(2021年整理)三角形基础知识年中考数学一轮复习精准导练
2021年九年级数学中考一轮复习与三角形有关的综合性中考真题演练1(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习与三角形有关的综合性中考真题演练1（附答案）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF ＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF+BE＝EF；④MG•MH＝，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是AB的中点，点D，E是AC，BC边上的动点，且AD＝CE，连接DE．有下列结论：①∠DPE＝90°；②四边形PDCE面积为1；③点C到DE距离的最大值为．其中，正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2DE．其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，AC ＝13，AD＝12，BC＝14，则AE的长等于（）A．5B．6C．7D．5．如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，AF是△ADC 的中线，C，D，E三点在一条直线上，连接BD，BE，以下五个结论：①BD＝CE：②BD ⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④2AF＝BE⑤BE⊥AF中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．56．如图，线段OA＝2，OP＝1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结论：①AP的最小值是1，最大值是4；②当AP＝2时，△APO是等腰三角形；③当AP＝1时，△APO是等腰三角形；④当AP＝时，△APO是直角三角形；⑤当AP＝时，△APO是直角三角形．其中正确的是（）A．①④⑤B．②③⑤C．②④⑤D．③④⑤7．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD＝AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③S△ABF＝3S△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个8．如图，已知△ABC，AB＝AC，∠A＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF＝S△ABC上述结论始终正确的有（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④9．在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中：①PB平分∠APC；②当弦PB最长时，△APC是等腰三角形；③若△APC是直角三角形时，则P A⊥AC；④当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，DE＝3．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动，在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动到点F与点B重合为止），连接BE，设AD＝x，BE＝y．下列结论：①当x＝2时，y＝；②当x＝10﹣4时，BE∥AC；③当x＝7﹣3时，∠EBD＝22.5°，其中正确有（）A．3个B．2个C．1个D．0个12．已知，等腰Rt△ABC中AC＝BC，点D在BC上，且∠ADB＝105°，ED⊥AB，G是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE＝2FG，连GE、GB．则下列结论：①AG⊥BE；②∠DGE＝60°；③BF＝2FG；④AD+DC＝AB．其中正确的结论有（）A．①②B．①②④C．①③④D．②③④13．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B 重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；③DE2＝2CF•CA；④若AB＝3，AD＝2BD，则AF＝．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）14．如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝2；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．15．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且CN＜BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，点E在边AB上，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F．连接EF．下列结论：①BE+CF＝BC；②AD ≥EF；③S四边形AEDF＝AD2；④S△AEF≤，其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．17．如图，在平面直角坐标中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝2；②C，O两点之间的最大距离为4；③当BO＝BC时，则AB⊥CO；④AB的中点D运动路径的长为π．其中正确的是（写出所有正确结论的序号,）．18．如图，△ABC中，AD为BC上的中线，∠EBC＝∠ACB，∠BEC＝120°，点F在AC 的延长线上，连接DF，DF＝AD，AC﹣BE＝5，CF＝1，则AB＝．19．将一张圆形纸片，进行了如下连续操作（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示（4）连结AE、AF，如图（5）所示，则S△AEF：＝．20．等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为边AB上一点，AE＝2，P、Q分别为边AD、BC上的两点，且∠PEQ＝45°，若△EPQ为等腰三角形，则AP的长为．23．如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE 与△CBE的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，给出以下几个结论：①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；②AE的长度为；③BD的长度为；④若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S，则S＝AE•BD．其中正确的结论是（将正确结论的序号都填上）24．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC 绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE2+DC2＝DE2；④BE+DC＝DE，其中正确的是（只填序号）25．△ABC中，点D在直线AB上．点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E＝∠BDC，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°；（1）如图①，求证AD+BC＝BE；（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；（3）若BE⊥BC，tan∠BCD＝，CD＝10，则AD＝．参考答案1．解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝＝，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CF＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC＝AC＝MH，故②正确；③如图2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，∴＝，∴AE•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH＝CG，MG＝CH，MH∥AC，∴＝；＝，即＝；＝，∴MG＝AE；MH＝BF，∴MG•MH＝AE×BF＝AE•BF＝AC•BC＝，故④正确；故选：C．2．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝CB＝4，P是AB边上的中点，∴CP＝AP＝BP，CP⊥AB，∴∠A＝∠B＝∠ACP＝∠BCP＝45°．在△ADP和△CEP中，，∴△ADP≌△CEP∴PD＝PE，∠APD＝∠CPE，∴∠DPE＝∠APC＝90°，故（1）正确；（2）当PD⊥AC时，∵∠DCE＝∠CDP＝∠DPE＝90°，∴四边形CEDP是矩形．∵PD＝PE，∴矩形CEDP是正方形．∵△ADP≌△CEP，∴S△ADP＝S△CEP，∴S四边形CEDP＝S△APC＝S△ABC＝××2×2＝1．故（2）正确；（3）如图，连接CP交DE于F，由（1）知，∠DPE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴点C，D，P，E是以DE为直径的圆上，∴当DE⊥CP时，点C到线段DE的距离最大，为CP，在Rt△ABC中，CP＝AB＝×2＝即CP＝＝故（3）正确．综上所述：（1）（2）（3）正确．故选：D．3．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，∴△ADF≌△HDF（SAS）∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∴∠HBF＝∠BFH＝15°，∴BH＝HF，∴BH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDE（SAS）∴∠BGD＝∠BED＝75°，∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，∴∠GBC＝∠BGC＝75°，∴BC＝BG，∴BC＝BG＝2DE+EC，∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，故选：C．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝12，AC＝13，∴DC＝＝＝5，∵BC＝14，∴BD＝14﹣5＝9，由勾股定理得：AB＝＝15，过点E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝9，∴AG＝15﹣9＝6，设AE＝x，则ED＝12﹣x，∴EG＝12﹣x，Rt△AGE中，x2＝62+（12﹣x）2，x＝，∴AE＝．故选：D．5．解：①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．故①正确；∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠DBC+∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°．∴BD⊥CE；故②正确；③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确，④延长AF到G，使得FG＝AF，连接CG，DG．则四边形ADGC是平行四边形．∴AD∥CG，AD＝CG，∴∠DAC+∠ACG＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠EAB+∠DAC＝180°，∴∠EAB＝∠ACG，∵EA＝AD＝CG，AB＝AC，∴△EAB≌△GCA（SAS），∴AG＝BE，∴2AF＝BE，故④正确，⑤延长F A交BE于H．∵△EAB≌△GCA（SAS），∴∠ABE＝∠CAG，∵∠CAG+∠BAH＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AF⊥BE，故⑤正确．故选：D．6．解：①当点P在线段OA上时，AP最小，最小值为2﹣1＝1，当点P在线段AO的延长线上时，AP最大，最大值为2+1＝3，①错误；②当AP＝2时，AP＝AO，则△APO是等腰三角形，②正确；③当AP＝1时，AP+OP＝OA，△AOP不存在，△APO是等腰三角形错误，③错误；④当AP＝时，AP2+OP2＝3+1＝4，OA2＝4，∴AP2+OP2＝OA2，∴△APO是直角三角形，④正确；⑤当AP＝时，AP2＝5，OP2+OA2＝1+4＝5，∴AO2+OP2＝P A2，∴△APO是直角三角形，⑤正确，故选：C．7．解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，CD＝BD，∴CE＝BE，故①正确；∴∠C＝∠7，∵AD＝AB，∴∠8＝∠ABC＝∠6+∠7，∵∠8＝∠C+∠4，∴∠C+∠4＝∠6+∠7，∴∠4＝∠6，即∠CAD＝∠ABE，故②正确；作AG⊥BD于点G，交BE于点H，连接DH∵AD＝AB，DE⊥BC，∴∠2＝∠3，DG＝BG＝BD，DE∥AG，∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，由AD与EH相互平分知，四边形AEDH是平行四边形，∴AF∥ED，AE∥DH，∴DE＝AH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，∴在△DEF与△AHF中，，∴△DEF≌△AHF（AAS），∴AF＝DF，EF＝HF＝EH，且EH＝BH，∴EF：BF＝1：3，∴S△ABF＝3S△AEF，∵S△DEF＝S△AEF，∴S△ABF＝3S△DEF，故③正确；∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，∴∠5＝∠3+∠4，∴∠5≠∠4，∴△DEF∽△DAE，不成立，故④错误．综上所述：正确的答案有3个．故选：C．8．解：连接AP，EF，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴AP⊥BC，∴∠APC＝90°，∴∠APF+∠CPF＝90°，∵∠EPF＝∠APE+∠APF＝90°，∴∠APE＝∠CPF，在等腰直角三角形ABC中，AP⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP＝∠C＝45°，AP＝CP，在△APE和△CPF中，∴△APE≌△CPF，∴S△APE＝S△CPF，AE＝CF，PE＝PF，∵∠EPF＝90°，∴△EPF是等腰直角三角形；即：①③正确；同理：△APF≌△BPE，∴S△APF＝S△BPE，∴S四边形AEPF＝S△APE+S△APF＝S△ABC，即：④正确；∵△△EPF是等腰直角三角形，∴EF＝PE，当PE⊥AB时，AP＝EF，而PE不一定垂直于AB，∴AP不一定等于EF，∴②错误；故选：C．9．解；连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS），∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，∵∠AFD+∠CFD＝90°，∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，②错误；∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△ADF，∴四边形CDFE的面积＝S△ACF＝S△ACB，∴四边形CDFE的面积保持不变，③正确；∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝AC＝4，∴DE＝DF＝4，当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，∴S△CDE＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝16﹣8＝8，④正确，故选：C．10．解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠APB＝∠ACB＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠APB＝∠BPC，∴PB平分∠APC，∴①正确；②、当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°．如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，∴BP⊥AC，∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴AP＝CP，∴△APC是等腰三角形，∴②正确；③分三种情况：当∠APC＝90°时，AC是直径，不成立；当∠P AC＝90°时，PC是直径，P A⊥AC；当∠ACP＝90°时，AP是直径，PC⊥AC；综上所述：若△APC是直角三角形时，则P A⊥AC或PC⊥AC，∴③不正确；④、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图2所示：如果点P在P1的位置时：∵∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，∴△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置时：∵∠ACP2＝30°，∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，∴△BP2C是直角三角形，∴④正确；故选：D．11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，∴AB＝2BC＝10，①∵AD＝x＝2，∴BD＝AB﹣AD＝8，∴y＝BE＝＝；故正确；②当x＝10﹣4时，BD＝4，∴tan∠EBD＝＝，∴∠EBD＜30°≠∠A，∴BE与AC不平行；故错误；③当x＝7﹣3时，BD＝3+3，∴BF＝BD﹣DF＝3，∵EF＝DE＝3，∴EF＝BF，∴∠EBD＝∠EFD＝22.5°；正确．故选：B．12．解：如图，延长ED交AB于M，则∠DMB＝90°，∵∠ADB＝105°，△ABC是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠MDB＝45°，∠ADC＝75°，∠CAD＝15°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴CE＝CD，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC＝75°，∴∠AFE＝180°﹣∠CAD﹣∠CEB＝90°，即AF⊥BE，故①正确；∵∠ADC＝75°，∠CDE＝45°，∴Rt△EDF中，∠EDF＝60°，∴DE＝2DF＝2FG，即DF＝FG，∴EF垂直平分DG，∴△DEG是等边三角形，∴∠DGE＝60°，故②正确；方法一：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝75°，∴∠P AD＝15°，作∠ADP＝∠P AD＝15°，则P A＝PD，∠CPD＝30°，设CD＝a，则PD＝P A＝2a，PC＝a，∴AD＝＝＝a，则＝＝＝＝，同理可得＝，∴CD：AC：AD＝（）：（）：4，∴令CD＝、AC＝、AD＝4，∴AB＝AC＝（）＝2+2＝4+（）＝AD+CD，故④正确；方法二：由①知∠AFB＝90°，∵∠ADC＝∠BDF＝75°，∴∠DBF＝15°，由②知△DEG为等边三角形，且BE⊥AG，∴DF＝GF，∴∠DBF＝∠GBF＝15°，∴∠BGF＝90°﹣∠GBF＝75°，∵∠ABG＝∠ABD+∠DBF+∠GBF＝75°，∴AB＝AG，又∵DG＝DE＝CD，∴AB＝AG＝AD+DG＝AD+CD，故④正确；∵DE＝CD＝（）＝2﹣2，∴FG＝DE＝﹣1，EF＝DE＝3﹣，∴BF＝BE﹣EF＝AD﹣EF＝4﹣3+＝1+，显然BF≠2FG，故③错误；综上可知，①②④正确，故选：B．