2015届高考数学二轮专题检测：12 函数的零点——关键抓住破题题眼

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【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习函数与导数综合题2

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习函数与导数综合题25．(理)(2014·某某高考)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值X 围．【解】 (1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x x ＋21－2x，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2取极小值f (－2)＝0，在x ＝0取极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋3b －2]1－2x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0.所以b 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. (文)(2014·某某高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．【解】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．6．(2014·全国新课标Ⅰ高考)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0.(1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值X 围．【解】 (1)f ′(x )＝ax＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a1－a )(x －1)．①若a ≤12，则a1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈(1，a 1－a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a 1－a，＋∞)时，f ′(x )＞0.f (x )在(1，a1－a)单调递减，在(a1－a，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (a 1－a )＜aa －1. 而f (a 1－a )＝a ln a 1－a ＋a 221－a ＋a a －1＞aa －1，所以不合题意．③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜aa －1.综上，a 的取值X 围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．7．(2014·某某某某适应性测试)设函数f (x )＝ax 2＋ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝(2a ＋1)x ，若x ∈(1，＋∞)时，f (x )<g (x )恒成立，求a 的取值X 围．【解】 (1)因为f (x )＝ax 2＋ln x ，其中x >0，所以f ′(x )＝2ax 2＋1x，当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝＋－12a ，(x ＝－12a舍去)所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上是减函数． (2)令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，根据题意，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0恒成立．所以h ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝x －12ax －1x.(ⅰ)当0<a <12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，恒有h ′(x )>0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，所以不符合题意； (ⅱ)当a ≥12，x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )>0，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意； (ⅲ)当a ≤0，x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上是减函数，于是h (x )<0对任意x ∈(1，＋∞)都成立的充要条件是h (1)≤0，即a －(2a ＋1)≤0，解得a ≥－1，故－1≤a ≤0.综上所述，a 的取值X 围是[－1,0]．8．(文)(2014·某某某某诊断)已知函数f (x )＝(x 2－2ax ＋a 2)ln x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调区间； (2)当a ＝－1时，令F (x )＝f x x ＋1＋x －ln x ，证明：F (x )≥－e －2，其中e 为自然对数的底数；(3)若函数f (x )不存在极值点，某某数a 的取值X 围．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2ln x (x >0)，此时f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)．令f ′(x )>0，解得x >e －12.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，e －12. (2)证明 F (x )＝f xx ＋1＋x －ln x ＝x ln x ＋x . 由F ′(x )＝2＋ln x ，得F (x )在(0，e －2)上单调递减，在(e －2，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (e －2)＝－e －2.(3)f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋x －a 2x ＝x －ax.(2x ln x ＋x －a )．令g (x )＝2x ln x ＋x －a ，则g ′(x )＝3＋2ln x ，∴函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －32，＋∞上单调递增，∴g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －32＝－2e －32－a .①当a ≤0时，∵函数f (x )无极值，∴－2e －32－a ≥0，解得a ≤－2e －32.②当a >0时，g (x )min ＝－2e －32－a <0，即函数g (x )在(0，＋∞)上存在零点，记为x 0.由函数f (x )无极值点，易知x ＝a 为方程f ′(x )＝0的重根， ∴2a ln a ＋a －a ＝0，即2a ln a ＝0，a ＝1.当0<a <1时，x 0<1且x 0≠a ，函数f (x )的极值点为a 和x 0；当a >1时，x 0>1且x 0≠n ，函数f (x )的极值点为a 和x 0；当a ＝1时，x 0＝1，此时函数f (x )无极值．综上a ≤－2e －32或a ＝1.(理)(2014·某某某某二模)已知函数f (x )＝ax －bx ln x ，其图象经过点(1,1)，且在点(e ，f (e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)．(1)某某数a 、b 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f xx －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值； (3)证明：2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n >(n －1)2(n ∈N *，n >1)．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以a ＝1，此时f (x )＝x －bx ln x ，f ′(x )＝1－b (1＋ln x )，依题意，f ′(e)＝1－b (1＋ln e)＝3，所以b ＝－1. (2)由(1)知：f (x )＝x ＋x ln x ，当x >1时，设g (x )＝f x x －1＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －2－ln xx －12.设h (x )＝x －2－ln x ，则h ′(x )＝1－1x>0，h (x )在(1，＋∞)上是增函数．因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，所以，存在x 0∈(3,4)，使h (x 0)＝0.当x ∈(1，x 0)时，h (x )<0，g ′(x )<0，即g (x )在(1，x 0)上为减函数；同理g (x )在(x 0，＋∞)上为增函数，从而g (x )的最小值为g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1，所以x 0∈(3,4)，k 的最大值为3.(3)证明由(2)知，当x >1时，f xx －1>3，所以f (x )>3x －3，即x ＋x ln x >3x －3，x ln x >2x －3，所以2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n >(2×2－3)＋(2×3－3)＋…＋(2n －3)＝2(2＋3＋…＋n )－3(n －1)＝2×n －12＋n 2－3n ＋3＝n 2－2n ＋1＝(n －1)2(n ∈N *，n >1)．。

【状元之路】2015版高考数学二轮复习函数与导数解答题专题训练(含解析)

【状元之路】2015版高考数学二轮复习函数与导数解答题专题训练（含解析）1．(2014·皖南八校联考)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)，其中a >0.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线与直线x ＋e 2y －1＝0垂直，某某数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解 f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)． (1)由题意得f ′(2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2＝－1，解得a ＝58. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，f (x )的增区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；②当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a >1时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a ，(0，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0.2．(2014·某某二模)已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，某某数m 的取值X 围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2) ＝x e x(x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值，∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2. (2)f ′(x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又当x ∈[－2，－1]时，x e x<0，∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－22－2m ＋3＋2m －2≤0，－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增． 3．(文)(2014·某某四校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋x －x ln x . (1)若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝2，且在定义域内f (x )≥bx 2＋2x 恒成立，某某数b 的取值X 围．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x －x ln x ，函数定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－ln x ，由－ln x ＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上是增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由f (1)＝2，得a ＋1＝2， ∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x －x ln x ，由f (x )≥bx 2＋2x ，得(1－b )x －1≥ln x . ∵x >0，∴b ≤1－1x －ln xx恒成立．令g (x )＝1－1x －ln x x ，可得g ′(x )＝ln xx2，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝0， ∴b 的取值X 围是(－∞，0]． 3．(理)(文)4.(2014·某某调研)已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在t ∈N *，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴可设f (x )＝ax (x －5)，a >0. ∴f ′(x )＝2ax －5a .∵函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行， ∴f ′(1)＝－6.∴2a －5a ＝－6，解得a ＝2. ∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x .(2)由(1)知，方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增．∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0，∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内各有一个实数根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的正整数t ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有且只有两个不相等的实数根．4．(理)(文)5.(2014·某某五校联考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的实数m 使t ＝f (m )；(3)设(2)中所确定的m 关于t 的函数为m ＝g (t )，证明：当t >e 时，有710<ln g tln t <1.解 (1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． (2)当0<x ≤1时，f (x )≤0，又t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知h (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，h (1)＝－t <0，h (e t )＝t (e t －1)>0，∴存在唯一的实数m ，使t ＝f (m )成立． (3)∵m ＝g (t )且由(2)知t ＝f (m )，t >0，当t >e 时，若m ＝g (t )≤e，则由f (m )的单调性有t ＝f (m )≤f (e)＝e ，矛盾， ∴m >e.又ln g t ln t ＝ln m ln f m ＝ln m ln m ln m ＝ln m ln m ＋ln ln m ＝u u ＋ln u ，其中u ＝ln m ，u >1，要使710<ln g t ln t <1成立，只需0<ln u <37u .令F (u )＝ln u －37u ，u >1，F ′(u )＝1u －37，当10，F (u )单调递增；当u >73时，F ′(u )<0，F (u )单调递减．∴对u >1，F (u )≤F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<0，即ln u <37u 成立．综上，当t >e 时，710<ln g tln t<1成立．5．(理)(2014·某某考试院抽测)已知a 为给定的正实数，m 为实数，函数f (x )＝ax 3－3(m ＋a )x 2＋12mx ＋1.(1)若f (x )在(0,3)上无极值点，求m 的值；(2)若存在x 0∈(0,3)，使得f (x 0)是f (x )在[0,3]上的最值，某某数m 的取值X 围．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2－6(m ＋a )x ＋12m ＝3(x －2)(ax －2m )，由于f (x )在(0,3)上无极值点，故2ma＝2，所以m ＝a .(2)由于f ′(x )＝3(x －2)(ax －2m )，故 ①当2m a ≤0或2ma≥3，即m ≤0或m ≥32a 时，取x 0＝2即满足题意．此时m ≤0或m ≥32a .②当0<2ma<2，即0<m <a 时，列表如下：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m a 2ma⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ，22 (2,3)3 f ′(x )＋ 0 － 0 ＋ f (x )1单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m ＋1故f (2)≤f (0)或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ≥f (3)，即－4a ＋12m ＋1≤1或－4m 3＋12m 2aa2＋1≥9m ＋1，即3m ≤a 或－m 2m －3a2a 2≥0，即m ≤a 3或m ≤0或m ＝3a 2.此时0＜m ≤a3.③当2<2m a <3，即a <m <3a2时，列表如下：x 0 (0,2) 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2m a2ma⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ，33 f ′(x )＋ 0 － 0 ＋ f (x )1单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m ＋1故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a≤f (0)或f (2)≥f (3)，即－4m 3＋12m 2a a2＋1≤1或－4a ＋12m ＋1≥9m ＋1，即－4m 2m －3aa 2≤0或3m ≥4a ，即m ＝0或m ≥3a 或m ≥4a3.此时4a 3≤m ＜3a 2.综上所述，实数m 的取值X 围是m ≤a 3或m ≥4a 3.。

