2021年高等数学课件-第十一次课 20环境工程一本40(56)人
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高数第十一章课件第一节
课件目录
课程简介
课程目标
课程内容
课程安排
课程考核
参考资料
课件简介
主题：高数第十一 章课件第一节
内容：介绍高数第 十一章的基本概念、 定理和公式
目的：帮助学生理 解高数第十一章的 内容，提高学习效 率
适用人群：高数第 十一章的学习者
课件内容
第三章
知识点梳理
极限的四则运算法则
函数极限的定义和性质
高数第十一章课件 第一节
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 课件概览 03 课件内容 04 课件特色
05 课件使用建议
单击添加章节标题
第一章
课件概览
第二章
课件封面
● 课程名称：高数第十一章课件第一节
● 授课教师：XXX
● 授课时间：XXXX年XX月XX日
● 课程内容： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
高中数学第一章导数及其应用第11课时定积分的概念课件新人教A版选修2
3
2
矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin23π
＝π3－ 43，
S矩形＝|AB|·|BC|＝2× 23×12＝ 23，
3
∴ 2
1－x2dx＝π3－
43＋
23＝π3＋
3 4.
3
2
a
a
拓展三：|bf(x)dx|≤b|f(x)|dx.
a
a
拓展四(估值定理)：设函数f(x)在区间[a，b]上的最小值与最大值
分别为m与M，则m(b－a)≤
bf(x)dx≤M(b－a)．
a
证明：因为m≤f(x)≤M，
由拓展二得bmdx≤bf(x)dx≤bMdx，
a
a
a
即mb1dx≤bf(x)dx≤Mb1dx.
12(3x＋2)dx＝nli→m∞Sn＝nli→m∞ 123－23n＝123.
考点二 利用定积分的几何意义求定积分 例2 2( 4－x－22－x)dx＝________.
0
解析： 2 0
的14，
4－x－22 dx表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积
即2 0
4－x－22dx＝14×π×22＝π.
间[a，b]上以|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积；而
|bf(x)dx|则是bf(x)dx的绝对值，三者的值一般是不相同的．
a
a
2．定积分的性质拓展：
拓展一：若在区间[a，b]上，f(x)≥0，则
bf(x)dx≥0.
a
拓展二：若在区间[a，b]上，f(x)≤g(x)，则
bf(x)dx≤bg(x)dx.
分之一圆的面积，如图的阴影部分，
∴3 -2
16＋16x－x2·dx＝14·π·52＝245π.
高等数学课件详细
分学
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
多元微积分的应用实例
物理学：描述物理现象，如流体力学、电磁学等 工程学：解决工程问题，如结构分析、控制系统设计等 经济学：分析经济模型，如市场均衡、最优化问题等 计算机科学：用于图像处理、机器学习等领域
无穷级数与常微分
07
方程
无穷级数的概念和性质
性质：收敛性、发散 性、绝对收敛性、条
件收敛性等
数
常微分方程的概念和分类
常微分方程：描述函数在某点或某区 间上的变化规律的方程
一阶常微分方程：只含有一个未知函 数和一个自变量的方程
二阶常微分方程：含有两个未知函数 和两个自变量的方程
高阶常微分方程：含有多个未知函数 和多个自变量的方程
线性常微分方程：未知函数和自变量 之间的关系是线性的方程
非线性常微分方程：未知函数和自变 量之间的关系是非线性的方程
常微分方程的基本解法与实例
基本解法：分离变量法、积分因子法、常数变易法等 实例：求解一阶线性常微分方程、求解二阶线性常微分方程等 应用：在物理、化学、生物等领域有广泛应用 难点：求解高阶常微分方程、求解非线性常微分方程等
微分方程的应用实例
生物：描述生物种群增长、 生态平衡等现象
化学：描述化学反应速率、 物质扩散等现象
06
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限：定义、性质、计算方法 多元函数的连续性：定义、性质、判断方法 多元函数的可微性：定义、性质、判断方法 多元函数的可导性：定义、性质、判断方法 多元函数的可积性：定义、性质、判断方法 多元函数的积分：定义、性质、计算方法
偏导数与全微分
性质。
函数连续性的 性质：连续函 数具有局部有 界性、局部保 号性、局部保 序性等性质。
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
点击此处输入
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2
第十一章 线性代数
高等数学(完整版)详细(课堂PPT)
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
高等数学课件完整版
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
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所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第7页/共175页
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
x0 1
第19页/共175页
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 .
三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x 1 x2 2
( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nbn1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
第6页/共175页
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
高等数学课件 完整版 详细
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
.
