高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元检测苏教版选修1-2资料
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2练测 第3章 数系的扩充与复数的引入 本章练测
第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1. 设,且则的值是 .2．已知其中是实数，为虚数单位，则.3.已知则实数.4.已知且则复数.5.设为虚数单位)，则.6. 若复数则 .7.已知复数满足则复数 .8.已知复数则的最大值为 .9.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数 .10..11. 复数的实部是.12. 已知复数与均为纯虚数，则.13. 在复平面内，复数对应的点位于第象限.14. 若复数是纯虚数，则．二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分）15. （14分）设复数若16.(14分)实数为何值时，复数分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.17. （14分）已知复数,当时,求的取值范围.18. （16分）求同时满足下列两个条件的所有复数:①是实数,且;②的实部和虚部都是整数.19.(16分) 已知复平面上两点对应的复数分别为1和i，设线段上的点所对应的复数为，求复数对应点的轨迹.20.（16分）复数,且是纯虚数,又复数,在复数所对应的点的集合中,是否存在关于直线对称的两点,如果存在,试求对称两点的坐标,如果不存在,说明理由.第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10. 11． 12． 13． 14．二、解答题15.16.17.18.19.20.第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）答案1.解析：因为所以2.解析：由题设条件得即根据复数相等的定义，有解得所以3.解析:由题意得∴解得4.解析：设则由得∴∴∴5.8 解析：化为标准形式，利用复数相等，求出∵∴∴6. 6-2i 解析:∵∴∴7. 1或解析：设则于是原等式化为即根据复数相等的条件，得解此方程组，得故或8.解析：因为，所以的最大值为.9. 2 解析:首先分母实数化，化简已知条件，再利用纯虚数的定义求出∵为纯虚数，∴∴10.解析:设则.两式相减得，进而得.11.2 解析：12.-2i 解析：依题意，可设则由于也为纯虚数，故，且解得故13.二解析：对应点的坐标为14. 3 解析：由得即.15. 解:得∴∴.16. 解：（1）当即当或时，为实数.（2）当时，是虚数，即当且时，为虚数.（3）当，且时，是纯虚数，即当时，为纯虚数.（4）当，且时，=0，即当时，.17.解：,,,由,得解得.故的取值范围是.18. 解:设则由条件①知,∴再由条件②知同时为整数.故满足条件①②的值只能取2,6.从而复数是19. 解：由题意知两点的坐标分别为故线段所在的直线方程为.又）在线段上，∴，且，设所对应点的坐标为，则又，∴.∴消去，得化简，得∵，，∴∴对应点的轨迹是抛物线在上的部分.20.解：设,由此得.∴设得消去得,即复数对应点集为抛物线（除去顶点）. 设抛物线上存在不同两点关于直线对称，直线的方程为,代入抛物线的方程，得.由,得,又由,得.∵的中点在直线上，即,得,与矛盾.故不存在关于对称的两点.。
2018年秋高中苏教版数学选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入章末检测(B)
第3章 数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________．2．复数1＋2i 3＝__________. 3．如图，设向量OP →，PQ →，OQ →，OR →所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，那么z 2＋z 4－2z 3＝______________.4．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝__________. 5．设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z z ＋z ＋z ＝______. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为________．7．若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为________．8．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值为________．9．若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p ＝________. 10．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为________．11．在复平面内，复数2i 1－i对应点的坐标为________． 12．下列命题，正确的是________．(填序号)①复数的模总是正实数；②虚轴上的点与纯虚数一一对应；③相等的向量对应着相等的复数；④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数．13．设z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋2i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．14．若复数z ＝23＋2i 对应的点为Z ，则向量OZ →所在直线的倾斜角θ＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)计算i －231＋23i＋(5＋i 19)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 222.16．(14分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i (x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x 的值．17．(14分)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．18．(16分)在复平面内，点P、Q对应的复数分别为z1、z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求点Q的轨迹．19．(16分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？20．(16分)已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．。
单元测试：选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》
选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》体卷共150分，考试时间120分钟）、选择题（共12小题，共60分）1.若复数z1 biT7 (bR,i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）3.A. —I5C. i2.在复平面内, 复数3.B . i 5D . i3i对应的点位于（A.3.复数第一象限2-的共轭复数是i 1.1 iB.第二象限C.第三象限D.第四象限4.复数Z log 121i log 32对应的点位于复平面的A、第一象限B、第二象限C、第三象限第四象限5.设t是实数，且1A.-26.复数Z cos范围是A. (0,2)7.设Z1, Z2是复数,A.C.8.若关于A.B.i sinB.是实数，则t=D.（0,2 ））在复平面上所对应的点在第二象限上,（,）2则下列结论中正确的是若Z12+ Z22>0,则Z12>-Z22Z12+ Z22=0x的方程x2129.下列推理合理的是C. D.的取值3(亍 2 )Z1=Z2=(1 2i)x 3mB.丄i12B.D.0有实根,C.| Z1-Z2|= •(乙|Z12|=| Z1|2则实数m等于（12Z2)2D.1 . I12A. f(x)是增函数，则f'(x) 0B. 因为a b(a、b R)，则a 2i b 2i (i是虚数单位)C. 、B是锐角ABC的两个内角，贝U sin cosD. 直线l i //12，则k i k? ( k i、k?分别为直线l i、J的斜率) io. i为虚数单位，则复数(1 i)2(1 i)的值为()A. 2 2iiii.复数(i -)4的值是(i B.)2 2i C. 2 2i D. 2 2iA、一4 B 、4 C 、一4i D 4i i2.若(i 2ai)i i bi ,其中a、 b€ R,i是虚数单位，则| a bi | =( )i .A. i B .5 C.卫D.52 2 4二、填空题(共i6分)2i3.方程x 4x 5 0的根为_____________i4.O为复平面中坐标原点，OA对应的复数为i 3i，将A点向右平移3个单位，再向上平移i个单位后对应点为B,则OB对应的复数为_________________吉=也~一违!0亡R丿=1■一申T15. 复数乜且*戈，则衣的值为________________ ；16. 关于X的方程(2 x)i 2 x(i是虚数单位)的解x ______________ .三、解答题(共74分)17. 已知：复数乙bcosC (a c)i ,z2(2a c) cos B 4i ,且z i z2，其中B、CABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边.(I)求角B的大小；(n)若b 2 2，求△ ABC的面积.求：（1 ）求cos （2）的值；0 —，且 sin22 _19.在复数范围内解方程z （z z）i18.已知复数 z 1cos i sin ,z 2 cos i sin乙 Z 25—,求sin 的值. 13（i 为虚数单位）.20.已知复数，其中是虚数单位, (1)当时，求；(2)当为何值时,21.已知复数z i满足：(1) (12»乙4 3i,Z n1 Z n 2 2i(n*、N ).(1)求复数z1(2)求满足z n13的最大正整数n.答案一、 选择题 1. C 2. D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. D 8. A 9. C 10. D 11. A 12. C 二、 填空题 13. x 2 i 14.4 2i 15.解析：所以16. 