13．解：∵∠ACB＝90°，由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，故①正确；∵∠ACB＝90°，BC＝AC，∴∠B＝45°∵∠BCD＝25°，∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，∵△BCD≌△ACE，∴∠AEC＝∠BDC＝110°，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠CED＝45°，则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正确；∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，∵∠ECF＝∠ACE，∴△CEF∽△CAE，∴，∴CE2＝CF•AC，在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故③正确；如图，过点D作DG⊥BC于G，∵AB＝3，∴AC＝BC＝3，∵AD＝2BD，∴BD＝AB＝，∴DG＝BG＝1，∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD＝＝，∵△BCD≌△ACE，∴CE＝，∵CE2＝CF•AC，∴CF＝＝，∴AF＝AC﹣CF＝3﹣＝，故④错误，故答案为：①②③．14．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC＝＝2，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA＝AC＝2；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OE＝CE＝AB＝2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：＝π，所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②；故答案为：①②．15．解：在△ABC中，BC＝12，AC＝l6，∠C＝90°，则由勾股定理知AB＝＝＝20．取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝8，MH＝10，HC′＝2，HN＝6﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（6﹣x）2＝x2+22，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝6，MC＝MC′＝8，∴GC′＝2，∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，∴∠HNC'＝∠CGC'M，∴△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝4．∴C'M＞GM，此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为：或．16．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，∴BD＝CD＝AD＝BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，BC＝AB，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC＝AB，∴BE+CF＝BC，故①正确；∵AE+AF≥EF，∴AF+CF≥EF，∴AC≥EF，∴AD≥EF，故②错误；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC＝×AD2，故③正确；∵S△AEF＝×AE×AF，且AE+AF＝AC，∴当AE＝AF时，S△AEF的最大值＝S△ABC，∴S△AEF≤，故④正确，故答案为：①③④17．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC＝＝2，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA＝AC＝2；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OE＝CE＝AB＝2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当BO＝BC点D是OC的中点时，AB⊥CO，所以③不正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：＝π，所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②；故答案为：①②．18．解：如图，延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，GF，过点C作CH⊥BG于H，过作CN⊥BE于N，∵AD为BC上的中线，∴BD＝CD，且DG＝AD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC∥BG，AC＝BG，AB＝CG，∴∠ACB＝∠CBG，且∠EBC＝∠ACB，∴∠EBC＝∠CBG，且∠N＝∠CHB＝90°，BC＝BC，∴△BCN≌△BCH（AAS），∴BN＝BH，CN＝CH，∵AC﹣BE＝5，∴BG﹣BE＝BH+HG﹣BE＝BN+HG﹣BE＝EN+HG＝5，∵AD＝DF，AD＝DG，∴AD＝DF＝DG，∴∠AFG＝90°，∵AC∥BG，CH⊥BG，∴CH⊥AF，且CH⊥BG，∠AFG＝90°，∴四边形CFGH是矩形，∴CF＝HG＝1，∴EN＝4，∵∠BEC＝120°，∴∠NEC＝60°，且∠N＝90°，∴NC＝EN＝4，∴CH＝4，∴AB＝CG＝＝＝7，故答案为：7．19．解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，∴∠BMD＝90°，∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴∠BNF＝90°，∴∠BMD＝∠BNF＝90°，∴CD∥EF，根据垂径定理，BM垂直平分EF，又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴BN＝MN，∴BM、EF互相垂直平分，连接ME，如图所示：则ME＝MB＝2MN，∴∠MEN＝30°，∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，又∵AM＝ME（都是半径），∴∠AEM＝∠EAM，∴∠AEM＝∠EMN＝×60°＝30°，∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，同理可求∠AFE＝60°，∴∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，设圆的半径为r，则MN＝r，EN＝r，∴EF＝2EN＝r，AN＝r+r＝r，∴S△AEF：S圆＝（×r×r）：πr2＝3：2π；故答案为：3：2π．20．解：分四种情形：①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，∵∠BAD＝∠CBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），∴BD＝EC＝1，∴AE＝AC﹣EC＝2．图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，∴△ECF是等边三角形，设EC＝CF＝EF＝x，∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，∴△ABD∽△BFE，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AE＝AC+CE＝③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠FBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），∴EC＝BD＝1，∴AE＝AC+EC＝4．④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时．作EF∥AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．设EC＝EF＝CF＝m，由△ABD∽△BFE，可得＝，∴＝，∴x＝，∴AE＝AC﹣EC＝，综上所述，满足条件的AE的值为2或4或或．故答案为2或4或或．21．解：（1）如图1，当PE＝PQ时，作QF⊥AD，则四边形ABQF是矩形，可得QF＝AB ＝6．∵∠A＝∠PFQ＝∠EPQ＝90°，∴∠APE+∠QPF＝90°，∠APE+∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠QPF，∵PE＝PQ，∴△AEP≌△FPQ（AAS），∴AP＝FQ＝6；（2）如图2，当QE＝QP时，作PF⊥BC，则四边形ABFP是矩形，可得PF＝AB＝6，同法可得：△BEQ≌△FQP（AAS），∴BE＝FQ＝4，BQ＝FP＝6，∴AP＝BF＝10；（3）如图3，当EP＝EQ时，作PM⊥PE交EQ的延长线于点M，作MF⊥AD于点F，MF交BC于点H．∵EP＝EQ，BE∥MH，∴，∴，∴．同法可得△AEP≌△FPM（AAS），∴．综合（1）、（2）、（3）可知：AP＝6或AP＝10或．故答案是：6或10或4+2．23．解：当AD是BC边中线时，则BD＝CD，∵△ABD与△ACD的周长相等，∴AB＝AC，但此时，不能得出AC＝BC，即不能得出CE是AB的中线，故①不正确；∵△ABD与△ACD的周长相等，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴AB+BD+AD＝AC+CD+AD，∴AB+BD＝AC+CD，∵AB+BD+CD+AC＝a+b+c，∴AB+BD＝AC+CD＝．∴BD＝﹣c＝，同理AE＝，故②③都正确；当∠BAC＝90°时，则b2+c2＝a2，∴AE•BE＝×＝[a+（c﹣b）][a﹣（c﹣b）]＝[a2﹣（c﹣b）2]＝[a2﹣（c2+b2﹣2bc）]＝×2bc＝bc＝S，故④正确；综上可知正确的结论②③④，故答案为：②③④．24．解：∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，∴∠F AD＝90°，DC＝BF，∠FBE＝90°，AD＝AF，∵∠DAE＝45°，∴∠EAF＝90°﹣45°＝45°，在△AED和△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS）；故①正确；∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴S△AFB＝S△ADC，∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，S四边形AFBD＝S△ABD+S△AFB，∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；故②正确；∵△AED≌△AEF，∴EF＝ED，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴BE2+DC2＝DE2．故③正确；④错误．故答案为：①②③．25．解：（1）证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，∴∠EAB＝∠BCD，∵∠E＝∠BDC，AE＝CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE＝BD，AB＝BC，∴AD+BC＝AD+AB＝BD＝BE；（2）①图②结论：BC﹣AD＝BE，证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，∴∠EAB＝∠BCD，∵∠E＝∠BDC，AE＝CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE＝BD，AB＝BC，∴BC﹣AD＝AB﹣AD＝BD＝BE；②图③结论：AD﹣BC＝BE；证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，∴∠EAB＝∠BCD，∵∠E＝∠BDC，AE＝CD，∴△EAB≌△DCB（ASA），∴BE＝BD，AB＝BC，∴AD﹣BC＝AD﹣AB＝BD＝BE；（3）①如图2，过点D作DG⊥BC于G，在Rt△CGD中，tan∠BCD＝，∴，设DG＝3x，CG＝4x，根据勾股定理得，DG2+CG2＝CD2，∴9x2+16x2＝100，∴x＝2（舍去负值），∴CG＝8，DG＝6，由（2）①知，△EAB≌△DCB，∴∠ABE＝∠CBD，∵BE⊥BC，∴∠CBE＝90°，∴∠CBD＝45°＝∠BDG，∴BG＝DG＝6，BD＝6，∴BC＝BG+CG＝14，由（2）①知，BC﹣AD＝BD，∴AD＝BC﹣BD＝14﹣6；②如图3，过点D作DG⊥BC于G，同①的方法得，CF＝8，BG＝DG＝6，BD＝6，∴BC＝CG﹣CG＝2，由（2）②知，AD﹣BC＝BD，∴AD＝BC+BD＝2+6；故答案为：14﹣6或2+6．。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：相似三角形的应用1(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：相似三角形的应用1（附答案）1．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）2．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（）A．0种B．1种C．2种D．3种3．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米4．如图，已知直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝﹣x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝﹣x+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是．5．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝．6．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2008在y 轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2008在二次函数y＝x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，请计算△A0B1A1的边长＝；△A1B2A2的边长＝；△A2007B2008A2008的边长＝．7．在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH ⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是．9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．11．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝m．12．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝14m，则旗杆AB的高为m．13．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△P AC面积的最大值及此时点P的坐标．15．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．17．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．18．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足P A+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）19．如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E 与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．21．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？22．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．（1）该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．23．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．参考答案1．解：∵Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax2 上，∴4＝a×（﹣2）2，解得：a＝1∴解析式为 y＝x2，∵Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4），∴OB＝OD＝2，∵Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，∴CD∥x 轴，∴点 D 和点 P 的纵坐标均为 2，∴令 y＝2，得 2＝x2，解得：x＝± ，∵点 P 在第一象限，∴点 P 的坐标为：（ ，2）故选：C．2．解：∵两根铝材的长分别为 27cm、45cm，若 45cm 为一边时，则另两边的和为 27cm，27＜45，不能构成三角形，∴必须以 27cm 为一边，45cm 的铝材为另外两边，设另外两边长分别为 x、y，则（1）若 27cm 与 24cm 相对应时，11 / 31＝＝，解得：x＝33.75cm，y＝40.5cm， x+y＝33.75+40.5＝74.25cm＞45cm，故不成立； （2）若 27cm 与 36cm 相对应时，＝＝，解得：x＝22.5cm，y＝18cm，x+y＝22.5+18＝40.5cm＜45cm，成立； （3）若 27cm 与 30cm 相对应时，＝＝，解得：x＝32.4cm，y＝21.6cm，x+y＝32.4+21.6＝54cm＞45cm，故不成立； 故只有一种截法． 故选：B． 3．解：设小明在 A 处时影长为 x，B 处时影长为 y． ∵AC∥OP，BD∥OP， ∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x＝5， ，∴y＝1.5，12 / 31∴x﹣y＝3.5， 减少了 3.5 米． 故选：D．4．解：当 x＝0 时，y＝﹣ x+3＝3，则 B（0，3）， ∵点 P 的横坐标为 a，PQ∥y 轴， ∴P（a，﹣ a2+2a+5），Q（a，﹣ a+3），∴PQ＝|﹣ a2+2a+5﹣（﹣ a+3）|＝|﹣ a2+ a+2|＝| a2﹣ a﹣2|，BQ＝＝| a|，∵PQ＝BQ， ∴| a2﹣ a﹣2|＝| a|，当 a2﹣ a﹣2＝ a 时，整理得 a2﹣8a﹣4＝0，解得 a1＝4+2 ，a2＝4﹣2 ，当 a2﹣ a﹣2＝﹣ a 时，整理得 a2﹣3a﹣4＝0，解得 a1＝4，a2＝﹣1，综上所述，a 的值为 4+2 或 4﹣2 或 4 或﹣1．故答案为 4+2 或 4﹣2 或 4 或﹣1．5．