工程力学A 参考习题之扭转解题指导

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工程力学之扭转

x
②计算并校核剪应力强度
max
T Wt
1.55 103
0.073 16
23MPa
[ ]
③此轴满足强度要求。
材料力学讲义（扭转）
§3–5 圆轴扭转时旳变形
一、扭转时旳变形
由公式
d T
dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角φ 为
l
d
T
dx
0 GI p
Tl (若T 值不变） GI p
[]=30MPa，试设计杆旳外径；若[φ]=2º/m ，试校核此杆旳刚
度，并求右端面转角。
解：①设计杆旳外径
Wt
Tmax
[ ]
Wt 1D6（3 1 4）
1
D
16Tmax
（1义（扭转）
T 40Nm
1
D
16Tmax
（1 4）[
]
3
代入数值得： D 0.0226m。
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
距圆心为任一点处旳与到圆心旳距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。
dx
材料力学讲义（扭转）
2. 物理关系：
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
材料力学讲义（扭转）
3. 静力学关系：
T A dA
A
G
2
d
dx
dA
G
2 0
0.033 (弧度）
T
40Nm
x
材料力学讲义（扭转）
[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力，输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：

《工程力学》第 8 章扭转解析

受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为切应变。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
18
T
g (rad)
T
φ
l
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系
11:02
工程力学电子教案
扭
转
25
理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量与其它两弹性参数E和n 之间存在下列关系：
E G 2(1 n )
泊松比
以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
26
§8-2 圆杆扭转时的应力与变形
11:02
工程力学电子教案
扭
转
4
T a
A m O o
m
b b T o′ b′ O B
m
l
T
m
MT x
由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号MT表示。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
5
T
a A O o
工程力学电子教案
扭
转
1
第8章扭
转
§8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能

工程力学第9章扭转_2

两轴的横截面面积之比：两轴的横截面面积之比：
π 2 2 (D2 − d2 ) D2(1−α2 ) A 4 2 2 = = = 1.1942(1− 0.82 ) = 0.512 2 π 2 A d1 1 d1 4
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料. 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.
空心轴远比实心轴轻
第9章扭转章
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
一、圆轴扭转变形（相对扭转角）圆轴扭转变形（相对扭转角）
dφ T = dx GIp
T(x) dφ = dx GIp (x) T(x) φ =∫ dx l GI (x) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
2. 刚度校核
T dφ = 1 dx 1 GIp T2 dφ = dx 2 GIp
因 T > T2 1
dφ dx max
T dφ dφ 故 = = 1 dx max dx 1 GIp 180 N⋅ m 180 = = 0.43(o ) / m<[θ] (80×109 Pa)(3.0×105 ×10-12 m4 ) π
Tmax = ≤ [τ ] Wp
第9章扭转章
四、圆轴合理强度设计 1. 合理截面形状
空心截面比实心截面好
若 Ro/δ 过大将产生皱褶
第9章扭转章
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
注意减缓应力集中
第9章扭转章
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ ] = 50 MPa，试根据强度条，，的空心圆轴，并进行比较。件设计实心圆轴与 α = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。解：1. 确定实心圆轴直径：确定实心圆轴直径

工程力学9-扭转

实心圆：
Ip

d 4
32
空心圆：
I
p

(D4
32
d4)

D4
32
(1 4 )
抗扭截面系数
实心圆：
d 3
Wp 16
空心圆：
Wp

D3
16
(1 4 )
工程64力学
例题
传动轴如图所示，动力经齿轮2输送给传动轴，然后由1、3两轮输出。若齿轮1和3输出的功率分别为 0.76kW和2.9kW，轴的转速为180rpm, 材料为45号钢，轴的直径为28mm, 则该轴的最大切应力是多少，位于哪段？
变形特征：横截面绕轴线转动。
工程14力学
扭转变形：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式。
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶扭力偶矩：扭力偶的矩轴：凡是以扭转为主要变形的直杆
轴的变形以横截面间绕轴线的相对角位移即扭转角表示。
工程15力学
§9-2 动力传递与扭转一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
工程25力学
取3-3截面右侧分析
列方程
Mx 0
T3 M D 0 T3 MD 2859 N m
工程26力学
由上述计算得到扭矩值
T1 4300N m T2 6690N m T3 2859N m
画扭矩图
TB
1 TC 2 TA 3 TD
B1C MTx（kN·m）
dA
r
O
M Mx
对圆心O 的微力矩 dM t (r)dAr
内力矩，扭矩 Mx
Mx
dM t (r)rdA A
代入物理关系和几何关系： M x

