2013届河南省安阳市第三实验中学高三第二次月考数学(文) 试卷

安阳市第三实验中学2013届高三第二次月考数学试题（文）满分150分 ，时间120 分钟 2012 年11月一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知全集R =U ，集合}43|{><=x x x A ，或，}2|{<=x x B ，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ）（A ）)4(∞+， （B ）)3(，-∞ （C ）)2(，-∞ （D ）)32(，2．若复数R)(i 2i )1(3∈-=-+b a b a ，，则复数i b a z +=对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．已知32sin -=α,且⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，则αtan 等于（ ） （A ）552 （B ）552- （C ）25 （D ）25-4．下列有关命题的说法正确的是（ ）（A ）命题“R ∈∃x ,使得012<++x x ”的否定是：“R ∈∀x ,均有2++x x （B ）“1-=x ”是“0652=--x x ”成立的必要不充分条件（C ）线性回归方程a x b yˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点 ()11,y x ,()22,y x ,…，()n n y x ,中的一个点（D ）若“q p ∧”为真命题，则“)(q p ⌝∨”也为真命题5．右边程序框图的程序执行后输出的结果是 （ ） （A ）24（B ）25 （C ）34 （D ）356．已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是 （A ）4 （B ）6 （C ）12 （D ）187．实数m 是函数x x f x 21log 2)(-=的零点，则（ ）（A ）m m<<12 （B ）12<<mm （C ）m m 21<< （D ）m m 21<< 8．已知0>m ，0>n ，向量)1,1(=a ，向量)3,(-=n m b ，且)(b a a +⊥，则nm 41+ 的最小值为（ ） （A ）18（B ）16 （C ）9 （D ）8 9．已知函数)0)(6cos(sin )(>++=ωπωωx x x f 的图象上相邻两条对称轴间的距离为π，则)(x f 的一个单调减区间是（ ）（A ）），（676ππ （B ）），（12712ππ （C ）），（12125ππ- （D ）），（665ππ- 10．已知数列}{n a ，若点)(n a n ，)N (*∈n 在经过点)48(，的定直线l 上，则数列}{n a 的前15项和=15S （ ） （A ）12 （B ）32（C ）60（D ）12011．若等边三角形ABC 的边长为32，该三角形所在平面内一点M 满足CM = 则MB MA ⋅等于（ ）（A ）2-（B ）1-（C ）1（D ）212．已知点P 为双曲线112422=-y x 右支上一点，21F F 、分别为双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆ 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆λ+=成立，则λ的值为（ ）（A ）41 （B ） 31 （C ） 32 （D ）21二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分。

)13．若实数y x ，满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥021x x y x y , 则目标函数x y z 2-=的最大值是 .14．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 . 15．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， B C A sin 2sin sin =+，且3π=B ，若△ABC 的面积为23， 则b 等于 . 16．已知棱长等于32的正方体1111D C B A ABCD -，它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 的球面上任意一点，有以下判断：①该正方体外接球的体积是π36；②异面直线OE 与C B 1所成角为︒90；③PE 长的最大值为63+；④过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为π6.其中所有正确判断的序号是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知各项均不相同的等差数列}{n a 的前四项和144=S ， 且731a a a ，，成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组)8075[，，第2组)8580[，，第3组)9085[，，第4组)9590[，，第5组]10095[，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. （Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面⊥ACE 平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，90=∠ACB ，BC EF //，2==BC AC ，1==EC AE .（Ⅰ）求证：⊥AE 平面BCEF ； （Ⅱ）求三棱锥ACF D -的体积．20.