高数上总复习
高数(上)复习题解答
《高等数学》复习题（2011——2012（1））一.计算题1.)1)1ln(1(lim 0x x x -+→ )1)1ln(1(lim 0x x x -+→ 2122x 0x 0x 0x ln(1+x)-x ln(1+x)-x 1+x lim lim lim xln(1+x)x x →→→===== 2. nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim )0,0(>>b alim 1→∞⎧⎛⎪=+ ⎨ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭n nn211lim lim lim 222→∞→∞→∞⋅=⋅+⋅n n n n n n 其中1111ln ln ln ln 1111ln lim(1)lim(1)lim lim 22222lim 2→∞→∞→∞→∞→∞=-⋅+-⋅=⋅+⋅==⎛∴= ⎝⎭a b a b n nn n n n n n nn ab e n e n n n3. nn n x nx -∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++22221lim ()lim lim 222222222222221122+-⋅⋅-+-→∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nx x nn nx xn x n n nx x nx x e n n4. 若212lim1x x ax b x →-++=+，求a 、b lim lim ;,221122031→-→-++=⇒++=+⇒==由x x x ax b x ax x a b5.求22132x y x x -=-+的间断点，并判别间断点的类型。
()()x x y x x -+=--11, x=1是跳跃间断点,x=2是无穷间断点.6 ．并在可导处求出的可导性 ，，试讨论)(,00)1ln()(sin x f x e x x k x f x '⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=011sinxsinx k+ln(1+x), x 0f(x)=e , x 0k =1f(x), x 01+x f (x)=x =0cosx e , x 0x ≥⎧⎨<⎩=⎧>⎪⎪'⎨⎪<⎪⎩当时，在连续。
高数大一必考知识点归纳
高数大一必考知识点归纳高数是大一必考的一门重要课程，全面掌握其中的知识点对于大家的学习和未来的学习生涯都至关重要。
为了帮助大家更好地备考高数，本文将对大一必考的高数知识点进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像、函数的奇偶性、函数的周期性等。
1.2 极限的概念与性质：函数极限的定义、左极限和右极限、极限的四则运算性质等。
1.3 无穷大与无穷小：无穷小的定义、无穷小的性质、无穷大的定义、无穷大的性质等。
2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算方法：导数的定义、导数的基本公式、常见函数的导数、高阶导数等。
2.2 微分的概念与计算方法：微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
2.3 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的概念、泰勒展开式的定义与应用等。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算方法：不定积分的定义、基本积分法、换元积分法等。
3.2 定积分的概念与计算方法：定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法等。
3.3 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、反导数与不定积分、定积分与面积计算等。
4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程等。
4.2 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
4.3 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。
5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的极限、多元函数的连续性等。
5.2 偏导数的概念与计算方法：偏导数的定义、偏导数的几何意义、偏导数的运算法则等。
5.3 高阶偏导数与全微分：高阶偏导数的概念、全微分的定义与计算方法等。
综上所述，以上列举的知识点是大一必考的高数知识点的主要内容。
大家在备考过程中可以根据这些知识点进行系统性的学习和复习，理解每个知识点的概念、性质和计算方法，并通过大量的练习题加深对知识点的理解和掌握。
高数上复习题1-6章
高数上第一章 复习题1. 计算下列极限: (1)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→;(2)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;(3))1311(lim 31x x x ---→;(4)xx x 1sin lim 20→;(5)xx x arctan lim ∞→.(6)145lim1---→x x x x ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.(8)xx x sin ln lim 0→;(9)2)11(lim xx x +∞→;(10))1(lim 2x x x x -++∞→;(11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;(12)30sin tan lim xx x x -→;2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);3. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？4. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .5. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n .6. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) .第二章 复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);(2) y =sin 2x ;(3)22x a y -=;(4)xx y ln 1ln 1+-=; (5)xx y 2sin =; (6)x y arcsin=; (7))ln(22x a x y ++=;(8)x x y +-=11arcsin.(9)x x y -+=11arctan ;(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=;(11))1ln(2x x e e y ++=;2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =(sinx)^n(2) y =x e x .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxy d.4.求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d :5. 求下列函数的微分:(1)21arcsin x y -=;(3) y =tan 2(1+2x 2);(3)2211arctan xxy +-=;6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.第三章 复习题1.设F(x)=(x-1) 2f(x),其中f(x)在[1,2]上具有二阶导数且f(2)=2,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得F ”(ξ)=0.2.设b>a>0,证明：(b-a)/(1+b 2) <arctan b –arctan a<(b-a)/(1+a 2).3. 用洛必达法则求下列极限: (1)x e e x x x sin lim 0-→-;(2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(3)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→;4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;5.判定曲线y=x arctan x的凹凸性:6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1)y=xe-x (2) y=ln(x2+1);7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.第四、五、六章 复习题1. 求下列不定积分:(1)⎰dx e x x 3;(2)⎰+++dx x x x 1133224;(3)⎰dt t t sin;(4)⎰-+dx e e x x 1;(5)⎰--dx x x 2491;(6)⎰-+dx x x )2)(1(1;.(8)⎰-dx x x 92;(9) ⎰-xdx e x cos ;(10)⎰dx x 2)(arcsin ;(11)⎰xdx e x 2sin .(12)dx x x )1(12+⎰;2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(.证明在(a , b )内有F '(x )≤0.3. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; (2)dx x ⎰-2022;4. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.5.计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积..。
高数大一复习总结
