【非】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档基础案第1章
【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学1轮总复习 第1章 集合与常用逻辑用语课时训练 理
第|一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念1. (2021·南通一模)集合A ＝{x|x≥3}∪{x|x＜－1} ,那么∁R A ＝________． 答案：[－1 ,3)解析：∁R A ＝[－1 ,3)．2. (2021·苏北三市期末)集合A ＝{2＋ a ,a} ,B ＝{－1 ,1 ,3} ,且A B ,那么实数a 的值是________．答案：1解析：由题设a ＝1 ,2＋a ＝3 ,从而a ＝1.3. 集合A ＝{－1 ,1} ,B ＝{m|m ＝x ＋y ,x ∈A ,y ∈A} ,那么集合B ＝________． 答案：{－2 ,0 ,2}解析：因为x∈A ,y ∈A ,所以x ＋y ＝－2 ,0或2 ,所以集合B ＝{－2 ,0 ,2}．4. A ＝{x|x 2－2x －3≤0} ,假设实数a∈A ,那么a 的取值范围是________． 答案：[－1 ,3]解析：由条件知a 2－2a －3≤0 ,从而a ∈[－1 ,3]．5. A ＝{1 ,2 ,3} ,B ＝{x∈R |x 2－ax ＋1＝0 ,a ∈A} ,那么B A 时 ,a ＝________． 答案：1或2解析：验证a ＝1时B ＝满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件．6. 集合A ＝{x|x 2＋mx ＋1＝0} ,假设A 只有一个子集 ,那么实数m 的取值范围是____________．答案：[0 ,4)解析：由题意 ,A ＝ ,∴ Δ＝(m)2－4＜0 ,∴ 0≤m ＜4. 7. 假设集合{x|ax 2＋2x ＋1＝0}与集合{x 2－1＝0}的元素个数相同 ,那么实数a 的取值集合为__________．答案：{0 ,1}解析：∵ 集合{x 2－1＝0}的元素个数为1 ,∴ 方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个实数解．∴ a＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a≠0Δ＝0 即a ＝0或1.8. 集合A ＝{x|log 2x ≤2} ,B ＝(－∞ ,a) ,假设A B ,那么实数a 的取值范围是(c ,＋∞) ,其中c ＝________．答案：4解析：A ＝{x|0<x≤4} ,B ＝(－∞ ,a) ,A B ,故c ＝4.9. (2021·江苏检测)集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0} ,集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1} ,且B A ,那么实数m 的取值范围是____________．答案：m≤3解析：由 ,集合A ＝{x|－2≤x≤5} ,因为B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1} ,且B A ,所以当B ＝时 ,有m ＋1>2m －1 ,即m<2时 ,符合题意；当B≠时 ,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1 －2≤m＋1 2m －1≤5解得2≤m≤3.综上得实数m 的取值范围是m≤3.10. (2021·宁夏月考改)设集合S n ＝{1 ,2 ,3 ,… ,n} ,假设x 是S n 的子集 ,把x 中的所有数的乘积称为x 的容量(假设x 中只有一个元素 ,那么该元素的数值即为它的容量 ,规定空集的容量为0)．假设x 的容量为奇(偶)数 ,那么称x 为S n 的奇(偶)子集．假设n ＝4 ,求S n 的所有奇子集的容量之和．解：由奇子集的定义可知：奇子集一定是S n 中为奇数的元素构成的子集．由题意可知 ,假设n ＝4 ,S n 中为奇数的元素只有1 ,3 ,所有奇子集只有3个 ,分别是{1} ,{3} ,{1 ,3} ,那么它们的容量之和为1＋3＋1×3＝7.11. (2021·如皋中学期中)集合A ＝{x|1－x x －7＞0} ,B ＝{x|x 2－2x －a 2－2a ＜0}．(1) 当a ＝4时 ,求A∩B；(2) 假设A B ,求实数a 的取值范围． 解：(1) A ＝{x|1<x<7} ,当a ＝4时 ,B ＝{x|x 2－2x －24＜0}＝{x|－4＜x ＜6} , ∴ A ∩B ＝(1 ,6)．(2) B ＝{x|(x ＋a)(x －a －2)<0} ,① 当a ＝－1时 ,B ＝ ,∴ A B 不成立；② 当a ＋2>－a ,即a>－1时 ,B ＝(－a ,a ＋2) ,∵ A B ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－a≤1a ＋2≥7 解得a≥5；③ 当a ＋2<－a ,即a<－1时 ,B ＝(a ＋2 ,－a) , ∵ A B ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤1－a≥7 解得a≤－7.综上 ,实数a 的取值范围是(－∞ ,－7]∪[5 ,＋∞)．第2课时 集合的根本运算1. (2021·南师附中冲刺)设集合A ＝{x|－1＜x ＜2} ,B ＝{x|0＜x ＜4 ,x ∈N } ,那么A∩B＝________．答案：{1}解析：A 、B 的公共元素是1 ,∴ A ∩B ＝{1}．2. 集合P ＝{－1 ,m} ,Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x<34.假设P∩Q≠ ,那么整数m ＝________．答案：0解析：m∈Q ,即－1<m<34,而m∈Z ,∴ m ＝0.3. (2021·苏锡常镇一模)集合A ＝{1 ,2 ,3 ,4} ,B ＝{m ,4 ,7}．假设A∩B＝{1 ,4} ,那么A∪B＝________．答案：{1 ,2 ,3 ,4 ,7}解析：由A∩B＝{1 ,4} ,知m ＝1 ,从而A∪B＝{1 ,2 ,3 ,4 ,7}．4. 集合A ＝{(0 ,1) ,(1 ,1) ,(－1 ,2)} ,B ＝{(x ,y)|x ＋y －1＝0 ,x 、y∈Z } ,那么A∩B＝________．答案：{(0 ,1) ,(－1 ,2)} 解析：A 、B 都表示点集 ,A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合 ,代入验证即可．5. 集合A ＝{1 ,3 ,m} ,B ＝{1 ,m} ,A ∪B ＝A ,那么m ＝________． 答案：0或3解析：∵ A∪B＝A ,∴ B A.又A ＝{1 ,3 ,m} ,B ＝{1 ,m} ,∴ m ＝3或m ＝m.由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性 ,故舍去 ,故m ＝0或m ＝3.6. (原创)集合A ＝{x|k π＋π4≤x ≤k π＋π ,k ∈Z } ,B ＝{x|－2≤x≤2} ,那么集合A∩B＝________．答案：[－2 ,0]∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 2解析：由集合A ＝…∪[－π＋π4 ,－π＋π]∪[π4 ,π]∪[π＋π4,π＋π]∪… ,B＝{x|－2≤x≤2} ,利用数轴表示易得A ∩B ＝[－2 ,0]∪[π4,2]．7. 集合A ＝{y|y ＝－x 2＋2x} ,B ＝{x||x －m|<2 015} ,假设A∩B＝A ,那么m 的取值范围是________．答案：(－2 014 ,2 015)解析：集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域 ,由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1 ,可得0≤y≤1 ,故A ＝[0 ,1]．集合B 是不等式|x －m|<2 015的解集 ,解得m －2 015<x<m ＋2 015 ,所以B ＝(m －2 015 ,m ＋2 015)．因为A∩B＝A ,所以A B.如图 ,由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m －2 015<0m ＋2 015>1解得－2 014<m<2 015.8. 给定集合A ,假设对于任意a 、b∈A ,有a ＋b∈A ,且a －b∈A ,那么称集合A 为闭集合 ,给出如下三个结论：① 集合A ＝{－4 ,－2 ,0 ,2 ,4}为闭集合； ② 集合A ＝{n|n ＝3k ,k ∈Z }为闭集合；③ 假设集合A 1、A 2为闭集合 ,那么A 1∪A 2为闭集合． 其中正确的结论是________．(填序号) 答案：②解析：－4＋(－2)＝－6 A ,所以①不正确；设n 1、n 2∈A ,n 1＝3k 1 ,n 2＝3k 2 ,k 1、k 2∈Z ,那么n 1＋n 2∈A ,n 1－n 2∈A ,所以②正确；令A 1＝{x|x ＝2k ,k ∈Z } ,A 2＝{x|x ＝3k ,k ∈Z } ,那么A 1、A 2为闭集合 ,但A 1∪A 2不是闭集合 ,所以③不正确．9. (2021·济南模拟)集合A ＝{－1 ,1} ,B ＝{x|ax ＋1＝0} ,假设B A ,那么实数a 的所有可能取值组成的集合为______________．答案：{－1 ,0 ,1}解析：假设a ＝0 ,B ＝ ,满足B A ；假设a≠0 ,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ,∵ B A ,∴ －1a ＝－1或－1a＝1 ,∴ a ＝1或a ＝－1.∴ a＝0或a ＝1或a ＝－1组成的集合为{－1 ,0 ,1}．10. (2021·启东检测)集合A ＝{x|x 2－2x －3>0} ,B ＝{x|x 2－4x ＋a ＝0 ,a ∈R }． (1) 存在x∈B ,使得A∩B≠ ,求a 的取值范围； (2) 假设A∩B＝B ,求a 的取值范围．解：(1) 由题意得B≠ ,故Δ＝16－4a≥0 ,解得a≤4. ①令f(x)＝x 2－4x ＋a ＝(x －2)2＋a －4 ,对称轴为x ＝2 , ∵ A ∩B ≠ ,又A ＝(－∞ ,－1)∪(3 ,＋∞) , ∴ f(3)<0 ,解得a<3. ②由①②得a 的取值范围为(－∞ ,3)． (2) ∵ A∩B＝B ,∴ B A.当Δ＝16－4a<0 ,即a>4时 ,B 是空集 ,这时满足A∩B＝B ； 当Δ＝16－4a≥0时 ,a ≤4. ③令f(x)＝x 2－4x ＋a ,对称轴为x ＝2 , ∵ A ＝(－∞ ,－1)∪(3 ,＋∞)≠ , ∴ f(－1)<0 ,解得a<－5. ④ 由③④得a<－5.综上得a 的取值范围为(－∞ ,－5)∪(4 ,＋∞)．11. 集合A ＝{y|y ＝－2x ,x ∈[2 ,3]} ,B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a ＞0}． (1) 当a ＝4时 ,求A∩B；(2) 假设A∩(∁R B)＝ ,求实数a 的取值范围．解：(1) A ＝[－8 ,－4] ,当a ＝4时 ,B ＝(－∞ ,－7)∪(4 ,＋∞)．由数轴图得A∩B ＝[－8 ,－7)．(2) ∵ A∩(∁R B)＝ ,∴ A B.又方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ,－a －3 ,① 当a ＝－a －3时 ,即a ＝－32时 ,B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －32∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 ＋∞ ,满足A B ；② 当a<－32时 ,a<－a －3 ,B ＝(－∞ ,a )∪(－a －3 ,＋∞) ,那么a>－4或－a －3<－8 ,得－4<a<－32 ,满足A B ；③ 当a>－32时 ,a>－a －3 ,B ＝(－∞ ,－a －3)∪(a ,＋∞) ,那么a<－8或－a －3>－4 ,得－32<a<1 ,满足A B.综上所述 ,实数a 的取值范围是(－4 ,1)．第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1. (2021·南京调研)命题 "x ∈R ,x 2－2x ＋2＞0”的否认是______________．答案：x ∈R ,x 2－2x ＋2≤0解析：根据全称命题的否认是存在性命题可得答案．2. (2021·九江一模改)命题 "假设x 2＞y 2,那么x>y 〞的逆否命题是______________．答案： "假设x≤y ,那么x 2≤y 2”解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 "假设x 2>y 2,那么x>y 〞的逆否命题是 "假设x≤y ,那么x 2≤y 2”．3. 方程x 2k ＋1＋y2k －5＝1表示双曲线的充要条件是k∈____________．答案：(－1 ,5)解析：方程x 2k ＋1＋y2k －5＝1表示双曲线的充要条件是(k ＋1)(k －5)＜0 ,解得－1<k<5.4. (2021·南京、盐城一模)设函数f(x)＝cos(2x ＋φ) ,那么 "f(x)为奇函数〞是 "φ＝π2〞的__________(填 "充分不必要〞 "必要不充分〞 "充要〞或 "既不充分也不必要〞)条件．答案：必要不充分解析：必要性 ,当φ＝π2时 ,f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ,它为奇函数；而当φ＝π2＋2π时 ,f(x)＝cos(2x ＋φ)可化为f(x)＝－sin2x ,也是奇函数 ,所以充分性不成立 ,故应填必要不充分．5. 命题p ：假设实数x 、y 满足x 2＋y 2＝0 ,那么x 、y 全为零．命题q ：假设a>b ,那么1a <1b.．(填序号) 答案：②④解析：命题p 为真命题．假设a ＝2>b ＝－1 ,而1a ＝12>1b＝－1 ,命题q 为假命题．由真值表可知 , p 或q 、非q 为真命题．6. (2021·中华中学调研)命题p ： x ∈R ,使sinx ＝52；命题q ：x ∈R ,都有x2＋x ＋1＞0.给出以下命题：① 命题 "p∧q〞是真命题；② 命题 "p∧(q)〞是假命题； ③ 命题 "(p)∨q〞是真命题；④ 命题 "(p)∨(q)〞是假命题． 其中正确的选项是__________．(填序号) 答案：②③解析：由 ,p 假q 真 ,由真值表知 ,正确命题为②③.7. (2021·扬州中学月考)设f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1) ,那么对任意实数a 、b , "a ＋b≥0”是 "f(a)＋f(b)≥0”的____________(填 "充分不必要〞 "必要不充分〞 "充要〞或 "既不充分也不必要〞)条件．答案：充要解析：∵ f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1) ,∴ f(－x)＝－x 3＋lg(－x ＋x 2＋1)＝－x 3＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 2＋1＝－x 3－lg(x ＋x 2＋1)＝－f(x) ,∴ f(x)是奇函数．又可证f(x)＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1)是增函数 ,由a ＋b≥0得a≥－b ,∴ f (a)≥f(－b) ,即f(a)≥－f(b) ,∴ f(a)＋f(b)≥0 ,反之也成立．故 "a ＋b≥0”是 "f(a)＋f(b)≥0”的充要条件．8. 假设存在实数x ,使得x 2－4bx ＋3b<0成立 ,那么b 的取值范围是________．答案：(－∞ ,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34 ＋∞解析：由题意知只需满足相应方程x 2－4bx ＋3b ＝0的判别式Δ>0 ,那么4b 2－3b>0 ,解得b<0或b>34.9. 写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题 ,并判断其真假． (1) 全等三角形一定相似；(2) 末位数字是零的自然数能被5整除．解：(1) 逆命题：假设两个三角形相似 ,那么它们全等 ,为假命题；否命题：假设两个三角形不全等 ,那么它们不相似 ,为假命题；逆否命题：假设两个三角形不相似 ,那么它们不全等 ,为真命题．(2) 逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零 ,为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除 ,为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零 ,为真命题.10. 设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0 ,条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0 ,假设綈p 是綈q的充分不必要条件 ,求实数a 的取值范围．解：条件p 为12≤x ≤1 ,条件q 为a≤x≤a＋1. p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>1或x<12 ,q 对应的集合B ＝{x|x>a ＋1或x<a}．∵ p 是q 的充分不必要条件 ,∴ B 真属于A ,∴ a ＋1>1且a≤12或a ＋1≥1且a<12.∴ 0≤a ≤12.故a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12.11. 集合A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0} ,集合B 为函数y ＝x 2－2x ＋a 的值域 ,集合C ＝{x|x 2－ax －4≤0} ,命题p ：A ∩B ≠；命题q ：A C.(1) 假设命题p 为假命题 ,求实数a 的取值范围； (2) 假设命题p∧q 为真命题 ,求实数a 的取值范围．解：(1) A ＝[1 ,2] ,B ＝[a －1 ,＋∞) ,假设p 为假命题 ,那么A∩B＝ ,故a －1>2 ,即a>3.故a 的取值范围为(3 ,＋∞)．(2) 假设命题p∧q 为真命题 ,那么p 和q 都为真命题．命题p 为真 , ,即转化为当x∈[1 ,2]时 ,f(x)＝x 2－ax －4≤0恒成立．(解法1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1 )＝1－a －4≤0f (2 )＝4－2a －4≤0 解得a≥0.(解法2)当x∈[1 ,2]时 ,a ≥x －4x 恒成立 ,而x －4x 在[1 ,2]上单调递增 ,故a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x max＝0. 综上 ,a 的取值范围为[0 ,3]．。
【非】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档基础案 第8章解析
第1节磁场及其对电流的作用[精题对点诊断]1．[磁感线的特点]下列关于磁场和磁感线的描述中正确的是()A．磁感线可以形象地描述各点磁场的方向B．磁感线是磁场中客观存在的线C．磁感线总是从磁铁的N极出发，到S极终止D．实验中观察到的铁屑的分布就是磁感线【解析】磁感线可以形象地描述磁场的强弱和方向，但它不是客观存在的线，可用细铁屑模拟；在磁铁外部磁感线由N极到S极，但内部是由S极到N极，故只有A正确．【答案】 A2．[认识地磁场]19世纪20年代，以塞贝克(数学家)为代表的科学家已认识到：温度差会引起电流，安培考虑到地球自转造成了太阳照射后正面与背面的温度差，从而提出如下假设：地球磁场是由绕地球的环形电流引起的．则该假设中的电流方向是(注：磁子午线是地球磁场N极与S极在地球表面的连线) ()A．由西向东垂直磁子午线B．由东向西垂直磁子午线C．由南向北沿磁子午线D．由赤道向两极沿磁子午线【解析】如图所示，考虑地球的自转方向，利用安培定则可以判定磁场是由东向西的环形电流产生的，故选项B 正确．【答案】 B3．[应用安培定则]下列四图为电流产生磁场的分布图，正确的分布图是()图8－1－1A．①③B．②③C．①④D．②④【解析】由安培定则可以判断出直线电流产生的磁场方向，①正确、②错误；③和④为环形电流，注意让弯曲的四指指向电流的方向，可判断出④正确、③错误．故正确选项为C.【答案】 C4．[左手定则]在图中，标出磁场B的方向，通电直导线中电流I的方向，以及通电直导线所受磁场力F的方向，其中正确的是()【解析】根据左手定则，A错误、C正确．电流与磁感线平行时，通电直导线不受安培力，B错误．安培力的方向应和磁感线垂直，D错误．【答案】 C5．[磁通量与条形磁铁的磁场]如图8－1－2所示，条形磁图8－1－2铁竖直放置，一水平圆环从磁铁上方位置Ⅰ向下运动，到达磁铁上端位置Ⅱ，套在磁铁上到达中部Ⅲ，再到磁铁下端位置Ⅳ，再到下方Ⅴ.磁铁从Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ→Ⅴ过程中，穿过圆环的磁通量变化情况是()A．变大，变小，变大，变小B．变大，变大，变小，变小C．变大，不变，不变，变小D．变小，变小，变大，变大【解析】从条形磁铁磁感线的分布情况看，穿过圆环的磁通量在位置Ⅲ处最大，所以正确选项为B.【答案】 B[基础知识回顾]一、磁场、磁感强度1．磁场(1)基本特性：磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有磁场力的作用．(2)方向：小磁针的N极所受磁场力的方向．2．磁感线在磁场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟该点的磁感应强度的方向一致．3．磁体的磁场和地磁场4．磁感应强度(1)物理意义：描述磁场强弱和方向．(2)定义式：B＝FIL(通电导线垂直于磁场)．(3)方向：小磁针静止时N极的指向．(4)单位：特斯拉(T)5．匀强磁场(1)定义：磁感应强度的大小处处相等、方向处处相同的磁场称为匀强磁场．(2)特点匀强磁场中的磁感线是疏密程度相同的、方向相同的平行直线．6．电流的磁场二、磁通量1．概念在磁感应强度为B的匀强磁场中，与磁场方向垂直的面积S和B的乘积．2．公式：Φ＝BS.(匀强磁场且B⊥S)3．单位：1 Wb＝1_T·m2.三、磁场对电流的作用——安培力1．安培力的大小(1)当磁场B与电流垂直时：F＝BIL.(2)当磁场B与电流平行时：F＝0.2．安培力的方向(1)用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内．让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向．(2)安培力的方向特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B和I 决定的平面．[基本能力提升]一、判断题(1)磁场中某点磁感应强度的大小，跟放在该点的试探电流元的情况有关. (×)(2)磁场中某点磁感应强度的方向，跟放在该点的试探电流元所受磁场力的方向一致.(×)(3)垂直磁场放置的线圈面积减小时，穿过线圈的磁通量一定减小．(×)(4)磁感线越密，磁场越强. (√)(5)通电导线放入磁场中，若不受安培力，说明该处磁感应强度为零. (×)(6)安培力一定不做功．(×)二、非选择题如图8－1－3所示，光滑的平行导轨倾角为θ，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨中接入电动势为E、内阻为r的直流电源，电路中有一阻值为R的电阻，其余电阻不计，将质量为m、长度为L的导体棒呈水平放于导轨上，并将导体棒由静止释放，求导体棒在释放的瞬间加速度的大小．图8－1－3【解析】从b向a看，画出侧视图受力如图所示，导体棒受重力mg、支持力FN和安培力F，由牛顿第二定律：mgsin θ－Fcos θ＝ma①F＝BIL②I＝ER＋r③由①②③式可解得a＝gsin θ－LBEcos θm(R＋r)【答案】gsin θ－LBEcos θm(R＋r)第2节磁场对运动电荷的作用[精题对点诊断]1．[洛伦兹力的理解]带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是()A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B．如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变【解析】因为洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关，如当粒子速度与磁场垂直时F＝qvB，当粒子速度与磁场平行时F＝0.又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以A项错误；因为＋q改为－q 且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F＝qvB知大小不变，所以B项正确；因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C项错误；因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D项错误．【答案】 B2．[洛伦兹力的方向判断](多选)如下图所示，对应的四种情况中，对各粒子所受洛伦兹力的方向的描述，其中正确的是()A．垂直于v向右下方B．垂直于纸面向里C．垂直于纸面向外D．垂直于纸面向外【解析】由左手定则可判断：A图中洛伦兹力方向垂直于v向左上方，B图中洛伦兹力垂直于纸面向里，C图中垂直于纸面向里，D图中洛沦兹力垂直于纸面向外，故选项B、D正确，选项A、C错误．【答案】BD3．[洛伦兹力的做功特点]带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是 ( )A ．洛伦兹力对带电粒子做功B ．洛伦兹力不改变带电粒子的动能C ．洛伦兹力的大小与速度无关D ．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向【解析】 根据洛伦兹力的特点，洛伦兹力对带电粒子不做功，选项A 错、选项B 正确．根据F ＝qvB ，可知洛伦兹力的大小与速度有关，C 错误；洛伦兹力的效果就是改变物体的运动方向，不改变速度的大小，选项D 错误．【答案】 B[基础知识回顾]一、洛伦兹力1．洛伦兹力的方向(1)判断方法：左手定则⎩⎪⎨⎪⎧ 磁感线垂直穿过掌心 四指指向正电荷运动的方向 拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B和v决定的平面．(注意：B和v不一定垂直)．2．洛伦兹力的大小(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.3．洛伦兹力的特点洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．二、带电粒子在匀强磁场中的运动1．粒子的运动性质(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．2．半径和周期公式[基本能力提升]一、判断题(1)带电粒子在磁场中一定会受到磁场力的作用. (×)(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．(×)(3)根据公式T＝2πrv，可知带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比．(×)(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．