正弦定理
正玄定理余弦定理及应用
正玄定理余弦定理及应用正玄定理和余弦定理是三角学中的重要定理，它们可以通过使用三角函数关系来描述和求解三角形中的各边和角度。
下面将详细介绍正玄定理和余弦定理的定义、推导过程以及应用。
一、正玄定理：正玄定理也称为正弦定理，它描述了三角形中边和其对应角的关系。
设一个三角形的三个边长分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：sin A / a = sin B / b = sin C / c正弦定理的推导如下：对于任意一个三角形ABC，假设BC边上的高为h，且h与AB的延长线交于点D，如下图所示：A/ \b/ \c/ \/______\B a Cd在ABC中，根据三角形面积公式，有：S = 1/2 * AB * h = 1/2 * AC * d其中S为ABC的面积。
进一步化简可得：AB * h = AC * d由图可知，sin A = h / b，sin C = d / a将上面的等式代入，可以得到：a * sin A =b * sin C即正弦定理的表达式。
正弦定理的应用：正弦定理可以应用于解决以下问题：1. 已知三角形的一个角和与之对应的两边，求解其它两个角和未知的边；2. 已知三角形的一个角和与之对应的一边，以及三角形的另一个角，求解其它两边和未知的角；3. 已知三角形的三个边，求解三个内角的大小；4. 已知三角形的三个内角，求解三个边的大小。
二、余弦定理：余弦定理描述了三角形中边和夹角的关系。
设一个三角形的三个边长分别为a、b、c，夹角为C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos C余弦定理的推导如下：设ABC的三个边长为a、b、c，角A对应的高为h，如下图所示：A/ \c/ \b/ \/______\B a Ch在ABC中，根据三角形的余弦关系，有：cos A = h / ch = c * cos A同时，由ABC的直角边关系可知，h = b * sin C将上面两个等式联立，可以得到：b * sin C =c * cos Asin C / a = cos A / b由三角形的正弦定理可知：sin C / a = sin A / c通过比较可以得到：sin A / c = cos A / b化简可得：b * sin A =c * cos A对等式两边平方，可以得到：b^2 * sin^2 A = c^2 * cos^2 A由于sin^2 A = 1 - cos^2 A，将其代入，可以得到：b^2 - b^2 * cos^2 A = c^2 * cos^2 A化简可得：b^2 = c^2 * cos^2 A + c^2 * sin^2 A即余弦定理的表达式。
正弦定理的四种证明方法
正弦定理的四种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得sin sin abAB =，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sin cC =.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得=∠sin sin abAABC ，同理可得=∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin abAB=sin cC =.1’用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即：在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则cos AD c A =sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A CDC C C C C ===sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c Bb AC AD DCc A C C C+==+=+==ab DABCAB CDba推论：sin sin b cB C= 同理可证：sin sin sin a b cA B C==2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为 D.则Rt △ADB中,ABAD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=.∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即CcB b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)( 由分配律可得AB j CB j AC •=•+.B∴|j |ACCo s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j∴asinC=csinA.∴CcA a sin sin =. A另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得Bb Cc sin sin =.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j 与AB 的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==.DC BA C(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j与AB 的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .由AB CB AC=+,得j ·AC+j ·CB =j ·AB , j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得CcB b sin sin =.∴CcB b simA a sin sin == 4.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R c B C 2sin sin ='=.∴R Cc2sin =.同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===.这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 CcB b A a sin sin sin ==.ACBA。
正弦定理推导过程
基本三角形与边长比例关系
基本三角形的选取
边长比例关系的建立
• 选择一个任意的三角形，将其边长和角度作为推导的基
• 根据三角形的性质，建立边长比例关系，如a/b =
础
sin(C)/sin(A)
利用三角函数性质推导正弦定理
三角函数性质的应用
正弦定理的得出
• 利用正弦函数和余弦函数的性质，如和差化积、积化和
CREATE TOGETHER
DOCS SMART CREATE
正弦定理推导过程详解
DOCS
01
正弦定理的基本概念与应用场景
正弦定理的定义与形式
正弦定理的定义
• 描述三角形边角关系的定理
• 涉及到三角形的三个内角和三条边长
正弦定理的形式
• a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
概率论与数理统计
物理学
• 正弦定理在概率论和数理统计中有一定的应用，如计算
• 正弦定理在物理学中有一定的应用，如计算物体的运动
概率分布、统计量等
轨迹、力的作用等
06
总结与展望
正弦定理推导过程回顾
推导概述
• 回顾正弦定理的推导过程，包括基本三角形的选择、三角函数性质的应用、几何
解释与证明等
重要性
• 强调正弦定理在解决实际问题中的重要性，如简化计算过程、提高计算精度、适应
的大小
个内角的大小
正弦定理在实际问题中的应用实例
建筑中的应用
• 计算建筑物的高度、长度等尺寸，以满足设计要求
工程中的应用
