a a a a a ++=，则35a a += ▲ ． 8．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为65π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．已知向量a 是与向量b ＝(－3,4)同向的单位向量，则向量a 的坐标是 ▲ ． 10．已知函数3cos(2)y x ϕ=+是奇函数，则||ϕ的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，以点（1,0）为圆心且与直线2410mx y m --+=()m R ∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足1122,211,2n n n a n k a a n k ---=+⎧=⎨+=⎩（*k N ∈），若11a =，则20S = ▲ ．13．如图，点P 是正六边形ABCDEF 的边上的一个动点，设AP xAB y AE =+，则x y +的最大值为 ▲ ．14．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，则ab的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G 、H 分别是DF 、BE 的中点．（1）求证：GH ∥平面CDE ；（2）若CD ＝2，DB ＝F －ABCD 的体积．16．（本小题满分14分）已知向量2x ka b =+和y a b =-，其中(1,2)a =-，(4,2)b =，k R ∈． （1）当k 为何值时，有x ∥y ；（2）若向量x 与y 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．FABCEDH GABCDE F（第13题图）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，半径OA 在x 轴的上方，现将半径OA 绕原点O 逆时针旋转3π得到半径OB ．设POA x ∠=(0x π<<)，()()f x OA OB OP =+⋅．（1）若2x π=，求点B 的坐标； （2）求函数()f x 的最小值，并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）如图，OA 、OB 是两条公路（近似看成两条直线），3AOB π∠=，在A O B ∠内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P 到直线OA 、OB 的距离分别为PD 、PE ，PD =6千米，PE =12千米．现经过纪念塔P 修建一条直线型小路，与两条公路OA 、OB 分别交于点M 、N ． （1）求纪念塔P 到两条公路交点O 处的距离； （2）若纪念塔P 为小路MN 的中点，求小路MN 的长．x设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，312S =． （1）求24a 与7S 的值；（2）已知m 、n 均为正整数，满足m n a S =.试求所有n 的值构成的集合．20．（本小题满分16分）如图，已知动直线l 过点1(0,)2P ，且与圆22:1O x y +=交于A 、B 两点． （1）若直线l，求OAB ∆的面积；（2）若直线l 的斜率为0，点C 是圆O 上任意一点，求22CA CB +的取值范围； （3）是否存在一个定点Q （不同于点P ），对于任意不与y 轴重合的直线l ，都有PQ 平分AQB ∠，若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2016/2017学年度第二学期高一年级期终考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分. 1、π20y -3、19-4、95、56、②③7、58、12π9、34(,)55- 10、2π11、22(1)2x y -+=12、205613、214、二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15. 解： (1)证明：连接FC ，∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC ． 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ……………2分 又H 为BE 的中点 ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG ∥CD ． ……………4分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴GH ∥平面CDE ． ……………6分(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且FA ⊥AD ，又FA ⊂平面ADEF∴FA ⊥平面ABCD ． ……………8分 ∵AD ＝BC ＝6，∴FA ＝AD ＝6．又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD ． ……………10分 ∵SABCD＝CD·BD＝82，∴V F －ABCD ＝13SABCD·FA＝13×82×6＝162． ……………14分16.解：（1）由//x y ，设x t y =，所以2()ka b t a b +=-，即()(2)t k a t b -=+， ……………2分 又(1,2)a =-，(4,2)b =，得a 与b 不共线， ……………4分 所以20t k t -=+=，解得2k =-. .……………6分（2）因向量x 与y 的夹角为钝角，所以(2)()0x y ka b a b ⋅=+⋅-<， ……………8分 又(1,2)a =-，(4,2)b =，得0a b ⋅=， ……………10分所以2225400x y ka b k ⋅=-=-<，即8k <， ……………12分 又向量x 与y 不共线，由（1）知2k ≠-，所以8k <且2k ≠-. ……………14分17.解：（1）因点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，又2x π=，且半径OA 绕原点O 逆时针旋转3π得到半径OB ， 所以56POB π∠=， ……………3分由三角函数的定义，得5cos16B x π=，5sin 16B y π=，解得B x =，12B y =，所以1()2B . ……………6分（2）依题意，(1,0)OP =，(cos ,sin )OA x x =，(cos(),sin())33OB x x ππ=++， (8)分所以3()cos()cos cos 322f x x x x x π=++=-，所以1()sin ))23f x x x x π-=-， ……… 12分因0x π<<，2333x πππ-<-<，所以当32x ππ-=时，即56x π=，函数()f x 取最小值 (14)分18.解法一：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则直线OB 的方程为y =， (2)分又P 到直线OA 的距离PD =6千米，设(,6)P t ， ……… 4分所以12=，解得t =或-（舍负），所以OP . 7分（2）因P 为小路MN 的中点，点M 在x 轴上，即0M y =，所以12N y =， ……… 9分又点N 在OB 上，所以N N y =，所以N x = ……… 10分由（1）知P ，所以M x =24MN =. ……… 14分答：（1）P 到点O 处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. (16)分解法二：（1）设POA α∠=，则3POB πα∠=-， (2)分因P 到直线OA 、OB 的距离分别为PD 、PE ，PD =6千米，PE =12千米， 所以612sin sin()3OP παα==-， ……… 4分所以2sin sin()3παα=-，化简得tan α=又22sin cos 1αα+=，所以sin α，6sin OP α==. ………7分 （2）设PMO θ∠=，则23PMN πθ∠=-， ……… 9分因P 为小路MN 的中点，即PM PN =， 所以6122sin sin()3πθθ=-，即2sin()2sin 3πθθ-=， ……… 12分 解得6πθ=，所以12224sin6MN PM π===. (14)分答：（1）P 到点O处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. ……… 16分19. 解：（1）因数列{}n a 是等差数列，所以32312S a ==，所以24a =， ……… 2分又11a =，所以公差3d =，所以13(1)32n a n n =+-=-，213(132)22n n nS n n -=+-=， (4)分所以2470a =，27377702S ⋅-==. (6)分（2）由（1）知32m a m =-，由m n a S =，得23322n nm --=， (8)分所以2223433442(1)6623n n n n n n n m n -++-++===--， (10)分因2(1)n n n n +=+为正偶数，22n n+为正整数， (12)分所以只需2(1)3n -为整数即可，即3整除1n -， ……… 14分所以，所有n 的值构成的集合为{}31,A n n k k N ==+∈. ……… 16分20. 解：（1）因为直线ll 213:+=x y ，则点O 到直线l 的距离412|21|==d ，……… 2分所以弦AB 的长度2154112||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，所以16152154121=⋅⋅=∆OAB S . ………4分（2）因为直线l 的斜率为0，所以可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21,23A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23B ， ………6分设点),(y x C ，则122=+y x ，又()222222221122222CA CB x y x y x y y ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+=++-+-+-=++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，… 8分 所以2242CA CB y +=-，又[]1,1-∈y ， 所以22CA CB +的取值范围是[]2,6.