【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数与方程理北师大版

第八节函数与方程【考纲下载】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点与方程的实数解(1)函数的零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)利用函数性质判定函数零点：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0.3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D解析：选C 由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2,4)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(2.5,3)解析：选C ∵f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0，∴f (3)·f (4)>0， ∴零点x 0所在的区间为(2,3)．3．函数f (x )＝log 2x ＋x －4的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：选C 因为f (2)＝log 22＋2－4＝－1<0，f (3)＝log 23－1>0，所以f (2)·f (3)<0，故零点所在的一个区间为(2,3)．4．函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x＋3x 零点的个数，即为函数y ＝e x与y ＝－3x 图象交点的个数．在同一坐标系下画出y ＝e x与y ＝－3x 的图象如图．故函数f (x )＝e x＋3x 只有一个零点．5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值X 围是________．解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案：(0,1)考点一确定函数零点所在区间[例1] (1)(2014·某某模拟)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)(2)(2013·某某高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[自主解答] (1)f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)．当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， ∵8＝22≈2.828>e，∴8>e 2，即ln 8>2，即f (3)<0，又f (4)＝12－ln 3<0，∴f (x )在(2,3)内存在一个零点．(2)易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a 0，f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a ，b )和(b ，c )内．[答案] (1)B (2)A【方法规律】判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．1．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：选C 法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2,3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2,3)．2．在下列区间中，函数f (x )＝e －x－4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：选B 易知函数f (x )在R 上是单调减函数．对于A ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝e 34－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－3＝e 34>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3＝e 12－1>0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12上；对于B ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e 14－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－3＝e 14－2<414－2<0，因此在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14上函数f (x )＝e －x－4x －3一定存在零点；对于C ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<0，f (0)＝－2<0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0上；对于D ，注意到f (0)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e －14－4×14－3＝e －14－4<0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上．考点二判断函数零点的个数[例2] (1)(2014·某某模拟)函数f (x )＝x 2－2x在x ∈R 上的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)注意到f (－1)×f (0)＝12×(－1)<0，因此函数f (x )在(－1,0)上必有零点．又f (2)＝f (4)＝0，因此函数f (x )的零点个数是3.(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1.又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)D (2)A 【互动探究】若将本例(1)中的函数改为“f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x”，该如何选择？解析：选B 因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增．又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域内有唯一零点，故应选B.【方法规律】判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2013·某某高考)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 易知函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．2．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.高频考点考点三函数零点的应用1．高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，求函数零点问题，难度较易；利用零点的存在性求相关参数的值，难度较大．2．高考对函数零点的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数； (2)已知函数的零点或方程的根的个数，求参数； (3)利用函数的零点比较大小．[例3] (1)(2013·某某高考)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则 ( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0(2)(2011·某某高考)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <30，又f (a )＝0，∴0<a <1.∵g (x )＝ln x ＋x 2－3，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又g (1)＝ln 1－2＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，且g (b )＝0，∴1f a ＝0，ga <gb ＝0.(2)∵2<a <30，∴f (x )的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. (3)在同一坐标系中作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2及y ＝k 的图象，如图．可知，当0<k <1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝k 有两个不同的实根．[答案] (1)A (2)2 (3)(0,1)函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值X 围．(2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法．(3)借助函数零点比较大小．要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.2．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0解析：选D 令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图象有两个交点．由g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即lnx >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知，当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e .作出函数g (x )和h (x )的简图，据图可得－1e<a <0.3．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)·f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④C ．②③ D ．②④解析：选C 由题设知f (x )＝0有3个不同零点．设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ，∴g (x )＝x (x 2－6x ＋9)＝x (x －3)2，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝3，g ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令g ′(x )>0，得x <1或x >3；令g ′(x )<0，得1<x <3，所以g (x )在(－∞，1)，(3，＋∞)上是单调递增的；在(1,3)上是单调递减的．g (1)＝4，作出g (x )的图象，如图所示．∴f (x )＝g (x )－abc ，f (x )有3个零点，需将g (x )的图象向下平移至如图所示位置．由图象观察可知，f (0)f (1)<0且f (0)f (3)>0.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个口诀——用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．2个防X ——函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3种方法——判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点； (2)零点的存在性定理；(3)利用图象交点的个数(内容见例2的[方法规律])． 3个结论——有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．数学思想(四)利用数形结合解决方程根的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决．[典例] (2012·某某高考)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值X 围是________．[解题指导] 方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 恰有三个不同的交点，可借助图形确定x 1，x 2，x 3的X 围，进而求出x 1x 2x 3的X 围．[解析]由定义可知，f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12－2x －1x －1，x ≤0，x －12－2x －1x －1，x >0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <14.不妨设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.当x >0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，∴x 2＋x 3＝1，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0<x 2x 3<14；当x <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ＝14，x <0，得x ＝1－34，∴1－34<x 1<0，即0<－x 1<3－14.∴0<－x 1x 2x 3<3－116，故1－316<x 1x 2x 3<0. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0[题后悟道] 1.解决本题的关键有以下三点：(1)根据新定义正确求出函数f (x )的解析式，并准确画出其图象； (2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定x 2x 3的X 围； (3)正确确定x 1的取值X 围．2．函数y ＝f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10 解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]上的解的个数为8.[全盘巩固]1．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 由题意知，函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四个选项可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是(1,2)．2．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析：选C 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 3．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12解析：选C 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －1f 0<0，f 1f 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.4．(2014·某某模拟)设函数f 1(x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f 2(x )＝log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：选A 依题意知x 1>x 2>0，且log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，则log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝－log 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，所以log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<0＝log 21，所以0<x 1x 2<1.5．已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.6．(2014·某某模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0,9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0,9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．解析：法一：令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x ＝2，解得x ＝－3或x ＝e 2，所以函数f (x )有两个零点．法二：画出函数f (x )的图象(图略)可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有两个零点．答案：28．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则方程e x－2x ＋a ＝0，即a ＝2x －e x有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2.因为a 的取值X 围就是函数g (x )的值域，所以a ∈(－∞，2ln 2－2]．答案：(－∞，2ln 2－2]9．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.解析：∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 答案：510．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围．解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值X 围是(0,1)．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值X 围；(2)确定m 的取值X 围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e，g (x )＝m 就有实数根．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有实数根，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴f (x )的图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值X 围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．12．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的X 围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．[冲击名校]1．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1fx ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：选D 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为函数f (x )＋1＝1fx ＋1，所以f (x )＝1f x ＋1－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－xx ＋1，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点解析：选B 当k >0时，f (f (x ))＝－1，结合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4.此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.[高频滚动] 1．若函数f (x )＝a2x －4，g (x )＝log a |x |(a >0，a ≠1)，且f (2)·g (－2)<0，则函数f (x )、g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )A B C D解析：选B f (2)·g (－2)＝a 0log a 2<0，得0<a <1，所以f (x )＝a 2x －4在R 上为减函数，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．2．已知函数 y ＝f (x )的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )是其定义域上的增函数，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A B C D解析：选A 设x 1<x 2，由g (x )为其定义域上的增函数，得f (x 1＋a )－f (x 1)<f (x 2＋a )－f (x 2)，即f (x 1＋a )－f (x 2＋a )<f (x 1)－f (x 2)，所以f x 1＋a －f x 2＋a x 1＋a －x 2＋a >f x 1－f x 2x 1－x 2，即曲线y ＝f (x )的割线的斜率单调递增．结合函数图象可知，选项A 正确．。