• 计算工程结构中的应力、变形等参数，以保证结构安全
地理中的应用
• 计算地球表面的距离、角度等参数，以满足地理测绘的需要
计算正弦定理
计算正弦定理正弦定理（又称为正弦规则）是三角形中一个重要的几何定理，用于计算三角形的边长和角度。
在计算正弦定理时，我们需要了解三角形的边长和角度的关系，以便求解未知的边长或角度。
设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
根据正弦定理，我们可以得到如下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度，sin(A)、sin(B)、sin(C)为三角函数的正弦值。
通过正弦定理，我们可以根据已知条件计算出未知的边长或角度。
下面，我们将讨论一些常见的应用场景。
1. 已知两边和夹角，求解第三边若已知三角形两边a和b，以及它们之间的夹角C，我们可以使用正弦定理来计算第三边c。
我们可以将正弦定理稍作变形：sin(C) = c/sin(A)c = sin(C) * a / sin(A)同理，我们也可以通过已知的边和角来计算其他未知边的长度。
2. 已知三边，求解角度若已知三角形的三条边a、b、c，我们可以使用正弦定理来计算角度。
我们可以将正弦定理稍作变形：sin(A) = a/sin(C)A = arcsin(a * sin(C) / c)同理，我们也可以通过已知的边长来计算其他未知角度的大小。
3. 应用实例假设有一个三角形，其中两边分别为5cm和8cm，夹角为60度。
我们可以使用正弦定理来计算第三边的长度。
根据正弦定理的公式：c = sin(C) * a / sin(A)c = sin(60°) * 5cm / sin(A)我们可以通过正弦函数的计算得到sin(60°) ≈ 0.866。
将已知的数据带入公式，我们可以得到：c = 0.866 * 5cm / sin(A)通过进一步计算，我们可以得到第三边的长度。
类似地，我们也可以通过正弦定理计算其他未知边长或角度的数值。
总结：正弦定理是计算三角形边长和角度的重要工具。
正弦定理的概念与余弦定理的概念
正弦定理的概念与余弦定理的概念正弦定理和余弦定理是在三角形中用于计算边长和角度的重要定理。
1. 正弦定理（Sine Rule）：正弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。
对于一个三角形ABC，正弦定理可以表述为：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应边的角度。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：余弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。
对于一个三角形ABC，余弦定理可以表述为：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应边的角度。
正弦定理和余弦定理都可以在解决三角形问题时使用，它们提供了计算边长和角度的方法，可以帮助我们求解各种三角形相关的问题。
正弦定理
发展简史
历史上，正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征，主要可以分为两种。
第一种方法可以称为 “同径法 ”，最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷 格蒙塔努斯所采用。“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线（16世纪以前，三角 函数被视为线段而非比值），利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。纳绥尔丁同时延长两个内角 的对边，构造半径同时大于两边的圆。雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造 半径等于较长边的圆。17~18世纪，中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径 法”。
正弦定理
三角学中的基本定理
01 发展简史
03 验证推导 05 定理推广
目录
02 定理定义 04 定理意义
正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它 所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为 直径）。
在解三角形中，有以下的应用领域：
物理学中，有的物理量可以构成矢量三角形。因此,在求解矢量三角形边角关系的物理问题时,应用正弦定理， 常可使一些本来复杂的运算，获得简捷的解答。
定理推广
推论 △ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，直径为D，正弦定理进行变形有 1. 2.,, 3. 4. （等比，不变） 5. （三角形面积公式） 三面角正弦定理 若三面角的三个面角分别为α、β、γ，它们所对的二面角分别为A、B、C,则 多边形的正弦关系
18世纪初，“同径法”又演化为“直角三角形法”，这种方法不需要选择并作出圆的半径，只需要作出三角 形的高线，利用直角三角形的边角关系，即可得出正弦定理。19世纪，英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1，相 当于用比值来表示三角函数，得到今天普遍采用的 “作高法”。
正弦定理内容及证明
正弦定理内容及证明正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，三个边的长度a、b、c与对应的角A、B、C之间存在以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)证明正弦定理一般有两种方法：几何证明和代数证明。
几何证明：1. 过点B作AC的垂线BD，使得BD与AC交于点D。
则三角形ABD与BCD为直角三角形。
2. 由于三角形ABD、BCD为直角三角形，可得：sin(A) = BD / AB，sin(C) = BD / CD。
3. 对于三角形ABD和BCD，因为角B为共对角，所以可得：BD / AB = CD / BC。
4. 根据上面三个等式可以得到：sin(A) = BD / AB = CD / BC = sin(C)。
5. 再利用BD / AB = CD / BC，可以得到BD / CD = AB / BC = sin(B)。
6. 整理可得出正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)。
代数证明：1. 通过三角形ABC的两边b和c之间的夹角A，可构造一个高为h的直角三角形ADE（D在BC上）。
2. 根据正弦的定义可得：sin(A) = h / c，sin(90°-A) = h / b。
3. 注意到sin(90°-A) = sin(B)（余角公式），那么可以得到：sin(A) = h / c = sin(B) * b。
4. 类似地，可以通过三角形ABC的两边a和c之间的夹角B，构造一个高为h的直角三角形BEF（E在AC上）。
5. 根据正弦的定义可得：sin(B) = h / a，sin(90°-B) = h / c。
6. 注意到sin(90°-B) = sin(A)（余角公式），那么可以得到：sin(B) = h / a = sin(A) * c。
7. 把第3步的公式和第6步的公式相比较，可以得到：h / a =h / c，即a = c * sin(A)。
正弦定理和余弦定理
返回
[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
返回
[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
返回
