黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学年高二10月月考数学(理)试题 Word版含答案

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黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学年高一10月月考数学试题含答案

A． (，1] (2, ) B． (，0) (1，2)
C． [1，2)
D． (1，2]
6．设集合 A {x |1 x 2} ， B {x | x a} 满足 A B B ，则实数 a 的取值范围是
A．{a | a 2}
B．{a | a 1}
C．{a | a 1}
D．{a | a 2}
最小元素，则称 A, B 为U 的一个有序子集对，若
，则U 的有序子集对的个
数为
A．48 B．49 C．50 D．51 12．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇
准备在各村推选村民代表。规定各村每 15 户推选 1 人，当全村户数除以 15 所得的余数大于 10
．
因为－1＜x1＜x2＜1，所以 x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x －1)(x －1)＞0，
所以 f(x1)－f(x2)＞0，所以 f(x1)＞f(x2)，所以函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
19．(1)由题意得 a＜0 且 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的根为－3,2，
8b
a ab
1
A．
2
9．已知，
11
B．或
32
，若集合
1
C．
3
，则
D．0 或 1 或 1 23
的值为
A.
B.
C.
D.
10．若函数
f
x
定义域为 0,1 ，则
f
x
a•
f
x
a
0
a
1 2
的定义域为
A． 0,1
B．a, a
C．a,1 a
D．0,1 a

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题含答案

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题含答案哈师大青冈实验中学2020—-2021学年度学期初考试高二学年数学试题一选择题（每题5分,共60分）1。

已知(3,1),(2,5)a b ==-则32a b -= （） A ．（2，7） B ．（13，—7） C ．（2，—7） D ．（13，13） 2。

设,,a b c R∈，且a b >,则下列不等式成立的是（ ) A. 22ab> B 。

22ac bc > C. a c b c +>+ D 。

11a b< 3.直线012=++y x 在两坐标轴上的截距之积是（） A ．1B ．1-C ．21- D ．21 4在ABC ∆中，2,7,3===c b a 那么B 等于 ( ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°5.直线013=-+ay x 和03=--y x 平行，则两平行直线的距离是( ） A ．2B ．324C ．325D ．226。

已知实数x 、y 满足0044x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最小值等于( ) A 。

0B. 1 C 。

4 D 。

57。

长方体一个顶点上的三条棱长分别为 3，4，a ，表面积为 108，则a 等于（） A ．2B ．3C ．5D ．68。

ABC ∆中，若︒===30,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（） A ．21B ．23C ．1D 9。

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8 10。

等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=,则357a a a ++=( ）A ．21B ．42C ．63D ．8411。

已知等差数列｛a n }的前n 项和为S n ，若a 1≠0,S 2＝a 4,则35S a＝( )A ．1B 。

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期10月月考数学试题+答案解析(附后)

2023-202410一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量，，则等于()A. B. C. D.2.焦点坐标为，，且长半轴长为6的椭圆方程为()A. B. C. D.3.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()A. B. C. D.或4.已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆，则圆，C2的公共弦长为()A. B. C.D.25.圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若C上存在无数个点P，满足：,则的取值范围为()A.B.C.D.0号7.已知圆C的方程为，直线l：恒过定点若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为()A.6B.5C.4D.38.已知P是直线上任意一点，过点P作两条直线与圆相切，切点分别为A，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.10.已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是△MC1C2的内心，且，则a的值为()A.9B.11C.17或19D.19二、多选题：本题共2小题，共10分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

11.已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，P是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是()A.该椭圆的长轴长为B.使为直角三角形的点P共有6个C.的面积的最大值为1D.若点P是异于、的点，则直线与的斜率的乘积等于-212.设有一组圆，下列命题正确的是()A.不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B.存在圆经过点,0)C.存在定直线始终与圆相切D.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学年高二10月月考数学(理)试题含答案

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学年高二10月月考数学（理）试题含答案哈师大青冈实验中学2019—2020学年度10月份考试高二学年数学试题（理科）一。

选择题:（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知函数f （x ）＝x 2﹣2x+m.若：f （x ）有零点;q ：0＜m ≤1，则A.p 是q 的充分不必要条件 B 。

p 是q 的必要不充分条件C.p 是q 的充要条件 D 。

p 是q 的不充分不必要条件2。

在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD所成角的正切值为 A 。

22B 。

32C.52D.723.已知命题“()21,4204x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是A.(﹣∞，0） B 。

［0，4] C.［4,+∞） D 。

（0,4)4.下列命题中为真命题的是A 。

∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0 B.∃x 0∈R ,x 02+x 0＝﹣1C 。

∀x ∈R ,x 2﹣x+＞0D 。

∀x ∈R ，﹣x 2﹣1＜05.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A.8B.62 C 。

82 D.836.方程()2111x y -=--所表示的曲线是A 。

一个圆 B.两个圆C.半个圆D 。

两个半圆7.正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形,E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则PB 与平面PEF 所成角的正弦为 A 。

B.C 。

D 。

8。

如图所示,在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置DA 2B 2C 2﹣D 3A 3B 3C 3中放一个单位正方体礼盒DABC ﹣D 1A 1B 1C 1，现以点D 为坐标原点，DA 2、DC 2、DD 3分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz,则正确的是A.D 1的坐标为（1，0，0) B 。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学(理)试题 Word版

