2017太原高二上学期期末考试数学(文)试题
2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题 (2)
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（原创）已知集合{0,1}M =，则下列关系式中，正确的是（ ） A ．{0}M ∈B ．{0}M ∉C ．0M ∈D ．0M ⊆2．（原创）已知函数()y f x =在1x =处的切线与直线30x y +-=垂直，则(1)f '=（ ） A ．2B ． 0C ．1D ．－13．（原创）设i 为虚数单位，则复数221i i+=+（ ） A ．iB ．i -C ．2i +D ．2i -4．（原创）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点(2,)3π在复平面内对应的复数为（ ）A．1+B．1-Ci + Di5．（改编）已知a b c R ∈、、，则下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b < D ．若a b >，c d >，则a bc d> 6．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛．该项目只设置一等奖一个，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”． 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．（改编）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下22⨯列联表：附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，d c b a n +++=．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ）A ．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B ．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D ．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a 值为5，则输出的值为（ ） A ．19 B ．35 C ．67D ．1989．（原创）函数()f x =a 的取值范围是（ ） A ．0a ≥ B ．0a > C ．0a ≤D ．0a <10．（原创）函数()sin ([2,2])2xf x x x ππ=-∈-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（改编）若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1CD ．12．（改编）函数()y f x =是定义在[0,)+∞上的可导函数，且()()x f x f x '+<，则对任意正实数a ，下列式子恒成立的是（ ） A ．()(0)af a e f <B ．()(0)af a e f >C ．()(0)a e f a f <D ．()(0)a e f a f >第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）13．（原创）已知命题“p ：30,3x x x ∀>>”，则p ⌝为__________． 14．（原创）设i 是虚数单位，若复数z 满足3z i i +=-，则z =______．15．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=，===，…．按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =_______． 16．（改编）若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值范围是________．三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分．17．（原创）（12分）已知集合{|3}A x x =>，2{|560}B x x x =--≤，求： （1）AB ；（2）()R C A B ．18．（原创）（12分）已知命题p ：“24x -<<”是“(2)()0x x a ++<”的充分不必要条件；命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在[2,)+∞上是增函数． 若p q ∨是真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．19．（改编）（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系． （1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程； （2）试估计这家面馆第6天的营业额． 附：回归直线方程y bx a =+中，1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb xx xnx ====---⋅==--∑∑∑∑ ，a y bx =-．20．（原创）（12分）已知函数2()ln f x x ax bx =+-． （1）若函数()y f x =在2x =处取得极值1ln 22-，求()y f x =的单调递增区间； （2）当18a =-时，函数()()g x f x bxb =++在区间[1,3]上的最小值为1，求()y g x =在该区间上的最大值．21．（原创）（12分）已知函数2()(2)f x x m x n =+++（,m n 为常数）． （1）当1n =时，讨论函数()()x g x e f x =的单调性；（2）当2n =时，不等式()22x f x e x m ≤+++在区间(1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（原创）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=．（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于点A B 、，求线段AB 的长．23．（原创）（10分）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x R ∈时恒成立，求实数m 的取值范围．2017—2018学年度第二学期期末七校联考高二数学（文科）答案1—5 CCBAC6—10 DDCDA 11—12 DA13．03000,3xx x ∃>≤ 14 15．120 16．[2,1]- 17．解：{|||3}{|33}A x x x x x =>=<->或 ………3分2{|560}{|16}B x x x x x =--≤=-≤≤ ………6分（1）{|36}A B x x =<≤ ……… 8分（2）{|33}R C A x x =-≤≤………10分 (){|36}R C A B x x ∴=-≤≤………12分18．解：1）若p 为真，则{|24}x x -<<≠⊂{|(2)()0}x x x a ++<4a ∴->即4a <-………3分 2）若q 为真，则24a-≤即8a ≥- ………6分3） p q ∨为真且p q ∧为假,p q ∴一真一假………7分 ①若p 真q 假，则488a a a <-⎧⇒<-⎨<-⎩………9分②若p 假q 真，则448a a a ≥-⎧⇒≥-⎨≥-⎩………11分 综上所述，8a <-或4a ≥-………12分19．（1）3x =，5y =， 1.8b =，0.4a =-，所以回归直线为 1.80.4y x =-．………8分（2）当6x =时，10.4y =，即第6天的营业额预计为10.4（百元）． ………12分 20．（1）1()2(0)f x ax b x x'=+->．由已知，得11(2)402810(2)ln 242ln 22f a b a b f a b ⎧'=+-=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==+-=-⎩⎪⎩………4分1(2)(2) () (0)44x x x f x x x x-+'∴=-=> 由 ()002f x x '>⇒<<∴ 函数的单调递增区间为（0，2） ………6分 （2）当18a =-时，21()ln 8g x x x b =-+，1(2)(2)()44x x x g x x x-+'=-=． (1,2)x ∈时，()0g x '>；(2,3)x ∈时，()0g x '<∴ ()g x 在[1，2]单增，在[2，3]单减 ………8分∴ max 1()(2)ln 22g x g b ==-+ 又1(1)8g b =-+，9(3)ln 38g b =-+，(3)(1)ln310g g -=->；∴ min 1()(1)18g x g b ==-+=∴ 98b =∴ 5(2)l n 28g =+ ∴ 函数()g x 在区间[1，3]上的最大值为5(2)ln 28g =+ ………12分21．（1）当1n =时，2()[(2)1]x g x e x m x =+++．2()[(4)(3)](1)[(3)]x x g x e x m x m e x x m '=++++=+++；令()0g x '=，解得1x =-或(3)x m =-+．∴当1(3)m -<-+，即2m <-时，增区间为(,1),(3,)m -∞---+∞，减区间为(1,3)m ---；当1(3)m -=-+，即2m =-时，增区间为(,)-∞+∞，无减区间；当1(3)m ->-+，即2m >-时，增区间为(,3),(1,)m -∞---+∞，减区间为(3,1)m ---．………6分（2）当2n =时，不等式化为2(2)222x x m x e x m +++≤+++；即21x e x m x -≤-在区间(1,)+∞上恒成立．令2()(1)1x e x h x x x -=>-，则2(2)()()(1)x x e x h x x --'=-． 令()x k x e x =-，则()10x k x e '=->在区间(1,)+∞上恒成立． 所以()(1)10k x k e >=->．∴ 当12x <<时，()0h x '<，()y h x =单减； 当2x >时，()0h x '>，()y h x =单增； ∴2()(2)4h x h e ≥=-．∴ 24m e ≤-．………12分22．（1）1:C 1y =-，2:C 220x y +-=． (6)分（2）圆2C 的圆心为，半径为r =2C 到直线1C 的距离为1d =．所以||AB ==………10分23．（1）原不等式化为：①1125x x x <-⎧⎨---+<⎩ 或 ②12125x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩ 或③2125x x x >⎧⎨++-<⎩．解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<．∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<< (6)分（2）令2()|21|f x x x =--，则只须min ()m f x ≤即可．①当12x ≥时，22()21(1)0f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当12x <时，22()21(1)22f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．∴ 2m ≤-．………10分。
山西省太原市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．“a=0，则ab=0”的逆否是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0 2．椭圆+=1的短轴长为（）A．2B．C．4 D．23．已知=（1，1，1），=（x，﹣1，﹣1），若⊥，则实数x=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．04．“x∈A”是“x∈A∪B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±4x D．y=±2x6．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2+，则下列结论正确的是（）A．=+2﹣2B．=﹣2﹣+3C．=2+﹣3D．=2+﹣27．已知离心率e=的双曲线过点（0，3），则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．已知=（0，1，﹣1），=（1，1，0），若+λ与2﹣共线，则实数λ=（）A．﹣2 B．﹣C．D．29．若方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）10．已知p：若∥，∥，则∥，q：∀x∈（0，），sinx＜tanx，则下列中的真是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q11．过点M（2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．12．如图，四面体ABCD中，AB，BC，CD，BD两两垂直，BC=BD=2，点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．抛物线的焦点坐标是．14．已知p：∀x∈（0，+∞），2x＞1，则￢p为．15．已知双曲线的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则该双曲线的标准方程为．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1的中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，给出下列结论：①若BQ⊥A1C，则动点Q的轨迹是线段；②若|BQ|=，则动点Q的轨迹是圆的一部分；③若∠QBD1=∠PBD1，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；④若点Q到AB与DD1的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分．其中结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：直线y=kx的倾斜角α∈（﹣，），q：圆（x﹣1）2+（y﹣k）2=1的圆心在第一象限，若（￢p）∧q是真，求实数k的取值范围．18．如图，点D，E分别是三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AB，B1C1的中点，记=，=，=．（1）用向量，，表示向量；（2）已知向量是平面ACC1A1的一个法向量，利用与的关系，证明：DE∥平面ACC1A1．19．已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（2，y0）在抛物线C上，且|PF|=3．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）若过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=3，AB=，BE=EC，AD=2DC．（1）证明：DE⊥平面PAE；（2）求二面角A﹣PE﹣B的余弦值．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=3，BE=EC，AD=2DC，AE=．（1）证明：DE⊥平面PAE；（2）求二面角A﹣PE﹣B的余弦值．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．2015-2016学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．“a=0，则ab=0”的逆否是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0 【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据互为逆否的两是条件和结论先逆后否来解答．【解答】解：因为原是“a=0，则ab=0”，所以其逆否为“若ab≠0，则a≠0”，故选D．2．椭圆+=1的短轴长为（）A．2B．C．4 D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程可得a=2，b=，进而得到短轴长为2b．【解答】解：椭圆+=1的a=2，b=，可得短轴长为2b=2．故选：A．3．已知=（1，1，1），=（x，﹣1，﹣1），若⊥，则实数x=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0【考点】空间向量的数量积运算．【分析】根据⊥时•=0，列出方程求出x的值．【解答】解：∵=（1，1，1），=（x，﹣1，﹣1），且⊥，∴•=1•x+1×（﹣1）+1×（﹣1）=0，解得x=2．故选：C．4．“x∈A”是“x∈A∪B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x∈A⇒x∈A∪B，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：x∈A⇒x∈A∪B，反之不成立，可能只有x∈B．∴“x∈A”是“x∈A∪B”的充分不必要条件．故选：A．5．