高中数学复习学(教)案(第31讲)向量的综合应用

题目第五章平面向量向量的综合应用高考要求(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念(2)掌握向量的加法和减法(3)掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件(4)了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式知识点归纳1运算的坐标表示和性质2(1)平面向量基本定理：21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+=(2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a＝λb ⇔1221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ²b＝O ⇔2121=+y y x x(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，即1PP＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式：设点),(y x P 按向量),(k h a =平移后得到点),(y x P '''，则OP ' ＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=- (6)正、余弦定理 正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=3两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a︱·︱b ︱cos θ其中︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ 称为向量b 在a 方向上的投影4向量的夹角：已知两个非零向量a 与b，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（01800≤≤θ）叫做向量a 与b的夹角cos θ=cos ,a ba b a b ∙<>=∙ =222221212121y x y x y y x x +⋅++题型讲解例1 已知a 、b 是两个非零向量，当a +t b（t ∈R ）的模取最小值时，（1）求t 的值；（2）求证：b ⊥（a +t b ）分析：利用|a +t b |2=（a +t b ）2进行转换，可讨论有关|a +t b|的最小值问题，若能计算得b ²（a +t b ）=0，则证得了b ⊥（a +t b）（1）解：设a与b 的夹角为θ，则|a +t b |2=（a +t b ）2=|a |2+t 2|b |2+2a²（t b ）=|a 2+t 2|b 2+2t |a |b |cos θ=|b |2（t +|||| a b cos θ）2+|a |2sin 2θ， 所以当t =－||||a b cos θ=－2||||cos ||θ a b b =－2⋅ a b|b |时，|a +t b |有最小值（2）证明：因为b ²（a +t b ）=b ²（a －2⋅ a b |b |²b ）=a ²b －a ²b=0，所以b ⊥（a⊥t b ）点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便对|a +t b |的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a +t b |2=（a +t b ）2进行向量的数量积运算；二是设a 、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题例2 已知OA =a，OB =b ，a ²b =|a －b |=2，当△AOB 面积取最大值时，求a 与b的夹角解：因为|a －b |2=4，所以a 2－2a ²b +b 2=4所以|a |2+|b |2=4+2a ²b=8，S △AOB =21²sin θ=21|a ||b|θ2cos 1-=2121≤213，（当且仅当|a |=|b |=2时取等号）所以当|a |=|b|=2时，△AOB 的面积取最大值，这时，cos θ=⋅ a b |a ||b |=222⨯=21，所以θ=60°例3 如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是圆心，C 在MN 上，向量CM 与PN 的夹角为120°，QC ²QM =2（1）求⊙C 的方程；（2）求以M 、N 为焦点且过点P 、Q 的椭圆的方程 分析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C 为原点，MN 所在直线为x 轴，求⊙C 的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a 、b 即可解：（1）以MN 所在直线为x 轴，C 为原点，建立直角坐标系xOy∵CM 与PN的夹角为120°，故∠QCM =60°于是△QCM 为正三角形，∠CQM =60°又QC ²QM =2，即|QC ||QM|cos ∠CQM =2，于是r =|QC|=2故⊙C 的方程为x 2+y 2=4（2）依题意2c =4，2a =|QN |+|QM |，而|QN |=2224-=23，|QM |=2， 于是a =3+1，b 2=a 2－c 2=23∴所求椭圆的方程为3242+x +322y =1评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视例 4已知平面向量11),(2a b =-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 2(3),,.x a t b y ka tb x y =+-=-+⊥ 且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围解：（1）2,0.[(3)]()0.x y x y a t b ka tb ⊥∴⋅=+-⋅-+=即222210,4,1,4(3)0,(3).4a b a b k t t k t t ⋅===∴-+-==- 即（2）由f (t )>0,得21(3)0,(0.4t t t t t ->>即t t <>则或例 5 已知A （－1,0），B （1,0）两点，C 点在直线032=-x 上，且,AC AB CA CB ⋅⋅ ,BA BC ⋅成等差数列,记θ为CA CB 与的夹角, 求tan θ解：设235(,),5124c y AC AB CA CB y BA BC ⋅=∴⋅=+⋅=-则又∵三者,AC AB CA CB ⋅⋅ ，BA BC ⋅成等差数列)3,23(23,43,422522±∴±=∴=∴=+∴c y y y当351(,(,(,222c CA CB =-=- 时︒<<︒∴=900,72cos θθ，23tan =∴θ 同理23tan ,)23,23(=-θ时c例6 已知△OFQ 的面积为26，且OF FQ m ⋅=，（Ⅰ）若646<<m 时，求向量OF 与FQ的夹角θ的取值范围;（Ⅱ）设||OF c = ，m =（146-）c 2时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程解：（Ⅰ）由已知，得1||||s