等差数列前n项和公开课优质课件

n a1
2
an

（公式一）
nn 1
Sn na1
2
d（公式二）
一、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公 式一中有an,公式二中有d 。 若a1，d, n, an中已
知三个量就可以求出Sn 。
二、 a1，d, n, an，Sn五个量可“知三求二”。
探索与发现3： 等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系呢？
21个22 2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)
探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？
S8=5+6+7+8+9+10+11+12 S8=12+11+10+9+8+7+6+5 总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？
倒序相加法
问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求？
看看高斯的
（1+100）+（2+99）+ …+（50+51） =101×50=5050
? ?
高斯的思路有什么特点？ 适合哪种类型？
特点：首尾配对（变不同数求和为相同 数求和，变加法为乘法） 类型：偶数个数相加
探索与发现1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？
高斯的办法行吗？如何改进？ S21=1 + 2 + 3 + … + 21 S21 =21 + 20 + 19 + … + 1
等差数列前n项和
数列的前n项和的定义
你世知界道七这大个奇雄迹伟之壮一观—的—建印筑度是泰哪姬儿陵吗？
问题1： 传说泰姬陵 陵寝中有一个三角形图案，以相同大
小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见示意图），奢
靡之程度可见一斑。你知道这个图案一共花了多少 颗圆宝石吗？
即: 1+2+3+······+100=？
据测算,2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计 划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那 么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通” 工程中的总投入是多少?
解答过程
解:设从2001年起第n年投入的资金 为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差
数列,其中 a1=500, d=50
二、课后思考： 等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法 还有没有其它方法呢?
解：1 Sn
n(a1 an ) 2
10 (5 95) 2
500
解：2 Sn

na1

n(n 1) 2
d
50100 50 (50 1) -2 2550
2
例题讲解
例1.2000年11月14日教育部下发了<<关 于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001年起用10年时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网.
上式相加得： 由等差数列性质可知：
2Sn a1 an (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
Sn

n a1
2
an

又 an a1 n 1 d
n个
nn 1
Sn na1 2 d
等差数列前n项和公式
Sn

公式一:如何类比梯形面积公式来记忆？
Sn

n a1
2
an

a1
Байду номын сангаас
n
an
公式二:如何类比梯形面积公式来记忆？
nn 1
Sn na1 2 d
a1
n
a1 (n 1)d
分割成一个平行四 边形和一个三角形
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的 等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=－2，n=50
n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？
利用倒序相加法
sn=1 + 2 + … + n-1 + n
sn=n + n-1 + … + 2 + 1
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) n个
问题3: 对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导 它的前n项和公式Sn呢？
归纳总结 收获分享
1.倒序相加法求和的思想及应用
2.等差数列前n项和公式的推导过程
3.公式
Sn

n a1 an
2
nn 1
Sn na1 2 d
4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想
5 . .…………………………
课后作业
一、书面作业： 1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1 及sn。 2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成 等差数列,求这10个数的和。
答: 从2001年起的未来10年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是7250万元。
例题讲解
例2、已知一个等差数列{an} 的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件可以 确定这个等差数列的前n项和 的公式吗？
例题讲解
用公式一做做
方法2
用公式二做做
反馈达标
练习1. 在等差数列{an}中, a1=20, an=54, sn =999,求n。