河南省兰考县高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)

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河南省兰考县高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)

河南省兰考县高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题p：∃＜0，2＞0，那么￢p是（）A．∀≥0，2≤0B．∃≥0，2≤0C．∃≥0，2≤0D．∀＜0，2≤02．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1 B． 1 C．﹣2 D．23．设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．以下说法错误的是（）A．命题“若2－3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2－3+2≠0B．“=1”是“2－3+2=0”的充分不必要条件C．若pq为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃0R，使得2++1＜0，则p⌝：Rx∈∀，则2++1≥05．已知抛物线y2=m的焦点坐标为（2，0），则m的值为（）A．B． 2 C． 4 D．86．已知=（2，4，），=（2，y，2），若||=6，⊥，则+y的值是（）A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．﹣3 D．17．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b8．设变量，y满足约束条件：，则目标函数=2+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．239．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形10．已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9B．﹣9＜a＜4C．a＜﹣4或a＞9D．a＜﹣9或a＞411．已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A ．16B ．8C ．D ．412．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=AA 1=2，∠ACB=90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，当二面角C 1－AA 1－B 为45°时，直线EF 和BC 1所成的角为（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃＜0，有2＞0”的否定是___________．14．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c ﹣a=____________． 15、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 ____________ 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA=sinC ，B=30°，b=2，则边c=__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设等差数列{a n }满足a 3=5，a 10=﹣9．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 的最大值．18．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=2csinB （1）求角C 的大小；（2）若c 2=（a ﹣b ）2+6，求△ABC 的面积．19.△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-94，求顶点A 的轨迹方程.20．命题p ：关于的不等式2+2a+4＞0，对一切∈R 恒成立．命题q ：抛物线y 2=4a 的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．21．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上，且AE=2 （1）证明：A1D⊥平面D1EC1；（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小．兰考二高第一学期期末考试高二数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5 DCBCD 6-10 AABCA 11-12 BC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.20,有x 0x ∀<≤ 14.7215.7 16.2 三、解答题（共6小题，满分70分）17.考点：等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式，列出方程，解得首项和公差，即可得到通项公式；（Ⅱ）运用前n 项和的公式，配方，结合二次函数的最值，即可得到．解答：解：（Ⅰ）由a n =a 1+（n ﹣1）d ，及a 3=5，a 10=﹣9得，，解得，数列{a n }的通项公式为a n =11﹣2n ．（Ⅱ）由（1）知．因为．所以n=5时，S n 取得最大值25．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，考查解方程组和二次函数的最值的求法，属于基础题．18. 考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB 不为0求出sinC 的值，由C 为锐角求出C 的度数即可；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosC 的值代入并利用完全平方公式变形，结合已知等式求出ab 的值，再由sinC 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积即可．解答：解：（1）由正弦定理==，及b=2csinB ，得：sinB=2sinCsinB，∵sinB≠0，∴sinC=，∵C为锐角，∴C=60°；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab，∵c2=（a﹣b）2+6，∴ab=6，则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.221(0) 8136x yy+=≠20. 考点：复合命题的真假．专题：计算题；简易逻辑．分析：先分别求出p，q为真时实数a的取值范围，再由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假，从而解得．解答：解：设g（）=2+2a+4，由于关于的不等式2+2a+4＞0对一切∈R恒成立，故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．又∵抛物线y2=4a的焦点在（1，0）的左侧，∴a＜1．a≠0．又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．（1）若p真q假，则∴1≤a＜2；或a=0．（2）若p假q真，则∴a≤﹣2．综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．或a=0．点评：本题考查了复合命题的真假性的应用，属于基础题．21.考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．22．考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间向量及应用．分析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为，y，轴建立空间直角坐标系，设AE=，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．（1）利用数量积只要判断A1D⊥D1E，A1D⊥D1C1，（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），利用法向量的特点求出．解答：证明（1）：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为，y，轴建立空间直角坐标系，设AE=，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．=（﹣1，0，﹣1），=（1，，﹣1），=（0，2，0），所以=0，=0，所以A1D⊥D1E，A1D⊥D1C1，所以A1D⊥平面D1EC1；解：（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），∴=（1，﹣2，0），=（0，2，﹣1），=（0，0，1）．由．所以令b=1，∴c=2，a=2﹣．∴=（2﹣，1，2）．依题意，cos==⇒．解得1=2+（舍去），1=2﹣所以AE=2﹣时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本题考查了利用空间直角坐标系，判断线面垂直以及求解二面角，注意法向量的求法是解题的关键，考查计算能力．。

河南省高二上学期期末考试理科数学试题(解析版)

高二数学试卷（理）本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若直线经过点和，则直线l 的倾斜角为（） l (0,A.B.C.D.2π33π4π3π4【答案】D 【解析】【分析】由斜率公式求出直线的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解. l【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，l k α1k ==则，而，故， tan 1α=[)0,πα∈π4α=故选：D.2. ，则6是这个数列的（） A. 第6项 B. 第12项C. 第18项D. 第36项【答案】C 【解析】【分析】利用数列的通项公式求解.的通项公式为，n a =令解得，6n a ==18n =故选:C.3. 若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方2y x =±程为（）A. 或B.C.2214y x -=221164y x -=221164y x -=D.2214y x -=2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得解得，224ba b ⎧=⎪⎨⎪=⎩12a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为.2214y x -=故选:C. 4.如图，线段AB ，BD 在平面内，，，且αBD AB ⊥AC α⊥，则C ，D 两点间的距离为（）4312AB BD AC ===，，A19 B. 17 C. 15 D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接，因为，所以,AD BD AB⊥5AD ==又因为，,所以， AC α⊥AD α⊂AC AD ⊥所以,13CD ==故选:D.5. “”是“曲线表示椭圆”的（）01t <<2211x y t t+=-A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆，2211x y t t+=-所以，解得且，101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩01t <<12t ≠所以“”是“且”的必要而不充分条件. 01t <<01t <<12t ≠故选：B6. 设，向量，且，则,,x y z ∈R (,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥（）||a b c ++=A.B.C. 3D. 9【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系列方程求解的值，结合向量的模的公式计算得出结果.,,x y z 【详解】向量，且，(,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥∴，解得， 24201242a c x y z⋅=-+=⎧⎪⎨==⎪-⎩1,2,1x y z ==-=∴ (1,1,1),(1,2,1),(2,4,2)a b c ==-=-∴，(4,5,4)a b c ++=-∴.||a b c ++==故选：A ．7. 如果实数x ，y 满足，则的取值范围是（） 22(1)(1)2x y -+-=11y x -+A.B.C.D.[1,1]-(1,1)-,1(),)1(-∞-⋃+∞(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】表示上的点与点连线的斜率,画出图形11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -即可求解.【详解】表示圆心为的圆，22(1)(1)2x y -+-=()1,1C 表示上的点与点连线的斜率. 11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -易知直线平行轴，且 AC x 2,AC =当直线为圆的切线时，，,AP C PC =AP =故，此时直线的斜率为1， 45PAC ∠=︒AP 由对称性及图形可得. []11,11y x -∈-+故选:A.8. 设抛物线，点为上一点，过点作轴于点，若点，则2:4C x y =P C P PQ x ⊥Q (4,2)A 的最小值为（）PQ PA +A.B.C. 4D. 51-1【答案】B 【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知，1PQ PF =-则，即可得解.11PQ PA PF PA AF +=+-≥-【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可知2:4C x y =()0,1F 1y =-，1PQ PF =-所以，1111PQ PA PF PA AF +=+-≥-=-=-当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.A P F P AF故选：B9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年10%年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，{}n c 11200c =则大约为（）10c （参考数据：） 8910111.1 2.144,1.1 2.358,1.1 2.594,1.1 2.853≈≈≈≈A. 1429 B. 1472C. 1519D. 1571【答案】B 【解析】【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立与10%1n c +的关系，利用待定系数法证得是等比数列，从而求得，进而求得．n c {}1000n c -n c 10c 【详解】由题意，得，并且， 11200c =1 1.1100n n c c +=-令，化成， 1()n n c r k c k +=--1n n c rc rk k +=-+所以，解得，1.1100r k rk =⎧⎨-=-⎩ 1.11000r k =⎧⎨=⎩所以，()11000 1.11000n n c c +-=-所以是以为首项，为公比的等比数列， {}1000n c -200 1.1则，11000200 1.1n n c --=⨯1200 1.11000n n c -=⨯+所以. 910200 1.110001472c =⨯+≈故选：B.10. 过定点M 的直线与过定点N 的直线交于点A （A 与20tx y ++=240x ty t -+-=M ，N 不重合），则面积的最大值为（） AMN A A. B.C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得点A 在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的MN AMN A最大值.【详解】对于直线，即， 20tx y ++=()20tx y ++=可得直线过定点，20tx y ++=()0,2M -对于直线，即， 240x ty t -+-=()()420x t y ---=可得直线过定点，240x ty t -+-=()4,2N ∵，则直线与直线垂直，即， ()110t t ⨯+⨯-=20tx y ++=240x ty t -+-=AM AN ⊥∴点A 在以为直径的圆上，且，MNMN ==由圆的性质可知：面积的最大值为.AMN A 218224MN MN MN ⨯⨯==故选：C.11. 已知数列满足，且{}na ()*11,(02,a m m m =--=≥∈N，则数列的前18项和为（） ()*2πsin3n n n a b n =∈N {}n b A.B.C.D.3-54---【答案】D 【解析】【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计{}n a 算，求得数列的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b【详解】由，则， (10m --=()2211m m m aa m --=即， ()()()2223212222121213111123n n n n aa a a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 显然，满足公式，即， 12111a ==21n a n =当时，时，；当时，； 1n =2sin3π=2n =4sin 3π=3n =sin 20π=当时，，当时，时，； 4n =8sin3π=5n =10sin 3π=6n =sin 40π=则数列是以为周期的数列，由，则， 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭32sin 3n n n a b π=22sin 3nn b n π=设数列的前项和为，{}n b n n S 1812318Sb b b b =++++22222212304560⎛⎛=+⨯+⨯++⨯+⨯+⎝⎝ 2221617180⎛++⨯+⨯ ⎝)22222212451617=-+-++- ()()()()()()1212454516171617=-++-+++-+⎤⎦)391533=++++ ()33362+⨯==-故选：D.12. 已知是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1FO 为直径的圆与双曲线C 的一个交点为A ，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B ，12F F 若，A ，B恰好共线，则双曲线C 的离心率为（） 1F A.B.C. D. 3【答案】B 【解析】【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根12F BF α∠=12BF F △21221cos b BF BF α=-据三角形面积公式可得，设,,则122tan2BF F b S α=△1AF AB m ==22BF n =，从而可得，，代入，结合()()122222222122tan 45222BF F m n a b S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2n a =3m a =22mn b =及离心率公式即可求解.222b c a =-【详解】设，因为在双曲线上，故.12F BF α∠=B 122BF BF a -=由余弦定理可得2221212122cos F F BF BF BF BF α=+-，()()2121221cos BF BF BF BF α=-+-所以. ()()()2221222221cos 1cos c a b BF BF αα-==--所以 122221222sincos1sin 22sin 21cos tan112sin 22BF F b b bS BF BF ααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△由题意可得与为直角三角形，所以. 1AOF △12BF F △1290F BF ∠=︒因为是的中点，所以是的中点. O 12F F A 1BF 设,,则.1AF AB m ==22BF n =22AF m a =+所以. ()()122222222122tan 45222BF F m n ab S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2222444m n a mn b n a am -=⎧⎪⇒=⎨⎪=+⎩故()()22444n m n m n m =-+-⇒22222n m mn n m mn =-++-. ⇒2230m mn -=⇒32m n =所以,解得，. 32n n a -=2n a =3m a =所以,可得，故. 222232a ab c a ⨯⨯==-2213c a =ce a==故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 直线与直线之间的距离为_____________． 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案. 【详解】直线可化为， 2:2410l x y +-=21202l x y +-=：则直线与直线平行1:220l x y ++=2:2410l x y +-=故直线与直线之间的距离为， 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=d ==. 14. 设、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =，则直线与所成角的余弦值为_____________． 13DF FC =1B E 1D F 【答案】1517【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成D 1B E 1D F 角的余弦值．【详解】、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =， 13DF FC =如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，D设，则，，，，4AB =()14,4,4B ()4,3,0E ()10,0,4D ()0,1,0F，，()10,1,4B E =-- ()10,1,4D F =-设直线与所成角为， 1B E 1D F θ则直线与所成角的余弦值1B E 1D F ．11111115cos cos ,17B E D F B E D F B E D Fθ⋅====⋅ 故答案为：． 151715. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A 是椭圆的左1F 2F C 22221x y a b+=0a b >>C 顶点，点在过A 的直线上，为等腰三角形，，则P 12PF F △12120F F P ∠=︒椭圆的离心率为______. C 【答案】##0.5 12【解析】【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，22PF c =2Rt PF QA PQ =2F Q c =从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率. ()2P c AP 2a c =C 【详解】由题意知，直线的方程为：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --AP ()y x a =+，由为等腰三角形，，得，12PF F △12120F F P ∠=︒2122PF F F c ==过作垂直于轴，如图，则在中，， P PQ x 2Rt PF Q A 218012060PF Q∠=︒-︒=︒故，， 22sin 2PQ PF PF c Q =∠==2221cos 22F Q PF P c Q F c =∠=⨯=所以，即，()P c c+()2P c 代入直线，即， ):AP y x a =+()2a c =+2a c =所以所求的椭圆离心率为. 12c e a ==故答案为：.12.16. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为，现有下列4个命题： {}n a n S ①也是等差数列；23,,,n n n S S S ②数列也是等差数列； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭③若，则时，最大；15160,0S S ><8n =n S ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列{}n a 的项数是19．其中所有真命题的序号是_____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①，由等差中项性质判断；对②，求出数列的通项公式即可判断； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断； 15160,0S S ><890,0a a ><n S 对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.*21,k k +ÎN 【详解】设数列的公差为d ，，首项为，则，{}n a 0d ≠10a >()11n a a n d +-=， ()12121222n S n a n d n d d n a ⎡⎤+-⎛⎫⎣⎦==+- ⎪⎝⎭对①，23222111942322222222n n n S d d d d d d S n S a n n a n n a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦，∴不是等差数列，①错； 20dn =≠23,,,n n n S S S 对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对； ()112n S d a n n =+-⋅n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 对③，∵，，∴，10a >15160,0S S ><0d <，()151881015750S d a a a =+=>⇒>， 9169115161602022S d a d d a a ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎭<⇒<⎪⎭⎝<⎝∴由定义可知，时，最大，③对；n S 8n =n S 对④，由题意可设的项数为，{}n a *21,k k +ÎN 则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的1a 2d 1k +和为，[]()()()1122112902a k d k a kd k +⋅+=++=所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和1a d +2d k 为.()()()112122612a d k d ka kd k ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+=两式相除得，∴数列的项数是19，④对. 12909261k k k +=Þ=故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知是数列的前项和，且，，设． n S {}n a n 24S =416S =n n S b n =（1）若是等比数列，求；{}n b 10b （2）若是等差数列，求的前项和，{}n a {}n b n n T 【答案】（1）1032b =（2） (1)2n n n T +=【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前项和即可．n 【小问1详解】解：已知是数列的前项和，且，，， n S {}n a n 24S =416S =n n S b n=则， 4242b b =⎧⎨=⎩又是等比数列，设公比为,则，即； {}n b q 2422b q b ==841022232b b q ==⨯=【小问2详解】解：已知是等差数列，设公差为,{}n a d 又，，则， 24S =416S =11244616a d a d +=⎧⎨+=⎩则，即， 112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-则， 2(121)2n n n S n +-==则， n n S b n n==则， (1)123...2n n n T n +=++++=即的前项和． {}n b n (1)2n n n T +=18. 在平面直角坐标系中，已知圆M 的圆心在直线上，且圆M 与直线Oxy 2y x =-相切于点．10x y +-=(2,1)P -（1）求圆M 的方程；（2）过的直线l 被圆M，求直线l 的方程．(0,2)-【答案】（1）()()22122x y -+=+（2）或2y x =-2y x =--【解析】【分析】（1）根据已知得出点与直线垂直的直线方程，根据圆切线的性质P 10x y +-=得出该直线过圆心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）根据弦长得出点到直线l 的距离，分类讨论直线l 的斜率，设出方程，利用点到直M 线的距离列式，即可得出答案.【小问1详解】过点与直线垂直的直线方程为：，即 (2,1)P -10x y +-=12y x +=-3y x =-则直线过圆心， 3y x =-解得，即圆心为， 32y x y x =-⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=-⎩()1,2M -则半径为r 则圆M 的方程为：；()()22122x y -+=+【小问2详解】过的直线l 被圆M ，(0,2)-则点到直线l的距离 M d ==若直线l 的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线l 的距离为1，不符合题意； 0x =若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：，2y kx =-则，解得，d ==1k =±则直线l 的方程为：或.2y x =-2y x =--19. 如图，和所在平面垂直，且．ABC ADBC △AB BC BD CBA DBC θ==∠=∠=，（1）求证：；AD BC ⊥（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值． 2π3θ=ABD ABC【答案】（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）取的中点，可得，根据可得，AD E BE AD ⊥ABC DBC △≌△CE AD ⊥由线面垂直的判定定理及性质定理可证明；（2）作于点,以点为原点，所在直线分别为轴建立空AO BC ⊥O O ,,OD OC OA ,,x y z 间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,BE CE因为，所以.AB BD =BE AD ⊥因为为公共边，,,AB BD CBA DBC BC =∠=∠所以，所以,所以.ABC DBC △≌△CA CD =CE AD ⊥因为平面，所以平面，,,BE CE E BE CE =⊂ BCE AD ⊥BCE 因为平面,所以.BC ⊂BCE AD BC ⊥【小问2详解】当,可设, 2π3θ=1AB =作于点,连接，易证两两垂直，AO BC ⊥O DO ,,AO OC OD 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，O ,,OD OC OA ,,x y z则, ()130,0,0,,0,,0,0,,0,22O D B C A ⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝设平面的法向量为，ABD (),,n x y z = ,10,,,2AB AD ⎛== ⎝ 所以，1020n AB y z n AD x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令,可得. 1z =1,x y ==()n =r易知平面，所以平面的法向量为，OD ⊥ABC ABC ()1,0,0m =设平面和平面的夹角为，ABD ABC α则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ 故平面和平面. ABD ABC 20. 已知直线与抛物线交于A ，B 两点．l 2:2(0)C x py p =>（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线C 的焦点，求线段AB 的长；2p =l （2）若交AB 于，求p 的值．OA OB OD AB ⊥⊥，(2,2)D -【答案】（1）8；（2）. 47【解析】【分析】（1）焦点为，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据()0,1F l 1y x =+弦长公式即可求解；（2）设直线的方程为，根据题意可得，且在直线l y kx m =+1OD AB k k ⋅=-(2,2)D -l 上，从而可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得l 4y x =+，代入即可求解.12122,8x x p x x p +==-0OA OB ⋅=【小问1详解】若，则抛物线，焦点为，2p =2:4C x y =()0,1F 故直线的方程为.l 1y x =+设， ()()1122,,,A x y B x y 联立，消去，可得，241x y y x ⎧=⎨=+⎩y 2440x x --=，故. ()()24414320∆=--⨯⨯-=>12124,4x xx x +==-故.8AB ===【小问2详解】设直线的方程为，，l y kx m =+()()1122,,,A x y B x y 因为交AB 于，所以，且，OD AB ⊥(2,2)D -1OD AB k k ⋅=-1OD k =-所以，直线的方程为.1AB k =l y x m =+又在直线上，所以,解得.(2,2)D -l 22m =-+4m =所以直线的方程为.l 4y x =+由，消去，可得， 224x py y x ⎧=⎨=+⎩y 2280x px p --=则.12122,8x x p x x p +==-因为，OA OB ⊥所以， ()()12121212121244280OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=++++=+++= 即，解得. ()28280p p ⨯-++=47p =21. 已知等比数列的前n 项和为，且． {}n a n S ()*122n n a S n +=+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前n 项和． 21n nn b a -={}n b n T 【答案】（1）；123n n a -=⋅（2）. 131223n n n T -+=-⨯【解析】【分析】（1）根据与的关系可得公比，由可求，再根n a n S 211122223a S a a =+=+=1a 据等比数列的通项公式即可求解；（2），由错位相减法即可求解. 1212123n n n n n b a ---==⋅【小问1详解】因为，()*122n n a S n +=+∈N 所以当时，，2n ≥122n n a S -=+两式相减得，即.12n n n a a a +=-13n n a a +=故等比数列的公比为3.{}n a 故，解得.211122223a S a a =+=+=12a =所以. 123n n a -=⋅【小问2详解】， 1212123n n n n n b a ---==⋅故①， 120121113232123333n n n n n n T b b b ----⎛⎫=+++=++++ ⎪⎝⎭②， 12111132321323333n n n n n T ---⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭①-②，得 0121211222213233333n n n n T --⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 121111121233323n n n --⎛⎫=++++- ⎪⋅⎝⎭ 111133121122313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦=+-⋅- 111121222323n nn --=+--⋅⋅， 112112323n n n --=--⋅⋅113nn +=-所以. 131223n n n T -+=-⨯22. 已知椭圆，点在椭圆C 上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛⎝（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记A 是椭圆的左顶点，若直线l 过点且与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N⎫⎪⎪⎭与A 均不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别是．试问是否为定值？若是，求12k k ，12k k ⋅出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1） 2212x y +=（2）是，定值为，理由见解析 16-【解析】【分析】（1）由待定系数法列方程组求解；（2）直线l 的斜率不为0，设为，结合韦达定理表示即可化简判断. x my =+12k k ⋅【小问1详解】由题意得，，∴椭圆C的标准方程为； 2222222112121a ba c ab a bc ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎧==⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎪⎪⎩2212x y +=【小问2详解】由题意得，直线l 的斜率不为0，设为，，x my =()()1122,,,M x y N x y ，()A 联立直线与椭圆消x 得，，则()222230m y ++-=， ()12122322y y y y m +==-+∴12k k ⋅=== ()2322m -+=()22232393222m m m -=--++. 16=-故是定值，为. 12k k ⋅16-。