解：设 A 点坐标为（0，a），（a＞0），则 x2＝a，解得 x＝ ，13 / 31∴点 B（ ，a），＝a，则 x＝ ， ∴点 C（ ，a）， ∵CD∥y 轴， ∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ， ∴y1＝（ ）2＝3a， ∴点 D 的坐标为（ ，3a）， ∵DE∥AC， ∴点 E 的纵坐标为 3a，∴ ＝3a，∴x＝3 ， ∴点 E 的坐标为（3 ，3a）， ∴DE＝3 ﹣ ，＝＝3﹣ ．故答案为：3﹣ ． 6．解：作 B1A⊥y 轴于 A，B2B⊥y 轴于 B，B3C⊥y 轴于 C．设等边△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3 中，AA1＝a，BA2＝b，CA2＝c． ①等边△A0B1A1 中，A0A＝a，14 / 31所以 B1A＝atan60°＝ a，代入解析式得 ×（ a）2＝a，解得 a＝0（舍去）或 a ＝ ，于是等边△A0B1A1 的边长为 ×2＝1； ②等边△A2B2A1 中，A1B＝b， 所以 BB2＝btan60°＝ b，B2 点坐标为（ b，1+b）代入解析式得 ×（ b）2＝ 1+b， 解得 b＝﹣ （舍去）或 b＝1， 于是等边△A2B1A1 的边长为 1×2＝2； ③等边△A2B3A3 中，A2C＝c， 所以 CB3＝btan60°＝ c，B3 点坐标为（ c，3+c）代入解析式得 ×（ c）2＝ 3+c， 解得 c＝﹣1（舍去）或 c＝ ， 于是等边△A3B3A2 的边长为 ×2＝3． 于是△A2007B2008A2008 的边长为 2008． 故答案为：1，2，20087．解：①如图 1，当∠POQ＝∠OAH＝30°，若以 P，O，Q 为顶点的三角形与△AOH 全 15 / 31等，那么 A、P 重合； ∵∠AOH＝60°， ∴直线 OA：y＝ x，联立抛物线的解析式得：，解得：或，故 A（ ，3）； ②如图 2，当∠POQ＝∠AOH＝60°，此时△POQ≌△AOH， 易知∠POH＝30°，则直线 y＝ x，联立抛物线的解析式，得：，解得：或，故 P（ ， ），那么 A（ ， ）； ③如图 3，当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝60°时，此时△QOP≌△AOH； 易知∠POH＝30°，则直线 y＝ x，联立抛物线的解析式，得：，16 / 31解得：或，故 P（ ， ）， ∴OP＝＝ ，QP＝ ，∴OH＝OP＝ ，AH＝QP＝ ， 故 A（ ， ）； ④如图 4，当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝30°，此时△OQP≌△AOH； 此时直线 y＝ x，联立抛物线的解析式，得：，解得：或，∴P（ ，3）， ∴QP＝2，OP＝2 ， ∴OH＝QP＝2，AH＝OP＝2 ， 故 A（2，2 ）． 综上可知：符合条件的点 A 有四个，分别为：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ） 或（2，2 ）． 故答案为：（ ，3）或（ ， ）或（ ， ）或（2，2 ）．17 / 318．解：设正方形的对角线 OA 长为 2m， 则 B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）； 把 A，C 的坐标代入解析式可得：c＝2m①，am2+c＝m② ， ①代入②得：m2a+2m＝m，解得：a＝﹣ ，则 ac＝﹣ •2m＝﹣2．9．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15， ∵AH∥DK， ∴∠CDK＝∠A， 而∠CKD＝∠AHD， ∴△CDK∽△DAH，∴ ＝ ，即 ＝ ，18 / 31∴CK＝．答：KC 的长为步．故答案为．10．解：如图 1，∵四边形 CDEF 是正方形， ∴CD＝ED，DE∥CF， 设 ED＝x，则 CD＝x，AD＝12﹣x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x＝ ， 如图 2，四边形 DGFE 是正方形， 过 C 作 CP⊥AB 于 P，交 DG 于 Q， 设 ED＝x，19 / 31S△ABC＝ AC•BC＝ AB•CP，12×5＝13CP，CP＝ ，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x＝，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 （步），故答案为： ．11．解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB＝（米）．20 / 31故答案为：100．12．解：∵OD＝4m，BD＝14m，∴OB＝OD+BD＝18m，由题意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O为公共角，∴△OCD∽△OAB，∴＝，即＝，解得AB＝9，即旗杆AB的高为9m．故答案为：9．13．解：法一：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴＝，＝，∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，∴＝，＝，∴＝，解得BD＝52m，∴＝，解得AB＝54m．法二：设AB＝x．则BH＝2x，BG＝x，则有2x﹣x＝54，解得x＝54，故答案为：54．14．解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝4，OB＝，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x﹣）＝a（x2+x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，设P（x，x2+﹣2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则△P AC的面积S＝S△PHA+S△PHC＝PH×OA＝×4×（﹣x﹣2﹣x2﹣x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．15．解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；16．解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S最大．矩形MFOE（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．17．解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴于点P，此时P A+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，故当点M（，）时，S△MOC最大值为．18．解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），则5a＝4，解得：a＝，抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+5）＝x2﹣x+4，函数的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣）；（2）连接B、C交对称轴于点P，此时P A+PC的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，当x＝3时，y＝，故点P（3，）；（3）存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，则S四边形OEBF＝OB×|y E|＝5×|y E|＝12，点E在第四象限，故：则y E＝﹣，将该坐标代入二次函数表达式得：y＝（x2﹣6x+5）＝﹣，解得：x＝2或4，故点E的坐标为（2，﹣）或（4，﹣）．19．解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，则由△GDC∽△EOC得，即，整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，由△FBA∽△EOA得，即，整理得：1.6b＝2a﹣ax②，将②代入①得：3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，∴a＝32，即OE＝32，答：楼的高度OE为32米．20．解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴AB＝17（m），经检验：AB＝17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．21．解：（1）∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．（3）设EF＝x，EG＝y，∵△AEF∽△ABC∴，∴y＝80﹣x∴矩形面积S＝xy＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x＝60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．22．解：（1）该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的；故答案是：平行；（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．则MB＝EF＝2，ND＝GH＝3，ME＝BF＝10，NG＝DH＝5．所以AM＝10﹣2＝8，由平行投影可知，＝，即＝，解得CD＝7，即电线杆的高度为7米．23．解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，∴＝，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m31 / 31。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：直角三角形1(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：直角三角形1（附答案）1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．7对3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG ⊥EF．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．67．如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°9．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．6410．如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝13，S2＝12，则S3的值为（）A．1B．5C．25D．14411．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．12．下列结论中，错误的有（）①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．14．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．15．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，则PC的长为．16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝．17．已知直角三角形的两边x，y的长满足|x﹣4|+＝0，则第三边的长为．18．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．19．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是三角形（直角、锐角、钝角）．20．若8，a，17是一组勾股数，则a＝．21．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过米．22．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为．23．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．24．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．26．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．28．图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边的长分别为a和b，斜边为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个直角梯形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并标注相关数据；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．29．在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．30．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．31．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB ＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？32．如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，（1）试说明：△FBD≌△ACD；（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：；（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A．2．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴△AOD≌△AOE；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC，∴△AOB≌△AOC，共7对，故选：D．3．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，故选：D．4．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．5．解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，∴斜边长为12cm．故选：D．6．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8，∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4∴BC＝BD+DC＝8+4＝12，故选：C．7．解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，∴OP＝AB，∴在滑动的过程中OP的长度不变．故选：C．8．解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．9．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．10．解：由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∵S1＝S2+S3，∴S3＝S1﹣S2＝13﹣12＝1．故选：A．11．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．12．解：①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．13．解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC．14．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当P A⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．15．解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，如图所示：∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝4，∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，∴PC＝2PE＝8．故答案为：8．16．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，∴AB＝2CD＝6cm．故答案为：6cm．17．解：∵≥0，≥0，∴＝0，＝0，即x＝4，y＝3，在直角三角形中，（1）边长为4的边是斜边，则第三边的长为＝；（2）边长为4的边是直角边，则第三边即斜边的长为＝5，故答案为5或．18．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．19．解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，∴a2+b2＝c2，∴三角形是直角三角形．故答案为直角．20．解：①a为最长边，a＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．21．解：设平板手推车的长度不能超过x米则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形，BP＝CP，BC最大．连接PO，与BC交于点N．∵直角走廊的宽为2m，∴PO＝4m，∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．又∵△CBP为等腰直角三角形，∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．故答案为：422．解：以AB为腰作等腰Rt△ABE，连接EC，∵△ADC为等腰Rt△，∴，∠EAB＝∠DAC＝45°，∴∠EAB+∠BAC＝∠BAC+∠DAC，∴∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△BAD，∴，作EF⊥BC交BC延长线于F，∵∠ABC＝45°，∠EBA＝90°，∴∠EBF＝45°，∴△EFB为等腰Rt△，∴EF＝FB＝＝＝7，∴EC＝＝25，∴BD＝＝．23．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．24．解：在Rt△ABF中，∠A＝70°，CE，BF是两条高，∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，又∵∠BCE＝30°，∴∠ACB＝50°，∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．25．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝20，∴CD＝BD＝10，∴BC＝＝＝10．26．证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD（等腰三角形三线合一）．27．（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，∴DE＝AC＝5，当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t﹣4，过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：∵ED＝EA，∴DF＝AF＝AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；∵BM＝t，BF＝7，∴FM＝t﹣7则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，∴t＝．