波尔振动的研究实验报告

d 2 d 2 2 0 h cos t 2 dt dt
其中 h M 0 I ，在稳态情况下，式（5）的解是
（5）
A cos(t )
其中 A 为角振幅，
（6）
A
h (02 2 )2 4 2 2
（7）
而角位移 与简谐外力矩之间的位相差 则可表示为
表格 4 不同阻尼电压下振动周期 5T（s）
次数 2v 4v
其中T = ∑
1 9.71 9.81
2 9.81 9.87
( )
3 9.87 9.90
∑
4 9.93 9.91
5 9.97 9.97
5T 平均值 9.858 9.892
标准误差 0.046 0.026
T/s 1.972 1.978
T , σ=
实验26 波尔振动的物理研究
实验人：程昌09327100 合作人：雷泽雨09327104 （理工学院光信息科学与技术专业） 实验日期：2011年4月1日 实验地点：基础实验室3号台
【实验目的】
1. 观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。 2. 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动， 描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线 （即 幅频特性曲线）。 3. 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线 （即相频特性曲线） 。 4. 分析波尔共振的相位和角速度的关系。
3. 计算机测控实验内容
此方法采用转动传感器（运动记录仪）和计算机自动采集和处理数据。将一条细线 的一端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个 2g 的砝码，使得 波尔摆转动时可以带动传感器转动，这样就可以通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速 度、和周期等一系列参数。 （1）实验开始时，在计算机里打开一个与数据采集器对应的软件（measure） 。在软 件的参数设置时， 同时选择角度和角速度， 软件就会在同一个坐标里画出扭摆的转动角度、 角速度和周期的样图，将样图和得到的数据存盘，存在“E:\学生实验数据\物理系”目录 里，自己建一个文件夹，以学号和学生姓名为子目录名，例如：033011200 张三。 （2）数据的导出：在 measure 菜单中选择 export data，里面的两个单选按钮都选 第二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再 点击 calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动 角度和角速度的相图。运行 Origin 软件，点击工具栏的 Import ASCII 按钮，打开刚才 存盘的数据文件，将第二列数据改成 X 坐标，再选定后面两列数据，点击“line” ，就可
【实验仪器】
扭摆（波尔摆）一套（PHYWE），秒表，数据采集器，转动传感器。
【实验原理】
1．扭摆的阻尼振动
在有阻力矩的情况下， 使扭摆由某一摆角开始做自由振动。 此时扭摆受到两个力矩的作 用：一是弹性恢复力矩 M 弹 ，它与摆的扭转角 成正比，即 M 弹＝c （c 为扭转系数） ；二 是阻力矩阻 M 阻 ，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即 M 阻＝ r 若扭摆的转动惯量为 I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程：
则

2．扭摆的受迫振动
A 1 ln 0 nT A
（4）
当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时， 就会作受迫振动。 设外加简谐力矩通 过弹簧加到摆轮上，其频率是 ，幅度为 M 0 （ M 0 c 0 ， 0 为外力矩角幅） ，且有
M 外＝M 0 cos t ，则扭摆的运动方程变为
(T − T)
由表格 4，标准误差较小，可认为测量数据较为准确。 在阻尼电压为 2v 时， 1 A 1 15 β = ln = × ln = 0.026 5T A 5 × 1.972 11.66 在阻尼电压为 4v 时， β = 1 A 1 15 ln = × ln = 0.100 5T A 5 × 1.978 5.56
2. 手工操作实验内容
（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。 （2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是 6V 和 8V 时候的阻尼因数β 。 （3）观察共振现象，测量在 6V 和 8V 阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。 幅频特性曲线：以 / 0 为横坐标，振幅 A 为纵坐标。 相频特性曲线：以 / 0 为横坐标，相位 为纵坐标。