高二数学上学期期末考试试卷理普通班,含解析试题(共15页)

黄陵中学2021-2021学年(xuénián)高二〔普通班〕上学期期末考试数学〔理〕试题一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分)1.设命题：，那么为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】因为特称命题的否命题全称命题，因为命题，所以为：，应选C.【方法点睛】此题主要考察全称命题的否认，属于简单题.全称命题与特称命题的否认与命题的否认有一定的区别，否认全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否认结论，而一般命题的否认只需直接否认结论即可.2.＝(－1,3)，＝(1，k)，假设⊥，那么实数k的值是( )A. k＝3B. k＝－3C. k＝D. k＝－【答案】C【解析】【分析】根据⊥得，进展数量积的坐标运算即可求k值.【详解】因为＝(－1,3)，＝(1，k)，且⊥，，解得k＝，应选(yīnɡ xuǎn)：C.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：〔1〕两向量平行，利用解答；〔2〕两向量垂直，利用解答.是向量，命题“假设，那么〞的逆命题是A. 假设那么B. 假设那么C. 假设那么D. 假设那么【答案】D【解析】：交换一个命题的题设与结论，所得到的命题与原命题是〔互逆〕命题。

应选D4.命题“假设a>0，那么a2>0”的否认是( )A. 假设a>0，那么a2≤0B. 假设a2>0，那么a>0C. 假设a≤0，那么a2>0D. 假设a≤0，那么a2≤0【答案】B【解析】【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得其逆命题，即可得到答案.【详解】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得其逆命题，即命题“假设，那么〞的逆命题为“假设，那么〞，应选B．【点睛】此题主要考察了四种命题的改写，其中熟记四种命题的定义和命题的改写的规那么是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.5. “a＞0”是“|a|＞0”的〔〕A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：此题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或者a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件应选A考点：必要条件．【此处有视频，请去附件查看】6.命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.那么下面结论正确的选项是( )A. 命题“p∧q〞是真命题B. 命题“p∧q〞是假命题C. 命题“p∨q〞是真命题D. 命题“p∧q〞是假命题【答案】D【解析】取x0＝，有tan＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．7.假设命题“〞为假，且“〞为假，那么〔〕A. 或者为假B. 假C. 真D. 不能判断的真假【答案】B【解析(jiě xī)】“〞为假，那么为真，而〔且〕为假，得为假8.假设向量且那么( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题首先可根据以及列出等式，然后通过计算得出结果。

高二数学上学期期末考试试卷理含解析试题 2(共17页)

一中2021-2021高二年级第一学期(xuéqī)期末试题高二数学〔理科〕一选择题：在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1.假设命题：， ,那么命题的否认是〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】根据特称命题的否认，换量词否结论，不变条件；故得到命题的否认是，.故答案为：C.2.与向量垂直的一个向量的坐标是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用与四个选项里面的向量求数量积，数量积为零的即是所求.【详解】对于A选项，不符合题意.对于B选项，不符合题意.对于C选项，不符合题意.对于D选项，符合题意，应选D.【点睛】本小题主要考察两个空间向量互相垂直的坐标表示，考察运算求解才能，属于根底题.3.双曲线的渐近线方程(fāngchéng)为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线实轴在轴上时，渐近线方程为，此题中，得渐近线方程为，应选A.4.抛物线的焦点坐标是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的HY方程，转化求解即可．【详解】抛物线y=-x2的开口向下，，所以抛物线的焦点坐标．应选：A．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，考察计算才能．5.等比数列中，，，( )A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】C【解析】【分析】将转化为的形式，求得的值，由此求得的值.【详解(xiánɡ jiě)】由于数列为等比数列，故，故，应选C.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等比数列的根本量个根本量，利用等比数列的通项公式或者前项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.6.设变量想x、y满足约束条件为那么目的函数的最大值为( )A. 0B. -3C. 18D. 21【答案】C【解析】【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选C.【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.7.假设命题“〞为真命题，那么( )A. 为假命题(mìng tí)B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】B【解析】【分析】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.【详解】命题“p∧(¬q)〞为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,那么q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)为假命题.故答案为：B.【点睛】〔1〕由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假假设p且q真，那么p 真，q也真；假设p或者q真，那么p，q至少有一个真；假设p且q假，那么p，q至少有一个假．〔2〕可把“p或者q〞为真命题转化为并集的运算；把“p且q〞为真命题转化为交集的运算．8.在中，，，分别是三个内角、、的对边，，，，那么〔〕A. B. 或者 C. D. 或者【答案】D【解析】【分析】利用正弦(zhèngxián)定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.【详解】由正弦定理得，解得，故或者，所以选D.【点睛】本小题主要考察利用正弦定理解三角形，考察特殊角的三角函数值，属于根底题.9.在中，分别为角的对边，假设，那么此三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或者直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得sinA=2sinBcosC，即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，整理得sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0，即B=C，那么三角形为等腰三角形，此题选择A选项.10.均为正数，，那么的最小值( )．A. 13B.C. 4D.【答案】D【解析】【分析】通过化简后利用根本不等式求得表达式的最小值.【详解】依题意.应选D.【点睛(diǎn jīnɡ)】本小题主要考察利用“〞的代换的方法，结合根本不等式求表达式的最小值.属于根底题.11.设双曲线的渐近线方程为，那么的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为,所以，应选B.12.有以下三个命题:①“假设，那么互为相反数〞的逆命题;②“假设，那么〞的逆否命题;③“假设，那么〞的否命题. 其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】①写出命题的逆命题，可以进展判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性一样，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。

高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)(河南省)