高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）第二节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<（特别地，当()()0limx x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()2333331limlim lim 9333x x x x x x x x x →→→--====-+-+其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()00233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值：93lim23--→x x x 【求解示例】36x →=== 第六节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→xxx（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x【求解示例】第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +-2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→【求解示例】第八节 函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节 闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ第二章 导数与微分第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b 【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=|2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--'第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f 1-的导数 【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】第四节 高阶导数○()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n nnn d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ……第五节 隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】()()t t dx dy ϕγ''=.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈，∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，x e e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件， 则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 【求解示例】()()()()00002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim x x x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan1limx x x→⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x=-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x在其定义域R上连续，且可导∴()261812f x x x'=-+2．令()()()6120f x x x'=--=，解得：121,2x x==3．（三行表）4．∴函数()f x的单调递增区间为(][),1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x>时，1xe x>+【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10x x e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1x e x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）4．⑴函数2313y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ； 令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-=3．（三行表）4．又∵()()()12,12,318f f f -=-==-∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第六节 函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求）第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）【题型示例】求221dx a x+⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求 【求解示例】○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctanxt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：a令sin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsinxt a=，则原式可化为cos a t ； b令sec x a t =（02t π<<），于是arccosat x=，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求⎰（一次根式）【求解示例】2221tx tdx tdttdt dt t C Ct=-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求【求解示例】第三节分部积分法○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x=，()v g x=udv uv vdu=-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：幂、三、指”本步骤：积函数排序；⑵就近凑微分：（v dx dv'⋅=）⑶使用分部积分公式udv uv vdu=-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx'=⋅⎰⎰，判断a．若v u dx'⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v u dx'⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C2xe x dx⋅⎰sinxe xdx⋅⎰()1sin sin cos2x xe xdx e x x C⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数na m=-则参数,b cp q a a==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为： 其中参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法） 【求解示例】第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质○定积分的定义（★）（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰⑵()0aa f x dx =⎰⑶()()bba a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ⑷（线性性质）⑸（积分区间的可加性）⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0ba f x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x-→⎰【求解示例】第三节 定积分的换元法及分部积分法○定积分的换元法（★★★）⑴（第一换元法）【题型示例】求2121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足：a ．,αβ∃，使得()(),ab ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求4⎰【求解示例】⑶（分部积分法）○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0a a f x dx -=⎰ 第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节 反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x=++⎰的证明。
高数总复习1
x 1 ctg x
1 x
( a>0 , a≠1 )
(7) lim(1+ ln sin )x x→ 2 x
π
1+3x − 1+ x (8) lim x→ 0 2x
tan x2 (9) lim x→ 0 x 1−cos 2
(ex −1 ctgx ) (10) lim x→ 0 cos x
在 （， 两 线 ） 7. 求曲线 xey + y =1 点 10 处 切 ，
法 的 程 线 方
x = cos(t2) 1 d2 y , cosudu,求 8. 设 , t2 2 dx y = tan x(t ) −∫ 2 u 1
9. 已知 y = f (x
x
[
1 2 x
)] , 其中f为可微正值函数,求 dy
15. 一、填空
定积分的几何意义
1 x
lim lim 1、设f(x)=cosx+ e ，则 x→0 f(x)= 0, x→0+ f(x)= +∞。 1 ⋅ sin x 的水平渐近线为 y = 0 ， 2、曲线y = x −1 垂直渐近线为 x =1。
−
n 3、已知 lim b 3 =A（A =A A ≠ 0 ，A A n→ n −(n −1 k ∞ )
ln cos x dx 2. ∫ 2 cos x 1 x dx 3. ∫ 2 1+ x
1 dx 4. ∫ 2 x(1+ ln x) 1 dx 5. ∫ 2 2 (1+ x )
6. ∫ 0 7.
ln2
ex −1 dx
∫
π
2 0
xsin 2 xdx
高数上知识点总结
高数上知识点总结(zǒngjié)高数上知识点总结(zǒngjié)高等数学(shùxué)是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比拟(bǐnǐ)多。
主要包括8方面(fāngmiàn)内容。
1、函数、极限与连续。
主要考查分段函数极限或极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比拟;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数微分学。
主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法那么求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
3、一元函数积分学。
主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4、向量代数和空间解析几何。
主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。
5、多元函数微分学。
主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
6、多元函数的积分学。
这局部是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。
7、无穷级数。
高数(上)重要内容总结复习笔记
A−a 叫做 a 的相对误差 a
如果 A − a ≤ δ A ，那么 δ A 叫做测量Ａ的绝对误差限，而
δA 叫做测量Ａ的相对误差限． a
（3） lim
f ′( x) f ( x) f ′( x) 存在（或为无穷大） ，那么 lim ． = lim x → ∞ F ′( x ) x →∞ F ( x ) x →∞ F ′( x )
如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间 (a, b) 内具有直到(n+1)阶的倒数，则对任一
泰勒(Taylor)中值定理
高阶导数：
(cot x)′ = − csc 2 x (a x )′ = a x ln a (arccos x)′ = − 1 1 − x2
(arcsin x)′ =
1
(sec x)′ = sec x tan x 1 (log a x)′ = x ln a 1 (arctan x)′ = 1+ x2
1 (ch x)′ = sh x (th x)′ = 2 ch x 1 (arch x)′ = 1 x 2 − 1 (arth x)′ = 1 − x2
f ′′(0) f ( n ) (0) f ( n+1) (θx) n +1 x +…+ x+ x 2! n! (n + 1)!