2025届高考数学二轮复习专项突破10函数零点

《函数零点》专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其常常与函数的图像、性质等学问交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）困难函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）A．14B．18C．78-D．38-【答案】C【分析】利用函数零点的意义结合函数f(x)的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】依题意，函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0的根，由f(2x2+1)+f(λ-x)=0得f(2x2+1)=-f(λ-x)，因f(x)是R上奇函数，从而有f(2x2+1)=f(x-λ)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-λ，而函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+λ=0有两个相等实数解，因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78-，所以实数λ的值是78-.故选：C.练（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)【答案】B 【详解】因为()f x 为开口向上的抛物线，且对称轴为2ax =-，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以()()101002112f f a f a ⎧->⎪>⎪⎪⎛⎫⎨-< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-<-<⎩，即22102102022222a a a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎪+->⎪⎨⎪⎛⎫---<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-<<⎩，解得023a <<，所以实数a 的取值范围是2(0,)3.故选：B例1-2．（2024·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定【答案】C解析：()()22x f x x x a e '=++当1a ≥时，220x x a ++≥在R 恒成立，所以()()2'20xf x x x a e =++≥在R 恒成立，所以函数()()2x f x x a e =+在R 上单调递增，没有最小值；当1a <时，令() '0f x =得111x a =---，211x a =--，且12x x < x()1,x -∞1x()12,x x2x()2,x +∞()'f x+0 -+()f x极大值微小值当x →-∞时，()0f x →所以若()f x 有最小值，只须要()20f x ≤∵()()22221022100xf x a e a a =--⇔--≤⇔≤≤，∴20x x a ++=的判别式1410a ∆=->≥，因此()2g x x x a =++有两个零点.故选：C ．类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2024·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B 【详解】∵()ln 1f x x x =-，()1ln f x x '=+，由()1ln 0f x x '=+=得，1e x =，∴1,()0ex f x '>>，函数()f x 为增函数，当01x <<时，()ln 10f x x x =-<，又()()410,2ln 21ln 0e12f f =-<=-=>，故()f x 的零点所在的区间是()1,2. 故选：B练．（2024·天津·大钟庄中学高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B 【详解】因为()2xf x x =+为单调递增函数，当2x =-时，()2722204f --=-=-<，当1x =-时，()1112102f --=-=-<，当0x =时，()002010f =+=>，由于()()010f f ⋅-<，且()f x 的图象在()1,0-上连续，依据零点存在性定理，()f x 在()1,0-上必有零点，故选：B.类型三、利用两图像交点推断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2024·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个【答案】B 【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案．【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（）A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】 ()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，作出函数()21ln x g x x +=的图象，可知满意不等式()a g x <的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，令()21ln x g x x +=，其中0x >，则()()243121ln 2ln 1x x x x x g x x x ⋅-+--'==.当120x e -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当12x e ->时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.且当12x e ->时，()21ln 0xg x x +=>，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，满意不等式()a g x <的整数解有且只有一个，所以，()1,m n ∈，()2,m n ∉，所以，()()21g a g ≤<，即1ln 2ln 2144e a +=≤<.因此，实数a 的取值范围是ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.例3-2（一个曲线一个直线）28．（2024·浙江·绍兴市柯桥区老师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______. 【答案】7,24⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求出函数()()y f x g x =-的表达式，构造函数()()(2)h x f x f x =+-，作函数()h x 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()222,02,0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩，∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解，即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩ ，作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知， 74<b <2，故答案为:7,24⎛⎫⎪⎝⎭.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2024福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】13a ≤-或2a e ≥ 【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（）存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，），过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝；设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x xx x e e x x e e --∴＝，＝，得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的敏捷应用．例3-4（两个曲线）49．（2024·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定. 【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+-222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f (x )的零点个数为2. 故答案为：2.（两个曲线）8．（2024·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（） A ．3 B ．72C ．4D ．92【答案】B 【分析】依据函数的奇偶性确定函数()f x 的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最终通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称，即(2)()0f x f x -+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x -=-=-，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==．又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-，12-，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故实数m 的最小值为72．故选：B ．（两个曲线）【2024河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满意()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个【答案】B【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．详解：∵偶函数f （x ）满意f （x+2）=f （x ），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f （x ）=x ，故当x∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣x ．因为函数y=f （x ）﹣log 3|x|的零点的个数等于函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象，如图所示：明显函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象有4个交点，故选B ．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数推断，以及函数与方程的思想，依据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．推断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.例3-5（干脆解出零点）（2024·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【答案】C 【分析】令()25sin sin 10f x x x =--=可得21sin sin 5x x -=，依据()2sin sin g x x x =-为偶函数，只需求()21sin sin 5g x x x =-=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解的个数，等价于21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.【详解】令()0f x =可得21sin sin 5x x -=，设()2sin sin g x x x =-，则()()22sin sin sin sin g x x x x x g x -=--=-=，所以()2sin sin g x x x =-是偶函数，故只须要探讨21sin sin 5x x -=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解得个数，当0x ≥时，由21sin sin 5x x -=可得21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-，解方程21sin sin 5x x -=可得sin x sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x解方程21sin sin 5x x -=-可得sin x 或sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x 有三解，sin x = 所以在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()21sin sin 5g x x x =-=有8解，依据对称性可得()21sin sin 5g x x x =-=在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有16解，所以函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为16，类型三、利用周期性推断零点个数例3-1．（2024·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402【答案】A 【分析】依据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A. 例3-2．偶函数()f x 满意()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()444f x f x f x +=-=-，所以()()8f x f x +=所以()f x 是周期函数，且周期为8，且()f x 关于4x =对称，又当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，则()()()221ln 21ln 2(0)x x xx f x x x x ⋅--'==>，令()0f x '=，解得e 2x =，所以当e 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当e ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，作出()f x 一个周期内图象，如图所示：因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以不等式在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以在()0,200内有25个周期，所以()f x 在一个周期内有4个整数解，（1）若0a >，由()()20f x af x +>，可得()0f x >或()f x a <-，由图象可得()0f x >有7个整数解，()f x a <-无整数解，不符合题意；（2）若0a =，则()0f x ≠，由图象可得，不满意题意；（3）若0a <，由()()20f x af x +>，可得 ()f x a >-或()0f x <，由图象可得()0f x <在一个周期内无整数解，不符合题意，所以()f x a >-在一个周期()0,8内有4个整数解，因为()f x 在()0,8内关于4x =对称，所以()f x 在()0,4内有2个整数解，因为()1ln 2f =，()ln 42ln 22f ==，()ln 633f =，所以()f x a >-在()0,4的整数解为1x =和2x =，所以ln 6ln 23a ≤-<，解得ln 6ln 23a -<≤-. 故选：C类型四、零点之和例4-1．（2024·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满意()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】A 【分析】首先推断()f x 的奇偶性，再依据奇偶函数的对称性计算可得；【详解】由()()0g x g x -+=得()y g x =的图象关于()0,0对称，因为()1sin sin f x x x=+，定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，且()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x -=+-=--=--，所以()1sin sin f x x x=+为奇函数，即()1sin sin f x x x=+也关于()0,0对称，则函数()1sin sin f x x x=+与()y g x =图象的交点关于()0,0对称，则不妨设关于点()0,0对称的坐标为()()1166,,,,x y x y ⋯，则16160,022x x y y ++==， 252534340,0,0,02222x x y y x x y y ++++==== 则1616252534340,0,0,0,0,0x x y y x x y y x x y y +=+=+=+=+=+=，即()61iii x y =+=∑()3000⨯+=，故选：A ．例4-2（2024·新疆·克拉玛依市教化探讨所模拟预料（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满意()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的全部零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（）A ．20B ．24C ．28D ．36【答案】C 【分析】依据题意可得函数()f x 是周期为4，关于点(4,0)中心对称的函数，再将函数()()()4g x f x k x =--的全部零点转化为()y f x =与()4y k x =-的交点的横坐标，又函数()4y k x =-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，在坐标系中作出草图，依据数形结合即可求出结果. 【详解】∵定义在R 上的奇函数()f x 满意()()2f x f x =-，故图象关于1x =对称， ∴()()2f x f x --=-，故()()2f x f x +=-， ∴()()()42f x f x f x +=-+=，即周期为4，又()f x 定义在R 上的奇函数，所以(4,0)是函数()f x 一个对称中心，又因为当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，作出函数()f x 的草图，如下：函数()()()4g x f x k x =--的全部零点即为()y f x =与()4y k x =-的交点的横坐标，易知函数()4y k x =-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，又1335k <<，分别作出函数()143y x =-和()345y x =-的图象，则函数()4y k x =-的图象在函数()143y x =-和()345y x =-的图象之间，如下图所示：则()y f x =与()4y k x =-交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对，同时还经过点(4,0)，所以1324428nii x==⨯⨯+=∑.故选：C.类型五、等高线的运用例5-1．（2024·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________. 【答案】[)3,10/310a b c ≤++< 【分析】依据题意，作出函数()y f x =图象，数形结合即可求解. 【详解】依据题意，作出函数()y f x =图象，令()()()f a f b f c t ===，可知函数()y f x =图象与y t =的图象有三个不同交点，由图可知01t ≤<.因a ､b ､c 互不相等，故不妨设a b c <<，由图可知1212a b +=⨯=. 当01t <<，时()8log 1c t -=，因01t <<，所以118c <-<，即29c <<，故310a b c <++<；当0t =时，2c =，故3a b c ++=. 综上所述，310a b c ≤++<. 故答案为：[)3,10.例5-2（2024·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（） A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】依据分段函数解析式探讨()f x 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得123412345x x x x <<<<<<<<、348x x +=、12(1)(1)1x x --=，进而将目标式转化并令11121t x x =-+，构造1()21g x x x =-+，则只需探讨()g x 在3(,2)2上的范围即可. 【详解】由分段函数知：12x <≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增； 34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；∴()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=，由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得21111x x =-， ∴令()3411122111112214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322x <<，由1()21g x x x =-+在3(,2)2上单增，可知31()21(2)2g x g x <-+<，所以10932t << 故选：A.例5-3（2024·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（）①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【分析】①将问题转化为直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，视察图像可得答案；②设a b c d <<<，则可得2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，依据关系代入a b c d +++求值域即可；③函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，关注1m =和0m =时的交点个数即可得答案依据图像可得答案. 【详解】解：函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：()()()()f f b f d a c f m ====，即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；()()()()f f b f d a c f m ====，不妨设a b c d <<<，则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，ln ln 2d c ∴+=-，则2e c d-=，且11e d << 2e c d dd-∴++=，由对勾函数的性质可得函数2e y x x -=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()2122e ,e 1e dc d d ---∴+=∈++，()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，②正确；函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点，当0m =时，探讨y x =与1ln y x =+是否相切即可， 1y x'=，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =，所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点，因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点，即函数()y f x x m =--恰有三个零点，③正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并便利解答.例5-4．（2024·辽宁试验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】ABC 【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，依据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定.【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-，又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ，设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+，明显()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>，所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e4g x ∈-，所以()1250,4e 4n -∈-，所以n 可取1,2,3 故选：ABC.类型六、嵌套函数零点例6-1．（2024·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t ≤时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则10=t 所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当 10=t ()10f x =1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C例6-2．（2024·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.【答案】3ln3- 【分析】设()f x t =，则依据题意得2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <，故122t t +=，212t t =-，再结合()f x 的图象可得1221x x e t ==，3212x t t ==-，101t <<，进而1231122ln 34x x x t t -+=-+，再构造函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设()f x t =，依据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根，即2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t < 122t t ∴+=，则212t t =-，方程1()f x t =或2()f x t =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，作出图象如图所示：那么1221x x e t ==，可得3212x t t ==-，101t <<，所以1231122ln 34x x x t t -+=-+，构造新函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，则13()th t t-'=，所以()h t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以12322x x x -+的最大值为3ln3-. 故答案为：3ln3-.例6-3（2024·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．【答案】(]01，．【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采纳数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t>时，有唯一的x与之对应；当1t≤时，有两个不同的x与之对应．由方程组()()t f xf t a=⎧⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x知，须要方程②有两个不同的t，且一个1t>，一个1t≤，结合图象可知，当(]01a∈，时，满意一个(]10t∈-，，一个(]12t∈，，符合要求，综上，实数a的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，.例6-4. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的全部极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,3B ．(]1,3C ．[]1,3D ．[)3,+∞【解析】（1）易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x，令2x －πsin x=0，得2,0π==x x ，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.（2）【答案】B 【解析】由题意得()221362f x x ax a a'=+++()0a >，因为()f x 有极值，所以()2213620f x x ax a a'=+++=有2个不等实根，即()222116432120a a a a a ⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即310a a->，因为0a >，解得1a >．令()()()2213620h x f x x ax a a a'==+++>，由()660h x x a '=+=得x a =-，设()f x 的极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 为方程()2213620f x x ax a a'=+++=的根，则122x x a +=-，2122133a x x a=+，因为()()3223221211122211321321f x f x x ax a x x ax a x a a ⎛⎫⎛⎫+=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3221212121212121336220x x x x x x a x x ax x a x x a ⎛⎫=+-+++-++++= ⎪⎝⎭，所以()()()2121263f x f x f a a a '++-=-+≥-，令()()211g a a a a=-+>，易得()g a 在()1,+∞上单调递减，且()2633g =-，所以31≤<a ．故选：B.例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）依据导函数零点0x ，推断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x ex a a -=-+>，∴1()x a f x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<，则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<.令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++.∴()001ln 1x a x a-+=+，明显01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12.【方法总结】类型一：化为一元二次函数得零点问题类型二：困难函数得零点思想：①先设后求、设而不求②与零点存在性定理结合运用步骤：(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x 0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．【答案】(],2-∞．解：原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于ln 1x xe x x b x+--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，∴()22ln x x e xt x x+'=，令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当0x →时，()x ϕ→-∞，()10e ϕ=>，∴()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫+=⇔=-= ⎪⎝⎭，又有xy xe =在()0,∞+上单调递增， ∴0001ln ln x x x ==-，001x e x =，∴()()00000min 0ln 12x x e x x t x t x x +--===⎡⎤⎣⎦， ∴2b ≤，∴b 的取值范围是(],2-∞．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）探讨函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，推断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）()g x 只有一个零点，理由见解析. （1）求出导数()'f x ，按a 分类探讨确定()'f x 的正负，得函数的单调性；（2）求出导函数()'g x ，对其中一部分，设()1e xh x x=-(0x >)，用导数确定它的零点0(0,1)x ∈，这样可确定()g x 的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论．【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e xxxx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=+⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'x >()0f x x ⇔<<'<所以()f x在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.（2）当1a =时，()()2211e ln 2x g x x x x =--+，其定义域为()0,∞+，则()()()1e 11xg x x x x '=+--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设()1e xh x x =-(0x >)，则()21e 0xh x x'=+>，从而()h x 在()0,∞+上是增函数，又1202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0001e 0x h x x =-=，即001e xx =，00ln x x =-.列表如下：由表格，可得()g x 的微小值为()12g =-；()g x 的极大值为()()022222000000000002111111e ln 2222x x x g x x x x x x x x x -+=--+=--=-+-因为()0g x 是关于0x 的减函数，且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()03128g x -<<-，所以()g x 在(]0,1内没有零点.又()1102g =-<，()22e 2ln 20g =-+>，所以()g x 在()1,+∞内有一个零点. 综上，()g x 只有一个零点. 类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数（2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数（2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）找寻零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2024·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点. （1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出导函数，当0a ≤时明显不成立，当0a >时求出函数的单调区间，即可得到函数的微小值()f a ，依题意()0f a <，即可求出参数a 的取值范围；（2）由（1）可得120x a x <<<，设()()()2g x f a x f x =--，求出函数的导函数，即可得到122x x a +>，（3）由（1）可得120x a x <<<，再设21x tx =，1t >，则1221ln ln x x t x x ==，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，再利用导数说明()ln 1th t t =-的单调性，即可得到121x x +<，从而得证；【详解】（1）证明：由()ln a f x x x =+，0x >，可得()21af x x x'=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，与题意不符. 当0a >时，令()210af x x x '=-=，得x a =. 当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 可得当x a =时，()f x 取得微小值()ln 1f a a =+.又因为函数()ln af x x x =+有两个零点，所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.综上，10ea <<.（2）解：由上可得()f x 的微小值点为x a =，则120x a x <<<. 设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,x a ∈，可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,x a ∈，所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=，即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,x a ∈，所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=.因为当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.（3）由（1）可得120x a x <<<，设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t t x t =--，所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t ⎛⎫++=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭. 又因为()ln 1th t t =-，则()()211ln 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()ln 1ln 1t t tt +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +<综上，1221a x x <+<. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数探讨含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．留意分类探讨与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π. 【解析】 (1)易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，设h(x)＝2x －πsin x，h′(x)＝2－πcos x，明显h′(x)单调递增，而h′(0)＜0，h′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得h′(x 0)＝0.当x∈(0，x 0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，而 h(0)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，h(x)＜0，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.(2)证明：依题意得x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，f(x 1)=f(x 2), 构造函数F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x＞0，即函数F(x)单调递增，所以F(x)＜F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，即当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f(x)＜f(π－x)，而x 1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f(x 1)＜f(π－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)，即f(x 2)＜f(π－x 1)，此时x 2，π－x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞.由(1)可知，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以x 2＜π－x 1，即x 1＋x 2＜π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x =12()x x ≠时，120x x +<【解析】解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只须要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