（本小题满分12分）已知曲线C 的方程为2y x 4=()0>x ，曲线E 是以()011,-F 、()012,F 为焦点的椭圆，点P 为曲线C 与曲线E 在第一象限的交点，且352=PF ． （Ⅰ）求曲线E 的标准方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数x b x f ln )(=，R)()(2∈-=a x ax x g ．（Ⅰ）若曲线)(x f 与)(x g 在公共点)0,1(A 处有相同的切线，求实数a 、b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明)(x f ≤)(x g 在）（∞+,0上恒成立； （Ⅲ）若1=a ，e 2>b ，求方程x x g x f =-)()(在区间)e ,1(b 内实根的个数（e 为自然对数的底数）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10=PA ，5=PB ,BAC ∠的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ．（Ⅰ）求证：PCPAAC AB =；（Ⅱ）求AE AD ⋅的值． ABC D E F23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P )5,1(-，且倾斜角为3π，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C 的圆心的极坐标为)2,4(π.（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系. 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数)1(|||4|)(>-+-=a a x x x f . （Ⅰ）若)(x f 的最小值为3，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求使得不等式5)(≤x f 成立的x 的取值集合.安阳市第三实验中学2013届高三第二次月考高三年级数学（文）答题卷二．填空题（共20分）13． ___ ； 14. ___ ； 15. _____ ； 16. ______ ；三．解答题（共70分）17．（12分）解B C20．（12分）解21．（12分）解选作题（10分）（请填上所选题号）解：（22题图）安阳市第三实验中学2013届高三第二次月考高三年级数学试题（文）参考答案及评分标准13. 2 ; 14. 271; 15. 2; 16. ①②③.三、解答题17.解：（Ⅰ）设公差为d ,由已知得121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ .……3分 联立解得1d =或0d =（舍去）. 1 2.a ∴= ………5分 故1n a n =+. ………6分（Ⅱ）()111111(2)12n n a a n n n n +==-++++ ………8分 11111111.233412222(2)n n T n n n n ∴=-+-++-=-=++++ ………12分18.解：（Ⅰ）其它组的频率为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0. 8， 所以第四组的频率为0.2， 频率分布图如图：…3分（Ⅱ）设样本的中位数为x ，则5.006.0)85(07.0501.05=⨯-+⨯+⨯x ， … 5分解得3260=x 所以样本中位数的估计值为3260……6分（Ⅲ）依题意良好的人数为164.040=⨯人，优秀的人数为246.040=⨯人优秀与良好的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人 ………………8分 记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M将考试成绩优秀的三名学生记为A,B ，C ， 考试成绩良好的两名学生记为a,b 从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC ，Aa,Ab,Ba,Bb ，Ca,Cb,ab 共10个基本事件 ………………9分事件M 含的情况是：AB,AC,BC ，Aa,Ab,Ba,Bb ，Ca,Cb ，共9个…10分所以9()10P M =……………12分 19.解：（Ⅰ）∵平面ACE ⊥平面ABCD ,且平面ACE 平面ABCD AC =BC AC ⊥ ⊂BC 平面BCEF BC ∴⊥平面AEC ………2分BC AE ∴⊥, …………3分又2=AC ,1==EC AE ∴222CE AE AC += AE EC ∴⊥ ……4分且BC EC C ⋂=,∴AE ⊥平面ECBF . ……………6分（Ⅱ）设AC 的中点为G ，连接EG ， CE AE = AC EG ⊥∴ 由（Ⅰ）可知⊥BC 平面AEC ，EG BC ⊥∴ 即BC EG ⊥ , 又C BC AC = ⊥∴EG 平面ABCD …8分 //,EF BC ⊄EF 平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离 即点F 到平面ABCD 的距离为EG 的长 ……………10分 EG S V V V ACD ACD E ACD F ACF D Δ31===∴--- 1222121Δ=⨯⨯=∙=AD AC S ACD 2221==AC EG 6222131=⨯⨯=∴-ACFD V 即三棱锥ACF D -的体积为62……12分 20.解：（Ⅰ）依题意，1=c ，352=|PF |,利用抛物线的定义可得32=P x ，∴P 点的 坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛36232,………2分 371=|PF |,又由椭圆定义得127524,233a PF PF a =+=+==.