(0 < θ < 1)
另带有佩亚诺余项的麦克劳林公式从略． 定义
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< ，那么称 f ( x) 在 2 2 x +x f ( x1 ) + f ( x2 ) I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有 f ( 1 2 ) > ，那么称 f ( x) 在 I 上的图形是(向上) 2 2
高数(上)复习题文档
1. 函数11x x a y x a -=+ ()1a 是（ ）。
A ：偶函数B ：奇函数C ：非奇非偶函数D ：奇偶函数2、极限201sinlimsin x x x x→的值为（ ）A ：1B ：0C ：不存在D ：∞ 3、若()03f x '=-，则()()0003limh f x h f x h h→+--=（ ）A ：－3B ：－6C ：－9D ：－12 4、已知()()f x dx F x c =+⎰，则()f b ax dx -=⎰（ ）A ：()F b ax c -+B ：1a -()Fb axc -+ C ：a ()F b ax c -+ D ：1a()F b ax c -+5、下列广义积分收敛的是（ ） A ：1cos xdx +∞⎰B ：311dx x+∞⎰C ：1ln xdx +∞⎰D ：1xe dx +∞⎰ 6、设()f x 是奇函数，且()()11212xg x f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，则()g x 是（ ） A ：偶函数 B ：奇函数 C ：非奇非偶函数 D ：无定义 7、函数()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 处有定义的（ ） A ：必要条件 B ：充分条件 C ：充要条件 D ：无关条件 8、两条曲线1y x =和2y ax b =+在点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处相切，则常数,a b 为（ ） A ：13,164a b == B ：13,164a b =-= C ：11,164a b == D ：11,164a b =-= 9、若()()0tan 1cos lim 1ln 12x a x b x c x →+-=-，其中0c ≠，则下列结论正确的是（ ）A ：2b c =B ：2b c =-C ：2a c =D ：2a c =-《高等数学》（上）复习题10、若()11xxf x edx e c --=-+⎰，则()f x 为（ ）A ：1x -B ：21x -C ：1xD ：21x二． 填空 1、函数()f x =的连续区间为2、设()()()()()1234f x x x x x x =----，则()0f '＝3、已知()22xf x dx x ec =+⎰，则()f x ＝4、要使点()1,3为曲线32y ax bx =+的拐点，则,a b 的值分别为 。
高数书总复习题答案
高数书总复习题答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2xD. 3x+2答案：A2. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率为：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C二、填空题1. 若f(x)=sin(x)，则f''(x)=________。
答案：-cos(x)2. 函数f(x)=ln(x)的定义域为________。
答案：(0, +∞)三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解答：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)=0，解得x=1和x=11/3。
然后求二阶导数f''(x)=6x-12。
当x=1时，f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点。
当x=11/3时，f''(11/3)>0，所以x=11/3是极小值点。
2. 证明：对于任意的正整数n，等式e^x > 1+x 成立。
证明：令g(x)=e^x-1-x，则g'(x)=e^x-1。
当x=0时，g'(0)=0。
当x>0时，g'(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递增。
当x<0时，g'(x)<0，所以g(x)在(-∞, 0)上单调递减。
因此，g(x)的最小值为g(0)=0，即e^x-1-x≥0，所以e^x>1+x。
四、计算题1. 计算定积分∫[0,1] (2x-1)dx。
解答：首先求原函数F(x)=∫(2x-1)dx=x^2-x+C。
然后计算F(1)-F(0)=1^2-1-(0^2-0)=1。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=50x+0.02x^2，其中x为生产量。
求该工厂生产100件产品时的平均成本。
解答：平均成本为A(x)=C(x)/x。
高等数学高数期末总复习题
高数第一学期总复习题函数、极限、连续选择题1、下列函数中为偶函数的是（ ）。
A.2x xey -= B. x x y cos 2+= C. 2x x e e y --= D. 21sin xx+ 2、下列各对函数中是相同函数的是（ ）。
A.22)(,x y x y ==； B.1,112+=--=x y x x y ； C.)sin (cos ,22x x x y x y +== D.x y x y lg 2,lg 2==3、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=→），则设x f x x x x x x f x (lim 0,10,00,1)(0（ ） A. 1- B. 0 C.1 D. 不存在4、,0()1sin 1,0x e x f x x x x ⎧>⎪=⎨+<⎪⎩,则0lim ()x f x →= ( ) A ．不存在 B ． 1 C ． 2 D ． 0 5、=-→2102lim x x （ ）A ．0B ．1C ．∞+D ．∞- 6、=+∞→xxx x sin lim（ ）A.0B. 1C.不存在D.∞7、=∞→xx x 1sinlim （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 8、下列等式正确的是（ ） A ．01sinlim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→xx x C ．1sin 1lim =∞→x x x D ．0sin 1lim 0=→x x x9、下列各式正确的是（ ）。
A.e x xx =+∞→1)1(lim B. e x xx =+→)1(lim 0 C. e xx x =+∞→)11(lim D. e x x x =+∞→1)11(lim10、=→x xx 2sin lim0( ) A ．21B ．0C ．1D ．211、的是时，下列函数为无穷小当+→0x ( )A. x x 1sin ；B. x e 1； C. x ln ； D. x xsin 1；12、在指定变化过程中，（ ）是无穷小A. )0(,1sin →x xB.)0(,1→x e x C. )0(),1ln(→+x x D. )3(,932→--x x x13、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f 在),(+∞-∞上是连续函数，则a=（ ）A. 0 ；B. 1 ；C. 31； D. 3 ；14、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-=2,2,223)(2x a x x x x x f 在处x=2处连续，则a=（ ） A. 0 ； B. 1 ； C.2； D. 任意值；15、函数)1ln(2)(x x x f ++-=的连续区间是（ ）A ．]