i n (262||||c o s O F F Q O F F Q m πθθ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅=⎩所以 tan θ=m64， ∵646<<m∴1< tan θ<4，则4arctan 4<<θπ（Ⅱ）以为原点，OF所在直线为x 轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为：12222=-by a x ，（a >0，b>0）， Q 点的坐标为（x 1，y 1）， 则11(,)FQ x c y =-， ∵△OFQ的面积11||2OF y ⋅=∴y 1=c64，又由2111(,0)(,)()1)OF FQ c x c y x c c c ⋅=-=-= ，所以 c x 461=， |OQ|=128396222121≥+=+c c y x ， 当且仅当c=4时，|OQ|最小，此时Q 的坐标为（)6,6由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-16,1662222b a b a 解之得224,12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故所求的方程为112422=-y x例7 将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式 解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=ky y hx x 代入2x y -=，得到 k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y 设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由已知它们关于原点对称，即有⎩⎨⎧-=-=2121y y x x由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k hx h x由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且 又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x 解得49,21(.49-==a k 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一学生练习1|||a b a b ==±是的A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件2若向量()1,1a = ，()1,1b =- ，()1,2c =-，则c =A 1322a b -+B 1322b -C 3122b -D 3122a b -+3若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为A 30°B 60°C 120°D 150°4将抛物线742++=x x y 的图象按向量a平移，使其顶点与坐标原点重合，则a=（ ） A （2，3） B （－2，－3）C （－2，3）D （2，－3）5在△ABC中，已知||4,||1,ABC AB AC S AB AC ∆==⋅则的值为A －2B 2C ±4D ±26已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB共线的单位向量是A(1010e =-B((10101010e =--或 C (6,2)e =-D (6,2)(6,2)e =-或7设点P 分有向线段12PP 所成的比为43，则点P 1分2P P 所成的比为A 73-B 47-C 37D 74-8已知(1,2),(3,2),3a b ka b a b ==-+-与垂直时k 值为A 17B 18C 19D 209已知函数2)32cos(++-=πx y 按向量a平移所得图象的解析式为)(x f y =，当)(x f y =为奇函数时，向量a可以是A )2,6(--πB )2,12(--π C )2,6(π D )2,12π- 10O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),[0,),||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 11如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠； ②60=∠BAC ；③三棱锥D —ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直 其中正确的是 A ①② B ②③ C ③④ D ①④ 12下列四个命题，其中正确的个数有①对于实数m 和向量,,()a b m a b ma mb -=-恒有②对于实数m, n 和向量,()a m n a ma na -=-恒有③若(),ma mb m R a b =∈=则有 ④若(,,0),ma na m n R a m n =∈≠=则有A 1个B 2个C 3个D 4个13 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OAO B O C + 的最小值是14已知向量a ，b 满足|a | = 2，|b | = 3，两向量的夹角为60°，则||a ba b+=-15将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为16把一个函数图像按向量(,2)3a π=-平移后，得到的图象的表达式为2)6sin(-+=πx y ，则原函数的解析式为17在△ABC 中，(0)BD DC λλ=>，求证：1AB AC AD λλ+=+ 18 设向量(3,1),(1,2)OA OB ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求,OD OA OC OD +=时的坐标17证明（一）：由11,,BD DC DC BD BC BD DC BC BD λλλλ+===+∴= 得，高中数学复习教（学）案 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 源头学子小屋 http://www xjktyg com/wxc/ wxckt@126com 第11页 共11页 于是1BD BC λλ=+ ，11DC BC λ=+ ， 又,BD AD AB DC AC AD BD DC λ=-=-= 及，()AD AB AC AD λ∴-=- 即(1),1AB AC AD AB AC AD λλλλ++=+∴=+ 证明（二）：∵(0)BD DC λλ=> ， ∴()AD AB AC AD λ-=- ∵0λ>， ∴(1),1AB AC AD AB AC AD λλλλ++=+∴=+ 18解：设(,),,0,20OC x y OC OB OC OB y x =⊥∴⋅=-= ① 又//,(1,2)3(2)(1)0BC OA BC x y y x =+---+=即 73=-x y ② 联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x (14,7),(11,O C O D O C O A ∴==-= 于是 课前后备注。