2i 三、解答题17•解析：(I)： z , z 2••• bcosC (2a c)cos B ----①，a c 4----②由①得 2acosB bcosC ccosB ——③在厶 ABC 中，由正弦定理得 2sin AcosB sin BcosC sinC cosB2si n AcosB sin(B C) sin( A) si nA•/ 0 Asin A 0• cosB1 ,•/ 0 BB (6)23(n) •• b 22,由余弦定理得b 2a22c 2ac cos B2a2c ac 8，-- ④由②得2a2c 2ac 1(6⑤由④⑤得ac -31in B = 18 ^3 2 3分S ABC— acs :— — ----- 3 " 1222 3 218.解析：（ 1) ：乙 z 2 (coscos ) i(s in sin ),2分2 _19.解析：原方程化简为z (z z)i 1 i ,设 z=x+yi(x 、y € R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ................. 4 分 1 j 3 x 2+y 2=1 且 2x=-1,解得 x=-—且 y=± — ,......... 7 分2 2.原方程的解是z=-1 4 i.8分a 2b (2 a b)i 4 3ia 2b42a b3a 2解之得：b 1故乙 2 i(2)由 Z n 1Z n2 2i(n N *)得z 2 z 1 2 2i Z 3 Z 2 2 2i Z 4 Z 3 2 2i.(coscos )2(sinsin42_COS( a3 )=53.25(2)v- 50<224.sin( a3 ) = -- .又 sin5.sina =si n [(a 3 )+=sin( a 3 )cos 3 +c2 3 /5、 33(3 5衬65(1)得 COS ( a12，二 cos 3 =——1313a 3 )sin 3143 3 )=511分2 221.解析：(1)设 z 1a b i ,(a,b R),则z 1 a bi(1 2i )(a bi) 4 3i3 ==4 x 5)2Z n Z n 1 2 2i(n z,n 2)累加得z n乙2(n 1) 2(n 1)i(n N*) z n 2n (2n 1)i(n N*) Z n , 4n2(2n 1)2、8n24n 1令z n 13,即8n24n 1 1692n2n 42 01 1 8 42 1 J 8 42 厂n 54 4n的最大正整数取值是4.。
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最新整理高二数学教案选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案第三章数系的扩充与复数的引入一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 是复数为纯虚数的（）A．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件2.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．（）A． B． C． D．4．复数z满足，那么＝（）A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于（）A.2B.23C.2D.－236.集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（）A｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2 ｝D.｛0，2，－2，2 ，－2 ｝7.设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（）8、复数，则在复平面内的点位于第（）象限。
A．一 B.二 C.三 D .四9.复数不是纯虚数，则有（）10.设i为虚数单位，则的值为（）A．4 B.－4 C.4i D.－4i二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
）11.设（为虚数单位），则z= ；|z|= .12.复数的实部为，虚部为。
13.已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为。
三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）15.（本小题满分12分）已知复数z=(2+ ) ).当实数m取什么值时,复数z是:（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。
（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）设 R，若z对应的点在直线上。
求m的值。
18．（本小题满分14分）已知关于的方程组有实数，求的值。
苏教版数学高二-高中数学选修1-2习题 第三章 数系的扩充和复数的引入3
宁县五中导学案(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是目要求的)1．复数－i＋1i＝( )A．－2i B.1 2 iC．0 D．2i【解析】－i＋1i＝－i＋(－i)＝－2i，故选A.【答案】 A2．(2014·烟台高二检测)已知i为虚数单位，复数z＝1－2i2－i，则复数z的虚部是( )A．－35i B．－35C.45i D.45【解析】1－2i2－i＝1－2i2＋i2－i2＋i＝4－3i5＝45－35i，所以复数z的虚部是－35.【答案】 B3．复数i2＋i3＋i41－i＝( )A．－12－12i B．－12＋12iC.12－12i D.12＋12i【解析】依题意得i2＋i3＋i41－i＝－1＋－i＋11－i＝－i1－i＝－i1＋i1－i1＋i＝1－i2＝选C.【答案】 C4．(2013·福建高考)已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． 【答案】 D5．(2014·泰安高二检测)复数3i －11＋i(i 为虚数单位)的模是( ) A. 5 B ．2 2 C ．5 D ．8 【解析】 3i －11＋i ＝3i －11－i 1＋i1－i＝2＋4i 2＝1＋2i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪3i －11＋i ＝|1＋2i|＝ 5. 【答案】 A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34.【答案】 A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上 B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 【答案】 C8．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9．若i 为虚数单位，图1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )图1A ．EB ．FC ．GD ．H【解析】 由题图知z ＝3＋i ，所以z 1＋i＝3＋i1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i 1－i＝4－2i2＝2－i ，故对应点【答案】 D10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ， ∴⎩⎨⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．复数z ＝1i 的共轭复数是________．【解析】 z ＝1i ＝ii 2＝－i ，∴z ＝i.【答案】 i12．(2014·莆田高二检测)若z ＝(1－2i)(a －i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为___【解析】 因为z ＝(1－2i)(a －i)＝a －2－(1＋2a )i 为纯虚数，所以a －2＝0，－(1＋2a )≠0＝2.【答案】 213．设x ，y 为实数，且x1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________. 【解析】x 1－i＋y 1－2i＝51－3i⇒x1＋i1－i 1＋i＋y1＋2i 1＋2i 1－2i＝51＋3i1－3i 1＋3i⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 【答案】 414．复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数值范围是________．【解析】 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z －＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ，复平面内对应的点在第一象限， 得⎩⎨⎧m 2－3m ＋2>0－m 2－2m －8>0，解得－2<m <1或2<m <4. 【答案】 (－2,1)∪(2,4)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？【解】 z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．16．(本小题满分12分)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．【解】 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为 z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.17．(本小题满分12分)(2014·南昌高二检测)设z ＝(1＋i)8＋3－i 1＋2i －815－35i ，求复数z 对应的点的距离．【解】 z ＝(1＋i)8＋3－i 1＋2i －815－35i ＝[(1＋i)2]4＋3－i 1－2i 1＋2i1－2i－815－35i ＝(2i)4＋1－7i 5－815－35i ＝815－75i －815－35i ＝－2i. 所以复数z 对应的点为(0，－2)，到原点的距离为2.18．(本小题满分14分)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实根b . (1)求实数a ，b 的值；。
苏教版高中数学选修第三章数系的扩充与复数的引入综合测试