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“若x≠3且x≠2，则x2﹣5x+6≠0”的否命题是（）A．若x=3且x=2则x2﹣5x+6=0 B．若x≠3且x≠2则x2﹣5x+6=0C．若x=3或x=2则x2﹣5x+6=0 D．若x=3或x=2则x2﹣5x+6≠02．在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=（）A．B．C．D．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（）A．x=1，y=1 B．x=1，y=C．x=，y=D．x=，y=14．已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．35．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．△ABC中，若sinC=（cosA+sinA）cosB，则（）A．B=B．2b=a+cC．△ABC是直角三角形D．a2=b2+c2或2B=A+C7．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）8．已知数列{a n}为等差数列，若，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．219．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．10．设p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．（0，）D．[0，]11．若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]12．设抛物线y2=8x的焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），与其准线交于点C，则=（）A．6 B．7 C．8 D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足约束条件．则的最大值为．14．已知命题p：函数y=log0、5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是减函数、若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是、15．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．16．如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救艇与呼救船在B处相遇所需的最短时间为小时．三、解答题（本大题共6小题，70分）17．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2n+1﹣n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若bn=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．19．（12分）（文）沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的时速匀速行驶到杭州，已知该汽车每小时的运输成本y（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为220元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数）20．（12分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．21．（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“若x≠3且x≠2，则x2﹣5x+6≠0”的否命题是（）A．若x=3且x=2则x2﹣5x+6=0 B．若x≠3且x≠2则x2﹣5x+6=0C．若x=3或x=2则x2﹣5x+6=0 D．若x=3或x=2则x2﹣5x+6≠0【分析】命题“若p，则q”的否命题是：“若非p，则非q”，由此将命题的条件和结论分别否定，可得否命题，得到本题的答案．【解答】解：∵条件“x≠3且x≠2”的否定是：“x=3或x=2”，条件“x2﹣5x+6≠0”的否定x2﹣5x+6=0“”∴命题“若x≠3且x≠2则x2﹣5x+6≠0”的否命题是“若x=3或x=2，则“x2﹣5x+6=0”由此可得C选项是正确的．故选：C【点评】本题给出命题，叫我们寻找它的否命题，考查了四种命题及其相互关系的知识，属于基础题．2．在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=（）A．B．C．D．1【分析】由等差数列的中项性质可得a1+a9=2a5，可得a5，再由sin（a4+a6）=sin2a5，即可得到所求值．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，由a1+a9=2a5，可得3a5=，即a5=，则sin（a4+a6）=sin2a5=sin=．故选：A．【点评】他考查等差数列中项的性质，考查正弦函数值的求法，考查运算能力，属于中档题．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（）A．x=1，y=1 B．x=1，y=C．x=，y=D．x=，y=1【分析】画出正方体，表示出向量，为+的形式，可得x、y 的值．【解答】解：如图，++（）．故选C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题．4．（2011•山东模拟）已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】由椭圆的定义得，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=16，由此可求出|AB|的长．【解答】解：由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16，又因为在△AF1B中，有两边之和是10，所以第三边的长度为：16﹣10=6故选A．【点评】本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系．要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质．5．（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，log a3＜log b3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：a、b都是不等于1的正数，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵log a3＜log b3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．6．△ABC中，若sinC=（cosA+sinA）cosB，则（）A．B=B．2b=a+cC．△ABC是直角三角形D．a2=b2+c2或2B=A+C【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程，由内角的范围和特殊角的余弦值分类两种情况讨论，分别化简后可得答案．【解答】解：△ABC中，∵C=π﹣（A+B），∴sinC=sin（A+B），代入sinC=（cosA+sinA）cosB得，sin（A+B）=（cosA+sinA）cosB，化简可得，cosAsinB=cosAcosB，①∵0＜A＜π，∴分两种情况讨论，（1）当cosA≠0时，①化为sinB=cosB，则tanB=，∵0＜B＜π，∴B=，则A+C=π﹣B==2B；（2）当cosA=0时，A=，则a2=b2+c2，综上可得，a2=b2+c2或2B=A+C，故选：D．【点评】本题考查正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，及分类讨论思想，考查化简、变形能力，属于中档题．7．（2011•辽宁）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．8．（2014•东阳市二模）已知数列{a n}为等差数列，若，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21【分析】由可得，由它们的前n项和S n有最大可得a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0从而有a1+a19=2a10＞0a1+a20=a11+a10＜0，从而可求满足条件的n的值．【解答】解：由可得由它们的前n项和S n有最大值，可得数列的d＜0∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0使得S n＞0的n的最大值n=19故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知及它们的前n项和S n有最大a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，灵活利用和公式及等差数列的性质得到a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0是解决本题的另外关键点．9．（2012•烟台一模）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．10．设p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．（0，）D．[0，]【分析】p：2x2﹣3x+1≤0，解得．可得￢p．q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，解得：a≤x≤a+1．可得￢q．根据非p是非q的必要不充分条件即可得出．【解答】解：p：2x2﹣3x+1≤0，解得．￢p：或x＞1．q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，解得：a≤x≤a+1．￢q：x＜a，或x＞a+1．∵非p是非q的必要不充分条件，∴且a+1≥1，解得．则实数a的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（2014•甘肃一模）若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，2]【分析】由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[，1]．【解答】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]【点评】本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．12．设抛物线y2=8x的焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），与其准线交于点C，则=（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】由题意，直线的方程为y=（x﹣2），代入y2=8x可得3x2﹣20x+12=0，求出A，B的坐标，再求出C的坐标，即可求出．【解答】解：由题意，直线的方程为y=（x﹣2），代入y2=8x可得3x2﹣20x+12=0，∴x=6或，∴A（6，4），B（，），又抛物线的准线方程为x=﹣2，∴C（﹣2，﹣4），∴==6，故选：A．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的性质，考查三角形面积的计算，确定A，B，C的坐标是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2015•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（2010•广东模拟）已知命题p：函数y=log0、5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是减函数、若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2、【分析】先化简命题，求出每个命题成立时相应的a的范围，再依据p或q为真命题，p且q为假命题，对相应的集合求交，求出参数的范围．【解答】解：对于命题P：因其值域为R，故x2+2x+a＞0不恒成立，所以△=4﹣4a≥0，∴a≤1对于命题q：因其是减函数，故5﹣2a＞1，∴a＜2∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p真q假或p假q真若p真q假，则a∈∅，若p假q真，则a∈（1，2）综上，知a∈（1，2）故应填1＜a＜2【点评】本题的考点是对数函数与指数函数的性质，以及命题真假的判断，综合考查了推理的严密性．15．（2015•江西校级二模）已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是（1，）．【分析】要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜ a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故答案为（1，）【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．16．如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救艇与呼救船在B处相遇所需的最短时间为小时．【分析】设所需时间为t小时，在点B处相遇则可求得AB和BC，进而利用余弦定理建立等式求得t．【解答】解：设所需时间为t小时，在点B处相遇在△ABC中，∠ACB=120°，AC=100，AB=21t，BC=9t，由余弦定理：（21t）2=102+（9t）2﹣2×10×9t×cos120°整理得：36t2﹣9t﹣10=0解得：t=或﹣（舍负）故救生艇与呼救船在B处相遇所需的最短时间为．故答案为．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用了余弦定理，利用已知的边和角建立方程求得时间．三、解答题（本大题共6小题，70分）17．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2n+1﹣n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若bn=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（I）S n=2n+1﹣n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．（Ⅱ）b n===，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2n+1﹣n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n =2n+1﹣n﹣2﹣[2n﹣（n﹣1）﹣2]=2n﹣1，n=1时也成立．∴a n=2n﹣1．﹣S n﹣1（Ⅱ）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=++…+，∴=+…++，∴=+…+﹣=﹣，可得：T n=2﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•广东一模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C 的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（文）沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的时速匀速行驶到杭州，已知该汽车每小时的运输成本y（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为220元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数）【分析】（1）根据题意可得出函数关系式，即可．（2）根据基本不等式得出）即可求解．【解答】解：（1）运行时间：小时，运行成本：220+0.02v2元，根据题意可得：（2）根据均值不等式：当且仅当，即时取等号，所以，当汽车以105km/h的速度行驶时，全程的运输成本最小，约为696【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，运用基本不等式求解，属于难题．20．（12分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【分析】（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF垂直平面ABB1A1，内的相交直线AB，BB1，即可证明平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系，求平面AB1D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【解答】证明：（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，，CD BB1．∴EF BB∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．解：（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），C（0，a，0），D（0，a，）B1（0，0，a），B（0，0，0），=（﹣，﹣，a），=（﹣），设=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．则，解得=（1，，），平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）为θ，则cosθ===，∴θ=．∴平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．证明平面与平面垂直主要转化为证明一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可，而证明直线与平面垂直，只需证明此直线与平面图内的两条相交直线垂直；求二面角的大小新教材主要要求学生掌握用空间向量的方法来求：第一步建立适当的空间直角坐标系，并设出点的坐标；第二步分别求出二面角的两个面的一个法向量；第三步代公式即可求得，注意运算的准确性．21．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值．【分析】（Ⅰ）通过长轴长可知a=4，利用离心率可知c=，通过a2=b2+c2可知b2=9，进而可得结论；（Ⅱ）记A（x1，y1）、B（x2，y2），通过设直线l方程为y=k（x﹣m）（k≠0）并与椭圆方程联立，利用韦达定理可知x1+x2=、x1x2=，通过+=0，代入计算、化简即得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=8，即a=4，∵=，∴c=，又∵a2=b2+c2，∴b2=9，∴椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设直线l方程为y=k（x﹣m）（k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2），直线AQ、BQ的斜率分别为k1、k2，将y=k（x﹣m）代入，得：（9+16k2）x2﹣32k2mx+16k2m2﹣144=0，由韦达定理可得：x1+x2=，x1x2=，由k1+k2=0得，+=0，将y1=k（x1﹣m）、y2=k（x2﹣m）代入，整理得：=0，即2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0，将x1+x2=、x1x2=代入，整理可解得：mn=16．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