(√)二、选择题(多选)如右图8－2－1所示，在匀强磁场中，磁感应强度B1＝2B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区运动到B2磁场区域时，粒子的()图8－2－1A．速率将加倍B．轨迹半径加倍C．周期将加倍D．做圆运动的角速度将加倍【解析】因为洛伦兹力不做功，所以粒子速率不会改变．据r＝mvqB，B减半，r加倍；据T＝2πmqB，B减半，T加倍；据ω＝2πT，T加倍，ω减半．【答案】BC第3节带电粒子在复合场中的运动[精题对点诊断]1．[电子在复合场中的直线运动]一个电子穿过某一空间而未发生偏转，则()A．此空间一定不存在磁场B．此空间一定不存在电场C．此空间可能只有匀强磁场，方向与电子速度方向垂直D．此空间可能同时有电场和磁场【解析】当空间只有匀强磁场且电子的运动方向与磁场方向垂直时，电子受洛伦兹力作用，会发生偏转，选项C 错误；当电子的运动方向与磁场平行时，不受洛伦兹力，不发生偏转，选项A错误；当空间既有电场又有磁场，且两种场力相互平衡时，电子不会发生偏转，选项D正确；当空间只有匀强电场，电子运动方向与电场线平行时，运动方向不变化，选项B错误．【答案】 D2．[速度选择器](多选)图8－3－1为一“滤速器”装置的示意图．a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间．为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能沿水平直线OO′运动，由O′射出．不计重力作用．可能达到上述目的的办法是()图8－3－1A．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里B．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里C．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外D．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外【解析】电子能沿水平直线运动，则电子所受的电场力与洛伦兹力大小相等方向相反，当a板电势高于b板时，根据左手定则判断，磁场方向应垂直纸面向里，所以选项A 正确、选项C错误；当a板电势低于b板时，根据左手定则判断，磁场方向应垂直纸面向外，所以选项D正确、选项B 错误．【答案】AD3．[电磁流量计] 图8－3－2是电磁流量计的示意图．圆管由非磁性材料制成，空间有匀强磁场．当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上MN两点的电势差U，就可以知道管中液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体的体积．已知管的直径为d，磁感应强度为B，则关于Q 的表达式正确的是()图8－3－2A ．Q ＝πdU BB ．Q ＝πdU 4BC ．Q ＝πd 2U 4BD ．Q ＝πd 2U B 【解析】 设液体流速为v ，则有：U d q ＝Bvq ，v ＝U Bd，液体的流量Q ＝v·14πd 2＝πdU 4B，故选项B 正确． 【答案】 B[基础知识回顾]一、带电粒子在复合场中的运动1．复合场(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现.2．运动情况分类(1)静止或匀速直线运动．当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态．(2)匀速圆周运动．当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)较复杂的曲线运动．当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．(4)分阶段运动．带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．二、应用实例1．质谱仪(1)构造：如图8－3－3所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等组成．图8－3－3(2)原理：①粒子由静止在加速电场中被加速，根据动能定理有qU ＝12mv 2.②粒子在磁场中受洛伦兹力偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，qBv ＝mv 2r.③由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＝1B 2mU q ，m ＝qr 2B 22U ，q m ＝2U B 2r 2. 2．回旋加速器(1)构造：如图8－3－4所示，D 1、图8－3－4D2是半圆金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．(2)原理：交变电流的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电场强度方向周期性地发生变化，粒子就会被一次一次地加速．由qvB＝mv2R，得E km＝q2B2R22m，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径R决定，与加速电压无关．3．速度选择器(1)原理图图8－3－5(2)规律若qv0B＝qE，即v0＝EB，粒子做匀速直线运动4．磁流体发电机(1)原理图图8－3－6(2)规律：等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极带电，当q U d＝qv 0B 时，两极板间能达到最大电势差U ＝Bv 0d. 5．电磁流量计(1)原理图图8－3－7(2)规律当q U d ＝qvB 时，有v ＝U Bd ，流量Q ＝Sv ＝πdU 4B. 6．霍尔效应(1)原理图图8－3－8(2)规律在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现了电势差，这种现象称为霍尔效应[基本能力提升]一、判断题(1)带电体在复合场中运动时，必须要考虑重力．(×)(2)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态.(×)(3)带电粒子在一定的条件下，在复合场中可以做匀速圆周运动．(√)(4)当正电荷在速度选择器中做匀速直线运动时，负电荷以同样大的速度不可能做匀速直线运动．(×)(5)电磁流量计测量的是液体的体积．(×)(6)磁流体发电机两极板间的最大电势差为U＝Bvd，其中v为电荷定向移动的速率．(×)二、选择题(多选)一个带电粒子以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域．设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示．在下列的几种图中，可能出现的是()【解析】根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定带电粒子带电的正、负．选项A、C、D中粒子带正电，选项B中粒子带负电．再根据左手定则判断粒子在磁场中偏转方向，可以确定选项A、D正确，选项B、C错误．【答案】AD。
高考物理大一轮复习 第一章 直线运动教师用书
第一章⎪⎪⎪ 直线运动第1课时 描述运动的基本概念(双基落实课)[命题者说] 本课时是高中物理的起始课时，高考虽然少有对本课时的知识点单独命题，但理清运动学的基本概念和关系是进一步学好物理的至关重要一环。
基稳才能楼高，对本课时的学习，重在理解，不必做过深的挖掘。
1.质点(1)定义：用来代替物体的有质量的点。
质点不同于几何“点”， 几何中的“点”仅仅表示空间中的某一位置。
(2)物体可看成质点的条件：研究一个物体的运动时，物体的大小和形状对研究问题的影响可以忽略。
2．参考系(1)定义：为了研究物体的运动而假定不动的物体。
描述某个物体的运动时，必须明确它是相对哪个参考系而言的。
(2)选取原则：可任意选取，但对同一物体的运动，所选的参考系不同，对其运动的描述可能会不同。
通常以地面为参考系。
在同一个问题中，若要研究多个物体的运动或同一个物体在不同阶段的运动，则必须选取同一个参考系。
[小题练通]1．(多选)下列几种奥运比赛项目中的研究对象可视为质点的是( )A ．在撑竿跳高比赛中研究运动员手中的支撑竿在支撑地面过程中的转动情况时B ．帆船比赛中确定帆船在大海中的位置时C．跆拳道比赛中研究运动员动作时D．铅球比赛中研究铅球被掷出后在空中飞行的时间时解析：选BD 若将支撑竿看成质点，就无法研究其“转动情况”，若将跆拳道运动员看成质点，就无法研究其“动作”，A、C错误；帆船的大小与大海相比可忽略，所以帆船可看成质点，B正确；铅球的大小与其运动的轨迹长度相比可忽略，所以铅球可看成质点，D正确。
2.(多选) 2016年11月，第十一届中国国际航空航天博览会在广东珠海如期举行，博览会还迎来了英国皇家空军“红箭”特技飞行表演队的中国航展首秀，如图所示。
下列关于“红箭”特技飞行表演的说法正确的是( )A．地面上的人看到飞机飞过，是以地面为参考系B．飞行员看到观礼台向后掠过，是以飞机为参考系C．以编队中某一飞机为参考系，其他飞机是静止的D．以编队中某一飞机为参考系，其他飞机是运动的解析：选ABC 地面上的人看到飞机飞过，是以地面为参考系，飞行员看到观礼台向后掠过，是以飞机为参考系观察的结果，A、B选项正确；因9架表演机保持队形飞行，速度相同，故无论以编队中的哪一架飞机为参考系，其他飞机都是静止的，故C正确，D错误。
【非】2016年度高三大一轮深刻复习教师用书全书可编辑WORD文档基本案第9章
第九章 THE NINTH CHAPTER电磁感应第1节电磁感应现象楞次定律［精题对点诊断］1 •［感应电流的产生条件］如图所示，能产生感应电流的是（）X XXX X x/x X X X X【解析】 A 图中线圈没闭合，无感应电流；B 图中磁通量增大，有感应电流；C 图中导线在圆环的正上方，不论 电流如何变化，穿过线圈的磁通量恒为零，无感应电流;IA BI通人增大的电流图中的磁通量恒定，无感应电流，故选项B正确.【答案】B2•［楞次定律的应用］如图9 — 1 —1所示，一根条形磁铁从左向右靠近闭合金属环的过程中，环中的感应电流（自左向右看）（）A •沿顺时针方向B .先沿顺时针方向后沿逆时针方向C.沿逆时针方向D .先沿逆时针方向后沿顺时针方向【解析】条形磁铁从左向右靠近闭合金属环的过程中，向右的磁通量一直增加，根据楞次定律，环中的感应电流（自左向右看）为逆时针方向，选项C正确.【答案】C3•［右手定则的应用］如图9 —1—2所示，小圆圈表示处于匀强磁场中的闭合电路一部分导线的横截面，速度v在纸面内.关于感应电流的有无及方向的判断，正确的是（）图9 — 1 — 2A •甲图中有感应电流，方向向外B •乙图中有感应电流，方向向外C•丙图中无感应电流D .丁图中a、b、c、d四位置上均无感应电流【解析】甲图中导线切割磁感线，根据右手定则，可知电流方向向里，选项 A 错误；乙、丙图中导线不切割磁感线，无感应电流，选项 B 错误，选项 C 正确；丁图中导线在b、d 位置切割磁感线，有感应电流，在a、 c 位置速度方向与磁感线方向平行，不切割磁感线，无感应电流，选项 D 错误.【答案】C[ 基础知识回顾]、电磁感应现象1•电磁感应现象当穿过闭合电路的磁通量发牛变化时，电路中有感应电流产生的现象.2.产生感应电流的条件(1)条件：穿过闭合电路的磁通量发生变化.(2)特例：闭合电路的一部分导体在磁场内做切割磁感线运动.3.产生电磁感应现象的实质电磁感应现象的实质是产生感应电动势，如果回路闭合则产生感应电流；如果回路不闭合，则只产生感应电动势，而不产牛感应电流.4.能量转化发生电磁感应现象时，机械能或其他形式的能转化为电二、感应电流方向的判断1.楞次定律(1)内容：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化.(2)适用范围：一切电磁感应现象.2.右手定则(1)内容：伸开右手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线丛掌心进入，并使拇指指向导线运动的方向：这时四指所指的方向就是感应电流的方向.⑵适用情况：导体切割磁感线产牛感应电流.［基本能力提升］、判断题(1)感应电流的磁场一定和引起感应电流的磁场方向相* *反.(X)(2)感应电流并不能“阻止”磁通量的变化.(V)(3)闭合电路内只要有磁通量，就有感应电流产生. (X)(4)电路的磁通量变化，电路中就一定有感应电流. (X)(5)线框不闭合时，即使穿过线框的磁通量发生变化，线框中也没有感应电流产生.(V)(6)当导体切割磁感线时，一定产生感应电流.(X)】、选择题如图9 - 1 - 3所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环a、b.将条形磁铁沿它们的正中向下移动到达该平面），a、b将如何移动（）图9 - 1 - 3A . a、b将相互远离B.a、b将相互靠近C.a、b不动D .无法判断【解析】根据①=BS，条形磁铁向下移动过程中B增大，所以穿过每个环中的磁通量都有增大的趋势；由于S不可改变，为阻碍磁通量增大，导体环会尽量远离条形磁铁，所以a、b 将相互远离．【答案】A第2节法拉第电磁感应定律自感现象[ 精题对点诊断]1．[理解法拉第电磁感应定律]( 多选)关于感应电动势，下列说法正确的是( )A ．穿过回路的磁通量越大，回路中的感应电动势就越大B ．穿过回路的磁通量变化量越大，回路中的感应电动势就越大C.穿过回路的磁通量变化率越大，回路中的感应电动势就越大D •单位时间内穿过回路的磁通量变化量越大，回路中的感应电动势就越大△①* *【解析】根据法拉第电磁感应定律'E= n了由此可确定选项A、B错误，选项C、D正确.【答案】CD2•［切割磁感线产生感应电动势］下列各种导体切割磁感线的情况中产生的感应电动势最大的是（）【解析】利用公式E= BLv计算感应电动势的大小时，B与v垂直，B与L垂直，L为导体与B和v垂直的有效长度，显然，C项中导体的有效长度最长，产生的感应电动势最大.【答案】C3.［自感现象的理解和应用］（多选）如图9 — 2 —1所示,完全相同的两个小灯泡，L为自感系数很大、电阻可以忽略的带铁芯的线圈（）A •开关S闭合瞬间，A、B同时发光，随后A灯变暗直至熄灭， B 灯变亮B •开关S闭合瞬间，B灯亮，A灯不亮C.断开开关S的瞬间，A、B灯同时熄灭D .断开开关S的瞬间，B灯立即熄灭，A灯突然闪亮一下再熄灭【解析】因线圈的自感系数很大，电阻可忽略，故闭合开关瞬间，线圈对电流的阻碍作用极大，相当于断路，故A、 B 灯同时发光，且亮度相同，当稳定后，线圈相当于导线， A 灯短路， B 灯电压为电源电压，亮度比闭合瞬间更亮；断开开关瞬间， B 灯立即熄灭，而线圈中的电流不会立即消失，线圈相当于一个电源使 A 灯中会有一短暂电流，从而使 A 灯会亮一下再熄灭.【答案】AD［基础知识回顾］一、法拉第电磁感应定律1.感应电动势(1)概念：在电磁感应现象中产牛的电动势.(2)产牛条件：穿过回路的磁通量发牛改变，与电路是否闭合无关.(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断.2.法拉第电磁感应定律(1)内容：感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比.△①⑵公式：E= n石，其中n为线圈匝数一(3)感应电流与感应电动势的关系：遵守闭合电路欧姆定(4)导体切割磁感线时的感应电动势二、自感、涡流1 .自感电动势(1)定义：在自感现象中产牛的感应电动势.△I⑵表达式：E= ^~.△t⑶自感系数L①相关因素：与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯等因素有关.②单位：亨利(H)，常用单位还有毫亨(mH)、微亨((iH).1mH = 10-3H , 1 凋=10 -6H.2 •涡流当线圈中的电流发生变化时，在它附近的导体中产生的像水的旋涡一样的感应电流.(1)电磁阻尼：当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力的方向总是阻碍导体的相对运动.(2)电磁驱动：如果磁场相对于导体转动，在导体中会产牛感应电流，使导体受到安培力的作用，安培力使导体运动起来.交流感应电动机就是利用电磁驱动的原理工作的.(3)电磁阻尼和电磁驱动的原理体现了楞次定律的推丿应用．[ 基本能力提升]一、判断题(1)线圈中磁通量越大，产生的感应电动势就越大.(X)(2)线圈中磁通量变化越大，产生的感应电动势就越大.(X)(3)线圈中磁通量变化越快，产生的感应电动势就越大.(V)(4)线圈中磁通量增加时感应电动势增大，线圈中磁通量减小时感应电动势减小．(X)(5)对于同一线圈，当电流变化越大时，线圈产生的自感电动势也越大.(X)（6）对于同一线圈，当电流变化越快时，线圈的自感系数也越大.（X）二、选择题［感应电流的计算］如图9 - 2 -2所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨接触点之间的距离为L，金属棒与导轨间夹角为60。
人教物理教师用书2016年高考物理一轮复习教师用书WORD文档(全套打包1-2章)
第1课时 运动的描述[知 识 梳 理]知识点一、质点、参考系1．质点忽略物体的大小和形状，把物体简化为一个有质量的物质点，叫质点。
2．参考系(1)定义：要描述一个物体的运动，首先要选定某个其他物体做参考，这个用来做参考的物体称为参考系。
(2)选取：可任意选取，但对同一物体的运动，所选的参考系不同，运动的描述可能会不同，通常以地面为参考系。
知识点二、位移、速度1．位移和路程(1)位移：描述物体位置的变化，用从初位置指向末位置的有向线段表示，是矢量。
(2)路程：是物体运动轨迹的长度，是标量。
2．速度(1)平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值，即v ＝Δx Δt ，是矢量。
(2)瞬时速度：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度，是矢量。
3．速率和平均速率(1)速率：瞬时速度的大小，是标量。
(2)平均速率：路程与时间的比值，不一定等于平均速度的大小。
知识点三、加速度1．定义 速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。
2．定义式a ＝Δv Δt ，单位：m/s 2。
3．方向 与速度变化量的方向相同。
4．物理意义 描述物体速度变化快慢的物理量。
思维深化判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
(1)质点是用来代替物体的，因此质点也是有大小的。
( )(2)“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”只是诗人的一种臆想，没有科学道理。
( )(3)电台报时时说：“现在是北京时间8点整”，这里的“8点整”实际上指的是时刻。
( )(4)沿直线运动的物体，路程等于位移的大小。
( )(5)平均速度为零的运动，其平均速率也为零。
( )(6)加速度a 甲＝2 m/s 2大于加速度a 乙＝－3 m/s 2。
( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×[题 组 自 测]题组一质点、参考系1．2014年7月28日至8月2日第十二届全国学生运动会在上海举行。
【非】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档基础案-第12章
第1节机械振动[精题对点诊断]1．[弹簧振子的运动特点]弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子的位移逐渐增大C．振子的速度逐渐减小D．振子的加速度逐渐减小【解析】弹簧振子向平衡位置运动的过程中，位移逐渐减小，因此回复力F＝－kx逐渐减小，加速度逐渐减小；由于弹力做正功，因此速度逐渐增大，故只有D是正确的．【答案】D2．[单摆的周期规律]在下列情况下，能使单摆周期变小的是( )A．将摆球质量减半，而摆长不变B．将单摆由地面移到高山C．将单摆从赤道移到两极D．摆线长度不变，换一半径稍大的摆球【解析】根据单摆的周期公式T＝2πlg，影响单摆周期的因素为摆长l和重力加速度g.当摆球质量减半时摆长和g都不变，周期不变；当将单摆由地面移到高山时，g变小，T变大；当单摆从赤道移到两极时，g变大，T变小；当摆线长度不变，摆球半径增大时，摆长l增大，T变大．【答案】C3．[受迫振动与共振] 如图12－1－1所示，在张紧的绳上挂了a、b、c、d4个单摆，4个单摆的摆长关系为l c>l b＝l d>l a，先让d摆摆动起来(摆角不超过10°)，则下列说法正确的是( )图12－1－1A．b摆发生振动，其余摆均不动B．所有摆均以相同频率振动C．所有摆均以相同摆角振动D．以上说法均不正确【解析】d摆摆动起来后，做简谐运动，振动过程中通过张紧的绳给其余各摆施以周期性的驱动力，因而a、b、c三摆均做受迫振动，A项错．做受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率，即d摆做简谐运动的频率与各摆的固有频率无关，故所有摆均以相同频率振动，B项对．如果受迫振动物体的固有频率等于驱动力的频率时，会出现共振现象，振幅最大，由于l b＝l d，即b摆固有频率等于驱动力的频率，所以b摆发生共振，振幅最大，C项错．【答案】B[基础知识回顾]一、简谐运动1．简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相．2．回复力(1)定义：使物体返回到平衡位置的力．(2)方向：时刻指向平衡位置．(3)来源：振动物体所受的沿振动方向的合力．3．描述简谐运动的图象图象横轴表示振动时间纵轴表示某时刻质点的位移物理意义表示振动质点的位移随时间的变化规律二、简谐运动的两种模型名称项目水平弹簧振子单摆模型示意图做简谐运动的条件①忽略弹簧质量②无摩擦③在弹簧弹性限度内①细线不可伸缩②摆球足够小且密度大③摆角很小平衡位弹簧处于原长处小球运动轨迹的最低点三、受迫振动和共振1．受迫振动(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动．(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．2．共振(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．(2)条件：驱动力的频率等于固有频率．(3)特征：共振时振幅最大．(4)共振曲线：如图12－1－2所示．图12－1－2[基本能力提升]一、判断题(1)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量．(√)(2)振幅等于振子运动轨迹的长度．(×)(3)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零．(×)(4)振动物体在平衡位置时所处的状态一定是平衡状态．(×)(5)由图象可以判定物体做简谐运动速度、加速度的方向．(√)(6)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹．(×)(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关．(√)二、选择题(多选) 如图12－1－3所示为质点P在0～4 s内的运动图象．下列叙述正确的是( )图12－1－3A．再过1 s，该质点的位移是正的最大值B．再过1 s，该质点的速度方向向上C．再过1 s，该质点的加速度方向向上D．再过1 s，该质点的加速度大小数值最大【解析】再过 1 s，质点到达正的最大位移处，速度为零，加速度的方向向下，并且最大，故B、C错误，A、D 正确．【答案】AD第2节机械波[精题对点诊断]1．[机械波概念的理解](多选)关于机械波的概念，下列说法中正确的是( )A．质点振动的方向总是垂直于波传播的方向B．简谐波沿长绳传播，绳上相距半个波长的两质点振动位移的大小相等C．任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长D．相隔一个周期的两时刻，简谐波的图象相同【解析】振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波，而纵波的振动方向与波的传播方向是在同一直线上的．机械波向外传播的只是运动的形式——机械振动，介质本身并不随波迁移．故选B、D.【答案】BD2．[机械波的图象]如图12－2－1所示是一列简谐横波在某时刻的波形图，已知图中b位置的质点起振比a位置的质点晚0.5 s，b和c之间的距离是5 m，则此列波的波长和频率分别为( )图12－2－1A．5 m，1 Hz B．10 m，2 HzC．5 m，2 Hz D．10 m，1 Hz【解析】波的波长为两个波峰或者波谷之间的距离，b 和c是波谷，波长为5 m；b位置的质点起振比a位置的质点晚0.5 s，说明波的传播方向沿x轴正方向，a比b早振动半个周期，周期为0.5×2＝1 s，频率应为1 Hz，选A.【答案】A3．[声波的干涉与衍射]声波属于机械波．下列有关声波的描述中正确的是( )A．同一列声波在各种介质中的波长是相同的B．声波的频率越高，它在空气中传播的速度越快C．声波可以绕过障碍物传播，即它可以发生衍射D．人能辨别不同乐器同时发出的声音，证明声波不会发生干涉【解析】干涉、衍射是波在传播过程中的特有现象，因此，声波一定能发生干涉、衍射现象．声波的波速由介质的力学性质决定，频率由波源的频率决定，因此，不同频率声波在空气中传播速度相同．由于同一列声波在各种介质中频率相同，但波速不同，由λ＝vf可知，波长不同．故选C.【答案】C[基础知识回顾]一、机械波的形成与传播1．机械波的形成和传播(1)产生条件．①有波源．②有介质，如空气、水、绳子等．(2)传播特点．①传播振动形式、能量和信息．②质点不随波迁移．③介质中各质点振动频率、振幅、起振方向等都与波源相同．2．机械波的分类3.波长、频率和波速(1)波长：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，用λ表示．波长由频率和波速共同决定．①横波中，相邻两个波峰(或波谷)之间的距离等于波长．②纵波中，相邻两个密部(或疏部)之间的距离等于波长．(2)频率：波的频率由波源决定，等于波源的振动频率．在任何介质中频率不变．(3)波速：波的传播速度，波速由介质决定，与波源无关．(4)波速公式：v＝λf＝λT或v＝ΔxΔt.二、波的图象1．坐标轴x轴：各质点平衡位置的连线．y轴：沿质点振动方向，表示质点的位移．2．物理意义：表示介质中各质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移．3．图象形状：简谐波的图象是正弦(或余弦)曲线，如图12－2－2所示．图12－2－2三、波的特性1．波的干涉和衍射2.多普勒效应[基本能力提升]一、判断题(1)在机械波传播过程中，介质中的质点随波的传播而迁移(×)(2)周期或频率，只取决于波源，而与v、λ无直接关系．(√)(3)波速v取决于介质的性质，它与T、λ无直接关系．只要介质不变，v就不变；如果介质变了，v也一定变．(√)(4)波可以传递振动形式和能量．(√)(5)发生多普勒效应时，波源的真实频率不会发生任何变化，只是观察者接收到的波的频率发生了变化．(√)(6)观察者接收到的波的频率发生变化的原因是观察者与波源之间有相对运动．(√)二、选择题如图12－2－3所示是观察水面波衍射的实验装置．AC 和BD是两块挡板，AB是一个孔，O是波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况．每两条相邻波纹(图中曲线)之间距离表示一个波长，则波经过孔之后的传播情况，下列描述错误的是( )图12－2－3A．此时能明显观察到波的衍射现象B．挡板前后波纹间距离相等C．如果将孔AB扩大，有可能观察不到明显的衍射现象D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显观察到波的衍射现象【解析】由题图可见两波纹间距λ与AB孔的大小接近，所以水波通过AB孔会发生明显的衍射．由于衍射后水波的频率不变，波速不变，因此水波的波长也不变．A、B选项正确．AB孔扩大后若破坏了明显衍射的条件时就不会看到明显的衍射现象，故C选项正确、D选项错误．因选错误的，故选D.