2,1[- B.]2,1(- C.)2,1(- D.)2,1[-2)2()(1611--=-x e x x f x 、的连续区间是（ ）A.),2()2,(+∞⋃-∞B. ),1()1,(+∞⋃-∞C.),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞D. )2,1()1,(⋃-∞填空题1、已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=)(x f 2、=====)(,tan ,,32x f y x v v u y u则复合函数 3、函数⎩⎨⎧>≤+=0cos 02)(x xx ax x f 在0=x 处连续,则=a4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x xx x f ，在0=x 处连续，则=k ． 5、432lim 23=-+-→x k x x x 存在， 则ｋ＝ ，6、2lim(1)xx x→∞-=7、=++-+∞→552lim 32x x x x x ，=++∞→424532lim x x x x8、=++-→11sin)1(lim 1x x x 9、函数)2)(1(2)(++-=x x x x f 的连续区间是__________．10、函数2312+--=x x x y 的间断点为 计算题1、1)1sin(lim 21+--→x x x2、x x x x x +-→20sin lim3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→1311lim 31x x x 4、()x x x x x --++∞→22lim5、xx x 11lim 0--→ 6、x x xx tan cos 1lim 0-→ 7、521lim5---→x x x 8、 xx x 311lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→9、()xx x 1051lim +→ 10、x x x 2)41(lim -∞→ 11、 1231lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 12、 )2sin(11lim 0x x x -+→导数与微分选择题1、设函数)(x f 在0x x =处可导，且2)(0'=x f ，则hx f h x f h )()(lim000--→=（ ）A ．21 B ． 2 C ． 21- D ． 2- 2、曲线x y =在点（4 , 2）处的切线方程为（ ）A.044=+-y xB. 044=++y x C ． 044=++y x D ． 044=+-y x 3、若x x x f cos sin )(+=，则='])3([πf （ ）A ．21+23 B ．0 C ．21-+23 D ．2123-4、设2cos y x =，则dy =( )；Ａ、22cos x x dx - Ｂ、22cos x x dx Ｃ、22sin x x dx - Ｄ、22sin x x dx 5、设函数=y )(2x f -，则=dy （ ）A ．dx x f )(2-'B ．dx x f x )(22-' C ．)(22x f x -'- D ．dx x f x )(22-'-6、设函数12)(-=x ex f ，则f （x ）在0=x 处的二阶导数)0(f ''为（ ）A ．0B ．1-eC ．41-e D ． e7、若)1ln()(2xex f -+=，则=')0(f （ ）A ．1-B ．1C ．21 D ．21- 8、已知一质点作变速直线运动的位移函数223,tS t e t =+为时间，则在时刻2t =处的速度和加速度分别为（ ）A 、44122,64e e ++ B 、44122,122e e ++ C 、4464,64e e ++ D 、4412,6e e ++ 9、曲线x x y 32-=上一点（1，-2）处的切线方程为（ ）（A ） 01=+-y x （B ）01=--y x （C ） 01=-+y x （D ） 01=++y x填空题1、曲线26322-+=x x y 上一点M 的切线斜率为15，则点M 的坐标为 ． 2、曲线x y ln =上点（1，0）处切线方程为 ． 3、曲线x e x y +=在x=0处的切线方程是 ； 4、已知处可导，在0)(x x f ，则 =∆-∆-→∆xx f x f x )()x (lim 000．5、已知y xe y -=1，则dx dy= ． 6、已知函数2x e y -=，则该函数的微分dy =7、设ln ,xy e x =则_______;dy =8、当物体的温度高于周围介质的温度时，物体 就不断冷却若物体 的温度T 与时间t 的函数关系为T=T （t ），则该物体在时刻t 的冷却速度为_____； 9、设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t),则在0t 时刻的电流为 10、一个质量非均匀的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量为kg x m 23=，则当x=1m 时的线密度为计算题 A 、求导数1.x x x y cos 413-+=, 2.1123+-=x y x , 3. 4cos tan 2π+=x x y 4. 23cos 2y x x =+5.3)(l n x y =，6、)ln(ln x y =，7、xy 1cos=，8、x e y x 5sin = ， 9、21arcsin x x x y --= 10、)ln(3x x y +=， 11、210(25)y x x =-+ ， 12、)2(tan 23+=x yB.求微分1、x x y 31+=2、x e y cos =3、x e x y 22=4、21xx y +=C. 求下列隐函数的导数y '1. 0922=+-xy y 2. yxe y -=1 3. y e y x xsin 2=- 4.已知076333=--++y xy x y ，求2=x dxdy导数的应用选择题1、函数21)(x xx f +=（ ） A ．在),(+∞-∞内单调增加 B ．在),(+∞-∞内单调减少 C ．在)1,1(-内单调增加 D ．在)1,1(-内单调减少 2、的单调增加区间是函数)1ln()(2x x f +=（ ）A.)5,5(-B.)0,(-∞C. ),0(+∞D.).(∞+-∞ 3、函数()y f x =在点0x 处取极值，则必有（ ）；A 、0()0f x '=,B 、 0)(≠'x f ，C 、0()0f x '=或0()f x '不存在，D 、0()f x '不存在4、若()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,()0,f x f x '''><则()y f x =在(,)a b 内（ ）：5、A 、单调增加且凸 B 、单调增加且凹 C 、单调减少且凸 D 、单调减少且凹 曲线16)(23++-=x x x x f 的凹区间是( )A ．(-∞,2)B ．( 2,+∞)C ．( -∞,-2)D ．(-2,2)6、设函数()f x 在[1,2]上可导，且()0,f x '<(1)0,(2)0f f ><，则()f x 在（1，2） 内（ ）。
高数(上)期末复习重点
高数〔上册〕期末复习要点第一章：1、极限〔夹逼准则〕2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则〔背〕3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面4、空间旋转面〔柱面〕高数解题技巧。
〔高等数学、考研数学通用〕高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
●第二句话：假设涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
●第三句话：假设题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE 再说。
大一上学期高数知识点总结
