抽象函数寻源与求解
浅谈抽象函数问题的解法_抽象函数讲课视频
浅谈抽象函数问题的解法_抽象函数讲课视频高考数学试题中常常会出一些抽象函数问题，虽然抽象函数没有具体的函数解析式，学生解题是感到无处下手，但大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景而得，解题时，若能以讨论抽象函数的背景入手，依据题设中抽象函数的性质，通过类比，推测出可能属于某种函数。
从而获得解题思路。
下面谈几类抽象函数问题及其解法。
1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数是由线性函数抽象而得到的函数。
例1. 已知函数的定义域为R，且对任意量X、Y∈R，有，当X＞0时，＜0，〔1〕证明：为奇函数；〔2〕证明：在R上为减函数；〔3〕求在区间[-3,3]上最大值和最小值分析：由条件可推测背景函数为解：〔1〕令X=Y=0，得又∴∴是奇函数。
〔2〕任取X1＜X2，则∵＞0∴＜0∴＜∴在R上为减函数。
〔3〕略点评：在定义域上有单调性，则＜x1＜x2 ,函数不等式〔或方程〕的求解，总是想方设法去掉抽象函数符号，化为一般不等式或方程求解，但无论如何都必需在定义域内或给定范围内进行。
2、指数函数型抽象函数指数函数抽象函数，即由指数函数抽象而得到的函数。
例2：设函数的定义域是R，当X＞0时，＞1，且对任意X、Y∈R，都有证明：〔1〕〔2〕在R上是增函数解析：由条件可联想到的背景函数是=x〔＞1〕证明：〔1〕令X=1，Y=0，得因为X＞1所以＞1，则〔2〕任取X1、X2∈R，且X1＜X2所以，==因为x2-x1＞0所以，＞1，即1- ＜0下面证明＞0当X1＞0时，＞0当X1=0时，= =1＞0当X1＜0时，-X1＞0，＞0= ＞0从而[1- ]＜0所以＞则在R上是单调递增函数。
点评：解决此类问题关键由已知条件和所求结果找出对应的指数函数模型，然后用其性质即可得出结果。
3、对数函数型抽象函数对数函数型函数是由对数函数抽象而得到的函数。
例3.设函数的定义域为〔0，+∞〕上单调递增，满足，〔1〕求证明〔2〕求〔3〕若，求X的范围〔4〕证明：〔n∈N+〕分析：由条件的定义域为〔0，+∞〕上单调递增，且，，欲证、，可推测的背景函数为解：〔1〕令X=1，Y=2，得，从而〔2〕〔3〕所以x2-3x≤4,解得-1＜X≤4又因为X-3＞0，所以3＜X≤4〔4〕因为所以点评：解此类问题关键是由已知条件和所求结果找出对应的对数函数模型，然后用其性质即可得出结果。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．【方法荟萃】1．函数原型法【例1】给出四个函数，分别满足①()()()f x y f x f y+=+；②()()()g x y g x g y+=；③()()()h x y h x h y=+；④()()()t xy t x t y=，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙的函数抽象而成的。
如正比例函数()(0)f x kx k=≠可抽象为()()()f x y f x f y+=+。
因此，我们可得知如下结论：（1）抽象函数()()()f x y f x f y+=+可由一个特殊函数正比例函数()(0)f x kx k=≠抽象而成的；（2）抽象函数()()()t xy t x t y=可由一个特殊函数幂函数()t x xα=抽象而成的；（3）抽象函数()()()g x y g x g y+=可由一个特殊函数指数函数()(0,1)xg x a a a=>≠抽象而成的；（4）抽象函数()()()h xy h x h y=+可由一个特殊函数对数函数()log(0,1)ah x x a a=>≠抽象而成的；（5）抽象函数()f x y+=()()1()()f x f yf x f y+-可由一个特殊函数正切函数()tanf x x=抽象而成的；根据上述分析，可知应选D。
2．代数演绎法【例2】设定义在R上的函数()f x对于任意,x y都有()()()f x y f x f y+=+成立，且(1)2f=-，当x>时，()0f x<。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。
3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
如何解决高一数学中的抽象函数问题
如何解决高一数学中的抽象函数问题在高一数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到头疼。
这些问题不像具体函数那样有明确的表达式，而是仅仅通过一些函数性质或运算关系来描述，具有较强的抽象性和逻辑性。
但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，抽象函数问题也能迎刃而解。
首先，我们要理解抽象函数的定义和常见类型。
抽象函数通常是指没有给出具体解析式的函数，而是通过一些条件，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，来描述函数的特征。
常见的抽象函数类型有：以函数运算关系给出的抽象函数，如$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋f(y)＄；以函数性质给出的抽象函数，如$f(x) ＝ f(x)＄表示函数为奇函数。
那么，解决抽象函数问题的关键在哪里呢？关键之一是赋值法。
通过对自变量赋予特殊值，往往能得出一些有用的结论。
比如，对于函数$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋ f(y)＄，我们可以令$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$，得到$f(0) ＝ f(0) ＋ f(0)＄，从而得出$f(0) ＝ 0$。
