行列式论文
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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.4 2。
1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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6 2。
4加边法（升阶法）。
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.6 2。
5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
行列式的性质及应用论文
行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。
首先，我们来讨论行列式的性质。
行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。
行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。
下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。
即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。
即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。
3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。
即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。
4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。
即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。
行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。
接下来，我们来探讨行列式的应用。
行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。
对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。
3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。
行列式与矩阵的相似与不同(论文)
行列式和矩阵的相似与不同学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：完成日期：中文摘要在本论文中主要讨论了高等代数中的行列式和矩阵两个重要概念，并且深入观察和比较行列式和矩阵的形式方面行列式表示一个数,矩阵表示为一个数表.概念中它们的本质与相等方面有区别。
性质方面主要区别为转置,进行一些初等变换的结果不同。
运算方面行列式和矩阵对加法来说都满足交换律,结合律与分配律，但矩阵对乘法来说不满足交换律,并且它们的数乘方法也不同，还有应用等方面阐述了行列式和矩阵的相似与不同和它们之间关系。
关键词：行列式；矩阵；相似；不同；应用。
1目录中文摘要 (1)引言 (1)1. 形式方面 (1)1.1相似： (1)1.2区别 (1)2. 概念方面 (2)2.1本质不同 (2)2.2相等方面不同 (2)3.性质方面 (3)3.1相同点 (3)3.2区别 (3)4. 运算方面 (5)4.1相同点 (5)4.2区别 (6)5. 应用方面 (8)5.1相同点 (8)5.2区别 (8)总结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)2引言行列式和矩阵是高等代数中，特别是线性代数中的两个基本概念。
它们从一般地计算到求出线性方程组的解，判断向量的线性关系，线性变换和一些实际问题中广泛的应用。
虽然，行列式和矩阵是互不相同的两个概念，但它们也具有一些相同的性质。
所以要明确它们之间的相似与不同是很重要的。
1. 形式方面1.1相似：行列式和矩阵表面上看比较相似，即它们中的元素有顺序地排成行列表。
1.2区别：行列式中行数和列数必须相同，即行数必须等于列数，正因为如此，所以说行列式时称为n阶行列式，n为行列式中行数或列数。
且行列式在数表两端加竖线，表示由这个数表确定的一个数。
如：D=11121 2122212...... ............nnn n nn a a a a a a a a a矩阵中，行数和列数无丝毫关系，即可以不同。
数学毕业论文《行列式计算的若干种方法及算法实现》
山西师范大学本科毕业论文行列式计算的若干种方法及算法实现姓名系别专业班级学号指导教师答辩日期成绩行列式计算的若干种方法及算法实现内容摘要行列式是高等数学中基本而又重要的内容之一，那么认识行列式，并且掌握行列式的性质就显得尤为重要，在此基础上，我们还需要搞清楚行列式的若干种计算方法，这不仅仅是用于高等数学中的计算，行列式也可用于解决许多实际问题。
本文通过行列式的定义，把握行列式的性质，透彻全面的概括了6种行列式的计算方法，包括定义法，化三角法，应用一行（列）展开公式，范德蒙行列式，递推公式法以及加边，本文还提出运用MATLAB来帮助计算行列式，正确的选择计算行列式的方法，使计算更为快捷。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，为我们以后的学习带来十分有益的帮助。
【关键词】行列式性质计算方法 MATLABThe determinant of several kinds of calculating method andalgorithmAbstractThe determinant of higher mathematics is the basic and important content of, then know the determinant, and grasps the nature of the determinant is particularly important, based on this, we also need to figure out some kind of calculation method of the determinant, it is not used in the calculation of higher mathematics, the determinant can also be used to solve many problems. In this paper the determinant do understand after, grasp the nature of the determinant, thoroughly comprehensive summary six kinds of determinant calculation method, including definition method, the triangle method, the application of row(column) on a formula, Vander monde determinants, recursive formula method and add edge method. This paper also puts forward to help with MATLAB calculation determinants; the right choice calculation method of the determinant, making the calculation is more quickly. Through this a series of methods to future improve our understanding of the determinant, for the rest of learning brings very useful help.【Keywords】Determinant Properties Calculation method MATLAB目录一、行列式概念的提出 (1)二、行列式的定义 (1)（一）定义1 (2)（二）定义2 (2)（三）定义3 (2)三、行列式的性质 (2)四、行列式的若干种计算方法 (4)（一）定义法 (4)（二）化三角形法 (5)（三）应用一行（列）展开公式 (5)（四）范德蒙行列式 (5)（五）递推公式法 (6)（六）加边法 (7)五、运用MATLAB来解决行列式的问题 (8)六、结束语 (13)参考文献 (13)致谢 (14)行列式计算的若干种方法及算法实现学生姓名： 指导老师： 一、行列式概念的提出我们知道，行列式是高等代数中的一个计算工具，无论是数学中的高深领域，还是现实生活中的实际问题，都或多或少的与行列式有着直接或间接地关系。
行列式解法小结 数学毕业论文
行列式解法小结数学毕业论文
行列式解法是线性代数中重要的一种方法，可以广泛地应用于各个领域，如物理、工程、经济等。
本文就行列式解法进行了全面的介绍和分析，并探讨了它在实际应用
中的具体作用。
首先，本文阐述了行列式作为一个矩阵的一个属性，描述了它的定义、性质和计算方法。
行列式的定义是通过对一个矩阵中所有可能的排列进行组合，求得的一个标
量值。
它具有很多有用的性质，如行列式关于行和列的互换、行列式的线性性质等。
计算行列式可以使用伴随矩阵或展开式等方法。
其次，本文讨论了行列式作为一个代数工具的应用。
通过分析行列式与线性方程组之间的关系，我们可以发现，行列式可以被用来检测线性方程组解的性质。
如果行
列式的值为零，则该线性方程组无唯一解。
但如果其值不为零，则有唯一解。
此外，本文还阐释了行列式在求解矩阵乘法、求逆矩阵及求解特征值的应用。
通过行列式解法可以很容易地计算出矩阵的乘积、逆矩阵以及特征值等，这对于实际应
用中的矩阵相关问题具有很大的意义。
最后，本文对于行列式的具体应用进行了分析。
在物理领域中，如电学和热学计算问题里，行列式经常出现在方程组的解中。
在机器学习领域，行列式也被广泛地应
用于求解数据的特征值和特征向量。
在工业制造领域中，行列式可以用于计算机器人
的运动，以及控制系统的分析。
综上所述，行列式在数学中具有很重要的地位，并且在各个应用领域都有着非常广泛的应用。
因此，学习和掌握行列式解法对于从事数学及相关领域的人员来说是非
常必要的。
行列式的解法技巧及应用 论文