大一上学期高数知识点总结一、导数与微分1. 函数的极限与连续性- 函数极限的定义与性质- 连续函数的定义与性质2. 导数与微分的概念- 导数的定义与几何意义- 微分的定义与应用3. 常见函数的导数- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数计算4. 高阶导数与高阶微分- 高阶导数的概念及计算方法- 高阶微分的概念及应用二、常用函数与曲线的性质1. 一次函数与二次函数- 一次函数与二次函数的图像特征 - 一次函数与二次函数的性质及应用2. 指数函数与对数函数- 指数函数与对数函数的图像特征 - 指数函数与对数函数的性质及应用3. 三角函数与反三角函数- 基本三角函数的定义与性质- 反三角函数的定义与性质4. 参数方程与极坐标方程- 参数方程的概念与性质- 极坐标方程的概念与性质三、积分与定积分1. 不定积分与定积分- 不定积分的定义与性质- 定积分的定义与性质2. 常见函数的积分- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分计算3. 积分中值定理与换元法- 积分中值定理的概念及应用- 换元法的基本思想与应用4. 微元法与面积体积计算- 微元法的基本原理与应用- 曲线下面积、旋转体体积的计算四、常微分方程1. 一阶常微分方程- 可分离变量方程的解法- 齐次方程的解法2. 线性常微分方程- 一阶线性齐次方程的解法- 一阶线性非齐次方程的解法3. 高阶常微分方程- 二阶常系数齐次方程的解法 - 二阶常系数非齐次方程的解法五、级数与幂级数1. 数项级数的概念与性质- 数项级数收敛的判定方法- 数项级数收敛的性质2. 幂级数的性质与收敛半径- 幂级数的收敛域与收敛半径- 幂级数的运算与收敛区间的确定3. 常见函数的幂级数展开- 指数函数、三角函数、对数函数的幂级数展开六、空间解析几何1. 空间直线与平面- 点、直线、平面的位置关系与方程- 直线与平面的交点及距离计算2. 空间曲线与曲面- 曲线的参数方程与性质- 曲面的方程与性质3. 空间向量的运算- 空间向量的基本运算法则- 向量积与混合积的计算以上是大一上学期高数的主要知识点总结，希望对你的复习有所帮助。
高数上学期期末复习题库
高数上学期期末复习题库一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^2 - xC. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)4. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列哪个选项一定正确？A. f(a) = aB. lim(x→a) f(x) = f(a)C. f(a) = 0D. lim(x→a) (f(x) - f(a))/x = 05. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/36. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1/n^2)B. ∑(1/n)C. ∑((-1)^n/n)D. ∑(n)7. 微分方程dy/dx + 2y = 6x的通解是：A. y = 3x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x^2 + CD. y = 6x + C8. 函数f(x)=ln(x)的导数是：A. 1/xB. ln(x)C. xD. 19. 若f(x)=x^3-6x^2+11x-6，则f'(x)是：A. 3x^2-12x+11B. x^2-4x+1C. 3x^2-12x+10D. x^2-4x+610. 以下哪个选项是泰勒级数展开式？A. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...B. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...C. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...D. 所有选项都是二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3在x=1处的导数是_________。
12. 若函数f(x)=x^2+1，则f'(2)=_________。
高等数学(上)复习题.
高数复习题一、求下列函数的定义域1、y=1-2x xx2-3x+23、y=3-x+arctan1 4、y=1--x2+ln(x+7) x2x5、y=ln(x+1) 6、y=1+ln(x2-1) x-5-x22、y=二、判断下列函数是否相同1、 f(x)=lnx2,2、 f(x)=x,3、 f(x)=4、 f(x)=g(x)=2lnx g(x)=x2 g(x)=cosx g(x)=xx-1 -sin2x,x4-x3,三、求下列函数的极限3x3-4x2+21、lim x→∞7x3+5x2-3x3-x2+13、lim x→∞2x5+x2-3x3-x2+15、lim x→∞x2+x-32x-37、lim x→1x2-5x+4 2x5-4x3+12、lim x→∞9x5+5x3-2x2-x+14、limx→∞x3+x2-26x5-2x+1lim3 x→∞3x+5x2-2 6、 x3-18、lim x→2x2-5x+3 sinxsin3xlim9、lim 10、x→0x→0xsinx11、lim x→03x xsin5x12、lim x→0sin3xlimcosx x→0sinx 14、 13、limx→01(ex-1) 16、lim 15、limx→∞x→0x17、limx→∞1 3x-11(1+)x 18、limx→∞x33(1+)x 20、lim(1-)x 19、limx→∞x→∞x1(1+)x 21、limx→∞3x1xx(1- 22、limx→∞1x) 3x1x(1+x) 24、lim(1-x) 23、limx→0x→0ln(1+x)(1-kx) 26、lim25、lim x→0x→0x1xex+e-x27、 limx→0sinxx-sinxtanx31、lim x→∞tan3x1-t228、limx→1lnx(1-x)2tanx-x(29、 lim 30、limx→0x→011-) ex-1sinxlncotx32、xlim →0+lnxxcostdt⎰33、limcosxx→0⎰edtx34、limx→0x四、判断下列函数的连续性 1、2、3、x⎧e⎪f(x)=⎨x⎪⎩sinxx≤0x>0在x=0是否连续在x=0满足什么条件连续；⎧exx<0f(x)=⎨⎩k+xx≥0x2-1f(x)=2，求函数的间断点以及类型，如果是可去间x-3x+2断点，补充定义使函数连续；五、导数部分1、16个基本求导公式，4个求导法则；2、y=arctanx2，求y'3、y= xarctanx，求4、y=(arcsinx)2，求y'5、y=(3x+1)5，求y'6、y=1，求y'； x7、y=x，求y'；28、y=ex-1，求y'； 9、y=1-lnx，求y'； 1+lnx10、y=arcsin(ln(x2-1))，求y'；⎧x=at2dy11、⎨，求3dx⎩y=bt12、⎧⎨x=θ(1-sinθ)，求dydx⎩y=θcosθ⎧x=2etdy13、⎨，求-tdx⎩y=e14、y=ln(1-x2)，求y''； 15、y=ln(x++x2)，求y''；dx16、求由方程ey+xy-e=0确定的隐函数y=y(x)的导数dy17、求由方程y5+3x2y+5x4+x=1确定的隐函数y=y(x)的导数dy dx18、求函数y=2x3-6x2-18x-7的单调区间，凹凸区间，极值19、求函数y=2x+8的单调区间，凹凸区间，极值 x20、求函数y=x3-5x2+3x+5的凹凸区间，拐点；21、求函数y=ln(x2+1)凹凸区间，拐点；22、求函数y=(x2-1)3+1的极值；f(x0+h)-f(x0)23、f'(x0)=1，求lim h→0hf(x0+5h)-f(x0) f'(x0)=1，求limh→0hf(x0-6h)-f(x0) f'(x0)=1，求limh→0h24、25、26、P118例题3.4.5；P1193.4.6；P121 12；27、y=ln-x3，求dy 28、y=xx+12，求dy28、y=xsin2x，求dy29、y=arccos1，求dy x30、d(⎰+t2dt) dx0231、d(⎰etdt) dxxx132、求曲线y=1在点（1,1）处的切线与法线方程； x33、求曲线y=lnx在点(e,1)处的切线法线方程；六、不定积分部分1、13个基本积分公式；2、⎰1xx= 3、⎰(x3+1)2dx= 4、⎰5xexdx= 5、⎰cos(5x+3)dx= 6、⎰xexdx= 7、⎰sin2x x=58、⎰x10、⎰+xdx= 2 9、⎰(3x-1)dx= 11、⎰xsinxdx= 1dx= (1-2x)212、⎰xlnxdx= 13、⎰xexdx= 14、⎰arctanxdx 15.⎰lnxdx=七、定积分1、⎰(3x2-x+1)dx2、⎰0111dx 1+x23、⎰sinxdx4、⎰x-1002π25、⎰sin(x+π)dx 6、⎰teππ1-t223dt37、⎰xe01-xdx 8、⎰xlnxdx 149、⎰x-π+∞π4sinxdx 10、+∞x3sin2xdx 42⎰x+2x+1-5511、⎰12 1+x-∞ 12、⎰xe-pxdx,p>0 0+∞13、讨论反常积分⎰a1dx,a>0的敛散性， px1 2x+4x+5-∞+∞14、+∞1 4⎰x1 15、⎰16、求由曲线y=x2与y2=x所围成的图形的面积；17、求由曲线y=1，y=x，x=3所围成的图形的面积； x18、求由曲线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积；19、求由曲线y=4-x2与y=3x所围成的图形的面积；20、求由曲线y=1，y=x，x=2所围成的图形的面积； x21、抛物线y2=4x与直线x=1所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积；22、曲线y=ex与直线y=e及y轴所围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积；。