……… 9分（3）法一： 若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q 、又设),(11y x A 、),(22y x B ，因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ， ……… 10分代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1kx x k kx x +-=+-=+（*） ……… 12分若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的定义，AQ 与BQ 的斜率互为相反数有12120y t y t x x --+=，又1112y kx =+，2212y kx =+， 化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=，……… 14分代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ， 即2=t ， 即(0,2)Q ……… 16分 解法二若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q 、又设),(11y x A 、),(22y x B ，因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ， ……… 10分代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1kx x k kx x +-=+-=+（*） ……… 12分 若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的几何意义，点A 到y 轴的距离1d ，点B 到y 轴的距离2d 满足21:d QBd QA =，即||)(||)(2222212121x y t x x y t x -+=-+，化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=，……… 14分代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ， 即2=t ， 即(0,2)Q ……… 16分。
2016-2017学年广东省珠海市高一下学期期末数学试卷(A卷)(答案+解析)
广东省珠海市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）177（8）=（）（2）A．1111111 B．111111 C．1111101 D．10111112．（5分）f（x）=3x6﹣2x5+x3+1，按照秦九韶算法计算x=2的函数值时，v4=（）A．17 B．68 C．8 D．343．（5分）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，则女运动员抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，则xy=（）A．25 B．24 C．21 D．305．（5分）在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图是某工厂对甲乙两个车间各10名工人生产的合格产品的统计结果的茎叶图．设甲、乙的中位数分别为x甲、x乙，甲、乙的方差分别为s甲2、s乙2，则（）A．x甲＜x乙，s甲2＜s乙2B．x甲＞x乙，s甲2＞s乙2C．x甲＞x乙，s甲2＜s乙2D．x甲＜x乙，s甲2＞s乙28．（5分）由函数y=sin x的图象经过（）变换，得到函数y=sin（2x﹣）的图象．A．纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再向右平移个单位B．纵坐标不变，向右平移个单位，再横坐标缩小到原来的C．纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2 倍，再向左平移个单位D．纵坐标不变，向左平移个单位，再横坐标扩大到原来的2 倍9．（5分）若tanα=﹣2，则sin（）cos（π+α）=（）A．﹣ B．C．﹣D．10．（5分）等腰直角△ABC中，A=90°，AB=AC=2，则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣11．（5分）f（x）=﹣sin（x+）sin（x﹣）的最小正周期和一条对称轴方程为（）A．2π；x=kπ+，k∈Z B．2π；x=kπ+，k∈ZC．π；x=kπ+，k∈Z D．π；x=kπ+，k∈Z12．（5分）△ABC中，若=0，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．（5分）使用辗转相除法，得到315和168的最大公约数是．14．（5分）若sinα+cosα=，α为锐角，则=．15．（5分）运行右边的程序框图，输出的结果是．16．（5分）矩形区域ABCD中，AB长为2 千米，BC长为1 千米，在A点和C点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为．17．（5分）函数f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为．18．（5分）下面是被严重破坏的频率分布表和频率分布直方图，根据残表和残图，则p=，q=．19．（5分）若α，β∈（0，），sin（）=﹣，cos（）=，则α+β=．20．（5分）已知，则△ABM与△ACM的面积的比值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（﹣，1）．（1）若||=2 且∥，求的坐标；（2）若||=，（+3）⊥（﹣），求向量，的夹角的余弦值．22．（10分）下表是检测某种浓度的农药随时间x（秒）渗入某种水果表皮深度y（微米）的一组结果．（1）在规定的坐标系中，画出x，y的散点图；（2）求y与x之间的回归方程，并预测40秒时的深度（回归方程精确到小数点后两位；预测结果精确到整数）．回归方程：=bx+a，其中=，a=﹣b．23．（10分）=（3sin x，cos x），=（cos x，cos x），f（x）=•．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）x∈[﹣，]时，g（x）=f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x值．24．（10分）四名选手A、B、C、D参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，比赛结束，评委们会根据选手表现给每位选手评定比赛成绩，根据比赛成绩，对前两名进行奖励．（1）选手D至少获得两个合格的概率；（2）选手C、D只有一人得到奖励的概率．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点O为圆心的单位圆O与x正半轴的交点，在圆心角为的扇形AOB的弧AB上任取一点P，作PN⊥OA于N，连结PO，记∠PON=θ．（1）设△PON的面积为y，使y取得最大值时的点P记为E，点N记为F，求此时的值；（2）求k=a||•||+（a∈R，E是在（1）条件下的点E）的值域．【参考答案】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．A【解析】177（8）=7×80+7×81+1×82=127，127÷2=63…1，63÷2=31…1，31÷2=15…1，15÷2=7…1，7÷2=3…1，3÷2=1…1，1÷2=0…1，∴127（10）=1111111（2）．故选A．2．D【解析】f（x）=3x6﹣2x5+x3+1=（（（（（2x﹣2）x）x+1）x）x）x+1，按照秦九韶算法计算x=2的函数值时，v0=2，v1=2×2﹣2=2，v2=2×2×2=8，v3=8×2+1=17，v4=17×2=34．故选D．3．B【解析】一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，设女运动员抽取的人数为x，则，解得x=6．故选B．4．C【解析】∵一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，∴，解得x=7，y=3，∴xy=21．故选C．5．B【解析】设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，根据扇形的面积公式S=lr，可得：4=×4r，解得：r=2，再根据弧长公式l=rα，即：4=2α，解得α=2，可得扇形的圆心角的弧度数是2．故选B．6．A【解析】一次投掷两枚骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上点数之和不小于10，包含的基本事件有：（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共有6个，∴一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为：p==．故选A．7．D【解析】由茎叶图，得：x甲=34，x乙==43.5，∴x甲＜x乙；由茎叶图知甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，∴＞．故选D．8．B【解析】y=sin x的图象向右平移个单位可得y=sin（x﹣）的函数图象，再将y=sin（x﹣）的函数图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到y=sin（2x﹣）的函数图象，故选B．9．A【解析】∵tanα=﹣2，∴sin（）cos（π+α）=cosα（﹣cosα）=﹣=﹣=﹣=﹣．故选A．10．B【解析】等腰直角△ABC中，A=90°，AB=AC=2，则向量在方向上的投影为：||cos（π﹣B）=﹣2×cos=﹣；故选B．11．C【解析】f（x）=﹣sin（x+）sin（x﹣）=﹣cos（﹣x）sin（x﹣）=﹣sin（x﹣）cos（x﹣）=﹣sin（2x﹣），它的最小正周期为=π．令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，故选C．12．B【解析】因为△ABC中，若===0，所以AC与AC边上的中线垂直，所以△ABC是等腰三角形；故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．