双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±4x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线方程化为标准方程，运用双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，即可得到所求方程．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=4即为：﹣y2=1，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，可得所求渐近线方程为y=±x．故选：B．6．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2+，则下列结论正确的是（）A．=+2﹣2B．=﹣2﹣+3C．=2+﹣3D．=2+﹣2【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】将，带入，然后进行向量的数乘运算便可用表示，从而找出正确选项．【解答】解：由得，；∴．故选：D．7．已知离心率e=的双曲线过点（0，3），则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得e==，且a=3，可得c=5，那么利用a，b，c关系得到b2=c2﹣a2=16，从而求得它的标准方程．【解答】解：因为设经过点（0，3），离心率为的双曲线的标准方程为=1，那么可知e==，且a=3，因此c=5，那么利用a，b，c关系得到b2=c2﹣a2=16，∴双曲线的标准方程为=1，故选：D．8．已知=（0，1，﹣1），=（1，1，0），若+λ与2﹣共线，则实数λ=（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据空间向量的坐标运算，求出+λ与2﹣，再根据共线定理，列出方程求出λ的值．【解答】解：∵=（0，1，﹣1），=（1，1，0），∴+λ=（λ，1+λ，﹣1），2﹣=（﹣1，1，﹣2），又+λ与2﹣共线，∴==，解得λ=﹣．故选：B．9．若方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程化为标准方程，由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）即为+=1，由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：C．10．已知p：若∥，∥，则∥，q：∀x∈（0，），sinx＜tanx，则下列中的真是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】复合的真假．【分析】p：若∥，∥，则∥，当=时，不一定成立；q：∀x∈（0，），可得0＜cosx＜1，即tanxcosx＜tanx，即可判断出真假．再利用复合之间的判定方法即可得出．【解答】解：p：若∥，∥，则∥，当=时，不一定成立，因此是假；q：∀x∈（0，），∵0＜cosx＜1，∴tanxcosx＜tanx，即sinx＜tanx，因此是真．只有￢p∧q是真．故选：D．11．过点M（2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为==，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，A，B两个不同点代入椭圆方程，可得+=1， +=1，作差整理可得+=0，∵斜率为==，∴a=2b，∴c==b，∴e==．故选：C．12．如图，四面体ABCD中，AB，BC，CD，BD两两垂直，BC=BD=2，点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】建立空间直角坐标系，设A（0，0，h），根据异面直线AD与BE所成角的余弦值为计算h，再求出平面ACD的法向量，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】解：以BC，BD，BA为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设AB=h，则A（0，0，h），B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（1，1，0）．∴=（0，2，﹣h），=（1，1，0），∴=2，||=，||=，∴cos＜，＞==．∵异面直线AD与BE所成角的余弦值为，∴=，解得h=4．∴=（0，2，﹣4），=（﹣2，2，0）．设平面ACD的法向量为=（x，y，z）．则=0，=0，即．令z=1，得=（2，2，1）．∴=4，||=3，∴cos＜，＞==．∴直线BE与平面ACD所成角的正弦值为．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．抛物线的焦点坐标是（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线方程即x2=4y，从而可得p=2，=1，由此求得抛物线焦点坐标．【解答】解：抛物线即x2=4y，∴p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为（0，1）．14．已知p：∀x∈（0，+∞），2x＞1，则￢p为∃0∈（，∞），x≤1．【考点】的否定．【分析】p是全称，其否定应为特称，注意量词和不等号的变化．【解答】解：p“：∀x∈（0，+∞），2x＞1”是全称，否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x0∈（10，+∞），2x≤1．15．已知双曲线的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则该双曲线的标准方程为x2﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，可得c=2，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程，由题意可得a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，由题意可得c=2，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，由题意可得a2+b2=4，b=a，解得a=1，b=，即有双曲线的标准方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱A1B1的中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，给出下列结论：①若BQ⊥A1C，则动点Q的轨迹是线段；②若|BQ|=，则动点Q的轨迹是圆的一部分；③若∠QBD1=∠PBD1，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；④若点Q到AB与DD1的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分．其中结论正确的是①③（写出所有正确结论的序号）．【考点】的真假判断与应用．【分析】建立如图所示的坐标系，分别求出相应的轨迹方程，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A1（1，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0），Q（0，y，z），0≤y≤1，0≤z≤1，=（﹣1，y﹣1，z）①若BQ⊥A1C，（﹣1，y﹣1，z）•（﹣1，1，﹣1）=0，∴1+y﹣1﹣z=0，∴y﹣z=0（0≤y ≤1，0≤z≤1），则动点Q的轨迹是线段，正确；②若|BQ|=，则1+（y﹣1）2+z2=2，∴（y﹣1）2+z2=1（0≤y≤1，0≤z≤1），∴动点Q的轨迹是圆的一部分，正确；③若∠QBD1=∠PBD1，根据椭圆的形成过程，可得动点Q的轨迹是椭圆的一部分，正确；④若点Q到AB与DD1的距离相等，则y=，∴y2﹣z2=1，∴动点Q的轨迹是双曲线的一部分，不正确．故答案为：①③．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：直线y=kx的倾斜角α∈（﹣，），q：圆（x﹣1）2+（y﹣k）2=1的圆心在第一象限，若（￢p）∧q是真，求实数k的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】p：直线y=kx的倾斜角α∈（﹣，），可得tanα∈（﹣1，+∞）．q：圆（x﹣1）2+（y﹣k）2=1的圆心（1，k）在第一象限，可得k＞0．由于（￢p）∧q是真，可得￢p与q都是真，即可得出．【解答】解：p：直线y=kx的倾斜角α∈（﹣，），∴tanα∈（﹣1，+∞），即k∈（﹣1，+∞）．q：圆（x﹣1）2+（y﹣k）2=1的圆心（1，k）在第一象限，∴k＞0．∵（￢p）∧q是真，∴￢p与q都是真，∴，解得k∈∅．∴实数k的取值范围是∅．18．如图，点D，E分别是三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AB，B1C1的中点，记=，=，=．（1）用向量，，表示向量；（2）已知向量是平面ACC1A1的一个法向量，利用与的关系，证明：DE∥平面ACC1A1．【考点】用向量证明平行；空间向量的基本定理及其意义．【分析】（1）可取BC的中点F，并连接DF，EF，从而可以得到，这样即可得出；（2）根据法向量的概念，可以得到，从而得到，这样即可求出，从而有，这便得出DE∥平面ACC1A1．【解答】解：（1）如图，取BC中点F，连接DF，EF，则：=；（2）是平面ACC1A1的一个法向量；∴；∴；∴=0；∴；又DE⊄平面ACC1A1；∴DE∥平面ACC1A1．19．已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（2，y0）在抛物线C上，且|PF|=3．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）若过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4（m2+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．【解答】解：∵点F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|=3，∴2+=3，解得：p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=（1﹣my1）+（1﹣my2）=4（m2+1）∴|AB|=4（m2+1）≥4，当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=3，AB=，BE=EC，AD=2DC．（1）证明：DE⊥平面PAE；（2）求二面角A﹣PE﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出E的坐标，由此利用向量法能证明DE⊥平面PAE．（2）求出平面PAE的法向量和平面PEB的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣B 的余弦值．【解答】证明：（1）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB⊥AC，PA=AC=3，AB=，BE=EC，AD=2DC．∴D（0，2，0），设B（，0，0），C（0，3，0），==（﹣，1，0），∴E（1，1，0），E（1，1，0），=（0，0，3），，=（1，﹣1，0），∴=0，=0，∴DE⊥AP，DE⊥AE，又AP∩AE=A，∴DE⊥平面PAE．解：（2）=（﹣，0，3），，设平面PAE的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面PEB的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，1，1），设二面角A﹣PE﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣PE﹣B的余弦值为．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=3，BE=EC，AD=2DC，AE=．（1）证明：DE⊥平面PAE；（2）求二面角A﹣PE﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设B（t，0，0），求出E的坐标，由AE=，解得t=，由此能证明DE⊥平面PAE．（2）求出平面PAE的法向量和平面PEB的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣B 的余弦值．【解答】证明：（1）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PA=AC=3，BE=EC，AD=2DC，AE=，∴D（0，2，0），设B（t，0，0），则C（0，3，0），，∴E（，1，0），=（，1，0），∴AE==，解得t=，∴B（，0，0），E（1，1，0），=（0，0，3），，=（1，﹣1，0），∴=0，=0，∴DE⊥AP，DE⊥AE，又AP∩AE=A，∴DE⊥平面PAE．解：（2）=（﹣，0，3），，设平面PAE的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面PEB的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，1，1），设二面角A﹣PE﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣PE﹣B的余弦值为．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y0==﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用，可得x=±，推出k的不等式，得到结果．【解答】解：（1）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，将P（﹣，1）代入椭圆方程，可得+=1，∴a=2，b=，∴a2=4，∴b2=2，∴椭圆C的方程为： +=1；（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，点B，A在椭圆上，∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，∴y0==﹣1，又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣，由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k＜﹣或k＞．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y0==﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用，可得x=±，推出k的不等式，得到结果．【解答】解：（1）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，原点到直线+=1的距离为，即有=，∴a=2，b=，∴a2=4，∴b2=2，∴椭圆C的方程为： +=1；（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，点B，A在椭圆上，∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，∴y0==﹣1，又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣，由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k＜﹣或k＞．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）2016年8月16日。