再比如，若已知$f(1) ＝ 2$，要研究$f(2)＄，我们可以令$x ＝ 1$，＄y ＝1$，得到$f(2) ＝ f(1 ＋ 1) ＝ f(1) ＋ f(1) ＝ 4$。
关键之二是利用函数的性质。
比如，如果已知函数是奇函数，那么$f(x) ＝ f(x)＄；如果是偶函数，就有$f(x) ＝ f(x)＄。
通过这些性质，可以将自变量转化为已知的形式，从而进行计算或推理。
例如，已知$f(x)＄是奇函数，且$f(2) ＝ 5$，那么$f(－2) ＝ f(2) ＝－5$。
关键之三是周期性。
如果函数具有周期性，我们可以利用周期将自变量的取值范围进行转化。
比如，若函数$f(x)＄的周期为$T$，那么$f(x ＋ kT) ＝ f(x)＄，＄k\in Z$。
例如，若函数的周期为$4$，＄f(1) ＝2$，求$f(9)＄，则可以将$f(9)＄转化为$f(9) ＝ f(1 ＋ 2\times 4) ＝ f(1) ＝ 2$。
抽象函数问题及其解法
抽象函数问题及其解法抽象函数是一种用来描述计算机程序中的操作的数学概念。
它是一种特殊的函数，它的输入和输出可以是任意类型的数据，而不仅仅是数字。
在编程中，抽象函数被用来表示更高层次的操作，而不是简单的数学运算。
抽象函数的定义通常包括函数的名称、输入参数和返回值的类型，但不包括具体的实现细节。
它描述了函数的功能和使用方法，而不涉及具体的算法和数据结构。
这使得抽象函数可以在多种编程语言和环境中使用，而不需要对具体的实现细节有任何了解。
抽象函数抽象函数在程序设计中有很多应用。
它可以用来表示一些问题的解决方法，也可以用来表达程序中的一个功能。
例如，可以用抽象函数来表示一个排序算法的方法，也可以用抽象函数来表示一个图形界面中的按钮操作。
抽象函数可以更好地描述程序的结构和行为，从而提高程序的可读性和可维护性。
抽象函数的解法在设计抽象函数时，需要使用一种统一的方法来定义函数的功能和使用方法。
一种常见的方法是使用伪代码来描述函数的操作。
伪代码是一种类似于自然语言的描述语言，它不是一种具体的编程语言，而是一种用来表示算法和程序逻辑的工具。
使用伪代码可以使程序员更加关注函数的功能和使用方法，而不是实现细节。
下面是一个求解阶乘的抽象函数的例子：```Function factorial(n: integer): integerBeginIf n < 0 ThenReturn -1 // 阶乘函数的输入不能为负数Else If n = 0 ThenReturn 1 // 0的阶乘为1ElseReturn n * factorial(n-1) // 递归调用本函数End IfEnd```在这个例子中，factorial函数用来计算一个非负整数的阶乘。
函数的输入参数是一个整数n，返回值也是一个整数。
函数首先根据输入参数的值进行判断，然后根据不同的情况返回相应的结果。
如果输入参数为负数，函数返回-1，表示输入不合法；如果输入参数为0，函数返回1，因为0的阶乘定义为1；否则，函数将输入参数减1，并递归调用自身，然后将结果与输入参数相乘，得到最终的结果。
解抽象函数的常用方法
解 令 ：Ｙ＝０，则 ０）＝ｌ／ ０）＋ ０），．’． ０）＝０．
令 Ｙ＝ 一 ，则 ）＋ 一 ）：０，．。．＿厂（一Ｘ）＝ 一 ），
． ‘ ． －厂（ ）是 奇 函数 ，
设 ＸＩ＜ ２．则 厂（ｘ２）一，（ １）＝＿厂（ ２一 １），
’ ’ ．
＞０√
）＜０，．’． ２一 ｌ＞０√Ｉ ２一 Ｉ）＜０，
例 ２ 定 义 在 Ｒ 上 的 函 数 ’（Ｘ）满 足 ｆ（ ＋Ｙ）＋１＝
ｆ（ｘ）＋，（ｙ） ÷）－０，且 ＞÷时 ）＜０．
（１）设 ａ ＝ ｎ）（ｎ∈Ｎ‘），求数 列 的前 项 和 Ｓ ． （２）判 断 －厂（ ）的单 调 性 ，并 证 明． 分 析 对 于 一 次 函 数 ｆ（ ）＝ ＋６（ ≠０）有 ｆ（ ）＋ ｙ）＝ ＋Ｙ）＋６成 立 ，分 析 本 题 条 件 ，该 题 是 以 函 数 ，（ ）＝２ｘ＋１为 模 型命 制 的．
抽象 ，从抽象到具体的辩证关系．下面略举数例加 以说明．
一 、 以正 比例 函数 为 模 型 例 １ 已知 ，（ ）是 定 义在 Ｒ 上 的 函数 ，对 任 意 的 ，ｙ∈
Ｒ，都 有 ｆ（ ＋Ｙ）＝Ｉ厂（ ）＋ｆ（，，），且 当 ＞０ 时 ，ｆ（ ）＜０，
，（１）：一２．当 一３≤ ≤３时，函数 ）是 否存在最 大值？若
小 结 ：抽 象 函数 都 是 以 中 学 阶 段 所 学 的 基 本 函 数 为 背
景．解题时 ，若 能根 据题 设中抽象 函数 的性 质寻求抽 象 函数
的特殊模型 ，灵活 变通 ，便可 寻找 到解 决 『ｎ】题的 突破 口 ，其
解题策略通常是 ：（１）利用 函数 的定 义来 解题 ；（２）利用 函
ｎ）＝ 一ｌ＋（ｎ—１）·（一２）＝ 一２ｎ＋１，
关于抽象函数问题的解法
抽象函数问题有关解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
抽象函数的常见解法
抽象函数的常见解法抽象函数的常见解法2019年3月抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数. 这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。
因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。
下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点, 从而使问题得以解决。