第八章工程力学之扭转全解

设 d DO2 D为半径转过的角度，亦即楔形体左、右两截面间的相对扭转角。设 dad ，由图形可以看出 dd dx d d 即： dx d 式中代表扭转角沿轴线方向的变化率。对于同一截面，它 dx 是一个定值。由此可见，剪应变与半径成正比。
例如作图8-4（a）所示轴的扭矩图。
AB轴可以分为等扭矩的AC段和CB 段，AC段各截面的扭矩都等于T1， CB段各截面的扭矩都等于T2。建立如图8-7所示坐标，水平轴代表各截面的位置，垂直轴代表扭矩的大小，正扭矩画在水平轴的上方，负扭矩画在水平轴的下方，得到图8-7所示扭矩图。
例8-3 图8-8（a）、图8-8（b）所示传动轴，转速n=300r/m。 A为主动轮，输入功率NA=10kW； B、C、D为从动轮，输出功率分别为NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2.0kW。试绘轴的扭矩图。
径线性分布。楔形体上的剪应力分布如图8-14所示。结论：圆轴扭转时横截面上的扭转剪应力垂直于半径，并与半径成正比。横截面中心处的剪应力为零，外表面上剪应力最大，在半径为的各点处剪应力大小相等。实心圆截面轴和空心圆截面轴横截面上的扭转剪应力的分布情况分别如图8-15（a）、图8-15（b）所示。
2. 物理方面以代表横截面上半径为处的剪应力，即d点处的剪应力，根据剪切虎克定律，在弹性范围内，剪应力和剪应变成线性关系，即有 G
d 将（8-3）式代入上式，得： G dx 上式表明：扭转剪应力与半径成正比，即剪应力沿半
'
上式表明：在相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对存在，大小相等，都垂直于两个截面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这一规律称为剪应力互等定理。

扭转习题课工程力学重点整理及考试题型

扭转习题课工程力学重点整理及考试题型扭转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22D d =α的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比21A A 有四种答案： (A) 21α-； (B)324)1(α-；(C) 3242)]1)(1[(αα--；(D) 23241)1(αα--。

2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理：成立不成立不成立成立剪切胡克定律：成立不成立成立不成立3. 一内外径之比为D d =α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) τα)1(3-； (D) τα)1(4-。

4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。

扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭径d ，材料的切变模量Ge M ，有四种答案：(A)a G d 128π34ϕ； (B) (C) a G d 32π34ϕ；8. 一直径为1D9. 圆轴的极限扭矩是指扭矩。

对于理想弹塑性材料，等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的倍。

10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是。

1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；34 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。

证：截面切应力 R Rs ≤≤-=ρτρτρ0 )341( 截面扭矩 ⎰⎰=⋅-==Rs As d RdA T 00π2)341(ρρτρρρτ证毕。

考研复习—工程力学——第6章扭转

Wt
IP d2
d3
16
0.2d 3
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
2.圆环形截面
与圆形截面方法相同，如图所示，有
IP 2dA
A
D 2 2 3d
d2
32
D4 d 4
0.1 D4 d 4
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
6.2.3 扭矩图
例6-1 传动轴受力如图6-7(a)所示。转速n=300 r/min，主动轮A输
入功率PA=50 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=15 kW，
PD=20 kW。试作出轴的扭矩图，并确定轴的最大扭矩值。
图6-7
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
图6-8
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.1 横截面上的剪应力计算公式
由平面假设可推出如下推论：（1）横截面上无正应力。因为扭转变形时，横截面大小、形状、纵向间距均未发生变化，说明没有发生线应变。由胡克定律可知，没有线应变，也就没有正应力。
（2）横截面上有剪应力。因为扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动。但对截面上的点而言，只要不是轴心点，那两截面上的相邻两点，实际发生的是相
第6章
6.4 圆轴扭转强度条件及应用
6.4.3 应用实例
（2）校核轴的强度。由扭矩图可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面轴，故
AB段最危险。
max
T
Wt
267 103 0.2 303