线性代数论文题目：行列式的解法技巧及应用学院：资源与环境学院专业：土木工程（岩土及地下建筑方向）*名：***学号：*********指导教师：**华北水利水电大学2012年 10月 20 日目录1 行列式的定义和性质 (3)1.1行列式的定义 (4)1.2行列式的性质 (4)2求解行列式的技巧 (6)2.1定义法 (6)2.2化三角形法 (7)2.3析因法 (8)2.4连加法 (10)2.5按行按列展开（降阶法） (11)2.6递推法 (12)2.7数学归纳法 (13)2.8加边法（升阶法） (14)2.9拆项法 (16)2.10拉普拉斯法 (18)2.11利用范德蒙行列式法 (19)3行列式的应用 (20)3.1 行列式在线性方程组中的应用 (21)3.2 行列式在初等代数中的应用 (22)3.2.1 用行列式分解因式 (22)3.2.2 用行列式证明不等式和恒等式 (23)4参考文献 (24)5致谢 (25)摘要：行列式是线性代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。
关键词:行列式；矩阵；范德蒙行列式；递推法The calculation method of determinantAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help.Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant；recurrence method行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。
行列式的计算及应用毕业论文
行列式的计算及应用毕业论文行列式的计算及应用毕业论文目录1. 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1 排列 (1)1.1.2 定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (1)2. 行列式的计算方法 (5)2.1 几种特殊行列式的结果 (5)2.1.1 三角行列式 (5)2.1.2 对角行列式 (5)2.2 定义法 (5)2.3 利用行列式的性质计算 (5)2.4 降阶法 (6)2.5 归纳法 (7)2.6 递推法 (8)2.7 拆项法 (9)2.8 用德蒙德行列式计算 (10)2.9 化三角形法 (10)2.10 加边法 (11)2.11 拉普拉斯定理的运用 (12)2.12 行列式计算的Matlab实验 (13)3. 行列式的应用 (15)3.1 行列式应用在解析几何中 (15)3.2 用行列式表示的三角形面积 (15)3.3 应用行列式分解因式 (16)3.4 利用行列式解代数不等式 (17)3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17)3.6 行列式在实际中的应用 (18)总结 (20)参考文献 (21)附录1 (22)附录2 (22)附录3 (23)谢辞 (24)1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义1.1.1 排列[1]在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2 定义[1]n 阶行列式nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积nnj j j a a a 2121 (1-1-1)的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为n nn nj j j j j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(∑-==τ， (1-1-2)这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列求和.由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为n i i i i i i i i i nn n n nnn n a a a a a a a a a a a a D21)(212222111211212121)1(∑-==τ.（1-1-3） 1.2 行列式的相关性质记 nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=,nnn nn n a a a a a aa a a D 212221212111'=,则行列式'D 叫做行列式D 的转置行列式.性质1 行列式和它的转置行列式是相等的[2]. 即D D ='. 证明：记D 中的一般项n 个元素的乘积是,2121n nj j j a a a它处于D 的不同行和不同列，所以它也处于'D 的不同行和不同列，在'D 中应是,2121n j j j n a a a所以它也是'D 中的一项.反之, 'D 的每一项也是D 的一项，即D 和'D 有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D D ='.性质2 nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211=. 证明：inin i i i i nnn n in i i n A ka A ka A ka a a a ka ka ka a a a +++=2211212111211.)(2121112112211nnn n in i i nin in i i i i a a a a a a a a a k A a A a A a k =+++=性质3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如nnn n nn n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++=，那么行列式D 就等于下列两个行列式的和：.212111211212111211nnn n n n nn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a D += 可以参照性质2的证明得出结论.性质4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设,21212111211nnn n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a D=,212121112111nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a D =则.1D D -=证明：记D 中的一般项中的n 个元素的乘积是.2121n k i nj kj ij j j a a a a a它在D 中处于不同行、不同列，因而在1D 中也处于不同行、不同的列，所以它也是1D 的一项.反之，1D 中的每一项也是D 中的一项，所以D 和1D 有相同的项，且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号：它在D 中的符号为.)1()(21n k i j j j j j τ-由于1D 是由交换D 的i 、k 两行而得到的，所以行标的n 级排列n k i 12变为n 级排列n k i 12，而列标的n 级排列并没有发生变化.因此D 和1D 中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即.1D D -= 性质5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.证明：设该行列式为D ，交换D 相同的那两行，由性质4可得D D -=,故.0=D性质6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.证明：设n 阶行列式中第i 行的各个元素为第j 行的对应元素的k 倍，由性质2，可以把k 提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第i 行与第j 行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.性质7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.nnn n knk k knin k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211+++nnn n kn k k kn k k nnnn n kn k k in i i n a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211+=nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=.2. 行列式的计算方法2.1 几种特殊行列式的结果2.1.1 三角行列式nn nn nna a a a a a a a a 221122*********=（上三角行列式）.nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=（下三角行列式）. 2.1.2 对角行列式nn nna a a a a a22112211000=. 2.2 定义法例1 用定义法证明.000000002121215432154321=e e d d c c b b b b b a a a a a 证明：行列式的一般项可表成.5432154321j j j j j a a a a a 列标543,,j j j 只能在5,4,3,2,1中取不同的值，故543,,j j j 三个下标中至少有一个要取5,4,3中的一个数，则任意一项里至少有一个0为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.2.3 利用行列式的性质计算。
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用论行列式的计算方法及在生活中的实际应用10数字印刷一班孙晓康100220211行列式就是线性代数中的一个基本工具。
无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有著轻易或间接的联系。
行列式的排序具备一定的规律性和技巧性。
针对各种行列式的结构特点概括了行列式排序的常用计算方法，并以实例予以表明。
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于于排序低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即为主对角线的元素的乘积乘以辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想就是根据2阶，3阶行列式的定义排序行列式的值。
2.化成三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值3.分拆法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。