21【解析】315=168+147，168=147+21，147=21×7．∴315和168的最大公约数是21．故答案为：21．14．3【解析】由sinα+cosα=，两边平方得：1+2sinαcosα=，解得，2sinαcosα=；∴====3．故答案为：3．15．【解析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=的值．故答案为：．16．1﹣【解析】∵如图，扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°，∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=，同理可得，扇形CBF的在，面积S2=，又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2，∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P==1﹣，故答案为：1﹣．17．f（x）=3sin（2x+）【解析】根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象，可得A=3，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得，2•+φ=，∴φ=，故f（x）的表达式为f（x）=3sin（2x+），故答案为：f（x）=3sin（2x+）．18．30；0.1【解析】由频率分布表得到[70，80）内的频数为90，由频率分布直方图得到[70，80）内的频率为0.45，∴样本单元数n==200．∴p=200﹣90﹣60﹣20=30．q==0.1．故答案为：30，0.1．19．【解析】∵α，β∈（0，），cos（）=，∴∈（﹣，），可得：sin（）=±，∵α，β∈（0，），sin（﹣β）=﹣，∴﹣β∈（﹣，），可得：cos（﹣β）=，∴cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=±=，或1．即cos（+）=，或1，∴cos（α+β）=cos[2（+）]=2 cos2（+）﹣1=﹣，或1．∵α+β∈（0，π），∴可得：α+β=．故答案为：．20．β：α【解析】由，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，AE=βAC，AD=αAB，，则△ABM与△ACM的面积的比值为β：α故答案为：β：α三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．解：（1）设=（m，n），若||=2 且∥，其中=（﹣，1），可得m2+n2=4，m=﹣n，解得m=﹣，n=或m=，n=﹣，则=（﹣，）或（，﹣）；（2）若=（﹣，1），可得||=，又||=，（+3）⊥（﹣），可得（+3）•（﹣）=2﹣32+2•=0，即有3﹣3×2+2•=0，可得•=，向量，的夹角的余弦值为==．22．解：（1）在规定的坐标系中，画出x，y的散点图如图所示；（2）计算=×（5+10+15+20+30）=16，=×（6+10+10+13+16）=11；x i y i=5×6+10×10+15×10+20×13+30×16=1020，=52+102+152+202+302=1650，∴回归系数为：==≈0.53，a=﹣b=11﹣0.53×16=2.52；∴回归方程为：=0.53x+2.52；当x=40时，=0.53×40+2.52=23.72，即预测40秒时的深度23.72微米．23．解：（1）=（3sin x，cos x），=（cos x，cos x），∴f（x）=•=3sin x cos x+3cos2x=sin2x+=3sin（2x+）+；令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴3sin（2x+）+∈[﹣，]；∴f（x）的值域是[﹣，]，∴g（x）=f（x）+m的最大值为+m=，解得m=1，∴g（x）=f（x）+1；∴g（x）的最小值为﹣+1=﹣，此时x=﹣．24．解：（1）∵四名选手A、B、C、D参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，∴选手D至少获得两个合格的概率：p==．（2）所有获得奖励的可能结果有：（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共6种，选手C、D只有一人得到奖励包含的情况有：（AC），（AD），（BC），（BD），有4种，∴选手C、D只有一人得到奖励的概率p=．25．解：（1）ON=cosθ，PN=sinθ，∴y=cosθsinθ=sin2θ，∵0，∴当时，y取得最大值，此时E（，），F（，0），∴=．（2）=（cosθ，sinθ），=（，），∴=cosθ+sinθ=（sinθ+cosθ），∴k=a sinθcosθ+sinθ+cosθ，令sinθ+cosθ=sin（）=t，则sinθcosθ=，∵0，∴≤，∴1＜t，∴k=a•+t=，令f（t）=，①若a=0，则f（t）=t，∴f（t）的值域为（1，]；②若a＞0，则f（t）的对称轴为直线x=﹣＜0，∴f（t）在（1，]上单调递增，∴f（1）＜f（t）≤f（），即f（t）的值域为（1，+]；③若a＜0，则f（t）的图象开口向下，若﹣≤1，即a≤﹣1时，f（t）在（1，]上单调递减，∴f（t）的值域为[+，1）；若﹣≥，即﹣≤a＜0时，f（t）在（1，]上单调递增，∴f（t）的值域为（1，+]；若1＜﹣，即﹣1时，f（t）在（1，]上先增后减，∴f（t）的最大值为f（﹣）=，若1＜，即﹣1＜a＜2﹣2时，则f（t）的最小值为f（）=，若≤﹣，即2﹣2≤a＜﹣则f（t）的最小值为f（1）=1，综上，当a=0时，f（t）的值域为（1，]；当a≤﹣1时，k的值域是[+，1）；当a＞﹣且a≠0时，k的值域是（1，+]；﹣1＜a＜2﹣2时，k的值域是[，]；当2﹣2≤a＜﹣时，k的值域是（1，]．。
宁夏2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2016—2017学年度第二学期期末考试高一年级数学试卷（时间120分，满分120分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1. 下列向量组中,可以把向量表示出来的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，即，解得，即，故选D．考点：平面向量的基本定理．2. 已知,， ,，，若A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，据此可得：，解得：，即：3. 有下列说法：①若向量满足，且与方向相同，则＞；②；③共线向量一定在同一直线上；④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确说法的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】向量无法比较大小，①错误；由向量的性质可知，②正确；共线向量不一定在一条直线上，③错误；规定零向量与任何向量平行，④错误.本题选择B选项.4. 在中，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D则：或，即的形状是等腰三角形或直角三角形.本题选择D选项.5. 在△ABC中，已知角，，，则角C=（）A. B.C. D. 或【答案】D【解析】由正弦定理：可得：，则角C=或.本题选择D选项.6. 下列命题中，错误的是（）A. 在中，则；B. 在锐角中，不等式恒成立；C. 在中，若，则必是等腰直角三角形；D. 在中，若，，则必是等边三角形．【答案】C【解析】考查C选项：在△ABC中,∵acosA=bcosB,利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∵A,B∈(0,π),∴2A=2B或2A=2π−2B,∴A=B或，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题.本题选择C选项.7. 已知,向量与的夹角为，则等于（）A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：由已知可得考点：向量的模8. 已知锐角△ABC的内角的对边分别为，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：所以，于是又由，a=1，可得 .本题选择B选项.9. 已知，，，则（）A. B. C. D．【答案】C【解析】由题意可得：，则：据此可得：.本题选择C选项.点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．10. 在中，，其面积为，则等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，解得：，由余弦定理：，结合正弦定理结合分式的性质，则： .本题选择B选项.11. 在中，分别是所对应的边，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由正弦定理得：，又sinC=1，∴a=csinA，b=csinB，所以 ,由A+B=90°，得到sinB=cosA，则∵∠C=90°，∴A∈(0,90°),∴，∴ .本题选择C选项.12. 已知点，，则与向量同方向的单位向量为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由点的坐标可得：，向量单位化可得：与向量同方向的单位向量为 .本题选择A选项.点睛：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