《工程力学》扭转

1
M n1L1 GI P
955103 300 80103 3.14 704
1.52103 rad
32
2
M n2 L2 GI P
673103 500 80103 3.14 704
1.69103 rad
32
所以 AC 1 2 1.52 1.69103 0.17103rad
(3)校核刚度。 AB段扭矩大于BC段．危险截面在AB段，因此对AB段进行刚度校核
(2)若许用扭转角 0.30 / m，校核该轴刚度。
解：（1）计算扭矩，画出扭矩图。用截面法求段轴的扭矩得 AB段：Mn1=955 N·m BC段：Mn3=－637 N·m
扭矩图如图7-14b所示。（2）求相对扭转角 AC 。由于各段扭矩不同，那么其转动方向不同。所以应分段计算扭转角，最后求和。即
正负号规定如下：按右手定则，四指顺着扭矩的转向握住轴线，大拇指指向与横截面的外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负，如图7-5所示。
扭矩图例7-1 绘制如图7-6(a)所示的阶梯轴的扭矩图。解：(1)计算轴上各段横截面上的扭矩。将轴分为AB，BC两段，逐段计算扭矩： BC段：如图7-6(b)所示 M 0 ，T1 500N m AB段：如图7-6(c)所示 M 0 ，T2 2000 500 0
轴有足够强度而不会被破坏，要求圆轴工作时，不允许轴内最大扭转剪应力超过
材料的许可剪应力。因此圆轴扭转时的强度条件为
≤ max
Mn Wn
（7-9）
式(7-9)称为圆轴扭转变形的强度条件。式中，为材料的许用剪应力，Mn为危
险截面的扭矩，Wn为抗扭截面模量。
7.4 圆轴扭转强度条件及应用
例7-2 图7-13(a)所示阶梯形圆轴，AB段为实心部分，直径d1=40mm,BC段为空心

[课件]扭转练习题答案.docPPT

P 1 4 1 M 9 5 4 9 ( 9 5 4 9 ) N m 6 6 8 N m e 1 n 2 0 0
P 3 0 1 4 1 M 9 5 4 9 ( 9 5 4 9 ) N m 7 6 4 N m e 2 n 2 0 0
M 6 6 8 N m e 1
T 9 5 4 9 ( 9 5 4 9 ) N m A B n 1 2 0 3 5 1 2 k N m

T 5 1 2 1 6 A B3 3 P a 1 7 . 9 M P a [ ] 2 0 M P a A B m a x W 0 . 1 t

各轴均满足强度要求
3.5 阶梯形圆轴的直径分别为d1=40mm， d2=70mm，轴上装有三个带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为P3=30kW，轮1输出的功率为 P1=14kW。轴作匀速转动，转速n=200r/min。材料的剪切许用应力[τ]=60MPa，G=80GPa，许用扭转角[φ’]=2(0)/m 。试校核轴的强度和刚度。解：
水轮机主轴的强度 1 5 0 0 0 T 9 5 4 9 N m 5 7 3 k N m 2 5 0 横截面上最大切应力为 T T m ax W p D3 (1 4 ) 16 5 7 3 0 0 0 P a 1 9 . 2 M P a 3 0 . 5 5 d4 [ 1 ( )] 1 6 D 主轴满足强度要求。
T 2 . 1 5 1 00 . 0 2 3 2 7 0 ( M P a ) I 0 . 0 5
4 P
3 T 2 . 1 51 0 1 6 8 7 . 6 ( M P a ) 3 W 0 . 0 5 t

材料力学扭转详细讲解和题目,非常好

材料力学扭转6.1 扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。

在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。

图6—1 图6—2 图6—3这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。

这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。

以扭转变形为主的直杆件称为轴。

若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。

图6—46.2 扭矩和扭矩图6.2.1 外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。

它们的关系式为nPM 9550 （6-1）其中：M ——外力偶矩（N ·m ）; P ——轴所传递的功率（KW ）；n ——轴的转速（r ／min ）。

外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。

6.2.2 扭矩圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。

根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。

由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用n M 表示。

扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m 或kN·m。

当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。

如图6-5（a ）所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为M 的外力偶作用。

为求杆任一截面m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5（b ）中所示的左端。

工程力学—扭转变形

第四章扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。

此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。

同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。

2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。

若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。

3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。

扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。

如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。

扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。

5、切应变剪切虎克定律对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。

当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。

6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。

(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径）空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。