4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)(1)关系式降阶法：关系式法可以分成轻易关系式和间接关系式。
用轻易关系式法排序行列式的关键就是找到一个关于的代数式去则表示，依次从逐级关系式便可以算出的值；间接关系式的作法就是，转换原行列式以结构出来关于和的方程组，解出就可以Champsaur。
(2)依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。
如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
5.升阶法在排序行列式时.我们往往先利用行列式的性质转换取值的行列式，再利用进行定理使之降阶，从而并使问题获得精简。
行列式的计算方法和解析论文
行列式的计算方法和解析论文行列式是线性代数中重要的概念，其在矩阵理论、向量空间等方面有广泛的应用。
行列式的计算方法包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、递推法等。
行列式的计算方法在不同的场景下有不同的适用性，下面将详细介绍行列式的计算方法及其应用，并从一篇经典的解析论文中探讨行列式在数学研究中的作用。
一、行列式的计算方法1.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法是求行列式的一种常用的计算方法。
假设A是一个n阶方阵，其中元素用a_ij表示，对于任意一个a_ij，可以通过展开该元素所在的行和列的其他元素来计算行列式的值。
拉普拉斯展开法的基本原理是递归地求解子行列式的值，直到得到一个1阶行列式。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过拉普拉斯展开法按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，A_11，表示去掉第一行第一列元素的2阶子行列式，以此类推。
2.按行（列）展开法：按行（列）展开法是求行列式的另一种计算方法。
通过选择其中一行（列），将行列式扩展为若干个较小阶的子行列式，最终递归地计算行列式的值。
按行展开和按列展开所得到的计算表达式相同，只是展开的方式不同而已。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，(-1)^(i+j)是代数余子式。
行列式的计算毕业论文
渤海大学毕业论文题目：行列式的计算系别：数学系专业：数学与应用数学班级： 03级五班姓名：徐元姣指导教师：李春目录摘要 (2)引言 (3)一、行列式的定义和性质 (3)1、行列式的定义 (3)2、行列式的性质 (5)二、行列式计算的若干方法 (8)1、化三角形法 (8)2、降阶法（按行（列）展开法） (14)3、升阶法（加边法） (18)4、拆分法 (19)5、泰勒公式法 (21)6、利用范德蒙行列式 (23)7、导数法 (24)8、积分求行列式 (25)9、行列式乘积法 (27)10、递推法 (29)11、数学归纳法 (32)12、循环矩阵的行列式的计算方法 (35)13、利用矩阵行列式公式 (39)14、利用方阵特征值与行列式的关系 (40)结束语………………………………………………………………………………………42参考文献……………………………………………………………………………………43行列式的计算摘要：行列式是高等数学的一个基本的概念。
求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法。
本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式求值方法。
如：化三角形法、降阶法、升阶法、泰勒公式法、范德蒙行列式等十多种方法。
并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征。
关键词：行列式，定义，计算方法。
The Calculation of DeterminantXu Yuanjiao（Department of Mathematics BohaiUniversity Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example, the triangle method, rise-lower method, analyzes the law, Taylor formula, Vandermonde determinant, and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant, Definition, Calculation.引言行列式是高等代数中的重点部分，讲到行列式,我们通常会联想到用克兰姆法则求解线性方程组.但是行列式的作用不仅仅只用于求解线性方程组.在解析几何中,用行列式方法可以判别三点共线和三向量共面、计算平行六面体的体积等等.它不仅是研究线性方程组基本工具，也是讨论向量矩阵和二次型的重要工具之一。
行列式的计算技巧——毕业论文.doc
2016届本科毕业论文行列式的计算方法姓名：____ *** ____________ 院别：____数学与信息科学学院________ 专业：____数学与应用数学____________ 学号：___ 0000000000______________ 指导教师：__ __ *** ___ ____ 2016年 5月 1日2016届本科生毕业论文目录摘要.................................................... 错误!未定义书签。
关键词....................................................... 错误!未定义书签。
Abstract ..................................................... 错误!未定义书签。
Key words .................................................... 错误!未定义书签。
0 引言....................................................... 错误!未定义书签。
1 基本理论................................................... 错误!未定义书签。
2 行列式的计算技巧........................................... 错误!未定义书签。
2.1 化三角形法........................................... 错误!未定义书签。
2.2 递推法............................................... 错误!未定义书签。
2.3降阶法............................................... 错误!未定义书签。
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
行列式在解析几何中的应用问题毕业设计论文
行列式在解析几何中的应用问题毕业设计论文行列式是数学中的一个重要计算工具,在解析几何中有着广泛的应用,它不仅形式优美,而且便于记忆.本文较系统的总结了行列式在解析几何中一些重要方程中的应用,并且用行列式的形式给出了一些多边形面积或多面体体积的计算公式.1.行列式在解析几何中一些重要方程的表示中的应用1.1 平面上过已知两点的直线方程定理1.1 平面上过两个已知点1P (11,x y ),2P (22,x y )的直线方程是1112211y x y x yx=0 (1-1) 推论平面上三点(,)i i i P x y (i=1,2,3)共线的充要条件是1122331101x y x y x y = (1-2)由于1P ,2P ,3P 共线的充要条件即为1P 在2P ,3P 所决定的直线上,而2P ,3P 所决定的直线L 的方程是1112211y x y x yx =0 (1-3) 从而1P 在L 上的充要条件为1122331101x y x y x y = 即为(1-2)式. 很自然的我们会问,空间三点共线的充要条件是什么呢？我们做一下推广.空间三点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)共线充要条件是2331122331122331121111110111x x x x x x y y y y y y z z z z z z === 事实上 12PP =(212121,,x x y y z z ---)13313131(,,)PP x x y y z z =--- 从而有12PP ?13PP =212121313131i j k x x y y z z x x y y z z ------ =21213131y y z z y y z z ----i +21213232z z x x j z z x x ----+21213131x x y y k x x y x ----=233112233112223112111111111x x x x x x y y i y y j y y k z z z z z z ++ 而1P ,2P ,3P 共线的充要条件是12PP ?13PP =0，由此得证.1.2 平面上三点所确定的圆的方程定理 1.2 平面上不共线的三点(,)i i i P x y (i=1,2,3)所确定的圆的方程可用下面四阶行列式表示2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ (1-4) 证明设所求的圆的方程为220x y Ax By C ++++=依题意得x y Ax By C x y Ax By C x y Ax By C ++++=++++=++++= 把以上四式看成是关于1,A,B,C 的齐次方程组,这个方程组显然有非零解.根据有非零解得充要条件得2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ 推论平面上四点(,)i i i P x y (i=1,2,3,4)共圆的必要条件是22111122222222333322444411011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ (1-5)但需要注意的是(1-5)式不是四点共圆的充分条件.例如,当四点共线时(1-5)仍然成立,但是如果已知四点不共线,(1-5)式就是四点共圆的充分条件.因此我们可以得到不共线四点共圆的一个充分必要条件.我们已经知道,空间不共面四点可以确定一个球面方程,下面我们将给出与(1-5)相仿形式的行列式表示.1.3 空间中不共面的四点所确定的球面方程定理 1.3 空间中不共面的四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4)所确定的球面的方程可以用下面的五阶行列式表示22222211111122244110111x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++=++++++ (1-6) 其证明的过程同定理1.2.