【金版学案】2015届高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第二讲数形结合思想检测试题

第二讲数形结合思想1一、选择题1．已知0＜a ＜1，则方程a |x|＝|log a x|的实根个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．1个或2个或3个解析：判断方程的根的个数就是判断图象y ＝a |x|与y ＝|log a x|的交点个数，画出两个函数图象(如右图所示)，易知两图象只有2个交点，故方程有2个实根．答案：B2．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查．按各选项变换后的函数如下所示：A ．y ＝lg(x ＋3)＋1＝lg10(x ＋3)，B ．y ＝lg(x －3)＋1＝lg10(x －3)，C ．y ＝lg(x ＋3)－1＝lg x ＋310，D ．y ＝lg(x －3)－1＝lg x －310.答案：C3．定义在R 上的偶函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[3，4]时，f(x)＝x －2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3C ．f(sin 1)＜f(cos 1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32解析：由f(x)＝f(x ＋2)知T ＝2为f(x)的一个周期，设x∈[－1，0]，知x ＋4∈[3，4]，f(x)＝f(x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f(x)的图象，如图所示：A ：sin 12＜cos 12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＞f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 12；B ：sin π3＞cosπ3f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3；C ：sin 1＞cos 1f(sin 1)＜f(cos 1)；D ：sin 32＞cos32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32.答案：C4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1、抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：记抛物线y2＝4x的焦点为F，是F(1，0)，注意到直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，于是抛物线y2＝4x上的动点P到直线l2的距离等于|PF|，问题即转化为求抛物线y2＝4x上的动点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离与它到焦点F(1，0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|＝2.故选A.5答案：A5．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是( )A．5 B．8 C.17－1 D.5＋2解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，设点P 到抛物线的准线的距离为d，由抛物线的定义有d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.答案：C6．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：解法一因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋23－2＝8，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，故f(x)在(0，1)内的零点个数是1.解法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中作出两函数的图象(如上图所示)，可知B正确．答案：B7．(2014·福建卷)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由k ＝1时，圆心到直线l ：y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以弦长为2，所以S △OAB ＝12×2×22＝12，所以充分性成立，由图形的对称性当k ＝－1时，△OAB 的面积为12，所以不必要性不成立．故选A.答案：A二、填空题8．当x∈(1，2)时，(x －1)2＜log a x 恒成立，则a 的取值范围为________．解析：在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象，若y ＝log a x 过(2，1)，则log a 2＝1，∴a ＝2.结合图形，若使x∈(1，2)时，(x －1)2＜log a x 恒成立，则1＜a≤2.答案：(1，2]三、解答题9．已知0＜x ＜32π，方程sin 2x ＋2sin xcos x ＋3cos 2x ＋a ＝0有3个实数根，求a 的取值范围．解析：原方程可化为2＋sin 2x ＋cos 2x ＋a ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－a －2. 令f(x)＝2sin(2x ＋π4)(0＜x ＜3π2)，则原方程有3个实根等价于y ＝f(x)与y ＝－a －2有3个交点．由图象可得－1＜－a －2≤1， ∴a 的取值范围为[－3，－1)．10．已知圆C 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点，且圆心在x 的正半轴上，且直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为2 2.(1)求圆C 的标准方程；(2)从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．解析：(1)在椭圆x 22＋y 2＝1中，c 2＝a 2－b 2＝1，所以c ＝1，于是右焦点为(1，0)．设圆心为(t ，0)(t ＞0)，圆心到直线的距离为d ＝|t －1|2.注意到弦长、半径、弦心距满足：⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＝r 2－d 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|t －1|22＋2＝(t －1)2，解之得t ＝3或t ＝－1(舍去)，半径r ＝3－1＝2，所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.(2)如图，不妨设P(x ，y)，由于|PM|2＝|PC|2－|CM|2，且|PM|＝|PO|，所以|PO|2＝|PC|2－|CM|2，也即|PC|2－|PO|2＝|CM|2＝4，于是(x －3)2＋y 2－(x 2＋y 2)＝4，即x ＝56，即点P 所在曲线方程为x ＝56.要使|PM|最小，由|PM|2＝|PC|2－4，只需|PC|最小，也即圆心到直线x ＝56的距离最小，可知点P 在x 轴上时满足题意，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，0.。

2015年高考数学(理)二轮专练：高档小题及答案解析(共2份试题)

B ．t ≥D ．t ≤的图象上的点(的图象大致为(
＝⎩⎨⎧x 2
－4x ＋3， x ≤0
－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－
10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b}，可以推测：
的图象，如图所示，则函数
－4<3a，整理得
已知不等式等价于不等式x＋y＋
∵双曲线C2：x2
3
－y2＝1，
3
，又AC
BC
＝3，∠ACB
1
)
PA⊥平面，所以BC⊥＝PM2＋MA2，
B.40 3
D．40
过抛物线y2＝ax的焦点
的边长为2，D
为中心向下转动到稳定位置的过程中，
该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为
k个1和它后面(2k
这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、
＝－
1
f（x）
得，f(x＋
的周期函数，又因为函数
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，变换目标函数为
＝x－z在y轴上的截距最大时．当
ADE转动的过程中，AD→)²(CA→＋AE→)
21。

千题百炼——高考数学100个热点问题：第12炼复合函数零点问题

千题百炼——高考数学100个热点问题：第12炼复合函数零点问题(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第12炼复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦ 解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。

例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x解：令()t f x =，则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =⇒=⇒=，则x ∈∅ 当()2222x t f x =⇒=⇒=，则1x = 综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数 6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。

2015年全国高考新课标卷Ⅱ(理科)答案及考点分析

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案和解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A【解析】试题分析：由已知得}12|{<<-=x x B ，故}0,1{-=B A ，故选A . 考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．考点：正、负相关．4．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B【解析】试题分析：设等比数列公比为q ，则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21,又因为a 1=3，解得q 2=2，所以a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42,故选B 考点：等比数列通项公式和性质． 5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【答案】D【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 17．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】试题分析：由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，即AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =，故选C ．考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．14 【答案】B【解析】试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．考点：程序框图．9．已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B .64π C .144π D .256π 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（）DPCx【答案】B【解析】试题分析：由已知得，当P 在BC 边上运动时，即40π≤≤x 时，x x PB PA tan 4tan 2++=+；当P 在CD 边上运动时，即2,434πππ≠≤≤x x 时，1)1tan 1(1)1tan 1(22++++-=+xx PB PA ，当2π=x 时，22=+PB PA ；当点P 在AD 边上运动时，即ππ≤≤x 43时，x x PB PA tan 4tan 2-+=+，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2π=x 对称，且)2()4(ππf f >，且轨迹非线性，故选B 。

2015江苏高考函数的零点复习

大方向教育个性化辅导教案教师：徐琨学生：张杰学科：数学时间：课题（课型）函数图像、函数与方程教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练一、知识讲解考点/易错点1函数图像及其变换（1）平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位 0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位（2）伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸（3）对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象（右翻左） ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（下翻上）考点/易错点2方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3、零点存在定理：如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根.4、函数零点的求法：判断函数)(x f y =零点个数的方法：(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、例题精析【例题1】已知函数()|lg |F x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是【例题2】若方程0xa x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是【例题2】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧--=x x xx f 2lg )(2)0()0(≤>x x ，若关于x 的函数+=)(22x f y 1)(2+x bf 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是____________．【例题4】已知函数f(x)＝－x 2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e 2x(x>0)．(1)若y ＝g(x)－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．【例题5】已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则函数f(x)＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为【例题6】已知函数f(x)＝32,2(1),2x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．【例题7】函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式()cos f x x<0的解集为________．【例题8】已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)等于________．【例题9】偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0,9]上解的个数是【例题10】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．【例题11】函数y ＝f(x)的图像如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围为课后作业1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x|－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 2．（2012·福建高考）对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a≤b ，b 2－ab ，a>b.设f(x)＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．3若定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且x ∈[－1,1]时，f(x)＝1－x 2，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，0，x ＝0，－1x ，x<0，则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]上的解的个数为4.若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则函数y ＝f(x)－log 3|x|的零点个数是5.定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x 18，若函数y ＝f (x )与函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，则a 的取值范围是________．6．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．7.已知函数f (x )对任意的x ∈R 满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1.若f (x )有4个零点，则实数a 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，(1)g [f (1)]＝________；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0的实数根的个数有4个，则a 的取值范围是________．9.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩，则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为＿＿＿＿＿。