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考数学试题（理科）第I 卷 (选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则m =（）A ．4 B. 3 C.52D. 22.圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切3.椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（） A. 有相同的长轴长和短轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点4.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2z x y =-的最大值为（）A.2B.1C.2-D.3-5.点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（）A. 3(0,)2-B. (1,0)-C.(0,1)-D. 3(,0)2-6．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）AB.15D . 7.若椭圆221164x y +=的弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（） A.450x y -+=B.450x y +-=C.450x y -+=D. 450x y +-=8.一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（）A. 2212516y x += B. 2212516x y +=C. 221169y x += D. 221169x y +=9.过点(1,P -作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（）B. 2D. 410.已知斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积是（）A ．B. 8C. 4D.8311.长方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为9π，2AB AD ==，则点B 到平面1D AC 的距离等于（）12. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足⋅-=⋅,则椭圆的离心率的取值范围为（）A. )1,21[B.)1,22[C.)1,215[- D.]220，（第Ⅱ卷 (非选择题共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)13.已知点(,)M x y 是平面区域1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值为．14.过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为 .15.已知椭圆2213x y +=上动点为M ，则点M 到直线80x y --=：的距离的最小值为 .16.已知椭圆12622=+y x C ：的左、右焦点分别为,,21F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF ∆的内切圆方程为 .三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题 10 分）已知直线0103:1=+-y x 与 082:2=-+y x 相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点．（1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线垂直于直线1，求直线的方程.18.（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过)1,0(),2,3(),4,3(R Q P -三点．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0=+-a y x 交于B A ,两点，且CB CA ⊥，求a 的值．19. （本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，,AD PAB PAB ⊥∆侧面是等边三角形，2==AB DA ，AD BC 21=，E 是线段AB 的中点．（1）求证：PE ABCD ⊥平面；（2）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值．20. （本小题12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知,2,1AB BC AC AB AA ===ABC AA 平面⊥1，点Q M ,分别是1,CC BC 的中点，点P 是棱11B A 上的任一点．（1）求证：MP AQ ⊥；（2）若平面11A ACC 与平面AMP 所成的锐角为θ，且32cos =θ，试确定点P 在棱11B A 上的位置，并说明理由．21.（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为)0,(c F -，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆 4222b y x =+截得的线段的长为c ，334||=FM ．（1）求直线FM 的斜率；（2）求椭圆的方程．22.（本小题12分）已知椭圆 C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，左、右焦点分别为21,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与N M ,两个不同的点，记M QF 2∆的面积为1S ，N OF 2∆的面积为2S ，令21S S S +=，求S 的最大值．2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学答案（理科）1-5DDBBC6-10ABAAD 11.12CC13.13 14.2x =或3420x y -+= 15. 16.94)34(22=+-y x 17.（1）因为直线 l 1:x −3y +10=0 与 l 2:2x +y −8=0 相交于点 A ，解方程组 {x −3y +10=0,2x +y −8=0,得 {x =2,y =4, 所以 A (2,4)．因为 O (0,0)，P 为线段 OA 中点，故由中点坐标公式求得 P (1,2)．（2）当 l ⊥l 1时，直线 l 的斜率为3-，因为直线 l 过 P (1,2)，所以直线 l 的方程：)1(32--=-x y 故 l:3x +y −5=0．18.（1）因为圆 C 的圆心在线段 PQ 的直平分线上，所以可设圆 C 的圆心为 (t ，1)，则有 (t −3)2+(1−4)2=t 2+(1−1)2，解得 t =3．则圆 C 的半径为 √32+(1−1)2=3．所以圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9．（2）可知ACB ∆为等腰直角三角形，点C 到直线AB 距离3sin 45d =︒=解得15a =-或.19.解：（1）因为 AD ⊥侧面PAB ，PC ⊂平面PAB ，所以 AD ⊥PE ，又因为 △PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，所以 PE ⊥AB ，因为 AD ∩AB =A ，所以 PE ⊥平面ABCD ．（2）以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E −xyz ，则 E (0,0,0)，C (1,−1,0)，D (2,1,0)，P(0,0,√3)， ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)，设 n ⃗ =(x,y,z ) 为平面 PDE 的法向量，由 {n ⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即 {2x +y =0,√3z =0. 令 x =1，可得 n ⃗ =(1,−2,0)，设 PC 与平面 PDE 所成的角为 θ，sinθ=∣∣cos⟨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩∣∣=∣∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣∣∣∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=35，所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 35．20.解：（1）由已知得：AB 2+AC 2=BC 2，所以 AB ⊥AC ，又 AA 1⊥平面ABC ，所以 AA 1，AB ，AC 两两垂直．如图所示以 A 为原点，分别以 AB ，AC ，AA 1 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 AB =1，则 A (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,0,0)，M (12,12,0)，Q (0,1,12)．设 P (x 0,0,1)(0≤x 0≤1)． AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12)，MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−12,−12,1)，因为 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(x 0−12)+1×(−12)+12×1=0，所以 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故 AQ ⊥MP ．（2）由已知得，AB ⊥平面ACC 1A 1，所以平面 ACC 1A 1 的一个法向量为 n ⃗ 1=(1,0,0)．又 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0,1)．设平面 AMP 的一个法向量为 n ⃗ 2=(x,y,z )，则 {AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 2=0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 2=0, 即 {12x +12y =0,x 0x +z =0,令 x =1，则 y =−1，z =−x 0．所以平面 AMP 的一个法向量为 n ⃗ 2=(1,−1,−x 0) 又 cos <n ⃗ 1,n ⃗ 2>=n ⃗ 1⋅n ⃗ 2∣n ⃗ 1∣⋅∣n ⃗ 2∣=11×√2+x 0，因为平面ACC1A1与平面AMP所成的锐二面角为θ，且cosθ=23，所以1×√2+x0=23，解得：x0=12，所以点P坐标为(12,0,1)，故P为棱A1B1的中点．21.解：（1）设FM:y=k(x+c)，O到直线FM的距离为√1+k2，因为直线FM被圆x2+y2=b2 4截得的线段的长为c，所以2√b24−(√1+k2)2=c，又e=ca =√33，a2=b2+c2，a2=3c2，b2=2c2，解得k=√33．（2）设M(x0,y0)，x0>0，y0>0，则x023c2+y022c2=1，又因为y0=√33(x0+c)，且FM=√(x0+c)2+y02=4√33，解得c=1，c=3（舍）．所以椭圆的方程为x 23+y22=1．22.（1）由题意知e=ca =√22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12，即a2=2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2+y2=b2，且与直线x−y+2=0相切，所以b=2()2=√2，a2=2b2=4故椭圆C的标准方程为x 24+y22=1．（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线OQ:x=my，则直线MN:x=my+√2，由 {x =my +√2x 24+y 22=1 得 (m 2+2)y 2+2√2my −2=0，y 1+y 2=−2√2m m 2+2，y 1y 2=−2m 2+2．所以∣MN ∣=√m 2+1∣y 2−y 2∣=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√(−2√2m m 2+2)−4(−2m 2+2)=4(m 2+1)m 2+2，因为 MN ∥OQ ，所以 △QF 2M 的面积等于 △OF 2M 的面积，S =S 1+S 2=S △OMN ，因为点 O 到直线 MN:x =my +√2 的距离 d =√2√m 2+1，所以 S =12∣MN ∣⋅d =12×4(m 2+1)m 2+2×√2√m 2+1=2√2×√m 2+1m 2+2令 √m 2+1=t ，则 m 2=t 2−1(t ≥1)，S =2√2tt +1=2√2t+1t，因为 t +1t≥2√t ⋅1t=2(当且仅当t =1t,即t =1,也即m =0时取等号)，所以当 m =0 时，取得最大值 √2．。