综上所述，符合要求的t值为9或10或．28．解：（1）如图所示，是梯形；（2）由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积和，即．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；29．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD＝＝15，∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，∴S△ABC＝BC•AD＝×21×8＝84．因此△ABC的面积为84．故答案为84．30．解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．31．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．32．解：（1）∵DB＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90°又∵DA＝DF，∴△BFD≌△ACD；（2）∵△BFD≌△ACD，∴BF＝AC，又∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴CE＝AE＝AC，∴CE＝AC＝BF；（3）CE，GE，BG之间的数量关系为：CE2+GE2＝BG2，连接CG．∵BD＝CD，H是BC边的中点，∴DH是BC的中垂线，∴BG＝CG，在Rt△CGE中有：CG2＝CE2+GE2，∴CE2+GE2＝BG2．。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：相似三角形的判定与性质(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：相似三角形的判定与性质（附答案）1．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：272．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：93．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32B．8C．4D．164．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．265．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（）A．∠DAE＝30°B．∠BAC＝45°C．D．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（）A．25B．30C．35D．409．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A．一种B．两种C．三种D．四种11．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似12．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m13．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．14．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为．15．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为．16．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）17．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）18．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）19．如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为．20．把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．则＝．21．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是．22．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．23．已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．26．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O 的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．（1）求证：AD＝CD；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．27．如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．28．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．29．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？30．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．参考答案1．解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．2．解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．3．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×＝4．故选：C．4．解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．5．解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，∵AB∥EF∥DC，AD∥BC∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC ∽CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA故选：C．6．解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC＝，AC＝2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵＝，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，∴∠DAE＝∠CBE＝30°，故选项A不合题意，∴cos∠DAE＝＝，故选项D不合题意，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴DE＝CE＝CD＝AB，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴，故选项C不合题意，故选：B．8．解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵EF＝AD，∴EF＝BC，∵AD∥BC，NG⊥AD，∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，又∵MN＝AB＝6，∴GN＝2，GM＝4，∴S△BCG＝×10×4＝20，∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．故选：C．9．解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：C．10．解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x+y＞120cm，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则＝＝，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则＝＝，解得：x＝37.5，y＝50．∴有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．故选：B．11．解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，故选：D．12．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．13．解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．14．解：∵△DCE和△ABC相似，∠ACD＝∠ABC，AC＝6，AB＝4，CD＝2，∴∠A＝∠DCE，∴或即或解得，CE＝3或CE＝，当∠ABC＝∠A时，则AC＝BC＝6，AB∥CD，∵△DCE和△ABC相似，AC＝6，AB＝4，CD＝2，∴∠DCE＝∠D，∴，即，解得，CE＝3，故答案为：3或．15．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2：3，故答案为：2：3．16．解：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD．②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED．故答案为DF∥AC，或∠BFD＝∠A．17．解：∵∠A＝∠D，∴当∠B＝∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B＝∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．18．解：分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB＝AF：AC，即1：2＝AF：AC，∴AF＝AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE＝∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF＝AC或∠AFE＝∠ABC．故答案为：AF＝AC或∠AFE＝∠ABC．19．解：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴，故答案为：2．20．解：连接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中点，∴AC＝AD，CE＝AD＝AE，∴∠ACE＝∠CAE＝30°∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝AD，∠BAC＝∠ACE，∴AB∥CE，∴△ABF∽△CEF，∴，∴，故答案为．21．解：连结OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴，即，∴r＝4（负根已经舍弃），∴OB＝4，故答案为4．22．解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案为：7．23．解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．24．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝36°＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD．25．证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE．26．解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，∵AB＝4，BF＝5，∴AF＝，∴AE＝AF＝3，∵，∴，∴DE＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴，∴，∴，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴．27．（1）证明：∵∠四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：连接DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，AE＝＝2，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△DEA，∴AE：AD＝BE：AE，∴AD＝＝10，∵AB＝4，∴四边形AEFD的面积＝AB×AD＝4×10＝40．28．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BD，又∵CD＝BC，∴AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BAD，AB＝AD，BC＝BD，又∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝∠BAD，∵BF是⊙O的切线，∴∠FBO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠OBF，∴△OBF∽△AEB，∴，∵AB＝4，CF＝1，∴OB＝2，OF＝OC+CF＝3，∴，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝．29．解：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．30．解：在△ABC与△AMN中，∠A＝∠A，，∴△ABC∽△AMN，∴，即，解得：MN＝1.5千米，答：M、N两点之间的直线距离是1.5千米；。
2021年中考数学一轮复习《三角形认识》基础复习题(含答案)
2021年中考数学一轮复习《三角形认识》基础复习题1.将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（）2.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大15°，则∠EBF的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°3.如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于（）A.30°B.45°C.50°D.60°4.一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（）A.30°B.60°C.45°D.150°5.如图，直线a∥b，将一块含30°角(∠BAC=30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C 两点分别落在直线a和b上．若∠1=20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30° C．40° D．50°6.如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（）A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图,下列条件不能判断直线l1∥l2的是( )A.∠1＝∠3B.∠1＝∠4C.∠2＋∠3＝180°D.∠3＝∠58.如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠5=∠BD.∠B+∠BDC=180°9.如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，GA⊥AC于A，则△ABC中，AC边上的高为( )A.ADB.GAC.BED.CF10.如图，已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个11.三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个12.三角形两边长为6与8，那么周长L的取值范围（）A.2<L<14B.16<L<28C.14<L<28D.20<L<2413.为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A．15m B．17m C．20m D．28m14.已知△ABC的边长分别为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A.2aB. 2b-2cC.2a+3bD. -2b15.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.1316.如图，在△ABC中AC=BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD=AE．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C=40°，则∠GAD的度数为( )A．40° B．45° C．55° D．70°17.将一副三角板，如图所示放置，使点A落在DE边上，BC∥DE，AB与EF相交于点H，则∠AHF 的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°18.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=（）A.35°B.95°C.85°D.75°19.如图，直线a∥b,直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为( )A.20°B.40°C.30°D.25°20.下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B= ∠C 中.能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个21.如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是( )A.3个B.4个C.5个D.6个22.如图，在△AB C中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B.∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是( )①∠ACB=70°；②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；④∠CFE=40°；A.①②B.③④C.①③D.①②③23.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则( )A.40°B.30°C.20°D.10°24.若一个三角形三个外角之比为2：3：4，则与之对应的三个内角度数比为( ).A.4：3：2B.3：2：4C.5：3：1D.3：1：525.如果在△ABC中，∠A=70°-∠B，则∠C等于( )A.35°B.70°C.110°D.140°26.小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m,n上，测得，则的度数是( )A.450B.550C.650D.75027.如图所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，则∠AED的度数为（）。
2021届中考数学一轮复习热点题型专练 三角形【含答案】