河南省高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

一、单选题1．在空间直角坐标系中，点、，则（）(2,0,2)A (3,1,4)B ||=ABA B ．14 C D ．4【答案】A【分析】求出，利用向量模长公式求出答案.()1,1,2AB =【详解】，故()()()3,1,42,0,21,1,2AB =-= ||AB == 故选：A2．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（） l 120︒lA B ．C ．D ．12-【答案】D【分析】根据斜率的定义求出直线的斜率. l【详解】设直线的斜率为，则. l k tan120k =︒=故选：D3．已知双曲线：的渐近线方程为：，则该双曲线的离心率为（）22221(0,0)x y a b a b-=>>2y x =±A B C ．2D 【答案】A【分析】根据渐近线方程求出，从而根据.2b a =c a =【详解】的渐近线方程为，22221(0,0)x y a b a b -=>>b y x a =±故，故双曲线的离心率为. 2b a =c a ==故选：A4．在平行六面体中，，记向量，，，则向1111ABCD A B C D -11A O AD D = DA a = DC b = 1DD c =量（）CO =A ．B ．1122a b c ++ 12a b c ++C ．D ．1122a b c -+ 1122a b c ++ 【答案】C【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案. O 1AD 【详解】因为平行六面体钟，， 1111ABCD A B C D -11A O AD D = 所以是的中点，O 1AD 故.111112222CO CD DO DC DA DD a b c =+=-++=-+故选：C5．已知等差数列的前项和为，，则（） {}n a n n S 2184S =11a =A ．22 B ．10 C ．8 D ．4【答案】D【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质可直接求得结果. 【详解】是等差数列，，解得：． {}n a ()12121112121842a a S a +∴===114a =故选：D ．6．已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为α(1,2,0)n =-A α∈(12,1,4)AP =- P α（）A B ．C D ．【答案】B【分析】由向量法求点面距离.【详解】由题意得，点到平面. P α故选：B7．已知点在直线上，点，且，则点的坐标为（） Q :230l x y +-=(3,5)P PQ l ⊥Q A ．B ．()1,2-(1,1)C ．D ．195,33⎛⎫- ⎪⎝⎭12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据题意可设，然后结合垂直公式和斜率公式即可求解 ()0023,Q y y -+【详解】由点在直线上，故可设， Q :230l x y +-=()0023,Q y y -+因为，， PQ l ⊥(3,5)P 所以，解得，005112332PQ l y k k y -⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪-+-⎝⎭01y =所以 ()1,1Q 故选：B8．已知直线与圆相交于A 、B 两点，则（） 10x y --=22(1)4x y +-=||AB =AB ．C ．2D ．【答案】D【分析】用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求出弦长. 【详解】圆的圆心到直线距离22(1)4x y +-=()0,110xy --=d 所以AB ==故选：D9．如图，在长方体中，，，，，，1111ABCD A B C D -2AD =4DC=13DD =113AE AA = 12AF AB =则异面直线与CF 所成的角为（）1C EA ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线的方向向量，利用异面1,C E CF 直线夹角的向量公式，即得解【详解】由题意以D 为原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，1,,DA DC DD ,,x yz则 ()()()()10,4,3,2,0,1,0,4,0,2,2,0C E C F ，∴，,()12,4,2C E =-- ()2,2,0CF =-设异面直线所成的角为，1,C E CF ()090θθ︒<≤︒则11cos ||||C E CF C E CF θ⋅===⋅ 所以，所求异面直线的夹角为． 30θ=︒30︒故选：A10．已知数列满足：，，则（）{}n a 11a =()*1n n S a n +=∈N 2023a =A ． B ． C ． D ．20202202122022220232【答案】B【分析】根据题意结合与之间的关系整理可得，根据等比数列的定义和通项公式求n a n S 12n n S S +=得，即可得结果.12n n S -=【详解】∵，则，11n n n n S a S S ++==-12n n S S +=∴数列是以首项，公比的等比数列，则，{}n S 111S a ==2q =11122n n n S --=⨯=故.202220212021202320232022222a S S =-=-=故选：B.11．已知点满足方程：，记点的轨迹为曲线， (,)M x y 2||2||x y x +=M C ①曲线经过原点；C ②曲线上的点的横坐标的范围是； C x [2,2]-③曲线既有对称轴又有对称中心； C ④曲线上的点的纵坐标的范围是C y R则以上四个结论中正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】对于①，将原点代入即可；对于③，假设满足，可得，(),P x y 2||2||x y x +=()1,P x y -也在曲线上，即可判断；对于②④，去掉绝对值进行讨论即可()2,P x y --【详解】对于①，由于原点满足方程，故①正确；()0,02||2||x y x +=对于③，假设满足，易得也满足，故曲线有对称轴(),P x y 2||2||x y x +=()1,P x y -2||2||x y x +=C ；0x =同样可得也满足，故曲线有对称中心，故③正确 ()2,P x y --2||2||x y x +=C ()0,0对于②④，由可得，2||2||x y x +=2||2||y x x =-+当时，方程为，解得，此时；0,0y x ≥≥()222110y x x x =-+=--+≥02x ≤≤[]0,1y ∈当时，方程为，解得，此时；0,0y x ≥<()222110y x x x =--=-++≥20x -≤<[]0,1y ∈当时，方程为，解得，此时；0,0y x <≥()222110y x x x =-=--<02x <<[)1,0y ∈-当时，方程为，解得，此时；0,0y x <<()222110y x x x +==+-<20x -<<[)1,0y ∈-综上所述，的范围是，的范围是，故②正确，④错误； x [2,2]-y [1,1]-故选：C12．已知椭圆的左顶点为，过原点的直线与椭圆相交于P 、Q 两点，且222:1(3)9x y C a a +=>A l C ，则（）14PA QA k k ⋅=-=aA ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设，则，利用斜率公式和椭圆方程即可得到答案()00,P x y ()00,Q x y --【详解】由椭圆可得左顶点，222:1(3)9x y C a a +=>(),0A a -设，则，则，()00,P x y ()00,Q x y --2200219x y a +=， 202200022222000099914PA QAx y y y a k k x x a x x a a a a ---+⋅=⋅===-=---+-所以，即 236a =6a =故选：B二、填空题13．已知向量，，⊥，则______．(,2,1)a x = (2,1,4)b x =-- a bx =【答案】-2【分析】根据向量垂直得到向量数量积为0，从而列出方程，求出.2x =-【详解】由题意得：，解得：. 2240a b x x ⋅=-+-=2x =-故答案为：-214．已知等比数列，，，则＝______． {}n a 41a =816a =6a 【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式即可求出答案．【详解】设公比为q ，，，41a =816a =∴，，484a a q =416=q ∴，24q =∴.264144==⨯=a a q 故答案为：4.15．已知中的三个点在直线上，则______． 1()()()(16210364)21A B C D ,、,、,、,l y kx m =+：m k =【答案】5【分析】由可得在同一条直线上，利用点斜式可求得该直线，然后检验不在该直AC AD k k =,,A C D B 线上，即可得到直线，即可求得答案 l 【详解】由题意可得，，且直线有公共点， 166531AC k -==-216541AD k -==-,AC AD A 所以在同一条直线上，,,A C D所以该直线为即()651y x -=-51y x =+由于不满足，故直线为， (2,10)B 51y x =+l 51y x =+所以，所以 5,1k m ==5m k =故答案为：516．已知抛物线，过焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，且，则28y x =2AF BF =AB =______．【答案】9【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【详解】由抛物线焦点坐标为，28y x =(2,0)F 设点，过焦点F 的直线方程为， 1122(,),(,)A x y B x y 2x my =+由抛物线的定义有， 11||22pAF x x =+=+22||22p BF x x =+=+由，得，即. 2AF BF =()12222x x +=+1242(4)my my +=+所以有①，12(2)4m y y -=又由得：， 228x my y x=+⎧⎨=⎩28160y my --=所以,，②264640m ∆=+>128y y m +=1216y y ⋅=-由①②联立解得：. 218m =又1212||||||48AB AF BF x x my my =+=++=++ 212()8889m y y m =++=+=故答案为：9三、解答题17．已知等差数列的前项和为，， {}n a n n S 245S =363S =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)当为何值时，最大，最大值为多少？ n n S 【答案】(1)273n a n =-(2)当或时，取得最大值 8n =9n =n S 108【分析】（1）由，，列出关于的方程组，可得数列的通项公式； 245S =363S =1a d 、{}n a （2）求出的表达式，由二次函数的性质，可得当取得最大时，的值. n S n S n 【详解】（1）等差数列的公差为，{}n a d 由题意可得，解得，21312453363S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩1243a d =⎧⎨=-⎩所以的通项公式为{}n a ()2431273n a n n =--=-（2）．221178673(1)3(1)35124242222n n n n d n n n n S na n ⎛⎫--+ ⎪---+⎝⎭=+=-==因为，所以当或时，取得最大值．*n ∈N 8n =9n =n S 2385181082-⨯+⨯=18．已知圆经过点、，且圆心在直线上． C (1,2)A (3,4)B -C =1y x --(1)求圆的方程；C (2)若直线过点与圆相切，求直线的方程． l (0,3)P -C l 【答案】(1)22(2)(1)10x y ++-=(2)或133y x =--33y x =-【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线不是圆的切线，斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数后得直线方程．【详解】（1）由题意，设圆心坐标为，则(,1)C mm --， =2m =-所以圆心为，半径为(2,1)C -r ==圆方程为；C 22(2)(1)10x y ++-=（2）过且斜率不存在的直线为，易得不与圆相切， (0,3)P -0x =C 故切线的斜率存在，设其方程为即， 3y kx =-30kx y --=或，13k =-3则直线方程为或，133y x =--33y x =-综上，切线方程为或133y x =--33y x =-19．已知椭圆，左焦点，右焦点，且点在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1(1,0)F -2(1,0)F 81,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C上，直线与椭圆相交于另外一点．1PF C Q(1)求椭圆的标准方程； C (2)求线段PQ 的长度．【答案】(1)22198x y +=(2) 509【分析】（1）先利用焦点求出，再利用椭圆的定义求出，最后利用即可求1c =26a =2228b a c =-=出椭圆方程；（2）先求出直线的方程，与椭圆进行联立可得到的坐标，即可求解PQ Q 【详解】（1）因为椭圆的左焦点，右焦点，所以椭圆的半焦距，1(1,0)F-2(1,0)F 1c=因为在椭圆上，所以，81,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1226a PF PF =+==所以，所以椭圆的标准方程2228b a c =-=C 22198x y +=（2）由题意可得，所以直线为 ()843113PQk==--PQ ()413y x =+设，由化简得：， 11(,)Q x y ()22413198y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩23470x x +-=解得，所以 173x =-147161339y ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭ 509PQ ∴==20．如图，在四棱锥中，平面，，底面ABCD 是边长为4的菱形，且P ABCD -PA ⊥ABCD 6PA =120BAD ∠=︒(1)求证：；BD PC ⊥(2)求平面PAC 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质定理即可求BD ⊥PAC 证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可求得面与面夹PAC PCD 角的余弦值【详解】（1）由平面，平面，所以 PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥又因为底面为菱形，所以，ABCD AC BD ⊥又因为，且含于平面,所以平面； PA AC A = ,PA AC PAC BD ⊥PAC 又平面，所以 PC ⊂PAC BD PC ⊥（2）设交于，,BD AC O 根据题意可得，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，过点作轴垂直于底O ,OB OC x y O z 面，建立空间直角坐标系，如图所示：因为底面ABCD 是边长为4的菱形，且，120BAD ∠=︒所以，是等边三角形，所以， 60ABC ∠=︒ABCA 2,OC OB ==则；(0,2,0),((0,2,6)C D P --则，(2,0),(2,6)CD PD =--=-- 设平面的一个法向量为， PCD (,,)n x y z =得，令；·20·260n CD y n PD y z ⎧=--=⎪⎨=-+-=⎪⎩ z=3,x y=-=(n =- 易知，是平面的一个法向量，(1,0,0)m = PAC 设平面与平面的夹角为，PAC PCDθ则 cos cos ,n m n m n mθ⋅==== 所以，平面与平面PAB PBD 21．已知数列满足：，{}n a 12a =-()1*122,n n n a a n n --=-≥∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，求数列的前项和n n b n a =⋅{}n b n n T 【答案】(1)2n n a =-(2)()1212n n T n +=-+-【分析】（1）由已知得（，），利用累加法求通项公式可得答案； 112---=-n n n a a 2n ≥*n ∈N （2）写出，利用错位相减法求和可得答案.n b 【详解】（1）（，）112---=-n n n a a 2n ≥*n ∈N∴()()()211213212222--=+-+-++-=----- n n n n a a a a a a a a ， ()12122212--=--=--n n 当时满足上式，1n =∴；2n n a =-（2），2=⋅=-⨯n n n b n a n ，23121222322n n n T b b b n =+++=-⨯-⨯-⨯--⨯ ，234121222322n n T n +=-⨯-⨯-⨯--⨯ 两式相减可得， ()()2311121222222221212n n n n n n T n n n +++--=-----+⨯=-+⨯=+-- 所以. ()1212n n T n +=-+-22．已知拋物线，焦点为，点在抛物线上，且．2:2(0)C y px p =>F ()()004,0M y y >C 5MF =(1)求抛物线的方程；C (2)若、在抛物线上，点中任意两点不重合，且，判断直线()11,A x y ()22,B x y C ,,M A B 0MA MB ⋅= 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．AB 【答案】(1)24y x =(2)直线过定点，定点坐标为AB (8,4)-【分析】（1）利用抛物线的定义求解即可；（2）由题意可知直线斜率不为0，设直线为，将直线方程与抛物线方程联立，利AB AB x my b =+用韦达定理和向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】（1）因为点在抛物线上，且点到焦点的距离，()04,M y C M F 5MF =所以，解得， 452p +=2p =所以抛物线的方程为：C 24y x =（2）由（1）得点坐标为，由题意直线斜率不为0， M (4,4)AB 设直线为，AB x my b =+联立得， 24y x x my b⎧=⎨=+⎩2440y my b --=，即， 22(4)41(4)16160m b m b ∆=--⨯⨯-=+>20m b +>，，124y y m +=124y y b =-所以，， 21212()242x x m y y b m b +=++=+221212()16y y x x b ==因为，， 11(4,4)MA x y =-- 22(4,4)MB x y =-- 所以 121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()32MA MB x x y y x x x x y y y y ⋅=--+--=-++-++ ， 22224(42)44432161216320b m b b m b m b m =-+--⨯+=---+=所以即， 22123616164b b m m -+=++22(6)(42)b m -=+当与同号时，即， 6b -42m +642b m -=+48b m =+此时，22248(2)40m b m m m +=++=++>所以直线方程过定点， AB 48(4)8x my m m y =++=++(8,4)-当与异号时，即， 6b -42m +642b m -=+44b m =-+此时，22244(2)0m b m m m +=-+=-≥直线方程过定点与点中任意两点不重合矛盾； AB 44(4)4x my m m y =-+=-+(4,4),,M A B 故直线过定点，定点坐标为. AB (8,4)-。

河南高二上学期期末数学试题(解析版)

