高等流体力学笔记第2讲

第二章 流体运动学§2.1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法（Lagrange methord ）从流体质点为研究对象研究流体运动的一种方法。

也叫质点系法。

在拉格朗日法中，流体质点的运动轨迹的方程可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （2—1）式中x,y,z 为流体质点的轨迹座标值。

a,b,c 称为拉格朗日变量，是流体质点的标识符，不同的流体质点a,b,c 的值不同t 为时间变量。

式（2—1），当a,b,c 为一组常数时t 为变数时，表示某个确定的流体质点随时间t 运动的运动轨迹座标值轨迹线。

当t 为固定值，a,b,c 为一组变数时，表示该组质点在某一固定时刻所处的位置（即空间位置的座标值）。

流体质点的轨迹也可用向径表示：),,,(t c b a r k z j y i x r =++= 对于某个确定的流体质点，其速度向量V 可用向径随时间的变化率表示：dt dF V =对于不同质点的流体质点，a,b,c 为变数所以速度向量应表示为r 对时间的偏导数形式：),,,(t c b a V tr V =∂∂= 在直角正交坐标系中速度向量的表达为：k w j v i u V ++=其中 t x u ∂∂=，t y v ∂∂=，tz w ∂∂= 质点的加速度：),,,(22t c b a a tF t V a =∂∂=∂∂= k a j a i a a z y x ++=22t x t u a x ∂∂=∂∂=,22t y t v a y ∂∂=∂∂=,22t z t w a z ∂∂=∂∂= 同样，其它流体质点的物理量也均可表示成为拉格朗日变数的函数：密度：),,,(t c b a ρρ=压力：),,,(t c b a p p =温度：),,,(t c b a T T =一般情况下所有的流体质点的物理量均可表示成：),,,(t c b a B B =B 可以是标量，如T p ,,ρ,也可以是矢量如a V r ,,可统一称为流体质点的物理量。

二、欧拉法（Euler methord ）从流动空间点为研究对象研究流体运动的一种方法，如叫作流场法。

在欧拉法中，流体物理量均为空间位置和时间的函数不再关注流体某一空间位置是何流体质点，因此流体的各种物理量均可表示为：流速（场） ),,,(t z y x V V =密度（场） ),,,(t z y x ρρ=压强（场） ),,,(t z y x p p =温度（场） ),,,(t z y x T T =……在这里的表达式中),,(z y x 是流动空间位置的座标值。

当),,(z y x 为定值时，上面式子表示这些物理量在某一固定的空间点上随时间t 的变化过程。

而当t 为定值时，),,(z y x 为变数时，则表示某一物理量在某一时间在整个流动空间的“分布”情况。

上面的表达式也可用B 统一表示：),,,(t z y x B B =B 为用欧拉法表示的流动空间点上的物理量，可以是标量也可以是矢量。

在欧拉法中),,,(t z y x 也称为欧拉变数。

三、欧拉变数与拉格朗日变数之间的相互转换拉格朗日变数),,,(t c b a 也称为流体质点的标识符，其取决于起始时刻，流体质点所处的空间位置的座标值，因此用欧拉变数表示的物理量（空间位置的函数）与拉格朗日变量（质点起始状态所处空间位置的函数）表示的物理量可以进行相互转换。

1 将用拉格朗日变量表示的物理量转换为用欧拉变量表示的物理量。

即),,,(t c b a B B =→),,,(t z y x B B =对用拉格朗日变量表示的轨迹座标方程：⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （2—1）求逆变换可得： ⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t z y x c c t z y x b b t z y x a a上式),,(z y x 表示质点a,b,c 在t 时刻所处的空间位置座标，将其代入拉格朗日变量表示的物理量),,,(t c b a B B =后即可得出用欧拉变数表示的物理量：),,,(t c b a B B =＝),,,(t z y x B B =式（2—1）逆变换存在的条件是，其雅克比行列式：o cz c y c xb z b y b x a z a y a xc b a z y x D ≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),,(),,(或∞ 则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======),,,(),,,(),,,(t z y x c DD c t z y x b D D b t z y x a D D a c b a 2 把欧拉变量表示的物理量),,,(t z y x B 转换成用拉格朗日变量表示的物理量),,,(t c b a B 。

上面转换关键是要求出其迹线方程，并根据已知时刻a,b,c 确定积分常数。

首先对欧拉变数表示的速度场：dtdx t z y x u u ==),,,( dtdy t z y x v v ==),,,( dtdz t z y x w w ==),,,( 求积分，得出其迹线方程：),,,(321t c c c x x =),,,(321t c c c y y = （2—2）),,,(321t c c c z z =式中321,,c c c 为积分常数，其可由已知或给定的初始时刻A=t 0，的a,b,c 值确定，即),,,(11o t c b a c c =，),,,(22o t c b a c c =，),,,(33o t c b a c c =然后将321,,c c c 代入（2—2）式，再代入欧拉变量表示物理量),,,(t z y x B 后可得),,,(t c b a B 。