高中苏教选修（1-2）第三章 数系的扩充与复数的引入综合水平测试一、选择题1．下列四个命题中真命题的个数是（ ）①0比i -大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；④如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A2．复数34z i =+对应的点Z 关于原点的对称点为1Z ，则对应的向量1OZ u u u u r为（）A ．34i --B ．43i +C ．43i --D ．34i -+答案：A3．2(1)i i -g 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．2-D ．2答案：D4．复数13z i =+，21z i =-，则12z z z =g 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D5．13()i i --的虚部为（ ）A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-答案：D6．已知复数z 与2(2)8z i +-均是纯虚数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -答案：B二、填空题7．51ii +-的值为 ．答案：23i +8．设2003111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则z = ．答案：1i --9．86i +的平方根是 ．答案：(3)i ±+10．复平面内，已知复数1()3z x i x =-∈R 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是 ．答案：33x -<< 三、解答题11．若(310)(2)19i y i x i -+-+=-，求实数x y ，的值．解：原等式可整理为(32)(10)19y x y x i i -+-+=-．根据复数相等的充要条件，得方程组321109y x y x -=⎧⎨-+=-⎩，11x y =⎧∴⎨=⎩． 12．已知(0)1a i z a a i -=>∈-R ，，复数()z z i ω=+的虚部减去它的实部所得的差是32，求复数ω． 解：把1a i z i -=-代入，得111(1)11112a i a i a i a i i a ai i i i i ω----+++⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭． 于是113222a a a ++-=g ，即24a =． 0a >Q ，2a ∴=，332i ω=+． 13．在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2i -． （1）如果点A 关于直线3x =的对称点为B ，求向量OB uuu r 对应的复数；（2）如果点A 关于直线y x =-的对称点为C ，求向量OC u u u r 对应的复数．解：（1）根据复数的几何意义可知(21)A A -，，关于直线3x =的对称点为(41)B -，，所以向量OB uuu r 对应的复数是4i -；（2）已知点(21)A -，，则A 关于直线y x =-的对称点为(12)C -，，所以向量OC u u u r 对应的复数是12i -．14．已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，试求纯虚数m 的值． 解：设此方程的实根为0x ，纯虚数(0)m ai a a =∈≠R 且，则原方程可化为200(12)(31)0x i x ai i ++--=． 整理得2000(3)(21)0x x a x i ++++=．由复数相等的充要条件，得方程组200030210x x a x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得012112x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以112m i =．。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
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2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
12345
解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
数学第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试3(苏教版选修1-2)
第三章 数系的扩充与复数的引入测试题一．选择题（每小题5分，共50分）1．设z 为复数，则“1=z ”是“R zz ∈+1”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．下面四个命题中正确的命题个数是 （ ）①0比i -大 ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；④如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． A.0 B.1 C.2 D.3 3．已知122,13z i z i =-=+，则复数5i 21z z +的虚部为 （ ） A.1B.－1C.iD.－i4．220071i i i ++++的值是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．i5.复数221(23)()2z a a a a i =-+--+()a R ∈在复平面内对应点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.复平面内，方程|z |2－3|z |－4=0所表示的轨迹图形是 ( ) A.两个点 B.两条直线 C.一个圆 D.两个圆7.椭圆92522y x +=1的复数表达形式为 （ ） A.|z －4|+|z+4|=10 B.|z －4i |+|z+4i |=10C.|z －3|+|z+3|=10D.|z －3i |+|z+3i |=108.设z 1，z 2∈C ,且120z z ≠，1221A z z z z =+，1122B z z z z =+,则A 与B 之间 ( ) A.不能比较大小 B. A B ≤ C. A B ≥ D. A B =9.当n N ∈时，计算n i ,下列四个结论中正确的是 （ ） A.11)(444===n n n i i B. n nn i i )1()(22-==，其值为1或i ± C. 333)1()(n nn i i -==其值不定 D. n i 的值可能是1±或i ±10.已知{}226M z z z =++-≤，{}11N z z =+≤，则N M ,的关系是（ ） A.M N ⊆ B. M N ⊇ C. M N N ⋃= D. ∅=⋂N M二．填空题（每小题6分，共36分）11．设复数z 满足11z i z-=+, |1|z +=12. 设C z ∈，由复数222,,,,,,,z z z z z z z z z 所构成的集合中最多有 个元素13. 已知11-=+x x ，则3422)1)(1(x x x x x +-+-的值为 14．设12,z z C ∈，112||||1z z z =-=，12||2z z +=，则2||z = 15．若,C Z ∈且221,Z i -+=则Z 的最大值是16．关于x 的方程260x x m -+=有两个虚根12,x x ，且满足124x x -=，则实数m = 三．解答题（共5小题，74分）17．（14分）已知：复数2211112222log 2log (log 3log )z x x i x x =-+-,求满足下列统计的x 的值.（1）z 为纯虚数； （2）0z >．18．（16分）解关于x 的方程： （1）3()z z =； （2）221(33)0x x x i ----=19（14分）已知在复平面上点A 、B 对应复数1和i ，该线段AB 上的点Z 对应复数z ，求复数z 2对应点的轨迹方程20．（14分）设βα,是关于x 的方程)(022R m m x x ∈=++的两根，求βα+的值. 21．（16分）若0a ≤，解关于复数z 的方程：z|z|+a z+i =0．参考答案一．选择题1．A 2．A 3．A. 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10.B 二．填空题：11；12．5；13．4；14；15．1+；16．13． 三．解答题17解(1)211221221122log 2log 01log 24log 3log 0x x x x x x -=⎧⎪⇔=⇔=⎨-≠⎪⎩，所以，当14x =时，z 为纯虚数. (2)211221221122log 2log 010log 38log 3log 0x x z x x x x ->⎧⎪>⇔⇔=⇔=⎨-=⎪⎩, 所以，当18x =时, 0z >. 18．解（1）方程两边取模，得：3|()|||z z =,即3||||z z =, ∴||0z =或||1z = 当||0z =时，0z =当||1z =时，1z z ⋅=，∴ 1z z =，原方程化为：31()z z=，41z =，∴1z =±或z i =± 综上，原方程的解为：0，1±，i ±.（2）原方程可化为：2(23)130x i x i -+-+=,22[((23)]4(13)1i i i ∆=-+--+=-=(23)2i ix +±=∴12x i =+或1x i =+ ∴ 原方程的解为：12x i =+或1x i =+19．解：线段AB 的方程为：1x y +=(01)x ≤≤ 设(1)z a a i =+-()a R ∈，2(,)z x yi x y R =+∈则2[(1)]a a i x yi +-=+，即212(1)a a a i x yi -+-=+∴ 212(1)x a y a a =-⎧⎨=-⎩，消去a 得：1(1)(1)2x y x +=+-，即21122y x =-+∴ 复数z 2对应点的轨迹方程为：21122y x =-+(11)x -≤≤.20．解：m 44-=∆，（1）当0≥∆，即1≤m 时，方程有两个实根：m -+-=11α，m ---=11β， ①当10≤≤m 时，βα+=m m -++--1111=2； ②当0<m 时，βα+=m -12；（2）当0<∆，即1>m 时，方程有两个共轭虚根：i m 11-+-=α，i m 11---=ββα+=m m m 21111=-++-+. 综上所述：βα+=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<-)1(,2)10(,2)0(,12m m m m m .21．解：设(,)z x yi x y R =+∈,则原方程化为：(()0x yi a x yi i +++=，即(1)0ax ay i ++=∴(1)10(2)ax ay ⎧=⎪⎨+=⎪⎩由（1）得：0x =0a =①当0x =时，代入（2）得：||10y y ay ++=当0y ≥时，210y ay ++=，24020a a a ∆=-≥⎧⇔≤-⎨≤⎩y =y 当0y <时，210y ay -++=,即210y ay --=,24000a a a ∆=+≥⎧⇔≤⎨≤⎩0,y >舍）或y =0a =时，代入（2）得：1=0,无解. 综上：当2a ≤-时，原方程的解为：z =或z或z =当20a -<≤时，原方程的解为：z复数单元检测题班级 姓名 成绩一、填空题（每小题5分，共70分）1、复数z=3-2i 的共轭复数为_________________。
近年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末检测苏教版选修1-2(2021年整理)
