沪科版八年级上命题与证明教案

命题与证明

一、证明

（1）概念：从已知的概念和条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论正确与否的过程。（由于证明的需要，可以在原来的图形上添加一些线，这样的线叫辅助线）。推导证明的条件除了已知条件外，还有公认的事实、公理和学过的定理。

例：（1）证明“对顶角相等”

分析：第一步的因是∠1与∠2，∠2与∠3分别是邻补角，果是∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°。确立因果关系的依据是——邻补角的意义.

第二步的因是∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，果是∠1+∠2=∠2+∠3，依据是——等量代换。

第三步的因是∠1+∠2=∠2+∠3，果是∠1=∠3。依据是——等量减等量，差相等。

整体来看，前一步的果为后一步的证明提供了因，这样一连串连贯、有序的因果关系组成了完整的证明过程。证明一般采用的分析方法是：从“要证什么”着眼，探寻“需要知道什么”，由此考虑“只要证什么”，一直追寻到“已知”。而证明的表述一般是从“已知”开始，推导出“可知”，直到求证的“结论”。

例：（学生做）已知，如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，EF交AB于G，交CA延长线于E，且∠1=∠2.求证：AD平分∠BAC，填写“分析”和“证明”中的空白．

分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠ =∠，而已知∠1=∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出∥，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．

证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴∥（）

∴ = （两直线平行，内错角相等．）

= （两直线平行，同位角相等．）

∵（已知）

∴，即AD平分∠BAC（）

例：已知，如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，EF交AB于G，交CA延长线于E，且∠1=∠2.

求证：AD平分∠BAC

二、命题

（1）概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子。

例：下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？

1、将27开立方；

2、任意三角形的三条中线相交于一点吗？

3、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

4、|a|＜0（a为实数）；

5、鸟是动物会飞的动物是鸟吗？

（2）其中判断为正确的命题叫真命题，例如：两条平行线被第三条直线所截，内错角平分线平行。判断为错误的命题叫假命题，例如：互为补角的两个角都是锐角。

确认一个命题是真命题要经过证明。而确认一个命题是假命题，只要举一个反例。

例：下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？请说明理由。

1、三角形的任何一个外角大于和它不相邻的内角；

2、一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等；

B

C D A 3、两个锐角的和还是锐角；

4、如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除。

5、素数是奇数；

6、一个图形经过旋转变换后原图形全等。

7、有两个角是锐角的三角形是锐角三角形

（3）数学命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知事项是判断的根据，结论是由已知事项推出的事项是判断的结果。这样的命题可以写成“如果……，那么……”的形式。例：“同角的余角相等”可以改写为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”。

例：指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果······那么······”的形式：

1、在直角三角形中，斜边大于直角边。

2、内错角相等，两直线平行。

3、角平分线上的点到角的两边的距离相等。

4、三条边对应相等的两个三角形全等。

5、在同一个三角形中，等角对等边。

6、对顶角相等。

7、全等三角形对应边相等。

三、公理和定理

（1）概念：从长期的实践中周总结出来的真命题叫公理。例如：两点之间线段最短；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等。

有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫定理。例如:依据公理“两点之间线段最短”可以推导出“三角形两边之和大于第三边”，而“三角形两边之和大于第三边”还是判断其他一些命题真假的依据，所以它是定理。

四、证明举例

例1：已知：如图，AB ∥CD ，AB=CD ，BF=CE ，点B ，E ，C ，F 同在一直线上。求证：AE ∥DF 。 A B

C D E

F

: 例1 例2 例3

例2：如图，在△ABC 中，∠A =70°，BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，求∠BOC 的度数．

例3：已知：如图，AC 与BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO 。求证： AB ∥CD

例4：已知：如图，AD 是∠BAC 的角平分线，BC ⊥AD 于点O ，AC ⊥DC 于点C ．

求证：（1）⊿ABC 是等腰三角形；

（2）∠D=∠B ． O

O

A

B

C

D