___2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案
___2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案福州一中2016-2017学年第二学期第四学段模块考试高一数学（必修4）模块试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.设a=sin36°，b=cos(-52°)，c=tan218°，则（）A) a<b<cB) a<c<bC) b<c<aD) b<a<c2.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a/b=b/c，则△ABC是（）A) 等边三角形B) 有一个角是30°的直角三角形C) 等腰直角三角形D) 有一个角是30°的等腰三角形3.已知向量a，b不共线，且c=λa+μb，d=a+(2λ-1)b，若c 与d方向相反，则μ的值为（）A) 1/2B) -1/4C) 1/4或-1/4D) -1/24.已知tanθ=2，则sin(θ+sin^-1(7/25))-cosθ=（）A) -11/25B) 2/5C) 7/25D) 19/255.函数f(x)=(1-cos2x)cos^2(x/2)，x∈R是（）A) 最小正周期为π的偶函数B) 最小正周期为π的偶函数C) 最小正周期为π的奇函数D) 最小正周期为π的奇函数6.下列说法正确的是（）A) 若a·b=c且a≠0，则b=c/aB) 若sinθ=1/3，cosθ=4/5，且θ∈[π/2,π]，则tanθ=-3/4C) △ABC中，若AB>AC，则∠A>∠BD) 若f(x)是偶函数，则f(-x)也是偶函数7.已知tanα=tanβ/3，b=42，则∠B=45°是方程x^2+2πx+33+4=0的两根，α，β∈(π/3,π)，则α+β=（）A) π/3或4π/3B) 2π/3或5π/3C) π或2π/3D) π/3或4π/38.如图，在某地A第北偏西25°方向上有一条笔直的公路L，某天，A地收到在它___方向，距离24km的观测站C的报告：与C相距31km的公路L上的B处有一个人正以每小时5km的速度向A地进发。
XXX2016-2017学年高一下学期期末考试 数学试卷(word版含答案)
XXX2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷(word版含答案)XXX2016-2017学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟满分：150分得分：_______第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知a>b，则下列不等式一定成立的是A。
a^2.b^2B。
ac。
bcC。
|a|。
|b|D。
2a。
2b2.如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是n^2+2n。
n^2+3n+2A。
2n+1B。
3nC。
(n+1)(n+2)D。
2^(n-1)3.在△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若acosA=bcosB，则△XXX的形状一定是A。
等腰三角形B。
直角三角形C。
等腰直角三角形D。
等腰三角形或直角三角形4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2，a5是方程2x^2-3x-2=0的两个根，则S6=99A。
5B。
-5C。
22D。
-225.满足a=4，b=3和A=45°的△ABC的个数为A。
0个B。
1个C。
2个D。
不确定6.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，不等式f(x)1}，则函数y=f(-x)的图像可以为A。
奇函数B。
偶函数C。
非奇非偶函数D。
无法确定7.设集合A={x|ax^2-ax+1<0}，若A=∅，则实数a取值的集合是A。
{a|0<a<4}B。
{a|≤a<4}C。
{a|0<a≤4}D。
{a|≤a≤4}8.若数列{an}满足a1=1，log2(an+1)=log2(an)+1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则Sn=A。
2-2^(n+1)B。
2^(n+1)-1C。
2^n-1D。
2-2^n+19.已知钝角△ABC的面积是，AB=1，BC=2，则AC=A。
1B。
5C。
1或5D。
无法确定10.已知数列{an}的前n项和为Sn=aq^n(aq≠1，q≠0)，则{an}为A。
2016-2017学年吉林省长春联考高一下期末数学理科试卷(有答案)
2016-2017学年吉林省长春联考高一（下）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共计12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．2．（4分）已知，则a10=（）A．﹣3 B．C．D．3．（4分）在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°4．（4分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．5．（4分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）6．（4分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．7．（4分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．838．（4分）已知x，y是正数，且，则x+y的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．249．（4分）对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2，则a＜b；④；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．611．（4分）若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞）D．（∞，2]12．（4分）已知方程（x2﹣mx+2）（x2﹣nx+2）=0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m﹣n|=（）A．1 B．C．D．二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）不等式＞1的解集是．14．（4分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=．15．（4分）在△ABC中，面积，则∠C等于．16．（4分）设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值是．三、解答题（共56分，需要写出必要的解答和计算步骤）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．18．（10分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．已知a1+a3=16，S4=28．（1）求数列{a n}的通项公式（2）当n取何值时S n最大，并求出这个最大值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（﹣cosB，sinC），=（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．20．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．21．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：a n=+++…+，求数列{b n}的通项公式；（3）令c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．2016-2017学年吉林省长春联考高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共计12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（4分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．【解答】解：S===．△ABC故选B．2．（4分）已知，则a10=（）A．﹣3 B．C．D．【解答】解：∵，，…写出几项发现数列是一个具有周期性的数列，且周期是3，∴，故选B．3．（4分）在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【解答】解：锐角△ABC中，由正弦定理可得=，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，故B=60°，故选：B．4．（4分）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，=S△OBA+S△OCA∴S四边形OBAC=．故选：C．5．（4分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）【解答】解：因为，所以，化简得；x2+3x＜4即x2+3x﹣4＜0即（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，故选A．6．（4分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，=故选：D7．（4分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．83【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．8．（4分）已知x，y是正数，且，则x+y的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．24【解答】解：x+y=（x+y）（+）=1+9++≥10+2=10+6=16，当且仅当x=4，y=12时取等号，故x+y的最小值是16，故选：C9．（4分）对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2，则a＜b；④；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①根据不等式的性质可知若a＞b，c＜0，则ac＞bc或ac＜bc，∴①错误．②当c=0时，ac2=bc2=0，∴②错误．③若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＜b成立，∴③正确．④当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴④错误．⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd＞0成立，∴⑤正确．故正确的是③⑤．故选：B．10．（4分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C11．（4分）若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞）D．（∞，2]【解答】解：不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2]．故选B．12．（4分）已知方程（x2﹣mx+2）（x2﹣nx+2）=0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m﹣n|=（）A．1 B．C．D．【解答】解：设这四个根为x1，x2，x3，x4，公比为p其所有可能的值为，，，，由得x1x2x3x4=4，即，则p6=64⇒p=±2．当p=2时，四个根为，1，2，4，且，4为一组，1，2为一组，则+4=m，1+2=n，则；当p=﹣2时，不存在任两根使得x1x2=2，或x3x4=2，∴p=﹣2舍去．故选B．二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）不等式＞1的解集是{x|﹣2＜x＜﹣} ．【解答】解：不等式，移项得：＞0，即＜0，可化为：或，解得：﹣2＜x＜﹣或无解，则原不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}．故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣}14．（4分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=34．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，∴lna1+lna2+…lna17=ln（a1a2…a17）=34，故答案为：34．15．（4分）在△ABC中，面积，则∠C等于45°．【解答】解：由三角形的面积公式得：S=absinC，而，所以absinC=，即sinC==cosC，则sinC=cosC，即tanC=1，又∠C∈（0，180°），则∠C=45°．故答案为：45°16．（4分）设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值是3．【解答】解：∵，∴f（1﹣x）==∴f（x）+f（1﹣x）=∴f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）=6×=3故答案为：3三、解答题（共56分，需要写出必要的解答和计算步骤）17．（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：18．（10分）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．已知a1+a3=16，S4=28．（1）求数列{a n}的通项公式（2）当n取何值时S n最大，并求出这个最大值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3=16，S4=28．∴2a1+2d=16，4a1+d=28，联立解得：a1=10，d=﹣2．∴a n=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．（2）令a n=12﹣2n≥0，解得n≤6．∴n=5，或6时，S n取得最大值，为S6==30．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（﹣cosB，sinC），=（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（﹣cosB，sinC），=（﹣cosC，﹣sinB），∴，即，∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，可得cos（B+C）=，…（4分）即，结合A∈（0，π），可得．…（6分）（Ⅱ）∵△ABC的面积==，∴，可得bc=4．…（8分）又由余弦定理得：=b2+c2+bc，∴a2=（b+c）2﹣bc=16﹣4=12，解之得（舍负）．…（12分）20．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由bsinA+acosB=0及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA≠0，∴sinB+cosB=0，即tanB=﹣1，又0＜B＜π，∴B=．（2）由余弦定理，可得=≥2ac+ac，∴ac≤=2（2﹣），当且仅当a=c时取等号．∴S=sinB≤=﹣1，△ABC故△ABC面积的最大值为：﹣1．21．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：a n=+++…+，求数列{b n}的通项公式；（3）令c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*），∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．∴a n=2n．（2）数列{b n}满足：a n=+++…+，∴n≥2时，a n﹣a n﹣1==2．∴b n=2（3n+1）．n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．∴b n=2（3n+1）．（3）c n===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为A n，则A n=3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3A n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2A n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，可得A n=．∴数列{c n}的前n项和T n=+．。
湖北省2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)
湖北省部分重点中学2016-2017学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．（）a＞（）b2．（5分）与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线方程为（）A．4x+3y+5=0B．4x﹣3y+5=0C．4x+3y﹣5=0D．4x﹣3y﹣5=03．（5分）下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱4．（5分）已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为（）A．9πB．9C．3πD．35．（5分）直线（cos）x+（sin）y+2=0的倾斜角为（）A．B．C．D．6．（5分）设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线si nA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直7．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．8．（5分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）A．（﹣2m，﹣m﹣4）B．（5，1）C．（﹣1，﹣2）D．（2m，m+4）9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=as inA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定10．（5分）已知a＞b，ab=1，则的最小值是（）A．2B．C．2D．111．（5分）已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A．﹣3B．3C．﹣1D．112．（5分）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=．14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，则△ABC的面积S△ABC=．15．（5分）下列命题正确的有①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大；③过两点A（1，2），B（m，﹣5）的直线可以用两点式表示；④过点（1，1），且斜率为1的直线的方程为=1；⑤直线Ax+By+C=0（A，B不同时为零），当A，B，C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式．⑥若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于﹣1．16．（5分）设a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b为．n三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某几何体的三视图如图所示，作出该几何体直观图的简图，并求该几何体的体积．18．（12分）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B所走过的路线长．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C =．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．20．（12分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1 C1D1中分离出来的．（1）直接写出∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数．（2）求∠A1C1D的真实度数．（3）设BC=1m，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？21．（12分）（本题只限文科学生做）已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C 到直线AB的距离．