2020年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高2022届高2019级高二10月月考理科数学试题及解析答案

2020～2021学年度黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学(理)试题一、单选题1.两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则m =( ) A.4B.3C.52D.2【参考答案】D【试题解析】根据两直线平行,斜率相等即可求出m 的值.由330x y +-=得33y x =-+,所以330x y +-=的斜率为3-, 所以0m ≠,由610x my ++=得61y x m m =--,所以63m-=-, 解得:2m =, 故选:D本题主要考查了两直线平行,斜率相等,属于基础题.2.若圆()()221:221C x y ++-=,()()222:2516C x y -+-=,则1C 和2C 的位置关系是( ) A.外离 B.相交C.内切D.外切【参考答案】D【试题解析】求出两圆的圆心距12C C ,比较12C C 与两圆半径和与差的绝对值的大小,进行可判断出两圆的位置关系.可知,圆1C 的圆心为()12,2C -,半径为11r =,圆2C 的圆心()22,5C ,半径为24r =,12125C C r r ===+,因此,圆1C 与圆2C 外切. 故选:D.本题考查两圆位置关系的判断,考查推理能力,属于基础题.3.椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是( )A.有相同的长轴长和短轴长B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点【参考答案】B【试题解析】利用椭圆的定义分别求出两个方程的a ,b ,c 的值即可判断每个选项的正误.对于椭圆221259x y +=,()()125,3,4,4,0,4,0,a b c F F ===- 焦距28c =,对于椭圆221925x y k k+=--a b ==k 有关,所以长轴长和短轴长与k 有关,()()114,28,0,4,0,4c c F F ===-焦距28c =故两个椭圆由相等的焦距, 故选:B本题主要考查了椭圆的几何性质,属于基础题.4.如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤,那么2x y -的最大值为( )A.2B.1C.2-D.3-【参考答案】B 【试题解析】解:当直线2x y z -=过点()0,1A -时,z 最大,故选B5.点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为( ) A.3(0,)2- B.(1,0)- C.(0,1)- D.3(,0)2-【参考答案】C【试题解析】设(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为()100,P x y ,根据直线1PP与+10x y -=垂直,(2,1)P 和()100,P x y 中点在直线+10x y -=上,列方程组即可求解.设(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为()100,P x y , 因为直线1PP 与+10x y -=垂直,所以()001112y x -⨯-=--,即001y x =-, 又因为(2,1)P 和()100,P x y 中点在直线+10x y -=上, 所以00211022x y +++-=,即001y x +=-, 所以00x =,01y =-,所以点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为(0,1)-, 故选:C本题主要考查了求点关于直线对称的点,属于中档题. 6.已知直三棱柱111ABC A B C -中,12,2,13ABC AB BC CC π∠====,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )10 B.155 D.10 【参考答案】A【试题解析】建立空间直角坐标系,求出1AB和1BC坐标,利用向量夹角的坐标表示即可求解如图:以垂直于BC的方向为x轴,BC为y轴,1BB为z轴建立空间直角坐标系,则()0,00B，()10,1,1C,()10,1,1BC=,因为120ABC∠=,则cos1201Ay AB==-,sin1203Ax AB==,即()3,1,0A-,()13,1,1AB=-,设异面直线1AB与1BC所成角为θ,111110cos52AB BCAB BCθ⋅===⨯故选:A本题主要考查了求异面直线所成的角,属于中档题.7.若椭圆221164x y+=的弦AB被点(1,1)M平分,则AB所在直线方程为()A.450x y-+= B.450x y+-=C.450x y-+= D.450x y+-=【参考答案】B【试题解析】采用点差法,设()()1122,,,A x yB x y,联立方程即可求解设()()1122,,,A x y B x y ,则满足2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式作差得()222212124x x y y -=--,又AB 被点(1,1)M 平分,故12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,且直线AB 的斜率存在,所以1221122114x x y y y y x x ⎛⎫+--=⎪+-⎝⎭, 化简得212114AB y y k x x -==--,则AB 所在直线方程为()1114y x =--+, 化简得450x y +-= 故选:B本题考查由椭圆弦中点求对应直线方程,点差法是解决此类题型关键,对于小题,也可熟记结论22AB OMk k b a=-⋅,属于中档题8.一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切,与圆22:(3)81C x y +-=内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为( )A.2212516y x += B.2212516x y += C.221169y x += D.221169x y += 【参考答案】A【试题解析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数,且大于两个定点的距离,故轨迹为椭圆,根据条件计算得到答案.设动圆半径为r ,圆心为M ,根据题意可知,2(0,3C ）和1(0,3C -）,1||1+MC r =,2||9MC r =-,12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>,故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆,且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -）,其中210,5a a ==, 122||6,3c C C c === , 所以222=25916b a c -=-=,故椭圆轨迹方程为: 2251162x y +=,故选:A.