山西省太原市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0 2．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．63．已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．34．“a＞1”是“a2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x6．已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减B．x=﹣2是函数f（x）极小值点C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数D．x=1是函数f（x）的极大值点7．已知双曲线的离心率e=，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（﹣∞，e）D．（e，+∞）9．若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）10．已知命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，命题q：∃x0∈（0，+∞），x＞x，则下列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q11．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）12．过点M（2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．抛物线x2=4y的焦点坐标为．14．已知命题p：∃x0∈R，3=5，则￢p为．15．已知曲线f（x）=xe x在点P（x0，f（x0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为．16．已知f（x）=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧（￢q）为真命题，求实数k的取值范围．18．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．19．已知点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．20．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．21．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0 【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答．【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，故选D．2．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．故选：D．3．已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．3【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+cosx，则f′（0）=cos0=1，故选：C．4．“a＞1”是“a2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a2＜1解得﹣1＜a＜1，即可判断出结论．【解答】解：由a2＜1解得﹣1＜a＜1，∴“a＞1”是“a2＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．5．双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，整理，得y=．故选：C．6．已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减B．x=﹣2是函数f（x）极小值点C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数D．x=1是函数f（x）的极大值点【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】本小题考查导数的运用；根据导数值与0的关系判断各个选项即可．【解答】解：由图象得：﹣3＜x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，﹣1）递减，故选：A．7．已知双曲线的离心率e=，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=3，b=4，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==，c=5，可得a=3，b==4，即有双曲线的标准方程为﹣=1．故选：D．8．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（﹣∞，e）D．（e，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间．【解答】解：函数的定义域为x＞0∵y′=lnx+1令lnx+1＜0得0＜x＜，∴函数y=xlnx的单调递减区间是（0，），故选：B．9．若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：C．10．已知命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，命题q：∃x0∈（0，+∞），x＞x，则下列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】复合命题的真假．【分析】根据∀x∈（0，+∞），2x＜3x，是真命题，再根据复合命题之间的判定方法即可判断出真假．【解答】解：命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，是假命题，例如取x=2不成立；命题q：∵∀x∈（0，+∞），2x＜3x，因此命题q是假命题，∴只有（￢p）∧（￢q）是真命题．故选：C．11．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：A12．过点M（2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为==，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，A，B两个不同点代入椭圆方程，可得+=1， +=1，作差整理可得+=0，∵斜率为==，∴a=2b，∴c==b，∴e==．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）14．已知命题p：∃x0∈R，3=5，则￢p为∀x∈R，3x≠5．【考点】命题的否定．【分析】由特称命题的否定方法可得结论．【解答】解：由特称命题的否定可知：￢p：∀x∈R，3x≠5，故答案为：∀x∈R，3x≠5．15．已知曲线f（x）=xe x在点P（x0，f（x0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为（0，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得x0为x+1=e﹣x的解，运用单调性可得方程的解，进而得到P的坐标．【解答】解：f（x）=xe x的导数为f′（x）=（x+1）e x，可得切线的斜率为（x0+1）e x0，由切线与直线y=x+1平行，可得（x0+1）e x0=1，即有x0为x+1=e﹣x的解，由y=x+1﹣e﹣x，在R上递增，且x=0时，y=0．即有x0=0，则P的坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．16．已知f（x）=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2+6x=3ax（x+），令f′（x）=0，解得x=0或﹣．①当a＜0时，﹣＞0，当x＞﹣或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜﹣时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴故x=﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵函数f（x）=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则f（﹣）=﹣+﹣1=﹣1＜0，即a2＞4得a＞2（舍）或a＜﹣2．②当a＞0时，﹣＜0，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当﹣＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵f（0）=﹣1＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧（￢q）为真命题，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：函数y=kx是增函数，利用一次函数的单调性可得k＞0．命题q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得k＞1．由于p∧（￢q）为真命题，可得p为真命题，q为假命题．即可得出．【解答】解：命题p：函数y=kx是增函数，∴k＞0．命题q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴k＞1．∵p∧（￢q）为真命题，∴p为真命题，q为假命题．∴，解得0＜k≤1．∴实数k的取值范围是0＜k≤1．18．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【考点】二次函数的性质．【分析】求导并判断导数的正负，从而确定单调区间；由最大值建立方程求出m的值，进而求出最小值．2∴f（x）max=f（0）=m=3，即f（x）=2x3﹣6x2+3，又∵f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5，∴f（x）min=f（﹣2）=﹣37．19．已知点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4（m2+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．【解答】解：∵点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴2p=4，解得：p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=（1﹣my1）+（1﹣my2）=4（m2+1）∴|AB|=4（m2+1）≥4，当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．20．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（）=0，解出验证即可；（2）求出函数的导数，通过a的范围，确定导函数的符号，求出函数f（x）的单调性，从而判断f（x）的范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+﹣，∴f′（）=1+4（2a﹣1）﹣4a=0，解得：a=，∴a=时，f′（x）=，∴f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，f（x）在x=处取得极值，故a=符合题意；（2）f′（x）=1+﹣=，当a≤1时，则2a﹣1≤1，∴f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，函数f（x）递增，∴f（x）≥f（1）=2（1﹣a）≥0．21．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（）=0，解出验证即可；（2）依题意有：f min（x，）≥0从而求出f（x）的导数，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通过讨论①当2a﹣1≤1即a≤1时②当2a﹣1＞1即a＞1时，进而求出a的范围【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+﹣，∴f′（）=1+4（2a﹣1）﹣4a=0，解得：a=，∴a=时，f′（x）=，∴f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，f（x）在x=处取得极值，故a=符合题意；（2）依题意有：f min（x，）≥0f′（x）=，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，①当2a﹣1≤1即a≤1时，函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，则f（x）在[1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（1）=2﹣2a≥0，解得：a≤1；②当2a﹣1＞1即a＞1时，函数f（x）在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合题意，综上所述：实数a的取值范围是a≤1．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，点P（﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y0==﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用，可得x=±，推出k的不等式，得到结果．【解答】解：（1）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，将P（﹣，1）代入椭圆方程，可得+=1，∴a=2，b=，∴a2=4，∴b2=2，∴椭圆C的方程为： +=1；（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，点B，A在椭圆上，∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，∴y0==﹣1，又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣，由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k＜﹣或k＞．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y0==﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用，可得x=±，推出k的不等式，得到结果．【解答】解：（1）由已知e==，即c2=a2，b2=a2﹣c2=a2，原点到直线+=1的距离为，即有=，∴a=2，b=，∴a2=4，∴b2=2，∴椭圆C的方程为： +=1；（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），则x12+（y1﹣1）2=x22+（y2﹣1）2，点B，A在椭圆上，∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+（y1﹣1）2=4﹣2y22+（y2﹣1）2，化简可得：y12﹣y22=﹣2（y1﹣y2），即y1+y2=﹣2，∴y0==﹣1，又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣，由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k＜﹣或k＞．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）2018年8月4日。
2017-2018学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
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＝ （x+ ）恒成立，
∵ （x+ ）≥
＝1，
∴a＜1， 即实数 a 的取值范围是（﹣∞，1）， 故选：C． 10．【解答】解：f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xlnx＝﹣f（x），则函数 f（x）是奇函数， 图象关于原点对称，排除 B，D， 当 x＝ 时，f（ ）＝ ln| |＝ ln ＜0，排除 C，
∴ ＝2， ∴b＝2， ∴该双曲线的标准方程为 x2﹣ ＝1，
故选：A． 8．【解答】解：∵函数 f（x）＝ax2+2x+c 在 （1，+∞）上单调递减，
∴
，
解得：a∈（﹣∞，﹣1]
故选：B． 9．【解答】解：若命题“∀x∈[1，2]，x2﹣2ax+1＞0”是真命题，
则“∀x∈[1，2]，x2+1＞2ax，即 a＜
A．抛物线的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．直线的一部分
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二、填空题
13．（3 分）命题“若 x＞1，则 x2＞1”的否命题为
．
14．（3 分）双曲线 ﹣y2＝1 的焦点坐标为
．
15．（3 分）函数 f（x）＝
在点（π，0）处的切线方程为
．
16．（3 分）在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线
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山西省太原市2017届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案