工程力学-第七章-扭转

取 ef 截面左边部分，研究该隔离体的平衡方程。
∑ Fη = 0
σ α dA + (τ dA cos α )sin α + (τ ′dA sin α )cos α = 0
∑ Fξ = 0
τ α dA − (τ dA cos α )cos α + (τ ′dA sin α )sin α = 0
利用切应力互等定理
τ α , max = τ
不同材料的等直圆杆扭转时的破坏形式也不相同：（a）低碳钢拉压强度高，剪切强度低，因此扭转破坏是剪断；（b）铸铁拉伸强度低于剪切强度，因此扭转破坏是沿与杆轴线成 45o 倾角的拉断。
算例：例题3-2
实心圆截面轴I和空心圆截面轴II（图a，b）的材料、
扭转力偶矩Me 和尺度 l 均相同，最大切应力也相等。若空心圆截面内、外直径之比 α = 0.8 ，试求空心圆截面的外径与实心圆截面直径之比及两轴的重量比。思路：已知条件：两杆的最大切应力相等
§7-1概论
1．扭转构件
汽车的转向操纵杆
机器的传动轴
2. 扭转构件的计算简图
受力特征：
外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直变形特征：受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线，即杆件任意两个横截面绕杆件轴线发生相对转动本章主要介绍等直圆杆的扭转，简单介绍非圆截面杆的扭转。在介绍等直圆杆的扭转之前，先研究较简单的薄壁圆筒的扭转问题，由此来介绍有关切应力、切应变及其关系式。
短边中点的切应力是该边上切应力的最大值
τ = vτ max
（3）矩形截面杆单位长度扭转角的计算公式：
T ϕ= G It I t 称为截面的相当极惯性矩，其计算公式为：
It = α b

工程力学(扭转)解析

18
3. 力的平衡关系
tr
Gg r
Gr
d
dx
--(3)
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
tmax
tr
dA
r
o
tr
T
取微面积如图，有：
rt rdA T
A
利用(3)式，得到：
G d r 2dA T
dx A
19
3. 力的平衡关系
令：
Ir r 2dA
12
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
+ 向按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m + 向按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
20
A
B
17
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
tmax
tr
MT
r
rr
A
gr
o
tr
C
df
C
O
B gr
DT
D
最大剪应力在圆轴表面处。dx
tr
Gg r
Gr d
dx
--(3)
圆轴几何及MT给定，df/dx为
常数；G是材料常数。
截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；
剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。

工程力学a参考习题之扭转解题指导

剪切和扭转1一直径mm 40=d 的螺栓受拉力kN 100P =F 。

已知许用剪切应力MPa 60][=τ，求螺栓头所需的高度h 。

解题思路：（1）剪切面是直径为d ，高为h 的圆柱面；（2）应用剪切实用计算的强度条件（8-4）求螺栓头所需的高度h 。

答案：mm 3.13≥h2在测定材料剪切强度的剪切器内装一圆试件。

试件的直径mm 15=d ，当压力kN5.31=F 时，试件被剪断。

试求材料的名义剪切强度极限。

若取许用剪切应力MPa 80][=τ，试问安全系数等于多大解题思路：（1）材料的名义剪切强度极限是指试件被剪断时剪切面上的平均切应力；（2）圆试件有2个剪切面；（3）安全系数等于名义剪切强度极限除以许用切应力。

答案：MPa 2.89b =τ，1.1=n3用两块盖板和铆钉把两块主板对接起来，已知kN 300P =F ，主板厚mm 10=t ，每块盖板厚度m m 61=t ，材料的许用剪切应力MPa 100][=τ，许用挤压应力MPa 280][bs =σ。

若铆钉的直径mm 17=d ，求每边所需的铆钉数。

解题思路：（1）每个铆钉受力相等；（2）每个铆钉都有2个剪切面，由剪切实用计算的强度条件（8-4）求每边所需的铆钉数；（3）分别写出主板和盖板的挤压力和计算挤压面面积，由挤压强度条件（8-6）对主板和盖板进行挤压强度计算，求每边所需的铆钉数；（4）综合剪切实用计算和挤压强度的结果，确定每边所需的铆钉数。

答案：7=n4图示的铆接件中，已知铆钉直径mm 19=d ，钢板宽度mm 127=b ，厚度mm 7.12=δ，铆钉的许用剪切应力MPa 137][=τ，许用挤压应力MPa 314][bs =σ；钢板的拉伸许用应力MPa 98][=σ，许用挤压应力MPa 196][bs =σ。