这类问题经常出现, 要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y 恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时, 可得f(x＋1)=f(x)＋x ＋1, 这相似于数列中的递推关系, 再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +nn(n+1)各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = 2∴ f(x) = x(x+1) 2例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x ∈R,y ∈R, 且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时, 可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)1求证：当x > 0时, f( ) = －f(x) x1分析:当令x=y=1时, 可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x· )可求得。
抽象函数的解题策略
抽象函数是数学中一个重要的概念，它用于表达抽象问题。
抽象函数可以帮助我们解决各种复杂问题，但如何正确地使用它们来解题是一个棘手的问题。
在本文中，我们将探讨抽象函数的解题策略，以帮助读者正确地解决抽象函数问题。
首先要明白，抽象函数是一种推理。
它们帮助我们找出一个函数的一组可能的值，这些值可以满足给定约束条件。
因此，使用抽象函数解决问题的关键是，要确定函数的可能值范围，只有这样，你才能选择一个最优解。
具体来说，要解决一个抽象函数问题，可以按以下步骤：
1. 首先，对函数的参数进行推断：它们是何种参数，可以取的范围是多大？比如说，整数型参数是否有范围限制？
2. 确定函数的参数大致范围，以限定函数的范围。
3. 测试函数取值。
试着进行一些取值测试，观察函数的输出，以期找到函数的最优解。
4. 通过观察函数的取值，识别它的模式。
5. 作出结论，确定函数的最优解。
此外，在解决抽象函数问题时，你还可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
只有理解了这些工具，你才能更好地探索和解决抽象函数问题。
总之，抽象函数是一种有力的推理工具，可以用来描述问题的解决过程。
解决抽象函数问题的核心是确定函数的可能值范围，这可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
当你掌握了这些技能，就可以更好地研究并解决抽象函数问题。
抽象函数问题及解法
抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。
打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。
如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解 设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12， 所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解 （1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)， 有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))， 所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评 题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解 令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0， 解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评 当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（ ）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析 由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评 我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析 实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解 由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解 因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评 对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解 由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析 （1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0）， 所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解 （1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组 有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。
求解抽象函数问题的思路
探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
高考抽象函数知识点
高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。
抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。
了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。