太原市2016—2017学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,|12A B x x ==-≤≤，则A B = A. {}0,1 B. {}1,0,1- C. []1,1- D.{}12.设复数21iz i=+，则其共轭复数为 A. 1i -- B. 1i - C. 1i -+ D.1i +3.给出下列命题：①若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等差数列； ②若数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,n n n n n S S S S S --是等比数列； ③若数列{}{},n n a b 均为等差数列，则数列{}n n a b +为等差数列； ④若数列{}{},n n a b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅为等比数列 A. 1 B. 2 C. 3 D.44.设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是 A.,//m n m n αα⊥⇒⊥ B. ,//m n m n αα⊥⊥⇒ C. //,////m n m n αα⇒ D. //,m n m n αα⊥⇒⊥5.已知sin αα=，则tan 2α=6.执行如图所示的程序框图，输入1,5x n =-=，则输出s = A. -2 B. -3 C. 4 D.37.如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图可能是8.将函数()2cos sin f x x x x =+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的一条对称轴是 A. 6x π=- B. 4x π=- C.3x π= D.2x π=9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD相交于点F ，则AF =A. 1142AC BD +B. 1124AC BD +C. 1223AC BD +D. 2133AC BD +10.甲、乙两位同学约定周日早上8:00—8:30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为 A.23 B. 13 C. 29 D. 7911.如图，正方体1111ABCD A BC D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是 A. 56π B. 34π C. 23π D. 35π12.已知(),01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. (),e -∞-C. (),e +∞D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据0.7,1,0.8,0.9,1.1的方差是 .14.已知向量()()1,1,1,2a b =-=，则b a - 与2a b + 的夹角为 .15.已知平面区域()33,,32233x y D x y z x y x y x y ⎧⎫⎪⎪+≥⎪⎪==-⎨⎬-≤⎪⎪⎪⎪+≤⎩⎭，若命题()00",,"x y D z m ∃∈>为假命题，则实数m 的最小值为 .16.已知数列{}n a 的前n 项和()221n n n S a n N *=-+∈，则其通项公式n a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且满足3455,,3a a a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()31log n n b a n N *-=∈，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .18.（本题满分12分）如图，已知AD 是ABC ∆内角BAC ∠的角平分线. （1）用正弦定理证明：AB DBAC DC=； （2）若120,2,1BAC AB AC ∠===，求AD 的长.19.（本题满分12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D 处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格.（1）将硬币连续投掷三次，求筹码停在C 处的概率；（2）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢.问该约定对乙公平吗？请说明理由.20.（本题满分12分）如图，在六面体1111ABCD A BC D -中，平面//ABCD 平面1111A B C D ，1//DD 平面11A B BA ,1//DD 平面11B C CB .（1）证明：11//DD BB ；（2）已知六面体1111ABCD A BC D -的棱长均为2，且1BB ⊥平面ABCD ，60,,BAD M N ∠= 分别为棱1111,A B B C 的中点，求四面体D MNB -的体积.21.（本题满分12分）已知函数()()ln xxf x ax x a R e =-∈在1x =处的切线的斜率 1.k =- （1）求a 的值； （2）证明：()2.f x e<（3）若正实数,m n 满足1mn =，证明 ：()112m n m n e e+<+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2016-2017年山西省太原市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2016-2017学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（3分）命题“若x＞2，则x＞1”的否命题是（）A．若x＜2，则x＜1B．若x≤2，则x≤1C．若x≤1，则x≤2D．若x＜1，则x＜22．（3分）抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1B．x=1C．y=﹣1D．y=13．（3分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）已知椭圆C经过点（1，0），（0，2），则椭圆C的标准方程为（）A．x2+=1B．+y2=1C．x2+=1D．+y2=15．（3分）已知函数f（x）=x•cosx，则的值为（）A．B．C．1D．﹣16．（3分）焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程是（）A．x2﹣=1B．=1C．=1D．y2﹣=17．（3分）已知函数y=f（x）的图象与直线y=﹣x+8相切于点（5，f（5）），则f （5）+f'（5）等于（）A．1B．2C．0D．8．（3分）已知椭圆=1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A，B，那么△ABF1的周长（）A．是定值4B．是定值8C．不是定值，与直线l的倾斜角大小有关D．不是定值，与b取值大小有关9．（3分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＜0，d＞0B．a＞0，c＞0，d＜0C．a＜0，c＜0，d＜0D．a＜0，c＞0，d＜010．（3分）对于双曲线C1：=1和C2：=1，给出下列四个结论：（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是（）A．（1）（2）（4）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（2）（4）11．（3分）若函数y=e x+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．C．a＜﹣1D．12．（3分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R”，使得x2+2ax+2﹣a=0，那么命题“p∧q”为真命题的充要条件是（）A．a≤﹣2或a=1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥1D．﹣2≤a≤1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）命题“若|x|≠3，则x≠3”的真假为．（填“真”或“假”）14．（4分）双曲线x2﹣y2=1的离心率为．15．（4分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0的值为．16．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．三、解答题：本大题共3小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（8分）已知命题p：∀x∈R，|x|+x≥0；q：关于x的方程x2+mx+1=0有实数根．（1）写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假；（2）若命题“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．18．（10分）已知函数f（x）=+ax在x=﹣1是取得极值．（1）求实数a的值；（2）求函数y=f（x）在区间[﹣2，0）上的最大值和最小值．19．（10分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，y）到焦点F的距离为．（1）求p的值；（2）若圆（x﹣a）2+y2=1与抛物线C有公共点，结合图形求实数a的取值范围．说明：请考生在20，21两题中任选一题作答．20．（10分）已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=lnx﹣有两个零点，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）证明：当x＞0时，．．说明：请考生在22，23两题中任选一题作答．（共2小题，满分10分）22．（10分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，椭圆与y轴的正半轴交于点B，且|BF|=．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为1的直线l经过点（1，0），与椭圆E相交于不同的两点M，N，在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为，请说明理由．23．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率为k的直线l经过原点O，与椭圆E相交于不同的两点M，N，判断并说明在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为．2016-2017学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（3分）命题“若x＞2，则x＞1”的否命题是（）A．若x＜2，则x＜1B．若x≤2，则x≤1C．若x≤1，则x≤2D．若x＜1，则x＜2【解答】解：命题“若x＞2，则x＞1”的否命题是“若x≤2，则x≤1”，故选：B．2．（3分）抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1B．x=1C．y=﹣1D．y=1【解答】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，∴抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1．故选：A．3．（3分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a=1，b=﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a=﹣1，b=0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（3分）已知椭圆C经过点（1，0），（0，2），则椭圆C的标准方程为（）A．x2+=1B．+y2=1C．x2+=1D．+y2=1【解答】解：∵椭圆C经过点（1，0），（0，2），则椭圆C的焦点在y轴上，设标准方程为+=1（a＞b＞0）．则a=2，b=1．∴椭圆C的标准方程为=1．故选：C．5．（3分）已知函数f（x）=x•cosx，则的值为（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：由题意得，f′（x）=（x•cosx）′=（x）′cosx+x（cosx）′=cosx﹣xsinx，∴==，故选：A．6．（3分）焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程是（）A．x2﹣=1B．=1C．=1D．y2﹣=1【解答】解：由题意，焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程是x2﹣=1，故选：A．7．（3分）已知函数y=f（x）的图象与直线y=﹣x+8相切于点（5，f（5）），则f （5）+f'（5）等于（）A．1B．2C．0D．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=﹣x+8，∴f′（5）=﹣1，f（5）=﹣5+8=3，∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2，故选：B．8．（3分）已知椭圆=1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A，B，那么△ABF1的周长（）A．是定值4B．是定值8C．不是定值，与直线l的倾斜角大小有关D．不是定值，与b取值大小有关【解答】解：如图，∵椭圆=1（0＜b＜2），∴椭圆的长轴长为2a=4，∴△ABF1的周长=4a=8．故选：B．9．（3分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＜0，d＞0B．a＞0，c＞0，d＜0C．a＜0，c＜0，d＜0D．a＜0，c＞0，d＜0【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点的纵坐标为正，故d ＜0；∵f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象有两个递减区间，有一个递增区间，∴f′（x）=3ax2+2bx+c的图象开口方向朝下，且于x轴有两个交点，故a＜0，又∵f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象的极小值点和极大值点在y轴左侧，且极大值点离y轴近，∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两根x1，x2满足，x1+x2＜0，则b＞0，x1•x2＞0，则c＜0，综上a＜0，c＜0，d＜0，故选：C．10．（3分）对于双曲线C1：=1和C2：=1，给出下列四个结论：（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是（）A．（1）（2）（4）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（2）（4）【解答】解：由题意，双曲线C1：=1，C2：=1，（1）离心率分别为，；（2）渐近线相同，为y=±x；（3）没有公共点；（4）焦距相等，为10，故选：C．11．（3分）若函数y=e x+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．C．a＜﹣1D．【解答】解：∵y=e x+ax，∴y'=e x+a．由题意知e x+a=0有大于0的实根，由e x=﹣a，得a=﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜﹣1．故选：C．12．（3分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R”，使得x2+2ax+2﹣a=0，那么命题“p∧q”为真命题的充要条件是（）A．a≤﹣2或a=1B．a≤﹣2或1≤a≤2C．a≥1D．﹣2≤a≤1【解答】解：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min，∴a≤1．q：“∃x∈R”，使得x2+2ax+2﹣a=0，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1，或a ≤﹣2．那么命题“p∧q”为真命题的充要条件是，解得a=1或a≤﹣2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）命题“若|x|≠3，则x≠3”的真假为真．（填“真”或“假”）【解答】解：若|x|≠3，则x≠3且x≠﹣3，∴x≠3，故答案为：真14．（4分）双曲线x2﹣y2=1的离心率为．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，变形可得﹣=1，则a=1，b=1，则有c==，则其离心率e==，故答案为：．15．（4分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0的值为e．【解答】解：f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e16．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°三、解答题：本大题共3小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（8分）已知命题p：∀x∈R，|x|+x≥0；q：关于x的方程x2+mx+1=0有实数根．（1）写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假；（2）若命题“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）命题p的否定：存在x0∈R，|x0|+x0＜0．是一个假命题．（2）命题p：∀x∈R，|x|+x≥0是真命题；命题“p∧q”为假命题，∴q为假命题．因此关于x的方程x2+mx+1=0没有实数根．∴△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．18．（10分）已知函数f（x）=+ax在x=﹣1是取得极值．（1）求实数a的值；（2）求函数y=f（x）在区间[﹣2，0）上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2x+a，由函数在x=﹣1处取极值，故f′（﹣1）=0，即1+2+a=0，解得：a=﹣3；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣3x，故f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，故f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，由f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=，故f（x）max=f（﹣1）=，f（x）min=f（﹣2）=﹣．