2021届中考数学一轮复习热点题型专练三角形一、选择题1.如图，在△ABC 中，△B=90°，tan△C=，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 2 【答案】C【解析】△tan△C=34 ，AB=6cm ，△AB BC =6BC =34 ，△BC=8，由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ，设△PBQ 的面积为S ，则S=12 ×BP×BQ=12 ×2t×（6﹣t ），S=﹣t 2+6t=﹣（t 2﹣6t+9﹣9）=﹣（t ﹣3）2+9，P ：0≤t≤6，Q ：0≤t≤4，△当t=3时，S 有最大值为9，即当t=3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2；故选C ．2.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】B【解析】因为DE//BC ，所以△ADE△△ABC ，k=12,所以△ABC 的周长为12 3.如图，已知等腰三角形ABC ，AB=AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE=ECB ．AE=BEC ．△EBC=△BACD ．△EBC=△ABE【答案】C【解析】△AB=AC ，△△ABC=△ACB ，△以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，△BE=BC ，△△ACB=△BEC ，△△BEC=△ABC=△ACB ，△△A=△EBC ，故选C ．4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．【答案】B【解析】设小正方形的边长为x，△a=3，b=4，△AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（3+x）2+（x+4）2=72，整理得，x2+7x﹣12=0，解得x=或x=（舍去），△该矩形的面积=（+3）（+4）=24，故选：B．5.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．16【答案】D【解析】△在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，△DE△BC，DE=BC，△△ADE△△ABC，△=，△=，△△ADE的面积为4，△△ABC的面积为：16，故选：D．6.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．△A＝△D B．AC＝DFC．AB＝ED D．BF＝EC【答案】A【解析】选项A、添加△A＝△D不能判定△ABC△△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．7.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，△AC2+BC2＝AB2，△△ABC是直角三角形，且△ACB＝90°，故选：B．8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】B【解析】A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．9.已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】△若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，△正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；△若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，△正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．10.如图，在Rt ABC∆中，90B∠=︒，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若1BG=，4AC=，则ACG∆的面积是()A．1B．32C．2D．52【答案】C【解析】由作法得AG平分BAC∠，G∴点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以ACG∆的面积14122=⨯⨯=．故选：C．11.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5C．△A：△B：△C＝3：4：5D．|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0【答案】C【解析】A、△，△△ABC是直角三角形，错误；B、△（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，△△ABC是直角三角形，错误；C、△△A：△B：△C＝3：4：5，△△C＝，△△ABC不是直角三角形，正确；D、△|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0，△，△△A＝60°，△B＝30°，△△C＝90°，△△ABC 是直角三角形，错误；故选：C．12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）A.8B.11C.16D.17【答案】B【解析】因为DE垂直平分AB，所以BE=AE，所以BC=BE+CE=AE+CE=6又AC=5所以△ACE的周长为5+6=11故选B13.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的长＝a ﹣（c ﹣b ），宽＝a ，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），△知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C ．14.如图，在ABC ∆中，AC BC =，40A ∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，AB AC =，CG ∴平分ACB ∠，A B ∠=∠，1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， 1502BCG ACB ∴∠=∠=︒． 故选：C ．15.如图，点D 在BC 的延长线上，DE △AB 于点E ，交AC 于点F ．若△A ＝35°，△D ＝15°，则△ACB 的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．85° 【答案】B【解析】△DE △AB ，△A ＝35°△△AFE＝△CFD＝55°，△△ACB＝△D+△CFD＝15°+55°＝70°．故选：B．二、填空题16.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．【答案】6或25或45【解析】△如图1当5AD=，==，4AB AC则3BD CD==，∴底边长为6；△如图2．当5AB AC==，4CD=时，则3AD=，∴=，2BD22∴=+=，BC2425∴此时底边长为25；△如图3:当5==，4AB ACCD=时，则223AD AC CD =-=，8BD ∴=，45BC ∴=，∴此时底边长为45．故答案为：6或25或45．17.如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ． 【答案】【解析】在Rt△ABC 中，△B ＝60°， △△A ＝30°， △AB ＝2a ，AC ＝a ．△DE 是中位线， △CE ＝a ．在Rt△FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ， △△FEC ＝30°． △△A ＝△AEM ＝30°， △EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB ＝．故答案为．18.如图，在△ABC中，△ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC△BC，则△ABC的面积是．【答案】8【解析】△DC△BC，△△BCD＝90°，△△ACB＝120°，△△ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，△D为AB的中点，△AD＝BD，在△ADH与△BCD中，，△△ADH△△BCD（SAS），△AH＝BC＝4，△H＝△BCD＝90°，△△ACH＝30°，△CH＝AH＝4，△CD＝2，△△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案为：8．19.如图，已知直线121//l ，含30︒角的三角板的直角顶点C 在1l 上，30︒角的顶点A 在2l 上，如果边AB 与1l 的交点D 是AB 的中点，那么1∠= 度．【答案】120 【解析】D 是斜边AB 的中点，DA DC ∴=，30DCA DAC ∴∠=∠=︒，260DCA DAC ∴∠=∠+∠=︒，121//l ，12180∴∠+∠=︒，118060120∴∠=︒-︒=︒．故答案为120．20.等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为cm．由题意知，应分两种情况：【答案】32【解析】（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．故答案为32．三、证明题21.已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：△A+△B+△C=180°．【证明】：过点A作EF△BC，△EF△BC，△△1=△B，△2=△C，△△1+△2+△BAC=180°，△△BAC+△B+△C=180°，即△A+△B+△C=180°．22.如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出△A与△B的和与△C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．【解】：（1）△在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，△△A+△B＜△C；（2）如图，过点A作MN△BC，△MN△BC，△△MAB＝△B，△NAC＝△C（两直线平行，同位角相等），△△MAB+△BAC+△NAC＝180°（平角的定义），△△B+△BAC+△C＝180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°；（3）△＝，△ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，△2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，△a2+c2＝b2，△△ABC是直角三角形．23.已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：E C ∠=∠．【证明】：BAE DAC ∠=∠BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠ CAB EAD ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =()ABC ADE SAS ∴∆≅∆C E ∴∠=∠24.如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C 在直线m 上，分别过点A 、B 作AE △直线m 于点E ，BD △直线m 于点D ． △求证：EC ＝BD ；△若设△AEC 三边分别为a 、b 、c ，利用此图证明勾股定理． △【证明】：△△ACB ＝90°， △△ACE +△BCD ＝90°． △△ACE +△CAE ＝90°， △△CAE ＝△BCD ． 在△AEC 与△BCD 中，△△CAE △△BCD （AAS ）．△EC＝BD；△解：由△知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b△S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又△S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．△a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．25.如图，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．【证明】：△△BAC＝90°，△△DAF＝90°，△点E，F分别是边BC，AC的中点，△AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，△FE＝AB，FE△AB，△△EFC＝△BAC＝90°，△△DAF＝△EFC，△AD ＝AB ，△AD ＝FE ，在△ADF 和△FEC 中，，△△ADF △△FEC （SAS ）， △DF ＝EC ， △DF ＝BE ． 四、作图题26.如图，已知等腰ABC ∆顶角30A ∠=︒．（1）在AC 上作一点D ，使AD BD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：BCD ∆是等腰三角形． （1）解：如图，点D 为所作；（2）证明：AB AC =，1(18036)722ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒，DA DB =，36ABD A ∴∠=∠=︒，363672BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， BDC C ∴∠=∠，BCD ∴∆是等腰三角形．五、应用题27.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 解：在Rt △BCD 中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．在Rt △ACD 中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）． 所以，AB=AD+BD=15.75米，整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米）， 因为耗时45s ， 所以上升速度v==0.3（米/秒）．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．28.在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x作AD ⊥BC 于D ，设BD = x ，用含x的代数式表示CD 利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积ADCB【解】：如图，在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13， 设BD x =，△14CD x =-．由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-，2222213(14)AD AC CD x =-=--，△2215x -=2213(14)x --， 解之得：9x =． △12AD =．△12ABC S BC AD ∆=•11412842=⨯⨯=．六．探究题29.如图△，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边AC 、CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE 、BD ．（1）猜想PM 与PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图△中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图△，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图△中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC ，CD=kCE ，如图△，写出PM 与PN 的数量关系，并加以证明．【解析】（1）PM=PN ，PM△PN ，理由如下：C△△ACB和△ECD是等腰直角三角形，△AC=BC，EC=CD，△ACB=△ECD=90°．在△ACE和△BCD中，，△△ACE△△BCD（SAS），△AE=BD，△EAC=△CBD，△点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，△PM=BD，PN=AE，△PM=PM，△△NPD=△EAC，△MPN=△BDC，△EAC+△BDC=90°，△△MPA+△NPC=90°，△△MPN=90°，即PM△PN；（2）△△ACB和△ECD是等腰直角三角形，△AC=BC，EC=CD，△ACB=△ECD=90°．△△ACB+△BCE=△ECD+△BCE．△△ACE=△BCD．△△ACE△△BCD．△AE=BD，△CAE=△CBD．又△△AOC=△BOE，△CAE=△CBD，△△BHO=△ACO=90°．△点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，△PM=BD，PM△BD；PN=AE，PN△AE．△PM=PN．△△MGE+△BHA=180°．△△MGE=90°．△△MPN=90°．△PM△PN．（3）PM=kPN△△ACB和△ECD是直角三角形，△△ACB=△ECD=90°．△△ACB+△BCE=△ECD+△BCE．△△ACE=△BCD．△BC=kAC，CD=kCE，△=k．△△BCD△△ACE．△BD=kAE．△点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，△PM=BD，PN=AE．△PM=kPN．30.已知：如图，△ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在△ABC内部，且点P到△ABC两边的距离相等．【解析】：△点P在△ABC的平分线上，△点P到△ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），△点P在线段BD的垂直平分线上，△PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），如图所示：。
2021年中考数学 一轮复习：三角形(含答案)