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第3章数系的扩充与复数的引入章末检测一、填空题1．z1＝(m2＋m＋1）＋(m2＋m－4）i，m∈R，z2＝3－2i,则“m＝1”是“z1＝z2”的________条件．答案充分不必要解析因为z1＝z2，所以错误!解得m＝1或m＝－2,所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．2．i是虚数单位,复数错误!的共轭复数为________．答案1－2i解析错误!＝错误!＝错误!＝1＋2i，其共轭复数为1－2i。
3．已知a是实数，错误!是纯虚数，则a＝________。
答案1解析错误!＝错误!＝错误!是纯虚数,则a－1＝0,a＋1≠0，解得a＝1。
4．若（x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝________。
答案2＋i解析∵（x－i)i＝y＋2i，x i－i2＝y＋2i，∴y＝1,x＝2,∴x＋y i＝2＋i。
5．在复平面内，O是原点，错误!，错误!,错误!对应的复数分别为－2＋i,3＋2i，1＋5i，那么错误!对应的复数为________．答案4－4i解析因为错误!,错误!，错误!对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i,错误!＝错误!－错误!＝错误!－(错误!＋错误!），所以错误!对应的复数为3＋2i－[（－2＋i）＋（1＋5i）］＝4－4i. 6．（1＋i）20－（1－i)20的值是________．答案0解析（1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2］10－［（1－i)2］10＝（2i)10－(－2i）10＝（2i)10－(2i）10＝0。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元检测 苏教版选修12
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元检测 苏教版选修1-2(时间90分钟,满分100分)一、选择题（每题3分，共36分）1．复数z 1=3＋i,z 2=1－i,则z =z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2．（1＋i ）20－(1－i)20的值为（ ） A.0B.1 024C.－1 024D.－1 024i3．已知复数z 满足|z |=2，则复数z （ ） A.是实数 B.是虚数C.是纯虚数D.对应的点在一个半径为2的圆上4．已知复数z 满足z =－|z |，则z 的实部（ ） A.不小于0 B.不大于0 C.大于0D.小于05．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A 、B 、C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i,－2－3i ，则D 点对应的复数是（ ） A.－2＋3iB.－3－2iC.2－3iD.3－2i6．设z =(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i(t∈R ),则以下结论正确的是（ ） A.z 对应的点在第一象限B.z 一定不为纯虚数C.z 对应的点在实轴的下方D.z 一定为实数7．在复数集C 内分解因式2x 2－4x ＋5等于（ ） A.（x －1＋i 3）(x －1－i 3) B.(i x 322+-)( i x 322--) C.2(x －1＋i)(x －1－i)D.2(x ＋1＋i)(x ＋1－i)8．(ii -+11)2 005等于（ ） A.iB.－IC.22 005D.－22 0059．设复数ω=－i 2321+,则1＋ω等于（ ）A.－ωB.ω2C.－ω1 D.21ω10．设复数z 满足zz+-11=i,则|1＋z |等于（ ） A.－2B.－2C. 2D.211．两个复数z 1=a 1＋b 1i,z 2=a 2＋b 2i(a 1、a 2、b 1、b 2都是实数且z 1≠0，z 2≠0)对应的向量1OZ 和2OZ 在同一条直线上的充要条件是（O 为坐标原点）（ ） A.2211a b a b ⋅=－1 B.a 1a 2＋b 1b 2=0 C.2121b b a a = D.a 1b 2=a 2b 112．已知复数z =362+-+a a a ＋(a 2－3a －10)i(a ∈R )满足z i ＞0或z i ＜0，则a 的值为（ ） A.3B.－3C.2或－3D.2二、填空题(每题4分，共16分) 13．i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3=___________(n 为正整数).14．已知ii +-1)1(3=a ＋3i ，则a =___________.15．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i=0有实根，则纯虚数m=___________. 16．已知z 为复数，则z ＋z ＞2的一个充要条件是z 满足___________. 三、解答题(每小题8分，共48分)17．设|z 1|=13,z 2=12＋5i,z 1·z 2是纯虚数，求z 1.18．已知z =1＋i,求1632++-z z z 的模.19．已知复数z 满足z ·z ＋2i z =3＋a i （其中a ∈R ）, (1)求复数z （写成关于a 的表达式）； （2）当a 为何值时，满足条件的复数z 存在？20．设O 为坐标原点，已知向量21OZ OZ ⋅分别对应复数z 1、z 2，且z 1=53+a ＋（10－a 2）i ，z 2=a-12＋(2a －5)i(a ∈R ),若1z ＋z 2可以与任意实数比较大小，求21OZ OZ ⋅的值. 21．关于t 的二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y)i=0(x 、y∈R )有实根，求点P （x,y ）的轨迹方程.22．设z ≠－1,求证11+-z z 是虚数的充要条件是|z |=1.参考答案1答案：D2解析：（1＋i ）20－(1－i)20=(2i)10－(－2i)10=0. 答案：A 3答案：D4解析：设z =x ＋y i,∴x ＋y i=－|z |.∴x =－|z |≤0. 答案：B5解析：∵A 、B 、C 对应的复数分别为2＋3i 、3＋2i 、－2－3i ， ∴A （2，3），B （3，2），C （－2，－3）. 设D （x ,y ）,则232(-2)2x+=+, 222)3(3y+=-+, ∴⎩⎨⎧-=-=.2,3y x .∴D 点的坐标为（－3，－2） ∴D 点对应的复数为－3－2i. 答案：B6解析：2t 2＋5t －3=(t ＋3)(2t －1),t 2＋2t ＋2=(t ＋1)2＋1＞0,又z =(2t 2＋5t －3)－(t 2＋2t ＋2)i, ∴z 对应的点在实轴的下方. 答案：C 7答案：C 8解析：（ii -+11）2 005=(22i )2 005=i 2 004＋1=i.答案：A 9解析：1＋ω=2321+i=－ω1. 答案：C 10解析：由z z +-11=i,得z =ii +-11=－i. ∴|1＋z |=|1－i|=211=+.答案：C11解析：由题意知1OZ =(a 1,b 1),2OZ =(a 2,b 2), ∴1OZ ∥2OZ . ∴a 1b 2－a 2b 1=0. 答案：D12解析：由z i ＞0或z i ＜0知z i 为实数.∴362+-+a a a =0且a 2－3a －10≠0.∴a=2.答案：D 13解析：i 4n＋i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3=1＋i －1－i=0.答案：014解析：∵2)2(2)1(1)1(243i i i i -=-=+-=－2, ∴a＋3i=－2.∴a=－2－3i. 答案：－2－3i15解析：设m=ki(k≠0),则x 2＋x ＋2x i ＋3k ＋i=0.∴⎩⎨⎧=+=++.012,032x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.121,21k x∴m=121i. 答案：121i16解析：设z =a ＋bi(a 、b∈R ). 由z ＋z =2a ＞2得a ＞1. 反之，由a ＞1得z ＋z =2a ＞2. 答案：z 的实部大于1 17解：设z 1=a ＋bi, 则z 1·z 2=(a ＋bi)(12＋5i) =(12a －5b)＋(5a ＋12b)i.由题意，得⎩⎨⎧=-=+,0512,16922b a b a∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.12,512,5b a b a 或 ∴z 1=5＋12i 或－5－12i.18解：1632++-z z z=ii i +++-+26)1(3)1(2=ii+-23=1－i, ∴1632++-z z z 的模为2.19解：（1）设z =x ＋y i(x 、y ∈R ),则z =x －y i,代入题设z ·z ＋2i z =3＋ai(a∈R ), 得(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x －y i)=3＋ai. ∴x 2＋y 2＋2y ＋2x i=3＋ai.∴⎩⎨⎧==++.2,3222a x y y x∴y 2＋2y ＋42a －3=0.∴y =21622a -±-∴z =216222a a -±-+i.(2)∵y ∈R ,∴Δ=4－4(42a －3)≥0.∴－4≤a≤4.20解：依题意得1z ＋z 2为实数，由1z =53+a －(10－a 2)i, ∴1z ＋z 2=aa -++1253＋［(a 2－10)＋(2a －5)］i 的虚部为0. ∴a 2＋2a －15=0,解得a=－5或a=3.又分母不为零，∴a=3.此时z 1=83＋i,z 2=－1＋i, 即1OZ =（83，1），2OZ =（－1，1），∴1OZ ·2OZ =83×(－1)＋1×1=85.21解：设实根为t ,则t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i=0， 即(t 2＋2t ＋2xy )＋(t ＋x －y )i=0. 根据复数相等⎩⎨⎧=-+=++②①.0,0222y x t xy t t由②得t =y －x 代入①得 （y －x ）2＋2(y －x )＋2xy =0， 即（x －1）2＋(y ＋1)2=2，③∴所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2=2,轨迹是以（1，－1）为圆心，2为半径的圆. 22证明：设z =x ＋y i(x ,y ∈R )则])1][()1[(])1][()1[(1111yi x yi x yi x yi x yi x yi x z z -+++-++-=+++-=+- =i yx x y y x x y x 222222122121+++++++-+ 若|z |=1，则x 2＋y 2=1,又z ≠－1, ∴x ≠－1且y ≠0,∴11+-z z 是纯虚数.充分性证完. 若11+-z z 是纯虚数，则x 2＋y 2－1=0,且y ≠0, ∴|z |=1. ∴必要性证完. ∴命题成立.。