本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。
一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。
常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。
其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。
抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。
同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。
2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。
3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。
二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。
1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。
根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。
2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。
将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。
3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。
例析求解抽象函数问题的几种途径
解题宝典抽象函数问题对同学们的抽象思维能力和分析能力有较高的要求.抽象函数问题中往往不会给出具体的函数解析式，要求我们根据已知条件求函数的单调区间、最值、定义域，解函数不等式.下面结合实例，谈一谈解答抽象函数问题的几种途径.一、利用函数的单调性对于一些有关抽象函数的值域、单调区间、函数不等式、单调性问题，通常需根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，进一步利用函数的单调性解题.在利用函数的单调性解题时，往往要先根据题意确定函数的定义域，判断抽象函数的单调性和单调区间，再根据函数的单调性建立关系式.例1.函数f()x是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件：①对任意x、y∈R，都有f()x+y=f()x+f()y；②当x>0时，f()x<0，且f()1=-2.则函数f()x在区间[]-3,3上的值域为_____.解：设x1,x2∈[]-3,3，且x1>x2，则f()x1-f()x2=f()x1+f()-x2=f()x1-x2<0，所以f()x1<f()x2，则函数f()x在区间[]-3,3上是减函数，所以f()x max=f()-3=-f()3=-f()1+2=-f()1-f()1+1=-3f()1=6，f()x min=f()3=-f()-3=-6，即函数f()x在区间[]-3,3上的值域为[]-6,6.我们根据函数单调性的定义，先令x1,x2∈[]-3,3，x1>x2；然后将f()x1-f()x2，判断出差式的符号，即可判断出函数的单调性；再根据函数在[]-3,3上的单调性确定函数的最值点，即可解题.对于闭区间上的函数最值问题，通常要重点关注区间端点值，由函数的单调性可知函数的最值往往在区间端点处取得.例2.已知函数f()x对于任意正数a,b都有f()ab=f()a⋅f()b，且f()0=1，当x>1时，f()x>1，若f()x⋅f()5-x>1，求x的取值范围.解：令x1,x2∈()0,+∞，x1<x2，则f()x2f()x1=f()x2x1⋅x1f()x1=f()x2x1f()x1f()x1=f()x2x1，因为x2x1>1，所以f()x2f()x1=f()x2x1>1，f()x2>f()x1，可知函数f()x在()0,+∞上单调递增，因为f()ab=f()a f()b，所以不等式f()x f()5-x>1等价于f()x()5-x>f()0，可得x()5-x>0，解得0<x<5，故x的取值范围为()0,5.首先将f()x1、f()x2作商，即可根据函数单调性的定义判断出抽象函数在()0,+∞上的单调性；然后利用函数的单调性去掉f()x()5-x>f()0中函数符号“f”，将不等式转化为常规不等式，即可通过解不等式求得问题的答案.解函数不等式，通常要将不等式中的自变量转化到同一单调区间内，才能根据函数的单调性将问题转化为常规不等式问题.二、换元对于含有复杂式子、复合函数的抽象函数问题，往39往要采用换元法求解.即将复杂的式子、复合函数中的某一部分式子用一个新元替换，即可将函数简化，根据函数的性质、定义域求得问题的答案.例3.已知函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，求函数y =f ()x +3的定义域.解：由函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，可知-1≤x ≤1，∴-2≤2x ≤2，设t =2x ，∴y =f ()t 的定义域为[]-2,2，令t =x +3，可得-2≤x +3≤2，解得-5≤x ≤-1，∴函数y =f ()x +3的定义域为[]-5,-1.函数y =f ()2x 、y =f ()x +3均为复合函数，而y =f ()2x 中的2x ，y =f ()x +3中的x +3均与y =f ()x 中的x 的意义相同，于是令t =x +3，并将t 替换2x ，通过等量代换，求得函数y =f ()x +3的定义域.三、数形结合数形结合法是解答函数问题的重要思想方法.