19．（10分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，y）到焦点F的距离为．（1）求p的值；（2）若圆（x﹣a）2+y2=1与抛物线C有公共点，结合图形求实数a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，y）到焦点F的距离为，∴该点到准线的距离为，∴1+=，求得p=．（2）圆心在x的负半轴时，圆（x﹣a）2+y2=1与抛物线C有公共点，则a≥﹣1；圆心在x的正半轴时，由（1）的方程与（x﹣a）2+y2=1联立，可得4x2+（1﹣8a）x+4a2﹣4=0有实数根，则△=（1﹣8a）2﹣16（4a2﹣4）≥0，解得a≤，综上所述，实数a的取值范围为[﹣1，]．说明：请考生在20，21两题中任选一题作答．20．（10分）已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=lnx﹣有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}，f′（x）=lnx+1，（x＞0），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＞0，解得：x＞，则函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）g′（x）=+=，（x＞0），a≥0时，g′（x）＞0恒成立，函数g（x）是递增函数，不可能有2个零点，舍去；a＜0时，令g′（x）＜0，则0＜x＜﹣a，令f′（x）＞0，则x＞﹣a，则函数g（x）在（0，﹣a）递减，在（﹣a，+∞）递增，则函数g（x）有2个零点等价于在（0，+∞）的最小值是g（﹣a）＜0，解得：﹣＜a＜0．21．已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）证明：当x＞0时，．．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．因为f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，即x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（2）证明：由（1）得：f（x）=xlnx在最小值是﹣，当且仅当x=时取得，令g（x）=﹣，（x＞0），则g′（x）=，x＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，故g（x）在最大值是g（1）=﹣，当且仅当x=1时取得，故原不等式成立．说明：请考生在22，23两题中任选一题作答．（共2小题，满分10分）22．（10分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，椭圆与y轴的正半轴交于点B，且|BF|=．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为1的直线l经过点（1，0），与椭圆E相交于不同的两点M，N，在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，得c=1，∴b2=a2﹣c2=1．则椭圆E的方程为：；（2）存在．设点P（x，y），直线l的方程为y=x﹣1．由，得M（0，﹣1），N（），则|MN|=．则点P到直线l的距离为．设过点P与直线l平行的直线l1：y=x+m．联立，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△=16m2﹣12（2m2﹣2）=0，解得m=．当m=时，l与l1之间的距离为＞1；当m=﹣时，l与l1之间的距离为＜1．则在椭圆E上存在点P，使得△PMN的面积为．23．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为．（1）求椭圆E的方程；（2）斜率为k的直线l经过原点O，与椭圆E相交于不同的两点M，N，判断并说明在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为．【解答】解：（1）由题意，，得c=1，∴b2=a2﹣c2=1．则椭圆E的方程为：；（2）存在．设点P（x，y），直线l的方程为y=kx．由，有，则|MN|==．则点P到直线l的距离为=．设过点P与直线l平行的直线l1：y=kx+m．联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．由△=0，解得m=±．此时l与l1的距离为．则在椭圆E上存在点P，使得△PMN的面积为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
太原市数学高二上学期文数期末考试试卷(II)卷
太原市数学高二上学期文数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·武清期中) 直线x+ y﹣1=0的倾斜角是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·随县模拟) 已知复数，则复数在复平面内对应的点，到点的距离为（）A . 2B . 4C .D .3. （2分）方程表示的曲线是（）A . 一个圆和一条直线B . 一个圆和一条射线C . 一个圆D . 一条直线4. （2分）已知直线过点（0，7），且与直线平行，则直线的方程为（）.A .B .C .D .5. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和④7. （2分）(2016·山东模拟) 已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（1，1）处取得最大值，则a的取值范围为（）A . （0，2）B . （0，）C . （0，）D . （）8. （2分） (2017高二上·龙海期末) 如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）下列四个命题中错误的是（）A . 若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B . 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C . 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D . 两条异面直线不可能垂直于同一个平面10. （2分） (2018高一上·广西期末) 若不论取何实数，直线恒过一定点，则该点的坐标（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·梧州模拟) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB⊥BC ， AB+BC＝4，若三棱柱ABC ﹣A1B1C1的外接球为球O ，则球O表面积的最小值为（）A . 17πB . 18πC . 19πD . 20π12. （2分） (2019高二上·双流期中) 已知实数x ， y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（）A . 3B . 5C . 9D . 25二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高一上·武邑月考) 直线绕其与轴交点旋转90°的直线方程是________．14. （2分）(2018高二上·沧州期中) 已知一组数据的方差为2，若数据的方差为8，则的值为________.15. （1分）口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率________．16. （1分） (2017高三下·银川模拟) 若圆C：与x轴有公共点，则m的取值范围是________三、解答题 (共6题；共51分)17. （2分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1 ，BC的中点．（I）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1（II）求证：C1F∥平面ABE（III）求直线CE和平面ABE所成角的正弦．18. （15分） (2018高二上·南宁月考) 在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表：空气质量指（0，50]（50，100]（100，150]（150，200）（200，300]（300，+∞）数t质量等级优良轻微污染轻度污染中度污染严重污染天数K52322251510（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量（取整数）存在如下关系且当t＞300时，y＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合的曲线为，现已取出了10对样本数据（ti，yi）（i=1，2，3，…，10），且知试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式．（附：线性回归方程中，，．）19. （15分） (2016高二上·赣州期中) 已知点P（1，1），过点P动直线l与圆C：x2+y2﹣2y﹣4=0交与点A，B两点．（1）若|AB|= ，求直线l的倾斜角；（2）求线段AB中点M的轨迹方程．20. （2分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．21. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面ABC， = =3， = =2.（I）求异面直线与AB所成角的余弦值；（II）求证：⊥平面；（III）求直线与平面所成角的正弦值.22. （15分） (2019高二上·扶余期中) 在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于，两点，弦的中点的轨迹记为 .（1）求的方程；（2）已知直线与相交于，两点.（i）求的取值范围；（ii）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共51分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2017-2018学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(文科)含答案
2017-2018学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A． B．C．D．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+212．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D2．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心（2，2），半径是2，圆心到直线x+y﹣6=0的距离：d==＜2∴圆x2+y2﹣4x﹣4y=0上的点到直线x+y﹣6=0的最大距离和最小距离的差是3﹣0=3．故选B．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A． B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．5．（5分）若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由得x2+y2=1，（y≥0），对应的轨迹为上半圆，直线y=kx+2k过定点A（﹣2，0），由圆心到直线的距离d==1，可得k=±，若直线y=kx+2k与曲线有两个不同的交点，则0≤k＜，故选B．6．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选D．7．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．9．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x0，y0），（﹣a＜x0＜a），则+=1，∴=．则c2==（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+，∴2c2=+，化为：3c2=a2+，∴=∈[0，1），解得：，解得≤e．故选：C．10．（5分）已知椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，AP是∠F1AF2的外角平分线，且，则点P的坐标一定满足（）A．x2+y2=8 B．x2+y2=1 C．x2﹣y2=1 D．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=8的两个焦点分别为F1，F2，A为椭圆上的任意一点，∴椭圆的标准方程为，F1（﹣2，0），F2（2，0），可设A（0，2），P（x，y），则=（x，y﹣2），=（2，﹣2），=（2，2），=（x﹣2，y），∵AP是∠F1AF2的外角平分线，且，∴•=（x，y﹣2）•（x﹣2，y）=x2﹣2x+y2﹣2y=0，①cos＜＞=cos＜，＞，即=，②①②联立，解得x=y=2．∴点P的坐标一定满足x2+y2=8．故选：A．11．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= 1 ．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．14．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为2．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故答案为2．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2+a有零点，则实数a的取值范围为a＜2 ．【解答】解：函数g（x）=e x﹣2函数是增函数，g（x）＞﹣2，函数f（x）=e x﹣2+a有零点，可得a=2﹣e x，可得a＜2．故答案为：a＜2．16．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为 1 ．【解答】解：∵离心率e===，∴=．设P（x0，y0），椭圆顶点A（﹣a，0），B（a，0），k PA=，k PA•k PB=，又=1，∴，∴k PA•k PB=﹣，即tanαtanβ=﹣=﹣，∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2=1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号．∴|tanα﹣tanβ|的最小值为1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知集合，若t∈A是t∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：对于A：，f（x）=y=+，=2，f（2）=2，∴f（x）∈=A．对于B：x≥1+m或x≤m﹣1．即B=（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）．∵t∈A是t∈B的充分不必要条件，∴≥m+1，或2≤m﹣1，解得m≤﹣，或m≥3．∴实数m的取值范围是∪[3，+∞）．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面为BC上一点，且．（1）证明：BC⊥平面POM；（2）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图所示，△ABD为正三角形，∴OB=BD=1．在△OBM中，由余弦定理可得：OM2=×=，∴OM2+BM2=OB2=1，∴OM⊥BC．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC．由PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（2）解：由（1）可得：OP⊥OM，OP⊥OA，∴MP2=OP2+，AP2=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=22+﹣=．∵MP⊥AP，∴AP2+MP2=+OP2+=AM2=，∴OP=．S ABCD===2．∴V P﹣ABCD==×=1．19．（12分）已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，D．当CA⊥CD时，求L的斜率．【解答】解（1）设A（x1，y1），M（x，y），由中点公式得x1=2x﹣1，y1=2y﹣3因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y﹣3）2=4，即x2+（y﹣1.5）2=1．点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；（2）设L的斜率为k，则L的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3=0因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，由题意知，圆心C（﹣1，0）到L的距离为．由点到直线的距离公式得=，∴4k2﹣12k+9=2k2+2∴2k2﹣12k+7=0，解得k=3±．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2+2ax+b由已知有，解得a=﹣，b=﹣2；（2）由（1）得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣，由f'（x）＜0得﹣＜x＜1，故当x=﹣时，f（x）有极大值c+，当x=1时，f（x）有极小值c﹣，若对x∈R，f（x）有三个零点，则，解得：﹣＜c＜．21．（12分）已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．【解答】解：（1）依题意，得，解得，∴椭圆的方程为+=1．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为y=x+m，则有，整理，得4x2+2mx+（m2﹣4）=0，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）=﹣8m2+64＞0，解得﹣2＜m＜2，由根与系数的关系，得：x1+x2=﹣m，x1x2=，|BC|==|x1﹣x2|=，设d为点A到直线BC的距离，则d==|m|，∴S△ABC=|BC|•d=．∵≤=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值．22．（12分）已知函数．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极大值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=lnx+x，f′（x）=+1，故f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），整理得：2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间，无极大值；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；故g（x）极大值=g（）=﹣lna；证明：（3）由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．φ′（t）=，（t＞0），可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．。