高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（）{}n a 21nn a =+A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项【答案】C【分析】由已知通项公式，令并求解，即可确定答案. 2133n +=【详解】令，解得． 3321n =+5n =故选：C ．2．双曲线焦点到渐近线距离为，则此双曲线虚轴长为（） 2A ． B ．C ．D ．2468【答案】B【分析】根据焦点到渐近线的距离为，简单计算即可得到结果.b 【详解】设双曲线方程为，()222210,0x y a b a b -=>>一条渐近线方程为：，焦点， 0bx ay -=(),0c所以焦点到该渐近线的距离为，d b ==当双曲线焦点在y 轴上时，依然成立，所以，故虚轴长为4 2b =故选：B3．若动点分别在直线和上，则的中点到坐标原点的距离,A B 1:60l x y +-=2:20l x y +-=AB M 的最小值为（）A B ．C ．D ．【答案】B【解析】设点所在直线的方程为，结合点到直线的距离公式，求得点所在直线M :0l x y m ++=M 的方程，利用原点到直线的距离公式，即可求解.【详解】根据题意，可得的集合为与直线和距离都相等的直线， M 1l 2l 则到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，M设点所在直线的方程为，M :0l x y m ++=，解得，可得， =|6||2|m m +=+4m =-:40l x y +-=所以M =故选：B.4．若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，22:184x y C +=F F '60︒C P Q 则的周长为（） PQF △A ．B ．C ．6D ．8【答案】B【解析】根据椭圆定义，直接求的周长. PQF △【详解】由椭圆方程可知28a a =⇒=根据椭圆的定义可知，，'2PF PF a +='2QF QF a +=的周长为PQF △''4PQ PF QF PF QF PF QF a ++=+++==故选：B【点睛】本题考查椭圆定义，重点考查理解能力，属于基础题型.5．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案.已知该处共有个“浮雕象”，则正中间那层的“浮1016雕象”的数量为（） A ． B ．C ．D ．50825612864【答案】D【分析】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列，故只{}n a 需利用，求出最下层的浮雕数量，即可求出正中间那层，即第4层的“浮雕象”的数量. 71016S =1a 【详解】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列，{}n a 设最下层的浮雕数量为，则由，解得，1a 717(12)101612a S -==-18a =所以正中间那层为第4层，其“浮雕象”的数量.348264a =⨯=故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式的应用，属于基础题.n6．设等差数列的前n 项和为，若，则( ) {}n a n S 112,0,3m m m S S S -+=-==m =A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由又，可得公差，0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-113m m m a S S ++=-=11m m d a a +=-=从而可得结果.【详解】是等差数列{}n a ()102ms m m a a S +∴== ()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又， 113m m m a S S ++=-=∴公差，11m m d a a +=-=，故选C ．11325m a a m m m +==+=-+⇒=【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h 为S ABCD -()4,1,0AB =- ()0,3,0AD =()3,1,4AS =-- （）． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】先求出平面ABCD 的一个法向量，则在法向量上的投影的绝对值即为这个四棱锥n AS n的高．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为， (),,n x y z =r则，即，∴，00AB n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩4030x y y -=⎧⎨=⎩00x y =⎧⎨=⎩取，则，4z =()0,0,4n =∴这个四棱锥的高，1644AS n h n ⋅===故选：D ．8．设等比数列的前项和为，若，则（）{}n a n n S 105:1:2S S =51015105S S S S S ++=-A ．B ．C ．D ．7292-9272-【答案】B【分析】根据题意，可知，设等比数列的首项为，公比，可知，由10512S S ={}n a 1a q 1q ≠并根据等比数列的前项和公式得出，进而得出，从而可求出105:1:2S S =n 512q =-15534S S =的结果.51015105s s s s s ++-【详解】解：由题可知，，则， 105:1:2S S =10512S S =设等比数列的首项为，公比，可知，{}n a 1a q 1q ≠因为，所以， ()()101105105551111111211a q S q q q S q a q q---===+=---512q =-则，()()()1531351515555511111131211141121a q q S q q S q q a q q-⎛⎫-- ⎪---⎝⎭=====--⎛⎫--- ⎪⎝⎭-所以， 15534S S =故. 555551015105555139924411222S S S S S S SS S S S S ++++===----故选：B.9．抛物线C ：的焦点为F，其准线与x 轴的交点为K ，P 为准线上一点，线段PF 与抛物22y px =线交于M 点，若是斜边长为的等腰直角三角形，则（）PKF △MF =A B 1+C． D ．44-【答案】D【分析】利用抛物线的定可义可得，结合条件可得. MN MF =2MN =【详解】∵是斜边长为PKF △∴，过M 作MN 垂直准线于N 点，则， 2KF =MN MF =∴，即 MN PM KF PF =∴， 4MN =-故选：D ．10．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，给出下列结论：1111ABCD A B C D -P 1B C ①异面直线与所成的角范围为；AP 1DD ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦②平面平面； 1PBD ⊥11A C D③点到平面 P 11A C D ④存在一点，使得直线与平面所成的角为．其中正确的结论是（）． P AP 11BCC B π3A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④【答案】C【分析】对于①，当在点时，面直线与所成的角最大；当在点时，异面直线P C AC 1DD P 1B 1AB 与所成的角最小，即可得与所成的角范围，从而即可判断；对于②，由题意可知1DD AP 1DD 1BD ⊥平面，由面面垂直的判定定理即可判断；对于③，由题意可知∥平面，从而可得点11A C D 1B C 11A C D到平面的距离为定值,且等于的, 即可判断；对于④，由题意可得，直线与平面P 11A C D 1BD 13AP 所成的角为,,当时，最小，最大，最大值为11BCC B APB ∠tan ABAPB BP∠=1PB B C ⊥PB tan APB ∠，即可判断.【详解】解：对于①，当在点时，，异面直线与所成的角最大为，当P C 1DD AC ⊥AC 1DD π2P 在点时，异面直线与所成的角最小为，所以异面直线与所成的角范1B 1AB 1DD 11π4D DC ∠=AP 1DD 围为，故错误；ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦对于②，因为，所以平面，平面，所111111111,,BD A C BD A D A C A D A ⊥⊥⋂=1BD ⊥11A C D 1BD ⊂1PBD 以平面平面，故正确；1PBD ⊥11A C D 对于③，∥,平面，平面，所以∥平面，所以点到平面1B C 1A D 1B C ⊄11A C D 1A D ⊂11A C D 1B C 11A C D P的距离为定值,且等于的,故正确； 11A C D 1BD 13对于④，直线与平面所成的角为,,当时，最小，AP 11BCC B APB ∠tan ABAPB BP∠=1PB B C ⊥PB. tan APB ∠πtan3<=所以说法正确的为②③. 故选：C.11．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为C ()()22111x y ++-=P 10x y --=P C ，，则的最小值为（）A B PC AB ⋅A B ．C ．D【答案】A【解析】根据题意，为四边形的面积的2倍，即PC AB ⋅PACB ，然后利用切线长定理，将问题转化为圆心到直线12242PAC PC AB S PA AC ⋅=⋅=⋅⋅⋅△10x y --=的距离求解.【详解】圆：的圆心为，半径，C ()()22111x y ++-=()1,1C -1r =设四边形的面积为，PACB S 由题设及圆的切线性质得，，122242PAC PC AB S S PA AC ⋅==⋅=⋅⋅⋅△∵，1AC r ==∴，2PC AB PA ⋅===圆心到直线的距离为()1,1C -10x y --=d =∴的最小值为，PC 则的最小值为PC AB ⋅=故选：A12．设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过F 作直线的垂线，F 22221x y a b-=1l 2l 1l 分别交，于A ，B 两点．若成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率1l 2l ,,OA AB OB BF FAe的大小为（）． AB CD【答案】A【分析】由题意直线的倾斜角为，根据，得到，再由1l π(0,)4α∈OA AB ⊥222OA AB OB +=成等差数列，得到，求得，得到,,OA AB OB 2AB OA OB =+::3:4:5OA OB OC =4tan 3AOB ∠=，利用正切的倍角公式得到，求得，进而求得双曲线的离心率.4tan tan 23AOB α∠==12b a =【详解】解：如图所示，因为向量与同向，可得直线的倾斜角为， BF FA 1l π(0,)4α∈即，所以，所以， 1b k a =<22222211b e c a a a -==-<212e <<又由，所以，OA AB ⊥222OA AB OB +=又因为成等差数列，所以， ,,OA AB OB 2AB OA OB =+联立方程组，可得，，所以，34OA AB =54OB AB =::3:4:5OA OB OC =在直角中，可得， OAB A 4tan 3AOB ∠=又由双曲线的渐近线方程为，可得，22221x y a b-=b y x a =±tan b a α=即，解得，即， 2222tan 4tan tan 21tan 31()ba AOBb aααα⨯∠====--2a b =12b a =可得，即，所以222222114b c a e a a -==-=254e =e =故选：A.二、填空题13．已知直线，直线，若，则实数______． 1:(25)20l ax a y +--=2:(32)40l a x ay ---=12l l //=a 【答案】57【分析】由由有，即可求，然后验证、是否重合. 12l l //12210A B A B -=(2)(75)0a a --=a 1l 2l 【详解】∵，有， 12l l //()(25)(32)0a a a a ----=∴，解得或， (2)(75)0a a --=2a =57a =当时，，，即、为同一条直线； 2a =1:220--=l x y 2:4240l x y --=1l 2l 当时，，，即；57a =1525:2077l x y --=215:4077l x y --=12l l //∴， 57a =故答案为：5714．设F 为抛物线C :的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原23y x =点，则的面积为______. ABO A 【答案】/2.25/ 94124【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出AB AB ，用点到直线距离公式求高，进而求出三角形面积.【详解】易知抛物线中，焦点，直线的斜率的方程为32p =3(,0)4F AB k =AB，代人抛物线方程，整理得.3)4y x -23y x =22190216x x -+=设，则，由抛物线的定义可得弦长，原点到直1122(,),(,)A x y B x y 12212x x +=12||12AB x x p =++=O线的距离，AB 38d 所以的面积. OAB A 19||24S AB d =⋅=故答案为：9415．已知等比数列的公比为q ，前n 项和为，若，则{}n a n S 3252023qS a a =⋅345111a a a ++=__________．【答案】2023【分析】根据等比数列的性质结合等比数列通项公式值即可.【详解】,可得,即得, 3252023qS a a =⋅()123252023q a a a a a ++=⋅423252023a a a a a ++=⋅,又因为,可得,423252023a a a a a ++=⋅2534a a a a ⋅=⋅3422525252023a a aa a a a a a ++=⋅⋅⋅. 3451112023a a a ++=故答案为:202316．如图，在矩形中，，沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间ABCD 1AB =AD =ABD △四边形.1A BCD给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得； 1A C BD ⊥②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于； 1A BCD -14③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°. 1A D BC 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③【分析】在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为，对于①，连接，假设存ABCD ,A C BD ,E F CE在某个位置，使得，则可得到，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，1A C BD ⊥BD CE ⊥当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于1A BD ⊥BCD 1A BCD -③，由题知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得11A D A E ED =+ BC BF FC =+1A BD BCD θ，进而得异面直线与所成角的余弦值的范围为，即可1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ 1A D BC 1,12⎛⎫⎪⎝⎭判断.【详解】解：如图1，在矩形中，过点作的垂线，垂足分别为， ABCD ,A C BD ,E F 则在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由于，， CE 1A C BD ⊥1A E BD ⊥111A C A E A = 所以平面，所以，这与图1中的与不垂直矛盾，故错误； BD ⊥1A CE BD CE ⊥BD CE 对于②在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时1A BD ⊥BCD 1A BCD -，故三棱锥的体积不1AD AB A E BD⋅==1111113324BCD V S A E =⋅⋅=⨯⨯=A 1A BCD -大于，故正确； 14对于③，，，由②的讨论得，11A D A E ED =+ BC BF FC =+ 1,12AE DF EF ===所以，ED BF = 所以()()1111A D A E ED A E ED EA BC BF FC FC BF FC BF ED ⋅+⋅⋅⋅=++=-⋅=+ ，11139cos c ,,os 44EA EA ED FC FC B A F FC E =⋅⋅-+=-+ 设翻折过程中，平面与平面所成的二面角为，1A BD BCD θ所以，故，1,FC EA θ= 139cos 44B A C D θ⋅=-+ 由于要使直线与为异面直线，所以， 1A D BC ()0,θπ∈所以， 1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ 所以， 11139cos 144,1cos ,32A D A D A D BC BC BCθ⋅=⋅-+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，1AD BC 1,12⎛⎫⎪⎝⎭， 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°. 1A D BC 故答案为：②③三、解答题17．一动点到两定点距离的比值为非零常数，当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼λ1λ≠斯圆已知两定点、的坐标分别为：、，动点满足． A B ()4,0A ()10B ,M 2AM BM =（1）求动点的阿波罗尼斯圆的方程； M （2）过作该圆的切线，求的方程．()2,3P l l 【答案】（1）；（2）或．224x y +=2x =512260x y -+=【分析】（1）设，直接用坐标表示并化简即可；M (),x y 2AM BM =（2）分类斜率不存在和斜率存在，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数，得切线方程．【详解】（1）设动点坐标为，M (),x y又知，则．2AM BM ==224x y +=（2）当的斜率存在为时，则的方程为：，与圆相切， l k l 23y kx k =-+l则，得：， 2d 512k =此时的方程为：；l 512260x y -+=当的斜率不存在时，此时的方程为：， l l 2x =综上：的方程为或．l 2x =512260x y -+=【点睛】本题考查求圆的方程，考查求圆的切线方程．求圆的方程采取直接法，即把已知关系用坐标表示化简即可，而求圆的切线方程必须分类讨论，即分斜率不存在和斜率存在两类，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求参数．18．已知数列的前项和为，. {}n a n n S 111,n n a S a +==(1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，求数列的前项和为. n nnb S ={}n b n n T 【答案】(1) 21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2) 1242n n n T -+=-【分析】（1）由，化简得，得数列是以1为首项，以2为公比的等比111,n n a S a +==12n n S S +={}n S 数列，求得，进而求得数列的通项公式；12n n S -={}n a （2）由，得的，结合乘公比错位相减求和，即可求解. 12n n S -=12n n nb -=【详解】（1）解：由题意，数列满足， {}n a 111,n n a S a +==可得，即，11n n n n S a S S ++==-12n n S S +=所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，{}n S 所以，11122n n n S --=⨯=所以，1221222,2n n n n n n a S S n ----=-=-=≥所以数列的通项公式为. {}n a 21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）解：由，可得， 12n n S -=12n n n n nb S -==所以，01221111111(2()3((1)(()22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 可得，12311111111()2()3()(1)(()222222n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减可得 1211111111121()()()()()122222212n n n n nT n n --=++++-⨯=-⨯- ，11122()()2(2)(222n n n n n =-⨯-⋅=-+⋅所以. 1242n n n T -+=-19．在棱长为4的正方体中，点P 在棱上，且．1111ABCD A B C D -1CC 14CC CP =(1)求直线与平面所成的角的正弦值大小； AP 11BCC B (2)求点P 到平面的距离． 1ABD【答案】【分析】（1）根据线面角的定义找出直线与平面所成的角，再求其正弦值即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，用点到平面的距离公式即可求解.【详解】（1）连接，由正方体的结构特点易知面，为垂足，所以即为所PB AB ⊥11BCC B B APB ∠求的线面角，∵，∴，14CC CP =1CP =由勾股定理知 BP =AB∴ sin APB ∠=（2）以D 为坐标原点，以，，所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， DA DC 1DD 由已知，，，，，()0,0,0D ()4,0,0A ()0,4,0C ()0,0,4D ()4,4,0B所以，，， ()0,4,0AB = ()14,0,4AD =-()4,4,1AP =- 设面的法向量为， 1ABD (),,n x y z =r故有， 144040n AD x z n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩令，则，故，1x =1z =()1,0,1n =故点P 到平面的距离．1ABD d =20．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．C 12y x =±(4,(1)求双曲线的标准方程；C (2)若直线l 与双曲线相交于两点，若的中点为，求直线l 的方程．M N ，MN (4,3)P 【答案】(1)；2214x y -=(2) 350x y -+=【分析】（1）由题意可设双曲线方程为，将点代入即可求解；224x y λ-=(4,（2）利用点差法求出直线l 的方程，再检验即可求解【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，即，C 12y x =±02x y ±=所以设双曲线的方程为，C 224x y λ-=将点代入，可得解得， (4,1634λ-=1λ=因此双曲线的标准方程为；C 2214x y -=（2）设，则，，1122(,),(,)M x y N x y 221114x y -=222214x y -=两式相减，得，12121212()()()()04x x x x y y y y +--+-=则， 12121212()()1()()4y y y y x x x x +-=+-因为的中点为，所以等式可得，得，MN (4,3)P 231244MN k ⨯⋅=⨯13MN k =则直线为即， ()1343y x -=-350x y -+=联立双曲线的方程和直线，消去x ，可得，C 350x y -+=2530210y y -+=此时， 90045214800∆=-⨯⨯=>则直线与双曲线有两个交点，符合题意，故直线l 的方程为350x y -+=21．如图甲，已知在长方形中，，，M 为DC 的中点．将沿折ABCD 4AB =2AD =ADM △AM 起，如图乙，使得平面平面．ADM ⊥ABCM(1)求证：平面；AD ⊥BDM(2)若点E 是线段上一动点，点E 在何位置时，二面角． DB E AM D --【答案】(1)证明见解析(2)E 为的靠近D 点的五等分点 BD【分析】（1）先利用面面垂直的性质和矩形的性质证得线面垂直，再得线线垂直，最后又由线面垂直的判定定理得证；（2）利用点E 是线段DB 上的一动点，设出，再求两个平面的法向量，进行求解．DE DB λ=【详解】（1）证明：∵，∴ 2AD DM ==AM =∵，∴2BC CM ==BM =∵，∴，∴，4AB =222AB AM BM =+BM AM ⊥∵平面平面，平面平面，平面， ADM ⊥ABCM ADM ABCM AM =BM ⊂ABCM ∴平面，BM ⊥ADM ∵平面，∴，AD ⊂ADM BM AD ⊥∵且，，平面， AD DM ⊥DM BM M = DM BM ⊂BDM ∴平面．AD ⊥BDM （2）因为平面平面，，，M 是的中点， ADM ⊥ABCM 4AB =2AD =DC ∴，AD DM =取的中点O ，连接，则平面， AM OD DO ⊥ABCM 取的中点N ，连接，则， AB ON ON AM ⊥以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，)A()B()M(D 设，，DE DB λ=[]0,1λ∈因为平面的一个法向量，AMD ()0,1,0n =，，(),AE AD DE =+=()AM =-设平面的一个法向量为，AME (),,m x y z=则，可得．()))00m AE x y z m AM ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩()0,1,2m λλ=- 再由， cos m =()()51310λλ-+=∴或（舍），15λ=13λ=-所以E 为的靠近D 点的五等分点．BD 22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，左焦2222:1(0)x y C a b a b+=>>1A 2A 1B 2B 点为，且过点.O 为坐标原点，与的面积的比值为1F M ⎛ ⎝111A B F A 22OA B △1（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线，的斜率分别为，():0,0l y kx m k m =+>≠OP OQ1k ，若k 为，，的等比中项，求面积的取值范围．2k 1k 2k OPQ △【答案】（1）；（2）. 2212x y +=⎛⎝【分析】（1）由与的面积的比值为，再将代入椭圆111A B F A 22OA B △1a =⎛ ⎝C 的方程得到，结合，求得的值，即可求解； 221112a b+=222a b c =+,a b（2）联立方程组，得到，，根据，求得2212x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩122421km x xk +=-+21222221m x xk -=+212k k k =.k =OPQ S =△【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，2222:1(0)x y C ab a b +=>>1(,0)Fc -因为与的面积的比值为111A B F A 22OA B △1111221()21112A B F OAB a c bS c S a ab -==-=△△解得， c a =a =将代入椭圆C 的方程，可得，又由， ⎛⎝221112a b +=222a b c =+解得，所以椭圆C 的标准方程为.1a b ==2212x y +=（2）设，，且，()11,P x y ()22,Q x y 10x ≠20x ≠联立方程组，整理得，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214220k x kmx m +++-=则，可得()()222216421220k m k m ∆=-+->2221m k <+又由，，122421km x x k +=-+21222221m x x k -=+因为，，所以，所以， 10x ≠20x ≠120x x ≠21m ≠因为的斜率，的斜率，OP 111y k x =OQ 222y k x =则 ()()()21212221212121212kx m kx m km x x m y y k k k k x x x x x x ++++====+把，代入上式并化简得， 122421km x x k +=-+21222221m x x k -=+2222m k m =因为，所以，又因为，所以 0m ≠221k =0k >k =当时，， k 1m ≠±10k ≠20k ≠所以直线l 的方程为，此时由，可得 y x m =+0∆>22m <因为，所以，可得，，0m ≠0||m <<1m ≠±12x x +=2121x x m =-所以，||PQ ===点到直线的距离OPQ |d m ==所以 1||2OPQ S PQ d =△1||2m ==因为，所以，所以面积的取值范围为. 0m ≠0||m <<1m ≠±OPQ △⎛ ⎝【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.。

高二数学上学期期末考试试题理含解析试题_2(共18页)