高数总复习重点,大一
三、导数的几何意义
K切=f ′(x0) 切线方程： 切线方程：y-f(x0)= f ′(x0)(x-x0) 在点（ ， ） 如 求y=x3在点（1，1）处的切线方程 在点x=1处的切线方程 求y= −x2+7在点 在点 处的切线方程
四、基本求导公式和导数的四则运算法则 基本求导公式和导数的四则运算法则 五、复合函数的导数 复合函数的导数
第二章 导数与微分
一、导数的定义
f ′(x0)= lim
∆x → 0
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x
二、连续与可导的关系
f ( x + ∆x) − f ( x) lim f ′ (x)= ∆x →0 ∆x
可导必定连续，但连续未必可导 典型 y=|x|在x=0处 即 函数在一点可导是函数在该点连续的 充分不必要条件 充分不必要条件 反之 函数在一点连续是函数在该点可导的 必要不充分条件 必要不充分条件
π
小 结
熟练掌握各章的重点内容、解题的方法和技巧， 关键是能熟练运用所学的知识解决具体问题。
作业
• 认真复习，准备考试 • 祝大家成功
八、高阶导数 高阶导数 九、微分 dy 微分
1.求导数或微分 （1）
y=
x 2
重点是概念和二阶导数
= f ′( x ) dx
（2）y
x sin x −5x log ，求y′
2
= sin(ln x )求dy
x （3）y = tan 求dy 5
（4）设 f ( x) = sin x + cos x求dy
[2x+xy−sin(x+ey)] ′ x =(0) ′
2x ⋅ln2+1⋅y+x⋅y′ x−cos(x+ey) ⋅ (1+ey ⋅y ′ x) =0
高数大一(上)复习题(按章节分)
第一章 函数与极限 一、无穷小的应用1、 (09)设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =_________3______；2、(07) [3分] 设()572xxf x =+-，则当0x →时（B ）A.()f x 与x 是等价无穷小量B. ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量C. ()f x 是比x 高阶的无穷小量D. ()f x 是比x 低阶的无穷小量二、求定义域、极限、特殊极限、连续性 1．(06)[3分] 函数1arcsin3x y -=的定义域是[]{}2,40⋃ 2、(06) [3分]201cos3limx x x →-=923、(06) [3分] 极限lim 23x x →∞+ （D ）A. 2=B.2=-C.2=±D. 不存在4、(08) [5分] 设)sin n a n n π=，求lim n n a →∞解：lim lim n n n n n a n π→∞→∞====5、(07) [3分]()20lim 1sin xx x →+=2e6、(08) [5分]求极限011cos lim 12xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式22ln cos22000ln cos 112lim cos1lim 1lim 2ln102xxx x x x xx x e x x x→→→⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦7、(07) [3分]在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B ）(A) ()sin ,00,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (B) ()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (C)()00,0x f x x ≠=⎪=⎩(D) ()1,00,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩三、间断点的判断及类型 1、(08) [3分] 设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为0x =，它是第 二 类间断点2、(09)已知)1(||)(22--=x x xx x f ，指出函数的间断点及其类型． 1230,1,1x x x ===-为间断点……….2分222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x xf f x x x x →-→+---==-+==---2222101011(10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1)x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--………3分从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点………………………………………………………………………………..1分3、(06) [本小题8分]设)()()()()1b x b f x x a x -=--有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求,a b 的值解 由()()()1(1)lim01x a f x b b →--==--，得0,0,1a b b =≠≠ 因()1lim x f x →存在，故()()())()()11lim 1lim120x x x b b x f x b b x→→--==--=从而2b =第二章 导数与微分导数、定义、高阶导数2．(06) [3分]设x ey x π=+，则y '=1ln x e ex ππ-+2．(08) [3分]若()()()()()1232008f x x x x x x =----，则()0f '=2008!2．(09)设x y 211+=，则=)()6(x y 76)21(!6)2(x +-；2、(08) [5分] 已知()f x 有一阶连续导数，且()()001f f '==，求极限()()sin 1limln x f x f x →-解：原式=()()()()()()0sin 0sin 11lim011ln ln 0sin 0ln 0x x f x f x f f x f x x f x x →=-'=⋅⋅=--'⎡⎤⎣⎦-2(07)求曲线x y xe -=在拐点处的切线方程 解：()()11xx x y exe x e ---'=+-=-，()()(1)12x x x y e x e x e ---''=-+--=-令0,2y x ''=⇒=，由于2x >时0y ''>，2x <时0y ''<，2(2,2)e -为拐点 故要求的切线为：()222222,4y ee x y e e x -----=--=-2、(07) [3分] 设()()()2,d f x g x h x x dx ==，则()()d f h x dx=（D ） A. ()2g x B. ()2xg x C. ()22x g x D. ()22xg x微分2．(07) [3分]设y =0x dy==4dx 2．(06) [3分] 设()220xy a a x =≠+，则=dy ()22222a x dx a x-+2．