20 0 -20 -40 -60
phase
-80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
w/w0
图3
2v 阻尼电压下受迫振动的相频特性曲线
2
表格 6 4v 阻尼电压下周期及 5T 后振幅（div）
5T/s
T
A/div 0.90 1.05 1.35 4.65 3.15 2.00 1.30 0.80
表格 3 不同阻尼电压下A (div)大小 A =15div
次数 2v 4v
其中A = ∑
1 11.6 5.6
A ,σ =
2 11.7 5.6
( )
3 11.7 5.5
∑ (A − A )
4 11.7 5.5
5 11.6 5.6
平均值A 11.66 5.56
标准误差σ 0.024 0.024
由于标准误差较小，可认为测量数据较为准确。所以在下面处理数据中均采用平均值。
所对应的 值。
【实验内容及步骤】
1．波尔共振实验注意事项
(1) 对电路有充分的认识，了解每一部分的作用（电流表、二极管等） 。电路所加的电流不 能超过 1A。 (2) 分析清楚自由振动、阻尼振动、受迫振动的区别：电路上怎么去区分这三种状态。 (3) 做受迫振动时，输出电压调到最大，则电机转速变化范围最大，有利于调出共振状态。
( )
其中标准误差σ =
∑
(15T − 15T)
由上述分析可见，各组数据的标准误差较小，可认为每组数据较为精确。
表格 2 不同初始振幅对应的周期及角频率
初始振幅/div T/s ω/(rad/s)
其中 T= ，ω =
15 1.9765 3.179
13 1.9784 3.176
11 1.9804 3.173
ω/rad 2.317 2.611 2.864 3.114 3.360 3.538 3.864 4.172
2 2
，即受迫振动的位相落后于外加简谐 2
， 而在 0 时 （有阻尼时不是共振状态） ， 2 位相才正好落后 ； 当 0 时， 有 tg 0 ， 此时 ， 即位相落后得更多； 当 0 2 2
时， 趋近 ，即接近于反位相。在已知 0 及 的情况下，则可由式（8）计算出各 值
arctan(
2 ) 2 02
（8）
式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是 A ，它的频 率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是 。 由式（7）可见，当 →0 时，振幅 A 接近外力矩角幅 0 （∵ h
2 2
M 0 c 2 0 0 ） ， I I
利用 Origin7.5 进行数据拟合。得到如下图像：
A Gauss fit of Data1_A
12
10
8
A/div
6
4
2
0 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
w/w0
图2
2v 阻尼电压下受迫振动的幅频特性
1
由于振动幅度并不能完全稳定下来，这里 A 的读数取近似稳定状态时的最大振幅。
9 1.9763 3.179
Hale Waihona Puke 观察表格中的角频率可发现， 自由振动时不同初始振幅下角频率基本相等。 详细分析如 下： （1）角频率平均值： ω= ∑ ω = × (3.179 + 3.176 + 3.173 + 3.179) =3.177 rad/s
（2）角频率标准误差： σ=
( )
∑
(ω − ω) =
2 2
其中 A0 为扭摆的初始振幅，T 为扭摆做阻尼振动的周期，且 2 T 0 。 由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅 A0 及第 n 个 周期时的振幅 An ，并测得摆动 n 个周期所用的时间 nT ，则有
A0 A0 exp( nT ) A A0 exp( nT )
可见，阻尼电压增大，阻尼系数也增大。 另外值得注意的是，这里计算阻尼系数并没有采用公式ω = ω − β ，因为在该公式 里ω 和ω都并不是直接测量值，而是通过测量 T 进而计算得到，存在误差累积，再次计算阻 尼系数会存在加大误差。而上面计算过程中的公式则直接利用了测量值，减少误差累积。因 而不采用公式ω = ω −β 。
3.共振现象及受迫振动的幅频特性和相频特性
表格 5 2v 阻尼电压下周期及 5T 后振幅（div）
1
5T/s 13.56 11.94 10.40 10.09 10.00 9.56 8.93 7.65
其中ϕ = arctan (
T 2.712 2.388 2.080 2.018 2.000 1.912 1.786 1.530
表格 1 不同初始振幅对应的 15 个周期时间
初始振幅/div 1 2 3 4 5 平均值 标准误差
15
13
11
9
29.62 29.66 29.69 29.78 29.69 29.65 29.68 29.62 29.68 29.69 29.72 29.6 29.65 29.75 29.69 29.53 29.6 29.63 29.75 29.69 29.648 29.676 29.706 29.644 0.017146 0.020881 0.012884 0.042497