2015届高考数学必会题型专题3《函数与导数》第12练

第12练函数的零点——关键抓住破题题眼题型一函数零点所在区间问题例1 函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是(n ，n ＋1)，则n ＝________.破题切入点确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间．答案 2解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数的定义域为(1，＋∞)．当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点．f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83，因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故 ln e<ln 8，即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0，根据零点存在性定理，可知函数f (x )在(2,3)上必存在零点．又由复合函数的单调性判断方法可知f (x )在(1，＋∞)单调递减，故n ＝2. 题型二函数零点个数问题例2 已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数为________．破题切入点由条件推出f (x )是周期等于2的周期函数，且关于直线x ＝1对称．根据f (12)＝0，可得f (32)＝0，从而得到函数f (x )在一个周期内的零点个数，最后得到f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数．答案 2 014解析由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2.由f (x )＝f (－x ＋2)，可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数为2 014. 题型三由函数零点求参数范围问题例3 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．破题切入点由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决．答案 25<a <23解析由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2. 由ax ＋2a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋2a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ，由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)，所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23.总结提高 (1)确定零点所在区间主要依据就是零点存在性定理，而函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间两端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件而不是必要条件，所以在判断函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理．(2)函数零点个数判断问题可直接解方程f (x )＝0，方程的根的个数就是函数零点的个数，对于无法求解的函数应根据函数的单调性与函数值的符号变化来确定其零点的个数．(3)分段函数与零点的结合是比较新颖的一类问题，解决此类问题需注意两个方面：一是分段函数中的每个解析式所对应自变量的取值范围，解方程之后要注意检验根是否在所给定的取值范围中；二是灵活利用函数性质确定零点的个数，灵活利用特殊函数值的符号判断零点所在的范围．1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________．答案 5解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________．答案 2解析 (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为________．答案 1－2a解析当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图．函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≤0，ln (x 2－x ＋1)，x >0，则函数的零点个数为________．答案 2解析当x >0时，由f (x )＝0，即ln(x 2－x ＋1)＝0，得x 2－x ＋1＝1，解得x ＝0(舍去)或x ＝1. 当x ≤0时，f (x )＝e x －x －2，f ′(x )＝e x －1≤0，所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递减．而f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (－2)＝e －2－(－2)－2＝e －2>0，故函数f (x )在(－2,0)上有且只有一个零点．综上，函数f (x )有两个零点．5．(2013·天津改编)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为________．答案 2解析当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，综上有两个零点．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是________．①当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点； ②当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点； ③无论k 为何值，均有2个零点； ④无论k 为何值，均有4个零点．答案 ②解析当k >0时，f (f (x ))＝－1，综合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k )或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4. 此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.故②正确．7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <30，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 8．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．答案 2解析方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点．9．(2014·连云港模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3， f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.10．(2014·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 1<a <2解析画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2. 11.已知函数f (x )＝x (x 2－ax －3)．(1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在区间[1,4]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝x (x 2－ax －3)， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3.∵f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立．分离参数得a ≤32(x －1x )在[1，＋∞)上恒成立．∵当x ≥1时，32(x －1x )≥32(1－1)＝0，∴a ≤0.即a 的取值范围是(－∞，0]．(2)依题意得f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0， ∴a ＝4，∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 在[1,4]∴f (x )在区间[1,4]上的最大值是f (1)＝－6.(3)函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 恰有3个不相等的实根．显然x ＝0是其中的一个根，∴方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零的不相等的实根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－3－b ≠0， ∴b >－7且b ≠－3.∴存在满足条件的b ，且b 的取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．12．(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. (1)解由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理，g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0，有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2<a <1.所以函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2<a <1.。

2015年高考数学导数真题及答案

遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通
过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．
2.【2015 高考陕西，理 12】
对二次函数 f (x) ax2 bx c （ a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅
有一个结论是错误的，则错误的结论是（）
则 h' (x) f ' (x) 1 0 ，所以函数 h(x) 在 R 上单调递增，且 1 0 ，所以 h( 1 ) h(0) ，
k
k
即 f ( 1 ) 1 1， f ( 1 ) 1 1，选项 A,B 无法判断，故选 C．
kk
kk
【考点定位】函数与导数．
【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若
3.【2015 高考新课标 2，理 12】
设函数 f ' (x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时， xf ' (x) f (x) 0 ，
则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是（）源自A． (, 1) (0,1)
B． (1, 0) (1, )
2
为该抛物线过点 5, 2 ，所以 2 p 2 52 ，解得 p 25 ，所以 x2 25 y ，即 y 2 x2 ，所
4
2
25
以当前最大流量是
5 5
2
2 25
x2
dx
2x
2 75
x3
5 5
2
5
2 75
53
2 5
2 75
53
40 3
，故
原始的最大流量与当前最大流量的比值是

2015届高考数学二轮专题检测：12函数的零点——关键抓住破题题眼

12 函数的零点——关键抓住破题题眼1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________．答案 5解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________．答案 2解析 (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为________．答案 1－2a解析当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图．函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≤0，ln (x 2－x ＋1)，x >0，则函数的零点个数为________．答案 2解析当x >0时，由f (x )＝0，即ln(x 2－x ＋1)＝0，得x 2－x ＋1＝1，解得x ＝0(舍去)或x ＝1. 当x ≤0时，f (x )＝e x －x －2，f ′(x )＝e x －1≤0，所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递减．而f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (－2)＝e －2－(－2)－2＝e －2>0，故函数f (x )在(－2,0)上有且只有一个零点．综上，函数f (x )有两个零点．5．(2013·天津改编)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为________．答案 2解析当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，综上有两个零点．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是________．①当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点； ②当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点； ③无论k 为何值，均有2个零点；④无论k 为何值，均有4个零点．答案 ②解析当k >0时，f (f (x ))＝－1，综合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k )或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4. 此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.故②正确．7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <30，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 8．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．答案 2解析方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点．9．(2014·连云港模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3， f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 1<a <2解析画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－axy ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2. 11．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2.(1)若函数g (x )＝f (x )－ax 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，若a >1，h (x )＝e 3x －3a e x ，x ∈[0，ln 2]，求h (x )的极小值；(3)设F (x )＝2f (x )－3x 2－kx (k ∈R )，若函数F (x )存在两个零点m ，n (0<m <n )，且2x 0＝m ＋n .问：函数F (x )在点(x 0，F (x 0))处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．解 (1)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ，g ′(x )＝1x ＋2x －a .由题意，知g ′(x )≥0在x ∈(0，＋∞)内恒成立，即a ≤(2x ＋1x )min .又x >0,2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立．故(2x ＋1x )min ＝22，所以a ≤2 2.(2)由(1)知，1<a ≤2 2.令e x ＝t ，则t ∈[1,2]，则h (t )＝t 3－3at . h ′(t )＝3t 2－3a ＝3(t －a )(t ＋a )．由h ′(t )＝0，得t ＝a 或t ＝－a (舍去)，∵a ∈(1,22]，∴a ∈[1,234]，①若1<t ≤a ，则h ′(t )<0，h (t )单调递减； ②若a <t ≤2，则h ′(t )>0，h (t )单调递增．故当t ＝a 时，h (t )取得极小值，极小值为h (a )＝a a －3a a ＝－2a a . (3)设F (x )在(x 0，F (x 0))的切线平行于x 轴，其中F (x )＝2ln x －x 2－kx .结合题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2ln m －m 2－km ＝0， ①2ln n －n 2－kn ＝0， ②m ＋n ＝2x 0， ③2x 0－2x 0－k ＝0， ④①－②得2ln mn －(m ＋n )(m －n )＝k (m －n )．所以k ＝2lnm nm －n －2x 0.由④得k ＝2x 0－2x 0.所以ln m n ＝2(m －n )m ＋n ＝2(m n －1)m n＋1.⑤设u ＝mn ∈(0,1)，⑤式变为ln u －2(u －1)u ＋1＝0(u ∈(0,1))．设y ＝ln u －2(u －1)u ＋1(u ∈(0,1))，y ′＝1u －2(u ＋1)－2(u －1)(u ＋1)2＝(u ＋1)2－4u u (u ＋1)2 ＝(u －1)2u (u ＋1)2>0，所以函数y ＝ln u －2(u －1)u ＋1在(0,1)上单调递增，因此，y <y |u ＝1＝0，即ln u －2(u －1)u ＋1<0.也就是，ln m n <2(m n－1)mn ＋1，此式与⑤矛盾．所以F (x )在(x 0，F (x 0))处的切线不能平行于x 轴．12．(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. (1)解由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理，g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f(1)＝0，有a＋b＝e－1<2，有g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.解得e－2<a<1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e－2<a<1.。

例谈高考数学题的函数零点问题.docx

例谈高考数学题的函数零点问题梁关化， 2015，11，12高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变为大题，甚至是难题。

例如，今年全国卷（ 1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。

函数零点问题，归纳起来，常有如下几种类型：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、讨论是否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数解析式中参数取值范围。

解决零点问题，首先要掌握好零点概念的三个等价形式：（ 1）函数值为零的自变量值；（ 2）方程f(x)=0 的解（也可以把方程 f(x)=0 变形为 g(x)=h(x), 那么两函数 g(x) 和 h(x) 的图象的交点的横坐标即为方程 f(x)=0 的解）；（ 3）函数图象与 x 轴的交点的横坐标。

因此，零点与方程知识，与数形结合的数学思想紧密相关。

其次，还需要掌握好零点存在性的判断定理；此外，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单调性，极值，最值的方法。

求函数解析式中参数取值范围问题，往往还需要分类讨论的数学思想。

下面一起分析几道高考题或高考题的改编题。

例1（广东2015 年高考数学理科题）设 a 1 ，函数 f ( x )(1x 2)e x a(1)求 f ( x )的单调区间；(2)证明 f ( x )在(,) 上仅有一个零点；(3)若曲线 y f ( x )在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m,n）处的切线与直线OP 平行，（ O 是坐标原点），证明：m 3 a21.e解：（ 1）解略。

