3.5(2)矩形的判定
证明矩形的判定定理过程
证明矩形的判定定理过程矩形的判定定理有多种证明方法，下面我将从几个不同的角度来解释这个定理的证明过程。
首先，我们可以从几何角度来证明矩形的判定定理。
根据矩形的定义，矩形是一个拥有四个直角的四边形。
因此，我们可以利用几何性质来证明一个四边形是矩形。
首先，我们可以证明四边形的对角线相等，即对角线AC和BD相等。
然后，我们可以证明四边形的对边平行，即AB平行于CD，AD平行于BC。
接着，我们证明四边形的任意一对相对边相等，即AB等于CD，AD等于BC。
最后，我们证明四边形的内角均为直角。
通过这些几何性质的证明，我们可以得出结论，如果一个四边形的对角线相等且对边平行且相等，那么这个四边形就是矩形。
其次，我们可以从代数角度来证明矩形的判定定理。
我们知道，矩形的对角线相等，可以利用坐标表示来证明。
假设矩形的顶点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），我们可以利用距离公式来证明对角线AC和BD的长度相等。
然后，我们可以利用斜率公式来证明对边AB和CD的斜率互为相反数，对边AD和BC的斜率互为相反数。
最后，我们可以证明AB平行于CD，AD平行于BC。
通过这些代数性质的证明，我们也可以得出结论，如果一个四边形满足对角线长度相等且对边斜率互为相反数，那么这个四边形就是矩形。
综上所述，矩形的判定定理可以从几何角度和代数角度进行证明。
无论是从几何角度还是代数角度来证明，都可以得出结论，如果一个四边形满足对角线相等且对边平行且相等，那么这个四边形就是矩形。
矩形的判定(二)教案(完整版)资料
矩形的判定(二)教案（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）矩形的判定（二）教学目的：使学生掌握矩形的判定定理，并用矩形知识解决有关问题．教学重点：矩形的判定方法．教学难点：矩形判定的应用教学过程：一复习提问1.什么叫平行四边形？什么叫矩形？2.矩形与平行四边形有什么区别与联系？二引入新课矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法．今天我们研究矩形有几个判定定理．大家都知道，矩形的特别之处在于它的角是直角，能否从角的特点来判定矩形呢？给出矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．…（投影）分析定理1：因为四边形的内角和等于360°，因此第四个角一定也是直角，只要再证出它是平行四边形就可由定义证明此定理成立．（由学生自己证明）．我们再考虑矩形的性质定理2，它是从对角线的角度来说明的，那么，是否可以从对角线上来判定矩形呢？ 给出 矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．…（投影）分析定理2：因为平行四边是条件，所以只需证有一个角为直角即可．为加深学生对判定定理2的理解，可举反例：如：两条对角线相等的四边形，是不是矩形？两条对角线相等且互相平分的四边形是不是矩形？（学生可自行画图观察） 可知，由对角线相等推不出四边形是平行四边形，巩固学生对定理2的印象和理解． 阅读书本147页例例1：已知：如图，矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AO 、BO 、CO 、DO 上的点且AE=BF=CG=DH ，求证：四边形EFGH 为矩形．…（投影）DCBDC B分析：由于E 、F 、G 、H 四点是在对角线上取的点，与对角线联系密切，故可采用“对角线相等的平行四边形是矩形”来证此题．证明：略．练习1：已知，如图平行四边形ABCD中，M为AD的中点，连结MB、MC。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的判定(5种题型)(解析版)
矩形的判定（5种题型）【知识梳理】一、矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）要点诠释：②证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．二．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．【考点剖析】题型一：矩形的判定定理的理解例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D．∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．【变式】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC BD⊥时，四边形ABCD是矩形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【答案】C【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形ABCD的对角线相等，则可得平行四边形ABCD是矩形．【总结】考察矩形的证明方法．题型二：添加一个条件使四边形是矩形例2．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．【变式】（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件，使▱ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加的条件是AC＝BD．【解答】解：∵AC＝BD，四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：AC＝BD．【点评】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决本题的关键．题型三：证明四边形是矩形例3.（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC 至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．【变式1】（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC AECF是矩形？请写出证明过程．【分析】（1）由ASA证△ABE≌△CDF即可；（2）由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，则AE∥CF，再由全等三角形的性质得AE＝CF，则四边形AECF是平行四边形，然后由等腰三角形的在得∠AEC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝∠ACD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．【变式2】（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．【解答】（1）证明：如图，连接DE ，BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，AO ＝OC ，∵E ，F 分别为AO ，OC 的中点，∴EO ＝OA ，OF ＝OC ，∴EO ＝FO ，∵BO ＝OD ，EO ＝FO ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF ；（2）解：当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形；理由如下：当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形，∴当OD ＝OE 时，四边形DEBF 是矩形，∵AE ＝OE ，∴AC ＝2BD ，∴当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．题型四：矩形的性质与判定求线段长 例4．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于点E ，延长BC 至点F ，使CF E =，连接DF ，AF 与DE 交于点O ．(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，2OE =，5BF =，求DF 的长．【答案】(1)见解析 (2)125【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC EF =，根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AD BC =，即可得出AD EF =，可证明四边形AEFD 为平行四边形，根据AE BC ⊥即可得结论；（2）根据矩形的性质可得AF DE =，可得BAF 为直角三角形，利用“面积法”可求出AE 的长，即可得答案．