苏教版高中数学选修第三章数系的扩充与复数的引入综合测试(1)
高中苏教选修（1-2）第3章数系的扩充与复数的引入综合测试一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果实数a b ，相等，则()()a b a b i -++是纯虚数B ．模相等的两个复数是共轭复数C ．如果z 是纯虚数，那么z z ≠D ．任何数的偶次幂不小于零 答案：C2．已知复数z 满足2230z z --=，则复数z 为对应点的轨迹是（ ） A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点 D ．两个圆答案：A3．若2(1)1z -=-，则z 的值为（ ） A ．1i + B ．1i ± C ．2i + D ．2i ± 答案：B4．下面给出的四个不等式中，正确的是（ ） A ．32i i >B ．2314i i +>-C ．422i i -> D ．2i i >-答案：C5．已知复数z 满足z z =-，则z 的实部（ ） A ．不小于0 B ．不大于0C ．大于0D ．小于0答案：B6．对于虚数222z z z z ，，，的关系是（ ） A ．互不相等B ．222z z z =≠C ．222z z z ≠= D ．222z z z ==答案：B7．复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，A B C ，，所对应的复数分别是23i +，32i +，23i --，则D 点对应的复数是（ ）A ．23i -+B ．32i --C ．23i -D ．32i - 答案：B8．若复数z 满足344z i ++=，则z 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A9．设1a >，复数z 满足(1)ai z i a +=+，则z 对应的点在复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D 10．已知1322iω=-+，则下列命题：①2ωω=；②21ωω=；③210ωω++=；④31ω=．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D11．已知z ∈C ，满足不等式0zz iz iz +-≤的点Z 的集合用阴影表示为（ ）答案：C12．设22(253)(22)z t t t t i =+-+++，t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数 答案：C 二、填空题13．若15z =，234z i =+且12z z g 是纯虚数，则1z = ． 答案：43i +或43i -- 14．定义运算ab ad bc c d=-，则符合条件112z zi-=的复数z 为 ． 答案：1i -15．若n 为奇数，则4422n n+= ．答案：2-16．设222log (33)log (3)()z m m i m m =--+-∈R g，若z 对应的点在直线210x y -+=上，则m 的值为 ．三、解答题17．已知复数12z z ，满足条件12z =，23z =，且12326z z +=，求复数1z 和2z ． 解：设1z a bi =+，2()z c di a b c d =+∈R ，，，， 则224a b +=，229c d +=，由12326z z +=得(32)(32)6a c b d i +++=，根据复数相等的充要条件得326320a c b d +=⎧⎨+=⎩，解方程组222249326320a b c d a c b d ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得3122a b c d ====-，，或1a =，b =32c =，2d =．所以12132z z ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或12132z z ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩．18．已知方程240()x x c c ++=∈R 的一个根为12x i =-+，求c 的值及方程的另一个根．解：12x i =-+为方程240x x c ++=的一个根，所以2(2)4(2)0i i c -++-++=， 即244840i i i c -+-++=，所以5c =． 所以方程240x x c ++=可写成2450x x ++=，由求根公式得422x i -==-±． 所以方程的另一根为2i --．19．若关于x 的方程2430x zx i +++=有纯虚数根，求z 的最小值．解：设方程的纯虚数根是0(0)x bi b b =∈≠R 且，将0x bi =代入方程得2430b zbi i -+++=，因为243b iz bi--=，所以243b i z bi --=====当且仅当2225b b =，即b =z ． 20．已知点P 对应的复数为1z ，点Q 对应的复数为1234z i +-，若点P 在圆2z =上运动，求点Q 的轨迹．解：设Q 点对应的复数为z ，则1234z z i =+-， 即1342z iz -+=． 因为点P 在圆2z =上运动，所以点P 对应的复数1z 满足12z =， 即3422z i-+=， 化简得(34)4z i --=，所以点Q 的轨迹是以(34)-，为圆心，以4为半径的圆． 21．已知()z i z ω=+∈C ，且22z z -+为纯虚数，求2211M ωω=++-的最大值及当M 取最大值时的ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则22222(2)(4)42(2)(2)z a bi a b biz a bi a b--++-+==+++++， 因为22z z -+为纯虚数，所以224(0)a b b +=≠， 22222211(1)(1)(1)(1)124M a b a b b ωω=++-=++++-++=+，因为224(0)a b b +=≠，所以2240a b =-≥，所以22b -≤≤且0b ≠．故当2b =时，M 取最大值20，这时0a =，3i ω=．22．已知关于x 的方程：2(6)90x i x ai -+++=（a ∈R ）有实数根b ． （1）求实数a b ，的值；（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值． 解：（1）b 是方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 的实根，2(69)()0b b a b i ∴-++-=，故2690b b a b ⎧-+=⎨=⎩，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，由332z i z --=， 得2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=，Z ∴点的轨迹是以1(11)O -，为圆心， 如图，当Z 点为直线1OO 与1O e 的交点时，z 有最大值或最小值．1OO =Q r =∴当1z i =-时，min z =高中苏教选修（1-2）第3章数系的扩充与复数的引入综合测试一、选择题1化简后的结果为（ ）A ．14-B ．14--C ．144+D ．144-+ 答案：B 2．122008()n n n i i i n +++*+++∈N …等于（ ）A ．3n i+B ．0C ．1D ．i答案：B3．已知1z i =+，2211z az bi z z ++=--+，则实数a b ，的大小关系为（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．大小关系无法确定答案：B4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（ ） A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i --答案：A5．集合{}2212(25)(56)M m m m m i =--+++，，，{}310N =，，且M N ≠∅I ，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．2-或4C ．2-或3-D ．2-或5答案：C6．设1()a bi b ai a b ++∈R ，，，是一个等比数列的连续三项，则a b ，的值分别为（ ）A ．2a =±，12b =± B ．122a b =-=，C ．2a =±，12b =或0a =，1b =-D ．12a =-，2b =-答案：C7．复数2()12m iz m i-=∈+R 不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A8．两个互为共轭复数之和大于2的一个充要条件为（ ） A ．两复数的实部大于1 B ．两复数的实部大于2 C ．两复数的虚部大于1 D ．两复数的虚部大于2答案：A 9．在复平面内，平行四边形ABCD 的顶点A B C ，，分别对应于复数12212i i i +-+--，，，则顶点D 对应的复数为（ ） A ．12i - B ．2i + C ．2i - D ．12i -+ 答案：C10．已知实数x 满足2(12)3i x x m i -+-=-，则实数m 满足（ ） A ．112m =- B ．112m >C ．112m <D ．112m =答案：D11．若复数226(56)()2a a z a a i a a +-=+-+∈+R 为纯虚数，则a 的取值是（ ） A ．3 B ．3-C ．3或3-D ．2答案：B12．对于两个复数122i α=-+，122β=--，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=； ③1αβ=；④331αβ+=，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B 二、填空题13．在复平面内，若复数z 满足114z z ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程为 ．答案：22143x y += 14．若234z i =+，则z = ． 答案：(2)i ±+15．设2z =，则32452z z z -+-的值为 ．答案：6-+16．式子811i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的计算结果为 ．答案：1 三、解答题17．已知113z i =-，268z i =-，若12111z z z +=，求z 的值． 解：由113z i =-，得111131313(13)(13)1010i i z i i i +===+--+． 又由268z i =-， 得211683468(68)(68)5050i i z i i i +===+--+． 那么2111131431112115010501025550i i i z z z +⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得5050(211)211(211)(211)i z i i i -=-=-++-42255i =-+．