§2.2 流体的质点导数 质点导数：流体质点得物理量对时间的变化率. 拉法：在拉格朗日法中，因为所研究的对象即为流体的质点，故流体质点的物理量直接对时间的导数即为该物理量的质点导数，例如流体质点的矢径向量对时间求导即可得流体质点位移导数即质点得速度dt dF V =，而速度质点导数即流体质点的加速度dtV d a =。

欧法：在欧拉法中，因为其所研究的对象是流动空间，而不是流体质点本身，因此其流动物理量的质点导数是由两部分组成。

下面就以速度为例，看一下流体质点导数的表达形式及物理意义。

如图所示，在流体中相邻的两个空间点p p ',，若流体质点的速度分别为'P p V V ,,则流体质点从P 点运动到p '点，其速度的变化可表示为：),,,(),,,(t z y x V t t z z y y x x V V V V P P -∆+∆+∆+∆+=-=∆'该变化可展开为一阶的泰勒级数：)(2t o t tV z z V y y V x x V V ∆+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆ 而 t u x ∆=∆，t v y ∆=∆，t w z ∆=∆ 所以：V ∆=t u x V ∆∂∂t v yV ∆∂∂+t w z V ∆∂∂+t t V ∆∂∂+2)(t o ∆+ 上式引入矢性算子：k z j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇后可以表达为：)()(2t o t V V tV V ∆+∆∇⋅+∂∂=∆ 同除t ∆然后求极限即可得出欧拉法表示的速度质点导数：t V a t ∆∆=→∆0lim =t V ∂∂+V V ∇⋅=DtV D 即加速度。

从上面的推导可见，在欧拉法中，流体速度质点导数由两部分组成的，其中tV ∂∂称为时变加速度或当地加速度，是由于场量的非定常性 引起的，对于定常运动其为零。

V V ∇⋅称为位变加速度或迁移加速度，是由于场量的非均匀性引起的，对于均匀流动其为零。

对其他的物理量，其质点导数具有类似的形式可统一表示成： Dt DB =（t B ∂∂+B V ∇⋅）或Dt DB =（t∂∂+∇⋅V ）B B 可以是标量也可以是矢量 式子Dt D =（t∂∂+∇⋅V ）称为质点导数算子。

在正交曲线坐标系中，质点导数算子的表达式为：333222111q h V q h V q h V t Dt D ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 其中q 1 q 2 q 3为曲线坐标值，V 1 V 2 V 3为各坐标的速度分量，h 1 h 2 h 3为坐标变换中的拉梅系数。

在各个正交的曲线坐标系中其具体表达见下表：坐标系 q 1 q 2 q 3 V 1 V 2 V 3 h 1 h 2 h 3正交直角坐标系 x y z u v w 1 1 1柱面坐标系 r ε z V r V ε V z 1 r 1球面坐标系 R θ ε V R V θ V ε 1 R RSin θ§2.3 迹线、流线、流体线及其有关性质（流场的几何描述）迹线的定义：流体质点运动的轨迹线。

迹线的轨迹坐标：),,,(t c b a x x= 拉格朗日法 ),,,(t c b a y y =),,,(t c b a z z = 欧拉法中迹线的微元长度r d 应等于dt 时段内，质点沿速度矢量V 方向移动的距离： dt t z y x V r d ),,,(=或 k dz j dy i dx r d ++==k wdt j vdt i udt ++由上可得：),,,(t z y x u dtdx = ),,,(t z y x v dtdy = ),,,(t z y x w dt dz = 积分上式，并根据初试条件就可得迹线方程。

流线的定义：在某一瞬间，过流场中的一点，在流场中给出的光滑曲线，在该曲线上，任何一点曲线的切向方向与流体的速度矢量方向一致。

其数学表达式为：0=⨯r d V由流线定义的数学表达式可得 流线的微分方程式：0==⨯dzdy dx w v u k j ir d VVr d w dz v dy u dx === 式中r d 为流线上的微元弧长。

流线具有如下性质：1、 一般情况下，流线不能相交，为光滑连续曲线，因此在同一瞬间过空间的一个点只能划一条流线。

仅有三种情况例外：图流体的驻点（速度=0的空间点），奇点（流场的不连续点），流线相切点。

2、 在定常流动中，流线与迹线重合，且形状与位置不随时间变化。

3、 在某一瞬时，过空间每一个点都可划一条流线。

用流线可表观流场的流动状态，称其为流谱。

等流量变化时流线越密的地方流速就越大，压强就越小。

流管的定义：在流场中，由一与流线不重合的封闭曲线上各点所作流线形成的管状曲面称为流管。

根据其定义及流线性质可有如下性质或推论：1、 流管不能相交，流体质点不能够穿过流管的侧面，因此流入流出流管的流体质量应相等；2、 流管的形状与位置在定常流时不随时间变化；3、 流管不能在流场中（内部）中断； 连续流体线的定义：在同一时刻，由确定的一组连续排列的流体质点所组成的线面称为流体线。