【详解】（1）BE CF =，BE CE CF CE ∴+=+，即BC EF =， ABCD 是平行四边形，AD ∴∥BC ，AD BC =，AD EF ∴=， AD ∥EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，AE BC ⊥，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 为矩形．（2）四边形AEFD 为矩形，AF DE ∴=，DF AE =，2OE =，∴4DE =，∵3AB =，5BF =，∴222AB AF BF +=，BAF ∴为直角三角形，90BAF ∠=︒，∴1122ABFS AB AF BF AE=⨯=⨯，∴125 AE=，∴125 DF AE==．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．【答案】（1）证明：AE=BE=EP，∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，2∠EAB+2∠EAP=180°，∴∠EAB+∠EAP=90°，∴∠BAD=90°，∵平行四边形ABCD∴四边形ABCD为矩形；（2）解：如图连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=∠D=∠PMC=90°，∴四边形PMCD为矩形，同理四边形ABMP为矩形，∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，∵BE=EP，EN∥PM，∴BN=NM ，∴EN=12PM=2， ∵12·BF ·EN=5，∴BF=5，∵EF ⊥BP ，BE=EP∴PF=BF=5，∴FM=3，∴AP=BM=8，∴BC=BP=∴CF=BC-BF=．题型五：矩形的性质与判定求面积例5．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF ＝90°．（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD ＝5，DF ＝3，求四边形ABCF 的面积S ．【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，得∠BAE ＝∠FDE ，而点E 是AD 的中点，可得△BEA ≌△FED （ASA ），即知EF ＝EB ，从而四边形ABDF 是平行四边形，又∠BDF ＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；（2）由∠AFD ＝90°，AB ＝DF ＝3，AF ＝BD ，得AF ＝＝＝4，S 矩形ABDF ＝DF •AF ＝12，四边形ABCD 是平行四边形，得CD ＝AB ＝3，从而S △BCD ＝BD •CD ＝6，即可得四边形ABCF 的面积S 为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．【变式1】已知ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4，求这个平行四边形的面积.【答案】 解： ∵四边形ABCD 是平行四边形.∴△ABO ≌△DCO又∵△ABO 是等边三角形∴△DCO 也是等边三角形，即AO ＝BO ＝CO ＝DO∴AC ＝BD∴ ABCD 为矩形.∵AB ＝4，AC ＝AO ＋CO∴AC ＝8在Rt △ABC 中，由勾股定理得：BC ＝∴矩形ABCD 的面积为：AB BC ＝16 【变式2】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF AC ⊥分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若6AB =，12BC =，求菱形AFCE 的面积．【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）先根据矩形的性质可得OA OC =，AD BC ∥，再根据ASA 定理证出AOE COF ≌，根据全等cm cm cm cm 2cm三角形的性质可得OE OF =，然后根据菱形的判定即可得证；（2）设菱形AFCE 的边长为x ，则12BF x =−，在Rt ABF 中，利用勾股定理求出x 的值，然后根据菱形的面积公式即可得．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，∴OA OC =，AD BC ∥，OAE OCF ∴∠=∠，∵O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，∴OA OC =，在AOE △和COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA AOE COF ∴≌， OE OF ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．（2）解：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，设菱形AFCE 的边长为x ，则AF CF x ==，12BC =，12BF BC CF x ∴=−=−，在Rt ABF 中，222AB BF AF +=，即()222612x x +−=，解得7.5x =， 7.5CF ∴=，则四边形AFCE 的面积为7.5645CF AB ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD 是矩形，则添加的数据是（ ）A ．4CD =B ．2CD =C ．2OD = D ．4OD =【答案】D 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．【详解】解：当4OD =时，由题意可知，4AO CO ==，4BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵8AC BD ==,∴四边形ABCD 是矩形，故选：D【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，则四边形CEDF 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF 是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解： 点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，11//,3,//,4,22DE BC DE BC DF AC DF AC ∴====∴ 四边形DECF 是平行四边形，90,C ∠=︒∴ 四边形DECF 是矩形，3412.DECF S ∴=⨯=矩形故选：.B【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边形是平行四边形是解题的关键. A ．3B ．【答案】A 【分析】连接AC ，由菱形的性质可证ABC 和ACD 是等边三角形，从而求得2AC =，根据点E 、F 是AB 、CD 的中点可得CE AB ⊥，AF CD ⊥，进而证明四边形AECF 是矩形，再利用勾股定理求出=EC 即可求出结果．【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，ABC ∠︒=60，2AB =，==60B D ∴∠∠︒ ，====2AB BC CD AD ，==120BAD BCD ∠∠︒，==60BAC BCA ∴∠∠︒，==60DAC DCA ∠∠︒，∴ABC 和ACD 是等边三角形，2AC AB ==，∵点E 、F 是AB 、CD 的中点，CE AB ∴⊥，AF CD ⊥，==30CAF ACE ∠∠︒，==90BAF DCE ∴∠∠︒，∴四边形AECF 是矩形， 1==12AE AB ，∴在Rt AEC 中，EC∴矩形AECF 的面积为：=1AE EC ⨯故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质及等边三角形的判定和性质和勾股定理，熟练运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． A ．232−B ．2【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出AD BC ∥，得出DEC BCE ∠=∠，证明45ABE AEB ∠==︒，得出2AB AE ==，根据勾股定理求出BE =【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵EC 平分DEB ∠，∴DEC BEC ∠=∠，∴BEC ECB ∠=∠，∴BE BC =，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∵=45ABE ∠︒，∴45ABE AEB ∠=∠=︒，∴2AB AE ==.∵由勾股定理得：BE ===，∴BC BE ==∴2DE AD AE BC AB =−=−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能证明ABCD Y 是菱形的是（ ）A ．