2021中考数学一轮复习：三角形一、选择题1. 如图，在△ABC中，表示AB边上的高的图形是()2. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°3. 在△ABC中，∠A＝2∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°B．40°C．75°D．105°4. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是()A.45°B.60°C.75°D.85°5. 在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为()A．18°B．36°C．54°D．90°6. (2019•荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A．95︒B．100︒C．105︒D．110︒7. 若多边形每一个内角都等于120°，则从此多边形的一个顶点出发的对角线共有()A．2条B．3条C．6条D．9条8. 如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是()A．45°B．50°C．55°D．80°二、填空题9. 如图，在△ABC中，∠A＝85°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝140°，则∠B ＝________°.10. 若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是________．11. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．12. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC 于点D.若∠A＝80°，则∠BOD＝________°.13. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=°.14. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为________．三、解答题15. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝35°，∠BAD＝30°，求∠C的度数．16. 如图，用钉子把木棒AB，BC和CD分别在端点B，C处连接起来，AB，CD 可以转动，用橡皮筋把AD连接起来，橡皮筋始终绷直，设橡皮筋AD的长是x cm.(1)若AB=5 cm，CD=3 cm，BC=11 cm，求x的最大值和最小值;(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗?17. 已知：如图11－Z－12，在△ABC中，∠ABC＝∠C，D是AC边上一点，∠A ＝∠ADB，∠DBC＝30°.求∠BDC的度数．18. 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A2021中考数学 一轮复习：三角形-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】D[解析]不妨设∠A=∠C -∠B ，∵∠A +∠B +∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D.3. 【答案】C4. 【答案】C[解析]如图，在直角三角形中，可得∠1+∠A=90°，∵∠A=45°，∴∠1=45°，∴∠2=45°.∵∠B=30°，∴∠α=∠2+∠B=75°，故选C.5. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，∴∠C＝6∠A. 设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝6x.由三角形内角和定理可得x＋3x＋6x＝180°，解得x＝18°，∴∠B＝3x＝54°.6. 【答案】C【解析】如图，由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ．7. 【答案】B[解析] ∵每一个内角都等于120°，∴每一个外角都是60°.∴边数是36060＝6.而从六边形的一个顶点出发可以画3条对角线．故选B.8. 【答案】B[解析] 如图，连接AC 并延长交EF 于点M.∵AB ∥CF ，∴∠3＝∠1. ∵AD ∥CE ，∴∠2＝∠4.∴∠BAD ＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2＝∠FCE.∵∠FCE ＝180°－∠E －∠F ＝180°－80°－50°＝50°，∴∠BAD ＝∠FCE ＝50°.二、填空题9. 【答案】5510. 【答案】720°[解析] 该正多边形的边数为360°÷60°＝6.该正多边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.11. 【答案】13【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AE＋EC＝8，∴EC ＋BE＝8，∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.12. 【答案】4013. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°.∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°.∵∠B=∠C，DE⊥AB，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°.∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.14. 【答案】13【解析】由折叠的性质可得：CD＝AD，∴△BCD的周长＝BC ＋CD＋BD＝BC＋AD＋BD＝BC＋BA＝6＋7＝13.三、解答题15. 【答案】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°.∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－35°－60°＝85°.16. 【答案】解:(1)x的最大值是5+3+11=19，最小值是11-3-5=3.(2)由(1)得x的取值范围为3<x<19.17. 【答案】解：设∠C＝x°，则∠ABC＝x°，∠ABD＝x°－30°.∵∠ADB是△DBC的外角，∴∠ADB＝30°＋x°，于是∠A＝30°＋x°.在△ABD中，2(30＋x)＋(x－30)＝180，解得x＝50.故∠BDC＝180°－(30°＋50°)＝100°.18. 【答案】方法一：设N H M L F E，，，，，分别为AB BC CD DA AC BD，，，，，的中点，要证明EF LH，，及MN三线共点．因为LF DC∥且12LF DC=，所以EF DC∥且12EF DC=，LF EH∥且LF EH=，从而四边形EHFL为平行四边形，故LH与EF互相平分．设LH与EF的交点为O，则LH经过EF中点O（当然也是LH中点）．同理，MN也过EF中点O．所以，EF，LH，MN三线共点于O．说明：本题证明的关键是平行四边形EHFL 的获得（它是通过三角形中位线定理来证明的）． 由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧． 请看下例．方法二：应用中点公式法可设()11A x y ，，()()()223344B x y C x y D x y ，，，，， 那么AC 线段的中点坐标为131322x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，，BD 线段的中点坐标为242422x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，那么EF 线段的中点坐标为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭， 同理可得：MN LH ，的中点坐标也为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭， 所以可知：EF ，LH ，MN 三线共点于O。
专题训练21：三角形-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求
2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练21：三角形（含答案）一、知识要点：1、三角形的基本概念(1)三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类①按边之间的关系分：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
(3)三角形的三边之间的关系三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
(4)三角形的高、中线、角平分线(5)三角形的稳定性(6)三角形的角①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角和等于360°。
2、特殊三角形(1)等腰三角形①等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)。
②等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。
(2)等边三角形①等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。
②等边三角形的判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
(3)直角三角形①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
二、课标要求：1、理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2021年九年级中考数学一轮压轴题复习：《三角形》 专题练习
2021年中考九年级数学一轮压轴题复习：《三角形》专题练习1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．2、如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE•OF．3、如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD 和CB交于点G.(1) 求证：△ADE≌△CFE；(2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.4、如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC 于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．5、如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．6、如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．7、如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）求证：BD=EF；（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s 的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S 关于t的函数关系式．9、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝6，D 为BC 的中点．(1)若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，求证：△AED ≌△CFD ；(2)当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B 时停止；设△DEF 的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．10、在中，.ABC ∆,AC AB =α22=∠=∠DAE BAC（1）如图1，若点关于直线的对称点为，求证：∽；（2）如图2，在（1）的条件下，若，求证：；（3）如图3，若，点在的延长线上，则等式还能成立吗？请说明理由.11、问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝____________（用α表示）；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝____________（用α表示）. 拓展研究：（2）如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝____________（用α表示），并说明理由.（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝____________ .D AEF ADF∆ABC∆︒=45α222CEBDDE+=︒=45αE BC222CEBDDE+=12、有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中, ∠FDE=90°,DF=4,DE=34.将这副直角三角板按如图(1)所示位置摆放,点B 与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF 沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.(1)如图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=______度；(2)如图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.13、如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？14、如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．15、如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是AC、AB边上点，连接EF．（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF =3S△EDF，求AE的长；（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA．①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．16、已知△ABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B 、M 、C 分别作BD ⊥m 于D ，ME ⊥m 于E ，CF ⊥m 于F 。
2021年九年级数学中考一轮复习与三角形有关的综合性中考真题演练2(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习与三角形有关的综合性中考真题演练2（附答案）1．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．2．如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D 是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．3．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F 是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．4．如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．5．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF ＝CG．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF 与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）6．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．7．在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．8．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M为CE中点．（1）如图1，若D点在BA延长线上，直接写出BM与DM的数量关系与位置关系不必证明．（2）如图2，C，E，D在同直线上，连BE，探究BE与AB的的数量关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若AB＝AE＝2．求BD的长．9．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠P AB＝45°，AB＝6时，AC＝，BC＝；如图2，当sin∠P AB＝，AB＝4时，AC＝，BC＝；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．10．问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N 分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．11．在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是，数量关系是；深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝，当BM＝时，BP 的最大值为．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的边OB在x轴上，点O与原点重合，直角顶点C在第一象限，且B（25，0），OC＝20．（1）直接写出点C的坐标；（2）点M是边OC上的一个动点，过点M作MN∥OB交BC于点N，设M点的横坐标为m（m＞0）．①用m的代数式求MN的长；②在边OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4，求PB的长．小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．（1）请回答：在图1中，∠PDB＝°，PB＝．【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且P A＝1，PB＝，PC＝2，求AB的长．【灵活运用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα＝，点P在△ABC 外，且PB＝3，PC＝1，直接写出P A长的最大值．14．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG 交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上15．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：P A＝CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．参考答案1．解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠P AC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．2．解：（1）连接AC，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四点共圆，∴∠AEB＝∠ACB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠AEB＝45°；（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，FH＝EH，在Rt△BHE中，BH＝BE，FH＝EH＝BH＝BE，∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE＝BE+CE；（3）分两种情况：①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：由（2）得：FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝＝，∴AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，∴＝；②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，∴＝；综上所述，当α＝120°，tan∠DAB＝时，的值为或．3．