18．设复数22lg(22)(32)z m m m m i =--+++，试求m 取何实数值时， （1）z 是实数；（2）z 是纯虚数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限．解：（1）由z 是实数，得223201220m m m m m ⎧++=⎪⇒=-⎨-->⎪⎩或2m =-； （2）由z 是纯虚数，得2222lg(22)02213220320m m m m m m m m m ⎧⎧--=--=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-->++≠⎪⎪⎩⎩； （3）若z 对应的点位于复平面的第二象限，则22lg(22)0320m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩，220221320m m m m ⎧<--<⎪⇒⎨++>⎪⎩， 222220221320m m m m m m ⎧-->⎪⇒--<⎨⎪++>⎩，111321m m m m m ⎧<>+⎪⇒-<<⎨⎪<->-⎩或，11m ⇒-<<-13m <<为所求．19．已知复数12z z ，满足2212121052z z z z +=g ，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=，即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，由于122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b +=∈≠R 且，所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±，故123z z -为实数．20．已知21z x =+22()z x a i =+，对于任意实数x ，都有12z z >恒成立，试求实数a 的范围．解：由12z z >恒成立，得42221()x x x a ++>+恒成立， 即22(12)(1)0a x a -+->对于任意实数x 恒成立．（1）当120a -=，即12a =时，不等式恒成立． （2）当120a -≠，即12a ≠时，得212004(12)(1)0a a a ->⎧⎨∆=---<⎩，112a ⇒-<<， 综上（1）（2）得实数a 的范围为112a -<≤． 21．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=． （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； （2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根． （1）解：设实数根为a ，则2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=， 即2(tan 2)(1)0a a a i θ---+=． 由于a ，tan θ∈R ，那么21tan 20tan 110a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，． 又π02θ<<，得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）证明：假设方程有纯虚数根(0)i βββ∈≠R ，且，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=． 即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，由于220ββ-+-=无实数解与β∈R 矛盾， 故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根． 22．设复数z 满足5z =，且(34)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，252()z m m -=∈R ，求z 和m 的值．解：设()z x yi x y =+∈R ，，由5z =， 得2225x y +=．(34)(34)()(34)(43)i z i x yi x y x y i +=++=-++，又因为(34)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， 所以，(34)(43)0x y x y -++=，得7y x =．由2227225722x y x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．即2222z i =+或27222z =--． 当2222z i =+或27222z =--． 当272z =+252z m -=， 即1752i m +-=0m =或2m =；当272z =252z m -=，即17i m ---=0m =或2m =-．故z =+，0m =或2m =；z =-，0m =或2m =-．。
苏教版数学高二-2014版 选修1-2检测 第三章 数系的扩充与复数的引入检测
综合检测(二)第3章数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把正确的答案填在题中横线上)1．(2012·福建高考)若复数z满足z i＝1－i，则z等于________．【解析】由z i＝1－i，得z＝1－ii＝1i－1＝－1－i.【答案】－1－i2．(2013·湖南高考改编)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第________象限．【解析】∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．【答案】二3．若(x－i)i＝y＋2i(x，y∈R)，则复数x＋y i＝________.【解析】(x－i)i＝x i＋1＝y＋2i，则x＝2，且y＝1.∴x＋y i＝2＋i.【答案】2＋i4．若z＝a－i(a∈R且a＞0)的模为2，则复数z的共轭复数z＝________.【解析】∵a2＋(－1)2＝2，且a＞0，∴a＝1，则z＝1－i，∴z＝1＋i.【答案】1＋i5．(2013·湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.【解析】(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z 2＝－2＋3i.【答案】 －2＋3i6．设i 为虚数单位，则1i ＋1i 2＋1i 3＋1i 4＝________.【解析】 1i ＋1i 2＋1i 3＋1i 4＝－i －1＋i ＋1＝0.【答案】 07．已知z ＝m ＋3＋(2m ＋1)i(－2≤m ≤1)，则|z |的最大值是________．【解析】 |z |＝(m ＋3)2＋(2m ＋1)2＝5(m ＋1)2＋5，∵－2≤m ≤1，∴m ＝1时，|z |max ＝5.【答案】 58．i 是虚数单位，(1＋i 1－i)4等于________． 【解析】 (1＋i 1－i )4＝[(1＋i )2(1－i )2]2＝(2i －2i)2＝1. 【答案】 19．(2013·盐城高二检测)在复平面内，AB →对应的复数是2＋i ，CB →对应的复数是－1－3i.则CA →对应的复数为________．【解析】 ∵BA →对应复数－2－i ，CB →对应复数－1－3i ，∴CA →对应复数－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.【答案】 －3－4i10．若复数z ＝(a －2)＋3i(a ∈R )是纯虚数，则a ＋i 1＋a i＝________. 【解析】 ∵z ＝a －2＋3i(a ∈R )是纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 1＋a i ＝2＋i1＋2i＝(2＋i )(1－2i )5＝45－35i. 【答案】 45－35i11．在复平面内，O 为坐标原点，向量OA →对应的复数为－2－i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．【解析】 复数－2－i 对应点A (－2，－1)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (1,2)，∴OB →对应的复数为1＋2i.【答案】 1＋2i12．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题： p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，其中的真命题为________．【解析】 z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ， ∴|z |＝2，p 1错，z 2＝(－1－i)2＝2i ，p 2正确．z 的共轭复数z ＝－1＋i ，p 3错误，p 4正确．【答案】 p 2，p 413．已知z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________. 【解析】 z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )－i＝2i ＝－2i. 【答案】 －2i14．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，则|z |＝________.【解析】 z ＝3＋i(1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝(3＋i )(－2＋23i )(－2－23i )(－2＋23i )＝－34＋14i ，则|z |＝(－34)2＋(14)2＝12. 【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是(1)实数；(2)纯虚数．【解】 z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)∵z ∈R 且m ∈R ，∴m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.即当m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)∵z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12. 故当m ＝－12时，z 为纯虚数．16．(本小题满分14分)(2013·常州高二检测)计算[(1＋2i)·i 100＋(1－i 1＋i)5]2－(1＋i 2)20.【解】 原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(1＋2i )i 4×25＋[(1－i )22]52－[(1＋i )22]10 ＝[1＋2i ＋(－i)5]2－i 10＝(1＋2i －i)2－i 2＝(1＋i)2＋1＝1＋2i.17．