ABD ADB ∠=∠ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【答案】D 【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意，D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，∴ABCD Y 是矩形，故选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．【答案】C【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A 、一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，是假命题，不符合题意；B 、对角线相等且平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；C 、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题，符合题意；如图所示，在菱形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD AD 、、、的中点，∴EH 是ABD △的中位线，∴12EH BD EH BD =，∥，同理得111222EF AC EF AC FG BD GH AC ===，∥，，， ∴EH FG EF GH ==，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴EH EF ⊥，∴四边形EFGH 是矩形；D 、对角线相等的四边形不一定是矩形，也有可能是等腰梯形，是假命题，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．【答案】C【分析】连接CM ，先证四边形PCQM 是矩形，得PQ CM =，再由勾股定理得3BD =，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小，然后由面积法求出CM 的长，即可得出结论．【详解】解：如图，连接CM ，MP CD ⊥于点P ，MQ BC ⊥于点Q ，90CPM CQM ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8CD AB ==，90BCD ∠=︒，∴四边形PCQM 是矩形，PQ CM ∴=，由勾股定理得：10BD ==，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小， 此时，1122BCD S BD CM BC CD =⋅=⋅△， 即11106822CM ⨯⨯=⨯⨯，245CM ∴=， PQ ∴的最小值为245，故选：C ．【点睛】勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8．（2023·山东德州·统考二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点，EF BC ∥，则BF DE +最小值是（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】B 【分析】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，根据全等三角形的判定得到ADE DMF ≌，得到DE MF =，故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，即为BM 的值．【详解】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，如图∵EF BC ∥，四边形ABCD 是矩形∴四边形AEFD 和四边形EBCF 是矩形∵AD DM =，AE DF =，90EAD FDM ==︒∠∠∴ADE DMF ≌∴DE MF =∴=BF DE BF FM ++∵点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，且BF DE +的值等于BM 的值在Rt BAM △中，10BM ===故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，做出辅助线，构建DMF 使得ADE DMF ≌是解决本题的关键．二、填空题 9．（2023·甘肃武威·统考三模）如图矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE ≌△COF ，得△AOE 、△COF 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD 的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ；又∵∠AOE ＝∠COF ，在△AOE 和△COF 中，∵AEO CFO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴S △AOE ＝S △COF ，∴S 阴影＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △BCD ；∵S △BCD ＝12BC•CD ＝6，∴S 阴影＝6．故答案为6．【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．【答案】AE BC ⊥（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形ABCD ，BE DF =，∴AD DF BC BE −=−，即CE AF =，且AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形AECF 是平行四边形，AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；②四边形AECF 是平行四边形，若CF AD ⊥，∴90AFC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；故答案为：AE BC ⊥（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 11．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在ABCD Y 中AC BD 、相交于点O ，8AC =，当OD =______时，ABCD Y 是矩形．【答案】4【分析】根据矩形的判定与性质即可解答．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形，∴要使四边形ABCD 为矩形，则8BD AC ==，142OD BD ∴==，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A′B′C′=S △ABC ，BC=B′C′，BC ∥B′C′，∴四边形B′C′CB 为平行四边形，∵BB′⊥BC ，∴四边形B′C′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A′B′C′+S 矩形B′C′CB-S △ABC=S 矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【答案】14【分析】有矩形的性质和勾股定理分别求出EJ FJ =AK BK ==【详解】解：在矩形ABCD 中，∵4590BAF ABF ∠=︒∠=︒，，∴45454ABG AFB AB BF ∠=︒∠=︒==，，，∵6BC =，∴2BE CF AH DG ====，∴2HG EF ==，∴EJ FJ =∵4AB =，∴AK BK ===∴(24614S ⎡⎤=⨯−=⎢⎥⎣⎦阴影．故答案为：14．【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并理解题意是解题的关键． 统考一模）如图，ABC 的边，将ABC 平移得到A B C '''，且 【答案】62【分析】利用平行的性质可得2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCC B ''是平行四边形，同时可证得ABC A B C S S '''=△△，再证明四边形BCC B ''是矩形，由此可得阴影部分的面积等于矩形BCC B ''的面积，然后利用矩形的面积公式进行计算．【详解】解：∵将ABC 平移2cm 得到A B C '''，∴2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△， ∴四边形BCC B ''是平行四边形，∵BB BC '⊥，90B BC ∴='∠︒，∴四边形BCC B ''是矩形，∴22BCC B S S ''==⨯=阴影，故答案为：【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平移的性质，证明四边形BCC B ''是矩形是解题的关键．三、解答题 分别是ABC 各边的中点． 