（答案：f(x)的单调递增区间为(,) ）（2）由（ 1）得f(x)在区间(,) 上单调递增，又f (0) 1 a0(a1), f ( a1)ae a 1a a(e a 11) 0 ，从而有 f (0) f (a1)0 ，x0(0, a1) 使得 f ( x0)0 ，f ( x )在( ,) 上仅有一个零点。

( ,) 单调且在其一个（说明：这里用到零点存在性的判断定理。

江苏省苏州市第五中学2015届高考数学专题讲练二函数图象与函数的零点问题(无答案)

高三数学专题讲座之二函数图象与函数的零点问题命题趋势与复习对策略：近几年的高考题中，对函数的考查主要是围绕着函数的图象与性质展开，利用函数的图象解决与函数相关的问题，是考试的重点，它体现了数形结合思想方法的应用，因而要重视对这方面的复习和训练。

而函数的零点问题是函数综合问题体现，利用函数图象解决函数零点问题是主要方法。

复习要点:理解函数的零点的意义，能运用数形结合、值域法等解决函数的零点问题。

考向一：函数的图象在解决函数性质问题中的应用1．已知函数()()22403f x ax ax a =++<<，若1212,1x x x x a <+=-，则()()12,f x f x 的大小关系是_______.2．设函数()()(52,20,log ,02x x f x g x x x ⎧-≤<⎪=⎨-+<≤⎪⎩，若()f x 是奇函数，则当02x <≤时，()g x 的最大值是3．已知函数()()f x x x ax =-∈R ，若函数()()21g x f x x =++在R 上恒为增函数，则实数a 的取值范围为_____________4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x =，若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()f x a x +≥恒成立，则a 的最大值等于5．已知函数()2,1,1, 1.x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是6．已知函数()(),f x x a x a R =-∈。

（1）若4a =，画出函数()f x 的大致图象，并直接写出函数()f x 的单调增区间；（1）若函数()f x 在[]0,2上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若04a <<，求函数()f x 在[]1,2-上的最值。

专题07 利用导函数研究函数零点问题 (解析版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题07利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..........................................................................................................1二、典型题型..........................................................................................................2题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题...................................................2题型二：证明唯一零点问题..............................................................................6题型三：根据零点（根）的个数求参数...........................................................9三、专项训练.. (14)一、必备秘籍2、函数零点的判定如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是()0f x =的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点3、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．4、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()a g x =)后，将原问题转化为()y g x =的值域(最值)问题或转化为直线y a =与()y g x =的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．二、典型题型题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题由图象可得，当31ea <-时，()y f x =与y a =当31ea =-或0a ≥时，()y f x =当310ea -<<时，()y f x =与y 题型二：证明唯一零点问题1．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()y f x '=为()y f x =的导数．题型三：根据零点（根）的个数求参数()()00,h x h h ∴==极大值又()h x 的图象与y a =4(,)(0,)3a ∴∈-∞-⋃∞.4．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）()∴要使y k =与函数()23h x x x=-只需331k <--，k ∴的取值范围是5．（2023下·浙江衢州·高二统考期末）已知函数(1)若过点()0,m 作函数()f x 的切线有且仅有两条，求(),0k ∈-∞由题意，直线y m =与()g x 的图象有且仅有两个交点，所以()242e m g ==.（2）由题可得x x kx b +=有唯一解，即三、专项训练一、单选题1．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）直线0x y +=与函数2ln y x x =-的图象公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3结合()y g x =的图象可知：若所以常数k 的取值范围是故选：D.二、填空题4．（2023上·江苏常州·高三统考期中）若关于故答案为：(0,)+∞5．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数由()()20f x af x +<得出(f 当0a =时，显然不成立.但0a >时，解得()a f x -<即23e 2e a <≤时，唯一整数解是当a<0时，0()f x a <<-，使得不等式只有唯一整数解，此时三、问答题7．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知函数(1)若函数()y f x =在[1,x ∞∈+(2)若函数()y f x =的图象与y 【答案】(1)(],7-∞86四、证明题。

2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：函数与导数第12练

第12练函数的零点——关键抓住破题题眼[内容精要] 该部分内容是近几年高考命题的一个热点，其主要考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围问题，考查形式多为选择题或填空题．题型一函数零点所在区间问题例1 函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)破题切入点确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间．答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数的定义域为(1，＋∞)．当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点． f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83，因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故 ln e<ln 8，即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0， f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.根据零点存在性定理，可知函数f (x )在(2,3)上必存在零点，故选B. 题型二函数零点个数问题例2 已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数为( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．2 013 D ．2 014破题切入点由条件推出f (x )是周期等于2的周期函数，且关于直线x ＝1对称．根据f (12)＝0，可得f (32)＝0，从而得到函数f (x )在一个周期内的零点个数，最后得到f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数．答案 D解析由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2.由f (x )＝f (－x ＋2)，可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 014]内根的个数为2 014，故选D. 题型三由函数零点求参数范围问题例3 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．破题切入点由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决．答案 25<a <23解析由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2. 由ax ＋2a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋2a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ，由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)，所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23.总结提高 (1)确定零点所在区间主要依据就是零点存在性定理，而函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间两端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件而不是必要条件，所以在判断函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理． (2)函数零点个数判断问题可直接解方程f (x )＝0，方程的根的个数就是函数零点的个数，对于无法求解的函数应根据函数的单调性与函数值的符号变化来确定其零点的个数．(3)分段函数与零点的结合是比较新颖的一类问题，解决此类问题需注意两个方面：一是分段函数中的每个解析式所对应自变量的取值范围，解方程之后要注意检验根是否在所给定的取值范围中；二是灵活利用函数性质确定零点的个数，灵活利用特殊函数值的符号判断零点所在的范围．1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2] D ．[2,4]答案 A解析 f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，所以sin 5<0，故f (2)<0，则函数在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0，而f (2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．选A.3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A ．1－2a B ．2a －1 C ．1－2－aD ．2－a －1答案 A解析当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图．函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≤0，ln (x 2－x ＋1)，x >0，则函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析当x >0时，由f (x )＝0，即ln(x 2－x ＋1)＝0，得x 2－x ＋1＝1，解得x ＝0(舍去)或x ＝1. 当x ≤0时，f (x )＝e x －x －2，f ′(x )＝e x －1≤0，所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递减．而f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (－2)＝e －2－(－2)－2＝e －2>0，故函数f (x )在(－2,0)上有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有两个零点．5．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈(0，23)时，f ′(x )<0；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f (23)＝59>0，则f (x )的大致图象如图1所示．不符合题意，排除A 、C. 图1当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈(－∞，－32)时，f ′(x )<0，x ∈(－32，0)时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f (－32)＝－54，则f (x )的大致图象如图2所示．图2不符合题意，排除D.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点答案 B解析当k >0时，f (f (x ))＝－1，综合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k )或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4. 此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.故选B.7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <30，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 8．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．答案 2解析方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点．9．已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 1<a <2解析画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－axy ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2. 11．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2.(1)若函数g (x )＝f (x )－ax 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，若a >1，h (x )＝e 3x －3a e x ，x ∈[0，ln 2]，求h (x )的极小值；(3)设F (x )＝2f (x )－3x 2－kx (k ∈R )，若函数F (x )存在两个零点m ，n (0<m <n )，且2x 0＝m ＋n .问：函数F (x )在点(x 0，F (x 0))处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．解 (1)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ，g ′(x )＝1x＋2x －a .由题意，知g ′(x )≥0在x ∈(0，＋∞)内恒成立，即a ≤(2x ＋1x)min .又x >0,2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立．故(2x ＋1x )min ＝22，所以a ≤2 2.(2)由(1)知，1<a ≤2 2.令e x ＝t ，则t ∈[1,2]，则h (t )＝t 3－3at . h ′(t )＝3t 2－3a ＝3(t －a )(t ＋a )．由h ′(t )＝0，得t ＝a 或t ＝－a (舍去)， ∵a ∈(1,22]，∴a ∈[1,234]，①若1<t ≤a ，则h ′(t )<0，h (t )单调递减； ②若a <t ≤2，则h ′(t )>0，h (t )单调递增．故当t ＝a 时，h (t )取得极小值，极小值为h (a )＝a a －3a a ＝－2a a . (3)设F (x )在(x 0，F (x 0))的切线平行于x 轴，其中F (x )＝2ln x －x 2－kx .结合题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2ln m －m 2－km ＝0， ①2ln n －n 2－kn ＝0， ②m ＋n ＝2x 0， ③2x 0－2x 0－k ＝0， ④①－②得2ln mn －(m ＋n )(m －n )＝k (m －n )．所以k ＝2lnm nm －n －2x 0.由④得k ＝2x 0－2x 0.所以ln m n ＝2(m －n )m ＋n ＝2(m n －1)m n＋1.⑤设u ＝mn ∈(0,1)，⑤式变为ln u －2(u －1)u ＋1＝0(u ∈(0,1))．设y ＝ln u －2(u －1)u ＋1(u ∈(0,1))，y ′＝1u －2(u ＋1)－2(u －1)(u ＋1)2＝(u ＋1)2－4u u (u ＋1)2＝(u －1)2u (u ＋1)2>0，所以函数y ＝ln u －2(u －1)u ＋1在(0,1)上单调递增，因此，y <y |u ＝1＝0，即ln u －2(u －1)u ＋1<0. 也就是，ln m n <2(m n－1)mn ＋1，此式与⑤矛盾．所以F (x )在(x 0，F (x 0))处的切线不能平行于x 轴．12．(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. (1)解由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)证明设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理，g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0，有a＋b＝e－1<2，有g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.解得e－2<a<1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e－2<a<1.。

