高等流体力学笔记第2讲

第二章 流体运动学

§2.1描述流体运动的两种方法

一、拉格朗日法（Lagrange methord ）

从流体质点为研究对象研究流体运动的一种方法。也叫质点系法。在拉格朗日法中，流体质点的运动轨迹的方程可表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （2—1）

式中x,y,z 为流体质点的轨迹座标值。a,b,c 称为拉格朗日变量，是流体质点的标识符，不同的流体质点a,b,c 的值不同t 为时间变量。

式（2—1），当a,b,c 为一组常数时t 为变数时，表示某个确定的流体质点随时间t 运动的运动轨迹座标值轨迹线。当t 为固定值，a,b,c 为一组变数时，表示该组质点在某一固定时刻所处的位置（即空间位置的座标值）。

流体质点的轨迹也可用向径表示：

),,,(t c b a r k z j y i x r =++= 对于某个确定的流体质点，其速度向量V 可用向径随时间的变化率表示：

dt dF V =

对于不同质点的流体质点，a,b,c 为变数所以速度向量应表示为r 对时间的偏导数形式：

),,,(t c b a V t

r V =∂∂= 在直角正交坐标系中速度向量的表达为：

k w j v i u V ++=

其中 t x u ∂∂=，t y v ∂∂=，t

z w ∂∂= 质点的加速度：

),,,(22t c b a a t

F t V a =∂∂=∂∂= k a j a i a a z y x ++=

22t x t u a x ∂∂=∂∂=,22t y t v a y ∂∂=∂∂=,2

2t z t w a z ∂∂=∂∂= 同样，其它流体质点的物理量也均可表示成为拉格朗日变数的函数：

密度：),,,(t c b a ρρ=

压力：),,,(t c b a p p =

温度：),,,(t c b a T T =

一般情况下所有的流体质点的物理量均可表示成：

),,,(t c b a B B =

B 可以是标量，如T p ,,ρ,也可以是矢量如a V r ,,可统一称为流体质点的物理量。

二、欧拉法（Euler methord ）

从流动空间点为研究对象研究流体运动的一种方法，如叫作流场法。

在欧拉法中，流体物理量均为空间位置和时间的函数不再关注流体某一空间位置是何流体质点，因此流体的各种物理量均可表示为：

流速（场） ),,,(t z y x V V =

密度（场） ),,,(t z y x ρρ=

压强（场） ),,,(t z y x p p =

温度（场） ),,,(t z y x T T =

……

在这里的表达式中),,(z y x 是流动空间位置的座标值。当),,(z y x 为定值时，上面式子表示这些物理量在某一固定的空间点上随时间t 的变化过程。而当t 为定值时，),,(z y x 为变数时，则表示某一物理量在某一时间在整个流动空间的“分布”情况。

上面的表达式也可用B 统一表示：

),,,(t z y x B B =

B 为用欧拉法表示的流动空间点上的物理量，可以是标量也可以是矢量。在欧拉法中),,,(t z y x 也称为欧拉变数。

三、欧拉变数与拉格朗日变数之间的相互转换

拉格朗日变数),,,(t c b a 也称为流体质点的标识符，其取决于起始时刻，流体质点所处的空间位置的座标值，因此用欧拉变数表示的物理量（空间位置的函数）与拉格朗日变量（质点起始状态所处空间位置的函数）表示的物理量可以进行相互转换。

1 将用拉格朗日变量表示的物理量转换为用欧拉变量表示的物理量。

即),,,(t c b a B B =→),,,(t z y x B B =

对用拉格朗日变量表示的轨迹座标方程：

⎪⎩

⎪⎨⎧===),,,()

,,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （2—1）

求逆变换可得： ⎪⎩⎪⎨⎧===),,,()

,,,(),,,(t z y x c c t z y x b b t z y x a a

上式),,(z y x 表示质点a,b,c 在t 时刻所处的空间位置座标，将其代入拉格朗日变量表示的物理量),,,(t c b a B B =后即可得出用欧拉变数表示的物理量：

),,,(t c b a B B =＝),,,(t z y x B B =

式（2—1）逆变换存在的条件是，其雅克比行列式：

o c

z c y c x

b z b y b x a z a y a x

c b a z y x D ≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),,(),,(或∞ 则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====

==

),,,(),,,(),,,(t z y x c D

D c t z y x b D D b t z y x a D D a c b a 2 把欧拉变量表示的物理量),,,(t z y x B 转换成用拉格朗日变量表示的物理量),,,(t c b a B 。

上面转换关键是要求出其迹线方程，并根据已知时刻a,b,c 确定积分常数。

首先对欧拉变数表示的速度场：

dt

dx t z y x u u ==),,,( dt

dy t z y x v v ==),,,( dt

dz t z y x w w ==),,,( 求积分，得出其迹线方程：

),,,(321t c c c x x =

),,,(321t c c c y y = （2—2）