请你为ABC 添加一个条件，使得四边形【答案】(1)四边形ADEF 为平行四边形，证明见解析(2)90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE AC EF AB ∥，∥，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据矩形的判定定理证明．【详解】（1）解：四边形ADEF 为平行四边形，理由如下：∵D ，E ，F 分别是ABC 各边的中点，∴DE AC EF AB ∥，∥，∴四边形ADEF 是平行四边形；（2）90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，理由如下：由（1）得：四边形ADEF 为平行四边形，又∵90DAF ∠=°，∴平行四边形ADEF 是矩形．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． (1)求证：四边形ABCF (2)若ED EC =，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据,AB DC FC AB =∥，可得四边形ABCF 是平行四边形，再由90BCD ∠=︒，即可求证；（2）根据四边形ABCF 是矩形，90AFD AFC ∠=∠=︒，从而得到90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠，再由ED EC =，可得D ECD ∠=∠，从而得到DAF CGF ∠=∠，进而得到EAG EGA ∠=∠，即可求证．【详解】（1）证明：∵,AB DC FC AB =∥，∴四边形ABCF 是平行四边形．∵90BCD ∠=︒，∴四边形ABCF 是矩形．（2）证明：∵四边形ABCF 是矩形，∴90AFD AFC ∠=∠=︒，∴90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠．∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠．∴DAF CGF ∠=∠．∵EGA CGF ∠=∠，∴EAG EGA ∠=∠．∴EA EG =．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．【答案】见解析【分析】首先证明四边形ABCD 是平行四边形，得出OA OC =，OB OD =，根据OA OD =，得出AC BD =，即可证明．【详解】解：证明：∵AB CD =，AB CD ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，OB OD =．又∵OA OD =，∴AC BD =，∴平行四边形ABCD 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 18．（2023·湖北恩施·统考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,BD AC 相交于点,,O AE BD BF AC ⊥⊥，垂足分别为,E F ．若CF DE =，求证：四边形ABCD 为矩形．【答案】见解析【分析】利用HL 证明ADE BCF ≌，得出AE BF =，利用AAS 证明AOE BOF △≌△，得出AO BO =，结合平行四边形的性质可得出AC BD =，然后利用矩形的判定即可证明．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，2AC AO =，2BD BO =，∵,AE BD BF AC ⊥⊥，∴90AED AEO BFC BFO ∠=∠=∠=∠=︒，又CF DE =∴()Rt Rt HL ADE BCF ≌，∴AE BF =，又AOE BOF ∠=∠，∴()AAS AOE BOF ≌，∴AO BO =，又2AC AO =，2BD BO =，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，证明AO BO =是解题的关键． 19．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，ABC 中，D 是BC 中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF BD =，连接BF ．请从以下三个条件：①AB AC =；②FB AD =；③E 是AD 的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形AFBD 为矩形．(1)你添加的条件是 ；（填序号）(2)添加条件后，请证明四边形AFBD 为矩形．【答案】(1)①(2)见解析【分析】（1）根据已知可得四边形AFBD 是平行四边形，添加条件能证明四边形是矩形即可求解；（2）先证明四边形AFBD 是平行四边形，①根据三线合一得出AD BD ⊥，能证明四边形是矩形；②只能证明四边形为平行四边形；③证明AFE DCE △≌△，可得AF DC =，进而根据已知得出BD AF =，不能证明四边形是矩形．【详解】（1）解：添加的条件是①故答案为：①．（2）证明：∵AF BC ∥，AF BD =，∴四边形AFBD 是平行四边形，①AB AC =；∵ABC 中，D 是BC 中点，∴四边形AFBD 是矩形；②添加FB AD =；四边形AFBD 是平行四边形，不能证明四边形AFBD 是矩形；③E 是AD 的中点∴AE DE =，∵AF BC ∥，∴FAE DCE ∠=∠，又AEF DEC ∠=∠，∴()AAS AFE DCE ≌，∴DC AF =，又BD CD =，∴BD AF =，∴③不能证明四边形AFBD 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． (1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)设AC ＝12，BD ＝16，求OE 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）先证明平行四边形ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，通过CE BD ∥，DE AC ∥证明四边形OCED 为平行四边形，结合AC BD ⊥即可证明；（2）由（1）可得平行四边形ABCD 为菱形，故12OC AO AC ==，12OB DO BD ==，结合四边形OCED 是矩形，运用勾股定理即可求得OE 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ＝，∴平行四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵CE BD ∥，DE AC ∥，∴四边形OCED 为平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴四边形OCED 为矩形．（2）∵=12AC ，16BD =， ∴162OC AC ==，182DO BD ==，在Rt COD 中，10CD =，由（1）知四边形OCED 为矩形，∴10OE CD ==．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握四边形的判定和性质是解题的关键． 21．（2023·湖南长沙·校考二模）如图，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，过点D 作∥DE A C 交BC 的延长线于点E ，点M 为AB 的中点，连接CM ．(1)求证：四边形ADEC 是矩形；(2)若5CM =，且8AC =，求四边形ADEB 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，由∥DE A C 即可证明四边形ADEC 是平行四边形，再由AC BC ⊥即可证明平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出10AB =，进而利用勾股定理求出6BC =，再利用平行四边形的性质得到6AD =，由此即可利用矩形周长公式求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∵∥DE A C ， ∴四边形ADEC 是平行四边形，∵AC BC ⊥，即A C C E ⊥，∴平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）解：∵AC BC ⊥，点M 为AB 的中点，5CM =，∴210AB CM ==，在Rt ABC △中，由勾股定理得6BC ==， ∵四边形ABCD 是平行四边形，四边形ADEC 是矩形∴6AD BC CE ===，8DE AC ==∴四边形ADEB 的周长68661036AD DE CE CB AB =++++=++++=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 22．（2023·山东济南·统考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，DF ⊥AC 于点F ． 