山西省太原市高二上学期数学期末考试试卷
山西省太原市高二上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·孝义模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知为等差数列的前项的和，，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆[1，3]，则实数a的取值范围是（）A . （﹣1，]B . （1，]C . （2，]D . （﹣1，3]4. （2分） (2016高一下·南充期末) 在△AB C中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积S= ，则AC的长为（）A . 2B . 1C .D .5. （2分） (2019高三上·汕头期末) 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则（）A . 20B . 512C . 1013D . 10247. （2分）已知点在椭圆上，则的最大值为（）A . -2B . -1C . 2D . 78. （2分） (2016高二上·绵阳期中) 动圆M与圆O：x2+y2=1外切，与圆C：（x﹣3）2+y2=1内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（）A . 双曲线B . 双曲线的一支C . 椭圆D . 抛物线9. （2分）圆（x﹣1）2+y2=1和圆x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置关系为（）A . 相交B . 相切C . 相离D . 以上都有可能10. （2分） (2016高二上·临漳期中) 设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A . a3＞b3B .C . ab＞1D . lg（b﹣a）＜0二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（________ ）=sinC．12. （1分） (2016高二上·呼和浩特期中) 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．13. （1分） (2017高三上·常州开学考) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1与抛物线y2=﹣12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．15. （1分） (2016高三上·连城期中) 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1， =Sn ．则数列{an}的通项公式an=________．三、解答题 (共4题；共20分)16. （5分） (2017高一下·河口期末) （Ⅰ）关于x的不等式的解集为R，求实数m的取值范围；（Ⅱ）关于x的不等式的解集为，求a,b的值．17. （5分） (2018高二上·铜梁月考) 如图，在三棱锥P-ABC中，且底面，D是PC的中点，已知 ,AB=2，AC= ,PA=2.（1）求三棱锥P-ABC的体积（2）求异面直线BC与AD所成角的余弦值。
山西省太原市高二上学期期末数学试卷(文科) Word版(含解析)
整理，得y= ．
故选：C．
6．已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减B．x=﹣2是函数f（x）极小值点
C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数D．x=1是函数f（x）的极大值点
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【考点】命题的否定．
【分析】由特称命题的否定方法可得结论．
【解答】解：由特称命题的否定可知：
￢p：∀x∈R，3x≠5，
故答案为：∀x∈R，3x≠5．
15．已知曲线f（x）=xex在点P（x0，f（x0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为（0，0）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q
11．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）
A． ﹣ =1B． ﹣ =1
C． ﹣ =1D． ﹣ =1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的方程为 ﹣ =1（a，b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=3，b=4，进而得到所求双曲线的方程．
【解答】解：设双曲线的方程为 ﹣ =1（a，b＞0），
由题意可得e= = ，c=5，
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）
2016-2017学年山西省高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年山西省高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集2,{|lg(1)},{|1}U R M x y N y y x x===-==-，则()U N C M =A. ∅B.[1,2]C. [0,2]D.[2,)+∞2. 在复平面内，已知i 是虚数单位，复数2(1)(1)z x x i =-++是纯虚数，则实数x 的值为 A.1-B.1C.1±D.23. 已知m R ∈，“方程10xe m +-=有解”是“函数log m y x =在区间(0,)+∞为减函数”的 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能．．．是相交直线D.不可能．．．是平行直线 5. 执行如图所示的程序框图，若输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A. 15B. 105C. 120D.7206. 高二某班共有学生60人，座号分别为1,2,3,…,60现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本．已知4号、28号、40号、52号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 A.14B.16C.36D.567. 在区间[1,6]上随机地取一个数x ，则事件“21log 2x ≤≤”发生的概率为A.45B.35 C. 25 D. 15 8. 已知函数sin(22)(0)3y x m m π=+->为偶函数，则m 的最小值为A.12π B.3πC.512πD.712π9. 给出下列结论：在回归分析中（1）可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好； （2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的是A ．（1）（3）（4）B ．（1）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）10. 已知圆22:8150C x y x +-+=，直线 2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是A.43-B.54-C.35-D.53-11. 已知双曲线()221my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A. 3y x =±B. 33y x =±C. 13y x =± D. 3y x =±12. 已知,a b R ∈且a b ≠，若(a b ae be e =为自然对数的底数）则下列等式正确的是A.ln ln a b b a -=-B. ln ln a b a b -=-C.ln()ln()a b b a ---=-D. ln()ln()a b a b ---=-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 抛物线24y x =的准线方程为________14. 设向量()()1 2 1a b m =-=，，，，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =15. 已知322()39f x x ax a x bc =---其中（0a >）有三个零点1,,b c ，且1,b c <<现给出如下结论：①10;3a <<②1;3a >③0;b >④0;b <，则其中正确结论的序号是________16.在半径为2的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若C D 2AB =A =A =，则平面CD B 被球所截得图形的面积为三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）已知函数32()454f x x x x =-+-． （1）求函数()f x 的极值；（2）求曲线在点(2,(2))f 处的切线方程．18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足16a =，2a ，6a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，160,CBB ∠= 1AB B C ⊥．（1）求证：平面11ABB A ⊥平面11BB C C ； （2）若2AB =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20. （本小题满分12分）北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．（1）求频率分布表中n ，p 的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．BCB 1BAC 1A 1A21. （本小题满分12分）已知圆22:(1)8C x y ++=，定点(1,0)A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足,AP PM NP MA =⊥，点N 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若过定点(0,2)F 的直线交曲线E 于不同的两点,G H （点G 在,F H 之间），且满足FG FH λ=，求实数λ的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数()()1ln 0,f x a x a a R x=+≠∈． （1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(]0,e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围．2016-2017学年山西省高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案及评分标准一、选择题：CBBDB BCCBA AC二、填空题：13.14.15. ②④16.三、解答题:17. 解析：(1)令，得或...............2分当或时，,所以在和上是增函数；当时，,所以在上是减函数，时，函数取得极小值时，函数取得极大值.....5分(2)...............8分所以，切线过点，斜率为1，故求曲线在点处的切线方程为...................10分18. 解析：(1)设等差数列的公差为，，，成等比数列，,...............2分或（舍）所以，..........................................6分(2)，........8分....................12分19. 解析：（1）由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB ⊥BB 1． 又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB Ì平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．.................5分（2）设O 是BB 1的中点，连结CO ，则CO ⊥BB 1．由（1）知，CO ⊥平面ABB 1A 1，且CO ＝23BC ＝23AB ＝．.........7分 连结AB 1，则V C -ABB 1＝3 1 S △ABB 1·CO ＝6 1 AB 2·CO ＝33．............9分因V B 1-ABC ＝V C -ABB 1＝33，则故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．.............12分20. 解析：（1）第2组的频数n=0.35×100=35人，第3组的频率p==0.30；...2分 （2）∵第4、5组共有30名学生，∴利用分层抽样在30名学生中抽取6名学生， 第4组：×6=4人，第5组：×6=2人，∴分别抽取4人、2人；........6分（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有种，......8分满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有种结果，......10分∴至少有一位同学入选的概率为：．......12分（注：其他方法相应给分）21. 解析：（1）根据题意作草图，易知为的中垂线，，又，故的轨迹必为椭圆，即......3分，曲线E的轨迹方程为：....5分（2）过点的直线与椭圆分别交两点.①当直线的斜率不存在时，则方程为，显然有......7分②直线的斜率存在时，设直线的方程为则有，设，又，于是有.......9分由于，则，，，，由于，，由题意知，，解得，综上①②知.…………………………………………………12分22. 解析：(1)的定义域为，，，令，得,......2分所以，随的变化情况如下表：1↘极小值↗所以时，的极小值为1．无极大值. ....3分的单调递增区间为，单调递减区间为；........5分(2)在区间上至少存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于0，......7分的定义域为，，令，得，①当，即时，则对恒成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为得;②当，即时，则对恒成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，这与条件不符；③当，即时，↘极小值↗所以，在区间上的最小值为，由，得；综上，或.........12分。
【山西省太原市】2017届高三上学期期末考试数学文试卷 -答案