2021-2021学年高二数学上学期期末考试(qī mò kǎo shì)试题理〔含解析〕考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号、考场号和座位号填写上在答题卡上.2.答题选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将答题卡交回.一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的.，那么为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】特称命题的否认为全称命题，所以命题的否命题应该为，即此题的正确选项为C.中，假设那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析(fēnxī)】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或者，应选D.【点睛】此题主要考察了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.的焦点坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化HY方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为应选C【点睛】此题主要考察由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的HY方程即可，属于根底题型.4.，且，那么以下不等式一定成立的是〔〕A. B.C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】举出反例即可判断A、B、C选项；由可得，再根据函数的单调性即可判断D选项，即可得解.【详解】当，时，，故A错误；当，时，，故B错误；当，时，，故C错误；由可得，再根据函数的单调性可得即，故D正确. 应选：D.【点睛】此题考察了不等式和不等关系，属于根底题.公差为d,前n项和为,那么“d>0〞是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，假设，那么，所以“d>0〞是“S4 + S6>2S5〞的充要条件，选C．【名师点睛】此题考察等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，假设，那么是的充分条件，假设，那么是的必要条件，该题“〞“〞，故互为充要条件．6.假设(jiǎshè)x,y满足约束条件的取值范围是A. [06]B. [0,4]C. [6,D. [4,【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目的函数z=x+2y经过C点时，函数获得最小值，由解得C〔2，1〕，目的函数的最小值为：4目的函数的范围是[4，+∞〕．应选D．的前n项和为，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】设公比为q,那么，选A.中，为的中点(zhōnɡ diǎn)，设，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空间向量的线性运算法那么可得，再根据平行六面体的性质即可得解.【详解】由题意结合平行六面体的性质可得.应选：A.【点睛】此题考察了空间向量的线性运算，属于根底题.中，分别是角的对边,假设,且，那么的值是( )A. 2B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【详解(xiánɡ jiě)】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，那么，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，应选A．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，纯熟掌握定理、合理运用是解此题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或者两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或者两边及其夹角时，运用余弦定理求解.，直线与其相交于，两点，假设中点的横坐标为，那么此双曲线的方程是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，那么的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．应选D．【点睛】此题主要考察(kǎochá)利用点差法求双曲线HY方程，考察根本求解才能，属于中档题.11.：数列满足，，那么的最小值为A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】的左、右焦点分别为，假设椭圆上恰有6个不同的点使得为等腰三角形，那么椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰②当构成(gòuchéng)以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，那么或者当时，那么有(是椭圆在短轴上的上边的顶点)，那么，因此，即，那么当时，那么有(是椭圆在长轴上的右边的顶点)，即，那么综上所述，椭圆的离心率取值范围是应选D点睛：解决椭圆的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于，，的方程或者不等式，再根据，，的关系消掉得到，的关系式，建立关于，，的方程或者不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.中，，，且的面积为，那么__________．【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长. 【详解】在中，，，且的面积为，由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到.故答案(dá àn)为.【点睛】此题主要考察余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.，，且与的夹角为钝角，那么实数的取值范围为________. 【答案】且【解析】【分析】由题意得且与不一共线，即可得，即可得解.【详解】由与的夹角为钝角可得且与不一共线，那么即且.故答案为：且.【点睛】此题考察了利用空间向量数量积解决向量夹角的问题，属于根底题.15.，，是与的等比中项，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由得到x+2y=1,再对化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解(xiánɡ jiě)】由题得.所以=.当且仅当时取等.所以的最小值为.故答案为【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.的三边长，8，成等差数列，那么该等差数列的公差的取值范围是________. 【答案】【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得，再根据三角形三边关系可得，即可得解. 【详解】由题意得且，三角形为钝角三角形，即，即，，又由三角形三边关系可得，即，.故答案为：.【点睛】此题考察了余弦定理的应用和等差数列性质的应用，属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程(guòchéng)或者演算步骤.p：函数f〔x〕=lg〔ax2-x+16a〕的定义域为R；命题q：不等式3x-9x＜a对任意x∈R恒成立．〔1〕假如p是真命题,务实数a的取值范围；〔2〕假如命题“p或者q〞为真命题且“p且q〞为假命题,务实数a的取值范围．【答案】(1)．(2)．【解析】【分析】(1)命题p是真命题,有a＞0，△＜0,即求解即可．(2)命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x,令t=3x＞0,那么y=t-t2,t＞0,通过函数的最值求解a的范围,利用复合命题的真假关系求解即可．【详解】解：(1)命题p是真命题,那么ax2-x+16a＞0恒成立,得到a＞0,△=1-64a2＜0,即a ＞,或者a〔舍去〕,所以a的取值范围为．〔2〕命题q是真命题,不等式3x-9x＜a对一切x∈R均成立,设y=3x-9x，令t=3x＞0，那么y=t-t2,t＞0，当时,,所以．命题“p∨q〞为真命题,“p∧q〞为假命题,那么p,q一真一假．即有或者,综上，实数a的取值范围．【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用,换元法以及二次函数的性质的应用,是根本知识的考察．满足.〔1〕求的通项公式；〔2〕求数列(shùliè)的前项和．【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】〔1〕利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.〔2〕将的通项公式代入,可得数列项和.【详解】〔1〕数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴〔2〕∴数列的前n项和【点睛】此题考察了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于根底题.，〔1〕解关于的不等式；〔2〕假设对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题(shìtí)分析：〔1〕利用分类讨论思想分和三种情况，并结合二次函数的图像进展求解，即可求得时，解集为或者，时，解集为时，解集为或者；〔2〕由题意得：恒成立恒成立试题解析：〔1〕时，不等式的解集为或者时，不等式的解集为时，不等式的解集为或者〔2〕由题意得：恒成立，恒成立.易知，的取值范围为：20.的内角的对边分别为，．〔1〕求；〔2〕假设为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1) ;(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解(xiánɡ jiě)】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，因为故或者者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由〔1〕知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考察了三角函数的根底知识，和正弦定理或者者余弦定理的使用〔此题也可以用余弦定理求解〕，最后考察是锐角三角形这个条件的利用．考察的很全面，是一道很好的考题.21.如图，在长方体中，，，点在棱上挪动.〔1〕证明(zhèngmíng)：；〔2〕当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；〔3〕等于何值时，二面角为.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕；〔3〕.【解析】【分析】〔1〕以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，求出各点的坐标后，利用即可得证；〔2〕由为的中点可得，表示出两直线的方向向量后利用即可得解；〔3〕表示出平面和平面的法向量后，利用解方程即可得解. 【详解】是长方体，以点D为原点，如图建立空间直角坐标系，设，那么，，，，，，〔1〕，,，.〔2〕当为的中点时，，，，，设直线与所成角为，那么(nà me).〔3〕平面为平面，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，那么令得.由题意，解得或者〔舍去〕.当时，二面角为.【点睛】此题考察了空间向量的应用，考察了运算才能，属于中档题.的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.〔Ⅰ〕求椭圆的HY方程；〔Ⅱ〕证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得．设x 轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标．试题(shìtí)解析：〔Ⅰ〕依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，令，解得，故，又，∴，∴，解得．∴椭圆的HY方程为.〔Ⅱ〕证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，那么，，假设x轴上的定点为，那么.要使其为定值，需满足(mǎnzú)，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或者曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．内容总结（1）2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号、考场号和座位号填写上在答题卡上.2.答题选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑（2）命题q：不等式3x-9x＜a对任意x∈R恒成立．〔1〕假如p是真命题,务实数a的取值范围。

高二数学上学期期末考试试题理普通班,含解析试题(共15页)

【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：〔1〕由两条直线平行可得，由点在曲线上可得其纵坐标为，由两者相等可得，结合，解出方程组即可；〔2〕设直线的方程为：，，，与椭圆方程联立利用根与系数的关系得到和，线段的垂直平分线方程为，求出与轴的交，由交点横坐标列出不等式，解出即可得出结果.
9. ，，，那么的最小值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,选B
10. 过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，那么此双曲线的离心率为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析(jiě xī)】由题意，∵过双曲线右焦点的直线，∴ ，代入双曲线，可得，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，应选C.
设平面(píngmiàn) 一个法向量为，那么由
因为，所以与平面所成的角的正弦值为，选A
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破〞：第一，破“建系关〞，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关〞，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关〞，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关〞.
22. 函数 .
〔1〕当时，求函数在区间上的值域.
〔2〕对于任意，都有，务实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：〔1〕先求导数，再求导数，得从而确定，再根据单调性得值域〔2〕先整理不等式得，转化为函数在区间为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，别离变量得最小值，最后利用导数求函数单调性，得最值，即得实数的取值范围.
第二卷〔一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕

高二数学第一学期期末试卷(有答案)

高二数学第一学期期末试卷（理科）一、选择题、本大题共12小题，每小题4分共48分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将你认为的正确选项填在后面答题纸上的答题栏中。

1、条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件2、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（）A 2B 3C 4D 53、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4- D. 44、以椭圆252x +92y =1的焦点为焦点，离心率e =2的双曲线方程是（）A.62x －122y =1B.62x －142y =1C.42x －142y =1D.42x －122y =1 5、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段6、若”133“”3“,22表示双曲线方程是则=+-->∈k y k x k R k 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、下列命题中，是正确的全称命题的是（）A. 对任意的,a b R ∈，都有222220a b a b +--+<；B. 菱形的两条对角线相等；C. x x ∃=；D. 对数函数在定义域上是单调函数。

8、若双曲线22a x －22by =1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心高一班姓名：学号：率是（）A.2B.3C.34D.359、一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2－6x +8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆10、已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到x 轴的距离为 ( )A.43 B. 53 C. 11、已知F 1、F 2为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2=60°,则椭圆的离心率为（）A.21B. 22C. 33D. 2312、已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题、本大题共4小题，每小题4分共16分。

高二数学上学期期末考试试卷理含解析试题(共21页)

2021-2021学年(xuénián)高二〔上〕期末试卷数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，有且只有一项符合题目要求。

1.抛物线x2＝4y的焦点坐标是〔〕A. 〔0，2〕B. 〔2，0〕C. 〔0，1〕D. 〔l，0〕【答案】C【解析】【分析】先根据HY方程求出p值，判断抛物线x2＝4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【详解】∵抛物线x2＝4y中，p＝2，1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为〔0，1 〕，应选：C．【点睛】此题考察抛物线的HY方程和简单性质的应用，抛物线x2＝2py的焦点坐标为〔0，〕，属根底题．2.命题“∃x0＞1，使得x0－1≥0”的否认为〔〕A. ∃x0＞1，使得x0－1＜0B. ∀x≤1，x－1＜0C. ∃x0≤1，使得x0－1＜0D. ∀x＞1，x－1＜0【答案】D【解析】【分析(fēnxī)】直接利用特称命题的否认是全称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否认是全称命题，所以命题p“∃x0＞1，使得x0﹣1≥0“，那么￢p为∀x＞1，x﹣1＜0．应选：D．【点睛】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，属于对根本知识的考察．3.椭圆E：的焦点为F1，F2，点P在E上，|PF1|＝2|PF2|，那么△PF1F2的面积为〔〕A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由得|PF2|＝2，判断三角形的形状，由此能求出△PF1F2的面积．【详解】∵椭圆E：1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|+|PF2|＝6，|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴F1〔，0〕，F2〔，0〕，|F1F2|＝2，三角形△PF1F2是直角三角形．∴△PF1F2的面积为S4．应选：B．【点睛】此题考察三角形的面积的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．4.圆锥(yuánzhuī)的底面半径为1，高为，那么圆锥的外表积为〔〕A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】C【解析】【分析】先得出母线的长，再根据圆锥外表积公式计算．【详解】圆锥的底面半径为1，高为，那么母线长l2圆锥的外表积S＝S底面+S侧面＝πr2+πrl＝π+2π＝3π应选：C．【点睛】此题考察了圆锥外表积的计算．属于根底题．5.双曲线Γ：的实轴长为6，那么Γ的渐近线方程为〔〕A. y＝B. y＝±3xC. y＝D. y＝【答案】C【解析】【分析】通过双曲线的实轴长求出a，利用双曲线的HY方程，求解渐近线方程即可．【详解】双曲线Γ：1的实轴长为6，可得a＝3，所以Γ的渐近线方程为：y．应选：C．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，是根本知识的考察．6.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，那么以下命题中正确的为〔〕A. 假设(jiǎshè)m∥n，n⊂α，那么m∥αB. 假设m∥α，n⊂α，那么m∥nC. 假设α⊥β，m⊂α，那么m⊥βD. 假设m⊥β，m⊂α，那么α⊥β【答案】D【解析】【分析】在A中，m与α相交、平行或者m⊂α；在B中，m与n平行或者异面；在C中，m与β相交、平行或者m⊂β；在D中，由面面垂直的断定定理得α⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：在A中，假设m∥n，n⊂α，那么m与α相交、平行或者m⊂α，故A错误；在B中，假设m∥α，n⊂α，那么m与n平行或者异面，故B错误；在C中，假设α⊥β，m⊂α，那么m与β相交、平行或者m⊂β，故C错误；在D中，假设m⊥β，m⊂α，那么由面面垂直的断定定理得α⊥β，故D正确．应选：D．【点睛】此题考察命题真假的判断，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．7.“m＝﹣2”是“直线2x+〔m﹣2〕y+3＝0与直线〔6﹣m〕x+〔2﹣m〕y﹣5＝0垂直〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出直线垂直的等价条件，结合充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)和必要条件的定义进展判断即可．【详解】假设直线2x+〔m﹣2〕y+3＝0与直线〔6﹣m〕x+〔2﹣m〕y﹣5＝0垂直，那么2〔6﹣m〕+〔m﹣2〕〔2﹣m〕＝0，得12﹣2m﹣m2+4m﹣4＝0，即m2﹣2m﹣8＝0，得〔m+2〕〔m﹣4〕＝0，得m＝4或者m＝﹣2，那么m＝﹣2是“直线2x+〔m﹣2〕y+3＝0与直线〔6﹣m〕x+〔2﹣m〕y﹣5＝0垂直〞的充分不必要条件，应选：A．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合直线垂线的等价条件求出m的范围是解决此题的关键．8.三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，点M在棱AA1上，那么四棱锥M﹣BCC1B1的体积为〔〕A. B. 1 C. 2 D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】利用，即可得出结论.【详解】由题意，V M﹣BCC1B12应选：C．【点睛(diǎn jīnɡ)】此题考察棱柱、棱锥的体积，考察学生的计算才能，比拟根底.9.点P的坐标〔x，y〕满足方程，点B〔0，1〕，那么|PB|的最大值为〔〕A. 1B. 3C.D. 2【答案】C【解析】【分析】利用两点间间隔公式，结合椭圆方程，转化求解即可．【详解】点P的坐标〔x，y〕满足方程1，点B〔0，1〕，那么|PB|，当且仅当y＝﹣1时，表达式获得最大值．应选：C．【点睛】此题考察直线与椭圆的位置关系的应用，二次函数的最值的求法，考察计算才能．10.某空间几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积为〔〕A. π+2B. 2π+2C. π+4D. 2π+4【答案(dá àn)】A【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体是一个半圆柱与一个三棱柱最长的几何体，如图：几何体的体积为：2+π．应选：A．【点睛】此题考察三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．11.双曲线C：的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．假设，那么C的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】设出双曲线的顶点A，B的坐标，P〔m，n〕，代入双曲线方程，运用直线的斜率公式和两角和差的余弦公式，以及弦化切的方法，求得PA，PB的斜率之积，再由离心率公式计算可得所求值．【详解】双曲线C：1〔a＞0，b＞0〕的两个顶点分别为A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，点P〔m，n〕是C上异于A，B的一点，可得1，即有，设k1＝tanα，k2＝tanβ，k1k2＝tanαtanβ，假设，那么，解得tanαtanβ＝5，即b2＝5a2，可得双曲线的离心率为e．应选：D．【点睛】此题考察双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考察直线的斜率公式的应用和两角的和差的余弦公式的运用，考察化简整理的运算才能，属于中档题．12.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，AB1⊥平面C1DE，且B1，C1，D，E四点在同一球面上，那么该球的外表积为〔〕A. 9πB. 11πC. 12πD. 14π【答案(dá àn)】A【解析】【分析】由题意，AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，AB＝BC＝CA＝2，底面是正的三角形．D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，AB1⊥平面C1DE，求E为棱BB1上的位置，在求解B1﹣C1DE三棱锥的外接球即可得球的外表积．【详解】由题意，AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，AB＝BC＝CA＝2，底面是正三角形．AB1，∴sin∠AB1B．那么DB1，AB1⊥平面C1DE，AB1⊥DE，D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，DE∩AB1＝M，∵△ABB1∽△EB1M∴那么：EB1＝1那么在D﹣B1C1E三棱锥中：B1C1＝2，C1D，EC1＝3，DE，B1D∵EB1⊥平面DB1C1，底面DB1C1是直角三角形，∴球心在EC1在的中点上，∴R球的外表积S＝4πR2＝9π．应选：A．【点睛(diǎn jīnɡ)】此题考察球的外表积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填写上在题中横线上。