由定理1.3可以得到空间五点共球面的必要条件,即推论空间中五点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4,5)共球面的条件是11112222333344445555111011x y z x y z x y z x y z x y z δδδδδ= (1-7) 其中,222i i i i x y z δ=++,(i=1,2,3,4,5)同样应该注意,条件(1-7)不是五点共球面的充分条件.例如,当五点共线(或者共面)时,条件(1-7)也是成立的.1.4 空间中不共线的三点确定的平面方程定理1.4 空间中不共线的三点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)所确定的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- (1-8) 或者为11122233311011xy z x y z x y z x y z = (1-9)(1-8)或者(1-9)称为平面的三点式方程.事实上,将(1-8)或者(1-9)中的行列式按照第一行展开可以知道,(1-8)或者(1-9)表示平面,又由行列式的性质知道,(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)均满足(1-8)或者(1-9)式,从而(1-8)或者(1-9)表示过123,P P P ,的平面.推论空间中任意四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4)共面的充分必要条件是11122233344411011x y z x y z x y z x y z = (1-10)1.5 两条异面直线所确定的公垂线的方程定理1.5 空间两条异面直线的方程如下11111112222222::x x y y z z L X Y Z x x y y z z L X Y Z ---==---==它们所确定的公垂线方程为=---=---0022********11ZYXZ Y X z z y y x x Z Y X Z Y X z z y y x x (1-11)其中 111111222222,,Y Z Z X XY X Y Z Y Z Z X X Y === 事实上,(1-11)中第一个式子即为1L 与异面直线所确定的平面方程,(1-11)中第二个式子即为2L 与异面直线所确定的平面方程,二者的交线即为公垂线.我们还可以知道(,,)X Y Z 为公垂线的方向.我们将1L 中的x, y, z 代入(1-11)中的第二个行列式;2L 中的x, y, z 代入第一个行列式,可以得到两个异面直线与公垂线的交点,从而得到1L 与2L 间的距离.1.6 平面上不共线五点确定的二次曲线的方程平面上不共线的五点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4,5)所确定的二次曲线的方程可以用六阶行列式表示2222111111222222222233333322444444225555551110111x xy y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y xx y yx y = (1-12)将(1-12)式中的行列式按照第一行展开,即知(1-12)式表示的二次曲线,又由行列式的性质知道,此二次曲线显然过(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4,5)诸点.2.行列式在向量中的应用2.1 行列式在向量外积的坐标表示中的应用定理2.1 设a ,b 在右手坐标系中的坐标分别是123123(,,),(,,)a a a b b b则a b ?的坐标是221111333322(,,)a b a b a b a b a b a b -(2-1)事实上a b ?=123123()()a i a j a k b i b j b k ++?++=122131132332()()()a b a b i j a b a b k i a b a b j k -?+-?+-? =233231131221()()()a b a b i a b a b j a b a b k -+-+- =221111333322a b a b a b i j k a b a b a b -+从而结论成立.因此,为了便于记忆,我们可以写作a b ?=123123ij k a a a b b b 2.2 行列式在混合积中的应用定理 2.2 任意取定一个仿射标架123[;,,]o e e e ,设向量a ,b ,c 的坐标分别是(123,,a a a ),(123,,b b b ),(123,,c c c ),则有111222123333()()a b c a b ca b c e e e a b c ??=?? (2-2) 事实上()a b c ??=[122112311331()()a b a b e e a b a b e e -?+-?2332()a b a b +-23e e ?]?112233()c e c e c e ++=122133113223321123[()()()]()a b a b c a b a b c a b a b c e e e -+-+-??=111222123333()a b c a b c e e e a b c ?? 从而以上结论成立.由此很容易看出,若123[;,,]o e e e 为右手直角标架,则123()e e e ??=1从而可知111222333()a b c a b c a b c a b c ??= 推论设向量a ,b ,c 的坐标分别是(123,,a a a ),(123,,b b b ),(123,,c c c ),则a ,b ,c 共面的充分必要条件是111222333a b c a b c a b c =0 (2-3) 事实上,由()a b c ??的几何意义可以知道a ,b ,c 共面的充分必要条件是()0a b c ??=从而可以得到结论.由推论(2-3)我们可以得到四点共面的另外一个证明方法.设四个点,,,A B C D 的仿射坐标分别为(,,)i i i x y z (i=1,2,3,4),则,,,A B C D 共面的充分必要条件是11122233344411011x y z x y z x y z x y z =事实上,,,A B C D 共面也就是,,DA DB DC 共面. 从而,其充分必要条件为1424341424341424340x x x x x x y y y y y y z z z z z z ------=--- 即1112223334441111x y z x y z x y z x y z =0从而得到以上结论.2.3 两向量共线的条件定理 2.3 两向量a ,b 在空间仿射标架123[;,,]o e e e 中的坐标分别为(123,,a a a )和(123,,b b b ), 则a ,b 共线的充要条件是221111333322a b a b a b a b a b a b ===0 (2-4)证明必要性设a ,b 共线.若a =0,则结论显然成立.若设a ≠0,于是有实数k 使得b ka =,所以i i b ka = (i=1,2,3),从而有1122a b a b =1122a ka a ka =0同理也可以证明其余两个行列式也等于零. 充分性由已知条件知 233213311221a a a b a a a b a b a b=??=??=?即312123a a ab b b == 因此a ,b 共线.2.4 拉格朗日恒等式定理2.4 对任意四个向量a ,b ,c ,d 有()()a c c d a b c d b c b d=事实上,由向量混合积的有关性质易证()()[()][()()]a b c d a b c d a b d c b c d ==??-?()()()()b d a c b c a d =??-??a c a dbc b d=3.行列式在求多边形或多面体的面积或体积中的应用3.1 过空间中不共线三点的平行四边形的面积定理3.1 对不共线的三点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3),则以12P P ,13P P 为邻边的平四边形的面积是222123S =?+?+?其中 1112233111y z y z y z ?=, 1122233111z x z x z x ?=, 11323111x y x y x y ?=事实上,因为12212121(,,)PP x x y y z z =---,13313131(,,)PP x x y y z z =---所以, 1213212121313131ij k PP PP x x y y z z x x y y z z ?=------ 212121212121313132323131y y z z z z x x x x y y i j k y y z z z z x x x x y y ------=++------233112233112233112111111111x x x x x x y y i y y j y y k z z z z z z =++ 所以,S 等于1213PP PP ?的模,即为 222123S =?+?+? 推论1 以(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为 2221231S =+?+? (3-1) 推论2 以(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为11223311121x y S x y x y =(3-2) 需要注意的是,此处1231P P P P →→→形成逆时针方向的回路,否则,(3-2)右边的行列式前边应该加负号.3.2 已知各顶点的坐标,求多边形的面积如果已知平面上n 边形12P P ……n P 各顶点的坐标(,)i i i P x y (i=1,2,……n)则此多边形的面即可以表示为n 个行列式之和,即定理 3.2 多边形12P P ……n P (假定12P P →→……1n P P →形成按逆时针方向旋转的回路)的面积是2211332212x y x y S x y x y ?=+?+……+1111n n n n n nx y x y x y x y --?+??(3-3) 三角形的面积公式(3-2)也可以写成 221133221112x y x y x y S x y x y x y ??=++用数学归纳法不难证明(3-3)式.注1 定理3.2所说的多边形不必是凸的,即对一般的多边形面积公式(3-3)均成立；注2 公式(3-3)可以表示成复数形式12231(2m S I z z z z =++……11)n n n z z z z -++其中 k k k z x iy =+ (21,1,2,3,i k =-=……n )3.3 已知三角形三边所在直线的方程,求三角形的面积假设ABC ?