在解答抽象函数问题时，我们可以先根据已知条件确定抽象函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性；然后画出相应的函数图象，以明确函数图象的变化趋势，尤其要关注函数的最高点、最低点、单调区间、对称轴、对称中心、周期；再建立新的关系式，即可求得问题的答案.例4.已知f ()x 在R 上是奇函数，在区间[]0,2上单调递增，且f ()x -4=-f ()x .若方程f ()x =m ()m >0在区间[]-8,8上有四个不相等的根x 1、x 2、x 3、x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的值.图1解：∵f ()x 在R 上是奇函数且满足f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -4=f ()-x ，f ()4-x =f ()x ，∴函数的对称轴为直线x =±2，且f ()0=0，∵f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -8=f ()x ，∴函数的周期为8，∵函数f ()x 在区间[]0,2上单调递增，∴函数f ()x 在区间[]-2,2上单调递增，令x 1<x 2<x 3<x 4，根据图象的对称性可知x 1+x 2=-12，x 3+x 4=4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8.解答本题，需先根据已知条件确定函数的对称轴、周期以及单调性；然后画出f ()x 的大致图象，即可通过研究图象的变化情况，确定f ()x 与函数y =m 在区间[]-8,8上的4个交点的位置；再结合图象的对称性，求出x 1+x 2+x 3+x 4的值.例5.设函数f ()x 满足f ()2+x =f ()2-x ，f ()x 在[)2,+∞上是减函数，若f ()3x -1>f ()x +3，则x 的取值范围是_________.解：由题意知f ()x 的图象关于直线x =2对称，∵f ()x 在[)2,+∞上是减函数，∴f ()x 在()-∞,2上是增函数，其图象如图2所示.图2∵f ()3x -1>f ()x +3，可知点()3x -1,0到点()2,0的距离比点()x +3,0到点()2,0的距离小，∴||()3x -1-2<||()x +3-2，将不等式两边的式子平方并化简得：2x 2-5x -2<0，解得：12<x <2，∴x 的取值范围为()12,2.首先根据已知关系式确定函数的对称轴x =2和函数的单调性，即可画出函数的图象；然后结合图象，比较出点()3x -1,0和点()x +3,0到点()2,0的距离的大小关系，进而得到新不等式，通过解不等式得到x 的取值范围.解答抽象函数的问题方法很多，同学们只需根据已知条件和解题需求，进行赋值、换元、画图，灵活运用函数的性质，选择合适的方法，即可快速获得问题的答案.（作者单位：安徽省临泉第一中学）解题宝典40。
抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。
如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。
它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。
解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。
解：利用特殊值法 令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =， 有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二． 函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。
抽象函数定义域的类型和求解方式
抽象函数定义域的类型和求解方式介绍抽象函数是数学中重要的概念之一，它描述了输入和输出之间的关系。
在定义抽象函数时，我们需要考虑函数的定义域和值域。
本文将介绍抽象函数定义域的不同类型以及求解抽象函数的方式。
抽象函数定义域的类型抽象函数的定义域可以分为有限定义域和无限定义域两种类型。
有限定义域有限定义域是指抽象函数的输入值集合是有限的。
在这种情况下，我们可以使用离散的方式描述定义域。
例如，如果抽象函数描述了某个集合中每个元素的身高，那么定义域就是该集合中的元素。
无限定义域无限定义域是指抽象函数的输入值集合是无限的。
在这种情况下，我们需要使用连续的方式描述定义域。
例如，如果抽象函数描述了某个物体的位置随时间的变化关系，那么定义域就是一个时间区间。
求解抽象函数的方式求解抽象函数是指根据函数的定义域和值域来确定函数的输入和输出之间的关系。
解析法解析法是一种常用的求解抽象函数的方式。
通过分析函数表达式，我们可以得到函数的解析形式。
例如，对于线性函数 f(x) = ax + b，我们可以通过解析法得到函数的斜率和截距，从而确定函数的输入和输出之间的关系。
图像法图像法是一种直观的求解抽象函数的方式。
通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的特点，从而确定函数的输入和输出之间的关系。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过绘制函数的图像来研究函数的开口方向和顶点位置。
数值法数值法是一种通过计算来求解抽象函数的方式。
通过选择一组特定的输入值，计算函数的输出值，我们可以得到函数的部分输入和输出关系。
例如，对于三角函数 sin(x)，我们可以选择不同的角度值，计算函数在这些角度下的值，从而得到函数的近似的输入和输出关系。
总结本文介绍了抽象函数定义域的不同类型以及求解抽象函数的方式。
通过了解抽象函数的定义域和值域，我们可以更好地理解抽象函数的输入和输出之间的关系，从而应用它们到实际问题中。
聚焦抽象函数问题的类型与求解方法