河南省兰考县第三高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

高二数学（理科）期末考试卷考试范围：必修5，选修2-1，选修2-2第一章；考试时间：120分钟；命题人：程慧慧注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1cos 3A =，3b =，2c =，则ABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．D 2．已知命题2000:,10p x x x ∃∈-+<R ，那么命题p 的否定是（） A ．2000,10x x x ∃∈-+<R B ．2000,10x x x ∃∈-+≥R C ．2,10x x x ∀∈-+≥R D ．2,10x x x ∀∈-+<R3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=（）A ．1B ．9-C ．6-D ．44．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（）A ．16B ．8+C ．12D ．6+5．“1a =-”是“直线()()1:2110l a x a y -+++=与()()2:12320l a x a y ++--=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（） A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-17．若一元二次不等式23520x x m -++<的解集为｛13x x <-∣或2x >｝，则实数m 的值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为（） ABC ．2D9．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=，则3a =（） A ．3B ．3-C ．1D ．1-10．“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的充要条件是（） A ．0m n >>B ．0n m >>C ．0mn >D ．0mn <11．长方体1111ABCD A B C D -中，3AB BC ==，14AA =，则异面直线1AB 与1DA 所成角的余弦值为（） A ．1625B ．45C ．925D ．3512．已知函数()2ln f x x x ax =-，若存在20e e x ⎡⎤∈⎣⎦，，使得()00f x <成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．22e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．221e e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．22e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，且5a b +=，则c =________．14．若变量,x y 满足约束条件：3040,10x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则42z x y =+的最小值为___________.15．已知过抛物线2:4C y x =的焦点F 且斜率为1-的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，则||AB =___________.16．曲线2y x =-与直线2y x =-围成的图形的面积为___________.三、解答题17．已知()():120p x x +-≤，:2q x a -<.（1）若2a =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC的面积为c .19．已知数列{}n a 满足：120n n a a +-=，38a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为4的正三角形，ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为AC 、BP 中点.（1）证明：//EF 平面PCD ；（2）求直线EP 与平面AEF 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，右顶点D 3（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，且0,OA OB O ⋅=为坐标原点，点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.22．已知函数()2e e 2x xf x ax -=+--.（1）当1a =时，证明：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；（2）若()()e xg x f x -=-，讨论函数()g x 的极值点的个数.参考答案1．C 【详解】解：因为1cos 3A =，所以sin A =，所以1sin 2ABC S bc A ==△故选：C. 2．C 【详解】“0x R ∃∈，2010x x -+<”的否定是“x R ∀∈，210x x -+≥”. 故选：C 3．C 【详解】解：因为()()32121f x x x f x '=++-，所以()()23212f x x xf ''=++，把1x =代入()'f x ，得()()2213121f f ''=⨯++，解得：()15f '=-，所以()23102f x x x '=-+，所以()26f '=-.故选：C. 4．A 【详解】由题可知241x y +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x y y x=时，取等号，则2x y +的最小值为16. 故选：A 5．A【详解】由题意得：12l l ⊥的充要条件是(2)(1)(1)(23)0a a a a -+++-=，即(1)(35)0a a +-=，故解得1a =-或53a =，于是“1a =-”是“直线()()1:2110l a x a y -+++=与()()2:12320l a x a y ++--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 6．B 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，5a =232或，故选B. 7．A 【详解】依题意由23520x x m ---<，知不等式23520x x m -->的解集为{13x x <-或}2x >，由此得方程23520x x m --=的两个根分别为13-和2，由韦达定理得122=33m-⨯-，解得1m = 故选:A . 8．D 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，则2b a =，所以22225c a b a =+=，即5c a =，所以该双曲线的离心率为5ce a==.故选：D. 9．C 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此2311a a q ==.故选：C. 10．B 【详解】方程221mx ny +=，即22111x y m n +=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则110m n>>，即0n m >>. 故选：B. 11．A 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,4A 、()0,0,0A 、()13,0,4B 、()0,3,0D ，()13,0,4AB =，()10,3,4DA =-，所以，11111116cos ,25AB DA AB DA AB DA ⋅<>==⋅. 因此，异面直线1AB 与1DA 所成角的余弦值为1625. 故选：A. 12．D 【详解】解：由题意可得2ln ax x x >在2e e ⎡⎤⎣⎦，上有解，即ln x a x >，令()ln x t x x =，2x e e ⎡⎤∈⎣⎦，，则只需()min [].a t x >易得()21ln x t x x -'=，令()0t x '>，解得0e x <<，令()0t x '<，解得e x >，()ln x t x x∴=在区间2e e ⎡⎤⎣⎦，单调递减， ∴当2e x =时，()()22min2e =e t x t =，22e a ∴>，即a 的取值范围是22e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，故选D ． 13【详解】由1sin1202ABCSab =︒=6ab =，所以22222cos120()c a b ab a b=+-︒=+225619abab -+=-=．从而c = 14．5 【详解】如图，阴影部分面积为对应可行域，由42z x y =+得22z y x =-+，要使z 最小，即22zy x =-+对应截距最小，此时22zy x =-+与可行域交于点A 13,22⎛⎫⎪⎝⎭，求得42235z x y =+=+=，故42z x y =+的最小值为5.故答案为：5 15．8 【详解】直线l 的方程为1y x =-，代入24y x =得：2610x x -+=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=， ∴1212||1128AB x x x x =+++=++=. 故答案为：8.16．92【详解】解；根据题意，22y x y x ⎧=-⎨=-⎩，则有22x x -=-，解得1x =或2-，则曲线2y x =-与直线2y x =-围成的图形的面积312212219(2)(2)|322x S x x dx x x --=--+=--+=⎰. 故答案为：9217．（1）[]()1,02,4-（2）()0,1 （1）解：由()()120x x +-≤，解得12x -≤≤，即:12p x -≤≤，由2x a -<，可得22x a -<-<，所以22a x a -+<<+，当2a =时22x -<，解得04x <<，即:04q x <<，因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 一真一假，所以当p 真q 假时，120x x -≤≤⎧⎨≤⎩或124x x -≤≤⎧⎨≥⎩得10x -≤≤，当p 假q 真时，104x x <-⎧⎨<<⎩或204x x >⎧⎨<<⎩得24x <<，综上可得[]()1,02,4x ∈-；（2）解：因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，由（1）可知:p 12x -≤≤，:q 22a x a -+<<+，所以[]1,2-真包含于()2,2a a -++，所以2212a a +>⎧⎨->-+⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈ 18．（1）3C π=（2）c =（1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =，因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC 的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =，因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =.所以c =19．（1）2n n a =（2）222n nn T +=-（1）解：由120n n a a +-=，得12n n a a +=， {}n a ∴是以2为公比的等比数列，记公比为q ，又38a =，3122a a q ∴==， 112n n n a a q -∴==；（2）解：2n n n n n b a ==， 231232222n n n T ∴=++++， 2341112322222n n n T +∴=++++，两式相减，得23111111221111111122222222212n n n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-=---，. 即222n nn T +=-， 20．（1）见解析（2 （1）证明：连接BD ，ABCD 是正方形，E 是AC 的中点，E ∴是BD 的中点， F 是BP 的中点，//EF PD ∴，EF ⊂/平面PCD ，PD ⊂平面PBD ，//EF ∴平面PCD ；（2）取AB 的中点O ，连接,OE OP ，则OE AB ⊥，因为PAB △是边长为4的正三角形，所以OP AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以OP ⊥平面ABCD ，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()()()()23,0,0,0,0,2,0,2,0,3,1,0P E A F -，则()()()23,0,2,0,2,2,3,3,0EP AE AF =-==，设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，则有220330n AE y z n AF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()3,1,1n =-，则6025cos ,554n EPn EP n EP ⋅+-===⨯，所以直线EP 与平面AEF 所成角的正弦值为55.21．（1）2213y x -= （26（1）由题意，得双曲线C 的渐近线方程为b y x a=±，右顶点为(),0D a .又222+=a b c ，,2ab c e c a=====，所以12a c =，故b =又2234a a +=，解得21a =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()()1122,,,A x y B x y .当直线l 和轴线平行时，1122,x y x y ==，解得1122x y x y ====，所以点O 到直线l当直线l 和轴线不平行时，设直线l 的方程为x my t =+，由221,3y x x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330m y mty t -++-=， ()()()22222Δ(6)4313312310mt m t m t =---=+->，所以2121222633,3131mt t y y y y m m --+==--. 又1122,x my t x my t =+=+，所以()()()()2212121212121210OA OB x x y y my t my t y y m y y mt y y t ⋅=+=+++=++++=，得()()()2222222133631031m t m t t m m +--+-=-，解得22233t m =+.又点O 到直线l的距离为d ，则222312t d m ==+，故d = 所以点O 到直线l22．（1）证明：当1a =时，()()2e e 2,e e 2x x x x f x x f x x --=+----'=.当0x >时，()e e 20x x f x -=+-'>'，.所以函数()f x '在区间()0,∞+上单调递增，故()()00f x f ''>=，故函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增.（2）解：当0a =时，()e 2x g x =-单调递增，无极值点，当0a ≠时，()e 2x g x ax ='-，令e e 202xxax a x-=⇒=，令()e xh x x =，则()()2e 1x x h x x -'=，当0x <时，()0h x <，且()0h x '<，当0a <时，方程e 2x a x=有唯一小于零的零点，故函数()g x 存在一个极值点；当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e h =为函数()h x 极小值，所以当0e 2a <<时，方程e 2xa x=无解，函数()g x 无极值点；当e 2a =时，方程e 2xa x=有一个解，但当01x <<时，()e 2,e 20x x a g x ax x ='>->，当1x >时，()e 2,e 20xx a g x ax x='>->，故函数()g x 无极值点. 当2e a >时，方程e 2xa x=有两解，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点. 综上，当0a <时，函数()g x 存在一个极值点，当e 02a时，函数()g x 无极值点，当2e a >时，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点.。