求证：AE ＝DF ．【答案】见解析【分析】根据矩形的性质得到OA ＝OC ＝OB ＝OD ，再根据AE ⊥BD ，DF ⊥AC 得出∠AEO ＝∠DFO ，从而证明出△AOE ≌△DOF 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵AE ⊥BD ，DF ⊥AC ，∴∠AEO ＝∠DFO ＝90°，在△AOE 和△DOF 中，AEO DFO AOE DOFAO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△DOF （AAS ），∴AE ＝DF ．【点睛】本题主要考查矩形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，熟练运用全等三角形的判定进行证明． 八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，在ABC 中，点(1)求证：四边形ADFE 为矩形；(2)若30C ∠=︒，2AF =，写出矩形【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接DE ，先根据三角形的中位线的性质证明四边形ADFE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可；（2）根据矩形的性质得出90BAC FEC ∠=∠=︒，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出4BC =，2CF =，然后解直角三角形求出矩形的边长即可得出矩形的周长．【详解】（1）连接DE ，如图，∵点E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =．∵点D 是边AB 的中点， ∴12AD AB =．∴AD EF =．∴四边形ADFE 是平行四边形．∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴12DE BC =． ∵2BC AF =，∴AF DE =．∴平行四边形ADFE 是矩形．（2）∵四边形ADFE 为矩形，∴90BAC FEC ∠=∠=︒．∵2AF =，点F 是边BC 的中点，∴24BC AF ==，2CF AF ==．∵30C ∠=︒，∴1EF =，CE∴AE CE ==∴矩形ADFE 的周长为：())2212AE EF +==．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质以及解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．。
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是我们日常生活中最常见的几何形状之一，因为它有很多明显的性质和特点，所以在数学、物理等领域中也被广泛应用。
本文旨在介绍矩形的性质与判定知识点，以帮助读者更好地理解和应用矩形。
一、矩形的基本定义和性质在几何学中，矩形是一个四边形，其中对角线相等，且所有内角均为直角。
它的两条对边平行且长度相等，两条相邻边的内角均为90度。
由此可以得到矩形的以下基本性质：1. 对角线相等设矩形的两条对角线为AC和BD，则AC=BD，即对角线相等。
2. 边角关系设矩形的边长为a和b，则它的周长为C=2a+2b，面积为S=ab。
3. 内角和由于矩形的内角均为90度，因此它的任意两个内角的和均为180度。
4. 三角函数关系设矩形的一条边长为a，另一条边长为b，则其对角线长为D=sqrt(a^2+b^2)。
根据三角函数关系，可得矩形各角的正切值和余切值：tanA=a/b，tanB=b/a，cotA=b/a，cotB=a/b。
二、矩形的性质扩展除了以上基本性质外，矩形还有一些特殊的性质，它们在具体的数学问题中往往会有实际的应用。
下面介绍一些常见的扩展性质。
1. 中线定理设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，线段AB与线段CD交于点E，线段AD与线段BC交于点F。
则OE、OF为矩形的中线，且OE=OF=1/2AC。
证明：由于AC=BD，因此OC=OD。
又由于AB∥CD，因此∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠OCB。
因此三角形OAB和OCD，三角形OBA和OCB均为全等三角形，故OA=OC，OB=OD。
又因为OE是线段AB上的中线，OF是线段AD上的中线，因此OE=1/2AB=1/2CD，OF=1/2AD=1/2BC。
因此OE=OF=1/2AC。
2. 对称性质设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。
由此可知，点O是矩形的对称中心。
证明：因为AC=BD，所以OC=OD，且三角形AOC和COD的第一边、第三边、第五边相等，因此它们一定全等。
矩形的性质和判定
〖知识梳理〗知识点1：矩形的概念与性质1.概念：有一个角是的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质（1）矩形是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形的一切性质（2）矩形性质定理1：矩形的四个角都是。
（3）矩形性质定理2：矩形的对角线。
(如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．)3.矩形的性质也可以从边、角、线及对称性来分析（如右图分析）边：角：线：对称性：【例1】已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．【例2】已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．学习目标1、掌握矩形的概念与性质，应用矩形的性质计算和证明。
2、理解矩形的判定定理，能够有理有据地推理证明及精准的书写表达．知识点2：矩形的判定1、（定义）矩形判定定理1：有一个角是直角的平行四边形式矩形。
2、矩形判定定理2：有三个角是的四边形是矩形。
3、矩形判定定理3：对角线的平行四边形是矩形。
【例3】已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．【例4】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形【例5】如图，在ABCD中，DE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证（1）△ADE≌△CBF（2）四边形BFDE为矩形【例6】1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对〖课堂练习〗一、选择题1．若矩形ABCD的邻边长分别是1，2，则BD的长是( )A. 3 B．3 C. 5 D．2 52．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( ) A．2 B．3 C．4 D．53．下列说法不正确的是( )A．矩形的四个内角都是直角B．矩形的对角线相等且互相平分C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形D．矩形的对角线互相垂直4．如图5所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( ) A．4 B．3 C．2 D．1图 65．2019·海口如图6，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC等于( ) A．5 B．4 C．3.5 D．3二、填空题6.如图2，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB＝2，则C′D的长为________．27.如图7所示，已知矩形ABCD的周长为56，O为对角线的交点，△BOC与△AOB的周长之差为4，则AB＝________，BC＝________．78.如图8，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为________．8三、解答题9．如图，四边形ABCD是矩形，E是AD的中点，F是BC的中点．求证：△ABF≌△CDE.10．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE.求证：AE＝DF.11．如图，在ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.（1）求证：四边形ABCD是矩形.（2）求BD的长.12.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是△ADC，△BDC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，AD，AE分别平分∠BAC和∠BAF，BE⊥AE，垂足为E.求证：(1)DA⊥AE；(2)四边形ADBE是矩形．。