【答案】D第3节光的折射全反射光的色散[精题对点诊断]1．[光的全反射应用]光导纤维的结构如图12－3－1，其内芯和外套材料不同，光在内芯中传播．以下关于光导纤维的说法正确的是( )图12－3－1A．内芯的折射率比外套的大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射B．内芯的折射率比外套的小，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射C．内芯的折射率比外套的小，光传播时在内芯与外套的界面上发生折射D．内芯的折射率与外套的相同，外套的材料有韧性，可以起保护作用【解析】光导纤维内芯的折射率比外套大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射，从而使载有声音、图象以及各种数字信号的激光在光纤中远距离传递．故只有A正确．【答案】A2．[光的色散](2013·福建高考)一束由红、紫两色光组成的复色光，从空气斜射向玻璃三棱镜．下面四幅图中能正确表示该复色光经三棱镜折射分离成两束单色光的是( )【解析】解答本题首先要搞清楚七种色光在同一介质中折射率的大小关系，其次还要明确三棱镜有使光线向底边偏折的作用．在玻璃中，有n红<n紫，所以在玻璃中，红光的折射角大于紫光的折射角，故选项A、C错误；三棱镜有使光线向底边偏折的作用，折射率越大的光，越偏向底边，故选项B正确、选项D错误．【答案】B3．[光的折射规律](多选)一束复色光由空气射向玻璃，发生折射而分为a、b两束单色光，其传播方向如图12－3－2所示．设玻璃对a、b的折射率分别为n a和n b、a、b在玻璃中的传播速度分别为v a和v b，则( )图12－3－2 A．n a>n b B．n a<n b C．v a>v b D．v a<v b【解析】n＝sin isin r可知，当入射角i相同时，折射角r越大，n越小，可知n a>n b即A对、B错；由公式n＝cv可知，v a<v b，即C错、D对．【答案】AD[基础知识回顾]一、光的折射1．折射定律(如图12－3－3)图12－3－3(1)内容：折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比．(2)表达式：sin θ1sin θ2＝n 12，式中n 12是比例常数． (3)在光的折射现象中，光路是可逆的．2．折射率(1)物理意义：折射率仅反映介质的光学特性，折射率大，说明光从真空射入到该介质时偏折大，反之偏折小．(2)定义式：n 12＝sin θ1sin θ2，不能说n 12与sin θ1成正比、与sin θ2成反比．折射率由介质本身的光学性质和光的频率决定．(3)计算公式：n＝cv，因为v＜c，所以任何介质的折射率总大于1.二、光的全反射现象和光的色散1．全反射(1)条件：①光从光密介质射入光疏介质．②入射角大于或等于临界角．(2)现象：折射光完全消失，只剩下反射光．(3)临界角：折射角等于90°时的入射角，用C表示，sin C＝1 n .(4)应用：①全反射棱镜．②光导纤维，如图12－3－4.图12－3－42．光的色散(1)色散现象：白光通过三棱镜会形成由红到紫七种色光组成的彩色光谱，如图12－3－5.图12－3－5(2)成因：由于n红＜n紫，所以以相同的入射角射到棱镜界面时，红光和紫光的折射角不同，就是说紫光偏折得更明显些，当它们射出另一个界面时，紫光的偏折角最大，红光偏折角最小．[基本能力提升]一、判断题(1)无论是折射光路，还是全反射光路都是可逆的．(√)(2)如果光线从光疏介质进入光密介质，则无论入射角多大，都不会发生全反射现象．(√)(3)若光从空气射入水中，它的传播速度一定增大．(×)(4)已知介质对某单色光的临界角为C，则该介质的折射率等于1sin C.(√)(5)只要入射角足够大，就能发生全反射(×)(6)密度大的介质一定是光密介质(×)二、选择题图12－3－6如图12－3－6所示，一束单色光射入一玻璃球体，入射角为60°.已知光线在玻璃球内经一次反射后，再次折射回到空气中时与入射光线平行，此玻璃对该单色光的折射率为( )A. 2 B．1.5C. 3 D．2【解析】根据光路图可知，入射角θ1＝60°，折射角为30°，根据n＝sin θ1sin θ2可知，玻璃球的折射率为 3.C正确．【答案】C第4节光的波动性电磁波相对论[精题对点诊断]1．[光的干涉现象](多选)下面是四种与光有关的事实，其中与光的干涉有关的是 ( )A．用光导纤维传播信号B．用透明的标准样板和单色光检查平面的平整度C．一束白光通过三棱镜形成彩色光带D．水面上的油膜呈现彩色【解析】光导纤维是利用光的全反射来传播信号．白光通过三棱镜是光的色散．平面平整度的检查和水面上的彩色油膜是光的干涉现象，则选项B、D正确.【答案】BD2．[电磁波谱的理解](多选)关于电磁波谱，下列说法中正确的是( )A．红外线比红光波长长，它的热作用很强B．X射线就是伦琴射线C．阴极射线是一种频率极高的电磁波D．紫外线的波长比伦琴射线长，它的显著作用是荧光作用【解析】本题主要考查了电磁波的产生机理和特性．在电磁波谱中，红外线的波长比可见光长，而红光属于可见光，故A正确．阴极射线与电磁波有着本质不同，电磁波在电场、磁场中不偏转，而阴极射线在电场、磁场中会偏转，电磁波在真空中的速度是3×108 m/s，而阴极射线的速度总是小于3×108 m/s，阴极射线的实质是高速电子流，故C错误．X 射线就是伦琴射线，是高速电子流射到固体上产生的一种波长很短的电磁波，故B正确．由于紫外线的显著作用是荧光怍用，而伦琴射线的显著作用是穿透作用，故选项D正确．【答案】ABD3．[光的衍射现象的理解]对于光的衍射的定性分析，下列说法中不正确的是( )A．只有障碍物或孔的尺寸可以跟光波波长相比甚至比光的波长还要小的时候，才能明显地产生光的衍射现象B．光的衍射现象是光波相互叠加的结果C．光的衍射现象否定了光的直线传播的结论D．光的衍射现象说明了光具有波动性【解析】光的干涉和衍射现象说明了光具有波动性，而小孔成像说明了光沿直线传播，而要出现小孔成像现象，孔不能太小，可见，光的直线传播规律只是近似的，只有在光波波长比障碍物小得多的情况下，光才可以看作是沿直线传播的，所以光的衍射现象和直线传播并不矛盾，它们是在不同条件下出现的两种光现象，单缝衍射实验中单缝光源可以看成是无限多个光源排列而成，因此光的衍射现象也是光波相互叠加的结果．【答案】C[基础知识回顾]一、光的干涉1．条件两列光的频率相同，相位和振动情况都完全相同的光相遇．2．典型的干涉实验(1)双缝干涉①产生明暗条纹的条件：双缝处光振动情况完全相同，光屏上某点与两个狭缝的路程差是光波波长的整数倍(即半波长的偶数倍)处出现亮条纹，与两个狭缝的路程差是半波长的奇数倍处出现暗条纹．②条纹的特点：相邻亮条纹(或暗条纹)的间距相等，且Δx＝ldλ，其中λ为波长，d为双缝间距，l为缝到屏的距离．实验装置不变的条件下，红光干涉条纹的间距最大，紫光的干涉条纹间距最小；若换用白光，在屏上得到彩色条纹、且中央为白色．(2)薄膜干涉①薄膜干涉：利用薄膜(如肥皂膜)前后两表面的反射光波相遇而形成的干涉．②图样特点：同一条亮(或暗)条纹对应薄膜厚度相等．单色光在肥皂膜上(上薄下厚)形成水平状的明暗相间的条纹，白光入射时形成彩色条纹．二、光的衍射和光的偏振1．光发生明显衍射的条件当障碍物的尺寸可以跟光的波长相比，甚至比光的波长还小的时候，衍射现象才会明显．2．衍射条纹的特点单色光的衍射图样为中间宽且亮的单色条纹，两侧是明暗相间的条纹，条纹宽度比中央窄且暗；白光的衍射图样为中间宽且亮的白色条纹，两侧是渐窄且暗的彩色条纹．3．自然光和偏振光(1)自然光包含着在垂直于传播方向上沿一切方向振动的光，而且沿着各个方向振动的光波的强度都相同，这种光叫自然光．如由太阳、电灯等普通光源发出的光．(2)偏振光在垂直于传播方向的平面上，只沿着一个特定的方向振动的光．如自然光经偏振片作用后的光．三、电磁波的特点和狭义相对论1．电磁波的特点(1)电磁波是横波，电场强度E和磁感应强度B的方向都与传播方向垂直．(2)电磁波传播时不需要任何介质，在真空中传播的速度最大，c＝3×108 m/s.(3)电磁波本身是一种物质，它具有能量．(4)具有波的特征，能产生反射、折射、衍射、干涉等现象．2．电磁波谱(1)定义：按电磁波的波长从长到短分布是无线电波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线，形成电磁波谱．(2)电磁波谱的特性、应用3.相对论的简单知识(1)狭义相对论的基本假设①狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的．②光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的．(2)时间和空间的相对性 ①时间间隔的相对性：Δt＝Δτ1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫v c 2. ②长度的相对性：l ＝l 01－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫v c 2.(3)相对论速度变换公式：u ＝u′＋v1＋u′v c 2.(4)相对论质量：m ＝m 01－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫v c 2.(5)质能方程：E＝mc2.[基本能力提升]一、判断题(1)各种波均会发生偏振现象．(×)(2)用白光做单缝衍射与双缝干涉实验，均可看到彩色条纹．(√)(3)光的衍射是光在传播过程中绕过障碍物的现象(√)(4)只有频率相同的两列光波才可能产生干涉(√)(5)纵波也能发生偏振现象(×)(6)光的频率决定光的颜色(√)二、选择题(2012·江苏高考)如图12－4－1所示，白炽灯的右侧依次平行放置偏振片P和Q，A点位于P、Q之间，B点位于Q 右侧．旋转偏振片P，A、B两点光的强度变化情况是( )图12－4－1A．A、B均不变B．A、B均有变化C．A不变，B有变化D．A有变化，B不变【解析】白炽灯光经过偏振片P后成为偏振光，旋转P时P、Q间偏振光的振动方向改变，但光的强度不变，B、D 错误．由于偏振片Q的透振方向不变，故旋转P时Q右侧的偏振光强度发生周期性变化，故A错误、C正确．【答案】C。
数学高三一轮复习用书全套(1000页)
课堂过关第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素.④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P 7第1题改编)集合{x ∈N |x<5}可以用列举法表示为________． 答案：{0，1，2，3，4}解析：∵ x<5且x ∈N ，∴ x ＝0，1，2，3，4，特别注意0∈N .2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，0≤y<2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：用集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y<2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A ⊆ B ，则a ∈________． 答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (必修1P 7第4题改编)由x 2，x 组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则实数x 的取值不可以是________．答案：0和1解析：由x 2＝x 可解得．5. (必修1P 17第8题改编)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________个．答案：10解析：x ＝5，y ＝1，2，3，4，x ＝4，y ＝1，2，3，x ＝3，y ＝1，2，x ＝2，y ＝1，共10个．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N 或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． (2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆ B 或B ⊇ A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”．② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 集合的基本概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时，这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.变式训练下列三个集合：① {x|y ＝x 2＋1}；② {y|y ＝x 2＋1}；③ {(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1) 它们是不是相同的集合？ (2) 它们的各自含义是什么？ 解：(1) 它们是不相同的集合．(2) 集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许的值组成的集合．因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R .集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 组成的集合．由二次函数图象知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}．集合③是函数y ＝x 2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．备选变式（教师专享）已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解：∵ －3∈A ，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.题型2 集合间的基本关系例2 若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆ A ，求由m 的可取值组成的集合．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅ ，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴ 2≤m ≤3.故m<2或2≤m ≤3，即所求集合为{m|m ≤3}． 变式训练已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 014＋b 2 015的值．解：由于a ≠0，由ba＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 014＋b 2 015＝1.备选变式（教师专享）若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合． 解：P ＝{－3，2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求a 的取值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.题型3 根据集合的关系求参数的取值范围例3 (2015·南通期末)已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤2.若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a<0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a>2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a>－12， ∴ －12<a<0；当a>0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2，∴ 0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.备选变式（教师专享）已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}．若B ⊆A ，求实数a ，b 的值． 解：∵ B ⊆A ＝{－1，1}，∴ B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}． 若B ＝∅，则方程x 2－ax ＋b ＝0无实数根， 即Δ＝(－a)2－4×1×b<0，此时a 2<4b.若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，此时a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}时，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1， 即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a ×1＋b ＝0，若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，12－a ×1＋b ＝0，此时a ＝0，b ＝－1.综上所述，当a 2<4b 时，不论a ，b 取何值，A ⊆B ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A. 1. (2015·南京、盐城一模)设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N ⊆M ，则实数x 的值为________．答案：1解析：由N ⊆M 知1∈M ，则x ＝1. 2. (2015·南师附中模拟)若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A ⊆B ，则A ＝________． 答案：{1}解析：若a ＝0，则a 2＝0，B 中元素不满足互异性；若a ＝a 2，则a ＝0(舍)或a ＝1(满足互异性)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个． 答案：6解析：当M 中奇数只有3时：{3}，{2，3}；当M 中奇数只有5时：{5}，{2，5}；当M 中奇数有3，5时：{3，5}，{2，3，5}，∴ 共有6个这样的集合．5. (2015·昌平期中)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，求b －a 的值．解： 由{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴ b －a ＝2.1. (2015·浙江)已知集合A{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则A 与B 的关系是________． 答案：B A解析：A ＝{x|－1<x<2}，∴ B 真属于A. 2. (2015·佛山期中)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A ，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]解析：因为2∈A ，所以2a －12－a＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A ，则3a －13－a＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]．4. 若集合A 中有且仅有三个数1、0、a ，若a 2∈A ，求a 的值． 解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0. 若a 2＝1，则a ＝±1，∵ 由元素的互异性知a ≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求． 综上可知a ＝－1.1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅ 和A ≠∅两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1. (必修1P13第3题改编)已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________．答案：(－2，1]解析：本题考查集合概念及基本运算．2. (必修1P13习题2题改编)已知集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－x－12＝0}，则A∪B ＝________．答案：{－4，－3，4}解析：∵ A＝{－4，4}，B＝{－3，4}，∴A∪B＝{－4，－3，4}．3. (必修1P14习题10改编)已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案：{1，2}解析：由题意，阴影部分表示A∩(∁U B)．因为∁U B＝{x|x<3}，所以A∩(∁U B)＝{1，2}．4. (必修1P13习题2题改编)设集合I＝{x||x|<3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(∁I B)＝________．答案：{0，1，2}解析：I＝{－2，－1，0，1，2}，∁I B＝{0，1}，∴A∪(∁I B)＝{0，1，2}．5. (必修1P10习题4题改编)设集合A、B都是全集U＝{1，2，3，4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，A∩B＝ ，则A＝________．答案：{3，4}解析：画出韦恩图，知A＝{3，4}．1. 集合的运算(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集)，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x ∈S ，但x ∉ A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A ∩A ＝A ，A ∩∅ ＝∅，A ∩B ＝B ∩A ； (2) A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ； (3) A ∩(∁U A)＝∅，A ∪(∁U A)＝U ；(4) A ∩B ＝A ⇔ A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ；(5) ∁U (A ∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U (A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)． [备课札记]题型1 集合的运算 例1 全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，且(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，则m ＋n 的值为________．答案：－1解析：∵ U ＝{1，2，3，4，5}，(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 2∈A.又A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，∴ 2是关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，得m ＝6且A ＝{2，3}，∴ ∁U A ＝{1，4，5}．而(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 3∈B.又B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，∴ 3一定是方程x 2＋nx ＋12＝0的一个根，∴ n ＝－7且B ＝{3，4}，∴ m ＋n ＝－1.变式训练设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B. 解：由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}．题型2 根据集合的运算求参数的取值范围例2 设A ＝{x|a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A ∩B ≠∅ ； (2) A ∩B ＝A ； (3) A ∪(∁R B)＝∁R B.解：(1) A ∩B ≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3， ∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2， ∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅．(2) ∵ A ∩B ＝A ，∴ A ⊆ B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x ≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.变式训练已知A ＝{x|ax －1>0}，B ＝{x|x 2－3x ＋2>0}． (1) 若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围； (2) 若A ∩∁R B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1) 由于A ∩B ＝A 得A ⊆B ，由题意知B ＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>1a≥2，得0＜a ≤12；若a ＝0，则A ＝∅，成立；若a ＜0，则x ＜1a ＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a ≤12.(2) ∁R B ＝{x|1≤x ≤2}，若a ＝0，则A ＝∅，不成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，不成立；若a ＞0，则x ＞1a ，由1a ＜2得a ＞12.综上所述，a ＞12.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0≤ax ＋1≤3}．若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值组成的集合．解：∵ A ∪B ＝B ，∴ A ∅B ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＋1≤3，0≤2a ＋1≤3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，－12≤a ≤1.∴ －12≤a ≤1.∴ 实数a 的取值组成的集合为⎣⎡⎦⎤－12，1. 题型3 集合的综合应用例3 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A)∩B ＝，求m 的值．解：A ＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B ＝∅，得B ⊆A ， 当m ＝1时，B ＝{－1}，符合B ⊆A ； 当m ≠1时，B ＝{－1，－m}，而B ⊆A ， ∴ －m ＝－2，即m ＝2. ∴ m ＝1或2.备选变式（教师专享）50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数有___________人．答案：25解析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x 人；仅跳远及格的人数为40－x 人；仅铅球及格的人数为31－x 人；两项测验成绩都不及格的人数为4人 .