本题考查了椭圆的轨迹方程,确定轨迹方程的类型是解题的关键.9.过点(1,3)P --作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为A 和B ,则弦长||AB =( )A.3B.2C.2D.4【参考答案】A【试题解析】可知PO AB ⊥,OA PA ⊥,OB PB ⊥,根据四边形OAPB 的面积建立等量关系可求出||AB .如图,可知PO AB ⊥,OA PA ⊥,OB PB ⊥,132PO ∴=+=,3PA =,所以四边形OAPB 的面积11222S PO AB OA PA =⋅=⨯⋅, 即11221322AB ⨯⨯=⨯⨯解得3AB =故选:A.本题考查直线与圆相切的相关计算,属于基础题.10.已知斜率为1的直线l 过椭圆22184y x +=的下焦点,交椭圆于,A B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积是( )B.8C.4D.83【参考答案】D【试题解析】求出直线方程,代入椭圆方程,求得交点的坐标,然后求解△OAB 的面积.椭圆22184y x +=的下焦点坐标为(0,2)- ,∵斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点,∴可得直线方程为2y x =-,代入椭圆方程可得23440x x --=,2x ∴=或23x =-,OAB ∴△的面积:11282222233⨯⨯+⨯⨯=,故选:D本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,三角形的面积的求法,属于基础题. 11.长方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为9π,2AB AD ==,则点B 到平面1D AC 的距离等于( )B.3【参考答案】C【试题解析】由长方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为9π,求得32R =,结合长方体的性质,解得11AA =,再根据11D ABC B D AC V V --=,即可求得点B 到平面1D AC 的距离.如图所示,长方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为9π,则249R ππ=,解得32R =, 在长方体中,可得2222AB AD AA R ++=,即222223AA ++=,解得11AA =,又由三棱锥1D ABC -的体积为1111122213323D ABC ABC V S DD -=⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=, 在1D AC 中,115,22D A DC AC ===,可得13DO =, 所以1111223622D ACSAC D O =⨯⨯=⨯⨯=, 设点B 到平面1D AC 的距离为d ,则11163B D ACD AC V S d d -=⋅=, 又因为11D ABC B D AC V V --=,即623d =,解得6d =, 即点B 到平面1D AC 的距离为63. 故选:C.本题主要考查了求得表面积公式,长方体的结构特征,以及点到平面的距离的计算,其中解答中合理利用“等体积法”求解点到平面的距离是解答的关键,着重考查推理与计算能力.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ,上顶点为(0,)A b ,直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅,则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.1[,1)2B.2[,1)2C.51[,1)2- D. 20,⎛⎤ ⎥⎝⎦【参考答案】C【试题解析】取AP 中点Q ,可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=,即||||FA FP =,可求得||FA a =,2||a FP c c≥-,求解即得.取AP 中点Q ,由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=, 故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥,故三角形AFP 为等腰三角形,即||||FA FP =, 且22||FA b c a +=,所以||FP a =,由于P 在直线2a x c =上,故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥,解得:512e ≥或512e -≤,又01e << 故5112e ≤<, 故选:C本题考查了椭圆的几何性质,考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力,属于中档题.二、填空题13.已知点(,)M x y是平面区域10240x yx yxy-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的动点,则22(1)(1)x y+++的最大值为_________.【参考答案】13【试题解析】作出不等式组表示的可行域,根据22(1)(1)x y+++表示(,)M x y到()1,1--的距离的平方即可求解.作出10240x yx yxy-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的可行域,如下(阴影部分):联立10240x yx y-+=⎧⎨+-=⎩,解得12xy=⎧⎨=⎩,即两直线的交点为()1,2A,22(1)(1)x y+++表示(,)M x y到()1,1--的距离的平方,由图可知,点()1,2A到点()1,1--的距离最大,()()2211214913+++=+=所以22(1)(1)x y+++的最大值为13.故答案为:13本题考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合的思想,属于基础题.14.过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线,则其切线方程为____________. 【参考答案】2x =或3420x y+=-【试题解析】当过点(2,2)的直线斜率不存在时,方程是2x =,通过验证圆心到直线的距离,得到2x =符合题意;当过点(2,2)的直线斜率存在时,设直线方程为(22)y k x -=-,根据圆心到直线的距离等于半径1,建立关于k 的方程,解之得k ,进而得到直线的方程,最后综合可得答案.圆22:(1)1C x y -+=的圆心为(1,0),半径为1, (1)当过点(2,2)的直线垂直于x 轴时, 此时直线斜率不存在,方程是2x =, 圆心(1,0)O 到直线的距离为1dr ,∴直线2x =符合题意;(2)当过点(2,2)的直线不垂直于x 轴时,设直线方程为(22)y k x -=-,即220kx y k --+=. 直线是22:(1)1C x y -+=的切线,∴点(1,0)O 到直线的距离为1d ==,解之得34k =,此时直线方程为3420x y+=-.