(08) [3分]设()f u 可微，且()2sin3y fx =，则dy =()()6sin3sin3cos3f x f x xdx '2．(09)由方程02=+-y x x y 确定了隐函数)(x y y =，求微分d y ．()()ln ln 2ln ln 20y x y x d e x y e xdy yd x dx dy -+=+-+=……………5分即()2ln 20,1ln y y y y x y x xdy x dx dx dy dy dx x x x x -+-+==+……………1分隐函数方程2(08)设函数()y y x =)0,0x y =>>确定，求dydx解：对方程两边求导书ln ln ,ln ln y xy y x x x y=⇒= 两边求导书，得ln 1(ln 1)ln 1,ln 1x y y x y y +''+=+⇒=+参数方程2(08)设函数()y y x =由参数方程3292x t ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定，求曲线()y y x =向下凸的x 的取值范围 解：()22222223222322239,39399(3)t t t dy t d y t dx t dx t t '-⎛⎫ ⎪+--+⎝⎭===+++ 曲线下凸要求()0y x ''>，即()()()232310,1,3t t t t t +-=-+>∈-因此对于()39,10,54x t t x =+∈-，由于在端点连续，可取x 的取值范围为[]10,54-2．(09)求由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定函数的二阶导数22d d y x ． )1)(23(++=t t dxdy……………3分 t t t dxy d )1)(56(22++=…………….3分 2(07) 设参数方程()2220ln 11t x t u y du u ⎧=+⎪⎨=⎪+⎩⎰，求22d y dx 解：2221221t dy t t t dx t +==+，222211122241d y d dy d t dt t t dxdx dx dt dx t t +⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+2(06)设(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩确定了y 是x 的函数，求22d y dx解sin t t y dx dy dy t dt dt dx x '====='()()221s i n s i n c o s i nd y d d y d d d t t t t t dx dx dx dx dx dt dxdt⎛⎫===⋅=⋅= ⎪⎝⎭分段函数的连续性、可导性2(07) [本小题8分] 确定常数,a b 的值，使函数(),0()arcsin ,0xe b xf x ax x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续且可导解：()()()000lim lim arcsin 0x x f f x ax →+→++===，()()000lim lim ()1xx x f f x e b b →-→--==+=+()001f e b b =+=+，由()f x 在0x =处连续知()()()000,10,1f f f b b +=-=+==-()()()()0000110lim lim lim 10x x x x x f x f e b b e f x x x-→-→-→--+-+-'====-()()()()0000arcsin 00limlim lim 0x x x f x f ax axf a x xx +→+→+→---'====- 由()f x 在0x =处可导知()()00,1f f a +-''=⇒=2(08)设()x ϕ具有二阶连续导数，且()00ϕ=，若()(),0,0x x f x x a x ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（1）确定a ，使()f x 在(),-∞+∞内连续； （2）求()f x '解：（1）连续则必有()()()()()000lim lim00x x x a f f x x ϕϕϕ→→-'====-(2)当0x ≠时()()()2x x x f x xϕϕ'-'=而()()()()()()()20000000limlim limx x x x f x f x x xf x x xϕϕϕϕ→→→'-'--'===--()()()001lim022x x xϕϕϕ→''-''== 所以()()()()2,010,02x x x x x f x x ϕϕϕ'-⎧≠⎪⎪'⎨⎪''=⎪⎩ 2(09)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e1,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值．()()()11010f f f =+=-从而()(1)1010(1)0lim lim e10,0b x x x f a -→+→-===-==…………3分()()()10101ln 11(1)limlim 111x x f x f x f x x +→+→+-+-'===--()()()1101011(1)lim lim 11b x x x f x f e f b x x --→-→+--'===--由可导知(1)(1)(1),1f f f b -+'''===……………………………………………………..2分2(06) [本题9分]设()21,0,2,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论()f x 及()f x '在0x =处的连续性解 因为()()2001lim lim20x x x e f x f x→→-===，故()f x 在0x =处的连续 ()()()2222000012012220lim lim lim lim 202x x x x x x x e f x f e x e x f x x x x→→→→------'=====- 当0x ≠时，()()22221x x xe e f x x--'=()()()22220214,lim limlim 202x x xx x x xe e xe f x f x x→→→--''==== 故()f x '在0x =处连续2 (06) [本题10分]设()f x 在(),a b 连续、可导且()f x '单调增，()0,x a b ∈，()()()()00000,.,f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩证明：()x ϕ在(),a b 内也单调增解 因()()()0lim 00x x f ϕϕ→'==，故()x ϕ在0x 处连续()()()()0020()()()f x x x f x f x x x x ϕ'---'=-记()()()()()()()()000,g x f x x x f x f x f x f x x ξξ'''=---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦在x 与0x 之间 当()()()00,,,0x x x x f x f g x ξξ''<<<<> 从而在()0,a x 内()0x ϕ'>。
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第一章
一、函数
函数与极限
1.理解函数的定义与特性： 函数的三要素——定义域、值域、法则； 四种特性——有界性、单调性、奇偶性、周期性。 2.会求函数的定义域及函数表达式 注意常用函数：复合函数、分段函数、初等函数
二、极限
1.了解数列极限的定义、函数极限的定义；
例
例
利用导数研究函数的性态：
一、单调区间的判断
定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导（1） . 如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在 [a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在 [a, b]上单调减少.