三边所在的直线的方程分别是i l ：i i i A x B y C z ++=0 (i=1,2,3) 则有下面的定理成立:定理3.3 令三边所在直线方程的系数和常数项所构成的行列式为111222333A B C A B C A B C ?= 31?,32?,33?分别是元素 1C ,2C ,3C 在?中的代数余子式则ABC ?的面积是23132332S ?=(3-4) 事实上,ABC ?的三个顶点(11,x y ),(22,x y ),(33,x y )可以通过解方程组求得 132311211222112233313132323333 (,)(,),(,)(,),(,)(,)x y x y x y=== 其中,11?,21?分别是1A ,2A 在行列式?中的代数余子式. 其余可以类推.将所得的坐标代入(3-2)式得1121311222323132331323331(0)2S S =±≥正负号的选择使 123123313233123212312331323312323132331()2122j A A A ad B B B C C C A A A B B B C C C =±=±=注上面的推导过程中应用了公式1n j ad A A-=,A 是一个n 阶方阵.推论三条直线i l ：0i i i A x B y C ++= (i=1,2,3)共点的必要条件是123123123A A AB B BC C C =0 (3-5) 请注意,上述条件(3-5)不是三线共点的充分条件.例如,当三条直线中至少有两条平行时,上述公式也成立.3.4 平行六面体的体积定理3.4 已知空间中不共面的四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4),则以12P P ,13P P ,14PP 为棱的平行六面体的体积为 1112223334441111x y z x y z V x y z x y z =的绝对值 (3-6) 此结论的证明可以根据三个向量的混合积.推论1 已知空间四面体的四个顶点的坐标是(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4),则此空间四面体的体积为111222333444111161x y z x y z V x y z x y z =的绝对值 (3-7) 推论2 空间四点(,,)i i i i P x y z (i=1,2,3,4),共面的充分必要条件是1112223334441111x y z x y z x y z x y z =0 (3-8)此结论的证明是显然的.3.5 已知空间四面体四个侧面的方程,求四面体的体积定理3.5 若已知空间四面体四个侧面的方程为0i i i i A x B y C z D π+++=：（i=1,2,3,4）令 1111222233334444A B C D A B C D A B C D A B C D ?=则此四面体的体积为312346V ?=(3-9)其中1234,,,分别是1234,,,D D D D 在?中的代数余子式.此定理为定理(3-4)在空间中的推广,其证明亦与定理(3-4)的证明类似,此处不再赘述.推论四个平面0i i i i A x B y C z D π+++=： (i=1,2,3,4)这四个平面共点的必要条件是11112222333344440A B C D A B C D A B C D A B C D = (3-10)注1 (3-11)只是必要条件,不是充分条件.如i π(i=1,2,3,4)中至少有两个平面重合或者三个平面平行时,(3.5-2)也成立.注2 如果1π和2π的交线是1l ,3π和4π的交线是2l ,则(3-11)可以看作1l 与2l 共面的充分必要条件.注3 若已知四面体的六棱长分别是a, b, c, x, y, z, 则此四面体体积的平方是22222222222220101101288011111x y a x z b V y z c ab c =3.6 用行列式表示平面上三角形外接圆的面积平面上已知ABC ?的三个顶点分别为(,)i i x y (i=1,2,3) 由(1-4)式知ABC ?的外接圆方程为2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++ 令 22111112212222222233333111,1,11x y x y y x y x y y x y x y y +?=?=++221112232222233311,1x y x x y x x y x +?=++ 2211112242222223333x y x y x y x y x y x y +?=++ 从而三角形的外接圆方程为221234()0x y x y ?+-?+?-?=亦即223241110x y x y+-+-= 又 2222223314232422221111114()()22444x y +?+-++=++= 于是,ABC ?的外接圆的面积是2214232144S π+?+?=?4.解析几何中一些重要距离公式的行列式表示4.1两异面直线间的距离方程设两异面直线L 1,L 2的方程分别为：11111112222222:,:,x x y y z z L X Y Z x x y y z z L X Y Z ---==---==则它们之间的距离为.Y X X Z X Z Z Y Z Y Z Y Z Y 222112221122211222111212121X Y X X z z y y x x d ++---=4.2点到空间直线的距离公式在空间直角坐标系下,给定空间一点M 0（x 0,y 0,z 0)与直线L ：.1 11Zz z Y y y X x x -=-=- 点M 到直线L 的距离222210102101021010ZY X YXy y x x XZx x z z ZY z z y y d ++--+--+--=结束语通过这一段时间的努力,几经周折,本文终于完成，基本达到了预期目的,即系统的总结行列式在解析几何中的应用问题；系统的总结了行列式在向量中一些重要结论中的应用；并且用行列式的形式给出了一些多边形或多面体的面积或体积的计算公式.我想这些对于读者学习解析几何,深化对解析几何的认识,以及对行列式在解析几何中的应用有更加深刻的认识,这些都会对学习解析几何有一定的帮助.但由于受个人水平的限制,在论文中肯定存在一些不妥的地方,敬请各位老师指教.参考文献[1]丘维声.解析几何[M].北京:北京大学出版社,1988.[2]朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何学[M].北京:北京师范大学出版社,1984.[3]陈志杰,咸平.高等代数与解析几何习题精解[M].北京:科学出版社,2002.[4]黄宣国.空间解析几何与微分几何[M].上海:复旦大学出版社,2003.[5]李养成,郭瑞芝.空间解析几何[M].北京:科学出版社,2004.[6]江苏师院数学系编.解析几何(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1982.[7]陈抚良,张振兰,解析几何[M].北京:科学出版社,2005.[8]吴光磊,田畴.解析几何简明教程[M].北京:高等教育出版社,2001.[9]帅绪之.解析几何[M].武汉:华中师范大学出版社,1990.[10]朱德祥,朱维宗.新编解析几何学[M].重庆:西南师范大学出版社,1989.[11]杨文茂,李全英.空间解析几何(修订版)[M].武汉:武汉大学出版社,2003.[12]吕林根,张紫霞.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1998.[13]潘晏仲,李洪军.高等代数与几何[M].西安:西安交通大学出版社,1999.[14]张元明,许延功.行列式在解析几何中的表示[J].昌潍师专学报,1992,11(2):55-61.[15]罗增儒.行列式的简单应用[J].数学通报,1983(7):4-7.致谢屈指数来,我的学生生涯已经走过15个年头了.古人常道：“十年寒窗苦”,但我却感到莫大的幸福,因为在这15年的学生生涯中,从乡村到城镇,再从县城到地市,我摆脱了祖祖辈辈面朝黄土背朝天的宿命,并且一直都在进步.但我也时常问自己,在这15年里我有什么收获呢？或者说,读书有什么用呢？我想答案是很明确的.它首先使我学会独立的思考,而不是盲从.读书可以治愚,我明白了任何时候都不能放弃独立思考的权利的重要性.其次,它让我不再偏执,学会了宽容地看待这个世界,并具有了可贵的反思精神,这一点让我受用无穷.最后,数学与信息科学学院系对理性思维的强调,使我较早地有了生命的感觉,人也活得比较清醒.在对人生的体悟中,总是获得了极大的满足.我能取得这些收获,与周围老师和同学的帮助是分不开的.不过我首先还是得感谢自己的父亲和母亲.即便家境不佳,他们仍然坚持让我读完大学,而不是早早地工作赚钱,为此背负了巨大的压力.母亲的勤劳和开朗对我影响很大,每次接到我的电话,她总是说：“家里挺好的,你不用挂念.”我知道这不是实情,但仍然会得到极大的宽慰.现在,二老都已逾不惑之年,我到此时方能尽孝,实在是愧为人子.我要感谢我的指导老师张元明老师.张老师继承了潍坊学院优秀的学术传统,对学术极为尊重,治学非常严谨.高山仰止,景行行止,在踏入工作岗位之后,我一定会尊重自己的职业,并且也一定会严格要求自己.在论文撰写过程中,张老师提出了诸多建议,为我的论文付出了大量的心血,对此我只有用好好工作来报答了.张元明老师对我大学毕业时期所进行的小研究进行了诸多指导,并鼓励我投身学术.我的任课老师和同学对我的学习和生活都给予了诸多帮助,在此一并致谢!1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM 的工艺和制程方法及对良率的影响研究4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制14. 基于单片机的自动找平控制系统研究15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现18. 一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制19. 基于双单片机冲床数控系统的研究20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制22. 基于单片机的软起动器的研究和设计23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究24. 基于单片机的机电产品控制系统开发25. 基于PIC单片机的智能手机充电器26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制29. 基于微型光谱仪的单片机系统30. 单片机系统软件构件开发的技术研究31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制36. 