∴切线方程为2x =或3420x y+=-.故答案为:2x =或3420x y+=-.借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题,考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知椭圆2213x y +=上动点为M ,则点M 到直线80l x y --=：的距离的最小值为___________.【参考答案】【试题解析】设()3cos ,sin Pθθ,[]0,2θπ∈,求出点P 到直线80l x y --=：的距离,利用三角函数的性质既可以求出最小值. 设()3cos ,sin Pθθ,[]0,2θπ∈,则点P 到直线80l x y --=：的距离2sin 83cos sin 8sin 3cos 83222d πθθθθθ⎛⎫-+ ⎪---+⎝⎭===, 所以当sin 13⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πθ时min 28322d -+==, 故答案为:32本题主要考查了椭圆上点到直线距离的最值,利用参数方程较简单,属于中档题.16.已知椭圆22162x y C +=：的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的通径AB (过焦点垂直于长轴的弦叫做通径),则1ABF 的内切圆方程为____________. 【参考答案】2244()39x y -+=【试题解析】先求出6a =,2b =,2c =,求出156AF =,26AF =,进而可以求出1ABF 的周长L 和面积S ,设1ABF 的内切圆半径为r ,由12S r L =⨯⨯即可求出r ,利用2F 坐标和半径即可以求出圆心坐标,从而得出圆的方程.设1ABF 的内切圆半径为r ,由椭圆的方程知:a =b =2c ==则124F F =,因为AB 垂直于x 轴,所以221216AF AF -= ,122AF AF a +==解得:1AF =2AF =,1ABF 的周长为12L AF AF AB =++==,其面积为:121142233S AB F F =⨯⨯=⨯=,由内切圆的性质得:12S r L =⨯⨯,即132r =⨯⨯,解得:23r =, 圆心横坐标为:24233-=,所以圆心坐标为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以所求圆的方程为:2244()39x y -+=, 故答案为:2244()39x y -+=本题主要考查了椭圆的几何性质以及圆的方程,属于中档题.三、解答题17.已知直线1:3100l x y -+=与2:280l x y +-=相交于点A ,点O 为坐标原点,P 为线段OA 的中点. (1)求点P 的坐标;(2)过点P 作直线l 垂直于直线1l ,求直线l 的方程.【参考答案】(1)()12，;(2)350x y +-=. 【试题解析】(1)通过联立方程组求出直线的交点坐标,利用中点坐标公式即可求解; (2)直线l 垂直于直线1l 可以求出直线l 的斜率,再结合过点P 即可求解(1)因为直线13100l x y -+=：与2280l x y +-=：相交于点A ,解方程组3100280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，，得24x y =⎧⎨=⎩，，所以()24A ，. 因为()00O ，,P 为线段OA 中点,故由中点坐标公式求得()12P ，. (2)当1l l ⊥时,直线l 的斜率为3-,因为直线l 过()12P ，,所以直线l 的方程:23(1)y x -=-- 故直线l 的方程为:350x y +-=.本题只要考查了求两条直线的交点坐标,以及求直线的方程,涉及中点坐标公式,两直线垂直斜率为1-,属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 经过(3,4),(3,2),(0,1)P Q R -三点. (1)求圆C 的方程;(2)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点,且CA CB ⊥,求a 的值. 【参考答案】(1)()()22319x y -+-=;(2)1a =或5-.【试题解析】(1)因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上,所以可设圆C 的圆心为(),1t ,即可求出参数t ,得到圆心坐标,再求出圆的半径,从而求出圆的方程;(2)依题意可得ACB △为等腰直角三角形,则圆心到直线的距离3sin 45d =︒,从而求出参数的值;解:(1)因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上,所以可设圆C 的圆心为()1t ，, 则有()()()222231411t t -+-=+-,解得3t =.即圆心为()31，则圆C3=. 所以圆C 的方程为()()22319x y -+-=.(2)因为圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点,且CA CB ⊥,所以ACB △为等腰直角三角形,点C到直线AB 距离3sin 45d =︒= 解得15a =-或.本题考查几何意义法求圆的方程,直线与圆的位置关系求参数的值,属于基础题. 19.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形,90,//DAB AD BC ∠=,AD ⊥侧面,PAB PAB 是等边三角形,2DA AB ==,12BC AD =,E 是线段AB 的中点.(1)求证:PE ⊥平面ABCD ;(2)求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析;(2)35. 【试题解析】(1)证明AD PE ⊥,PE AB ⊥,利用线面垂直的判定定理即可证PE ⊥平面ABCD ;(2)以E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -,写出点的坐标,求出PC 坐标以及平面PDE 的法向量()n x y z =，，,利用sin cos PC n PC n PC nθ⋅==，即可求解.解:(1)因为AD ⊥面PAB ,PE ⊂面PAB ,所以AD PE ⊥, 又因为PAB △是等边三角形,E 是线段AB 的中点,所以PE AB ⊥, 因为AD AB A ⋂=,所以PE ⊥平面 ABCD .(2)以E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -,则()000E ，，,()110C -，，,()210D ，，,()003P ，，, ()210ED =，，,()003EP =，，,()113PC =--，，, 设()n x y z =，，为平面PDE 的法向量,由00n ED n EP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2030x y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,可得()120n =-，，, 设PC 与平面PDE 所成的角为θ,3sin cos 555PC n PC n PC nθ⋅====⨯，,所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35.