22．（12分）（本题只限理科学生做）已知两定点A（2，5），B（﹣2，1），M（在第一象限）和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|=2，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求点C的坐标．23．已知函数f（x）=a•b x的图象过点A（0，），B（2，）．（I）求函数f（x）的表达式；（II）设a n=log2f（n），n∈N*，S n是数列{a n}的前n项和，求S n；（III）在（II）的条件下，若b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n．24．（本题只限理科学生做）已知S n为数列{a n}的前n项和，且，n=1，2，3…（Ⅰ）求证：数列{a n﹣2n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n•cosnπ，求数列{b n}的前n项和P n；（Ⅲ）设，数列{c n}的前n项和为T n，求证：．湖北省部分重点中学2016-2017学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．（）a＞（）b考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：根据不等式的性质，指数函数的单调性，绝对值的性质判断即可．解答：解：∵a＜b＜0，∴，|a|＞|b|，（）a＞（）b，∴ACD成立令a=﹣2，b=﹣1，则=﹣1，=，而﹣1＜，故B不成立．故选：B．点评：本题主要考查了不等式的性质，指数函数的单调性，绝对值的性质，属于基础题．2．（5分）与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线方程为（）A．4x+3y+5=0B．4x﹣3y+5=0C．4x+3y﹣5=0D．4x﹣3y﹣5=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．由条件求得故与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为﹣，且经过点（﹣，0），用点斜式求得要求直线的方程．解答：解：直线4x﹣3y+5=0的斜率为，与x轴的交点为（﹣，0），故与直线4x﹣3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为﹣，且经过点（﹣，0），故要求的直线方程为y﹣0=﹣（x+），化简可得4x+3y+5=0，故选：A．点评：本题主要考查关于x轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．3．（5分）下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：根据棱柱和棱台的定义分别进行判断即可．解：根据棱柱的定义可知，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，所以A，B，C错误，D正确．故选D．点评：本题主要考查棱柱的概念，要求熟练掌握空间几何体的概念，比较基础．4．（5分）已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为（）A．9πB．9C．3πD．3考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：∵圆锥的底面周长为6π，∴圆锥的底面半径r=3；双∵圆锥的母线长l=8，圆锥的高h==所以圆锥的体积V==3π，故选：C点评：本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，底面半径的求法，是必得分的题目．5．（5分）直线（cos）x+（sin）y+2=0的倾斜角为（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．解答：解：直线（cos）x+（sin）y+2=0的斜率为：=﹣，可得直线的倾斜角为：．故选：D．点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，考查计算能力．6．（5分）设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线si nA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直考点：正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．解答：解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．点评：本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．7．（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：压轴题；图表型．分析：解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．解答：解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选C．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．8．（5分）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（）A．（﹣2m，﹣m﹣4）B．（5，1）C．（﹣1，﹣2）D．（2m，m+4）考点：恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）= 0，令，即可求出定点坐标．解答：解：由直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0变形为m（x﹣2y﹣3）+（2x+y +4）=0，令，解得，∴该直线过定点（﹣1，﹣2），故选：C，点评：本题考查了直线系过定点问题，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=as inA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．10．（5分）已知a＞b，ab=1，则的最小值是（）A．2B．C．2D．1考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据ab=1，化简==，根据a＞b推断出a﹣b＞0，进而利用基本不等式求得其最小值．解答：解：==，∵a＞b∴a﹣b＞0∴≥2=2（当a﹣b=时等号成立）故选A．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则．11．（5分）已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A．﹣3B．3C．﹣1D．1考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，由z=x+ay，利用z的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=x+ay与可行域的边界AC平行时，从而得到a值即可．解答：解：∵z=x+ay则y=﹣x+z，为直线y=﹣x+在y轴上的截距要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个．∵a＞0把x+ay=z平移，使之与可行域中的边界AC重合即可，∴﹣a=﹣1∵a=1故选D．点评：本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z的几何意义，属于中档题．12．（5分）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（）A．B．C．D．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：求出平面上点（x，y）到直线的距离为d=，由于|5（5x﹣3y+2）+2|≥2，从而求得所求的距离d的最小值．解答：解：直线即25x﹣15y+12=0，设平面上点（x，y）到直线的距离为d，则d==．∵5x﹣3y+2为整数，故|5（5x﹣3y+2）+2|≥2，且当x=y=﹣1时，即可取到2，故所求的距离的最小值为=，故选B．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=0或1．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得．解答：解：∵直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，∴（3a+2）（5a﹣2）+（1﹣4a）（a+4）=0，化简可得a2﹣a=0，解得a=0或a=1故答案为：0或1点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，则△ABC的面积S△ABC=或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：由正弦定理得得sinC===，即C=60°或120°，则A=90°或30°，则△ABC的面积S△ABC===或S△ABC===；故答案为：或；点评：本题主要考查三角形面积的计算，根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．15．（5分）下列命题正确的有⑤①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大；③过两点A（1，2），B（m，﹣5）的直线可以用两点式表示；④过点（1，1），且斜率为1的直线的方程为=1；⑤直线Ax+By+C=0（A，B不同时为零），当A，B，C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式．⑥若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于﹣1．