ʏ马正清抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征式子的一类函数㊂由于抽象函数表现形式抽象,对数学思维能力考查的起点较高,使得这类问题成为函数内容的难点之一㊂下面介绍抽象函数的常见类型与求解方法㊂聚焦1:赋值法求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况,合理㊁巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值,使得问题获得简捷有效的解决㊂例1 已知y =f (x )+3x 2的图像关于原点对称,若f (2)=3,函数g (x )=f (x )-3x ,则g (-2)的值是( )㊂A.12 B .-12C .-21D .-27解:因为y =f (x )+3x 2的图像关于原点对称,所以f (-x )+3(-x )2=-[f (x )+3x 2],即f (-x )=-f (x )-6x 2㊂令x =2,则f (-2)=-f (2)-6ˑ22=-3-24=-27㊂在g (x )=f (x )-3x中,令x =-2,则g (-2)=f (-2)-3ˑ(-2)=-27+6=-21㊂应选C ㊂评注:题中令x =-2,构建g (-2)与f (-2)的关系,利用y =f (x )+3x 2的图像关于原点对称得到f (-x )=-f (x )-6x 2,通过赋值得到f (-2),从而可得g (-2)㊂聚焦2:赋值法探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到f (x )与f (-x )的关系㊂解题时,需要对有关变量进行赋值,使其最后只保留f (x )与f (-x )㊂例2 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x y )=f (x )+f (y ),f (2)=1,试判断此函数的奇偶性㊂解:令y =-1,可得f (-x )=f (x )+f (-1),再令x =-1,可得f (1)=f (-1)+f (-1)㊂令x =1,y =1,可得f (1)=f (1)+f (1),即f (1)=0,所以f (-1)=0,所以f (-x )=f (x ),即此函数是偶函数㊂评注:要得到f (x )与f (-x )的关系,首先令y =-1,可得到f (-x )=f (x )+f (-1),后面的任务就是设法证明f (-1)=0㊂聚焦3:利用配凑法证明抽象函数的单调性配凑法又叫配方法,是对数学式子进行一种定向变形(配成 完全平方 )的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简㊂例3 定义在R 上的函数f (x )满足:对任意实数m ,n 总有f (m +n )=f (m )㊃f (n ),且当x >0时,0<f (x )<1㊂判断f (x )的单调性㊂解:任取x 1,x 2ɪR ,令x 1>x 2,可得x 1-x 2>0,所以0<f (x 1-x 2)<1㊂f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2+x 2)-f (x 2)=f (x 1-x 2)㊃f (x 2)-f (x 2)=f (x 2)[f (x 1-x 2)-1]㊂下面研究f (x 2)的正负㊂令m =1,n =0,可得f (1)=f (1)㊃f (0),而0<f (1)<1,所以f (0)=1㊂令m =x ,n =-x ,可得f (x )=1f (-x )㊂当x <0时,-x >0,所以0<f (-x )<1,则f (x )=1f (-x )>0㊂由上可得,当x ɪR 时,f (x )>0,则f (x 2)>0㊂所以f (x 2)[f (x 1-x 2)-1]<0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )是R 上的减函数㊂评注:解答本题的难点是判断f (x 2)>0,而这其实就成了求函数的值域问题㊂聚焦4:赋值法求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数解析式,是指对题设中的有关参数进行赋值,得到函数解析式的某种递推关系,再求出具体的函数解析式㊂例4 已知函数f (x )满足:对一切自然数a ,b ,均有f (a +b )=f (a )+f (b )+a b 成04 创新题追根溯源 高一数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.立,且f (1)=1㊂求f (x )的解析式㊂解:令a =n (n ɪN ),b =1,则f (n +1)=f (n )+f (1)+n =1+f (n )+n ,即f (n +1)-f (n )=n +1,因此f (n )-f (n -1)=(n -1)+1㊂利用叠加可得f (n )-f (1)=1+2+ +(n -1)+1ˑ(n -1)=(n -1)n 2+1(),即f (n )=(n -1)n2+1()+f (1)=n (n +1)2㊂故f (x )=x (x +1)2(x ɪN )㊂评注:对于f (n )-f (n -1)=(n -1)+1,实质上就是数列的递推公式㊂聚焦5:定义法解抽象函数不等式解抽象函数不等式,可利用函数单调性的定义, 脱去 函数符号 f,再解不等式即可㊂例5 已知函数f (x )是定义在(0,+ɕ)上的减函数,且f x y()=f (x )-f (y ),f (2)=2,解不等式f (x )-f1x -3()ɤ4㊂解:由fxy()=f (x )-f (y ),可得fx y ()+f (y )=f (x )㊂令x =4,y =2,可得f (2)+f (2)=f (4),所以4=f (4),所以原不等式可化为f [x (x -3)]ɤf (4)㊂因为函数f (x )是定义在(0,+ɕ)上的减函数,所以x (x -3)ȡ4,x >0,x -3>0,ìîíïïï解得x ȡ4㊂故原不等式的解集为{x |x ȡ4}㊂评注:解答本题的关键是将函数不等式化为f (x 1)ɤf (x 2)的形式,利用区间上的减函数,将问题转化为不等式组求解㊂聚焦6:换元法求抽象函数的值换元法又称辅助元素法㊁变量代换法㊂通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,也就是把条件与结论联系起来,变为熟悉的形式,使得复杂的计算和推证简化㊂例6 已知函数f (x )是定义在(0,+ɕ)上的单调函数,且对x ɪ(0,+ɕ)都有f f (x )-4x[]=4,则f (4)=㊂解:令t =f (x )-4x,则f (t )=4,f (x )=t +4x ,所以f (t )=t +4t,所以4=t +4t,即t 2-4t +4=0,可得t =2㊂所以f (x )=2+4x ,所以f (4)=2+44=3㊂评注:f (x )无具体解析式,无法直接求解,因此为了简化结构,不妨令f (x )-4x=t ,得到f (t )=4和f (t )-4t=t ,两式联立可解出t ,使得问题顺利解决㊂设定义在R 上的函数f (x ),对于任意x ,y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )成立,且f (1)=-2,当x >0时,f (x )<0㊂(1)判断f (x )的奇偶性,并加以证明㊂(2)试问:当-3ɤf (x )ɤ3时,f (x )是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由㊂提示:对于任意x ,y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),可猜想抽象函数f (x )生成的原形函数为f (x )=k x ㊂当x >0时,f (x )<0,可知k <0,所以可大胆猜想:函数f (x )是奇函数,函数f (x )在R 上是减函数㊂(1)令x =y =0,可得f (0)=0㊂令y =-x ,可得f (0)=f (-x )+f (x ),所以f (-x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数㊂(2)设-3ɤx 1<x 2ɤ3,y =-x 1,x =x 2,则f (x 2-x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1)㊂当x >0时,f (x )<0,所以f (x 2-x 1)<0,即f (x 2)-f (x 1)<0,所以f (x 2)<f (x 1),可知f (x )在区间[-3,3]上单调递减㊂所以当x =-3时,f (x )有最大值f (-3)=-f (3)=-f (2+1)=-[f (2)+f (1)]=-[f (1)+f (1)+f (1)]=6;当x =3时,f (x )有最小值为f (3)=-6㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县民族中学(责任编辑 郭正华)14创新题追根溯源高一数学 2022年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
抽象函数问题的“原型”解法(数学
抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。
研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。
由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。
研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。
抽象来源于具体。
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。
如()(0)f x kx k =≠有121212()()()()f x x k x x f x f x +=+=+可抽象为()()()f x y f x f y +=+。
那么y =k x 就叫做抽象函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。
下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。
一、中学阶段常用抽象函数()f x 的“原型”（函数）1、()()()f x y f x f y +=+——y kx =(k 为常数）2、()()()f x y f x f y +=——y =xa （a ＞0且a ≠1） 3、()()()f xy f x f y =+——log a y x = (a ＞0且a ≠1)4、()()()f xy f x f y =——ny x =(n 为常数）5、()()2()()22x y x yf x f y f f +-+=或()()2()()f x y f x y f x f y ++-= －－y =cos ωx (ω为常数） 6、()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-－－y =tan x二、“原型”解法例析【例1】 设函数()f x 满足()()2()()22x y x y f x f y f f +-+=，且f (2π)=0，x 、y ∈R ；求证：()f x 为周期函数，并指出它的一个周期。
SX2020A024破解抽象函数问题的五种方法