(本小题满分14分)已知z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i. (1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．【解】 z ＝2i ＋3－3i2＋i ＝3－i2＋i ＝(3－i )(2－i )5 ＝5－5i 5＝1－i.(1)∵z ＝1－i ，∴|z |＝ 2.(2)把z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，得：a ＋b －(2＋a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4，所以实数a ，b 的值分别为－3,4.18．(本小题满分16分)(2013·徐州高二检测)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数．(1)求复数z ；(2)若ω＝z 2＋i ，求复数ω的模|ω|. 【解】 (1)(1＋3i)(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ，∵(1＋3i)z 是纯虚数，∴3－3b ＝0且9＋b ≠0，则b ＝1，从而z ＝3＋i.(2)ω＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝75－i 5， ∴|ω|＝(75)2＋(－15)2＝ 2.19．(本小题满分16分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i 、z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．【解】 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos 2θ－1)＝－1－2sin 2θ·i.(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．由点P 在直线y ＝12x 上得－2sin 2θ＝－12，∴sin 2θ＝14，又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝56π.20．(本小题满分16分)已知z 是复数，z ＋2i 与z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋2i ＝x ＋(2＋y )i ∈R ，∴y ＝－2.又∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意，得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ， 且(z ＋a i)2对应点在第一象限，a ∈R .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解之得2<a <6. 故实数a 的取值范围是(2,6)．。
高中数学选修1-2《第三章 数系的扩充与复数的引入》章末质量测试题
章末质量评估练习(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)1．a ＝0是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的( )．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0. 答案 B2．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．－1 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1. 答案 D3．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )．A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析 z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A. 答案 A4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )．A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i解析 O C →＝O A →＋O B →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i. 答案 D5．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )．A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i. ∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)． 答案 C6．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ，那么z 在复平面上对应的点(x ，y )的轨迹是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 解析 ∵z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≥12)，满足|z －1|＝x ， ∴(x －1)2＋y 2＝x 2，故y 2＝2x －1.答案 D 7．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于 ( )．A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析 ∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝－2i2＝－i. ∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i 50－i 25＋1＝－i. 答案 D8．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为( )．A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析 设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称， ∴⎩⎨⎧－b －1＝－a ，a －1＝－b ， ∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0， ∴z ＝1. 答案 B9．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是( )．A ．1 B. 2 C ．2D. 5解析 |z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.答案 A10．设z 1，z 2是复数，则下列结论中正确的是( )．A ．若z 21＋z 22>0，则z 21>－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．|z 21|＝|z －1|2解析 A 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ； B 错，反例：z 1＝2＋i ，z 2＝2－i ； C 错，反例：z 1＝1，z 2＝i ； D 正确，z 1＝a ＋b i ，则|z 21|＝a 2＋b 2，|z －1|2＝a 2＋b 2， 故|z 21|＝|z －1|2. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确的答案填在题中横线上)11．在复平面内，已知复数z ＝x －13i 所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵z 对应的点Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－13都在单位圆内，∴|OZ |<1，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132<1.∴x 2＋19<1，∴x 2<89，∴－223<x <223.答案 －223<x <223 12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于________．解析 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝(3＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝15－85i.答案 15－85i 13．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝ ________. 解析x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4. 答案 414．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 解析 z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝3i －2－2＝1－32i答案 1－32i三、解答题(本题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)若f (z )＝2z ＋z －－3i ，f (z －＋i)＝6－3i ，试求f (－z )． 解 f (z )＝2z ＋z －－3i ， ∴f (z －＋i)＝2(z －＋i)＋z －＋i －3i＝2z －＋2i ＋z －i －3i ＝2z －＋z －2i. 又知f (z －＋i)＝6－3i ， ∴2z －＋z －2i ＝6－3i ，设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i ， ∴2(a －b i)＋(a ＋b i)－2i ＝6－3i ， 即3a －(b ＋2)i ＝6－3i ，由复数相等的定义，得⎩⎨⎧ 3a ＝6，b ＋2＝3. 解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.故f (－z )＝f (－2－i)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i.16．(10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.17．(10分)已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．18．