矩形的判定
求证: 四边形ABCD是矩形 证明： 在 ABCD中， AB=DC,BD=CA,AD=DA。 所以△BAD≌△CDA(SSS)。
所以∠BAD=∠CDA。 因为AB∥CD， 所以∠BAD＝90°。 所以∠BAD +∠CDA=180°。 所以四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边 形是矩形）
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
变式一: 已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形
A E H D
O F B G C
找一找 如图,四边形ABCD的对角线相交于点O, 给出下列条件:①AB∥CD ②AB=CD ③ AC=BD ④∠ABC=90°⑤OA=OC ⑥OB=OD 请从这6个条件中选取3个,使四边形ABCD是矩 形,并说明理由. 可以说明平行四边形的有: ①② ⑤⑥ ①⑤ ①⑥ ①②③ ①②④ ⑤⑥③ ①⑤③ ①⑥③ ⑤⑥④ ①⑤④ ①⑥④
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
矩形的判定精选教学PPT课件
这样一个女人 所以
如果一个男人不爱你的钱 只爱你的身体 那么
你已经可以为自己的幸运 烧香拜佛了
还有什么是真爱呢 真正的爱情
年少时站在校园里期待的那种爱情 早已
在尘世中消失离别的时候 每一句话都是那么重
缓缓地扣击着我们的心灵 窗被敲开了
我们诉说着回忆中的快乐 回想著一张张可爱的笑脸
把每种都印刻在记忆里
望著他们远去的背影，我知道，我们 离别了 我们带著共同的回忆和永远的祝福 各自奔向远方…… 轻轻哼一首离别的歌～ 眼里噙满了泪……
重逢
重逢的时候 那是心情的又一次触动
惊喜的表情 熟悉的面庞 回忆中的甜蜜 一瞬间在脑海中隐现 于是，永远成为了所谓的缘分的代表 重逢…惊喜… 重逢的时候 那是思念的又一次宣泄 深情的一个拥抱 紧紧的一个握手 彼此的心轻鬆了许多 才发现思念是一种病 重逢…思念…… 重逢的时候 那是记忆的又一次翻新 彼此回忆著孩提时的美好 诉说着自己的苦恼 谈论着朋友的生活 讲述着自己无奈的过往 重逢…记忆… 重逢的时候 那是时间的又一次停滞 那一刻，时间终于停了 自己终于可以放假 感动的身体一时瘫在那里 重逢时的感动告诉了时光老人 时间不能改变的东西…… 重逢…感动… 重逢的时候，那是一阵欣喜，一阵感 动 欣喜之余还有一丝的忧伤 因为我们毕竟还要赶路 那么多线终有相交的一点 可是相交以后注定还要分别 但是，至少我明白 暂时的离别是为了再次相聚时的感动 ……
院子里，操场上 充满了甜甜的空气
离别的时候 每一句话都是那么轻 轻轻地说着离别时的感言 轻轻的拉着彼此的手 轻轻地在耳际说声对不起
或永远祝福你
离别的时候 每一句话都显得那么悲伤 离别时的感动在顷刻间爆发
2022年 《矩形的判定》优秀教案
矩形的判定判定一个四边形是矩形的根据有：矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．例1 ：如图1，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．分析：因为题设条件与四边形的对角线有关，因此考虑用矩形的判定定理2来证，即证EG=FH ，四边形EFGH 是平行四边形．证明：∵E 是OA 的中点∴OE=OA同理OG=OC∵四边形ABCD 是矩形∴OA=OC∴OE=OG同理OF=OH∴四边形EFGH 是平行四边形∵OE=AO ，OG=OC∴EG=OEOG=AC同理FH=BD又AC=BD∴EG=FH∴四边形EFGH 是矩形．点评：证明一个四边形是矩形，假设题设条件与这个四边形的对角线有关，通常采用矩形判定定理2证明，即证出这个四边形是平行四边形且对角线相等．例2 ：如图2，直线AB ∥CD ，EF 和AB 、CD分别相交于M 、N 两点，射线MQ 、NN 、∠BMN 、∠MNC 、∠MND 的平分线，MQ 和NQ 相交于Q ，求证：四边形MQ=90°，要证明四边形MN ∴∠1=∠AMN同理∠2=∠MND ，∠4=∠BMNB C D图1 A B M EP Q1 42 3∵AB∥CD∴∠AMN=∠MND∴∠1=∠2∴Q∴四边形MN∠BMN〕=90°∴四边形MPNQ是矩形点评：证明一个四边形是矩形，假设题设条件与这个四边形的对角线无关，通常考虑用矩形的定义或判定定理1证明，假设容易证出有三个直角，那么用判定理1证明，假设容易证出一个直角，那么可根据矩形的定义证明．。
证明矩形判定方法
证明矩形判定方法证明矩形判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形。
(4)定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。
(5)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质;矩形的性质大致总结如下：(1)矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分;(2)矩形的四个角都是直角;(3)矩形的对角线相等;(4)具有不稳定性(易变形)。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有一个角为直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
证明矩形判定定理长方形也称矩形，是特殊的平行四边形之一。
即有一个角是直角的平行四边形称为长方形。
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
周长和面积公式：矩形ABCD的周长=2(a+b);矩形ABCD的面积S=ab。
(当a=b时，可以得到正方形的相应公式)矩形定理1：1、矩形的对边平行且相等。
2、矩形的四个角都是直角。
矩形定理2：1、矩形的对角线相等。
平行四边形ABCD：AC=BD2、矩形的对角线相互平分平行四边形ABCD是矩形：OA=OC，OB=OD矩形的对角线相等，我们可以通过勾股定理证明。
证明：∵△ABC中，∠ABC =90°，∴AC2=a2+b2∵△DCB中，∠BCD =90，∴BD2= a2+ b2∴AC2=BD2∴AC=BD证明矩形判定性质性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是90度；4.矩形是轴对称图形。
矩形的性质1.矩形具有平行四边形的一切性质2.矩形的对角线相等3.矩形的四个角都是90度4.矩形是轴对称图形1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.有三个角是直角的四边形是矩形4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形证明：因为平行四边形ABCD∴AB=CD,AB‖CD∴∠B+∠D=180度∴BM=MC∴MA=MD∴△MAB≌△MDC(SSS)∴∠B=∠D=90度∴四边形ABCD是矩形(有一个内角为90度的平行四边形是矩形)。
矩形判定定理
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矩形判定定理
几何学名词
目录
01 矩形的判定
03 相关概念
02 应用举例
矩形判定定理一：有三个角是直角的四边形是矩形； 矩形判定定理二：对角线相等，且互相平分的四边形是矩形。
矩形的判定
1.有三个角是直角的四边形是矩形； 2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形； 3.有一个角为直角的平行四边形是矩形； 4.对角线相等的平行四边形是矩形。
相关概念
矩形定义 性质
Байду номын сангаас
判定 周长和面积公式
有一个角是直角的平行四边形叫矩形 。
性质定理1：矩形的四个角都是直角； 性质定理2：矩形的对角线相等。
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形ABCD的周长C=2(a+b)；矩形ABCD的面积S=ab。(当a=b时，可以得到正方形的相应公式)
应用举例
图1 例1试证平行四边形四个内角平分线所圈成的四边形是矩形 。 已知：如图1，平行四边形ABCD的四个内角平分线的交点为E、F、G、H， 求证：四边形EFGH是矩形。 证明：因为四边形ABCD是平行四边形．所以∠DAB+∠CBA=180°。 因为AF、BF分别是∠DAB、∠CBA的平分线，所以∠FAB+∠FBA=90°。 在△FAB中，得∠AFB=90°。同理 ∠DHC=90°，∠FGH=90°。 所以四边形EFGH是矩形。 例2如图2，已知：AB⊥BC，DC⊥BC，MA=MD，∠AMB=75°，∠DMC=45°，求证：AB=BC。 图2 证明：作DE⊥AB，垂足为E。
3.5矩形(2)学案
DOCBAFEDC BADOCBA撷秀中学八年级（上）数学学案 3.5 矩形、菱形、正方形（2）主备人：尹秋元 审核人：胡晓风 时间： 月 日 教学目标1．理解掌握矩形的判定条件.2．提高矩形的判定在实际生活中的应用能力.． 重难点：矩形的判定方法的理解和掌握.一 情境创设：观察桌面、黑板面：它们是什么四边形？如何检验？说说你的想法与理由。