假设四个铆钉所受的剪力相等，试求此联接件的许可载荷。

解题思路：（1）四个铆钉所受的剪力相等；（2）由剪切实用计算的强度条件（8-4）求许可荷载；（3）由挤压强度条件（8-6）求许可荷载；（4）分析上板或下板的轴力变化及各横截面面积的情况，确定拉伸可能危险截面，由拉伸强度条件（7-14）求许可荷载；（5）综合以上的结果，确定许可荷载。

工程力学第七章：扭转

第七章扭转§7-1 扭转的概念实例：汽车的传动轴的变形。

受力特点：外力是一对力偶，作用面垂直于轴的平面。

变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。

本章讨论：等直圆杆§7-2 扭转时的内力一、外力偶矩与扭矩的计算，轴的传递功率为N 。

n 的单位为转速/分钟（r/min ）1.外力偶矩： n N M e 9549= N ：千瓦 n N M e 7024= N ：马力2．扭矩——截面上的内力偶矩。

0=∑x M e T M M =方向的确定——右手螺旋法则四指——扭转方向拇指——截面的外法线方向，扭矩为正截面的内法线方向，扭矩为负二、扭矩图——用图线形象地表示截面上的扭矩沿轴线变化的情况。

图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩。

注意：① 上正、下负并用符号表示② 竖线阴影③ M T 的大小表示在轴或线上例题：已知主M 1，从M 2、M 3、M 4M 1=110N ·m ，M 2=60N ·m ，M 3=20N ·m ，M 4=30N ·m画扭矩图1-1截面M T1=M 1，2-2截面 M T2=M 1-M 2，3-3截面 M T3=M 1-M 2-M 3从例题可以看出，最危险截面在AB 段m N M T ⋅=60max请同学们思考，why?P 102 例7-1§7-3 圆轴扭转时的应力和强度计算一、横截面上的应力学习目的：确定横截面上应力分布规律，以便求出最大应力。

研究方法：从三方面分析：1．变形几何关系：圆杆中任一点距圆心P 处的剪应变：dxd p p ϕγ= 上式说明：dxdv 为常量，剪应变与p γ成正比，距圆心等矩离的所有点处的剪应变都相等。

2．物理方面剪切胡克定律：dxd G G p p p ϕγτ=⋅= 上式说明：① 横截面上任意一点处的剪应力p τ与该点到圆心的距离P 成正比，固边上各点剪应力最大。

② 所有距圆心等距离的各点，其剪应力值相等。

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剪切和扭转
1一直径mm 40=d 的螺栓受拉力kN 100P =F 。

已知许用剪切应力MPa 60][=τ，求螺栓头
所需的高度h 。

解题思路：
（1）剪切面是直径为d ，高为h 的圆柱面；
（2）应用剪切实用计算的强度条件（8-4）求螺栓头所需的高度h 。

答案：mm 3.13≥h
2在测定材料剪切强度的剪切器内装一圆试件。

试件的直径mm 15=d ，当压力kN
5.31=F 时，试件被剪断。

试求材料的名义剪切强度极限。

若取许用剪切应力MPa 80][=τ，试问安全系数等于多大
解题思路：
（1）材料的名义剪切强度极限是指试件被剪断时剪切面上的平均切应力；（2）圆试件有2个剪切面；
（3）安全系数等于名义剪切强度极限除以许用切应力。

答案：MPa 2.89b =τ，1.1=n
3用两块盖板和铆钉把两块主板对接起来，已知kN 300P =F ，主板厚mm 10=t ，每块盖板
厚度m m 61=t ，材料的许用剪切应力MPa 100][=τ，许用挤压应力MPa 280][bs =σ。

若铆钉的直径mm 17=d ，求每边所需的铆钉数。

解题思路：
（1）每个铆钉受力相等；
（2）每个铆钉都有2个剪切面，由剪切实用计算的强度条件（8-4）求每边所需的铆钉数；（3）分别写出主板和盖板的挤压力和计算挤压面面积，由挤压强度条件（8-6）对主板和盖
板进行挤压强度计算，求每边所需的铆钉数；
（4）综合剪切实用计算和挤压强度的结果，确定每边所需的铆钉数。