山西省太原市2017届高三上学期期末考试（文）数学试卷答 案1~5．ABCDC6~10．BCADC11~12．CB13．0.0214．π415．25416．12n n - 17．（1）设{}n a 的公比为q ，由题意可得243532q q q +=，解得113q =，23q =． 因为数列{}n a 是首项为1的单调递增等比数列，所以3q =，13n n a -=．（2）由题意可得，3log 3n n b n ==，则13n n n a b n -=()01221132333133n n n S n n --=++++-+ ()()12213132323133n n n n S n n n --=+++-+-+则121213333n n n S n --=++++-， 则121344n n n S -=+，n *∈N 18．（1）AD 是BAC ∠的角平分线，BAD CAD ∴∠=∠根据正弦定理，在ABD △中，sin sin BAD ADB BD BA∠∠= 在ADC △中，sin sin DAC ADC DC AC ∠∠= ()sin sin πsin ADB ADC ADC ∠=-∠=∠sin sin BAD DB ADB AB ∠∴=∠,sin sin DAC DC ADC AC∠=∠， AB DB AC DC∴= （2）根据余弦定理，222cos 2BA AC BC BAC AB AC +-∠=，即22221cos120221BC +-=⨯⨯,BC AB DB AC DC=,12DB DC ∴=,CD =BD 设AD x =，则在ABD △与ADC △中，根据余弦定理221cos6021x x+-⎝⎭=, 2222cos60272x x +-⎝⎭= 解得23x =，因此23AD = 19．（1）将硬币连续投掷三次，共有以下8种情况：;;D C D E;D C D C;D C B A D C B C →→→→→→→→→→→→;;D E D E;D E D C D E F G D E F E →→→→→→→→→→→→．则筹码停在C 处的概率38P =. （2）该约定对乙公平，筹码停在A 或B 或C 或D 处有4种情况，即筹码停在A 或B 或C 或D 处的概率为12P =所以，该约定对乙公平． 20．（1）由1DD ∥平面11A B BA ，且1DD ⊆平面11DD B B ，平面11A B BA 平面111DD B B BB =故11DD BB ∥（2）连接AC ，BD 交于点O ，取OB 的中点为E ，连接EM ，EN又DB MN ⊥，1DB BB ⊥，且1BB ∥平面EMN ，故DB ⊥平面EMN 又13232EMN S ==△，32DE =，12BE = 故12BE =131123333232D MNB D MNE B MNE V V V ---=+=+= 21．（1）()1ln ex f x a x a -'=--()11f a '=-=- 1a ∴=（2）()2ln e e x x f x x x =-<,即2ln e ex x x x -<令()2e e x x g x =-，则()1'e xx g x -= 因此，()g x 在()0,1单调递增；()1,+∞单调递减()g x 最大值为()11eg =-，当且仅当1x =时等号成立 又令()ln h x x x =，则()'ln 1h x x =+因此，()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 ()h x 最小值为11e e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当且仅当1e x =时等号成立 因此，2ln e e x x x x -<，即()2ef x < （3）由（2）得，2ln e em m m m -<，即12ln e e m m m -< 两边同乘以e ，得：112eln e m m m--< ① 同理：112elnn e n n --< ② ①+②，得：()()111111e ln ln 212e e m n m n m n m n m n mn --+⎛⎫+<+++==+ ⎪⎝⎭原式得证 22．（1）曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，由2222cos sin 114x y ϕϕ+=⇒+= 的极坐标方程为()sin sin ραθα-=sin cos cos sin sin ραθραθα-=()1sin cos x y αα-=()1tan x y α-=tan tan y x αα=-所以直线l 的直角坐标方程为tan tan y x αα=-（2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入C 可得()122221222cos 3sin 13sin 12cos 3033sin 1t t t t t t ααααα⎧+=-⎪⎪+++-=⇒⎨⎪=-⎪+⎩， 由1113PM PN -=可得1212121211333PM PN t t t t t t PM PN t t -+=⇒=⇒+= 即226cos 31cos 3sin 13sin12αααα--=⇒=++ 60α∴=或120α∴=23．（1）,,0a b c >，由基本不等式，得：a b +≥b c +≥c a+≥以上三式相加，得：()22a b c++≥a b c ≤++，原式得证（2）ab +≥b c +≥c a +≥222ab bc ca a b b c c a ∴++≤++++ 由（1），得2221ab bc ac a b c a b b c a c++≤++=+++，原式得证．。
{高中试卷}山西省太原市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)[仅供参考]
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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：山西省太原市20XX-20XX学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.双曲线x23−y24=1的实轴长为()A. 2B. 4C. √3D. 2√3【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线x23−y24=1，其中a=√3，b=2，其焦点在x轴上，则该双曲线与x轴的交点为(√3,0)与(−√3,0)，则实轴长2a=2√3；故选：D．根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案．本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题．2.命题：“∀x∈R，3x>0”的否定是()A. ∀x∈R，3x≤0B. ∀x∈R，3x<0C. ∃x∈R，3x≤0D. ∃x∈R，3x<0【答案】C【解析】解：提问全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，3x>0”的否定是∃x∈R，3x≤0．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．3.曲线y=e x+x在x=0处的切线的斜率等于()A. eB. e+1C. 1D. 2【答案】D【解析】解：函数的导数为f′(x)=e x+1，则在x=0处的导数f′(0)=e0+1=1+1=2，即切线斜率k=f′(0)=2，故选：D．求的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可．本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键．4.设x∈R，则“l<x<2”是“l<x<3”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若l<x<2，则l<x<3，反之，若l<x<3，则不一定有l<x<2，如x=2.5．∴x∈R，则“l<x<2”是“l<x<3”的充分而不必要条件．故选：A．由l<x<2，可得l<x<3，反之不成立，则答案可求．本题考查充分条件、必要条件的判定方法，是基础题．5.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为()B. 1C. 2D. 4A. 12【答案】C【解析】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．直接利用抛物线方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．6.对任意实数θ，则方程x2+y2sinθ=4所表示的曲线不可能是()A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】解：由题意，sinθ∈[−1,1]∴sinθ=1时，方程表示圆；sinθ=0时，方程表示两条直线；sinθ∈[−1,0)时，方程表示双曲线；sinθ∈(0,1)，方程表示椭圆．即方程x2+y2sinθ=4不表示抛物线故选：C．根据sinθ的范围，可判断方程可表示圆，直线，双曲线，椭圆，故可得结论．本题以方程为载体，考查方程与曲线的关系，解题的关键是根据sinθ的范围，进行分类讨论，属于中档题．7.函数y=x3−3x的单调递减区间是()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,−1)，(1,+∞)D. (−1,1)【答案】D【解析】解：令y′=3x2−3<0解得−1<x<1，∴函数y=x3−3x的单调递减区间是(−1,1)．故选：D．求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数y=x3−3x的单调递减区间．此题是个基础题.考查学生利用导数研究函数的单调性．8.已知命题“∃x0∈[−1,1]，−x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是(),+∞)B. (4,+∞)C. (−2,4)D. (−2,+∞)A. (−94【答案】D【解析】解：命题“∃x0∈[−1,1]，−x02+3x0+a>0”为真命题等价于a>x2−3x在x∈[−1,1]上有解，令f(x)=x2−3x，x∈[−1,1]，则等价于a>f(x)min=f(1)=−2，∴a>−2，故选：D．命题“∃x0∈[−1,1]，−x02+3x0+a>0”为真命题等价于a>x2−3x在x∈[−1,1]上有解，构造函数f(x)=x2−3x求最大值代入极即可．本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．x2−lnx的图象大致是()9.函数f(x)=12A. B. C. D.【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=x −1x =x 2−1x ，由f′(x)>0得x 2−1>0得x >1或x <−1(舍)，此时函数为增函数，由f′(x)<0得x 2−1<0得−1<x <1，此时0<x <1，函数为减函数，即当x =1时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(1)=12−ln1=12>0，则对应的图象为A ，故选：A ．求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键．10. 若函数f(x)=kx −lnx 在区间(2,+∞)单调递增，则k 的取值范围是() A. (−∞,−2]B. [12,+∞)C. [2,+∞)D. (−∞,12]【答案】B【解析】解：f′(x)=k −1x ，∵函数f(x)=kx −lnx 在区间(2,+∞)单调递增，∴f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立．∴k ≥1x ，而y =1x 在区间(2,+∞)上单调递减，∴k ≥12．∴k 的取值范围是：[12,+∞)．故选：B ．求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx −lnx 在区间(2,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．11. 已知双曲线C 与椭圆E ：x 29+y 225=1有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线C 的标准方程为()A. x 212−y 24=1B. x 24−y 212=1C. y 24−x 212=1D. y 212−x 24=1 【答案】C【解析】解：由椭圆x 29+y 225=1，得a 2=25，b 2=9，则c 2=a 2−b 2=16，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为F 1(0,−4)，F 2(0,4)，∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为145−45=2．设双曲线的实半轴长为m ，则4m =2，得m =2，则虚半轴长n =√42−22=2√3，∴双曲线的方程是y 24−x 212=1．故选：C ．由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．12. 函数f(x)的定义域为R ，f(1)=6对任意x ∈R ，f′(x)>2，则f(1nx)>2lnx +4的解集为()A. (0,e)B. (e,+∞)C. (0,1)D. (1,+∞)【解析】解：设g(x)=f(x)−2x −4，则g′(x)=f′(x)−2，∵对任意x ∈R ，f′(x)>2，∴对任意x ∈R ，g′(x)>0，即函数g(x)单调递增，∵f(1)=6，∴g(1)=f(1)−2−4=0，∵函数g(x)单调递增，∴由g(x)>g(1)=0得x >1，∴lnx >1，∴x >e 即f(1nx)>2lnx +4的解集为(e,+∞)，故选：B ．构造函数g(x)=f(x)−2x −4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 椭圆x 225+y 216=1的焦距是______ 【答案】6【解析】解：根据题意，椭圆x 225+y 216=1中，a =5，b =4，则c =√a 2−b 2=3，则该椭圆的焦距2c =6；故答案为：6．根据题意，由椭圆的标准方程分析a 、b 的值，结合椭圆的几何性质求出c 的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案．本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c 的值，属于基础题．14. 命题“如果x +y >3，那么x >1且y >2”的逆否命题是______．【答案】如果x ≤1或y ≤2，那么x +y ≤3【解析】解：命题的逆否命题为：如果x ≤1或y ≤2，那么x +y ≤3，故答案为：如果x ≤1或y ≤2，那么x +y ≤3根据逆否命题的定义进行期求解即可．本题主要考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键.若p 则q 的逆否命题为若￢q 则￢p ．15. 曲线y =2lnx 在点(1,0)处的切线方程为______．【答案】y =2x −2【解析】解：∵y =2lnx ，∴y′=2x ，当x =1时，y′=2∴曲线y =2lnx 在点(1,0)处的切线方程为y =2x −2．故答案为：y =2x −2．欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x =1的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．16. 已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2=8ax 的焦点为F.若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线E 的离心率的取值范围是______．【答案】(1,3√24] 【解析】解：双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C ：y 2=8ax 的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，可设P(m,b a m)，即有AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −a,b a m)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2a,b a m)，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即为(m −a)(m −2a)+b2a 2m 2=0，化为(1+b2a2)m2−3ma+2a2=0，由题意可得△=9a2−4(1+b2a2)⋅2a2≥0，即有a2≥8b2=8(c2−a2)，即8c2≤9a2，则e=ca ≤3√24．由e>1，可得1<e≤3√24．故答案为：(1,3√24].求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P(m,bam)，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共76.0分）17.已知命题p：曲线y=x2+(2m−3)x−1与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆x2 m2+1+y22=1的焦点在y轴上．(1)判断命题p的否定的真假；(2)若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)由△=(2m−3)2+4>0，可得曲线y=x2+(2m−3)x−1与x轴相交于不同的两点，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题；(2)由“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，q一真一假，又由(1)得命题p为真命题，则命题q为假命题，即m2+1≥2，解得m≤−1或m≥1，故答案为：(−∞,−1]∪[1,+∞)．