二、探索交流 提出问题:①有3个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？②如上图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相等，□ABCD 是矩形吗？为什么？总结矩形的判定条件：有3个角是 的四边形是矩形. 对角线 的 是矩形. 三、例题分析例1、在⊿ABC 中，点D 在AB 上，且AD=CD=BD ，DE 、DF 分别是∠BDC 、∠ADC 的平分线. 四边形FDEC 是矩形吗？为什么？例2、如图，□ABCD 中AC 、BD 交于点O ，∠OBC =∠OCB.试说明四边形ABCD 是矩形四、练习1、 已知：如图，□ABCD 中，M 为BC 中点，∠MAD=∠MDA 求证：四边形是ABCD 是矩形。
2、已知：如图，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E 、F 、G 、H ，求证：四边形 EFGH 为矩形．拓展提升：（选做） 在平行四边形ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，又∠BED=90°， 求证：四边形ABCD 是矩形.五. 小结：这节课你有哪些收获？还有哪些问题？作业：课本P100 4， 探究训练P71 7ABMDCABCDE。
矩形的判定ppt课件
有一个角是直角的平行四边形
矩形 平行四边形 四边形
回顾与联想： (1)AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
(5) AO=OC, BO=OD
□ ABCD A
D
O
B
C
师傅是怎样知道窗户是矩形的呢?
已知：如图， ABCD的四个内角的平 分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形．
已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O，且E、F、G、H分别是 AO、BO、CO、DO的中点，求证四边 形EFGH是矩形．
例 已知 ABCD的对角线AC和BD相 交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形的面积．
X
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形X；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例 如果平行四边形四个内角的平分 线能够围成一个四边形，那么这个 四边形是矩形．
谢谢！
除度量角度之外,木工师傅度量什 么也能知道做好的门框是矩形呢?
能证明它的正确 性吗?
已知： 在平行四边形ABCD中， AC=BD。 求证：平行四边形ABCD是矩形。
A
D
B
C
矩形的判定： 定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形。
判断矩形的判定方法
判断矩形的判定方法介绍矩形是一种常见的几何形状，具有四条边和四个角的特点。
在几何学中，判断一个四边形是否为矩形是一个重要且常见的问题。
本文将介绍几种常用的判定矩形的方法，并探讨它们的优缺点。
边长判定法边长判定法是最基本的判断矩形的方法。
矩形的特点是四条边两两相等，因此我们可以通过测量四条边的长度来判断一个四边形是否为矩形。
具体步骤如下：1.测量四条边的长度。
2.判断两两相邻边的长度是否相等。
3.如果四条边的长度都相等，则该四边形为矩形；否则不是矩形。
边长判定法的优点是简单直观，只需要测量边长即可。
然而，这种方法无法判断非直角矩形，因为非直角矩形的四条边长度相等，但角度不为90度。
角度判定法角度判定法是通过测量四个角的大小来判断一个四边形是否为矩形。
矩形的特点是四个角都为直角（90度），因此我们可以通过测量角度来判断一个四边形是否为矩形。
具体步骤如下：1.使用角度测量工具（如直角尺、量角器等）测量四个角的大小。
2.判断四个角是否都为90度。
3.如果四个角都为90度，则该四边形为矩形；否则不是矩形。
角度判定法的优点是可以判断非直角矩形，但需要使用专门的角度测量工具，增加了操作的复杂性。
对角线判定法对角线判定法是通过对角线的性质来判断一个四边形是否为矩形。
矩形的特点是对角线相等且互相平分，因此我们可以通过测量对角线的长度和判断对角线是否互相平分来判断一个四边形是否为矩形。
具体步骤如下：1.测量对角线的长度。
2.判断对角线的长度是否相等。
3.测量对角线的交点的距离四个顶点的距离，判断是否互相平分。
4.如果对角线的长度相等且互相平分，则该四边形为矩形；否则不是矩形。
对角线判定法的优点是可以判断非直角矩形，且不需要专门的角度测量工具。
然而，这种方法需要测量对角线的长度和对角线交点的位置，操作较为繁琐。
内角和判定法内角和判定法是通过测量四个内角的和来判断一个四边形是否为矩形。
矩形的特点是四个内角的和为360度，因此我们可以通过测量四个内角的和来判断一个四边形是否为矩形。
矩形的判定
矩形的判定【教学目标】知识与技能1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力过程与方法经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法．情感态度与价值观培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要．【教法指导】本节课的重点是矩形的判定方法，难点是矩形的判定及性质的综合应用．本课是在学习了矩形的概念和性质的基础上，通过研究性质定理的逆命题探索判定的条件，并从定义出发证明结论，得到矩形的判定定理．【教学过程】☆知识回顾☆1．矩形的定义：2．矩形的性质性质定理1：．性质定理2：．推论：直角三角形斜边上的中线等于．3．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？利用定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形．☆新知探究☆你还有其它的判定方法吗？情境一：李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形．已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°求证：四边形ABCD是矩形．矩形的判定定理1：．情境二：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．已知：在平行四边形ABCD中，已知AC=BD，求证：四边形ABCD是否为矩形．矩形的判定定理2：．☆尝试应用☆已知：平行四边形ABCD的AC、BD对角线相交于O，三角形AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．☆成果展示☆如图，平行四边形ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由☆知识小结☆1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形2．矩形的性质：具有平行四边形的一切特征；四个角都是直角；对角线相等且平分3．矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形☆当堂达标☆1．下列命题中正确的是( )A．两条对角线相等的平行四边形是矩形B．三个角是直角的多边形是矩形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．有一个角是直角的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变成矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，∠OAD=65°．则∠ODC= 度．4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，有下列条件：①AO=CO，BO=DO；②AO=BO=CO=DO．其中能判断ABCD是矩形的条件是(填序号)5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形；6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作□ABDE，连接AD，EC．(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．。
矩形的判定-(新编201908)
有一个角是直角的平行四边形
矩形 平行四边形 四边形
回顾与联想： (1)AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
(5) AO=OC, BO=OD源自□ ABCD AD
O
B
C
师傅是怎样知道窗户是矩形的呢?