本题主要考查了证明线面垂直以及利用向量求线面角的正弦,属于中档题20.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知1,2,AA AB AC BC AB ===1AA ⊥平面ABC ,点,M Q 分别是1,BC CC 的中点,点P 是棱11A B 上的任一点.(1)求证:AQ MP ⊥;(2)若平面11ACC A 与平面AMP 所成的锐角为θ,且2cos 3θ=,试确定点P 在棱11A B 上的位置,并说明理由.【参考答案】(1)证明见解析;(2)P为棱11A B的中点;答案见解析.【试题解析】(1)由勾股定理得AB AC⊥,以A为原点,分别以AB,AC,1AA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AQ MP⊥;(2)求出平面ACCA|的一个法向量和平面AMP的一个法向量,利用向量法能求出P1012⎛⎫⎪⎝⎭，，,P是棱AB的中点.(1)由已知得:222AB AC BC+=,所以AB AC⊥,又1AA ABC⊥平面,所以1AA,AB,AC两两垂直.如图所示以A为原点,分别以AB,AC,1AA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设1AB=,则()000A，，,()010C，，,()100B，，,1122M⎛⎫⎪⎝⎭，，,1012Q⎛⎫⎪⎝⎭，，.设()()000101P x x≤≤，，.1012AQ→⎛⎫= ⎪⎝⎭，，,11122MP x→⎛⎫=--⎪⎝⎭，，,因为01110110222AQ MP x→→⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯-+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以AQ MP→→⊥,故AQ MP⊥.(2)由已知得,11AB ACC A⊥平面,所以平面11ACC A的一个法向量为()1100n→=，，.又1122AM→⎛⎫= ⎪⎝⎭，，,()01AP x→=，，.设平面AMP的一个法向量为()2n x y z→=，，,则22AP nAM n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1122x yx x z⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，令1x =,则1y =-,0z x =-.所以平面AMP 的一个法向量为()2011n x →=--，，,又121212cos n n n n n n →→→→→→⋅==⋅，∣∣∣∣, 因为平面11ACC A 与平面AMP 所成的锐二面角为θ,且2cos 3θ=,23=,解得:012x =, 所以点P 坐标为1012⎛⎫⎪⎝⎭，，, 故P 为棱11A B 的中点.本题考查异面直线垂直的证明,考查满足条件的点的位置关系的判断与求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.21.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c,FM =. (1)求直线FM 的斜率; (2)求椭圆的方程.【参考答案】(1)3;(2)22132x y +=.【试题解析】(1)设直线FM 的方程为()y k x c =+,其中0k >,计算出坐标原点O 到直线FM 的距离,利用勾股定理可得出关于k 的等式,进而可求得k 的值,即为直线FM 的斜率;(2)设点()00,M x y ,00x >,00y >,可得出220022132x y c c +=以及)00y x c =+,结合两点间的距离公式可求得c 的值,可求得a 、b 的值,由此可得出椭圆的方程.(1)由于点M 在椭圆上且位于第一象限,椭圆的左焦点为(),0F c -, 由题意可知,直线FM 的斜率存在且为正数,设直线FM 的方程为()y k x c =+,其中0k >,O 到直线FM∣∣,因为直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c ,所以c =,又c e a ==,222a b c =+,223a c =,222b c =,解得k =因此,直线FM的斜率为3; (2)设()00,M x y ,00x >,00y >,则220022132x y c c+=,又因为)00y x c =+,且02FM y ===,03y ∴=, 所以,02220221330x c x c c x +=⎧⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩,解得011x c =⎧⎨=⎩,则a=b =所以椭圆的方程为22132x y +=.本题考查直线斜率的求解,同时也考查了利用椭圆的焦半径长求椭圆的标准方程,考查计算能力,属于中等题.22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,左、右焦点分别为12,F F ,以原点O 为圆心,椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与,M N 两个不同的点,记2QF M △的面积为1S ,2OF N △的面积为2S ,令12S S S =+,求S 的最大值.【参考答案】(1)22142x y +=;(2.【试题解析】(1)由离心率可得222a b=,再根据条件求出b =即可求出a ,写出椭圆方程;(2)设()11M x y ，,()22N x y ，,直线OQ x my =：,则直线MN x my =：联立椭圆方程,根据弦长公式求出()22412m MN m +=+,再求出点O 到直线MN的距离d =,即可表达出OMN 的面积,进而求出最大值.(1)由题意知c e a ==所以22222212c a b e a a -===,即222a b =, 又以原点O 为圆心,椭圆C 的短半轴长为半径的圆为222x y b +=,且与直线20x y -+=相切,所以b ==2224a b ==,故椭圆C 的标准方程为22142x y +=.(2)设()11M x y ，,()22N x y ，,直线OQ x my=：, 则直线MN x my =+：,由22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得()22220m y ++-=,1222y y m +=-+,12222y y m =-+. ∴22MN y y =-∣==()22412m m +=+ , 因为MN OQ ∥,所以2QF M △的面积等于2OF M △的面积,12OMNS S S S =+=,因为点O 到直线MN x my =：d =,所以()224111222m S MN d m +=⋅=⨯=+∣∣21t =,则()2211m t t =-≥,211S t t t==++,因为12t t +≥=,当且仅当1t t =,即1t =时,也即0m =时取等号,所以当0m =时,S.本题考查椭圆标准方程的求法,考查椭圆中的三角形面积最值问题,属于较难题.。