2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
三角函数的正弦定理
三角函数的正弦定理正文：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边或角的重要工具之一。
它是基于三角形中的正弦关系而推导得出的定理。
在本文中，我们将介绍三角函数的正弦定理的原理、公式及其应用。
1. 定理原理正弦定理的原理基于三角形中的正弦关系。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。
根据正弦关系，我们可以得到以下公式：sinA/a = sinB/b = sinC/c2. 定理公式根据正弦定理的原理，我们可以推导出三角形的任意一边与其对应角的关系。
具体地，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC或者写成等价的形式：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，a、b、c分别代表三角形ABC的边长，A、B、C分别代表对应的内角。
3. 定理应用正弦定理在解决三角形中未知边或角的问题上起到了重要的作用。
通过运用正弦定理，我们可以根据已知条件求解未知量。
以下是几个应用正弦定理的例子：例一：已知三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60度，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin60 = 8/sin(180-60-60)解方程得到x ≈ 6.93cm，因此第三边长度约为6.93cm。
例二：已知三角形的两边长度分别为9cm和12cm，夹角为45度，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin45 = 12/sin(180-45-90)解方程得到x ≈ 9.9cm，因此第三边长度约为9.9cm。
通过以上例子，我们可以看到正弦定理在求解未知边长时的应用。
对于更复杂的问题，我们可以通过将已知条件代入公式进行计算。
总结：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边长或角度的重要工具。
通过使用该定理，我们可以通过已知条件求解未知量。
在实际应用中，我们可以运用正弦定理解决各种三角形相关的问题。
因此，熟练掌握正弦定理对于解题非常重要。
正弦定理定理公式
正弦定理定理公式正弦定理（Sine Law）是三角形中常用的一个定理，它揭示了三角形的边与角之间的关系。
正弦定理可以用来求解未知边长或角度的问题，在实际生活中有着广泛的应用。
正弦定理的表述如下：在任意三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC通过正弦定理我们可以得出以下三个推论：推论1：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c推论2：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（其中R为三角形ABC外接圆的半径）推论3：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：sin(A-B) = sinC正弦定理的应用非常广泛，下面我们来看几个实际问题的例子。
例题1：已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8cm，求边BC的长度。
解：根据正弦定理，我们可以得到以下等式：BC/sinB = AC/sinABC/sin45° = 8cm/sin60°BC/（√2/2） = 8cm/（√3/2）BC = 8cm * (√2/2) * 2/√3BC = 8√2/√3 cm所以边BC的长度约为9.24cm。
例题2：已知三角形ABC中，角A=30°，角B=60°，边AC=10cm，求边BC的长度。
解：同样根据正弦定理，我们可以得到以下等式：BC/sinB = AC/sinABC/sin60° = 10cm/sin30°BC/（√3/2） = 10cm/（1/2）BC = 10cm * (√3/2) * 2BC = 10√3 cm所以边BC的长度约为17.32cm。
正弦定理和余弦定理
第3讲 正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． [审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题． 【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为()．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°解析 如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)， 同理，BD ＝32＋620(km)． 故B 、D 的距离为32＋620km. 考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系．解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD ， ∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)． 在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ， 所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β). 考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可． 解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910， ∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BD sin ∠BAD， 解得BD ＝922.故BD 的长为922. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.。
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理一、基础知识1．正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C. 3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12ah a(h a为边a上的高)；(2)S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(优质试题·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223.(2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6， 又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3. 又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1 考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(优质试题·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(优质试题·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________. [解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a＝sin Asin B ＋sin C ＝ab ＋c，∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由(1)可知sin A ＝32，因为cos B＝13，B为△ABC的内角，所以sin B＝223，故sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝32×13＋12×223＝3＋226.