【解析】(1)由函数的零点个数的判断：△=(2m−3)2+4>0，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题，(2)由椭圆的性质及充分必要条件得“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，q一真一假，又由(1)得命题p为真命题，则命题q为假命题，运算可得解．本题考查了函数的零点与椭圆的性质、充分必要条件，属简单题．18.已知抛物线C：y2=2px经过点P(4,4)．(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为(2,1)，求直线AB的方程．【答案】解：(1)令抛物线E的方程：y2=2px(p>0)∵抛物线C：y2=2px经过点P(4,4)．∴16=8p∴p=2，∴抛物线E的方程：y2=4x(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得(y1+y2)(y1−y2)=4(x2−x1)，即y1−y2x1−x2=4y2+y1∵线段AB恰被M(2,1)所平分∴y1+y2=2，∴y1−y2x1−x2═2，即直线的斜率k=2，∴AB的方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0．【解析】(1)根据抛物线的定义，利用待定系数法即可求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程．本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线的位置关系的应用，利用点差法求出直线斜率是解决本题的关键．19.若x=2是函数f(x)=ax3−3x2的极值点．(1)求a的值；(2)若x∈[n,m]时，−4≤f(x)≤0成立，求m−n的最大值．【答案】解：(1)f’(x)=3ax2−6x，由已知，得a=1，经检验当a=1时，满足题意，故a=1．(2)由(1)可知a=1，f’(x)=3x(x−2)，当x<0时，0'/>，f(x)递增；当0<x<2时，f(x)<0，f(x)递减；当x>2时， 0'/>，f(x)递增；因此，f(x)极大值为f(0)=0，极小值为f(2)=−4，又由f(x)=0得x =0或x =3，由f(x)=−4得x =2或x =−1，故m −n 的最大值为4．【解析】(1)求解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a 的值即可；(2)由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的单调性等知识，属于中等题．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，过(1,0)点作直线与椭圆相交于A ，B 两点，连接AF 1，BF 1，且△ABF 1的周长为4√2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线AB 的斜率为1，且|BF 2||AF 2|=λ，求λ的值． 【答案】解：(1)由题意可得：2c =2，解得c =1，∵△ABF 1的周长为4√2.解得a =√2，b =√a 2−c 2=1．∴椭圆的方程为：x 22+y 2=1．(2)直线AB 的方程为：y =x −1，设A(x 1,y 1)Bx 2，y 2)联立{x 2+2y 2=2y=x−1，化为3y 2+2y −1=0，解得：y 1=−1,y 2=13或y 1=13,y 2=−1，且|BF 2||AF 2|=|y 2||y 1|=λ，∴λ=13或3． 【解析】(1)由题意可得：2c =2，4a4√2.解得a =√2，b =√a 2−c 2=1.即可得椭圆的方程．(2)联立{x 2+2y 2=2y=x−1，解得：y 1=−1,y 2=13或y 1=13,y 2=−1，由|BF 2||AF 2|=|y 2||y 1|=λ，即可求解．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、属中档题．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，过(1,0)点作直线与椭圆相交于A ，B 两点，连接AF 1，BF 1，且△ABF 1的周长为4√2．(1)求椭圆C 的标准方程(2)若|AB|=4|F 2A|，求直线AB 的方程．【答案】解：(1)∵焦距为2，△ABF 1的周长为4√2．∴c =1，4a =4√2，a 2=b 2+c 2．解得c =1=b ，a =√2．∴椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1．(2)设直线AB 的方程为：x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x 2+2y 2=2x=my+1，化为：(m 2+2)y 2+2my −1=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，∵|AB|=4|F 2A|，∴|BF 2|=3|F 2A|，∴y 2=−3y 1．联立：y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，y 2=−3y 1．解得：m =±1．∴直线AB 的方程为：x =±y +1．【解析】(1)由焦距为2，△ABF 1的周长为4√2.可得c =1，4a =4√2，a 2=b 2+c 2.联立解出即可得出．(2)设直线AB 的方程为：x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).与椭圆方程联立，化为：(m 2+2)y 2+2my −1=0，由|AB|=4|F 2A|，可得|BF 2|=3|F 2A|，y 2=−3y 1，与根与系数的关系联立即可得出．本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数f(x)=e x−ax−1(a∈R)．(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)=elnx−ax+e−1，求证：当x>0时，f(x)≥g(x)．【答案】解：(1)由f(x)=e x−ax−1，f′(x)=e x−a，由f′(x)>0，解得：x>lna，由f′(x)<0，解得：x<lna，故f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增，(2)证明：要证明f(x)≥g(x)，即证e x−elnx−e≥0，令ℎ(x)=e x−elnx−e，则ℎ′(x)=e x−ex，令φ(x)=e x−ex ，则φ′(x)=e x+ex2>0，故φ(x)即ℎ′(x)在(0,+∞)递增，又ℎ′(1)=0，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，故ℎ(x)min=ℎ(1)=0，故ℎ(x)≥0，即e x−elnx−e≥0，故f(x)≥g(x)．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证明e x−elnx−e≥0，令ℎ(x)=e x−elnx−e，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，是一道常规题．23.已知函数f(x)=e x−ax−1(a∈R)．(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0对任意x≥0恒成立，求a的取值范围．【答案】解：(1)由f(x)=e x−ax−1，则f′(x)=e x−a．由f′(x)>0，得x>lna；由f′(x)<0，得x<lna，所以函数f(x)的单调增区间为(lna,+∞)，单调减区间为(−∞,lna)；(2)由f(x)=e x−ax−1，则f′(x)=e x−a．①当a≤1时，对∀x≥0，有f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，又f(0)=0，即f(x)≥f(0)=0对∀x≥0恒成立．②当a>1时，由(1)，f(x)单调递增区间为(lna,+∞)，单调递减区间为(−∞,lna)，若f(x)≥0对任意x≥0恒成立，只需f(x)min=f(lna)=a−alna−1≥0，令g(a)=a−alna−1(a>1)，g′(a)=1−lna−1=−lna<0，即g(a)在区间(1,+∞)上单调递减，又g(1)=0，故g(a)<0在(1,+∞)上恒成立，故当a>1时，满足a−alna−1≥0的a不存在．综上所述，a的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；(2)求f(x)的导数，利用导数研究函数f(x)在[0,+∞)的单调性，然后讨论a的取值，从而确定f(x)的最值，即可确定实数a的取值范围本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法．。
太原市数学高二上学期理数期末考试试卷D卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高一上·保定期末) 已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={2＜x≤5}，则A∩B=（ ）
A . （2，3）
B . [2，3]
C . （﹣1，5）
A . （3，4）
B . （1，2）
C . ﹣7
D . 3
8. （2分） 如图，M是椭圆 上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，I是 的内心，延长MI交F1F2于N，则 等于（ ）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） 已知实数x,y满足不等式组 ， 则 的最大值是（ ）
A . 0
B . 3
C . 4
D . [﹣1，5]
2. （2分） (2019高三上·禅城月考) 复数 的共轭复数是（ ）
A .
B . ｉ
C .
D .
3. （2分） (2016高二上·船营期中) 命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（ ）
A . ∃x0∈N，x02+2x0≤3
B . ∀x∈N，x2+2x≤3
C . ∃x0∈N，x02+2x0＜3
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2019高三上·天津月考) 设复数 满足 ，则 ________．
14. （1分） (2018高二上·大港期中) 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ________．
15. （1分） (2018·杭州模拟) 设 内切圆与外接圆的半径分别为 与 .且 则 =________；当 时， 的面积等于________．
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太原2017第一学期高二年级期末考试
数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.命题“若2x >，则1x >”的否命题是
A.若2x <，则1x <
B.若2x ≤，则1x ≤
C.若1x ≤，则2x ≤
D. 若1x <，则2x <
2.抛物线24y x =的准线方程是
A. 1x =
B. 1x =-
C. 1y =-
D.1y =
3.“a b >”是“22
a b >”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.已知椭圆C 经过点()()1,0,0,2，则椭圆C 的标准方程为
A. 22
12y x += B. 2
212
x y += C. 22
14y x += D. 2
214
x y += 5.已知函数()cos f x x x =⋅，则2f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的值为 A. 2
π
-
B.
2
π
C. 1
D.1- 6.焦点在x 轴上，且渐近线方程为2y x =±的双曲线的方程是
A. 22
14y x -= B. 2
214
x y -= C. 2214y x -= D. 2214
x y -= 7.已知函数()y f x =的图象与直线8y x =-+相切于点()()
5,5f ，则()()55f f '+等于 A. 1 B. 2 C. 0 D.
1
2
8.已知椭圆
()22
2
1024x y b b +=<<的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过2F 且与椭圆相交于不同的两点A,B ，那么1ABF ∆的周长
A. 是定值4
B.是定值8
C.不是定值与直线l 的倾斜角有关
D. 不是定值与b 取值大小有关 9.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A.
0,0,0
a c d ><> B.
0,0,0a c d >><
C.
0,0,0
a c d <<< D.
0,0,0a c d <><
10.对于双曲线221:
1169x y C -=和22
2:1916
y x C -=，给出下列四个结论： （1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是
A. （1）（2）（4）
B. （1）（3）（4）
C. （2）（3）（4）
D.（2）（4） 11.若函数x y e ax =+有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是 A. 1a >- B. 1
a e >- C. 1a <- D. 1a e
<-
12.已知[]2
:"1,2,0",:"p x x a q x R ∀∈-≥∃∈，使得2
220"x ax a ++-=，那么命题""
p q ∧为真命题的充要条件是
A. 2a ≤-或1a =
B. 2a ≤-或12a ≤≤
C. 1a ≥
D.21a -≤≤
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.命题“若3x ≠，则3x ≠”的真假为 .（填“真”或“假”） 14. 双曲线2
2
1x y -=的离心率为 .
15. 已知()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x = .
16.椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则12 FPF ∠= .
三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分8分）已知命题:,0;:p x R x x q ∀∈+≥关于x 的方程2
10x mx ++=有实数根. （1）写出命题p 的否定，并判断命题p 的否定的真假； （2）若命题""p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.
18.（本题满分10分） 已知函数()3
213
f x x x ax =
-+在1x =-是取得极值. （1）求实数a 的值；
（2）求函数()y f x =在区间[)2,0-上的最大值和最小值.
19.（本题满分10分）已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M y 到焦点F 的距离为17.16
（1）求p 的值；
（2）若圆()2
2
1x a y -+=与抛物线C 有公共点，结合图形求实数a 的取值范围.
20.（本题满分10分）说明：请考生在（A ）,（B ）两题中任选一题作答. （A ） 已知函数()ln .f x x x = （1）求函数()y f x =的单调区间； （2）若函数()ln a
g x x x
=-
有两个零点，求实数a 的取值范围. （B ） 已知函数()ln .f x x x = （1）求函数()y f x =的单调区间； （2）证明：当0x >时，2ln .x
x x x e e
>
-.
21.（本题满分10分）说明：请考生在（A ）,（B ）两题中任选一题作答.
（A ）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2
2
，右焦点为F,椭圆与y 轴的正半轴交
于点B,且 2.BF =
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若斜率为1的直线l 经过点()1,0，与椭圆E 相交于不同的两点M,N ，在椭圆E 上是否存在点P ，使得PMN ∆的面积为
22
3
，请说明理由. （B ）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2
2
，过焦点垂直与x 轴的直线被椭圆E
截得的线段长为 2.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）斜率为k 的直线l 经过原点，与椭圆E 相交于不同的两点M,N ，判断并说明在椭圆E 上是否存在点P ，使得PMN ∆的面积为
22
3
.
太原市2016—2017学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷（文科）参考答案
一、选择题：
1-5.BBDCA,6-10.ABBCC,11,12.CA 二填空题：
13.真 14.2 15.e 16.120
三．解答题：
17.
18.
19.
20.。