∴ 40－x ＋31－x ＋x ＋4＝50，∴ x ＝25.题型4 集合运算有关的新定义问题例4 定义集合A 、B 的运算A*B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B ，但x A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A *B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A *B)A ＝{1，2，5，6，7}． 备选变式（教师专享）(必修1P 14习题13改编)对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉ N}，M*N ＝(M －N)∪(N －M)，设M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }，则M*N ＝________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵ M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y ≥0}，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }＝{y|－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y|y>3}，N －M ＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N ＝(M －N)∪(N －M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．1. (2015·安徽)已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵ ∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴ U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B ＝{－1，0，2}，∴ B ＝{1，4，6，－3，3}．2. (2015·泰州调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x<－1或2≤x<3}，B ＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B ＝________．答案：{x|x ≥－2}解析：由图1数轴得∁U A ＝{x|－1≤x<2或x ≥3}，再由图2数轴得(∁U A)∪B ＝{x|x ≥－2}．图1图23. (2015·射阳中学期末)已知函数f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2，集合D ＝[－1，a](a>－1)，集合A ＝{y|y ＝f(x)，x ∈D}与集合B ＝{y|y ＝g(x)，x ∈D}相等，则实数a 的值等于________．答案：0或1＋52解析：一次函数f(x)＝x ＋1，x ∈[－1，a](a>－1)是单调递增函数，∴ A ＝[0，a ＋1]．而B 集合是指定了定义域的二次函数的值域，分如下三类情况讨论：① 若a ∈(－1，0)，则g(x)单调递减，B ＝[a 2，1]，不可能与集合A 相等；② 若a ∈[0，1]，则B ＝[0，1]，要与A 相等，须a ＋1＝1，∴ a ＝0；③ 若a ∈(1，＋∞)，则B ＝[0，a 2]，要与A 相等，须a ＋1＝a 2，∴ a＝1±52，但1－52＜1，舍去．综上得a ＝0或1＋52.4. (2015·淮阴中学期末)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 答案：0或3 解析：因为A ∪B ＝A ，所以B A ，所以m ＝3或m ＝m.若m ＝3，则A ＝{1，3，3}，B ＝{1，3}，满足A ∪B ＝A.若m ＝m ，解得m ＝0或m ＝1.若m ＝0，则A ＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，满足A ∪B ＝A.若m ＝1，A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，显然不成立．综上m ＝0或m ＝3.5. (2015·宿迁中学期中)设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1) 若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为________；(2) 若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________． 答案：(1)－1或－3 (2)a ≤－3解析：(1) ∵ A ＝{1，2}，A ∩B ＝{2}，∴ 2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x|x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x|x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a 的值为－1或－3.(2) 对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝4(2a ＋6)， ∵ A ∪B ＝A ，∴ B ⊆A.① 当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅ ，满足条件； ② 当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ② 当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}．由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2（a ＋1），1×2＝a 2－5⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－ 3.1. 已知A 、B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B)∩A ＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，4}，则B ∩(∁U A)＝________．答案：{5，6}解析：依题意及韦恩图可得，B ∩(∁U A)＝{5，6}．2. (2015·山东)已知集合A ＝{x||x －1|<2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0.若A ∩B ≠∅ ，则实数b 的取值范围是________．答案：(－1，＋∞)解析：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|(x －b)(x ＋2)<0}．因为A ∩B ≠∅，所以b>－1. 3. (2015·无锡期中)已知A ＝{x||x －a|<4}，B ＝{x||x －2|>3}． (1) 若a ＝1，求A ∩B ；(2) 若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，A ＝{x|－3<x<5}，B ＝{x|x<－1或x>5}． ∴ A ∩B ＝{x|－3<x<－1}．(2) ∵ A ＝{x|a －4<x<a ＋4}，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A ∪B ＝R ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1，a ＋4>51<a<3. ∴ 实数a 的取值范围是(1，3)．4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞费，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：(1) 勿忘对空集情形的讨论；(2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；(4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判断必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. (课本习题改编)命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________.答案：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5解析：将原命题的条件和结论互换，可得逆命题．2. (课本习题改编)命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．答案：2解析：当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．3. (课本习题改编)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的________条件.答案：必要而不充分解析：由a－c>b－d变形为a－b>c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，所以a－c>b－d a>b.而a>b并不能推出a－c>b－d，所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．4. (课本习题改编)若命题p：2是偶数；命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真.答案：②解析：命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．5. (课本习题改编)命题p：∀x>1，log2x>0，则⌝p是________．答案：x>1，log2x≤0解析：全称命题的否定是存在性命题．1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇒q.(3) 如果p⇒q，q⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q⇒p，p⇒/q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 一个命题p的否定记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) ∃x∈M，⌝p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，⌝p(x)题型1四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1) 如果两圆外切，那么两圆的圆心距等于两圆半径之和；(2) 奇数不能被2整除．解：(1) 逆命题：如果两圆的圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．变式训练判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则判断a≥1”的逆否命题的真假.解：原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．备选变式（教师专享）设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．解：逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．题型2充分条件和必要条件例2 证明：“方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上，命题得证．备选变式1（教师专享）不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：令f(x)＝x 2－2mx －1.要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，只需f(x)＝x 2－2mx －1在[1，3]上的最小值大于0即可． 当m ≤1时，f(x)在[1，3]上是增函数， f(x)min ＝f(1)＝－2m>0，解得m<0， 又m ≤1，∴ m<0；当m ≥3时，f(x)在[1，3]上是减函数，f(x)min ＝f(3)＝8－6m>0，解得m<43，又m ≥3，∴ 此时不成立； 当1<m<3时，f(x)min ＝f(m)＝－m 2－1＝－(m 2＋1)>0不成立． 综上所述，m 的取值范围为m<0. 备选变式2（教师专享）下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p ：x ＝1；q ：x －1＝x －1.(2) p ：－1≤x ≤5；q ：x ≥－1且x ≤5.(3) p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形． 解：(1) 充分不必要条件．当x ＝1时，x －1＝x －1成立； 当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2.(2) 充要条件．－1≤x ≤5x ≥－1且x ≤5.(3) 充分不必要条件．等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．题型3 逻辑联结词例3 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：设g(x)＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，∴ 函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴ －2<a<2.∵ 函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数， ∴ 3－2a>1， ∴ a<1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a<2，a ≥1，∴ 1≤a<2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a<1，∴ a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a<2，或a ≤－2. 备选变式1（教师专享）已知p ：⎝⎛⎭⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，若“⌝ p ⇒ ⌝q ”为假命题，“⌝q ⇒⌝p ”为真命题，求m 的取值范围．解：设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x|－2≤x ≤10}，Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}， 由⌝q ⇒⌝p 为真，⌝p ⇒⌝q 为假，得P ⊆ Q ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，m>0，解得m ≥9. 备选变式2（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“⌝q ”都是假命题，求x 的值． 解：非q 假．∴ q 真． 又p 且q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|<6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6<x 2－x<6，x ∈Z ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1、0、1、2.题型4 全称命题与存在命题例4 已知命题p ：“x ∈R ，m ∈R 使4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题⌝p 是假命题，则实数m 的取值范围为________．答案：m ≤1解析：命题⌝p 是假命题，即命题p 是真命题，也就是关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，即m ＝－(4x －2x ＋1)，令f(x)＝－(4x －2x ＋1)，由于f(x)＝－(2x －1)2＋1，所以当x ∈R 时f(x)≤1，因此实数m 的取值范围是m ≤1.备选变式1（教师专享） 写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0； (4) 有些质数是奇数．解：(1) 有些自然数的平方不是正数． (2) 存在实数x 不是方程5x －12＝0的根． (3) 存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y ≤0. (4) 所有的质数都不是奇数． 备选变式2（教师专享）若命题“∃ x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案：－4≤m ≤0解析：“∃x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则“∀ x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴ －4≤m ≤0.1. (2015·徐州期中)命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”及其逆否命题的真假情况是________．答案：真解析：因为原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a 、b 都小于1，则a ＋b<2”，显然为真，所以原命题为真．2. (2015·盐城三模)若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由k ＝2，得f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；反之，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，得k 2＝4，则k ＝±2，而不是k ＝2.故k ＝2是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．3. (2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－3]解析：由A ＝(－3，2)，B ＝(a ，＋∞)，AB ，则a ∈(－∞，－3]．4. (2015·芜湖调研)命题p ：ax ＋b>0的解集为x>－ba；命题q ：(x －a)(x －b)<0的解为a<x<b.则p ∧q 是________(填“真”或“假”)命题．答案：假解析：命题p 与q 都是假命题．5. (2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案：1解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则m 大于或等于函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值．因为函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即实数m 的最小值为1.1. (2015·南通二调)命题“x ∈R ，2x ＞0”的否定是“________”．答案： ∀x ∈R ，2x ≤0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p. 2. (2015·象山中学调研)“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点”的________条件．答案：充分不必要解析：若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点；若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0.3. 已知命题p ：x 2－5x ＋6≥0；命题q ：0<x<4.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2. ∵ 命题q 为假， ∴ x ≤0或x ≥4.则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}． ∴ 满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 4. (2015·无锡期中)已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列说法：① M 的元素都不是P 的元素； ② M 中有不属于P 的元素； ③ M 中有P 的元素；④ M 中元素不都是P 的元素． 其中正确的个数为________个． 答案：2解析：结合韦恩图可知②④正确．1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．2. 充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2) 要注意区间端点值的检验．4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。
【非常考案】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档 基础案 第4章
第1节曲线运动运动的合成与分解[精题对点诊断]1．[对曲线运动的理解]下面说法中正确的是()A．做曲线运动的物体速度方向必定变化B．速度变化的运动必定是曲线运动C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动D．加速度变化的运动必定是曲线运动【解析】做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定变化，A项正确；速度变化的运动可能是速度大小在变，也可能是速度方向在变化，不一定是曲线运动，B 项错误；加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C项错误；加速度变化的运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，D项错误．【答案】 A2．[运动合成的判断与计算](多选)如图4－1－1所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线保持竖直，则在铅笔未碰到橡皮前，橡皮的运动情况是()图4－1－1A．橡皮在水平方向上做匀速运动B ．橡皮在竖直方向上做加速运动C ．橡皮的运动轨迹是一条直线D ．橡皮在图示虚线位置时的速度大小为v cos 2θ＋1【解析】 悬挂橡皮的细线一直保持竖直，说明橡皮水平方向具有和铅笔一样的速度，A 正确；在竖直方向上，橡皮的速度等于细线收缩的速度，把铅笔与细线接触的地方的速度沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度v 1＝vsin θ，θ增大，沿细线方向的分速度增大，B 正确；橡皮的加速度向上，与初速度不共线，所以做曲线运动，C 错误；橡皮在题图虚线位置时的速度v t ＝v 21＋v 2＝v sin 2θ＋1，D 错误．【答案】 AB3．[运动合成分解的应用]降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )A ．下落的时间越短B ．下落的时间越长C ．落地时速度越小D ．落地时速度越大【解析】 风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A 、B 两项均错；风速越大时合速度越大，故C 项错误、D 项正确．【答案】 D[基础知识回顾]一、曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．3．曲线运动的条件(1)动力学角度：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．二、运动的合成与分解1．基本概念分运动 运动的合成运动的分解合运动2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可用正交分解．3．遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．4．合运动与分运动的关系 等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．[基本能力提升]一、判断题(1)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化．(×)(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的．(×)(3)曲线运动一定是变速运动．(√)(4)合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大．(×)(5)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等．(√)(6)只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动．(×)二、选择题在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力．下列描绘下落速度的水平分量大小v x、竖直分量大小v y与时间t的图象，可能正确的是()【解析】跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变且方向竖直向下，还受到空气阻力，其始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小．在水平方向上，运动员受到的合力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动．在竖直方向上运动员在重力与空气阻力的共同作用下先做加速减小的加速度运动，后做匀速运动．由以上分析结合v－t图象的性质可知只有B选项正确．【答案】 B第2节抛体运动的规律及其应用[精题对点诊断]1．[对平抛运动的理解](多选)对平抛运动，下列说法正确的是()A．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关【解析】平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故A项正确；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy＝gt2，水平方向在任何相等的时间内位移的增量都是相等的，故B项错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t＝2hg，落地速度为v＝v2x＋v2y＝v20＋2gh，所以C项正确，D项错误．【答案】AC2．[对斜抛运动的理解]做斜抛运动的物体，到达最高点时()A．速度为零，加速度向下B．速度为零，加速度为零C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度D．具有水平方向的速度和加速度【解析】斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动．