2015届高考数学文二轮专题训练专题二第2讲函数的应用

第2讲函数的应用考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值X围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点)(的零点所在的区间是2x－1)＋x ln(＝)x (f 函数(1) 1例 1)－e ，(1．1) B ，12(．A C ．(e －1,2) D ．(2，e)则不⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈12，＋∞，＝)x (f 时，0≥x 为偶函数，当)x (f 已知)·某某(2)(2014)(的解集为12≤1)－x (f 等式 ]23，14[∪]13，－34－[．]B 74，43[∪]23，14[．A ]34，13[∪]13，－34－[．]D 74，43[∪]34，13[．C 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．答案 (1)C (2)A，1>0－ln 3＝(2)f ，<02e －1－1＝1)－(e f ，2<0－ln 2＝(1)f ，4<0－32ln ＝)12(f 因为(1) 解析故零点在区间(e －1,2)内．(2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．设与曲线交.12＝y 轴左边的图象，再画直线y 轴对称，∴可画出y 是偶函数，∴图象关于)x (f ∵于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标．，]12，[0∈x ，∵12＝x πcos 令 .13＝x ，∴π3＝x ∴π .34＝B x ，13＝A x ，∴34＝x ，∴12＝1－x 2令 .13＝－D x ，34＝－C x 与曲线另外两个交点的横坐标为12＝y 根据对称性可知直线上及其下方的图象满足，12＝y ，则在直线12≤1)－x (f ∵ ，13≤－1－x ≤34或－34≤1－x ≤13∴ .23≤x ≤14或74≤x ≤43∴ 思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．)(上的零点个数是]π[0,2在)x (f ，则x cos －x )14(＝)x (f 已知函数(1) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4)(的值满足)0x (f ，则a <0x 0<的零点，若x 12log －x 2＝)x (f 是函数a 已知(2) )>00x (f ．0 B ＝)0x (f ．A 的符号不确定)0x (f ．)<0 D 0x (f ．C 答案 (1)C (2)C上的交点]π[0,2的图象在x cos ＝y 和x )14(＝y 上的零点个数就是函数]π[0,2在)x (f (1) 解析 C.个，故选3上的交点有]π[0,2的图象在x cos ＝y 和x )14(＝y 个数，而函数＝)a (f 的零点，即x 12log －x 2＝)x (f 是函数a 上是增函数，又)，＋∞(0在x 12log －x 2＝)x (f ∵(2))<0.0x (f 时，a <0x 0<，∴当0 热点二函数的零点与参数的X 围，)x ＋(4⊗1)－2x (＝)x (f 设⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b<1.＝b ⊗a 定义运算“⊗”：b ，a 对任意实数 2例若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值X 围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)思维启迪先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的X 围．答案 D＝)x (f ，所以，3≥x 或2≤－x ，得：1≥)x ＋(4－1－2x 解不等式：解析⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x2－1，x ∈－2，3.函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华已知函数的零点个数求解参数X 围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．，若方程1,1)－(的单调增区间为0)≠a (cx ＋2bx ＋3ax ＝)x (f 上的函数R 定义在．________围是X 的取值a 个不同的实根，则实数6恰有0＝c ＋)x (bf 2＋2))x (f (a 3 12－<a 答案的根，0＝)x (′f 是1和1，∴－1,1)－(的单调增区间为0)≠a (cx ＋2bx ＋3ax ＝)x (f ∵函数解析，c ＋bx 2＋2ax 3＝)x (′f ∵ ，a 3＝－c ，0＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1＝－2b3a －1×1＝c 3a∴ ，ax 3－3ax ＝)x (f ∴ ，0＝c ＋)x (bf 2＋2))x (f (a 3∵ ，1＝±)x (f ，∴1＝)x (2f ，∴0＝a 3－2))x (f (a 3∴ .12－<a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3a>1－a ＋3a<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ f 1>1f －1<－1∴ 热点三函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境，其中[0,24]∈x ，23＋a 2＋|a －xx2＋1|＝)x (f 的关系为)时(x 与时刻)x (f 综合放射性污染指数的最大值为当天的综合放射性污染指数，)x (f ，若用每天]12，[0∈a 是与气象有关的参数，且a 并记作M (a )．围；X 的取值t ，求[0,24]∈x ，xx2＋1＝t 令(1) (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．写成分段函数后求)t (g ，再把函数23＋a 2＋|a －t |＝)t (g 转化成)x (f 利用换元法把函数(2)M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；，)时取等号1＝x 当2(≥1x＋x 时，24≤x 0<当，]12，(0∈1x ＋1x ＝xx2＋1＝t ∴ ．]12，[0围是X 的取值t 即，23＋a 2＋|a －t |＝)t (g 时，记]12，[0∈a 当(2) ⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a<t ≤12.＝)t (g 则上单调递增，]12，a (上单调递减，在]a ，[0在)t (g ∵，76＋a ＝)12(g ，23＋a 3＝(0)g 且．)14－a 2(＝)12(g －(0)g ⎩⎪⎨⎪⎧ g 12，0≤a ≤14，g0，14<a ≤12.＝)a (M 故 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.＝)a (M 即显然成立；<276＋a ＝)a (M 时，14≤a ≤0当，49≤a <14得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，由 2.≤)a (M 时，49≤a ≤0∴当且仅当时超标．12≤a <49时不超标，当49≤a ≤0故当思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x20<x ≤10，108x －1 0003x2 x>10.＝)x (R 万元，且 (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解 (1)当0<x ≤10时，；10－x330－x 8.1＝)x 2.7＋(10－)x (xR ＝W .x 2.7－1 0003x－98＝)x 2.7＋(10－)x (xR ＝W 时，>10x 当 ⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x330－10 0<x ≤10，98－1 0003x －2.7x x>10.＝W ∴ ，0＝x210－8.1′＝W 时，由10≤x 0<①当(2) 得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值，38.6.＝10－39·130－9×8.1＝max W 且 ②当x >10时，，38＝1 0003x·2.7x 2－98≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x －98＝W ，38＝W 时，1009＝x ，即x 2.7＝1 0003x 当且仅当 38.取最大值W ，时1009＝x 故当综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点．(2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言反馈检验作答⇒求解数学应用⇒建模数学语言⇒与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟m－mx －)x (f ＝)x (g 且⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈－1，0]，x ， x ∈0，1]，＝)x (f 已知函数)·某某(2014．1在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2C. 答案 A解析作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝y 直线(之间运动时两图象有两个不同的交点AC 轴和x 在1)＋x (m ＝y ，可知当直线12＝有两个不同的零点．当直线)x (g ，12≤m 0<，此时)轴重合x 重合但不能与AC 可与1)＋x (m y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立，＝2)＋m(m4－23)＋m(2＝Δ，由＝2＋m＋x3)＋m(2＋2mx得⎩⎪⎨⎪⎧y＝1x＋1－3，y＝m x＋1，直线(之间运动时两图象有两个不同的交点BC在切线和1)＋x(m＝y，可知当94＝－m解得有两个不同的零点．综)x(g，2≤－m<94，此时－)重合但不能与切线重合BC可与1)＋x(m＝yA.，故选]12，(0∪2]，－94－(围为X的取值m上，2．(2014·)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特是常c、b、a(c＋bt＋2at＝p满足函数关系)单位：分钟(t与加工时间p定条件下，可食用率数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟答案B 解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方⎩⎪⎨⎪⎧a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.0.解得⎩⎪⎨⎪⎧7a＋b＝0.1，9a＋b＝－0.3，化简得c消去⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，程组得＝t ，所以当1316＋2)154－t (15＝－2－4516＋)22516＋t 152－2t (15＝－2.0－t 1.5＋2t 0.2＝－p 所以分钟．3.75取得最大值，即最佳加工时间为p 时，3.75＝154押题精练个．________的零点有1]＋)x (f [f ＝y 则函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log2x ，x>0，＝)x (f ．已知函数1 答案 4解析当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝或1＝－x 时，解得0＝)x (f ，即1＝1＋)x (f ；当14＝x 或3＝－x 时，解得2＝－)x (f ，即1－x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．．________围是X 的取值a 有两个零点，则实数a －x e x ＝)x (f ．函数2 0)，1e－( 答案，1＝－x ，得0＝x 1)e ＋x (＝)x (′f 令解析则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值，<0a ，则)>0x (f →－∞时，x ，又1e－>a ，∴<0a －1－e ，即－1)<0－(f．0)，1e－(∈a ∴ 3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：．则当每台机器运转)*N ∈x 25(－x 18＋2x ＝－y 的关系为)单位：年(x 与机器运转时间)万元________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8－18≤yx，故>0x，而)25x＋x(－18＝yx年的年平均利润为x由题意知每台机器运转解析万元．8时，年平均利润最大，最大值为5＝x，当且仅当8＝252(推荐时间：60分钟)一、选择题)(的零点所在的区间为1x－x2log＝)x(f．函数11)，12(．) B12，(0．AC．(1,2) D．(2,3)答案C 解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．，3<0＝－2－1＝－112－122log＝)12(f，1<0－＝11－12log＝(1)f，>012＝12－1＝12－22log＝(2)f，>023＝13－>113－32log＝(3)f即f(1)·f(2)<0，内．(1,2)的零点在区间1x－x2log＝)x(f∴函数)(，下列区间中，可能存在零点的是1x－1ln＋2x＝)x(f．函数2A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)答案 B，，且为递减函数)，＋∞(1的定义域为)x (f ，函数1)－x ln(－2x＝1x －1ln ＋2x ＝)x (f 解析上没有零点；(1,2)，故函数在)>0x (f ，所以>02x，1)<0－x ln(时，<2x 1<当，2－ln 83＝2－3ln 23＝ln 2－23＝(3)f ，1>0＝ln 1－22＝(2)f ，8ln e<ln，故>e 8，所以2.828≈22＝8因为存在零点．(2,3)在)x (f 故ln 3<0.－12＝ln 3－24＝(4)f ，(3)<0f ，即2<ln 8，所以ln 8121<即 3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.X的取值m 有三个不同的实根，则实数m ＝)x (f 若方程⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x2－x ，x>0，＝)x (f 设函数．4围为( )1]，12－[．1] B ，12－[．A 0]，14－(．0) D ，14－(．C 答案 C解析作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．有三个不同的零点，则－m ＝)x (f ，所以要使函数14≥－14－2)12－x (＝x －2x ＝)x (f 时，>0x 当．0)，14－(围为X 的取值m ，即<0m <14 ，1l ∥l 之间，2l ，1l 夹在两平行线ABC 与等边三角形O 的半圆1如图，半径为)·某某(2013．5<x (0<x 的长为两点．设弧D 、E 两边相交于ABC 两点，与三角形G 、F 与半圆相交于l )(的图象大致是)x (f ＝y ，则函数2l 平行移动到1l 从l ，若CD ＋BC ＋EB ＝y ，)π答案 D解析如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .，x ＝FOG ，所以∠x 的长度为因为弧，x2cos ＝OM ＝AN 则，x 2cos ＝AE AB ＝AN AH 所以，x 2cos 233＝AE 则 .x2cos 233－233＝EB ∴ 233＋x2cos 433－433＝CD ＋BC ＋EB ＝y ∴ ．)π<x (0<32＋x2cos 433＝－6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：在区间)x (g ＝)x (f ，则方程2x ＋5x ＋2＝)x (g ，)x (f ＝2)＋x (f 且⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2，x ∈[0，1，2－x2，x ∈[－1，0，＝)x (f [－5,1]上的所有实根之和为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8答案 C，)x (f ，则函数2的周期为)x (f ，函数1x ＋2＋2＝2x ＋2＋1x ＋2＝2x ＋5x ＋2＝)x (g 由题意知解析g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7.二、填空题．________围是X 的取值a 有两个不同的零点，则实数⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x>0＝)x (f ．若函数7 答案 (0,1]解析当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，有一个零点，a －x 2＝)x (f 函数，x 2＝a 得0＝)x (f 令，1≤a 0<，所以1＝02≤x 0<2因为所以实数a 的取值X 围是0<a ≤1.X的取值x 成立的2≤)x (f 则使得⎩⎪⎨⎪⎧ex －1， x<1，， x ≥1，＝)x (f 设函数)·课标全国Ⅰ(2014．8围是________．答案 (－∞，8]，2≤1＝0<e 1－x e ，1<0－x 时，<1x 当解析 ∴当x <1时满足f (x )≤2.8.≤x ≤8,1＝32≤x ，2≤时，1≥x 当综上可知x ∈(－∞，8]．．________围为X的取值m有三个零点，则实数|x|m－1x＋2＝)x(f．已知函数9答案m>1有且仅有三个实根．|x|m＝1x＋2有三个零点等价于方程)x(f函数解析应满足：m的图象，如图所示，由图象可知2)＋x|(x|＝y，作函数2)＋x|(x|＝1m⇔|x|m＝1x＋2∵，<11m0<故m>1.“囧”字，故生动地的函数因其图象类似于汉字中的>0)b，>0a(b|x|－a＝y．我们把形如10称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.答案4⎩⎪⎨⎪⎧1x－1x≥0且x≠1，－1x＋1x<0且x≠－1.＝1|x|－1＝y时，1＝b，1＝a由题意知，当解析在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．三、解答题．0)≠a 1(－b ＋bx ＋2ax ＝)x (f ．设函数11 (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围．，3－x 2－2x ＝)x (f 时，2＝－b ，1＝a 当(1) 解令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.有两个不同实根．0＝1－b ＋bx ＋2ax ＝)x (f 依题意，(2) 恒成立，1)>0－b (a 4－2b ∴ 恒成立，>0a 4＋ab 4－2b ，R ∈b 即对于任意 <1.a 0<，所以<0a －2a ⇒)<0a 4(4－2)a 4－(所以有因此实数a 的取值X 围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b ，为获得最大的经济效34万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的益，该公司应裁员多少人？解设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则.ab 2＋]x 70)－a 2(－2x [b100＝－bx 0.4－)bx 0.01＋b )(x －a (2＝y ，a 2·34≥x －a 2依题意得.a2≤x 0<所以又140<2a <420，即70<a <210.取到最大值；y ，70－a ＝x 时，140≤a 70<，即a2≤70－a 0<当(1) 取到最大值．y ，a2＝x 时，<210a 140<，即a 270>－a 当(2) 故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大，人，a2时，公司应裁员<210a 140<当经济效益取到最大．上恒有一个零1,3]－[在区间1－a ＋x 2)－a (3＋2x ＝)x (f ，使函数a ．是否存在这样的实数13点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由．，>089＋2)89－a 9(＝8＋a 16－2a 9＝1)－a 4(－22)－a (3＝Δ，则0＝)x (f 令解即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，1.≥a 或15≤－a ∴ .x ＋2x ＝)x (f ，所以1＝a 时，0＝1)－(f 当(1)检验： 1.＝－x 或0＝x ，得0＝x ＋2x ，即0＝)x (f 令方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. .65－x 135－2x ＝)x (f ，此时15＝－a 时，0＝(3)f 当(2) ，0＝65－x 135－2x ，即0＝)x (f 令高考3.＝x 或25＝－x 解得 .15≠－a 上有两个实数根，不合题意，故1,3]－[方程在 >1.a 或15－<a 综上所述，。