高等数学（上）的知识框架
函数 极限 求极限的方法
连续： 导数：
x x0
lim f x f x0
函 f ' x0 lim 数 x x x x0 性 求导的 逆运算 中值定理 态 的 研 不定积分 究
第二类间断点:
中至少一个不存在 ,
,
称
若其中有一个为振荡,
x0 为无穷间断点 . 称 x0 为振荡间断点 .
x 2 1, x 0 例 (1)函数f ( x ) 的间断点为 2 x, x 0 其为 型.
，
e x (sin x cos x ), x 0 ( 2)若f ( x ) 是( ,)上的连续函数， x0 2 x a , 则a .
高等数学（上）总复习
期末考试题型：
一、填空题：每题3分，5个小题共15分 二、选择题：每题3分，5个小题共15分 三、计算题：6个小题，共70分 四、附加题（可做可不做）10分
分值在各章中的大致分配：
第一章函数与极限、连续性占有15分； 第二章导数占有34分； 第三章导数的应用占有25分； 第四章不定积分占有26分.
f ( x0 h) f ( x0 h) 例 (1)设f ( x0 )存在，则 lim ___ . h 0 h
3.导数的几何意义 在点 曲线 切线方程: 法线方程: 4.左导数与右导数 设函数 若极限
( x 0 )
( x 0 )
的切线斜率为 f ( x0 )
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
x
o
x0
x (不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点及使f ( x) 0 不存在的点；
(3) 检查 f ( x) 在驻点及不可导点左右的正负号, 判断极值点;
(4) 求极值.
设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 第二充分条件： 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
处可导, 并称此极限为 在点
的导数. 记作:
y x x0 ; f ( x0 ) ;
2.导数定义的三种形式
d f ( x) dy ; dx x x0 dx x x0
y f ( x0 ) lim x 0 x
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
5x 4 x ( 2) lim x 1 x 1
tan x sin x (4) lim x 0 x 2 sin x 1 ln(1 ) ln(1 cos x ) x (5) lim (6) lim x 0 x arc cot x ex 2 1 1 7 lim 2 2 8 lim x ln x x 0 sin x x x 0
x y
例 求函数y 5
x5
3
x 2
2
的导数.
第三章
f ( ) 0
导数的应用
f ( ) f (b) f (a ) ba
1. 微分中值定理及其相互关系
f (a) f (b)
罗尔定理
y
y f (x)
拉格朗日中值定理
y
O a
y f (x)
F ( x) x Of (a ) f (b) x b a
3 2 例 设函数 f ( x ) x x 3 , 求 : (1) f ( x )的单调区间 2 27 和极值;(2) f ( x )在 1, 上的最值. 8
应用：当分段函数在分段点左、右两侧表达式不 同时，求函数在分段点的极限 例 给定函数
x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
x0 x0 x0
讨论
x 0时 f (x) 的极限是否存在 .
3.理解无穷小与无穷大的概念，无穷小的阶的 概念；会进行无穷小的比较。 特别注意：等价无穷小
2.理解极限性质；
注意一个结论：
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) 不存在
x x0
x x0
3.理解闭区间上连续函数的性质 （1）有界性定理 （2）零点定理与介值定理 （3）最大值最小值定理
第二章
一、导数与微分的概念 1.导数的定义
x x0
导数与微分
在点 的某邻域内有定义 , 在点
设函数
lim f ( x ) f ( x0 ) lim y 存在, 则称函数 若 x x0 x 0 x
sin x , x 0 (2)讨论函数 f ( x ) 的连续性并求f ( x ). x0 0,
5.微分的求法
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是 即
d y f ( x0 )dx
d y f ( x0 )x
有极限
求微分的方法
函数连续
函数可导 函数可微
例 设f x x 2e x，求df x 及df x
如果区间内只有一个驻点，且该驻点处取 得极值，则这个极值就是最值（最大值或最小值）。 在实际问题中，常根据问题的性质就可以断定 可导函数 f x 确实有最值，而且一定在定义区间 内部取得。这时，如果 f x 的定义区间内部只有 一个驻点 x0 ，则不必讨论 f x0 是不是极值，就可 以断定 f x0 是最大值或最小值。
( f ( x0 ) 0 )
在点 的某个右(左) 邻域内有定义,
存在, 则称此极限值为
在
处的右 (左) 导数,
记作 f ( x0 )
( f ( x0 ))
定理 函数
是
在点
可导的充分必要条件 且
注：求分段函数在分段点的导数要用导数的定义
x 2 1, x 1 例 (1)函数 f ( x ) 在x 1处可导， ax b, x 1 求a，b的值.
F ( x) x
b x
柯西中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
2. 微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
解题方法: 利用逆向思维 , 设辅助函数 ,一般
(1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数 . (2) 证明含一个中值的等式或不等式多用拉格朗日 中值定理 (3) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,可考虑用柯 西中值定理 .
三、连续
1.理解函数连续的定义；
设函数
在
的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
函数
(1)
在点 x0 连续必须具备下列条件:
在点 有定义 , 即 存在 ;
(2) 极限
(3)
存在 ;
注意： 对自变量的增量
有函数的增量
函数
x x0
在点
பைடு நூலகம்
连续有下列等价命题:
x 0
lim f ( x) f ( x0 )
x 1
.
二、熟练应用公式及法则求函数的导数及微分
1. 熟练掌握基本的求导公式并会应用 2. 会求简单函数的二阶导数 3.求复合函数的导数及微分
dy 例 求y x ln 1 sin x 导数 . dx
2
4.求隐函数的导数及微分
dy 例 求方程xy e 确定的隐函数的导数 dx 5.注意对数求导法的应用
''
在的点；
（3）对步骤（2）中求出的每一个点，检查其邻近 左、右两侧二阶导数 f '' x 的符号，确定曲线的凹凸 区间和拐点。
三、函数的极值
第一充分判别法：
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极大值. ' (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ' ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.