因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C选项正确．【答案】 C3．[对平抛运动规律的认识](多选)如图4－2－1所示，滑板运动员以速度v0从离地高度为h的平台末端水平飞出，落在水平面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是()图4－2－1A．v0越大，运动员在空中运动时间越长B ．v 0越大，运动员落地瞬间速度越大C ．运动员落地瞬间速度与高度h 有关D ．运动员落地位置与v 0大小无关【解析】 在平抛运动中，飞行时间仅由高度决定，所以A 错误；水平位移、落地速度(末速度)由高度和初速度共同决定，所以B 、C 正确，D 错误．【答案】 BC[基础知识回顾]一、平抛运动1．性质加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．2．基本规律以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t.(2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12gt 2. (3)合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gt v 0. (4)合位移：s ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt 2v 0. 二、斜抛运动图4－2－2 1．运动性质加速度为g 的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线．2．基本规律(以斜向上抛为例说明，如图4－2－2所示)(1)水平方向：v 0x ＝v 0_cos_θ，F 合x ＝0.(2)竖直方向：v 0y ＝v 0sin_θ，F 合y ＝mg.[基本能力提升]一、判断题(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．(×)(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化．(×)(3)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度越大，落地速度越大．(√)(4)斜抛运动到最高点时，速度为零，加速度向下(×)(5)斜抛运动到最高点时，具有水平方向的速度和加速度．(×)(6)斜抛运动可看成水平方向的匀速运动和竖直上抛运动的合运动．(√)二、选择题(多选)如图4－2－3所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L ，重力加速度取g ，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )图4－2－3A ．球的速度v 等于L g 2HB ．球从击出至落地所用时间为2H g C ．球从击球点至落地点的位移等于LD ．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关【解析】 球做平抛运动，则其在竖直方向做自由落体运动，H ＝12gt 2得t ＝ 2H g ，故B 正确；水平方向做匀速运动，L ＝v 0t 得v 0＝L t ＝L g 2H，可知A 正确；球从击球点到落地点的位移s ＝H 2＋L 2与m 无关，可知C 、D 错误．【答案】 AB第3节 圆周运动[精题对点诊断]1．[对匀速圆周运动的理解](多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )A ．速度的大小和方向都改变B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动C ．物体所受合力全部用来提供向心力D ．向心加速度大小不变，方向时刻改变【解析】匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对．【答案】CD2．[圆周运动的物理量及相互关系]某型石英表中的分针与时针可视为做匀速转动，分针的长度是时针长度的1.5倍，则下列说法中正确的是()A．分针的角速度与时针的角速度相等B．分针的角速度是时针的角速度的60倍C．分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍D．分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍【解析】分针的角速度ω1＝2πT1＝π30rad/min，时针的角速度ω2＝2πT2＝π360rad/min.ω1∶ω2＝12∶1，v1∶v2＝ω1r1∶ω2r2＝18∶1，a1∶a2＝ω1v1∶ω2v2＝216∶1，故只有C正确．【答案】 C图4－3－13．[弯道离心运动](多选)(2013·课标全国卷Ⅱ)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图4－3－1，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处()A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于v c，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于v c，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c的值变小【解析】汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误；当v<v c时，支持力的水平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力向外侧；当v>v c时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．【答案】AC[基础知识回顾]一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v ＝Δs Δt ＝2πr T. 2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝ΔθΔt ＝2πT. 3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T ＝2πr v ，T ＝1f. 4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．an ＝r ω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T 2r. 5．向心力：作用效果产生向心加速度，Fn ＝man.6．相互关系：(1)v ＝ωr ＝2πTr ＝2πrf. (2)a ＝v 2r ＝ωv ＝4π2T 2r ＝4π2f 2r. (3)Fn ＝man ＝m v 2r ＝m ω2r ＝mr4π2T 2＝mr4π2f 2. 二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动1．匀速圆周运动(1)定义：线速度大小不变的圆周运动．(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．(3)质点做匀速圆周运动的条件 合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动．(2)合力的作用①合力沿速度方向的分量Ft 产生切向加速度，Ft ＝mat ，它只改变速度的大小．②合力沿半径方向的分量Fn 产生向心加速度，Fn ＝man ，它只改变速度的方向．三、离心运动1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向． 2.图4－3－2受力特点(如图4－3－2所示)(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动．(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出．(3)当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．(4)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．[基本能力提升]一、判断题(1)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比．(×)(2)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．(√)(3)匀速圆周运动物体的向心力是产生向心加速度的原因．(√)(4)离心现象是物体惯性的表现．(√)(5)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动．(√)(6)摩托车转弯时，如果超过一定速度，摩托车将发生滑动，这是因为摩托车受到沿半径方向向外的离心力作用．(×)二、选择题(2014·陕西名校质检)如图4－3－3所示，“小飞侠”科比在带球过人时身体与地面的夹角为60°，为保持身体稳定，地面对运动员的力必须与身体平行．若其转弯半径约为5 m，重力加速度g＝10 m/s2，则“小飞侠”此时运动的速度大小约为()图4－3－3A．2 m/s B．5 m/sC．9 m/s D．12 m/s【解析】运动员此时受到重力、地面弹力和地面摩擦力作用，3个力的合力提供向心力．根据题设条件，地面弹力和地面摩擦力的合力必须与身体平行，可得mgtan 30°＝m v 2R ，代入题设数据解得v≈5 m/s ，B 正确．【答案】 B第4节 万有引力与航天[精题对点诊断]1．[对万有引力定律的理解]关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，以下说法中正确的是( ) A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的【解析】 万有引力公式F ＝G m 1m 2r，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的，故正确选项为C.【答案】 C2．[对行星运行规律的理解](2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A 错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B 错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C 正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D 错误．【答案】 C3．[万有引力定律在天体中的应用](2013·福建高考)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2 B ．GM ＝4π2r 2T 2 C ．GM ＝4π2r 2T 3 D ．GM ＝4πr 3T 2 【解析】 对行星有：GMm r 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r 3T 2，选项A 正确． 【答案】 A[基础知识回顾]一、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，叫引力常量． 3．适用条件 两个质点之间的相互作用．(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r 为质点到球心间的距离．二、宇宙速度1．环绕速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度．(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．(4)第一宇宙速度的计算方法．①由G Mm R 2＝m v 2R得v ＝GM R. ②由mg ＝m v 2R得v ＝gR. 2．第二宇宙速度和第三宇宙速度(考纲要求Ⅰ)(1)第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．(2)第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．三、经典时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c 2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．[基本能力提升]一、判断题(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G Mm R2计算物体间的万有引力．(×)(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)(4)第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是贴近地面运行的卫星的运行速度，即人造地球卫星的最大运行速度．(√)(5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)(6)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．(√)二、选择题美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒－226”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于( )A ．3.3×103 m/sB ．7.9×103 m/sC ．1.2×104 m/sD ．1.9×104 m/s【解析】 设地球的密度为ρ，半径为R ，第一宇宙速度为v 1，“开普勒－226”的第一宇宙速度为v 2，则有Gρ43 πR 3m R 2＝mv 21R ， Gρ43π 2.4R 3m 0 2.4R 2＝m 0v 222.4R ， 得v 2＝2.4v 1＝1.9×104 m/s ，故D 正确．【答案】 D。
【非】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档基础案第7章解读
第1节电流电阻电功及电功率[精题对点诊断]1．[电流的定义式]某电解池，如果在1秒钟内共有5.0×1018个二价正离子和1.0×1019个一价负离子通过某横截面，那么通过这个横截面的电流是()A．0 A B．0.8 AC．1.6 A D．3.2 A【解析】通过横截面的正离子的电量q1＝1.6×10－19×2×5.0×1018C．通过横截面的负离子的电量q2＝－1.6×10－19×1.0×1019 C，则q＝|q1|＋|q2|＝3.2 C，根据I＝q t ，故选项D正确．【答案】 D2．[电流的微观式]如图7－1－1所示，一根截面积为S 的均匀长直橡胶棒上均匀带有负电荷，每米电荷量为q，当此棒沿轴线方向做速度为v的匀速直线运动时，由于棒运动而形成的等效电流大小为()图7－1－1A．vq B．q vC．qvS D．qv S【解析】由于橡胶棒均匀带电，故时间t内定向移动的电荷量为qvt；根据电流定义式I＝qt，可以确定选项A正确．【答案】 A3．[理解电阻率]下列说法中正确的是()A．每种金属都有确定的电阻率，电阻率不随温度变化B．导线越细越长，其电阻率也越大C．一般金属的电阻率，都随温度升高而增大D．测电阻率时，为了提高精度，通过导线的电流要足够大，而且要等到稳定一段时间后才可读数【解析】由于金属的电阻率随温度的升高而增大，故A错误，选项C正确；电阻率与导线的长度无关，选项B错误；测电阻率时，若电流过大，会使被测电阻温度升高，影响测量结果，故选项D错误．【答案】 C4．[电功率与热功率]小亮家有一台电风扇，内阻为20 Ω，额定电压为220 V，额定功率为66 W，将它接上220 V电源后，发现因扇叶被东西卡住不能转动．则此时电风扇消耗的功率为()A．66 W B．2 420 WC．11 W D．不确定【解析】当扇叶被东西卡住不能转动时，电路为纯电阻电路，所以电风扇消耗的功率也就是热功率，P＝U2R＝2 420 W．选项B正确．【答案】 B[基础知识回顾]一、电流、电阻、电阻定律1．电流方向：规定为正电荷定向移动的方向. 定义：自由电荷的定向移动形成电流．定义式：I＝q t.2．电阻(1)定义式：R ＝U I. (2)物理意义：导体的电阻反映了导体对电流的阻碍作用．3．电阻定律(1)内容：同种材料的导体，其电阻跟它的长度成正比，与它的横截面积成反比，导体的电阻与构成它的材料有关．(2)表达式：R ＝ρl S. 4．电阻率(1)计算式：ρ＝R S l. (2)物理意义：反映导体的导电性能，是表征材料性质的物理量．(3)电阻率与温度的关系．①金属：电阻率随温度升高而增大．②半导体：电阻率随温度升高而减小．③超导体：当温度降低到绝对零度附近时，某些材料的电阻率突然变为零，成为超导体．二、电功、电热、电功率1．电功(1)定义：电路中电场力移动电荷做的功．(2)公式：W＝qU＝UIt.(3)电流做功的实质：电能转化成其他形式能的过程．2．电功率(1)定义：单位时间内电流做的功，表示电流做功的快慢．(2)公式：P＝Wt＝UI.3．焦耳定律(1)电热：电流流过一段导体时产生的热量．(2)计算式：Q＝I2Rt.[基本能力提升]一、判断题(1)电荷定向移动的方向为电流的方向．(×)(2)电流微观表达式I＝nqSv中v为光速．(×)(3)由R＝UI可知，电阻与电流、电压都有关系．(×)(4)由ρ＝RSl知，导体电阻率与导体的电阻和横截面积的乘积RS成正比，与导体的长度l成反比．(×)(5)电阻率是由导体材料本身决定的．(√)(6)电风扇属于纯电阻用电器，其电功等于电热．(×)二、非选择题图7－1－2甲为一测量电解液电阻率的玻璃容器，P、Q 为电极，设a＝1 m，b＝0.2 m，c＝0.1 m，当里面注满某电解液，且P、Q加上电压后，其U－I图象如图7－1－2乙所示，当U＝10 V时，求电解液的电阻率ρ是多少？图7－1－2【解析】由题图乙可求得电解液的电阻为R＝UI＝105×10－3Ω＝2 000 Ω由题图甲可知电解液长为：l＝a＝1 m 截面积为：S＝bc＝0.02 m2结合电阻定律R＝ρlS得ρ＝RSl＝2 000×0.021Ω·m＝40 Ω·m.【答案】40 Ω·m第2节电路闭合电路欧姆定律[精题对点诊断]1．[电阻的串联]电阻R1与R2并联在电路中，通过R1与R2的电流之比为1∶2，则当R1与R2串联后接入电路中时，R1与R2两端电压之比U1∶U2为()A．1∶2 B．2∶1C．1∶4 D．4∶1【解析】根据并联电路的特点，R1与R2的比值为2∶1，当串联接入电路中时，电压之比等于电阻之比，B选项正确．【答案】 B2．[电阻的并联]如图7－2－1所示电路中，三电阻并联，其阻值R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，R3＝6 Ω，干路电流为I，各分路电流分别为I1、I2和I3.下面说法中正确的是()图7－2－1A．I1∶I2∶I3＝6∶3∶2B．I1∶I2∶I3＝3∶2∶1C．I1∶I2∶I3＝2∶3∶6D．以上说法均不对【解析】并联电路电流分配与电阻倒数成正比，即I1∶I2∶I3＝1R1∶1R2∶1R3＝12∶13∶16＝36∶26∶16＝3∶2∶1，故选B正确．【答案】 B3．[电源的电动势和内阻]一电池外电路断开时的路端电压为3 V，接上8 Ω的负载后路端电压降为2.4 V，则可以判定电池的电动势E和内阻r为()A．E＝2.4 V，r＝1 ΩB．E＝3 V，r＝2 ΩC．E＝2.4 V，r＝2 ΩD．E＝3 V，r＝1 Ω【解析】因为电路断开时路端电压为3 V，所以E＝3V，当R＝8 Ω时，U＝2.4 V，所以I＝UR ＝2.48A＝0.3 A，E＝U＋Ir，所以r＝2 Ω，故选项B正确．【答案】 B4．[路端电压及其变化分析]关于闭合电路的欧姆定律及其应用．下列说法中正确的是()A．电路中总电流越大，路端电压就越高B．路端电压增大时，电源的输出功率可能减小C．电源的内电阻越大，路端电压越大D．电源电动势等于路端电压【解析】由公式I＝ER＋r可知，当R和r变小时，都有总电流变大，但由公式U＝RR＋rE可知，R变小时U变小，而r变小时U变大，r变大时U变小，所以选项A、C错误；路端电压增大时，由公式P＝UI＝E－Ur·U可知，U增大时P可能增大也可能减小，B正确；路端电压总小于电源电动势，选项D错误．【答案】 B5．[串、并联电路的功率]有四盏灯，如图7－2－2所示连接在电路中，L1和L2都标有“220 V，100 W”字样，L3和L4都标有“220 V，40 W”字样，把电路接通后，最暗的是()图7－2－2A．L1B．L2C．L3D．L4【解析】由题目给出的额定电压和额定功率可以判断出R1＝R2＜R3＝R4，即R4＞R1＞R2R3.由串联电路功率的R2＋R3分配知P4＞P1＞(P2＋P3)，而P2与P3的大小可由并联电路的功率分配知P2>P3，所以四盏灯消耗的实际功率大小关系为P4＞P1＞P2＞P3，故最暗的灯是L3.【答案】 C[基础知识回顾] 一、串、并联电路的特点1．特点比较2.几个常用推论(1)串联电路的总电阻大于电路中任意一个电阻，电路中任意一个电阻变大时，总电阻变大．(2)并联电路的总电阻小于电路中任意一个电阻，任意一个电阻变大时，总电阻变大．(3)无论电阻怎样连接，每一段电路的总耗电功率P总等于各个电阻耗电功率之和．(4)当n个等值电阻R0串联或并联时，R串＝nR0，R并＝1n R0.二、部分电路欧姆定律1．公式：I＝U R.2. 适用条件适用于金属导体和电解质溶液导电，适用于纯电阻电路．3．线性元件：伏安特性曲线为通过坐标原点的直线的电学元件．4．非线性元件：伏安特性曲线为曲线的电学元件，即非线性元件电流与电压不成正比．三、闭合电路欧姆定律1．闭合电路欧姆定律(1)内容：闭合电路里的电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电阻之和成反比．(2)公式：①I＝ER＋r(只适用于纯电阻电路)；②E＝U外＋Ir(适用于所有电路)．2．路端电压与外电阻的关系：3.电路的功率和效率(1)电源的功率P总＝EI.(2)电源内部损耗功率P内＝I2r.(3)电源的输出功率P出＝UI.(4)电源的效率η＝P出P总×100%＝UE×100%.[基本能力提升]一、判断题(1)电路中电阻越多，总电阻越大．(×)(2)电路中某电阻大，该电阻的功率不一定大．(√)(3)由R＝UI知，R与U成正比，与I成反比．(×)(4)欧姆定律也适用于气体导电．(×)(5)闭合电路中外电阻越大，路端电压越大．(√)(6)外电阻越大，电源的输出功率越大．(×)二、非选择题如图7－2－3所示，已知电源电动势E＝20 V，内阻r ＝1 Ω ，当接入固定电阻R＝4 Ω时，电路中标有“3 V，6 W”的灯泡L和内阻图7－2－3RD＝0.5 Ω的小型直流电动机D都恰能正常工作．试求：(1)电路中的电流大小；(2)电动机的额定电压；(3)电动机的输出功率．【解析】(1)灯泡L正常发光，电路中的电流为I＝PL/UL＝63A＝2 A.(2)由闭合电路欧姆定律可求得，电动机的额定电压为UD＝E－I(r＋R)－UL＝20 V－2×(1＋4) V－3 V＝7 V.(3)电动机的总功率为P总＝IUD＝2×7 W＝14 W电动机的热功率为P热＝I2RD＝22×0.5 W＝2 W所以电动机的输出功率为P出＝P总－P热＝14 W－2 W ＝12 W.【答案】(1)2 A (2)7 V (3)12 W。
高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版
第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.答案①②③解析①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题.②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a>b>0，则3a>3b>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案 既不充分又不必要解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析 易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一 命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题： ①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题； ②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ③④解析 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f(x)＝13x－1＋a (x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)(2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)答案 (1)充要 (2)必要不充分 解析 (1)f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P . ∴[－2，－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(1)若a ＝3，求A ∪B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0， 得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1， 得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >ax |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1； ③若x ＝y ，则x ＝y ； ④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为________________. 答案 若a ≤b ，则2a≤2b－1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a≤2b－1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案 充分不必要解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案 充要解析 由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案 充要解析 设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题. 其中真命题的序号为____________. 答案 ①解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数， 又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. 当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立. 反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数， 此时x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)， 则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. ∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________. 答案 [32，＋∞)解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<32.故所求λ的取值范围是[32，＋∞).*14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件. 正确的是________. 答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零， 反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立. ∴a n ＝pn －1(p －1)，n ∈N *.又a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列， ∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p .∴p p －p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。