解：（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴点F是EC的中点．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．∴DG＝EC＝，∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG＝＝＝，∴CB＝＝3，在Rt△ABC中，AC＝＝＝3，∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝3＝．4．解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝4×＝4．（2）①如图2中，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．②如图3中，由（1）可知：AC＝＝，∵PF⊥AC，∴∠PF A＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，即＝，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP＝AF＝2．方法二：AE＝BE＝PE可得直角三角形ABP，由PF⊥AC，可得∠AFE＝45°，可得∠F AP ＝45°，即∠P AB＝30°．AP＝AB cos30°＝2．5．（1）证明：如图1中，∵∠F＝∠G＝90°，∠F AB＝∠CAG，AB＝AC，∴△F AB≌△GAC（AAS），∴FB＝CG．（2）解：结论：CG＝DE+DF．理由：如图2中，连接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．理由：如图3中，连接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，∴•AB•CG＝•AB•DE+•AC•DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．6．解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，∴tan∠B＝tan∠C＝＝，∴AH＝3，AB＝AC＝＝＝5．∴当点P在BC上时，P A⊥BC时，点P到A的最短距离为3．（2）如图1中，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，∴＝（）2＝，∴＝，∴AP＝，∴PM＝AP﹣AM＝﹣2＝．（3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．∵PQ∥BC，∴＝，∠AQP＝∠C，∴＝，∴PQ＝（x+2），∵sin∠AQP＝sin∠C＝，∴PJ＝PQ•sin∠AQP＝（x+2）．当3＜x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J．同法可得PJ＝PC•sin∠C＝（11﹣x）．综上，PJ＝；（4）由题意点P的运动速度＝＝单位长度/秒．当3＜x≤9时，设点P移动的路程为x，CQ＝y．∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴＝，∴＝，∴y＝﹣（x﹣7）2+，∵﹣＜0，∴x＝7时，y有最大值，最大值＝，∵AK＝，∴CK＝5﹣＝＜当y＝时，＝﹣（x﹣7）2+，解得x＝7±，∴点K被扫描到的总时长＝（+6﹣3）÷＝23（秒）．7．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②结论：∠ACE＝90°．理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案为90．（2）结论：∠ACE＝90°．理由：如图2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴＝＝，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a﹣，∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a﹣，∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a﹣）2＝（）2+a2，解得a＝4或0（舍弃），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝＝＝4，∴DP＝P A＝PE＝AE＝2，EF＝AE＝，∴PF＝EF＝，∵∠DPF＝90°，∴DF＝＝＝5．8.解：（1）BM＝DM，BM⊥DM；如图1，连接AM，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAE＝90°，∵M为CE中点．∴CM＝AM，∵BM＝BM，BC＝BA，∴△BCM≌△BAM（SSS），∴∠CBM＝∠MBA＝45°，同理可得∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM；（2）如图2，延长BM到N，使BM＝MN，连EN，DN，BD，BE，∵∠CMB＝∠EMN，CM＝ME，∴△CBM≌△ENM（SAS），∴BC＝EN，∠BCM＝∠MEN，∴EN＝AB，∵∠CBA＝∠ADE＝90°，∴∠BCM+∠BAD＝180°，∵∠NED+∠MEN＝180°，∴∠NED＝∠BAD，又∵AD＝DE，∴△END≌△ABD（SAS），∴DB＝DN，∠NDE＝∠BDA，∵∠BDA+∠BDE＝90°，∴∠NDE+∠BDE＝90°，∴∠NDB＝90°，∴DB⊥DN，∴DM⊥BN，∴BE＝EN＝BC＝AB；（3）如图3，连BE，BD交AE于N，在（2）的条件下，CM＝ME，DM⊥BM，∴BE＝BC＝AE＝AB＝2，DE＝DA＝2，∴BD为AE的垂直平分线，∴EN＝DN＝AN＝，∴BN＝＝，∴BD＝+．9．（1）解：如图1，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠P AB＝45°，AB＝6，∴AP＝PB＝6，如图1，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF＝AB，∴，∴PE＝PF＝3，由勾股定理得：AE＝BF＝＝＝3，∴AC＝BC＝2AE＝6，如图2，∵sin∠P AB＝，AB＝4，AF⊥BE，∴∠P AB＝30°，∴BP＝AB＝2，AP＝2，∵AF、BE是△ABC的中线，∴PE＝PB＝1，PF＝AP＝，由勾股定理得：AE＝＝＝，BF＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2，故答案为：6，6，2，2；（2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2＝5AB2，证明：如图3，设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①，在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②，在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（）2③，由①得：m2+n2＝，由②+③得：5（m2+n2）＝，∴AC2+BC2＝5AB2；（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，∵F是BC的中点，∴N是CG的中点，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝4，BC＝2，∴CG＝EF＝BD＝2，FC＝，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，即5×5＝（2）2+FG2，∴GF＝．10．解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）补全图形如图2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．11．解：问题初现：（1）①AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．理由：如图1，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°∴∠ACM＝∠BCN，且AC＝BC，CM＝CN，∴△ACM≌△BCN（SAS）∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN故答案为：AM⊥BN；AM＝BN深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．理由如下：如图，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°∴∠ACM＝∠BCN，且AC＝BC，CM＝CN，∴△ACM≌△BCN（SAS）∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN类比拓展：（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点N作NF⊥CE于点F，则FN∥AB∵△MCN是等腰直角三角形∴CM＝CN，∠MCN＝90°∴∠ECM+∠FCN＝90°，且∠ECM+∠CME＝90°∴∠FCN＝∠CME，且CM＝CN，∠F＝∠CEM＝90°∴△CNF≌△CME（AAS）∴FN＝EC，EM＝CF∵BC＝4，CE⊥AB，∠CBA＝45°∴CE＝BE＝4，∴FN＝BE＝CE，且FN∥BA∴四边形FNBE是平行四边形，且∠F＝90°∴四边形FNBE是矩形∴∠CEM＝∠ABN＝90°∴∠PMB+∠MPB＝90°∵CM⊥MP∴∠CME+∠PMB＝90°∴∠CME＝∠MPB，且∠CEM＝∠ABN＝90°∴△CEM∽△MBP∴∴BP＝＝﹣（BM﹣2）2+1∴当BM＝2时，BP有最大值为1．故答案为：2，112．解：（1）作CH⊥OB于H，如图1所示：∵B（25，0），∴OB＝25，在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∴BC＝＝＝15，∵Rt△OBC的面积＝OB×CH＝OC×BC，∴CH＝＝＝12，∵CH⊥OB，∴OH＝＝＝16，∴点C的坐标为（16，12）；故答案为：（16，12）；（2）①作MD⊥OB于D，如图2所示：则OD＝m，cos∠MOD＝＝，即＝，解得：OM＝m，∴CM＝OC﹣OM＝20﹣m，∵MN∥OB，∴△MNC∽△OBC，∴＝，即＝，解得：MN＝25﹣m；②存在，理由如下：当∠QMN＝90°，MN＝MQ时，如图3所示：∵tan∠MOQ＝＝，即＝＝，∴MQ＝m，由①得：MN＝25﹣m，m＝25﹣m，解得：m＝，∴MQ＝m＝，∴点Q的坐标为（，0），点M的坐标为（，）；当∠MNQ＝90°，MN＝QN时，如图4所示：作MD⊥OB于D，则四边形MNQD是正方形，∴DQ＝MN＝，∴OQ＝OD+DQ＝+＝，∴点Q的坐标为（，0），点M的坐标为（，）；当∠MQN＝90°，MQ＝NQ时，如图5所示：作MD⊥OB于D，则MN＝MQ，△MDQ是等腰直角三角形，∴MD＝QD，MQ＝MD＝m，MN＝MQ＝m，由①得：MN＝25﹣m，∴25﹣m＝m，解得：m＝，∴OD＝，QD＝MD＝m＝，∴OQ＝OD+QD＝，∴点Q的坐标为（，0），点M的坐标为（，）；综上所述，在边OB上存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．13．解：（1）如图1中，∵△ACP≌△ABD，∴∠PDB＝∠APC＝150°，PC＝BD＝4，AD＝AP＝3，∵△ADP为等边三角形，∴∠ADP＝60°，DP＝AD＝3，∴∠BDP＝150°﹣60°＝90°，∴PB＝＝5．故答案为：90°，5；（2）如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．由旋转性质可知；BD＝P A＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，∴PD2+BD2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC＝135°，∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°，∴∠APC+∠CPD＝180°，∴A，P，D共线，∴AD＝AP+PD＝5，在RtADB中，AB＝＝＝．（3）如图3中，作CD⊥CP，使得CD＝PC＝，则PD＝＝，∵tan∠BAC＝＝，∴＝，∵∠ACB＝∠PCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCP，∴△ACD∽△BCP，∴＝＝，∴AD＝，∵﹣≤P A≤+，∴1≤P A≤，∴P A的最大值为．14．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠F AD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．15．解：（1）作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH，∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，∴OH＝OB+BH＝4，∴C点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC，∴P A＝CQ；（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BP A＝∠BQC＝135°，∴∠OPB＝45°，∴OP＝OB＝1，∴P点坐标为（1，0）．。
专题17 三角形基础-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(原卷版)
专题17 三角形的基础【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点）（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
知识点二与三角形有关的线段三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2021年整理)全等三角形年中考数学一轮复习精准导练
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2019年中考数学一轮复习精准导练第22讲全等三角形【考题导向】中考试题中对于全等三角形很少以选择题、填空题的形式考查，往往通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．1．以探究开放题的形式呈现问题，直接考查有关三角形全等的性质与判定等的问题；2．全等三角形常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合,渗透在综合题中，考查学生综合运用知识的能力．3．主要体现数形结合、化归的思想．【考点精练】考点1：全等三角形性质考查【典例】（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【同步练】（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．考点2：全等三角形判定考查【典例】（2018•安顺）如图,点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【同步练】（2018•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙考点3：全等三角形性质与判定综合考查【典例】（2018•台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A．115 B．120 C．125 D．130【同步练】(2018东营)（3。
考点20 三角形的基础知识-2021年中考数学一轮复习考点汇总
考点20〖三角形的基础知识〗【命题趋势】近三年来，三角形的基础知识是中考的必考内容，同时也是中考的重要热点。
中考主要以选择题、填空题形式考三角形的三边关系及三角形的内角和、内外角的关系；三角形中特殊线段常考知识点：利用三角形的中位线、角平分线、高的性质求线段长、求角度、求三角形的周长及三角形的面积，命基础题。
【考查题型】选择题、填空题【常考知识】三角形的三边关系及三角形的内角和、内外角的关系；三角形中特殊线段常考知识点：利用三角形的中位线、角平分线、高的性质求线段长、求角度、求三角形的周长及三角形的面积。
【夺分技巧】①利用三边之间的关系---两边之和大于第三边及两边之差小于第三边来解答。
②第三边卡在两已知边的差与和之间。
③三角形的内角和为1800。
④三角形的一个外角等于其不相邻两内角的和。
⑤三角形的内角和常与平行线的性质综合考查。
【易错点】①作三角形的高不知道明确三点：一是过那一个顶点；二是作那条边的垂线、三是高是一条线段。
②不知道三角形的中线平分三角形的面积。
③心中无角平分线计算相关的模型。
④对重心的知识不会灵活运用。
一、选择题1.（2020·贵州·中考真卷）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为()A.22B.17C.17或22D.262.（2020·广西·中考真卷）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是()A. B. C. D.3.（2020·福建·中考真卷）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是()A.1B.12C.13D.144.（2020·四川·中考真卷）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=50∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是()A.50∘B.40∘C.30∘D.20∘5.（2020·贵州·中考真卷）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为()A.13B.17C.13或17D.13或106.（2020·浙江·中考真卷）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为()A.4B.5C.6D.77.（2020·江苏·中考真卷）若一个三角形的两边长分别为3cm，6cm，则它的第三边的长可能为()A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm8.（2020·山东·中考真卷）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为()A.60∘B.70∘C.80∘D.85∘9.（2020·宁夏·中考真卷）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30∘，∠C＝45∘，AB与DE相交于点G，当EF // BC时，∠EGB的度数是（）A.135∘B.120∘C.115∘D.105∘10.（2020·内蒙古·中考真卷）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE // AB．若∠ACB＝75∘，∠ECD＝50∘，则∠A的度数为（）A.50∘B.55∘C.70∘D.75∘11.（2020·四川·中考真卷）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（）A.∠α+∠β＝180∘B.∠α+∠β＝225∘C.∠α+∠β＝270∘D.∠α＝∠β12.（2020·四川·中考真卷）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则()．A. B. C. D.13.（2020·湖南·中考真卷）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50∘，则∠B的度数为（）A.25∘B.30∘C.35∘D.40∘14.