2015届高考数学(二轮复习)专题检测函数性质在运用中的巧思妙解

8 函数性质在运用中的巧思妙解1．已知函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝13x ＋2 013－a ，则f (log 312)＝________. 答案 12 015×2 014解析由题意，可知函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝130＋2 013－a ＝0，解得a ＝12 014，所以当x ≥0时， f (x )＝13x ＋2 013－12 014. 所以f (log 32)＝13log 32＋2 013－12 014＝12 015－12 014＝－12 015×2 014. 从而f (log 312)＝f (－log 32) ＝－f (log 32)＝12 015×2 014. 2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________.答案 337解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335. 而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335＋2＝337.3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[－2－2，2＋2]，不等式f (x ＋t )≤2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析设x <0，则－x >0. f (－x )＝(－x )2，又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－x 2.∴f (x )在R 上为增函数，且2f (x )＝f (2x )．∴f (x ＋t )≤2f (x )＝f (2x )⇔x ＋t ≤2x 在[－2－2，2＋2]上恒成立，∵x ＋t ≤2x ⇔(2－1)x ≥t ，要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t⇒t ≤－2即可．4．(2013·天津改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析由题意知a >0，又log a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log a )，∵f (log 2a )＋f (log a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 5．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 14)·f (log 14)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 b >a >c解析因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称．所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 14＝2，从而0<ln 2<20.2<log 14，所以b >a >c .6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是______________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 8(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为________．答案 13解析当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )．由函数f (x )在R 上为偶函数，可得f (－2 013)＝f (2 013)，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)，f (2 014)＝f (4×503＋2)＝f (2)．而f (1)＝log 8(1＋1)＝log 82＝13， f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝－log 81＝0.所以f (－2 013)＋f (2 014)＝13. 8．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.9．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0－x 2－4x ，x <0 不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0－x 2－4x >x ，解得：x >5或－5<x <0.10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称；②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确． 11．设函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.(1)证明方法一设x 1<x 2，∴Δx ＝x 2－x 1>0，∴f (Δx )>1，∴f (x 2)＝f (x 1＋Δx )＝f (x 1)＋f (Δx )－1>f (x 1)，∴f (x )是R 上的增函数．方法二 ∵f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，∴f (0)＝1，∴f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1＝1，∴f (－x )＝2－f (x )．设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1＝f (x 2)＋2－f (x 1)－1＝f (x 2)－f (x 1)＋1>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是R 上的增函数．(2)解 f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3，∴f (3m 2－m －2)<3＝f (2)．又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <43. 12．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2－2)＋b (3－3)．∵2<2，a >0⇒a (2－2)<0，3<3，b >0⇒b (3－3)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 故a <0，b >0时，x ∈(log 1.5(－a2b )，＋∞)； a >0，b <0时，x ∈(－∞，log 1.5(－a 2b))．。

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12 函数的零点——关键抓住破题题眼1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________．答案 5解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________．答案 2解析 (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为________．答案 1－2a解析当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图．函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≤0，ln (x 2－x ＋1)，x >0，则函数的零点个数为________．答案 2解析当x >0时，由f (x )＝0，即ln(x 2－x ＋1)＝0，得x 2－x ＋1＝1，解得x ＝0(舍去)或x ＝1. 当x ≤0时，f (x )＝e x －x －2，f ′(x )＝e x －1≤0，所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递减．而f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (－2)＝e －2－(－2)－2＝e －2>0，故函数f (x )在(－2,0)上有且只有一个零点．综上，函数f (x )有两个零点．5．(2013·天津改编)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为________．答案 2解析当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，综上有两个零点．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是________．①当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点； ②当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点； ③无论k 为何值，均有2个零点；④无论k 为何值，均有4个零点．答案 ②解析当k >0时，f (f (x ))＝－1，综合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k )或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4. 此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.故②正确．7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <30，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 8．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．答案 2解析方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点．9．(2014·连云港模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3， f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 1<a <2解析画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－axy ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)，则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2. 11．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2.(1)若函数g (x )＝f (x )－ax 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，若a >1，h (x )＝e 3x －3a e x ，x ∈[0，ln 2]，求h (x )的极小值；(3)设F (x )＝2f (x )－3x 2－kx (k ∈R )，若函数F (x )存在两个零点m ，n (0<m <n )，且2x 0＝m ＋n .问：函数F (x )在点(x 0，F (x 0))处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．解 (1)g (x )＝f (x )－ax ＝ln x ＋x 2－ax ，g ′(x )＝1x ＋2x －a .由题意，知g ′(x )≥0在x ∈(0，＋∞)内恒成立，即a ≤(2x ＋1x )min .又x >0,2x ＋1x ≥22，当且仅当x ＝22时等号成立．故(2x ＋1x )min ＝22，所以a ≤2 2.(2)由(1)知，1<a ≤2 2.令e x ＝t ，则t ∈[1,2]，则h (t )＝t 3－3at . h ′(t )＝3t 2－3a ＝3(t －a )(t ＋a )．由h ′(t )＝0，得t ＝a 或t ＝－a (舍去)，∵a ∈(1,22]，∴a ∈[1,234]，①若1<t ≤a ，则h ′(t )<0，h (t )单调递减； ②若a <t ≤2，则h ′(t )>0，h (t )单调递增．故当t ＝a 时，h (t )取得极小值，极小值为h (a )＝a a －3a a ＝－2a a . (3)设F (x )在(x 0，F (x 0))的切线平行于x 轴，其中F (x )＝2ln x －x 2－kx .结合题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2ln m －m 2－km ＝0， ①2ln n －n 2－kn ＝0， ②m ＋n ＝2x 0， ③2x 0－2x 0－k ＝0， ④①－②得2ln mn －(m ＋n )(m －n )＝k (m －n )．所以k ＝2lnm nm －n －2x 0.由④得k ＝2x 0－2x 0.所以ln m n ＝2(m －n )m ＋n＝2(m n －1)m n＋1.⑤设u ＝mn ∈(0,1)，⑤式变为ln u －2(u －1)u ＋1＝0(u ∈(0,1))．设y ＝ln u －2(u －1)u ＋1(u ∈(0,1))，y ′＝1u －2(u ＋1)－2(u －1)(u ＋1)2＝(u ＋1)2－4u u (u ＋1)2＝(u －1)2u (u ＋1)2>0，所以函数y ＝ln u －2(u －1)u ＋1在(0,1)上单调递增，因此，y <y |u ＝1＝0，即ln u －2(u －1)u ＋1<0.也就是，ln m n <2(m n－1)mn ＋1，此式与⑤矛盾．所以F (x )在(x 0，F (x 0))处的切线不能平行于x 轴．12．(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. (1)解由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理，g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0，有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2<a <1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e－2<a<1.。