【非常考案】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档 基础案 第3章
第1节牛顿运动定律[精题对点诊断]1．[对惯性的理解]下列关于惯性的说法中正确的是() A．物体只有静止或做匀速直线运动时才有惯性B．汽车速度越大刹车后越难停下来，表明速度越大惯性越大C．宇宙飞船中的物体处于完全失重状态，所以没有惯性D．乒乓球可以被快速抽杀，是因为乒乓球的惯性小【解析】惯性是物体的固有属性，与物体的运动状态无关，A错误；惯性的大小仅取决于物体的质量，与其速度的大小及运动的时间无关，B错误；处于完全失重状态的物体，失去的不是重力，更不是质量，而是物体对悬挂物或支持物的弹力为零，C错误；乒乓球可以被快速抽杀，是由于它的质量小，即惯性小，D正确．【答案】 D2．[对牛顿第二定律的理解]根据牛顿第二定律，下列叙述正确的是()A．物体加速度的大小跟它的质量和速度大小的乘积成反比B．物体所受合力必须达到一定值时，才能使物体产生加速度C．物体加速度的大小跟它所受作用力中的任一个的大小成正比D．当物体质量改变但其所受合力的水平分力不变时，物体水平加速度大小与其质量成反比【解析】根据牛顿第二定律a＝Fm可知物体的加速度与速度无关，所以A错；即使合力很小，也能使物体产生加速度，所以B错；物体加速度的大小与物体所受的合力成正比，所以C错；力和加速度为矢量，物体的加速度与质量成反比，所以D正确．【答案】 D3．[对牛顿第三定律的理解]如图3－1－1所示，我国有一种传统的民族体育项目叫做“押加”，实际上相当于两个人拔河，如果甲、乙两人在“押加”比赛中，甲获胜，则下列说法中正确的是()图3－1－1A．甲对乙的拉力大于乙对甲的拉力，所以甲获胜B．只有当甲把乙匀速拉过去时，甲对乙的拉力大小才等于乙对甲的拉力大小C．当甲把乙加速拉过去时，甲对乙的拉力大于乙对甲的拉力D．甲对乙的拉力大小始终等于乙对甲的拉力大小，只是地面对甲的摩擦力大于地面对乙的摩擦力，所以甲获胜【解析】物体的运动状态是由其自身的受力情况决定的，只有当物体所受的合外力不为零时，物体的运动状态才会改变，不论物体处于何种状态，物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，由于它们作用在不同的物体上，其效果可以不同．甲加速前进的原因是甲受到的地面的摩擦力大于绳子对甲的拉力；乙加速后退的原因是绳子对乙的拉力大于乙受到的地面的摩擦力；但是，根据牛顿第三定律，甲对乙的拉力大小始终等于乙对甲的拉力大小．D正确．【答案】 D[基础知识回顾]一、牛顿第一定律1．内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态．2．意义(1)指出力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态的原因，即力是产生加速度的原因．(2)指出了一切物体都有惯性，因此牛顿第一定律又称惯性定律．3．惯性(1)定义：物体具有保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质．(2)量度：质量是物体惯性大小的唯一量度，质量大的物体惯性大，质量小的物体惯性小．(3)普遍性：惯性是物体的固有属性，一切物体都有惯性．与物体的运动情况和受力情况无关．二、牛顿第二定律1．内容：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向与作用力方向相同．2．表达式：a＝Fm.3．适用范围(1)只适用于惯性参考系(相对地面静止或匀速直线运动的参考系)．(2)只适用于宏观物体(相对于分子、原子)、低速运动(远小于光速)的情况．3．牛顿第二定律的“五”性三、牛顿第三定律1．作用力和反作用力：两个物体之间的作用总是相互的．一个物体对另一个物体施加了力，另一个物体一定同时对这一个物体也施加了力．2．牛顿第三定律(1)内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上．(2)表达式：F＝－F′[基本能力提升]一、判断题(1)牛顿第一定律不能用实验验证．(√)(2)在水平面上滑动的木块最终停下来，是因为没有外力维持木块运动的结果．(×)(3)运动的物体惯性大，静止的物体惯性小．(×)(4)物体加速度的方向与所受合外力的方向一定相同．(√)(5)物体所受合力大，其加速度就一定大．(×)(6)对静止在光滑水平面上的物体施加一水平力，当力刚开始作用瞬间，物体立即获得加速度．(√)(7)作用力与反作用力的作用效果不能抵消．(√)(8)人走在松软的土地上下陷时，人对地面的压力大于地面对人的支持力 .(×)二、选择题将一个物体以某一速度从地面竖直向上抛出，设物体在运动过程中所受空气阻力大小不变，则物体( )A ．刚抛出时的速度最大B ．在最高点的加速度为零C ．上升时间大于下落时间D ．上升时的加速度等于下落时的加速度【解析】 在最高点速度为零，物体受重力，合力不可能为零，加速度不为零，故B项错．上升时做匀减速运动，h ＝12a 1t 21，下落时做匀加速运动，h ＝12a 2t 22，又因为a 1＝mg ＋Ff m，a 2＝mg －Ff m，所以t 1＜t 2，故C 、D 错误．根据能量守恒，开始时只有动能，因此开始时动能最大，速度最大，故A 项正确．【答案】 A第2节 两类动力学问题 超重和失重[精题对点诊断]1．[对超重、失重的理解]关于超重和失重的下列说法中，正确的是( )A ．超重就是物体所受的重力增大了，失重就是物体所受的重力减小了B ．物体做自由落体运动时处于完全失重状态，所以做自由落体运动的物体不受重力作用C ．物体具有向上的速度时处于超重状态，物体具有向下的速度时处于失重状态D ．物体处于超重或失重状态时，物体的重力始终存在且不发生变化【解析】 物体具有向上的加速度时处于超重状态，具有向下的加速度时处于失重状态，超重和失重并非物体的重力发生变化，而是物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力发生了变化，综上所述，A 、B 、C 均错，D 正确．【答案】 D2．[力学单位制的应用](多选)在研究匀变速直线运动的实验中，取计数时间间隔为0.1 s ，测得相邻相等时间间隔的位移差的平均值Δx ＝1.2 cm ，若还测出小车的质量为500 g ，则关于加速度、合外力的大小及单位，既正确又符合一般运算要求的是( )A ．a ＝1.20.12 m/s 2＝120 m/s 2B ．a ＝1.2×10－20.12 m/s 2＝1.2 m/s 2 C ．F ＝500×1.2 N ＝600 ND ．F ＝0.5×1.2 N ＝0.60 N【解析】 在应用公式进行数量运算的同时，也要把单位带进运算．带单位运算时，单位换算要准确．可以把题中己知量的单位都用国际单位制表示，计算结果的单位就是国际单位制单位，这样在统一已知量的单位后，就不必一一写出各个量的单位，只在数字后面写出正确单位即可．选项A 中Δx ＝1.2 cm 没用国际单位制表示，C 项中的小车质量m ＝500 g 没用国际单位制表示，所以均错误；B 、D 正确．【答案】 BD3．[动力学的基本问题]如图3－2－1所示，质量m ＝1 kg 、长L ＝0.8 m 的均匀矩形薄板静止在水平桌面上，其右端与桌子边缘相平．板与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.4.现用F ＝5 N 的水平力向右推薄板，使它翻下桌子，力F 的作用时间至少为(取g ＝10 m/s 2)( )图3－2－1A ．0.8 sB ．1.0 s C.25 5 s D ．2510 s 【解析】 板在F 作用下做加速运动F －μmg ＝ma 1，a 1＝1 m/s 2，v 2＝2a 1x 1F 撤去后物体做减速运动，μmg ＝ma 2，a 2＝4 m/s 2.速度减为零，v 2＝2a 2x 2.当板的重心越过桌子边缘会自动翻下桌子，则有x1＋x2＝L 2.v22a1＋v22a2＝L2，v＝0.8 m/s，t1＝va1＝0.8 s，故A项正确．【答案】 A[基础知识回顾]一、动力学的两类基本问题1．两类基本问题(1)已知受力情况求运动情况．(2)已知运动情况求受力情况．2．一个联系桥梁加速度是联系力和运动的桥梁3．两个关键受力分析和运动过程分析4．求解思路二、超重、失重、完全失重[基本能力提升]一、判断题(1)物体所受到的合外力越大，其速度改变量也越大．(×)(2)物体所受到的合外力不变(F合≠0)，其运动状态就不改变．(×)(3)物体所受到的合外力变化，其速度的变化率一定变化．(√)(4)物体所受到的合外力减小时，物体的速度可能正在增大．(√)(5)超重就是物体的重力变大的现象．(×)(6)减速上升的升降机内的物体，物体对地板的压力大于重力．(×)(7)减速下降的物体处于超重状态．(√)二、选择题如图3－2－2是“神舟”系列航天飞船返回舱返回地面时的示意图，假定其过程可简化为：打开降落伞一段时间后，整个装置匀速下降，为确保安全着陆，需点燃返回舱的缓冲火箭，在火箭喷气过程中返回舱做减速直线运动，则()图3－2－2A．火箭开始喷气瞬间伞绳对返回舱的拉力变小B．返回舱在喷气过程中减速的主要原因是空气阻力C．返回舱在喷气过程中所受合外力可能做正功D．返回舱在喷气过程中处于失重状态【解析】对降落伞，匀速下降时受到的重力mg、绳的拉力FT和浮力F平衡，即FT ＝F－mg.在喷气瞬间，喷气产生的反冲力向上，使降落伞减速运动，设加速度大小为a，对降落伞应用牛顿第二定律：F－FT′－mg＝ma，FT′＝F－mg－ma＜FT，故A正确，B 错误．加速度方向向上，返回舱处于超重状态，故D错误．合外力方向向上、位移方向向下，做负功，故C错误．【答案】 A。
【非常考案】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档 基础案 第1章
第1节描述运动的基本概念[精题对点诊断]1．[对质点的理解](多选)研究下列各种运动情况时(如图)，哪些情况可以将研究对象视为质点()【答案】BC2．[对参考系的理解]2013年11月26日上午，我国辽宁号航母在海军导弹驱逐舰沈阳舰、石家庄舰和导弹护卫舰烟台舰、潍坊舰的伴随下赴南海进行训练．以下说法正确的是()图1－1－1A．航母上的观察员感觉海水向后退，所选的参照物是海水B．航母上的观察员感觉海水向后退，所选的参照物是航母C ．航母上的观察员感觉其他舰没有动，其他舰一定是静止的D ．航母上的观察员感觉天空的白云没有动，航母一定是静止的 【答案】 B3．[对位移、速度的理解](多选)两个人以相同的速率同时从圆形轨道的A 点出发，分别沿ABC 和ADE 方向行走，经过一段时间后在F 点相遇(图1－1－2中未画出)．从出发到相遇的过程中，描述两人运动情况的物理量相同的是( )图1－1－2A ．速度B ．位移C ．路程D ．平均速度【解析】 运动过程中两人的速度方向不同；起点、终点都相同，说明位移相同；因两个人以相同的速率同时从圆形轨道的A 点出发，在相同的时间内所走的路程相同，根据平均速度公式，位移相同、运动时间相同，所以平均速度相同．综上分析，本题选B 、C 、D.【答案】 BCD4．[对速度、加速度的理解]关于速度和加速度的关系，以下说法正确的有( ) A ．加速度方向为正时，速度一定增大 B ．速度变化得越快，加速度越大C ．加速度方向保持不变，速度方向也保持不变D ．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小【解析】 速度是否增大，与加速度的正负无关，只与加速度与速度的方向是否相同有关，故选项A 错误；“速度变化得越快”是指速度的变化率ΔvΔt 越大，即加速度a 越大，选项B 正确；加速度方向保持不变，速度方向可能变，也可能不变，当物体做减速直线运动时，v ＝0以后就反向运动，故选项C 错误；物体在运动过程中，若加速度的方向与速度方向相同，尽管加速度在变小，但物体仍在加速，直到加速度a ＝0，速度达到最大，故选项D 错误．【答案】 B [基础知识回顾] 一、质点用来代替物体的有质量的点叫做质点，研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小对问题的影响可以忽略，就可以看做质点．二、参考系(1)为了研究物体的运动而假定不动的物体，叫做参考系．(2)对同一物体的运动，所选择的参考系不同，对它的运动的描述可能会不同，通常以地球为参考系．三、位移 速度 1．位移和路程(1)位移：描述物体位置的变化，用从初位置指向末位置的有向线段表示，是矢量． (2)路程：是物体运动轨迹的长度，是标量． 2．速度(1)平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值，即v －＝xt，是矢量．(2)瞬时速度：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度，是矢量． 3．速率和平均速率(1)速率：瞬时速度的大小，是标量．(2)平均速率：路程与时间的比值，不一定等于平均速度的大小． 四、加速度1．物理意义：描述物体运动变化快慢的物理量． 2．定义式：a ＝ΔvΔt，单位：m/s 2.3．方向：与速度变化量的方向相同，是矢量．[基本能力提升]一、判断题(1)只要是体积很小的物体，就能被看作质点．(×) (2)参考系必须要选择静止不动的物体．(×)(3)一个物体在直线运动过程中路程不会大于位移的大小．(×) (4)平均速度的方向与位移的方向相同．(√) (5)物体的速度很大，加速度不可能为零．(×) (6)物体的加速度在减小，速度可能在增大．(√) (7)加速度a 甲＝2 m/s 2大于加速度a 乙＝－3 m/s 2.(×)(8)速度增大或减小是由速度与加速度的方向关系决定的．(√) 二、选择题(多选)一质点沿一边长为2 m 的正方形轨道运动，每秒钟匀速移动1 m ，初始位置在bc 边的中点A ，由b 向c 运动，如图1－1－3所示，A 、B 、C 、D 分别是bc 、cd 、da 、ab 边的中点，则下列说法正确的是( )图1－1－3A ．第2 s 末的瞬时速度是1 m/sB ．前2 s 内的平均速度为22m/s C ．前4 s 内的平均速度为0.5 m/s D ．前2 s 内的平均速度为2 m/s【解析】 由题意质点每1 s 匀速移动1 m 可知，质点运动的速率为1 m/s ，即在每一时刻的瞬时速率均为1 m/s ，每段时间内的平均速度也均为1 m/s.在2 s 内质点通过的路程为2 m ，由A 运动到cd 边的中点B ，在第2 s 末瞬时速度大小为1 m/s ，方向由B 指向d ，瞬时速率为1 m/s ，前2 s 内的位移大小为x 1＝|AB|＝Ac 2＋Bc 2＝12＋12 m ＝ 2 m ，平均速度v －＝x 1t 1＝22 m/s ，方向由A 指向B ，平均速率为1 m/s.前4 s 内质点通过的路程为4 m ，在第4 s 末到达C 点，则前4 s 内位移大小为x 2＝|AC|＝2 m ，方向由A 指向C ，平均速度为v －2＝x 2t 2＝24m/s ＝0.5 m/s ，方向由A 指向C ，平均速率仍为1 m/s.【答案】 ABC第2节 匀变速直线运动的规律及应用[精题对点诊断]1．[对匀变速公式的理解](多选)做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a ，初速度大小为v 0，经过时间t 速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可用下列哪些式子表示( )A ．v 0t ＋12at 2B ．v 0t C.v 0t 2D ．12at 2【解析】 质点做匀减速直线运动，加速度为－a ，位移为v 0t －12at 2，A 、B 错；平均速度大小为v 02，位移大小为v 02·t ，C 对；匀减速到零的直线运动可借助反向的初速度为零的匀加速直线运动来计算，位移大小为12at 2，D 对．【答案】 CD2．[对匀变速过程及其规律的理解]质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为x ＝5t ＋t 2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )A ．第1 s 内的位移是5 mB ．前2 s 内的平均速度是6 m/sC ．任意相邻的1 s 内位移差都是1 mD ．任意1 s 内的速度增量都是2 m/s【解析】 由匀变速直线运动的位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，对比题给关系式可得v 0＝5 m/s ，a ＝2 m/s 2，则第1 s 内的位移是6 m ，A 错；前2 s 内的平均速度是v －＝x 2t ＝5×2＋222m/s ＝7m/s ，B 错；Δx ＝aT 2＝2 m ，C 错；任意1 s 内速度增量Δv ＝at ＝2 m/s ，D 对．【答案】 D3．[匀变速规律的应用]高速公路限速120 km/h ，一般也要求速度不小于80 km/h.冬天大雾天气的时候高速公路经常封道，否则会造成非常严重的车祸．如果某人大雾天开车在高速上行驶，设能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为30 m ，该人的反应时间为0.5 s ，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5 m/s 2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是( )A ．10 m/sB ．15 m/sC ．10 3 m/sD ．20 m/s【解析】 设最大速度为vm ，能见度为x ，反应时间为t ， x ＝vm·t ＋0－vm 2－2a ，即30＝0.5vm ＋vm 210解得：vm ＝15 m/s. 【答案】 B4．[自由落体运动规律的应用]一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出的轨迹长度如图1－2－1所示．已知曝光时间为11 000s ，则小石子的出发点离A 点约为( )图1－2－1A ．6.5 mB ．10 mC ．20 mD ．45 m【解析】 因曝光时间极短，故AB 段可看做匀速直线运动，小石子到达A 点时的速度为v A ＝x t ＝0.0211 000m/s ＝20 m/s ，h ＝v 2A2g ＝2022×10 m ＝20 m.【答案】 C [基础知识回顾]一、匀变速直线运动的规律 1．匀变速直线运动(1)定义：沿着一条直线运动，且加速度不变的运动． (2)分类①匀加速直线运动，a 与v 0同向． ②匀减速直线运动，a 与v 0反向． 2．匀变速直线运动的规律 (1)速度公式：v ＝v 0＋at. (2)位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2.(3)位移速度关系式：v 2－v 20＝2ax. 3．匀变速直线运动的推论 (1)匀变速直线运动的两个重要推论①物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：v －＝v t 2＝v 0＋v 2.②任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移之差为一恒量，即：Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2.(2)初速度为零的匀变速直线运动的四个重要推论 ①1T 末、2T 末、3T 末、……瞬时速度的比为： v 1∶v 2∶v 2∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n.②1T 内、2T 内、3T 内……位移的比为： x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶32∶…∶n 2.③第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……位移的比为：x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)． 二、自由落体运动和竖直上抛运动 1．自由落体运动(1)条件：物体只受重力、从静止开始下落．(2)运动性质：初速度v 0＝0，加速度为重力加速度g 的匀加速直线运动． (3)基本规律 ①速度公式：v ＝gt. ②位移公式：h ＝12gt 2.③速度位移关系式：v 2＝2gh. 2．竖直上抛运动(1)运动特点：加速度为g ，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动． (2)基本规律①速度公式：v ＝v 0－gt. ②位移公式：h ＝v 0t －12gt 2.③速度位移关系式：v 2－v 20＝－2gh. ④上升的最大高度：H ＝v 202g .⑤上升到最高点所用时间：t ＝v 0g.[基本能力提升]一、判断题(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动．(×) (2)匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动．(√) (3)匀变速直线运动的位移是均匀增加的．(×) (4)物体从高处下落就是自由落体运动．(×) (5)竖直上抛运动是匀变速直线运动．(√) (6)竖直上抛运动上升至最高点的时间为v 0g .(√)二、选择题一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx 所用的时间为t 1，紧接着通过下一段位移Δx 所用的时间为t 2，则物体运动的加速度为( )A.2Δx t 1－t 2 t 1t 2 t 1＋t 2 B ．Δx t 1－t 2t 1t 2 t 1＋t 2C.2Δx t 1＋t 2 t 1t 2 t 1－t 2D ．Δx t 1＋t 2 t 1t 2 t 1－t 2【解析】 物体做匀变速直线运动，由匀变速直线运动规律： v －＝v t 2＝x t 知：v t 2＝Δx t 1①v t 2＝Δx t 2②由匀变速直线运动速度公式v t ＝v 0＋at 知 v t 2＝v t 2＋a·⎝⎛⎭⎫t 1＋t 22③①②③式联立解得a ＝2Δx t 1－t 2 t 1t 2 t 1＋t 2 .【答案】 A第3节 运动图象 追及、相遇问题[精题对点诊断]1．[对位移－时间图象的理解]一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移—时间图象如图1－3－1所示，则( )图1－3－1A ．15 s 内汽车的位移为300 mB ．前10 s 内汽车的加速度为3 m/s 2C ．20 s 末汽车的速度为－1 m/sD ．前25 s 内汽车做单向直线运动 【答案】 C2．[对速度—时间图象的理解]日本在2013年9月中旬用“艾晋西龙”号固体燃料火箭成功发射了一颗卫星．此前多次发射均告失败．若某次竖直向上发射时火箭发生故障，造成火箭的v －t 图象如图1－3－2所示，则下述说法正确的是( )图1－3－2A ．0～1 s 内火箭匀速上升B ．1 s ～2 s 火箭静止不动C ．3 s 末火箭回到出发点D ．5 s 末火箭恰好回到出发点【解析】 在v －t 图象中，图线的斜率表示加速度，故0～1 s 内火箭匀加速上升，1 s ～2 s 内火箭匀速上升，第3 s 时火箭速度为0，即上升到最高点，故选项A 、B 、C 错；图线与时间轴包围的面积表示位移，在0～3 s 内，x 1＝12×(1＋3)×30 m ＝60 m ，在3 s ～5 s 内，x 2＝－12×2×60 m ＝－60 m ，所以x ＝x 1＋x 2＝0，即5 s 末火箭恰好回到出发点，选项D 对．【答案】 D3．[利用v －t 图分析追及问题]两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶，t ＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v －t 图象如下．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆( )【解析】 由v －t 图象的特点可知，图线与t 轴所围面积的大小，即为物体位移的大小．观察4个图象，只有C 选项中，a 、b 所围面积的大小有相等的时刻，故选项C 正确．【答案】 C [基础知识回顾]一、两种图象1．两物体在同一时刻到达相同的位置，即两物体追及或相遇．2．追和被追两者的速度相等常是能追上、追不上、二者之间的距离有极值的临界条件．(1)在两个物体的追及过程中，当追者的速度小于被追者的速度时，两者的距离在增大．(2)当追者的速度大于被追者的速度时，两者的距离在减少．(3)当两者的速度相等时，两者的间距有极值，是最大值还是最小值，视实际情况而定．[基本能力提升]一、判断题(1)两条v －t 图象的交点表示两个物体相遇．(×)(2)两条x －t 图象的交点表示两个物体相遇．(√)(3)相向运动的物体产生的位移大小之和等于开始时二者之距时即相遇．(√)(4)无论是x －t 图象还是v －t 图象都只能描述直线运动．(√)(5)x －t 图象和v －t 图象不表示物体运动的轨迹．(√)(6)x －t 图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．(×)二、选择题(2014·天津高考)质点做直线运动的速度－时间图象如图1－3－3所示，该质点( )图1－3－3A．在第1秒末速度方向发生了改变B．在第2秒末加速度方向发生了改变C．在前2秒内发生的位移为零D．第3秒末和第5秒末的位置相同【解析】v－t图象中，纵坐标的正负表示运动方向，从图中看出，第1秒内和第2秒内速度都为正，因此第1秒末速度方向没有发生改变，A错误．图线斜率的正负表示加速度方向，从图中看出，第2秒内和第3秒内加速度都为负，因此第2秒末加速度方向没有发生改变，B错误．前2秒物体向同一个方向运动，v－t图线与时间轴所围面积为2 m，C错误．从图中看出，物体在第4秒和第5秒内位移大小相同，方向相反，即第3秒和第5秒末物体位置相同，D正确．【答案】 D。
高三一轮复习第一册1
考点 2 集合的基本关系
判断两集合关系的方法
(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两
个集合的关系．
例
(1)(2019·唐山模拟)设集合 M＝{x|x2－x＞0}，N＝x1x＜1
，则(
)
A．M N
B．N M
A．0
B．1
C)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合 A B＝{(x1＋x2，
y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则 A B 中元素的个数为( )
A．77
B．49
C．45
D．30
(4)设集合 A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合 B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若 A∩B 中恰含有一个整数，则实数 a 的
取值范围是( )
A．0，34
B．34，43
C．34，＋∞
D．(1，＋∞)
变式训练
1．(2019·许昌、洛阳三模)已知集合 A＝{x|y＝ －x2＋1}，B＝(0,1)，则 A∩B＝( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(－1,1)
D．[－1,1]
2．(2019·合肥巢湖一模)已知集合 A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若 A∩B≠∅，则实数 a 的取值范围为( )
A．[3，＋∞)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(－∞，3]