河南省普通高中高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2015-2016学年河南省普通高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2 C．2 D．43．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件4．与圆C1：x2+（y+1）2=1及圆C2：x2+（y﹣4）2=4都外切的动圆的圆心在（）A．一个圆上 B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上5．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．31 B．32 C．33 D．346．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C． D．7．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．168．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则|PF1|•|PF2|=（）A．b2B．2b2C．2b D．b二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．命题：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是．10．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是．11．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离为2km，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A、B两地的距离大约等于（提供数据：，结果保留两个有效数字）12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若= ．13．已知点P（0，1）及抛物线y=x2+2，Q是抛物线上的动点，则|PQ|的最小值为．14．关于双曲线﹣=﹣1，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是；③焦点坐标为（±5，0）；④渐近线方程是y=±x，⑤焦点到渐近线的距离等于3．正确的说法是．（把所有正确的说法序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答要写出证明过程或解题步骤）15．已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．17．广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电空调机彩电冰箱为单位）18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（ I）求二面角C﹣DE﹣C1的正切值；（ II）求直线EC1与FD1所成的余弦值．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）证明：．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为，且过点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△A BD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．2015-2016学年河南省普通高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题．【分析】把选项中的每个点的坐标分别代入3x+2y，看点的坐标是否满足不等式即可【解答】解：将点（0，0）点代入3x+2y＜6，得0＜6，显然成立，点（0，0）在不等式表示的区域内将点（1，1）代入3x+2y＜6，得5＜6，显然成立，点（1，1）在不等式表示的区域内将点（0，2）代入3x+2y＜6，得4＜6，显然成立，点（0，2）在不等式表示的区域内将点（2，0）代入3x+2y＜6，得6=6，点（2，0）不在不等式表示的区域内故选D【点评】本题考查点与不等式表示的区域的位置关系，把点的坐标代入不等式，验证点的坐标是否满足不等式即可，满足时，点在不等式表示的区域内，否则不在．属简单题2．已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2 C．2 D．4【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】由A，B，C成等差数列A+B+C=π可求B，利用三角形的面积公式S=bcsinA可求．【解答】解：∵△ABC三内角A，B，C成等差数列，∴B=60°又AB=1，BC=4，∴；故选A．【点评】本题主要考查了利用余弦定理及三角形的面积公式解三角形，解题的关键是灵活利用基本公式．3．设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法．【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R①a=0，则1＞0恒成立②a≠0，则，故0＜a＜1由①②得0≤a＜1．即命题甲⇔0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙⇒甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件．故选B．【点评】本题考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系．值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用．4．与圆C1：x2+（y+1）2=1及圆C2：x2+（y﹣4）2=4都外切的动圆的圆心在（）A．一个圆上 B．一个椭圆上C．双曲线的一支上D．一条抛物线上【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用已知圆的外切性质列出关系式，结合圆锥曲线的定义，求出圆心的轨迹，即可得出答案．【解答】解：由已知得C1的圆心坐标（0．﹣1），r1=1，C2的圆心坐标（0，4），r2=2，设动圆圆心M，半径r，则|MC1|=r+1，|MC2|=r+2，∴|MC2|﹣|MC1|=1，由双曲线的定义可得：动圆的圆心在双曲线的一支上．故选C．【点评】本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用，考查计算能力．5．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．31 B．32 C．33 D．34【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由已知可得q和a1的值，代入等比数列的求和公式可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则可得a1q•a1q2=2a1，即a4=a1q3=2，又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7=，即2+2×2q3=，解得q=，可得a1=16，故S5==31．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C． D．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，求出AE，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO，求出OC，然后求解A1O，即可求解A1C．【解答】解：由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°∴，连结OE，则O E⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO中，，在，∴，在故选A．【点评】本题考查几何法求解空间两点的距离，也可以利用空间向量的模求解距离，考查计算能力与逻辑推理能力．7．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．16【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B．【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则|PF1|•|PF2|=（）A．b2B．2b2C．2b D．b【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，PF 1⊥PF2，知=|PF1|•|PF2|=b2，由此能求出结果．【解答】解：∵F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，∴PF1⊥PF2，∴=|PF 1|•|PF2|=b2tan=b2，∴|PF1|•|PF2|=2b2．故选B．【点评】本题考查椭圆的性质的简单应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．命题：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0．【考点】四种命题．【专题】规律型．【分析】根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题．【解答】解：：“若a2+b2=0，（a，b∈R），则a=0且b=0”的逆否命题是若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0，故答案为若a≠0，或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0．【点评】本题考查四种命题的形式，利用它们的形式写出需要的命题，注意“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，属于基础题．10．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将方程化成椭圆的标准方程，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴将方程化为标准形式，得可得，解之得﹣2＜m＜﹣1且m∴．故答案为：【点评】本题给出含有字母参数m的方程，在方程表示椭圆的情况下求m的范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．11．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的A、B两地，他们测得C、D两地的直线距离为2km，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则A、B两地的距离大约等于1.4km （提供数据：，结果保留两个有效数字）【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】在△ADC中，可求得AC=2，在△BDC中，利用正弦定理可求得BC，最后在△ABC中，利用余弦定理可求得AB．【解答】解：依题意，△ADC为等边三角形，∴AC=2；在△BDC中，CD=2，由正弦定理得： ==2，∴BC=；在△ABC中，由余弦定理得AB2=BC2+AC2﹣2BC•ACcos45°=2+4﹣2××2×=2，∴AB=≈1.4km．故答案为：1.4km．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查解三角形，考查分析与运算能力，属于中档题．12．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若= 1 ．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质，把2a5=a1+a9和2a3=a1+a5代入即可求得答案．【解答】解： ===1故答案为1【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题中巧妙的利用了等差中项的性质，简便了解题的过程．13．已知点P（0，1）及抛物线y=x2+2，Q是抛物线上的动点，则|PQ|的最小值为 1 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点Q的坐标为（a，a2+2），则|PQ|2=a4+3a2+1，显然当a=0时，|PQ|的最小值为1．【解答】解：设点Q的坐标为（a，a2+2），则|PQ|2=a2+（a2+1）2=a4+3a2+1，故当a2=0，即a=0时，|PQ|2有最小值为1，故|PQ|的最小值为1，故答案为 1．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．14．关于双曲线﹣=﹣1，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是；③焦点坐标为（±5，0）；④渐近线方程是y=±x，⑤焦点到渐近线的距离等于3．正确的说法是②④⑤．（把所有正确的说法序号都填上）【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线﹣=﹣1，即=1，∴a=4，b=3，c==5，∴①实轴长为2a=8，故①错误；②双曲线的离心率是e==，故②正确；③焦点坐标为F（0，±5），故③错误；④渐近线方程是y=±x，故④正确；⑤焦点到渐近线的距离为d==3，故⑤正确．故答案为：②④⑤．【点评】本题考查双曲线的实轴长、离心率、焦点坐标、渐近线方程、焦点到渐近线距离的求法，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答要写出证明过程或解题步骤）15．已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】当P为真命题时，根据对数型函数单调性的规律得到0＜a＜1；根据一元二次方程根的判别式，得到当Q为真命题时，或．因为“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，说明命题P、Q中一个为真，另一个为假，最后据此进行分类讨论，可得a的取值范围．【解答】解：先看命题P∵函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内单调递减，a＞0，a≠1，∴命题P为真时⇔0＜a＜1…（2分）再看命题Q当命题Q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足△=（2a﹣3）2﹣4＞0⇒或…（4分）由“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，知P、Q有且只有一个正确．…（6分）（1）当P正确且Q不正确⇒…（9分）（2）当P不正确且Q正确，⇒…（12分）综上所述，a取值范围是…（14分）【点评】本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；综合法；解三角形．【分析】（1）先求出ac，求出sinB，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理计算即可．【解答】解：（1）∵=，∴ac=35…（2分）又∵，∴，…（4分）∴…（6分）（2）由（1）知∴ac=35，又a=7，∴c=5又余弦定理得，∴…（8分）由正弦定理得，∴…（10分）又∵a＞c，∴∴…（12分）【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，是一道基础题．17．广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电为单位）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，且总产值A=4x+3y+2z．建立三元一次方程组，由于每周冰箱至少生产20台即z≥20，结合生产空调器、彩电、冰箱共120台算出出10≤x≤40，利用一次函数的单调性即可求得产值A的最大值，进而可得相应的x、y、z的值．【解答】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，根据题意可得，总产值为A=4x+3y+2z．x、y、z满足（x、y、z∈N*）∵z=120﹣x﹣y=160﹣2x﹣y∴消去z，可得y=120﹣3x，进而得到z=2x因此，总产值为A=4x+3y+2z=4x+3（120﹣3x）+4x=360﹣x∵z=2x≥20，且y=120﹣3x≥0∴x的取值范围为x∈[10，40]根据一次函数的单调性，可得A=360﹣x∈[320，350]由此可得当x=10，y=90，z=20时，产值A达到最大值为350千元．答：生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元．【点评】本题给出实际应用问题，求工厂生产总值的最大化的问题，着重考查了三元一次方程组的处理、一次函数的单调性和简单线性规划的应用等知识点，属于中档题．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（ I）求二面角C﹣DE﹣C1的正切值；（ II）求直线EC1与FD1所成的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】计算题；综合题．【分析】（ I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A﹣xyz，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果．（ II）把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．【解答】解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）于是， =（﹣4，2，2）设向量与平面C1DE垂直，则有cosβ=z∴（﹣1，﹣1，2），其中z＞0取DE垂直的向量，∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，∴的平面角∵cosθ=∴tanθ=，∴二面角C﹣DE﹣C1的正切值为；（II）设EC1与FD1所成角为β，则cosβ=，∴直线EC1与FD1所成的余弦值为．【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这样降低了题目的难度．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）证明：．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明a n+1+1=2（a n+1），从而可求数列{a n}的通项公式；（II）根据数列的通项公式得，再对其进行适当的放缩即可．【解答】解：（I）∵a n+1=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），∴{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1=2n．即a n=2n﹣1（n∈N*）．（II）证明：∵，∴．∵，∴，∴．【点评】由数列的递推公式，通过构造新的等比数列求数列的通项公式，是常考知识点，特别注意新数列的首项，裂项求和是常考数列求和的方法，并通过放缩法证明不等式．此题非常好，很典型．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为，且过点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）法一：利用椭圆的定义和参数a，b，c的关系即可得出；法二：代入椭圆的标准方程，利用待定系数法即可得出；（2）法一：利用“点差法”，直线与椭圆相切得到△=0即可得出；法二：联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）法一：依题意，设椭圆方程为，则，，∵椭圆两个焦点为，∴2a=|MF1|+|MF2|==4，∴a=2．∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为．法二：依题意，设椭圆方程为，则，即，解之得，∴椭圆C的方程为．（2）法一：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，…①…②①﹣②，得，∴，设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为l'：2x+y+m=0，联立方程组，消去y整理得8x2+4mx+m2﹣4=0，由判别式△=16m2﹣32（m2﹣4）=0得，由图知，当时，l'与椭圆的切点为D，此时△ABD的面积最大，∵，∴x D==，．∴D点的坐标为．法二：设直线AB的方程为，联立方程组，消去y整理得，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，∴k=﹣2．∴直线AB的方程为，即2x+y﹣2=0．（以下同法一）．【点评】熟练掌握椭圆的定义、标准方程、参数a、b、c的关系、待定系数法、“点差法”、直线与椭圆相切得到△=0、直线与椭圆相交问题联立方程并利用根与系数的关系是解题的关键．。

高二数学上学期期末考试试题理含解析试题 8(共14页)

实验2021-2021学年上学期(xuéqī)期末考试试卷高二年级数学理科一、选择题〔每个小题5分，一共60分〕1.设集合，，那么( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：解出和M中的不等式，得到元素满足的条件，根据交集运算得到结果.详解：集合，，那么.故答案为：A.点睛：这个题目考察的是集合的交集运算，二次不等式的解法.2.“〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】可得当时，必有成立；当成立时，不一定有成立所以“〞是“〞的充分而不必要条件.应选A.3.从地区中小学生中抽取局部学生，进展肺活量调查．经理解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是〔〕A. 简单(jiǎndān)的随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】【分析】由于三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大，所以根据分层抽样的概念，即可选择按学段分层抽样，得到答案．【详解】由于该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大，所以最合理的抽样方法是按学段分层抽样，应选C．【点睛】此题主要考察了分层抽样的概念及应用，其中解答中熟记分层抽样的根本概念，合理进展断定是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．4.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自正方形内白色局部的概率是A. B.C. D.【答案】B【解析(jiě xī)】正方形的面积为，内切圆中黑色局部的面积为，所以正方形内白色局部的面积为，故所求的概率为.5.设实数满足约束条件，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】画出可行域如下列图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值为.6.命题“〞的否认为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】因为全称命题的否认(fǒurèn)是特称命题，所以命题“〞的否认为“〞，应选C.7.下列图是2021年某举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字.这些数据的中位数是，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是〔〕A. ，B. ；C. ；D. ；【答案】C【解析】试题分析：根据茎叶图中的数据，利用中位数和平均数的定义求出结果即可．解：由茎叶图知，这组数据一共有7个，按从小到大的顺序排在中间的是88，所以中位数是88；去掉一个最高分94和一个最低分79后，所剩数据为84，85，88，88，89，它们的平均数为〔84+85+88+89〕=86.8．应选：C．考点：频率分布直方图．8.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析(jiě xī)】【分析】由题意，一枚硬币连掷2次可能出现四种情况，又由只有一次出现正面的有两种，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，一枚硬币连掷2次可能出现正正，反反，正反，反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种，所以根据古典概型及其概率的计算公式可得概率为，应选D．【点睛】此题主要考察的是古典概型及其概率计算公式，属于根底题．解题时要准确理解题意，正确找出随机事件A包含的根本领件的个数和试验中根本领件的总数，再由古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．9.命题“且〞为真命题，那么下面是假命题的是( )A. B. C. 或者 D.【答案】D【解析】命题“且〞为真，那么真真，那么为假，应选D。

2020年河南省开封市兰考县第二高级中学高二数学理测试试卷含解析

2020年河南省开封市兰考县第二高级中学高二数学理测试试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等比数列{a n}的前项和S n=2n-1（n∈N*）,则a12+a22+…+a n2=（）A. （4n-1）B. 4n-1C. (2n-1)2D. (2n-1)2参考答案：A【点睛】由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式。

另外数列是等比数列，则均是等比数列。

2. 若不等式的解集为，则实数b的值为（）A．9 B.18C.36D.48参考答案：C3. 下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．参考答案：B由得，选B.4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A． B． C．D．3参考答案：C略5. 若动点M到定点、的距离之和为2，则点M的轨迹为A. 椭圆B. 直线C. 线段D. 直线的垂直平分线参考答案：C略6. 已知向量，若与垂直，则（）A． B． C．D．4参考答案：A略7. 总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A．08 B．07 C．02 D．01参考答案：D【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为01．故选：D．8. 设成等比数列，其公比为2，则的值为（）A． B． C．D．1参考答案：A略9. 为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．横坐标缩短到原来的倍B．横坐标伸长到原来的倍C．横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位参考答案：A10. 在等比数列中,若,则（）A． B ． C ． D ．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如＝8．则为．参考答案：59略12. 用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得的结果是▲参考答案：用数学归纳法证明“，()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.13. 圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为▲参考答案：14. 已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|= ．参考答案：【考点】空间向量的加减法．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】利用平面向量坐标运算公式求出﹣，由此能求出|2﹣|．【解答】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴﹣=（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），∴|2﹣|==．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量坐标运算法则的合理运用．15. 如图，椭圆(a＞b＞0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，转化为：B1B2=A2B1，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，可得B1B2=A2B1，即：2b=，可得：a2=3b2=3a2﹣3c2，即2a2=3c2，可得e=．故答案为：；【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．16. 已知命题 _________________.参考答案：；17. 一轮船行驶时，单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km 时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化，求轮船速度为多少时，轮船行每千米的费用最少(轮船最高速度为bkm/小时)？参考答案：解：设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是：u=kv3（k≠0），由已知，当v=10时，u=35，∴35=k×103?k＝,∴u＝v3．∴轮船行驶1千米的费用y=u?+560?=v2+,用导数可求得当b20时，当v=20时费用最低为42元，当b<20时,费用最低为元; 答：当b20时,当轮船速度为20km/h时，轮船行每千米的费用最少，最少费用为42元.当b<20时,费用最低为元略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河南省2022学年高二数学上学期期末考试试题理

高二数学上学期期末考试试题理本试题分第I 卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）。

满分为150分，考试时间为120分钟。

第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A={x|x 2-x-6＜0}，B={x|x 2+2x-8＞0}，求A ∩B=（）A.（2，3）B.（-2，3）C.（3，+∞）D.（-∞，3）2.下列命题为假命题的是（）A.能被6整除的整数一定能被3整除；B.若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；C.二次函数的图象是一条抛物线；D.两个内角等于45°的三角形是等腰直角三角形。

3.已知p ：|x-2|≤3，q ：-1≤x ≤5，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线与椭圆的（）A.离心率相等B.焦点相同C.长轴长相等D.短轴长相等5. 在ABC ∆中,如果有性质acosA=bcosB .试问这个三角形的形状（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 6. 由1=1a ，d 3=确定的等差数列{}a n ，当a 298n =时，则n 等于（）A. 99B. 101C. 96D. 100 7. 在等比数列{a n }中，a 5 =4，a 7=6，则a 9 =（）A.14B.8C.9D.128.设x,y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值为（）A.2B.3C.4D.69.222218120x y x y x +=+-+=与圆及都外切的圆的圆心在（）A.一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.一条抛物线上10. 已知()2222 1 0 0x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆为正三角形，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 23C. 33D. 2211.在如图所示的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A. 120B.－120C ．－1010 D ．101012.已知函数log 1(0,1)a y x a a =->≠且的图像横过定点A,若点A 在直线mx-ny-1=0上，其中m n>0,则12m n+的最小值是（） A. 32+ B. 322+ C. 322- D.32-第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应的位置上。

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河南省兰考县高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)