基于单片机的数字磁通门传感器37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪41. 基于单片机的电机运动控制系统设计42. Pico专用单片机核的可测性设计研究43. 基于MCS-51单片机的热量计44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究46. 基于单片机的轮轨力检测47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现48. 基于单片机的电液伺服控制系统49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究52. 单片机控制的后备式方波UPS53. 提升高职学生单片机应用能力的探究54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究56. 基于单片机的多通道数据采集系统57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制58. 基于单片机的红外测油仪的研究59. 96系列单片机仿真器研究与设计60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制63. 基于单片机的气体测漏仪的研究64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发81. 基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究85. 基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现89. 单片机监测系统在挤压机上的应用90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发97. 锅炉的单片机控制系统98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制104. 基于ADμC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究107. 单片机实现的寻呼机编码器108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制112. P IC单片机在空调中的应用113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！。
行列式的计算方法 毕业论文 (2)
行列式的计算方法摘要行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不止如此，在许多方面都有广泛的应用。
本文，我们学习行列式的定义、性质，化为“三角形”行列式，利用行列式的性质，使行列式化简或化为“三角形”行列式计算。
利用拉普拉斯展开定理，按某一行(列)或某几行(列)展开，使行列式降级，利用范德蒙行列式的计算公式，利用递推关系等，在计算行列式中最常用的是利用行列式的性质，和按某行(列)展开行列式，而某些方法是针对于某些特殊类型的行列代而言，对一般的n级行列式的计算，往往要利用行列式的性质和拉普拉斯展开定理，导出一个递推公式，化为2级或3级行列式，以及化为“三角形”行列式来计算。
关键词计算方法线性方程组行列式引言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位。
因此这个问题是读者所熟悉的。
譬如说，如果我们知道了一段导线的电阴r，它的两端的电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式vir ，求出来。
这就是通常所谓解一元一次方程的问题。
在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。
而n 元一次方程组，即线性方程组的理论，在数学中是基本的也是重要的内容。
在中学代数课中学过，对于二元线性方程组：⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 当二级行列式022211211≠a a a a 时，该方程组有唯一解，即222112112221211a a a a ab a b x =，222112112211112a a a a b a b a x =，对于三元线性方程组有相仿的结论。
为了把此结果推广到n 元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********的情形。
我们首先要掌握n 级行列式的相关知识。
行列式及其应用论文.doc
目录1.引言 (2)2.行列式的概念 (2)2.1排列与逆序 (2)2.2 n阶行列式的定义 (2)2.3 行列式的基本性质 (3)2.4 行列式按行（列）展开定理 (4)2.5 重要公式与结论 (5)2.6 范德蒙德行列式的性质 (6)3.行列式的若干应用 (6)3.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用） (6)3.2行列式在初等代数中的几个应用 (7)3.2.1用行列式分解因式 (8)3.2.2用行列式证明不等式和恒等式 (8)3.3.行列式在解析几何中的几个应用 (8)3.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） (8)3.3.2用行列式表示三角形面积 (8)3.3.3用行列式表示直线方程 (9)4.范德蒙德行列式的若干应用 (10)4.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用 (10)4.2范德蒙德行列式在微积分中的应用 (10)4.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 (12)4.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用. (12)结论 (13)致谢 (14)行列式及其应用任兰兰,数学计算机科学学院摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则The Determinants and Their Applications Abstract:The determinant is one of the elementary tools in linear algebra. We first introduce the corresponding conceptions of the determinants, such as the definition, the properties, the ordinary formulas and conclusions, then we discuss in detail the applications of the determinants in linear equations, elementary algebra, and analytic geometry and so on, we also discuss the applications of the Vandermonde determinant in calculus and vector space. Finally we summarize the advantages of the determinants.Key words:Determinant; Vandermonde determinant; Cramer rule1.引言行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式的运算使问题的解决变得简单,让我们首先来介绍行列式有关的重要概念,定理,公式及其性质.其次我们介绍行列式的若干应用.2.行列式的概念2.1排列与逆序定义1 n 级排列:由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i 称为一个n 级排列,n 级排列共有!n 个.定义2 逆序:在一个n 级排列中,如果一个较大的数排在一个较小数之前,就称这两个数构成一个逆序,一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.用12()n i i i τ或τ表示排列12n i i i 的逆序数.如果排列12n i i i 的逆序数为偶数,则称它为偶排列.如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.定义3 对称:排列12n i i i 中,交换任意两数t i 与s i 的位置,称为一次对换.对换改变排列的奇偶性.任何一个排列都可经过若干次对换变成自然顺序,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.例2.1.1 求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性(1)53214;(2)(1)321n n -⨯⨯;(3)135(21)246(2)n n - 解 （1）(53214)=4+2+1+0=7τ为奇排列.（2）(1)((1)321)=(n-1)+(n-2)++2+1=2n n n n τ--⨯⨯由于(1)2n n -的奇偶性需根据n 而定,故讨论如下：当4n k =时,(1)2(41)2n n k k -=-是偶数;当41n k =+时,(1)2(41)2n n k k -=+是偶数;当42n k =+时,(1)(21)(41)2n n k k -=++是奇数;当43n k =+时,(1)(21)(43)2n n k k -=++是奇数. 综上所述,当4n k =或41n k =+时,此排列为偶排列;当42n k =+或43k +时, 此排列为奇排列,其中k 为任意非负整数.（3）该排列中前n 个数1,3,5,,(21)n -之间不构成逆序,后n 个数2,4,6,,2n 之间也不构成逆序,只有前n 个数与后n 个数之间才构成逆序.(1)(135(21)246(2))012(1)2n n n n n τ--=++++-=,奇偶性情况与（2）完全一样. 2.2 n 阶行列式的定义由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =组成的记号121211121212221212==(1)n nn nt p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a -∑其中12,n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列,t 为这个排列的逆序数,求和符号12np p p ∑是对所有排列12n p p p 求和.n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素,位于第i 行第j 列的元素ij a 叫做D 的(,)i j 元.