由正弦定理asin A＝csin C得c＝a sin Csin A＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二判定三角形的形状[典例](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C ＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形[解析](1)法一：因为b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理知sin B cos C＋sin C cos B＝sin A sin A，得sin(B＋C)＝sin A sin A.又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形． [答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角， 所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos Acos B＝ba＝2”，那么△ABC的形状为________．解析：因为cos Acos B＝ba，由正弦定理得cos Acos B＝sin Bsin A，所以sin 2A＝sin 2B.由ba＝2，可知a≠b，所以A≠B.又因为A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋B＝π2，所以C＝π2，于是△ABC是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A级1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Aa＝cos Bb，则B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B由正弦定理知，sin Asin A＝cos Bsin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(优质试题·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝a c ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D. 6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(优质试题·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sinB cosC ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(优质试题·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ， 即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，∴c ＝4.答案：49．(优质试题·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.解析：由正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝ba·sin A＝27×32＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：217 310．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又因为a＝2c，可得b＝32c，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－14.答案：－1 411．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.(1)求证：a＝2b cos B；(2)若b＝2，c＝4，求B的值．解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理asin A＝bsin B，得asin 2B＝bsin B，所以a＝2b cos B.(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为b＝2，c＝4，A＝2B，。
sin正弦定理公式
sin正弦定理公式中文称为“三角函数定理”，英文名称叫做“Pythagorean Theorem”，也叫做“Pythagoras Theorem”，是古希腊数学家“”发现的一个重要数学定理，在日常生活中也被经常使用。
该定理是圆周率π和三角函数的基础，从学前班到高等数学，都有它的痕迹。
正弦定理是一个三角形换算公式，又称定边换算公式，它非常有用，最主要的就是用来计算三角形角的大小，以及计算三角形的边长。
定理的公式为：在任意一个三角形中，每个直角的两边的平方和，等于那个直角的斜边的平方，即a^2+b^2=c^2（a，b，c分别代表三边的边长）。
数学表达式就是：a×a+b×b=c×c。
其中，a代表三角形的一条直角边，b表示另一条直角边，C指的是斜边，因此准确的表述可以是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这里需要特别指出的是，正弦定理仅仅适用于直角三角形，对于其他类型的三角形就不能够使用这个定理了。
此外，在许多算法中，正弦定理也可以用来解决一些图形问题。
另外，它还可以用来求解四边形的面积：如果四边形的边长分别为a、b、c、d，那么它的面积就等于边a的平方+边b的平方+边c的平方+边d的平方”。
在日常生活中，正弦定理也可以用来计算某个物体的体积。
在施工、安装、维修等行业，正弦定理还可以帮助我们计算出物体的宽度、高度和长度，从而精确地计算它的体积。
正弦定理不仅仅是一个数学定理，它在我们日常生活中也有着非常重要的作用。
它能够帮助我们在几何中更加准确地计算各种复杂的图形，还可以帮助我们精确地计算出物体的体积。
它也是数学研究中最重要的基础，它是圆周率π和三角函数的基础，从学前班到高等数学，都有它的痕迹。
正弦定理的公式是什么
正弦定理的公式是什么正弦定理的公式是什么sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。
在直角三角形中，∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，故记作sinA，即sinA=∠A的对边/∠A的斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。
古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。
股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。
正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。
勾股弦放到圆里。
弦是圆周上两点连线。
最大的弦是直径。
把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。
按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。