（2020·湖南·中考真卷）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110∘，∠B＝50∘，则∠A＝（）A.40∘B.50∘C.55∘D.60∘15.（2020·广东·中考真卷）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68∘，则∠AED＝（）A.22∘B.68∘C.96∘D.112∘二、填空题16.（2020·贵州·中考真卷）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在线段BC上，且∠B=30∘，∠ADC=60∘，BC=3√3，则BD的长度为________．17.（2020·内蒙古·中考真卷）如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80∘，则∠B＝________度．18.（2020·江苏·中考真卷）如图，将分别含有30∘、45∘角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65∘，则图中角α的度数为________．19.（2020·黑龙江·中考真卷）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是________．20.（2020·山东·中考真卷）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是________．21.（2020·四川·中考真卷）已知三角形三条边的长分别是7cm，12cm，15cm，则连接三边中点所构成三角形的周长为________cm．22.（2020·山东·中考真卷）已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是________，∠C，则△ABC是________23.（2020·山东·中考真卷）在△ABC中，∠A=∠B=12三角形．24.（2019·四川·中考真卷）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，AC与A′B′相交于点P．则CP的最小值为________．25.（2019-2020·广西·中考模拟）如图，DE//BF，∠D=53∘,∠B=30∘，DC平分∠BCE，则∠DCE的度数为________.26.（2020·广东·中考模拟）如图，AB//CD，若∠E=34∘，∠D=20∘，则∠B的度数为________．27.（2019-2020·湖南·中考模拟）在△ABC中，已知∠B=55∘，∠C=80∘，则∠A=________．28.（2019-2020·陕西·中考模拟）如图，∠A=60∘，∠B=80∘，则∠1+∠2=________∘．29.（2019-2020·甘肃·中考模拟）如图，在△ABC中，AB=BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD=∠DCE，若∠BEC=105∘，则∠A的度数是________.30.（2020·江苏·中考模拟）设△ABC三边为a，b，c，其中a，b满足|a+b−6|+(a−b+4)2=0，则第三边c的取值范围________．。
2021年河北省九年级中考数学一轮复习 《三角形》模块精练：三角形的基本性质
三角形的基本性质1．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )A．50° B．60° C．70° D．80°2．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB.若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为( )A．50° B．55° C．70° D．75°3．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为( )A．13 B．17C．13或17 D．13或104．在△ABC中，AB＝1，BC＝5，下列选项中，可以作为AC长度的是( )A．2 B．4 C．5 D．65．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC.若∠B＝50°，则∠DCA等于( )A．30° B．35° C．40° D．45°6．(2020·广东东莞)已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为( )A．8 B．2 2 C．16 D．47．(2020·湖北仙桃)将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF ＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是( )A．15° B．20° C．25° D．30°8．已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n＋2，n＋8，3n，则满足条件的n的值有( ) A．4个B．5个C．6个D．7个9．(2020·四川眉山)一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为( )A．∠α＋∠β＝180°B．∠α＋∠β＝225°C．∠α＋∠β＝270°D．∠α＝∠β10．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.若∠A＝60°，则∠BEC是( )A．15° B．30° C．45° D．60°11．(2021·精选)如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是( )A．45° B．50° C．55° D．80°12．(2020·内蒙古呼伦贝尔)如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点M，N分别为OB，OC的中点．若OB＝8，OC＝6，则四边形DEMN的周长是( )A．14 B．20 C．22 D．2813．(2020·北京)如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC_____S△ABD(填“>”“＝”或“<”)．14．(2020·湖南湘潭)如图，点P 是∠AOC 的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为_______．15．(2019·内蒙古兴安盟)如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O.(1)利用尺规作图取线段CO 的中点．(保留作图痕迹，不写作法)； (2)猜想CO 与OE 的长度有什么关系，并说明理由．16．(2020·沈阳)如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 是坐标原点，点A 的坐标为(4，4)，点B 的坐标为(6，0)，动点P 从O 开始以每秒1个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，设运动的时间为t 秒(0<t<4)，过点P 作PN∥x 轴，分别交AO ，AB 于点M ，N. (1)填空：AO 的长为________，AB 的长为________； (2)当t ＝1时，求点N 的坐标；(3)请直接写出MN 的长为________(用含t 的代数式表示)；(4)点E 是线段MN 上一动点(点E 不与点M ，N 重合)，△AOE 和△ABE 的面积分别表示为S 1和S 2.当t ＝43时，请直接写出S 1·S 2(即S 1与S 2的积)的最大值为________．参考答案1．D 2.B 3.B 4.A 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 11．B 12.B 13．＝ 14.315．解：(1)如图，点G 即为所求．(2)CO ＝2OE.理由：如图，连接DE. ∵BD，CE 分别是AC ，AB 上的中线， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE∥BC，DE ＝12BC ，∴OE OC ＝DE BC ＝12，∴CO＝2OE. 16．解：(1)∵A(4，4)，B(6，0)，∴OA＝42＋42＝42，AB ＝（6－4）2＋42＝2 5.故答案为42，2 5.(2)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，将A(4，4)，B(6，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝4，6k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝12，∴直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋12.由题意得点N 的纵坐标为1，令y ＝1，则1＝－2x ＋12， ∴x＝112，∴N(112，1)．(3)当0<t<4时，令y ＝t ，代入y ＝－2x ＋12， 得到x ＝12－t 2，∴N(12－t 2，t)．∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，∴OP＝PM ＝t ， ∴MN＝PN －PM ＝12－t 2－t ＝12－3t2.故答案为12－3t2.(4)如图，当t ＝43时，MN ＝12－3×432＝4，设EM ＝m ，则EN ＝4－m.由题意S 1·S 2＝12m×4×12(4－m)×4＝－4m 2＋16m ＝－4(m －2)2＋16.∵－4<0，∴m＝2时，S 1·S 2有最大值，最大值为16.。
2021年河北省九年级中考数学一轮复习 《三角形》模块精练：线段、角、相交线与平行线
线段、角、相交线与平行线1．(2020·四川自贡)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是( ) A．50° B．70° C．130° D．160°2．(2020·陕西)若∠A＝23°，则∠A余角的大小是( )A．57° B．67° C．77° D．157°3.(2020·浙江金华)如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b.理由是( )A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4．(2020·河北遵化一模)如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为( )A．45° B．55° C．135° D．145°5．(2021·精选)如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是( )A．30° B．60°C．90° D．120°6．(2020·海南)如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E.若∠ABE＝70°，∠ACD＝40°，则∠AEB 等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°7．(2020·辽宁葫芦岛)一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A 的度数是( )A．70° B．80° C．90° D．100°8．(2020·浙江杭州)如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A ＝___________．9．(2020·四川乐山)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF.则∠GEB＝( )A．10° B．20° C．30° D．40°10．(2020·四川凉山州)点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12 cm，则线段BD的长为( )A．10 cm B．8 cmC．10 cm或8 cm D．2 cm或4 cm11．(2020·江西改编)如图，∠1＝∠2＝60°，∠3＝30°，则下列结论正确的是( )A．GF＝BF B．∠B＝30°C．∠C＋∠2＝∠EFC D．CG＞FG12．(2020·内蒙古呼伦贝尔)如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E.若∠EAB＝120°，则∠ECD的度数是( )A．120° B．100° C．150° D．160°13．(2020·湖北黄冈)已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝_________________度．14．(2020·贵州铜仁)设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于________ cm.15．(2021·精选)如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E ＝∠F.16．(2020·湖北武汉)如图，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN.求证：AB∥CD.参考答案1．Ｃ 2.Ｂ 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.20°9.B 10.C 11.B 12.C 13．30 14.7或1715．证明：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D.∵∠A＝∠1，∴180°－∠ACE－∠A＝180°－∠D－∠1.又∵∠E＝180°－∠ACE－∠A，∠F＝180°－∠D－∠1，∴∠E＝∠F.16．证明：∵EM∥FN，∴∠FEM＝∠EFN.又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠BEF＝2∠FEM，∠EFC＝2∠EFN，∴∠FEB＝∠EFC，∴AB∥CD.。
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三角形基础知识年中考数学一轮复习精准导练
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2019年中考数学一轮复习精准导练
第21讲三角形基础知识
【考题导向】
中考试题中多以选择题、填空题的形式考查三角形的边角关系．
1。
三角形的有关知识及其简单的运用、三角形三边关系、三角形内外角性质，一
般直接考查．
2．以探究开放题的形式呈现问题,以三角形为载体，融合于其他图形中，来命制计
算题、推理论证题．
【考点精练】
考点1：三角形的基本概念及三边关系
【典例】（2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm,7cm，14cm 【同步练】（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）
A．1，1，2 B．1,2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
考点2：三角形重要的线段
【典例】（2018•贵阳)如图，在△ABC中有四条线段DE,BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是（)
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
【同步练】（2018•昆明）在△AOC中,OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（）
A．90° B．95° C．100° D．120°
考点3: 三角形的稳定性
【典例】（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（）
A． B． C． D．
【同步练】下列图形具有稳定性的是( ）
考点4：三角形内角和与外角性质
【典例】（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC 于点E．若∠A=54°,∠B=48°，则∠CDE的大小为（）
A．44° B．40° C．39° D．38°
【同步练】(2018•广西）如图,∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（）
A．40° B．45° C．50° D．55°
考点5：三角形综合探究
【典例】如图：已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．
(1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
（2)如图2:若写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若设∠E＝m°，直接用含有n、m°的代数式写出∠M＝(不写过程)
【同步练】已知在四边形中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，DF平分∠ADC的邻补角,请写出BE与DF的位置关系，并证明．
（2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
（3）如图3,若BE、DE分别五等分∠ABC、∠ADC的邻补角(即∠CDE=，∠CBE=）,则∠E= ．
【真题演练】
1。
（2018•常德）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( ）A．1 B．2 C．8 D．11
2.(2018•宿迁)如图,点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°,∠C=24°，则∠D 的度数是（）
A．24° B．59° C．60° D．69°
3。
（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是( ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
4.（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）
A．75° B．80° C．85° D．90°
5。
（2018湖南郴州）（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．
6。
（2018•白银)已知a,b，c是△ABC的三边长，a,b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0,c为奇数,则c= ．
7。
(2018辽宁抚顺）（3。
00分）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= ．
8.（2018•淄博)已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证:∠A+∠B+∠C=180°．
9。
（2018•宜昌)如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
(1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
10.已知：△ABC中∠B的平分线与∠ACD的平分线交于点P。
求证：2∠P＝∠A．
【拓展研究】
在△ABC中，∠C＞∠B,AE平分∠BAC，F为射线AE上一点(不与点E重合）,且FD⊥BC于D;（1)如果点F与点A重合，且∠C=50°,∠B=30°,如图1,求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上(不与点A重合），如图2,问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
(3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．。