例2.2.1 若12335544i i a a a a a 是五阶行列式中带有正号的一项,求,i j 的值?解 由行列式的定义知,每一项应取自不同行不同列的五个元素之积,因此,i j 只能取,i j ,当2,1i j ==时，此时应取负号;当1,2i j ==时,11233552441123354452a a a a a a a a a a =,且(13542)4τ=为偶排列.所以1,2i j ==. 2.3 行列式的基本性质（1）行列式与它的转置行列式的值相等,即T D D =.111211121121222122221212=n n n n n nnnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a （2）互换行列式的任意两行（列）,行列式的值将改变正负号.111212122221222111211212=n nnnn n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a —特别地,如果行列式有两行（或两列）完全相同,则行列式的值等于零.（3）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面. （数乘行列式等于用这个数乘该行列式中的某一行（列）.1112121111211212222212221121122=n n nnn n n ii n n nnn n n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a b a a a b a b a b a =∏特别地,若行列式中有一行（或列）元素全为零,则该行列式的值为零.（4）行列式具有分行（列）相加性.11121111211112121222212222122211221212112122=+n n nnn n i i i i in in i i in i i in n nnn n nnn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++（5）行列式中若有两行（或两列）元素对应成比例,则该行列式的值为零.（6）将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k 后加到另一行（列） 对应的元素上,行列式的值不变.11121212221112121222112212121212=nn n ni j i j in jn i i inj j jn n nnn n n nna a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a aa a a a a a a +++（7）分块行列式的值等于其主对角线上两个子行列式的值的乘积.例2.3.1 （1）设A 是33⨯矩阵,B 为44⨯矩阵,且1A =，2B =-,求B A ?（2）设A 是33⨯矩阵,=-2A ,把A 按列分块为123(,,A A A A =）,其中(1,2,3)j A j =是A 的第j 列,求31212,3,A A A A -.（3）设αβγ，，是方程30x px q ++=的三个根,求行列式αβγγαββγα?解 （1）33(2)18B A B A ==-⋅=-.（2）31213211212,3,=,3,-2,3,A A A A A A A A A A -+,对于1212,3,A A A -,第一列和最后一列对应元素成比例,故其值为零,而321123123,3,=,3,=3,,=3=6A A A A A A A A A A ---. （3）由根与系数的关系知0αβγ++=,于是0==00αβγαβγβγβγγαβαβγαβαββγααβγγαγα++++++. 2.4 行列式按行（列）展开定理定义4 在n 阶行列式中,把,)i j （元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1n -阶行列式叫做(,)i j 元ij a 的余子式,记作ij M .111211111(1)1(1)2(1)1(1)1(1)(1)1(1)2(1)1(1)1(1)12(1)(1)j j n ii i j i j i n ij i i i j i j i n n n n j n j nna a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a -+-----+-+++-+++-+=(1)i j ij ij A M +=-,ij A 叫做,)i j （元ij a 的代数余子式. 引理1 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除(,)i j 元ij a 外都为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和;推论3行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11221,++(1,2,,)0,nij kj i k i k in kn j D i k a A a A a A a A i n i k ==⎧=+==⎨≠⎩∑ 或11221,++(1,2,,)0.nij ik j k j k nj nk i D j k a A a A a A a A j n j k ==⎧=+==⎨≠⎩∑例 2.4.1设1578111120361234D =,求41424344A A A A +++,其中4j A 为元素4j a ,1,2,3,4j =的代数余子式.解 414243444142434415781111=1111020361111A A A A A A A A +++⋅+⋅+⋅+⋅==.例 2.4.2 设n 阶行列式00010100021000011000A n n=-,求A 中所有元素的代数余子式之和.解 A 中所有元素的代数余子式,即A *中的所有元素.而(1)(2)120010002001==(1)!100000000n n n n A A A n n --*--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 中的所有元素的代数余子式之和,即A *的所有元素之和为(1)(2)2(1)(1)2!n n n n n --+-⋅ 2.5 重要公式与结论（1）设A 为n 阶方阵,则det()A (或A )表示对应的行列式,记为'T A A A ==（“T ”,”’”均表示转置）（2）设方阵A 可逆,则11A A-=（3）设*A 为A 的伴随矩阵,ij A 为ij a 的代数余子式.1121112222*12n n n nnn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1*n A A -=. （4）n kA k A =,(A 为n 阶方阵).（5）00,,(1)00mn A C A B A B A B A B B C B A ===-,其中A 为m 阶方阵,B 为n阶方阵.（6）范德蒙德（Vandermonde ）行列式1222212111112111()n n n i j n i j n n n n x x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏2.6 范德蒙德行列式的性质利用行列式的性质容易推得：（1）若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90,可得：11n(1)11211111-11n n n n n n n n n x x x x D x x ------=（）（2）若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90,可得：1111n(1)222111-11n n n n n n n x x x x D x x ----=（）（3）若将范德蒙德行列式n D 旋转180,可得：1111111111n n n n n n n n x x x D x x x -----=3.行列式的若干应用3.1行列式在线性方程组中的一个应用线形方程组11112211211222221122......()...n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪*⎨⎪⎪+++=⎩ 克拉默法则：如果线性方程组()*的系数行列式不等于零。
论文行列式
论文行列式毕业论文题目：行列式计算方法的认识和应用系别：数理系专业：数学与应用数学姓名：宋真君枣庄学院2012年10 月10日目录1行列式的基本理论 (5)1.1行列式定义 (5)1.2行列式的性质 (5)1.3基本理论 (6)1.4几种特殊行列式的结果 (7)2行列式的计算方法 (8)2.1定义法 (8)2.2化成三角形行列式法.................... 错误！未定义书签。
2.3利用行列式的性质计算.................. 错误！未定义书签。
2.4降阶法................................ 错误！未定义书签。
2.5递（逆）推公式法...................... 错误！未定义书签。
2.6加边法................................ 错误！未定义书签。
2.7拆行（列）法.......................... 错误！未定义书签。
2.8利用范德蒙行列式...................... 错误！未定义书签。
2.9数学归纳法............................ 错误！未定义书签。
2.10拆开法............................... 错误！未定义书签。
2.11线性因子法 .......................... 错误！未定义书签。
2.12辅助行列式法 (29)2.13n阶循环行列式算法 (30)2.14用构造法展开 (31)2.15利用拉普拉斯展开..................... 错误！未定义书签。
3行列式的应用.. (33)3.1行列式在线性方程中的应用 (33)3.2行列式在初等代数中的应用 (23)3.3行列式在解析几何中的几个应用 (25)参考文献：................................. 错误！未定义书签。
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目录摘要 (1)引言 (2)1.行列式及性质 (3)1.1行列式 (3)1.2行列式的性质 (3)2.行列式按行（列）展开及代数余子式的应用 (6)2.1行列式按行（列）展开定理 (6)2.2代数余子式的应用 (8)3.行列式的计算 (9)3.1关于n阶行列式的计算 (9)3.2抽象行列式的计算 (15)4．行列式理论的应用 (18)4.1范德蒙行列式 (18)4.2范德蒙行列式在计算行列式中的应用 (19)4.3一类n阶实方阵行列式的应用 (21)4.4行列式在多项式理论中的应用 (24)4.5在线性变换理论中的应用 (24)参考文献 (26)致谢................................. 错误！未定义书签。