3．(2019·安徽宣城八校联考期末)如图，设全集 U＝N，集合 A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部 分表示的集合为( )
高考数学一轮复习第1章第1节集合教师用书文北师大版3
第一章集合与常用逻辑用语[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般是一个选择题，个别年份是两个选择题，从考查分值看，在5分左右，题目注重基础，属容易题．2．从考查知识点看：主要考查集合的关系及其运算，有时综合考查一元二次不等式的解法，突出对数形结合思想的考查，对常用逻辑用语考查较少，有时会命制一道小题．3．从命题思路看：(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查．(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相结合考查．(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查．(4)通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2018年，本章内容考查的重点是：①集合的关系及其基本运算；②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断；③充分条件，必要条件的判断．[导学心语]根据近5年的全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：1．全面系统复习，深刻理解知识本质(1)重视对集合相关概念的理解，深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法．(2)重视充分条件、必要条件的判断，弄清四种命题的关系．(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断，掌握特称命题、全称命题否定的含义．2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律(1)子集的个数及判定问题．(2)集合的运算问题．(3)充分条件、必要条件的判断问题．(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题．(5)特称命题、全称命题的否定问题．3．重视数学思想方法的应用(1)数形结合思想：解决有关集合的运算问题时，可利用Venn图或数轴更直观地求解．(2)转化与化归思想：通过运用原命题和其逆否命题的等价性，进行恰当转化，巧妙判断命题的真假．第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，并且A≠B，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案] (1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )【导学号：66482000】A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{5,7}D ．{1,7}B [集合A 与集合B 的公共元素有3,5，故A ∩B ＝{3,5}，故选B.]4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则∁A B ＝( ) A ．{4,8} B ．{0,2,6} C ．{0,2,6,10}D ．{0,2,4,6,8,10}C [∵集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}， ∴∁A B ＝{0,2,6,10}．]5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．2 [集合A 表示圆心在原点的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素．](1)( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0D ．0或98(1)C (2)D [(1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1； 当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.][规律方法] 1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．[变式训练1] 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．【导学号：66482001】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98 [∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意；当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(1)B (2)(－∞，4] [(1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.][规律方法] 1.B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、韦恩(Venn)图化抽象为直观进行求解．[变式训练2] (1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合A＝{x|x＞0}，且B⊆A，则集合B 可能是( )【导学号：66482002】A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R(2)(2017·湖南师大附中模拟)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为( )A．2 B．－1C．－1或2 D．2或 2(1)A(2)A[(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A 正确．(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}．因为B＝{1，m}，且A⊆B，所以m＝2.]☞角度1(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2(2)(2017·郑州调研)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1](1)D(2)A[(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．(2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，M∪N＝[0,1]．]☞角度2 集合的交、并、补的混合运算(1)(2016·山东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}(2)(2017·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是( )图111A．[－1,1) B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)(1)A(2)D[(1)∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．][规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．易错警示：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．[思想与方法]1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．[易错与防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．。
高三数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用教师用书 试题
卜人入州八九几市潮王学校第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络集合及其运算典例精析题型一集合中元素的性质【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，假设－3∈A，务实数a的值.【解析】令a＋1＝－3⇒a＝－4，检验合格；令a－3＝－3⇒a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；令2a－1＝－3⇒a＝－1，检验合格；而a2＋1≠－3；故所求a的值是－1或者－4.【点拨】此题重在考察元素确实定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.【变式训练1】假设a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求a和b的值.【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，，b}，得①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+ababba,1,0或者②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+1,,0baabba显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.题型二集合的根本运算【例2】A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，假设B⊆A，务实数a.【解析】由得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{}.要使B⊆A，那么＝3或者＝5，即a＝或者.综上，a＝0或者或者.【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是此题分类讨论的根源.【变式训练2】(2021)假设集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，那么A∩B等于()A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度〞为b－a，假设A的区间“长度〞为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度〞为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度〞为10.设A的区间“长度〞为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，所以≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4096，所以t的取值范围为[256,4096](或者[28,212]).【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，那么图中阴影局部所表示的集合是()A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}【解析】选C.化简得M＝{x＜－2或者x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影局部为∁RM∩N＝{x|1＜x≤2}.总结进步对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，本质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合〞思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要结实掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合那么侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可无视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.典例精析题型一(1)假设m，n都是奇数，那么m＋n是奇数；(2)假设x＋y＝5，那么x＝3且y＝2.)⌝p，那么⌝q ⌝q，那么⌝pC.假设q，那么p ⌝q，那么p【解析】选B.题型二充分必要条件探究【例2】设m＞0，且为常数，条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，假设⌝p是⌝q的必要非充分条件，务实数m的取值范围.【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|＜x＜或者－＜x＜－}.由题设有：⌝q⇒⌝p且⌝p不能推出⌝q，所以p⇒q且q不能推出p，所以A⊆B.因为m＞0，所以(2－m，2＋m)⊆(，)，故由2＋m≤且2－m≥⇒0＜m≤－2，故实数m的取值范围为(0，－2].【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或者x≥4}，那么A∩B＝∅的充要条件是()A.0≤a≤2B.－2＜a＜2C.0＜a≤2D.0＜a＜2【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或者x≥4}，且A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有＋＋…＋＝成立的充要条件是{an}为等差数列.【证明】(1)(充分性)假设{an}为等差数列，设其公差为d，那么＋＋…＋＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－)＝＝.(2)(必要性)假设＋＋…＋＝，那么＋＋…＋＋＝，两式相减得＝－⇒a1＝nan－(n－1)an＋1.①于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，②由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2).又由＋＝⇒a3－a2＝a2－a1，所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进展探求.【变式训练3】设0＜x＜，那么“xsin2x＜1〞是“xsinx＜1〞的()【解析】选B.假设xsinx＜1，因为x∈(0，)，所以xsinx＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立.假设xsin2x＜1，由于函数f(x)＝xsin2x在(0，)上单调递增，且sin2＝＞1，所以存在x0∈(0，)使得x0sin2x0＝1.又x0sinx0＞x0sin2x0＝1，即x0sinx0＞1，所以存在x0′∈(0，x0)使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sinx0′≥1，故充分性不成立.总结进步适宜这种处理方法的题型有：①②〞、“至多〞等；③④3.p是q的充分条件，即p⇒q，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：P⊆Q，即P ⇔q就相当于P＝Q.4.以下四种说法表达的意义是一样的：①②p⇒q；③p是q的充分条件；④q是p的必要条件.简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一(1)∀x∈R，都有x2－x＋1＞；(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N；(4)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.)2＋≥＞.，β＝，符合题意.∉N.∃x∈R，使tan∀x∈R，x2＞0.那么下面结论正确的选项是()∧∧⌝⌝p∨⌝p∧⌝，⌝⌝∧∧⌝⌝p∨⌝p∧⌝题型二(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.【解析】(1)⌝p：∃x∈R，x2－x＋(2)⌝(3)⌝r：∀x∈(4)⌝s：∀x∈∀x∈(1，＋∞)，log3x＞0，那么⌝p为.【解析】∃x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.题型三【例3】假设r(x)：sinx＋cosx＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，假设“对任意的x∈∈【解析】因为由m＜sinx＋cosx＝sin(x＋)恒成立，得m＜－；而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2.且－2＜m＜2，故所求m的取值范围为－≤m＜2.【变式训练3】设M是由满足以下性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.以下函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx，其中属于集合M的函数是(写出所有满足要求的函数的序号).【解析】②④.对于①，方程＝＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，显然也无实数解；对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝②④.总结进步。
2016届高考一轮复习第一节集合教师用书
第一节集合1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．一、必备知识1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．B BB2．A∩A＝A，A∩∅＝∅.3．A∪A＝A，A∪∅＝A.4．A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.6．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.一、思考辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3){1,2,3}＝{3,2,1}．()(4){0}＝∅.()(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．()(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()提示：(1)错误．A是函数y＝x2的定义域，即A＝R；B是函数y＝x2的值域，即B＝{y|y≥0}；C是抛物线y＝x2上的点组成的集合．(2)错误．元素与集合间的关系为“∈”或“∉”，a在集合A中，可用符号表示为a∈A.(3)正确．集合中元素的无序性的体现．(4)错误．∅是空集，不含有任何元素；而{0}是含有一个元素0的单元素集合．(5)正确．借助Venn图可知，(A∩B)⊆(A∪B)总是成立．(6)错误．若A＝∅，或A⊆B且A⊆C时，原题关系也成立，而集合B与C不一定相等．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×二、牛刀小试1．(2014·北京高考)若集合A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，则A∩B＝()A．{0,1,2,3,4}B．{0,4}C．{1,2} D．{3}解析：选C集合A与集合B的公共元素是1,2，即A∩B＝{1,2}．故选C.2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|－2<x<1}，则M∩N＝()A．(－2,1) B．(－1,1)C．(1,3) D．(－2,3)解析：选B借助数轴可得M∩N＝(－1,1)，选B.3．(2014·辽宁高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}解析：选D A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.4．设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为()A．3 B．1C．±1 D．1或3解析：选D因为A∩B＝5，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以A∩∁R B＝{x|1≤x＜2}．答案：{x |1≤x ＜2}考点一 集合的基本概念[例1] (1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98[听前试做] (1)由题意可知，集合M ＝{5,6,7,8}，因此共4个元素．(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98， 所以a 的值为0或98. 答案：(1)B (2)D解决集合的概念问题应关注两点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．1．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，即b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.2．设集合A ＝{2,3，a 2＋2a －3}，集合B ＝{|a ＋3|,2}，已知5∈A ，且5∉B ，则a 的值为________．解析：由于5∈A ，且A ＝{2,3，a 2＋2a －3}，∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，B ＝{5,2}，不符合条件5∉B ，∴a ＝2不符合题意，应舍去；当a ＝－4时，B ＝{1,2}，符合条件5∉B ，∴a ＝－4.答案：－4考点二集合间的基本关系题根迁移，多维探究[例2] (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ⊆A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[听前试做] (1)由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}， ∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B. (2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.答案：(1)B (2)(－∞，3][探究1] 在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.[探究2] 若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：∵B ⊆A ，∴①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2， 解得⎩⎨⎧ m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4. 综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．[探究3] 若将本例(2)中的集合A ，B 分别更换为A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，如何求解？解：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．1．(2015·济南模拟)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是() A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}解析：选D由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选D因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故满足条件的集合C有4个．有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：离散型数集间的交、并、补运算[例3](2014·重庆高考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.[听前试做]依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A＝{4,6,7,9,10}，(∁U A)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}角度二：连续型数集间的交、并、补运算[例4](2014·山东高考)设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝() A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2) D．(1,4)[听前试做]由题意得集合A＝(0,2)，集合B＝[1,4]，所以A∩B＝[1,2)．答案：C角度三：已知集合的运算结果求集合[例5]设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁U N＝{2,4}，则N＝()A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}[听前试做]画出Venn图，阴影部分为M∩∁U N＝{2,4}，∴N＝{1，3,5}．答案：B角度四：已知集合的运算结果求参数[例6]已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.[听前试做]A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m＜1，则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 1集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．1．(2015·宁波模拟)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}解析：选C 因为A ＝{x |x (x ＋3)<0}＝{x |－3<x <0}，∁U B ＝{x |x ≥－1}，阴影部分为A ∩(∁U B )，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x <0}，故选C.2．(2015·福州模拟)已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝2－x 2}，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,2]C ．[－1， 2 ]D ．∅解析：选B M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{y |y ＝2－x 2}＝{y |y ≤2}，所以M ∩N ＝[－1,2]，故选B.3．(2015·龙岩模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ∩A ＝{3}，B ∪A ＝{1,2,3,4,5}，则集合B 的子集的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由题意知B ＝{3,4,5}，集合B 含有3个元素，则其子集个数为23＝8.4．