导数与微分
14
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
导数与微分
t0 t
t
1
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
导数与微分
播放 8
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
y f (x)
T
M
x0
x
高等数学课件详细
导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
高等数学课件
微积分在力学中的应用： 解决力学问题，如牛顿第 二定律、能量守恒等
微积分在电学中的应用： 解决电学问题，如电场强 度、电势等
微积分在热力学中的应用： 解决热力学问题，如热传 导、热对流等
微积分在光学中的应用： 解决光学问题，如折射率、 反射率等
微积分在声学中的应用： 解决声学问题，如声速、 声压等
微积分在材料科学中的应 用：解决材料科学问题， 如应力、应变等
傅里叶变换与拉 普拉斯变换的关 系：傅里叶变换 是拉普拉斯变换 的特殊情况，当 s=jω时，傅里 叶变换等于拉普 拉斯变换
傅里叶变换与拉 普拉斯变换的应 用：信号处理、 控制系统分析、 图像处理等领域
05
高等数学解题方法
代数法与因式分解法
代数法：通过代数运算求解问题的方法， 包括解方程、解不等式等
导数与微分
导数：函数在某一点的切线斜率 微分：函数在某一点的增量 导数与微分的关系：导数是微分的极限 导数的计算方法：极限法、导数公式、导数表等 微分的计算方法：微分公式、微分表等 导数与微分的应用：求极限、求导数、求微分等
不定积分与定积分
不定积分：求导数的逆运算，用于求解微分方程 定积分：求函数在某一区间上的面积，用于求解物理问题 积分公式：牛顿-莱布尼茨公式，用于求解不定积分 积分技巧：换元法、分部积分法、积分表等，用于求解定积分
高等数学课件完整版
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目录
01 03 05
单击添加目录项标题
02
高等数学基础知识
04
高等数学解题方法
06
高等数学概述 高等数学核心内容 高等数学实际应用案例
01
添加章节标题
02
高等数学概述
高等数学的定义
《大学高数》课件
不定积分的性质、不定积分的计算方法（换 元法、分部积分法等）。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
大一高数ppt课件
VS
向量的模
在空间直角坐标系中，向量$vec{a}$的模 为$sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$。 06多项式函数与插值法
多项式函数的性质
代数性质
多项式函数具有加法、减法、乘法和除法的 代数性质，可以按照这些性质进行多项式函 数的运算。
最高次项系数
多项式的最高次项系数是多项式函数的一个重要性 质，它决定了多项式函数的开口方向和大小。
常积分。
反常积分的性质
反常积分具有与普通定积分相似的性 质，如线性性质、区间可加性等。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，需要采用 不同的计算方法，如利用极限思想、
分部积分法、换元积分法等。
05
空间解析几何
向量代数基础
01 02
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即对于任意向量$vec{a}$、$vec{b}$和 $vec{c}$，有$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$和$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$。
高数是许多学科领域的基础，如物理 、工程、经济等，掌握高数知识对于 后续专业课程的学习至关重要。
高数课程的学习目标
01
掌握高等数学的基本概念、定理和公式，理解其数学意义和实 际应用。
02
学会运用高数知识解决实际问题，培养分析问题和解决问题的
能力。
培养自主学习和终身学习的能力，形成良好的学习习惯和思维
空间点的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点$P$的位置由三个实数 $x$、$y$和$z$确定，这三个实数称为点$P$的坐标。
高等数学第十一章第三节格林公式课件.ppt
3. 计算
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
next
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1
L
2
Pdx
Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
• 对光滑曲线弧
f (x, y) ds
f [ (t ), (t )]
L
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
next
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1
L
2
Pdx
Qd
y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
Pdx Qdy
B
Pdx Qdy
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
2021年高等数学课件-第十一次课 20机器人一本1、2班70(101)人
第十一次课 20机器人一本1、2班70（101）人 ① 微分中值定理之费马引理② 罗尔中值定理③ 拉格朗日中值定理及其应用④ 柯西中值定理⑤ 泰勒中值定理----------------+-费马引理：可导函数的极值点的导数为零.()()()()()()()()()()0000000000000()(),,:lim 00lim 0x x x x f x f x x x f x proof f x f x f x x x f x f x f x f x f x x x -→--++→+'≤∈∃⎫-'=≥⎪-⎪''⇒==⎬-⎪'=≤⎪-⎭------------罗尔中值定理：()[]()()()()()() 1.,..;2.,.;,0.3.f x on a b c t f x in a b diff a b f f a f b ξξ⎫⎪'⇒∃∈∍=⎬⎪=⎭最值点在区间的内部一定是极值点.思考：()()()()()()12342020f x x x x x x =----- ()()1000?0f x =的根有几个？ ()[]()()()()()() 54:1).51,0,1010,1300,1,02).550,..0,12)c t proof f x x x on f f f f x x x ξξ=-+=>=-<⇒∃∈∍='⎡⎤=-<∈⎣⎦----------------------'拉格朗日中值定理 ()[]()()()()()()()()()()1.,..;,.2.,.;f x on a b c t f b f a a b f b a f x in a b diff f b f a f b a ξξξ⎫-⎪'⇒∃∈∍=⎬'-=-⎪-⎭()[]()()()()()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()() 1.,..;,.2.,.;:sup 1.,..;2.,.;,03.0=f x on a b c t f b f a a b f b a f x in a b diff f b f a proof H x f x xb a H x on a bc t H x in a b diff a b H H a H b f b f a f b H f f b a ξξξξξξξ⎫-⎪'⇒∃∈∍=⎬-⎪⎭--------------------------=--⎫⎪'⇒∃∈∍=⎬⎪=⎭-'''=-=⇒-()()()()()()()()()()()()()()0f a b af b f a f b f a H a H b f a a f b b b ab a f b f a f a f b b a b a-----------------------------------=--+---=-+-=- ()()()()()()()()()()()()()()()(),0,1,0,1)..,2.=,.3).=011a b a a b a f b f a f a b b af b f a f b a a b f b f a f b a ab a θθξθξξξξξθθ-'=∈-'--<<'-+-∈=+--<=-<-∈⇒有限增量公式） 基本应用之一：如果函数在某区间上导函数恒等于零，则函数是常数函数. 证明恒等式的方法：()()() arcsin arccos 2:0,.2arcsin arccos 2222f x x x proof f x f x C f ππ=+≡'=-≡∴=⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭基本应用之二：利用拉格朗日中值定理证明不等式：基本原理：()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1.,..;.3.,2,;,,..f b f a f b a f x f f f f b a f b f a f b a f b a if f x f f f f b a f b f a f b f x on a b c t a b f x in a b diff a f a b a b a b a b b a ξξξξξξ'-=------------------''''<<'''-<⎫⎪⇒-=-<-''''>>'''->-=-∃∈∍⎬⎪⎭>-()()()()()()[]()()()()()()()111111111,0,1sup 11.,.,2.,.,,n n n n n n n n n n n n n n n n nb a b a b na a b a b n f x x n f x on b a c t b a f x in b a diff f x n a b n a b nb n na nb a b a b na a b x ξξξξ----------<-<->>>--------------=>⎫⎪⇒∃-=-<<-<-<<<∍⎬⎪⎭'=- 证明()()[][]()()()()()()()()() 2arctan arctan :arctan ,,.,,,,,.1arctan arctan 1a b a bproof f x xf x on a b b a c t a b b a f x in a b b a diff a b a b a b ξξ-≤-=⎫⎪⇒∃∈∍⎬⎪⎭-=-≤-+。
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微分本质：局部函数线性化函数值的相对增量 dy f x x 。
切线贴近函数曲线时近似函数的增量. 导数本质：相对变化快慢（速度） 微分的计算：
dy f x dx df x f x dx
y arcsin x
1
dy d arcsin x
1 dx
1 x 2 2 x
计算公式：16 个
微分中值定理 费马引理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理（泰勒公式） -------------------------------+ 可导函数的极值点的导数为零.
f x0 f x x x0 , ,
f x0
f f x0Βιβλιοθήκη x0lim x x01
1 ln cos e x2
1 2 cos e x2 d
cos e x2
1
1 ln cosex2
1 2 cos e x2
sin e x2
d
e x2
1
1 ln cos e x2
1 2 cos e x2
sin e x2
e x2 2 xdx
函数的一次线性逼近 （局部线性化）
d sin x cos xdx
d cos x sin xdx
d
arctan
x
1
1 x2
dx
d sec x sec x tan xdx
d cot x csc2 xdx
四则运算规则：
d
u v
vdu udv v2
微分的形式不变性：
y f uisdiff ., u g xisdiff . y f g x
f 29 f 30 f 30 1
sin 30 cos 30 = 1 3 =...... 180 2 2 180
sin 29
y5 x
f 245 f 243 f 243 2
5 243 1 2 3 2 ....
5 5 2434
5 81
5 245
近似计算增量：
lim x x0
f f
x
x
x
x
f
x0
f
x0
x0 x0
0
0
f
x0
f
x0
0
罗尔中值定理：
1. f xona, bc.t.
2. f
xina,bdiff
.
a, b ,
f
0
3. f a f b
f x x 1 x 2 x 3 x 4 x 2020 的 f 1000 x 有多少零点？
dy du
f
u
gx
u gx x dx
x
dx
dy
f
u
u
du
dy
f
u
u
gx
x
dx
dy yudu yxdx ytdt y牛 d牛
y arctan ln cos ex2 ,dy ______ .
dy
1
1 ln cosex2
2 d ln cos e x2
第十一次课 ① 微分的几何意义 ② 微分计算公式计算法则 ③ 函数的一次线性近似 ④ 微分的近似计算应用 ----------------------------------+
dy f x0 x
dy f x dx
dy f x 微商
dx x x dx 1 x 张三的打字速度是李四的 3 倍，李四打了 10 个字，张三打字 30=3*10. 自变量的增量等于自变量的微分.
y dy f x0 x f x f x0 f x0 x x0 ：函数一次线性逼近. f x f x0 f x0 x x0 x0 0
f x f 0 f 0 x
f x f 0 f 0 x
sin x sin 0 cos 0x x y x
tan x tan 0 sec2 0x x y x
1
arcsin x arcsin 0
x x y x
1 02
1 x 1 0 1 01 x 1 x1 x 1 x
1 1 x 1 x 用切线贴到函数曲线.用切线替代函数曲线. 近似计算： 近似计算函数值：
f x sin x