余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
高中数学正弦定理公式数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cosA=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
正弦定理
C
20 60° B
(3) b=20,A=60°,a=15. b sinA sinB= = 2√3 , 3 a 20 2√3 ∵ > 1, 3 ∴ 无解. A 60° C
思考: 当b=20,A=60°,a=?时,
有1解,2解,无解.
练习
ABC中, (1)已知c=√3,A=45°,B=75°, 则a=____, √2 (2)已知c=2,A=120°,a=2√3, 30° 则B=____, (3)已知c=2,A=45°,a= 2√6 ,则 3 B=_____________. 75°或15°
正弦定理
பைடு நூலகம்
正弦定理; 正弦定理;
在直角三角形ABC中的边角关系有:
a 形是否也有这个c b c= , c = 关系? = ,c 关系? sin C sin A sin B
a b c sin A = , sin B = , sin C = 1 = 对于一般的三角 c c c
c
B a
a b c A = = sin A sin B sinC
B1
注:这是一类已知两边的其中一边的对角解三角形的问题 这是一类已知两边的其中一边的对角解三角形的问题
在例 2 中,将已知条件改为以下几种 情况,结果如何? (1) b=20,A=60°,a=20√3 ; (2) b=20,A=60°,a=10√3 ; (3) b=20,A=60°,a=15. b 60° B C
a ≤ b 无解 a > b 一解(锐角)
C a b
C b a
A
A
作业: 作业
ABC c = 10, A = 450 , C = 300 , 求a, b和B 中, 1,已知在 ,
中, = 3, B = 60 , c = 1, 求a和A, C b 2,在 ABC ,
正弦定理
正弦定理正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。
定理定义在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。
则有：一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。
[3]验证推导证明一做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。
从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。
很明显：和因此：和同理：证明二：外接圆①锐角三角形中如图，作△ABC的外接圆，O为圆心。
连结BO并延长交圆于D，设BD=2R。
根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得:∠DAB=90°，∠C=∠D。
∴，∴。
同理可证, 。
∴。
②直角三角形中因为BC =a= 2R，可以得到所以可以证明③钝角三角形中线段BD是圆的直径根据圆内接四边形对角互补的性质所以因为BD为外接圆的直径BD = 2R。
根据正弦定义变形可得根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即证明三：向量若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥,则j与的夹角为90°-∠A,j与的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到∴|j| ||Cos90°+|j| || Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A).∴asinC=csinA即同理,过点C作与垂直的单位向量j, 则j与的夹角为90°+∠C, j与的夹角为90°+∠B,可得若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AB垂直的单位向量j, 则j与AC的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°+∠B. 同理a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),∴asinB=bsinA 即过点C作与垂直的单位向量j, 则j与的夹角为90°+∠C,j 与的夹角为90°+∠B,可得综上，。
正弦定理及其推论
正弦定理及其推论
正弦定理是三角形中的一条重要定理，它描述了三角形的边与角的关系。
正弦定理可以用来求解三角形中未知的边长或角度。
设在三角形ABC中，边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C，则正弦定理可以写作：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中sinA、sinB、sinC分别表示角A、B、C的正弦值。
正弦定理的推论包括：
1. sinA/a = sinB/b，该推论是正弦定理的一种形式，可以用来
求解未知边长；
2. a/sinA = 2R，其中R为三角形外接圆的半径，可以用来求解外接圆半径；
3. 三角形面积公式S = (1/2)ab sinC = (1/2)ac sinB = (1/2)bc sinA，可以用来求解三角形的面积；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离d = 2S/(a+b+c)，其中S
为三角形的面积，可以用来求解内心到三边的距离。
正弦定理及其推论在解决三角形相关题目时非常有用，可以帮助我们求解未知的边长、角度或其他属性。
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《正弦定理》教学设计
一、教材分析
本节内容安排在《数学必修5》第二章正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察—实验—猜想—证明—应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、教学目标分析
1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。
3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
四、教学重点、难点分析
重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
五、学法、教法与教学用具
学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教学用具：电脑、制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式
整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。
（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。
（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。
（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合2009年辽宁数学高考理科17题文
科18题，巩固新知。
六、教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
创提设出情问境回顾直角三角形中边角关系.如图：引导学生寻求联系，发现规律
深化学生对直角三角形边角
关系的理解.