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：对每个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①α≠90°时，每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应，故不正确；②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，0°≤α＜90，当倾斜角增大时，斜率也增大；90°＜α＜180°，当倾斜角增大时，斜率也增大，故不正确；③m≠1时过两点A（1，2），B（m，﹣5）的直线可以用两点式表示，故不正确；④过点（1，1），且斜率为1的直线的方程为=1（x≠1），故不正确；⑤直线Ax+By+C=0（A，B不同时为零），当A，B，C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式，正确．⑥斜率存在时，若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于﹣1，故不正确．故答案为：⑤．点评：本题考查命题的真假判断，考查直线的斜率、倾斜角、直线的方程，属于中档题．16．（5分）设a1=2，a n+1=，b n=||，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b为2n+1．n考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：a1=2，a n+1=，可得==﹣2•，b n+1=2b n，再利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a1=2，a n+1=，∴===﹣2•，∴b n+1=2b n，又b1==4，∴数列{b n}是等比数列，∴．故答案为：2n+1．点评：本题考查了变形利用等比数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某几何体的三视图如图所示，作出该几何体直观图的简图，并求该几何体的体积．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥，求出它的体积，画出它的直观图．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥，且底面正方形的边长为1；∴该四棱锥的体积为V=×12×1=，画出该四棱锥的直观图如图所示．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，也考查了直观图的画法问题，是基础题目．18．（12分）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B所走过的路线长．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的路线长．解答：解：设点A关于l的对称点为A′（x0，y0），∵AA′被l垂直平分，∴，解得∵点A′（﹣4，﹣3），B（1，1）在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为=，即4x﹣5y+1=0，解方程组得入射点的坐标为（﹣，﹣）．由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x﹣4y+2=0，光线从A到B所走过的路线长为|A′B|==．点评：本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连线被对称轴垂直平分．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴s inBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过ab sinC求出三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAc osA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．20．（12分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1 C1D1中分离出来的．（1）直接写出∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数．（2）求∠A1C1D的真实度数．（3）设BC=1m，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°；（2）连接DA1，则△A1C1D的三条边都是正方体的面对角线，都是，利用等边三角形的性质即可得出；（3）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥C1﹣C B1D1的体积，即可得出．解答：解：（1）∠DC1D1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°；（2）连接DA1，则△A1C1D的三条边都是正方体的面对角线，都是，∴△A1C1D是等边三角形，∴∠A1C1D=60°．（3）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥C1﹣C B1D1的体积，而===．点评：本题考查了正方体的直观图的性质、等边三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（本题只限文科学生做）已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C 到直线AB的距离．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线AC，BC的方程，可得C的坐标，求出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求出顶点C到直线AB的距离．解答：解：∵∴∴直线AC的方程为即x+2y+6=0 （1）又∵k AH=0，∴BC所直线与x轴垂直故直线BC的方程为x=6 （2）解（1）（2）得点C的坐标为C（6，﹣6）…（8分）由已知直线AB的方程为：x﹣8y+26=0，∴点C到直线AB的距离为：d==…（12分）点评：本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．22．（12分）（本题只限理科学生做）已知两定点A（2，5），B（﹣2，1），M（在第一象限）和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|=2，l∥AB，如果直线AM和BN的交点C在y轴上，求点C的坐标．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：由点A、B的坐标并利用斜率公式得k AB=1，求出l的方程，设M（a，a）（a ＞0），N（b，b），利用，求出|a﹣b|=2，得C的坐标为与求解即可．解答：（理）解：由两定点A（2，5），B（﹣2，1），得k AB=1，于是k1=1，从而l的方程为y= x，…（2分）设M（a，a）（a＞0），N（b，b），由，得，故|a﹣b|=2…（4分）直线AM的方程为：，令x=0，则得C的坐标为直线BN的方程为：，令x=0，则得C的坐标为…（9分）故，化简得a=﹣b，将其代入|a﹣b|=2，并注意到a＞0，得a=1，b=﹣1所以点C的坐标为（0，﹣3）…（12分）点评：本题考查直线方程的求法，交点坐标的求法，考查计算能力．23．已知函数f（x）=a•b x的图象过点A（0，），B（2，）．（I）求函数f（x）的表达式；（II）设a n=log2f（n），n∈N*，S n是数列{a n}的前n项和，求S n；（III）在（II）的条件下，若b n=a n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：函数解析式的求解及常用方法；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）因为A和B在函数图象上代入求出a，b即可得到f（x）的解析式；（II）求得a n=log2f（n）=n﹣4，得到a n为首项为﹣3，公差为1的等差数列，则S n是数列的前n项和，利用等差数列的求和公式得到即可；（III）在（II）的条件下，若b n=a n=（n﹣4），所以得到T n，求出其一半，利用错位相减法得到即可．解答：解：（I）∵函数f（x）=a•b x的图象过点A（0，），B（2，）∴解得：a=，b=2，∴f（x）=2x﹣4（II）a n=log2f（n）==n﹣4∴{a n}是首项为﹣3，公差为1的等差数列∴S n=﹣3n+n（n﹣1）=n（n﹣7）；（III）b n=a n=（n﹣4）T n=﹣3×+（﹣2）×+…+（n﹣4）×①=﹣3×+（﹣2）×+…+（n﹣4）×②①﹣②，得：T n=﹣3×+++…+﹣（n﹣4）×∴T n=﹣2﹣（n﹣2）．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，以及等差数列前n项和公式的运用能力，用错位相减法求数列之和的能力．24．（本题只限理科学生做）已知S n为数列{a n}的前n项和，且，n=1，2，3…（Ⅰ）求证：数列{a n﹣2n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n•cosnπ，求数列{b n}的前n项和P n；（Ⅲ）设，数列{c n}的前n项和为T n，求证：．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）将n换成n﹣1，两式相减，再由等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）运用等比数列的通项公式，可得数列{a n}的通项，讨论n为奇数和偶数，运用分组求和，即可得到所求；（Ⅲ）求得{c n}的通项，由n=1，n＞1，运用放缩法，结合不等式的性质，即可得证．解答：（Ⅰ）证明：∵，∴．∴a n+1=2a n﹣2n+2，∴a n+1﹣2（n+1）=2（a n﹣2n）．∴{a n﹣2n}是以2为公比的等比数列；（Ⅱ）解：a1=S1=2a1﹣4，∴a1=4，∴a1﹣2×1=4﹣2=2．∴，∴．当n为偶数时，P n=b1+b2+b3+…+b n=（b1+b3+…+b n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=﹣（2+2×1）﹣（23+2×3）﹣…﹣+（22+2×2）+（24+2×4）+…+（2n+2×n ）=；当n为奇数时，Pn=．综上，．（Ⅲ）证明：．当n=1时，T1=，当n≥2时，==，综上可知：任意n∈N*，．点评：本题考查数列的通项和求和之间的关系，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，数列的求和：分组求和法，以及不等式的放缩法的运用，属于中档题．31。