破解抽象函数问题的五种方法近几年高考,加大了对抽象函数问题的考查力度，以体现高考重视对理性思维能力考查的命题思想.理解和掌握以下几种方法,有助于抽象函数问题的顺利解决.1、赋值法例1设函数)(x f 的定义域为R ，且)(y x f +=)(x f )(y f ⋅对于任意的实数y x ,恒成立.若已知,3)1(=f 试求)1()()3()4()2()3()1()2(-+⋅⋅⋅+++n f n f f f f f f f 的值,其中n 为大于1的正整数. 思路：赋y x ,为具体数值或另外的式子，发现规律.解析: 在抽象函数关系式)(y x f +=)(x f )(y f ⋅中,令1,1=-=y n x , 则 ),1()1()11(f n f n f ⋅-=+-即,3)1()1()(==-f n f n f 对n 为大于1的正整数均成立. 于是.33)1(3333)1()()3()4()2()3()1()2()1(-=-=+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅+++-n n n f n f f f f f f f n 个点评：利用抽象条件，通过赋值(赋具体值或代数式)是解决抽象函数问题的基本方法,要切实掌握.2、对称转化法例2 已知定义在R 上的函数)(x f 在区间（0，2）上是增函数，且对任意R x ∈，都有)2()2(x f x f -=+成立, 试比较)27(),25(),3(f f f 的大小. 思路：先利用函数的对称性将27,25,3转化到区间（0，2）内，再根据函数的单调性比较函数值的大小.解析：由)2()2(x f x f -=+可知, 函数)(x f 的图像关于直线2=x 对称, 因此对任意R x ∈，都有)4()(x f x f -=成立. 于是),23()254()25(),1()3(f f f f f =-==)21()274()27(f f f =-=. 因为函数)(x f 在区间（0，2）上是增函数，且,23121<< 所以),23()1()21(f f f << 即)25()3()27(f f f <<,. 点评：一般地，定义在R 上的函数)(x f y =，若)()(x b f x a f -=+, 则函数)(x f y =的图像关于直线2b a x +=对称. 特别地，若)()(x a f x a f -=+ (或)2()(x a f x f -=), 则函数)(x f y =图像关于直线a x =对称. 当0=a 时，函数的图像关于直线0=x (即y 轴)对称，此时)(x f y =为偶函数. 必须注意：“)()(x b f x a f -=+”与“)()(b x f a x f -=-” 的区别，后者意味着)(x f y =是以b a -为周期的周期函数. 特别地，若)()(a x f a x f +=-，则)(x f y =是以2a 为周期的周期函数。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；5、形如()0,ax by c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c⎛⎫-⎪⎝⎭； ()()()()()()()1111212112()()11fx f x a fx f x a fx f x a f x f x fx --+-+-+====--++++6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
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抽象函数寻源与求解
所谓抽象函数题，就是只提供一些运算性质，而不提供函数的具体的表达式的题目.一般地，一道抽象函数题都有其具体的函数作为命题背景.下面以指数函数和对数函数作为命题背景谈谈抽象函数题的改编与求解.
一、指数函数()(1)x f x a a =>在R 上是增函数，且过定点（0，1），且0x >时，() 1.f x >而指数有如下性质：x y x y a a a +=⋅，我们保留一部分性质，而其他一部分性质作为结论，可以编拟以下抽象函数题：
例1 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅，且当0x >时，() 1.f x >
（1）求(0)f .
（2）证明()f x 在R 上是增函数.
解：（1）(0)(00)(0)(0)f f f f =+=⋅，(0)1,f ∴=或(0)0.f =
但是(0)0f =时，对于任意0x >，()(0)()(0)0f x f x f x f =+=⋅=，这与当0x >时，()1f x >矛盾.所以(0) 1.f =
（2）设12,x x 是任意两个实数，且12x x <，则210x x ->，从而21() 1.f x x -> 121211()()()()
f x f x f x f x x x ∴-=--+12111211()()()()()f x f x x x f x f x x f x =--+=--⋅
121()[1()].f x f x x =-- 由11()()(0)122x x f f f ⋅-==知1()02x f ≠，所以111()()()022
x x f x f f =⋅>， 又211()0f x x --<，所以121()[1()]0,f x f x x --<即12()()0f x f x -<，12()(),f x f x <所以()f x 在R 上是增函数.
二、对数函数()log (1)a f x x a =>在（0，+∞）上是增函数，且过定点（1，0），且1x >时，()0.f x >而对数有如下性质：log ()log log a a a xy x y =+，于是我们可以编拟以下抽
象函数题：
例2 定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ⋅=+，且当1x >时，()0.f x >
（1）求(1)f .
（2）证明()f x 在（0，+∞）上是增函数.
解：（1）由(1)(11)(1)(1)f f f f =⋅=+得(1)0f =.
（2）设12,x x 是（0，+∞）上的任意两个实数，且12x x <，则21
1x x >，于是21()0.x f x > 212111()()()()x f x f x f x f x x ∴-=-⋅2111
()[()()]x f x f f x x =-+21()0x f x =-<， 所以12()(),f x f x <因此()f x 在（0，+∞）上是增函数.。