…4分2223b a c ∴=-=，所以曲线E 的标准方程为22143x y +=； ……6分（Ⅱ）（方法一）设直线l 与椭圆E 交点()()2211y ,x B ,y ,x A ，B ,A 的中点M 的坐标为()00y ,x ，设直线l 方程为()00≠≠+=m ,k m kx y与13422=+y x 联立得()012484322=-+++m kmx k 由034022>+>m k -得∆① ……8分由韦达定理得 221438k km x x +-=+ =∴0x 2434k km +- =0y 2433km+ 将M(2434k km +-,2433k m +)代入24y x = 整理得9)43(162k k m +-= ②…10分将②代入①得()814316222<+k k令()042>=t k t 则081192642<-+t t 830<<∴t8686<<-∴k 且0≠k ………12分 （方法二）设直线l 与椭圆E 交点),(),,(2211y x B y x A ，B A ,的中点M 的坐标为()00,y x ，将B A ,的坐标代入椭圆方程中，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+012430124322222121y x y x两式相减得()()()()0432*******=+-++-y y y y x x x x 00212143y x x x y y -=--∴， ……………7分0204x y = ，∴直线AB 的斜率02121163y x x y y k -=--=， ………8分由0121630124342222=-+⇒⎩⎨⎧=-+=x x y x x y ，()()0623=+-∴x x ，解得32=x ，或6-=x （舍）,y ,x y 3623842±=∴==∴由题设)y (y 036236200≠<<-，86163860<-<-∴y ， ……10分 即8686<<-k ()0≠k 且. ………12分 21. 解：（Ⅰ）()xbx f ='，()12-='ax x g ．……………2分∵曲线()x f 与()x g 在公共点()0,1A 处有相同的切线∴ ()()⎪⎩⎪⎨⎧-==-===1201101ln 1a b a g b f ， 解得，⎩⎨⎧==11b a ． ………4分（Ⅱ）设()()()()x x x x g x f x F --=-=2ln ， 则()()()xx x x x x F 112121-+-=+-='， ………5分 ∴当10<<x 时，()0>'x F ；当1>x 时，()0<'x F ，即()x F 在()10,上单调递增， 在()∞+,1上单调递减． …………7分 ∴()x F 在()∞+,0上的最大值为()01=F ．∴()()()0≤-=x g x f x F ，即()()x g x f ≤． ………8分 （Ⅲ）原方程可化为0ln 2=-x x b令2ln )(x x b x G -=，则xx b x G 2'2)(-= ，由0)('=x G 得=x2b±),1(b e x ∈ 且e b 2>，∴ 显然得到12>>e b，>b e 2b ∴由0)('>x G 得21b x <<，0)('<x G b x e << ∴)(x G 在)2,1(b 上单调递增，在),2(b e b 上单调递减 ∴当=x 2b 时，)12(ln 222ln 222ln)(max -=-=-=bb b b b b b b x G …10分 e b 2> ，e b >∴2，1ln 2ln =>∴e b，∴0)2(>b G又 01-)1(<=G 0))((ln )(222<-+=-=-=b b b b b b e b e b e b e e b e G∴ 方程x x g x f =-)()(在区间),1(be 内有两个实根 …12分………12分版权所有：中华资源库 22.解: 解：（Ⅰ）∵PA 为⊙O 的切线，∴ACP PAB ∠=∠，又P ∠P =∠，∴PAB ∆∽PCA ∆．∴PCPA AC AB =． ………4分 （Ⅱ）∵PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴PC PB PA ⋅=2．5分又∵10=PA ,5=PB ，∴20=PC ，15=BC ．由（I ）知，21==PC PA AC AB ，∵BC 是⊙O 的直径， ∴ 90=∠CAB ．∴225222==+BC AB AC ,∴53,56==AB AC …7分连结CE ，则E ABC ∠=∠， 又EAB CAE ∠=∠，∴ACE ∆∽ADB ∆,∴AC AD AE AB = ∴905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD ． ……10分 23.解（Ⅰ）直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211，（t 为参数）…………2分 圆心C 的直角坐标为)4,0(……3分圆C 的直角坐标方程为16)4(22=-+y x …4分由⎩⎨⎧==+θρρsin 222y y x …5分得圆C 的极坐标方程是8sin ρθ=.…6分（Ⅱ）圆心的直角坐标是(0,4)，直线l 50y ---=， ………8分圆心到直线的距离4>，………………9分 所以直线l 和圆C 相离. ……………10分24．解：（Ⅰ）因为|4|||(4)()4x x a x x a a -+-≥---=-， ………3分 所以43a -=，即71a a ==或 ……………5分由a ＞1知7=a ； …………6分（Ⅱ）当4≤x 时，不等式化为 5112≤+-x 解得：43≤≤x ……7分当74<<x 时，不等式化为 53≤ 恒成立 所以：74<<x ………8分当7≥x 时，不等式化为 5112≤-x 解得：87≤≤x ……9分综上不等式574≤-+-x x的解集为 {}83|≤≤x x ． ………10分。