2020年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高2022届高二10月月考理科数学试题及解析答案

2020～2021学年度黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高二10月月考数学(理)试题一、单选题1.已知()1,2OA =-,()3,OB m =,若OA OB ⊥,则m =( ) A.4B.3C.32-D.32【参考答案】D【试题解析】根据OA OB ⊥及OA 、OB 的坐标,应用坐标表示向量垂直即可求参数m由OA OB ⊥,()1,2OA =-,()3,OB m = 有320OA OB m ⋅=-+= 解得32m = 故选:D本题考查了向量垂直的坐标表示,利用已知向量坐标及垂直关系有12120x x y y +=求参数值2.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若30,45,B C b ︒︒===则c =( )A.2B.3C.4D.3【参考答案】C【试题解析】由正弦定理求解即可.由正弦定理可知sin sin b c B C =,则sin 241sin 2b Cc B===故选:C本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.3.已知,(0,)x y ∈+∞,且141x y+=,则x y +的最小值为( ) A.8B.9C.6D.7【参考答案】B【试题解析】由题意,根据()14x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,结合基本不等式,即可求出结果.因为,(0,)x y ∈+∞,且141x y+=, 所以()144414529y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+⋅=⎪⎝⎭,当且仅当4y x x y =,即36x y =⎧⎨=⎩时,等号成立, 故选:B.本题主要考查由基本不等式求最值,属于基础题型.4.如图所示,三棱台111ABC A B C -中,沿面1A BC 截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分是( )A.三棱锥B.四棱锥C.三棱台D.四棱台【参考答案】B【试题解析】根据棱锥的定义和空间结合体的结构特征,即可求解,得到答案.由题意知,三棱台111ABC A B C -中,沿面1A BC 截去三棱锥1A ABC -, 则剩余部分是四棱锥111A BB C C -,故选B .本题主要考查了棱锥的定义及其判定,其中解答中熟记棱锥的定义,以及空间几何体的结构特征是解答的关键,着重考查了空间想象能力,属于基础题.5.设m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列说法错误．．的是( ) A.若m α⊥,n α⊥,则//m n ; B.若//αβ,m α⊥,则m β⊥; C.若//m α,//n α,则//m n ; D.若m α⊥,//m β,则αβ⊥.【参考答案】C【试题解析】直接由直线平面的定理得到选项,A B 正确;对于选项C , m ,n 可能平行、相交或异面,所以该选项错误;对于选项D ,m 与β内一直线l ,所以l α⊥,因为l 为β内一直线,所以αβ⊥.所以该选项正确.对于选项A ,若m α⊥,n α⊥,则//m n ,所以该选项正确; 对于选项B ,若//αβ,m α⊥,则m β⊥,所以该选项正确;对于选项C ,若//m α,//n α,则m ,n 可能平行、相交或异面,所以该选项错误; 对于选项D ,若m α⊥,//m β,则m 与β内一直线l ,所以l α⊥,因为l 为β内一直线,所以αβ⊥.所以该选项正确. 故选:C .本题主要考查空间直线平面位置关系的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢? () A.16 日 B.12 日C.9 日D.8 日【参考答案】C 【试题解析】解:由题可知,良马每日行程a n 构成一个首项为103,公差13的等差数列, 驽马每日行程b n 构成一个首项为97,公差为﹣0.5的等差数列, 则a n ＝103＋13(n ﹣1)＝13n ＋90,b n ＝97﹣0.5(n ﹣1)＝97.5﹣0.5n , 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250,又∵数列{a n }的前n 项和为2n ⨯(103＋13n ＋90)2n=⨯(193＋13n ), 数列{b n }的前n 项和为2n ⨯(97＋97.5﹣0.5n )2n =⨯(194.512-n ),∴2n ⨯(193＋13n )2n+⨯(194.512-n )＝2250, 整理得:25n 2＋775n ﹣9000＝0,即n 2＋31n ﹣360＝0, 解得:n ＝9或n ＝﹣40(舍),即九日相逢. 故选C点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,考查转化思想,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 7.给出下列命题:①有两个面互相平行且是全等的三角形,其余各面都是四边形,且相邻两四边形的公共边互相平行,由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱;②有一个面是五边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,由这些面所围成的封闭几何体一定是五棱锥;③有两个面是互相平行且相似的矩形(不全等),其余各面都是梯形,由这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台. 其中正确的命题是( ) A.②③ B.①②C.①③D.①②③【参考答案】B【试题解析】①根据棱柱的定义进行判断;②根据棱锥的定义进行判断;③根据棱台的定义进行判断.①由棱柱的定义知①正确; ②由棱锥的定义知②正确;③棱台是由平行于底面的棱锥所截得的,有两个面是互相平行且相似的矩形(不全等),其余各面都是梯形,四条侧棱不一定交于一点,则③不一定是四棱台,故③错误; 故正确的是①②; 故选:B .本题主要考查命题的真假判断,结合棱柱,棱锥,棱台的定义是解决本题的关键,比较基础.8.