利用c边相同，寻求形式的和
谐统一，即：
在Rt△ABC中
思考：在斜三角中，上式关
系是否成立？
引导学生经历经历由
特殊到一般的发现过
程
逻证辑明推猜理想正弦定理及其推导
在锐角三角形中
作CD AB于D，有
在钝角三角形中
引导学生自主探究对于一般
的三角形
是否仍然成立
分类讨论
（１）在锐角三角形中，等式
是否成立？
（２）在钝角三角形中，等式
是否成立？
（３）如何证明？
让学生分组讨论自主探究，教
师注意巡视指导，引导学生思
考
引导学生通过自主探
究、合作交流寻求问题
结论和解决办法
学习新知作CD AB于D，有
综上：得：
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
定概理念形深成化（１）正弦定理展现了三角形边角关系的
和谐美和对称美；
（２）解三角形：一般地，我们把三角
形的三个角和它的对边分别叫做三角形
的元素.已知三角形的几个元素求其他元
素的过程叫做解三角形.
（３）思考：直接应用正弦定理至少需要
已知三角形中的几个元素才能解三角
形？
引导学生充分理解正弦定理，
掌握正弦定理的结构特征，启
发学生思考正弦定理可以那
些解决解三角问题．
引导学生体会正弦定
理所体现的美学价值，
挖掘正弦定理的应用．
范举例一教反学三（１）正弦定理可以用于解决已知两角和
任意一边求另两边和一角的问题．
例１：
（２）正弦定理也可用于解决已知两边及
一边的对角，求其他边和角的问题..
例1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。
, C =
30。
求a , b (精确到0.01）
例１由学生给出条件
结合两道例题，引导学生总
结：(1)已知两角一边，解三
角形，解的情况唯一；
(2)已知两边及一边对角，解
三角形，何时有一解？两解？
何时无法构成三角形？
师生共同总结．
进一步深化对正弦定
理的认识和理解，掌握
正弦定理在解三角形
问题中的应用，并学会
部解三角形通过作图
法也能判定解的情况．变式训练：
利用作图法总结已知两边及一边对角解
三角形时解的情况
学解以决致引用例应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两
点间距离问题，并进一步求出此段太子河
宽度问题．
学生给出解决方法首尾呼应，解决之前提
出问题，并进一步解决
测河宽问题，同理也可
解决测山高问题，学以
致用．
归纳小结（１）正弦定理：
（２）正弦定理的运用
（３）思想和方法
师生共同总结本节课收获. 引导学生学会自己总
结，让学生进一步（回
顾）体会知识的形成、
发展、完善的过程.
课
后
作
业(2)你还能用其它方法证明正弦定理吗？有学生课后完成. 巩固深化：进一步培养
自主探究能力．
兴趣的同学可以在课后继续进行讨论．
板书设计附后板书设计清楚整洁,便
于突出知识目标
七、设计思路：
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。
其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
1、结合实例，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。
让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2、数学实验，验证猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
3、证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。
（附）板书设。