(12分)在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求A B →，B C →，A C →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)A B →对应的复数为 z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.B C →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.A C →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)|A B →|＝|1＋i|＝2，|B C →|＝|－3＋i|＝10，|A C →|＝|－2＋2i|＝8.∴|A B →|2＋|A C →|2＝|B C →|2，∴∠A 为直角，△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|A B →||A C →|＝12×2×8＝2.19．(12分)已知z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x 、y ∈R )且x 2＋y 2＝1，z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i)z －1. (1)求证：z 2∈R ；(2)求z 2的最大值和最小值．(1)证明 ∵z 1＝x ＋y i ，z －1＝x －y i(x ，y ∈R )， ∴z 1＋z －1＝2x ，z 1－z －1＝2y i. ∴z 2＝(3＋4i)z 1＋(3－4i)z －1， ＝3(z 1＋z －1)＋4i(z 1－z －1)． ＝6x ＋8y i 2＝(6x －8y )∈R . (2)解 ∵x 2＋y 2＝1，设u ＝6x －8y ，代入x 2＋y 2＝1消去y 得 64x 2＋(6x －u )2＝64. ∴100x 2－12ux ＋u 2－64＝0. ∵x ∈R ，∴Δ≥0.∴144u 2－4×100(u 2－64)≥0. ∴u 2－100≤0. ∴－10≤u ≤10.∴z 2的最大值是10，最小值是－10.。
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元检测 苏教版选修1-2(时间90分钟,满分100分)一、选择题（每题3分，共36分）1．复数z 1=3＋i,z 2=1－i,则z =z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2．（1＋i ）20－(1－i)20的值为（ ）A.0B.1 024C.－1 024D.－1 024i3．已知复数z 满足|z |=2，则复数z （ ）A.是实数B.是虚数C.是纯虚数D.对应的点在一个半径为2的圆上4．已知复数z 满足z =－|z |，则z 的实部（ ）A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于05．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A 、B 、C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i,－2－3i ，则D 点对应的复数是（ ）A.－2＋3iB.－3－2iC.2－3iD.3－2i 6．设z =(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i(t∈R ),则以下结论正确的是（ ）A.z 对应的点在第一象限B.z 一定不为纯虚数C.z 对应的点在实轴的下方D.z 一定为实数 7．在复数集C 内分解因式2x 2－4x ＋5等于（ ）A.（x －1＋i 3）(x －1－i 3)B.(i x 322+-)( i x 322--)C.2(x －1＋i)(x －1－i)D.2(x ＋1＋i)(x ＋1－i) 8．(ii -+11)2 005等于（ ） A.i B.－I C.22 005 D.－22 0059．设复数ω=－i 2321+,则1＋ω等于（ ）A.－ωB.ω2C.－ω1D.21ω 10．设复数z 满足z z +-11=i,则|1＋z |等于（ ） A.－2 B.－2 C. 2 D.211．两个复数z 1=a 1＋b 1i,z 2=a 2＋b 2i(a 1、a 2、b 1、b 2都是实数且z 1≠0，z 2≠0)对应的向量1OZ 和2OZ 在同一条直线上的充要条件是（O 为坐标原点）（ ） A.2211a b a b ⋅=－1 B.a 1a 2＋b 1b 2=0 C.2121b b a a = D.a 1b 2=a 2b 112．已知复数z =362+-+a a a ＋(a 2－3a －10)i(a ∈R )满足z i ＞0或z i ＜0，则a 的值为（ ）A.3B.－3C.2或－3D.2二、填空题(每题4分，共16分)13．i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3=___________(n 为正整数).14．已知ii +-1)1(3=a ＋3i ，则a =___________. 15．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i=0有实根，则纯虚数m=___________.16．已知z 为复数，则z ＋z ＞2的一个充要条件是z 满足___________.三、解答题(每小题8分，共48分)17．设|z 1|=13,z 2=12＋5i,z 1·z 2是纯虚数，求z 1. 18．已知z =1＋i,求1632++-z z z 的模. 19．已知复数z 满足z ·z ＋2i z =3＋a i （其中a ∈R ）,(1)求复数z （写成关于a 的表达式）；（2）当a 为何值时，满足条件的复数z 存在？20．设O 为坐标原点，已知向量21OZ OZ ⋅分别对应复数z 1、z 2，且z 1=53+a ＋（10－a 2）i ，z 2=a-12＋(2a －5)i(a ∈R ),若1z ＋z 2可以与任意实数比较大小，求21OZ OZ ⋅的值. 21．关于t 的二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y)i=0(x 、y∈R )有实根，求点P （x,y ）的轨迹方程.22．设z ≠－1,求证11+-z z 是虚数的充要条件是|z |=1.参考答案1答案：D2解析：（1＋i ）20－(1－i)20=(2i)10－(－2i)10=0.答案：A3答案：D4解析：设z =x ＋y i,∴x ＋y i=－|z |.∴x =－|z |≤0.答案：B5解析：∵A 、B 、C 对应的复数分别为2＋3i 、3＋2i 、－2－3i ，∴A （2，3），B （3，2），C （－2，－3）.设D （x ,y ）,则232(-2)2x+=+,222)3(3y+=-+,∴⎩⎨⎧-=-=.2,3y x .∴D 点的坐标为（－3，－2）∴D 点对应的复数为－3－2i.答案：B6解析：2t 2＋5t －3=(t ＋3)(2t －1),t 2＋2t ＋2=(t ＋1)2＋1＞0,又z =(2t 2＋5t －3)－(t 2＋2t ＋2)i, ∴z 对应的点在实轴的下方.答案：C7答案：C8解析：（i i-+11）2 005=(22i )2 005=i 2 004＋1=i.答案：A9解析：1＋ω=2321+i=－ω1.答案：C10解析：由z z +-11=i,得z =i i+-11=－i.∴|1＋z |=|1－i|=211=+.答案：C11解析：由题意知1OZ =(a 1,b 1),2OZ =(a 2,b 2), ∴1OZ ∥2OZ .∴a 1b 2－a 2b 1=0.答案：D12解析：由z i ＞0或z i ＜0知z i 为实数. ∴362+-+a a a =0且a 2－3a －10≠0.∴a=2.答案：D13解析：i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3=1＋i －1－i=0.答案：014解析：∵2)2(2)1(1)1(243i i i i -=-=+-=－2,∴a＋3i=－2.∴a=－2－3i.答案：－2－3i15解析：设m=ki(k≠0),则x 2＋x ＋2x i ＋3k ＋i=0.∴⎩⎨⎧=+=++.012,032x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.121,21k x ∴m=121i. 答案：121i16解析：设z =a ＋bi(a 、b∈R ).由z ＋z =2a ＞2得a ＞1.反之，由a ＞1得z ＋z =2a ＞2.答案：z 的实部大于117解：设z 1=a ＋bi,则z 1·z 2=(a ＋bi)(12＋5i)=(12a －5b)＋(5a ＋12b)i.由题意，得⎩⎨⎧=-=+,0512,16922b a b a∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.12,512,5b a b a 或∴z 1=5＋12i 或－5－12i.18解：1632++-z z z =i i i +++-+26)1(3)1(2 =i i+-23=1－i, ∴1632++-z z z 的模为2.19解：（1）设z =x ＋y i(x 、y ∈R ),则z =x －y i,代入题设z ·z ＋2i z =3＋ai(a∈R ),得(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x －y i)=3＋ai.∴x 2＋y 2＋2y ＋2x i=3＋ai.∴⎩⎨⎧==++.2,3222a x y y x∴y 2＋2y ＋42a －3=0.∴y =21622a -±-∴z =216222a a -±-+i.(2)∵y ∈R ,∴Δ=4－4(42a －3)≥0.∴－4≤a≤4.20解：依题意得1z ＋z 2为实数， 由1z =53+a －(10－a 2)i, ∴1z ＋z 2=a a -++1253＋［(a 2－10)＋(2a －5)］i 的虚部为0.∴a 2＋2a －15=0,解得a=－5或a=3.又分母不为零，∴a=3.此时z 1=83＋i,z 2=－1＋i, 即1OZ =（83，1），2OZ =（－1，1）， ∴1OZ ·2OZ =83×(－1)＋1×1=85.21解：设实根为t ,则t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i=0，即(t 2＋2t ＋2xy )＋(t ＋x －y )i=0.根据复数相等⎩⎨⎧=-+=++②①.0,0222y x t xy t t由②得t =y －x 代入①得（y －x ）2＋2(y －x )＋2xy =0，即（x －1）2＋(y ＋1)2=2，③∴所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2=2,轨迹是以（1，－1）为圆心，2为半径的圆. 22证明：设z =x ＋y i(x ,y ∈R )则])1][()1[(])1][()1[(1111yi x yi x yi x yi x yi x yi x z z -+++-++-=+++-=+- =i y x x yy x x y x 222222122121+++++++-+若|z |=1，则x 2＋y 2=1,又z ≠－1,∴x ≠－1且y ≠0, ∴11+-z z 是纯虚数.充分性证完. 若11+-z z 是纯虚数，则x 2＋y 2－1=0,且y ≠0,∴|z |=1.∴必要性证完.∴命题成立.。