2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B. C. D.【答案】AA.考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集.2. 直线过点( )C.【答案】C【解析】∵直线2x−3y+4=0的斜率为∴所求直线的方程为y−x+1)，化为一般式可得3x+2y−1=0本题选择C选项.3. ( )【答案】C【解析】设x<0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，本题选择C选项.4. 得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为( )C. 0D.【答案】BB.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；5. 设等差数列的前项和为，若( )A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为d，a1=−11,a4+a6=−6，可得−11+3d−11+5d=−6，解得d=2，则S n=na1(n−1)d=n2−12n=(n−6)2−36，当n=6时,S n取最小值−36.本题选择D选项.6. 中，内角D.【答案】A【解析】在△ABC2b=3c,求得a=2c,b.本题选择A选项.7. 已知满足约束条件，若的最小值为6，则的值为( )A. 2B. 4C. 2和4D. 中的任意值【答案】B【解析】x,y z=x+λy的最小值为6,可知目标函数恒过(6,0)点，由可行域可知目标函数经过A时，目标函数取得最小值。
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2017年普通高中一年级第二学期期末联考数学试题卷（A）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置.1. 设集合则A. B. C. D.【答案】A【解析】∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3）.故选A.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 直线的倾斜角为A. B.C. D.【答案】C【解析】一般式化为斜截式：，故k=，故倾斜角为.故选C.3. 数列…的一个通项公式是A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知a1=1，可排除A、B、D，故选C.4. 直线与直线平行，则它们的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是d===2，故答案为：2．学￥科￥网...5. 已知，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】∵,∴.故选:B6. 在空间直角坐标系，给出以下结论：①点关于原点的对称点的坐标为；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点，则的中点坐标是；④两点间的距离为. 其中正确的是A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④【答案】C【解析】对于①点关于原点的对称点的坐标为，故①错误；对于②点关于平面对称的点的坐标是，故②正确；对于④两点间的距离为. 故④错误.故选C.7. 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可以知道:该几何体是一个正三棱柱,高为2,底面正三角形的一边上的高为.底面正三角形的边长为2.该几何体的全面积所以C选项是正确的.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8. 已知等比数列满足，则等于A. 5B. 10C. 20D. 25【答案】D【解析】,故选D.9. 若等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】设顶角为C，∵l=5c，∴a=b=2c，由余弦定理得：．故答案为：D.10. 已知数列中，，则能使的可以等于A. B. C. 2017 D.【答案】C【解析】,,,同理可得:,,,,,能使的n可以等于16.所以C选项是正确的.11. 在正四面体中，为的中点，则CE与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：A．12. ，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.13. 在三角形中，内角所对的边分别为，若，且，则角_________.【答案】【解析】，，所以角为钝角，又，所以学￥科￥网...14. 圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的方程为________.【答案】【解析】试题分析：∵圆心与点关于直线对称，∴圆心为，又∵圆的半径为，∴圆的标准方程为．考点：圆的标准方程．15. 已知球，过其球面上三点作截面，若点到该截面的距离是球半径的一半，且，则球的表面积为_________.【答案】【解析】如图，设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，则OO′⊥面ABC．AB=BC=2，∠B=120°，在Rt△OO'B中，则sin∠OBO'=．在△ABC中，由正弦定理得=2R，R=2，即O′B=2．在Rt△OBO′中，由题意得r2﹣r2=4，得r2=．球的表面积S=4πr2=4π×=．16. 某企业生产甲，乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品需用原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1吨甲，乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业可获得最大利润为__________万元.【答案】18【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点B时，截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，=3x+4y=6+12=18．∴zmax即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故答案为：18．点睛：（1）利用线性规划求最值的步骤①在平面直角坐标系内作出可行域；②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；学￥科￥网...④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．求线性目标函数最值应注意的问题：①若，则截距取最大值时，也取最大值；截距取最小值时，也取最小值．②若，则截距取最大值时，取最小值；截距取最小值时，取最大值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知直线和点，设过点且与垂直的直线为.（1）求直线的方程；（2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用垂直关系推得斜率为，故直线方程为；（2）由（1）知与坐标轴的交点分别为与，由此易得面积.试题解析：（1）由题可知：斜率为，且过，所以的方程为即（2）由（1）知与坐标轴的交点分别为与所以学￥科￥网...18. 中，三内角所对的边分别为，若. （1）求角的值；（2）若，三角形的面积，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由及内角和定理，易得，故；（2）由余弦定理及三角形面积公式，易得b、c的方程组，解之即可.试题解析：（1）由题意得：，即；（2）由已知得：①②解之得.19. 等差数列的前项和记为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意布列首项与公差的方程组，从而易得数列通项公式；（2）根据，易得.试题解析：（1）由题意，故；（2）20. （1）若不等式的解集为. 求的值；（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用三个二次关系建立a的方程，解之即可；（2）讨论二次项系数，抓住抛物线的开口及判别式，问题迎刃而解.试题解析：（1）由题可知，所以；（2）当时显然成立。
学￥科￥网...当时，则有.综上有，。
21. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为的中点.（1）证明：；（2）设若二面角的大小为60°，求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）要证线面平行，即证线线平行，利用好中点；（2）由二面角的大小为60°，得到，进而得到三棱锥的体积.试题解析：（1）连，记与交于点. 则为的中点.易知又（2）过作于，连，故为二面角的平面角，三棱锥的体积点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22. 已知圆与直线相切.（1）求圆的方程；（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；（3）设圆与轴的负半抽的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1) ;(2) ；（3）.【解析】试题分析：（1）由圆心到切线距离等于半径确定圆O的方程；（2）讨论直线l的斜率，利用弦长为明确直线l的斜率;(3)联立，分别表示B、C的坐标，然后表示直线BC的方程，明确定点坐标.学￥科￥网...试题解析：（1）由题意知，所以圆的方程为（2）①若直线的斜率不存在，直线为，此时截圆所得弦长为，不合题意。
②若直线的斜率存在,设直线为即由题意，圆心到的距离,则直线的方程为（3）由题意知，设直线由得可得,用代替得,所以直线过定点点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。