(2015·郑州模拟)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎣⎡⎭⎫34，43C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞) 解析：选B 由题意知A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧ a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，考查考生理解、解决创新问题的能力．归纳起来常见的命题角度有：角度一：创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以创新，结合相应的数学知识，来解决创新集合的新定义问题．[例7] 如果集合A 满足“若x ∈A ，则－x ∈A ”，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.[听前试做] 由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合集合中元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．答案：{0,6}角度二：创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．[例8] 对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个．[听前试做] m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)．答案：15角度三：创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．[例9] 对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i[听前试做] ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.答案：B解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、特值等方法解决．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义一个二元运算“*”(即对任意的a ，b ∈S ，对于有序元素对(a ，b )，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应)．若对任意的a ，b ∈S ，有a *(b *a )＝b ，则对任意的a ，b ∈S ，下列等式中不恒成立的是( )A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b解析：选A根据题意“对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b”，则选项B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a一定成立；选项C中，b*(b*b)＝b一定成立；选项D中(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a ＝b，一定成立，故选A.—————————————[课堂归纳——通法领悟]——————————————1种思想——数形结合思想Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3个注意点——解决集合问题应注意的问题(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．[全盘巩固]一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1}B．{2} C．{0,1} D．{1,2}解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为() A．5 B．4 C．3 D．2解析：选C当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析：选B由M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，可求出P＝M∩N＝{1,3}，所以P的子集共有22＝4个，故选B.4．集合A＝{x|2 015<x<2 016}，B＝{x|x>a}满足A∩B＝∅，则实数a的取值范围为() A．{a|a≥2 015} B．{a|a≤2 015}C．{a|a≥2 016} D．{a|a≤2 016}解析：选C将集合A＝{x|2 015<x<2 016}，B＝{x|x>a}表示在数轴上，如图所示，因为A ∩B ＝∅，所以a ≥2 016，故选C.5．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，－1 解析：选D 由A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，得2a ＝12，解得a ＝－1，从而b ＝12.所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，则A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，－1. 6．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}．则A ∩(∁R B )＝( )A ．[－3,2]B ．[－2,0)∪(0,3]C ．[－3,0]D ．[－3,0)解析：选D 由题意知集合A ＝[－3,2]，集合B ＝[0,2]，∁R B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝[－3,0)．7．设集合U ＝{－1,1,2,3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{－1,1}，则实数p 的值为( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：选D 由已知条件可得M ＝{2,3}，则2,3是方程x 2－5x ＋p ＝0的两根，则p ＝6，故选D.8．(2015·西安模拟)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ⊆(A ∩B )，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 C ．(－∞，－1] D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析：选C 因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32； ②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1. 由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．二、填空题9．(2015·济南模拟)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 015＝________. 解析：因为M ＝N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m ，log 2n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝2.故(m －n )2 015＝－1或0. 答案：－1或010．(2015·昆明模拟)若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：解不等式x 2－9x <0可得0<x <9，所以A ＝{x |0<x <9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B ＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.答案：311．(2015·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]12．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝________.解析：由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}[冲击名校]1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 3x ≥1，x ∈N ，B ＝{x |log 2(x ＋1)≤1，x ∈N }，S ⊆A ，S ∩B ≠∅，则集合S 的个数为( )A ．0B ．2C ．4D ．8解析：选C 法一：从0开始逐一验证自然数可知A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1}，要使S ⊆A ，S ∩B ≠∅，S 中必含有元素1，可能有元素2,3，所以S 有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}，共4个．法二：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 3x ≥1，x ∈N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1－3x ≤0，x ∈N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x x －3x ≤0，x ∈N ＝{x |0<x ≤3，x ∈N }＝{1,2,3}，B ＝{x |log 2(x ＋1)≤1，x ∈N }＝{x |0<x ＋1≤2，x ∈N }＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }＝{0,1}，因为S ⊆A ，S ∩B ≠∅，所以集合S 中必含有元素1，可能有元素2,3，可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}，共4个，故选C.2．(2015·衡水模拟)已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0 D. 2解析：选B k 2－2＝2⇒k ＝2或k ＝－2，又因为k －2∉A ，所以k ＝－2符合题意； k 2－2＝0⇒k ＝2或k ＝－2，又因为k －2∉A ，所以k ＝2，k ＝－2符合题意；k 2－2＝1⇒k ＝3或k ＝－3，又因为k －2∉A ，所以k ＝3，k ＝－3符合题意；k 2－2＝4⇒k ＝6或k ＝－6，又因为k －2∉A ，所以k ＝6，k ＝－6符合题意；所以B ＝{－2，2，－2，3，－3，6，－6}，所以集合B 中所有元素之和为－2.3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，则实数m 的值为________；(2)若A ⊆∁R B ，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2. (2)由(1)知：∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m ＜－3}．答案：(1)2 (2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，则a ＋b 的值等于________．解析：由已知得A ＝{x |x <－1或x >3}，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}．∴B ＝{x |－1≤x ≤4}，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝4.∴a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7.答案：－75．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7。
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第1节描述运动的基本概念[精题对点诊断]1．[对质点的理解](多选)研究下列各种运动情况时(如图)，哪些情况可以将研究对象视为质点()【答案】BC2．[对参考系的理解]2013年11月26日上午，我国辽宁号航母在海军导弹驱逐舰沈阳舰、石家庄舰和导弹护卫舰烟台舰、潍坊舰的伴随下赴南海进行训练．以下说法正确的是()图1－1－1A．航母上的观察员感觉海水向后退，所选的参照物是海水B．航母上的观察员感觉海水向后退，所选的参照物是航母C．航母上的观察员感觉其他舰没有动，其他舰一定是静止的D．航母上的观察员感觉天空的白云没有动，航母一定是静止的【答案】 B3．[对位移、速度的理解](多选)两个人以相同的速率同时从圆形轨道的A点出发，分别沿ABC和ADE方向行走，经过一段时间后在F点相遇(图1－1－2中未画出)．从出发到相遇的过程中，描述两人运动情况的物理量相同的是()图1－1－2A．速度B．位移C．路程D．平均速度【解析】运动过程中两人的速度方向不同；起点、终点都相同，说明位移相同；因两个人以相同的速率同时从圆形轨道的A点出发，在相同的时间内所走的路程相同，根据平均速度公式，位移相同、运动时间相同，所以平均速度相同．综上分析，本题选B、C、D.【答案】BCD4．[对速度、加速度的理解]关于速度和加速度的关系，以下说法正确的有()A．加速度方向为正时，速度一定增大B．速度变化得越快，加速度越大C．加速度方向保持不变，速度方向也保持不变D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小【解析】速度是否增大，与加速度的正负无关，只与加速度与速度的方向是否相同有关，故选项A错误；“速度变化得越快”是指速度的变化率ΔvΔt越大，即加速度a越大，选项B正确；加速度方向保持不变，速度方向可能变，也可能不变，当物体做减速直线运动时，v＝0以后就反向运动，故选项C错误；物体在运动过程中，若加速度的方向与速度方向相同，尽管加速度在变小，但物体仍在加速，直到加速度a＝0，速度达到最大，故选项D错误．【答案】 B[基础知识回顾]一、质点用来代替物体的有质量的点叫做质点，研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小对问题的影响可以忽略，就可以看做质点．二、参考系(1)为了研究物体的运动而假定不动的物体，叫做参考系．(2)对同一物体的运动，所选择的参考系不同，对它的运动的描述可能会不同，通常以地球为参考系．三、位移速度1．位移和路程(1)位移：描述物体位置的变化，用从初位置指向末位置的有向线段表示，是矢量．(2)路程：是物体运动轨迹的长度，是标量．2．速度(1)平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值，即v－＝xt，是矢量．(2)瞬时速度：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度，是矢量．3．速率和平均速率(1)速率：瞬时速度的大小，是标量．(2)平均速率：路程与时间的比值，不一定等于平均速度的大小．四、加速度1．物理意义：描述物体运动变化快慢的物理量．2．定义式：a＝ΔvΔt，单位：m/s2.3．方向：与速度变化量的方向相同，是矢量．[基本能力提升]一、判断题(1)只要是体积很小的物体，就能被看作质点．(×)(2)参考系必须要选择静止不动的物体．(×)(3)一个物体在直线运动过程中路程不会大于位移的大小．(×)(4)平均速度的方向与位移的方向相同．(√)(5)物体的速度很大，加速度不可能为零．(×)(6)物体的加速度在减小，速度可能在增大．(√)(7)加速度a甲＝2 m/s2大于加速度a乙＝－3 m/s2.(×)(8)速度增大或减小是由速度与加速度的方向关系决定的．(√)二、选择题(多选)一质点沿一边长为2 m的正方形轨道运动，每秒钟匀速移动1 m，初始位置在bc边的中点A，由b向c运动，如图1－1－3所示，A、B、C、D分别是bc、cd、da、ab 边的中点，则下列说法正确的是()图1－1－3A．第2 s末的瞬时速度是1 m/sB．前2 s内的平均速度为22m/sC．前4 s内的平均速度为0.5 m/sD．前2 s内的平均速度为2 m/s【解析】由题意质点每1 s匀速移动1 m可知，质点运动的速率为1 m/s，即在每一时刻的瞬时速率均为1 m/s，每段时间内的平均速度也均为1 m/s.在2 s内质点通过的路程为2 m，由A运动到cd边的中点B，在第2 s末瞬时速度大小为1 m/s，方向由B指向d，瞬时速率为1 m/s，前2 s内的位移大小为x1＝|AB|＝Ac2＋Bc2＝12＋12m＝ 2 m，平均速度v－＝x1t1＝22m/s，方向由A指向B，平均速率为1 m/s.前4 s内质点通过的路程为4 m，在第4 s末到达C点，则前4 s内位移大小为x2＝|AC|＝2 m，方向由A指向C，平均速度为v－2＝x2t2＝24m/s＝0.5 m/s，方向由A指向C，平均速率仍为1 m/s.【答案】ABC第2节匀变速直线运动的规律及应用[精题对点诊断]1．[对匀变速公式的理解](多选)做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a，初速度大小为v0，经过时间t速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可用下列哪些式子表示( )A ．v 0t ＋12at 2 B ．v 0t C.v 0t 2 D ．12at 2 【解析】 质点做匀减速直线运动，加速度为－a ，位移为v 0t －12at 2，A 、B 错；平均速度大小为v 02，位移大小为v 02·t ，C 对；匀减速到零的直线运动可借助反向的初速度为零的匀加速直线运动来计算，位移大小为12at 2，D 对． 【答案】 CD2．[对匀变速过程及其规律的理解]质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为x ＝5t ＋t 2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )A ．第1 s 内的位移是5 mB ．前2 s 内的平均速度是6 m/sC ．任意相邻的1 s 内位移差都是1 mD．任意1 s内的速度增量都是2 m/s【解析】由匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋12at2，对比题给关系式可得v0＝5 m/s，a＝2 m/s2，则第1 s内的位移是6 m，A错；前2 s内的平均速度是v－＝x2t＝5×2＋222m/s＝7 m/s，B错；Δx＝aT2＝2 m，C错；任意1 s内速度增量Δv＝at＝2 m/s，D对．【答案】 D3．[匀变速规律的应用]高速公路限速120 km/h，一般也要求速度不小于80 km/h.冬天大雾天气的时候高速公路经常封道，否则会造成非常严重的车祸．如果某人大雾天开车在高速上行驶，设能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为30 m，该人的反应时间为0.5 s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5 m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是()A．10 m/s B．15 m/sC．10 3 m/s D．20 m/s【解析】设最大速度为vm，能见度为x，反应时间为t，x＝vm·t＋0－vm2－2a，即30＝0.5vm＋vm210解得：vm＝15 m/s.【答案】 B4．[自由落体运动规律的应用]一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出的轨迹长度如图1－2－1所示．已知曝光时间为11 000s，则小石子的出发点离A点约为()图1－2－1A．6.5 m B．10 mC．20 m D．45 m【解析】因曝光时间极短，故AB段可看做匀速直线运动，小石子到达A点时的速度为v A＝xt＝0.0211 000m/s＝20m/s，h＝v2A2g＝2022×10m＝20 m.【答案】 C[基础知识回顾]一、匀变速直线运动的规律1．匀变速直线运动(1)定义：沿着一条直线运动，且加速度不变的运动．(2)分类①匀加速直线运动，a与v0同向．②匀减速直线运动，a与v0反向．2．匀变速直线运动的规律(1)速度公式：v＝v0＋at.(2)位移公式：x＝v0t＋12at2.(3)位移速度关系式：v2－v20＝2ax.3．匀变速直线运动的推论(1)匀变速直线运动的两个重要推论①物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：v－＝v t2＝v0＋v2.②任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝x n－x n－1＝aT2.(2)初速度为零的匀变速直线运动的四个重要推论①1T末、2T末、3T末、……瞬时速度的比为：v1∶v2∶v2∶…∶v n＝1∶2∶3∶…∶n.②1T内、2T内、3T内……位移的比为：x1∶x2∶x3∶…∶x n＝12∶22∶32∶…∶n2.③第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：x1∶x2∶x3∶…∶x n＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t1∶t2∶t3∶…∶t n＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)．二、自由落体运动和竖直上抛运动1．自由落体运动(1)条件：物体只受重力、从静止开始下落．(2)运动性质：初速度v0＝0，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动．(3)基本规律①速度公式：v＝gt.②位移公式：h＝12gt2.③速度位移关系式：v2＝2gh.2．竖直上抛运动(1)运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动．(2)基本规律①速度公式：v＝v0－gt.②位移公式：h＝v0t－12gt2.③速度位移关系式：v2－v20＝－2gh.④上升的最大高度：H＝v20 2g.⑤上升到最高点所用时间：t＝v0 g.[基本能力提升]一、判断题(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动．(×)(2)匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动．(√)(3)匀变速直线运动的位移是均匀增加的．(×)(4)物体从高处下落就是自由落体运动．(×)(5)竖直上抛运动是匀变速直线运动．(√)(6)竖直上抛运动上升至最高点的时间为v0g.(√)二、选择题一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2，则物体运动的加速度为()A.2Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2)B ．Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2) C.2Δx (t 1＋t 2)t 1t 2(t 1－t 2) D ．Δx (t 1＋t 2)t 1t 2(t 1－t 2)【解析】 物体做匀变速直线运动，由匀变速直线运动规律：v －＝v t 2＝x t 知：v t 2＝Δxt 1① v t 2＝Δxt 2② 由匀变速直线运动速度公式v t ＝v 0＋at 知v t 2＝v t 2＋a·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 1＋t 22③ ①②③式联立解得a ＝2Δx (t 1－t 2)t 1t 2(t 1＋t 2).【答案】 A第3节运动图象追及、相遇问题[精题对点诊断]1．[对位移－时间图象的理解]一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移—时间图象如图1－3－1所示，则()图1－3－1A．15 s内汽车的位移为300 mB．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2C．20 s末汽车的速度为－1 m/sD．前25 s内汽车做单向直线运动【答案】 C2．[对速度—时间图象的理解]日本在2013年9月中旬用“艾晋西龙”号固体燃料火箭成功发射了一颗卫星．此前多次发射均告失败．若某次竖直向上发射时火箭发生故障，造成火箭的v－t图象如图1－3－2所示，则下述说法正确的是()图1－3－2A．0～1 s内火箭匀速上升B．1 s～2 s火箭静止不动C．3 s末火箭回到出发点D．5 s末火箭恰好回到出发点【解析】在v－t图象中，图线的斜率表示加速度，故0～1 s内火箭匀加速上升，1 s～2 s内火箭匀速上升，第3 s 时火箭速度为0，即上升到最高点，故选项A、B、C错；图线与时间轴包围的面积表示位移，在0～3 s内，x1＝12×(1＋3)×30 m＝60 m，在3 s～5 s内，x2＝－12×2×60 m＝－60 m，所以x＝x1＋x2＝0，即5 s末火箭恰好回到出发点，选项D 对．【答案】 D3．[利用v－t图分析追及问题]两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶，t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v－t图象如下．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆()【解析】由v－t图象的特点可知，图线与t轴所围面积的大小，即为物体位移的大小．观察4个图象，只有C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故选项C正确．【答案】 C[基础知识回顾]一、两种图象反映了物体速度随时间的变化图象的斜率表示物体运动的加速度二、追及、相遇问题1．两物体在同一时刻到达相同的位置，即两物体追及或相遇．2．追和被追两者的速度相等常是能追上、追不上、二者之间的距离有极值的临界条件．(1)在两个物体的追及过程中，当追者的速度小于被追者的速度时，两者的距离在增大．(2)当追者的速度大于被追者的速度时，两者的距离在减少．(3)当两者的速度相等时，两者的间距有极值，是最大值还是最小值，视实际情况而定．[基本能力提升]一、判断题(1)两条v－t图象的交点表示两个物体相遇．(×)(2)两条x－t图象的交点表示两个物体相遇．(√)(3)相向运动的物体产生的位移大小之和等于开始时二者之距时即相遇．(√)(4)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．(√)(5)x－t图象和v－t图象不表示物体运动的轨迹．(√)(6)x－t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．(×)二、选择题(2014·天津高考)质点做直线运动的速度－时间图象如图1－3－3所示，该质点()图1－3－3A．在第1秒末速度方向发生了改变B．在第2秒末加速度方向发生了改变C．在前2秒内发生的位移为零D．第3秒末和第5秒末的位置相同【解析】v－t图象中，纵坐标的正负表示运动方向，从图中看出，第1秒内和第2秒内速度都为正，因此第1秒末速度方向没有发生改变，A错误．图线斜率的正负表示加速度方向，从图中看出，第2秒内和第3秒内加速度都为负，因此第2秒末加速度方向没有发生改变，B错误．前2秒物体向同一个方向运动，v－t图线与时间轴所围面积为2 m，C错误．从图中看出，物体在第4秒和第5秒内位移大小相同，方向相反，即第3秒和第5秒末物体位置相同，D正确．【答案】 D。