浅谈行列式摘要：行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法。
行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用。
本文总结了行列式的定义和性质，讨论了不同类型的行列式的计算方法，给出了行列式在线性代数理论中的应用。
关键词：行列式;范德蒙行列式；线性变换.Introduction to the determinantAbstract: The determinant is an important component of the theory of algebra。
The general method of calculating the determinant does not exist,and different determinates have different computing method。
The theory of determinant is used widely in the solution of linear equations, the judgment of the linear correlation, the theory of the the linear space, and the linear transformation,etc。
The paper summarizes the definition and properties of determinant ,discuss the computing methods about different types of determinants, and gives the applications of determinant in linear algebra theory。
Key word:Determinant; Vandermonder determinant; Linear transformation。
引言行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。
十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
1.行列式及性质1.1行列式定义1 n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （1）的代数和，这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当12n j j j 是偶排列时，（1）都带有正号，当12n j j j 是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可写成111212122212n n n n nna a a a a a a a a 121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j a a a τ=-∑,这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和。
1.2行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变。
即111212122212n n n n nna a a a a a a a a 112111222212n n nnnna a a a a a a a a=性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外。
即111212122212n n n n nna a a ka ka ka a a a 111212122212n n n n nna a a a a a ka a a=性质3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同.即11121112212nn n n n nna a abc b c b c a a a +++111211212n n n n nna a ab b b a a a=111211212n n n n nna a a c c c a a a+ 性质4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.即111211212120n i i ink k kn n n nna a a a a a a a a a a a=，其中第i 行与第k 行相同，即ij kj a a =,1,2,,j n =。
性质5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零。
即11121121212n i i ini i in n n nna a a a a a ka ka ka a a a=111211212120n i i ini i in n n nna a a a a a ka a a a a a=这里的第一步是根据性质2，第二步是根据性质4。
性质6 某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。
即1112111221212n i k i k in knk k kn n n nn a a a a ca a ca a ca a a a a a a +++=11121121212n i i ink k kn n n nna a a a a a a a a a a a+11121121212n k k knk k kn n n nna a a ca ca ca a a a a a a=11121121212n i i ink k kn n n nna a a a a a a a a a aa这里第一步是根据性质3，第二步是根据性质5。
性质7 对换两行（列）的位置，行列式的值变号。
即11121121212n i i ink k kn n n nn a a a a a a a a a a aa =1112111221212n i k i k in knk k kn n n nna a a a a a a a a a a a a a a +++=1112111221212n i k i k in kni i in n n nna a a a a a a a a a a a a a a +++---=11121121212n k k kni i in n n nna a a a a a a a a a a a ---11121121212n k k kni i in n n nna a a a a a a a a a a a =-这里，第一步是把第k 行加到第i 行，第二步是把第i 行的(1)-倍加到第k 行，第三步是把第k 行加到第i 行，最后再把第k 行的公因式(1)-提出.2.行列式按行（列）展开及代数余子式的应用2.1行列式按行（列）展开定理定义1 在n 阶行列式中，将元素ij a 所在的第i 行第j 列的元素划去后剩下的元素按照原位置次序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，即111,11,111,11,j 11,11,1,11,11,11,1,j 1,1j j n i i i j i n i i j i j i n n n n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+定义2 (1)i j ij ij A M +=- (1)称为元素ij a 的代数余子式 证明：我们先由行列式的定义证明n 阶行列式与1n -阶行列式的下面这个关系，11121,1121222,121,11,21,11,0001n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a -------=11121,121222,11,11,21,1n n n n n n a a a a a a a a a ------ (2)事实上，（2）左端行列式的展开式121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j a a a τ=-∑中，只有n j n = 的项才可能不为零，而1nn a = ，因之左端为121212()121,1(1)j j n j j n n j j na a a τ--=-∑，显然121n j j j -是1,2,,1n - 的排列，且121(j j j n)n τ-=121(j )n j j τ-。
这就证明了(2)式。
为了证明(1)式，令1,1,10i i j i j in a a a a -+====，1ij a =即得111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,100100j j j n i i j i j i j i n ij i i j i j i j i n n n j nj n j nna a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a -+-----+-++-++++-+=111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,1(1)00100j j j n i i j i j i j i n n i i i j i j i j i n n n j nj n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-----+--++-++++-+=- 111,111,111,11,11,1,11,()(n j)1,11,11,1,11,1,1,1(1)01j j j n i i j i j i j i n n i i i j i j i j i n n n j nj n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-----+--+-++-++++-+=- 2()(1)(1)n i j i j ij ij M M -++=-=-定理 设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =,ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：11220k i k i kn in d k ia A a A a A k i=⎧+++=⎨≠⎩ 11220l j l j nl nj d l ja A a A a A l j =⎧+++=⎨≠⎩2.2代数余子式的应用在求一个行列式某一行元素代数余子式之和时，逐个计算再求和，运算量很大，此时借助行列式中改变某一元素的值不影响该元素代数余子式的值这一特点，将该行元素都化为1，如此得到的行列式即如上要求的值。