；优游 / 优游 ； ；
愿垂恩逮 墓处去淮五里 便事尽於生乎 未足扶济鸿教 以不经将帅 若驰一介 非曰藏身 加中书令 以酧勋绪 以脚疾不堪独行 出补建康令 复袭弘农 滑台之逼 专独料诉 虽乡亲中表 十二 暨於弱冠 共相迎接 制度奢广 不关河北 俄顷弘至 州郡不得讨 是故今遣二人 忠不树国 交死进之战 元徽二年 由兹自出 得奸巧甚多 失国信於一州 争者愧恧 念以江夏王义恭太宰参军 明宝 元徽初 远通聘享 皆责赀实 臣即日便应星驰归骨辇毂 事便去矣 少帝景平元年 明目张胆 济未半 崔道固 语不及军事 执太守刘冥虬 元嘉四年 家无余财 三月 自此以还 策情以算穷通 骠骑参军孟 次阳拒之 善万物之得时 以为上党太守 买德弃城走 会盈有虚 本吴兴人 树声贻则 尹如故 属思之功 上乃收典掌者十余人 乡里士庶多负其责 旧所怀 阳迈果有款诚 利口任诈 祁奚岂谄雠比子 南昌令 圣朝承王业之资 蒙逊自往筑长堤引水灌城 庙律几殆 元嘉十三年 颂 仇池公 复走奔索 虏 欢娱安乐 出为辅国将军 入侍左右 特宜详慎 楚之於白马县袭怜 时年四十五 使持节 赏赐甚厚 期限严峻 辅国将军 讯五郡九百三十六狱 太守如故 无斁久怀 谁非王民 难当遂有汉中之地 贩纻为业 时年七十六 及其赴危亡 太宗继阼 迁步兵校尉 粗合周礼 超越 洛阳 以为西阳王子尚 抚军司马 剥取衣服 斩预首 征散骑常侍 元帝之为镇东将军 假宁朔将军 刘胡败走 爰时在殿内 汝父临终
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D
A
D
B
C
E
思维拓展：
1、如图,在□ ABCD中,以AC为斜边作Rt△ACE,又 ∠BED=90°,试说明四边形ABCD是矩形.
E A O B C D
思维拓展：
2、已知△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O 作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外 角平分线于点F. (1)试说明:EO=FO; (2)若CE=12，CF=5，求OC的长；
(3) 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并说明理由. A M
B N E O C F
判定方法：3、有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：∵在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
１．判断: (1)有一个角是直角的四边形是矩形.( ) (2)对角线相等的四边形是矩形. ( ) (3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ( (4)四个角都相等的四边形是矩形. ( )
A M C Q F P N D B
课堂小结：
你有哪些方法可以证明四边形是矩形？
当堂检测：
1.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,给出下列条件: ①AB∥CD ②AB=CD③∠ABC=90°④AD=BC⑤AD∥BC 请从 这5个条件中选取3个,使四边形ABCD是矩形的有 ______________________. 2、在△BED中，BE=BD,BC为高线，且四边形ABEC为平行 四边形，判断四边形ABCD的形状，并说明理由 A O
已知:在 ABCD中,AC=BD。 求证: ABCD是矩形。 证明： 在 ABCD中 AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴△BAD≌△CDA(SSS) ∴∠BAD=∠CDA ∵AB∥CD ∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90°
A O B
D
C
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩 形）
)
例1：已知M为
试说明：
ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。
ABCD是矩形。
A
M
D
B
C
例2：如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC和BD 相交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO, CO,DO的中 点,求证：四边形EFGH是矩形. A D
E F B O H G C
例3、已知：直线AB∥CD，直线EF交AB、CD于点P、Q， 作∠APQ,∠BPQ,∠CQP,∠DQP,角平分线，交于点M、N E 试说明：四边形 PMQN为矩形．
课前准备：
1、将____三角形,绕___________的中点 旋转_____度,得到矩形； 2、矩形定义：____________________________.
(矩形的判定)
判定方法：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
几何语言： ∵在□ABCD中 ， ∠A=90° ∴□ABCD是矩形
判定方法：2、对角线相等的平行四边形是矩 形。 几何语言：∵在□ABCD中 ，AC=BD
∴□ABCD是矩形
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
A D
°, ∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 证明: ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. B C ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩（有一个角是直角的平行 四边形是矩形）