答案：7=n
4图示的铆接件中，已知铆钉直径mm 19=d ，钢板宽度mm 127=b ，厚度mm 7.12=δ，
铆钉的许用剪切应力MPa 137][=τ，许用挤压应力MPa 314][bs =σ；钢板的拉伸许用应力MPa 98][=σ，许用挤压应力MPa 196][bs =σ。

假设四个铆钉所受的剪力相等，试求此联接件的许可载荷。

解题思路：
（1）四个铆钉所受的剪力相等；
（2）由剪切实用计算的强度条件（8-4）求许可荷载；（3）由挤压强度条件（8-6）求许可荷载；
（4）分析上板或下板的轴力变化及各横截面面积的情况，确定拉伸可能危险截面，由拉伸
强度条件（7-14）求许可荷载；（5）综合以上的结果，确定许可荷载。

答案：kN 134][P =F
5实心圆轴的直径mm 100=d ，长m 1=l ，两端受扭转外力偶矩m kN 14e ⋅=M 作用，设材
料的切变模量GPa 80=G ，试求：
（1）最大切应力max τ 及两端截面间的扭转角；（2）图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值及方向；（3）C 点处的切应变。

解题思路：
（1）确定各横截面的扭矩；由式（8-10）和（8-11）求实心圆轴的I P 和W P ；由式（8-8）
求最大切应力max τ；由式（8-17）求两端截面间的扭转角；
（2）由式（8-7）求图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值；其各点切应力的方向与截面
上扭矩的转向一致；
（3）由式（8-2）求C 点处的切应变。

答案：（1）MPa 3.71max =τ，
02.1=ϕ（2）MPa 3.71==B A ττ，MPa 65.35=C τ
（3）310446.0-⨯=C γ
6图示一直径为mm 80的等截面圆轴作匀速转动，转速r/min 200=n ，轴上装有五个轮子，
主动轮II 输入的功率为kW 60，从动轮I ，III ，IV ，V 依次输出功率kW 18，kW 12，
kW 22和kW 8，切变模量GPa 80=G 。

试：
（1）作轴的扭矩图；（2）求各段内的最大切应力；（3）求轴两端截面间的相对扭转角。

解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在各轮上的转矩；分别写出各段的扭矩，作扭矩图；（2）由式（8-11）求实心圆轴的W P ；由式（8-8）求各段内的最大切应力；（3）由式（8-10）求实心圆轴的I P ；由式（8-18b ）求轴两端截面间的相对扭转角。

答案：MPa 05.20)(III II m ax =-τ，
008.1-=ϕ
7图示水轮发电机的功率为15000kW ，水轮机主轴的正常转速n =250r/min ，外径D =55cm ，内径d =30cm ，材料的许用切应力[]=50MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭转角[
]=1º/ m ，试校核水轮机主轴的强度和刚度。

解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在水轮机主轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小；（2）由式（8-12）和（8-13）分别计算空心轴的I P 和W P ；（3）由强度条件（8-20）校核水轮机主轴的强度；（4）由刚度条件（8-25）校核水轮机主轴的刚度。

答案：MPa 2.19m ax =τ，m /05.0m ax =θ
8某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min ，输入功率P 1=370kW ，输出功率为P 2=150kW 及
P 3=220kW 。

已知材料的许用切应力[]=70MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭
转角[ ]=1º/ m 。

试确定：
(1) AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2 ； (2) 若全轴选同一直径，该值应为多少
(3) 主动轮与从动轮如何安排才使传动轴的受力更为合理
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小；（2）写出实心轴圆截面极惯性矩和扭转截面系数表达式；
（3）由强度条件（8-20）和刚度条件（8-25）确定AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2；（4）主动轮与从动轮的安排使传动轴上最大扭矩的数值较小的方案更为合理。

答案：（1）m m 851=d ，m m 752=d （2）略（3）略
9变截面圆轴受力如图所示。

已知扭转外力偶矩M e1=1765N m ，M e2=1171N m ，材料的切变模
量G =，试：
（1）确定轴内最大切应力，并指出其作用位置；（2）确定轴内最大相对扭转角 max 。

解题思路：
（1）确定轴横截面上的扭矩大小；
（2）由式（8-10）和（8-11）分段计算I P 和W P ；（3）由式（8-8）分段计算最大切应力并作比较；（4）由式（8-18b ）确定轴内最大相对扭转角 max 。

答案：（1）MPa 7.47max =τ（BC 段）（2）rad 1027.22m ax -⨯=ϕ。