四种命题

四种命题的相互关系
¬p ¬q
¬q ¬p
一个符号 条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非 Ｐ”。
原命题则 q
逆否命题：若 q 则 p
命题:
原命题： 同位角相等，两直线平行。
逆命题： 两直线平行，同位角相等。
否命题： 同位角不相等，两直线不平行。
真 ___
假 真
假 ___ 假 ___
真
假 ___ 真 ___
假
真 ___ 真 ___
假 假
假 ___
2.四种命题的真假性之间的关系: 逆否命题 它们有相同 (1)两个命题互为_________, 的真假性. 互逆命题 互否命题 或_________, (2)两个命题为_________ 其真假性没有关系. 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真 假性相同.( ) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真 命题也没有.( )
【解析】1.选B.①否命题:若 x+y≠0,则x,y不互为相反数,真 命题.②逆否命题:若a2≤b2,则 a≤b,假命题.③否命题:若x>-3, 则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题: 相等的两个角是对顶角,假命题. 故选B.
2.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0, ∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴方程x2+x-m=0有实数根. ∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数 根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以 “如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆 否命题也为真.
2、分别写出下列各命题 的逆命题、否命题和逆 否命题： （1）正方形的四边相等。
相等，那么它是正方形。
否命题：如果一个四边
形不是正方形，那么它的 四条边不相等。
原命题： 如果一个四边 形是正方形，那么 它的四条边相等。
逆否命题：如果一个
四边形四边不相等，那 么它不是正方形。
逆命题：
2、分别写出下列各命题 的逆命题、否命题和逆 否命题： （1）正方形的四边相等。
若X2－３Ｘ＋２＝０， 则Ｘ＝１或Ｘ＝２ 。
否命题：
（2）若X=1或X=2，则 X2－3X+2=0。
若Ｘ１且Ｘ２， 则Ｘ２－３Ｘ＋２ ０。
逆否命题：
若X2－３Ｘ＋２ ０， 则Ｘ１且Ｘ ２ 。
结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是
分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P 则q”的形式）
【解析】1.“正弦值不相等的两个角的 终边不相同”的逆否命题为“终边相同 的两个角的正弦值相等”是真命题,所以 原命题是真命题. 答案:真
2.(1)原命题:若x2≠9,则x≠3; 逆否命题:若x=3,则x2=9,是真命题,所以原命题是 真命题. (2)原命题:若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则 a≤2; 逆否命题:若a>2,则方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根. 若a>2,则-a<-2,Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)<0, 所以方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,逆否命题是假 命题, 所以原命题为假命题.
四种命题的相互关系 1.下列四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命 题; ②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题; ③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题; ④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题 的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2.判断命题“如果m>0,则x2+x-m=0有 实数根”的逆否命题的真假. 【解题探究】1.写四种命题的关键是什 么? 2.一个命题与它的逆否命题的真假性之 间有什么关系? 探究提示: 1.写一个命题的逆命题、否命题和逆否 命题关键是分清命题的条件和结论. 2.一个命题与它的逆否命题同真同假.
它们之间的关系为:
互逆命题 原命题与逆命 题 否命题与逆否 命题 互否命题 原命题与否命 题 逆命题与逆否 命题 互为逆否命题 原命题与逆否 命题 逆命题与否命 题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同 的真假性,四种命题中有两对互为逆否命 题,所以四种命题中真命题的个数必须是 偶数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相 同,所以原命题与其逆否命题是等价命题, 因此,当直接证明原命题困难时,可以转 化为证明与其等价的逆否命题,这种证法 是间接证明命题的方法,也是反证法的一 种变通形式.
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.
(3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确.
例1:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a >
证明:假设 a 不大于 ∵a>0,b>0, ∴ a< b
b,则 a < b
b
或 a = b
a a < b a且 a b< b b
a=b.
a<b,
a= b
这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a > b 成立.
【变式训练】下列命题中为真命题的是 ( ) A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“若x>1,则x2>1”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命 题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 【解题指南】先写出相应命题再判断或 根据其等价关系判断.
【解析】选A.因为选项A:逆命题为 “x>|y|,所以x>0”.当y≥0时,x>y;当 y<0时,x>-y>y,所以x>y.命题“若x>y,则 x>|y|”的逆命题是真命题;选项B:逆命 题为“若x2>1,则x>1”,是假命题.因为 x2>1,所以x<-1或x>1;选项C:它的否命题 是“若x≠1,则x2+x-2≠0”.因为x≠1 时,x2+x-2可以为0,所以是假命题;选项D: 因为原命题是假命题,所以它的逆否命题 也是假命题.
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
命题（2）（3）（4）与命题（1）有什么关系
三个概念
１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题 设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做 原命题的逆命题。 ２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论 是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命 题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的否命题。 ３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和 结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定， 那么这两个命题叫做互为逆否命题。
练习
1、把下列命题改写成“若P则Q”的形式“： （1）末位是0的整数，可以被5整除； 若一个整数的末位是0，则它可以被5整除。
（2）到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线；
若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线。
2、填空：
（1）命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题 是： 若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。
练习： 写出下列命题的逆命题、否命题、 逆否命题，并判定真假。 1 ）若x、y都是奇数, 则x+y是偶数。 2）若x 0,则x 0
2
3）若x=1且y=2,则x+y=3 4）若A B，则C U A C U B
四种命题的真假关系 1.一般地,四种命题的真假性有且仅有下 面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关 系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词 时,直接判断命题的真假较为困难,这时 可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证 明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地 证明原命题为真(假)命题.
反证法
我们在初中学习过反证法,一般步骤如下: (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立.
已知 a，b，c∈R，证明：若 a＋b＋c<1，则 a，b，c 中至 1 少有一个小于 . 3
[证明]
原命题的逆否命题为“已知 a， b， c∈R， 若 a， b，
1 c 都大于或等于 ，则 a＋b＋c≥1”． 3 1 1 1 由条件 a≥3，b≥3，c≥3， 三式相加得 a＋b＋c≥1， 显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知 1 a，b，c∈R，若 a＋b＋c<1，则 a，b，c 中至少有一个小于3.
四种 命 题
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
复习:
1)可以判断真假的陈述句称为命题． 2)其中判断为真的语句称为真命题， 判断为假的语句称为假命题． 命题都是由条件和结论两部分构成 可写成 “若 P, 则 q” 的形式 或 “如果P,那么q” 的形式 或 “只要P,就有q” 的形式
观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数 根,如何判断此命题的真假? 【解析】命题“若a>1,则方程 x2+2ax+a2+a-1=0无实数根”的逆否命题 为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根, 则a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命题是真命 题.