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.120︒ B.60︒C.45︒D.30︒【参考答案】B【试题解析】由题意知底面积为23933S =⨯=,体积94V Sh ==,所以3h =,设PP '是棱柱高,则P 是底面ABC 的中心,从而23313AP =⨯⨯=,又P AP ∠'为直线和平面所成的角,所以tan 3P AP '∠=,60P AP ∠='︒,故选B.【知识点】直线与平面所成的角.9.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为( )A.8(623)+B.6(823)+C.8(632)+D.6(832)+【参考答案】A【试题解析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,然后按照表面积公式计算即可.由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,2,则该几何体的表面积为2116(222)42282322S ⎡⎤=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦8(623)=+.故选:A.本题考查数学文化与简单几何体的表面积,考查空间想象能力和运算求解能力.10.三棱柱111ABC A B C-中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA︒∠=∠=,则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为( )A.33B.66C.343【参考答案】B【试题解析】设1AA c=,AB a=,AC b=,根据向量线性运算法则可表示出1AB和1BC;分别求解出11AB BC⋅和1AB,1BC,根据向量夹角的求解方法求得11cos,AB BC<>,即可得所求角的余弦值.设棱长为1,1AA c=,AB a=,AC b=由题意得:12a b⋅=,12b c⋅=,12a c⋅=1AB a c=+,11BC BC BB b a c=+=-+()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=又()22123AB a c a a c c=+=+⋅+=()222212222BC b a c b a c a b b c a c=-+=++-⋅+⋅-⋅=11111116cos,6AB BCAB BCAB BC⋅∴<>===⋅即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为6本题正确选项:B本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中,E,F分别为棱1AA、1BB的中点,M为棱11A B上的一点,且1(02)A Mλλ=<<,设点N为ME的中点,则点N到平面1D EF的距离为()3λ22λ5【参考答案】D【试题解析】由几何体为正方体,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面D1EF的法向量n,结合向量的点到平面距离公式求得点M到平面D1EF的距离,结合N为EM中点即可求解以D 为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),1ED＝(﹣2,0,1),EF＝(0,2,0),EM＝(0,λ,1),设平面D1EF的法向量n＝(x,y,z),则12020n ED x zn EF y⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩,取x＝1,得n＝(1,0,2),∴点M到平面D1EF的距离为:d＝||25||5EM nn⋅==,N为EM中点,所以N到该5故选:D.本题考查利用向量法求解点到平面距离,建系法与数形结合是解题关键,属于中档题 12.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB =,12AA =,2AD =,E ､F 分别为棱1AA ､1BB 的中点.动点P 在长方体的表面上,且EP CF ⊥,则点P 的轨迹的长度为( )A.26+B.2C.612+D.62 【参考答案】A【试题解析】作出过点P ,点E 的平面α,使得CF ⊥平面α,此时P 的轨迹即为平面α与长方体表面的交线,据此可求解出轨迹的长度.连接EF ,过F 作FG ⊥CF 交11B C 于G 点,过G 点作11//GH A B 交11A D 于H 点,连接HE ,如下图所示:因为,E F 为11,AA BB 的中点,所以//EF AB ,又因为AB ⊥平面11BCC B ,所以EF ⊥平面11BCC B ,所以EF CF ⊥, 又因为FG CF ⊥,且EFFG F =,所以CF ⊥平面EFGH ,所以P 的轨迹为,,,EF FG GH HE ,因为190GB F CBF ∠=∠=︒,所以可知1BCF B FG ∽,所以11BF BC B G B F =,所以12B G =,所以22116FG B F B G =+=又因为//,GH AB GH AB =,所以四边形EFGH 为平行四边形,所以1GH EF ==,所以P 的轨迹长度为:612262⎛⎫+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选:A.本题考查线面垂直的综合应用,涉及到求解点的轨迹的长度问题,对学生的分析与转化能力要求较高,难度较难.二、填空题13.已知直线l 的斜率为2,且经过点()2,5--,则直线l 的一般式方程为_____________. 【参考答案】210x y --=【试题解析】根据直线的点斜式方程求出之后再化为一般是方程即可得答案.解:因为直线l 的斜率为2,且经过点()2,5--,所以直线l 的方程为52(2)y x +=+, 即210x y --=. 故答案为:210x y --=.本题考查直线的点斜式方程,一般式方程,是基础题.14.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y ++=的距离为1,则a =________【参考答案】43-【试题解析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案.圆2228130+--+=x y x y 的圆心坐标为:(1,4), 故圆心到直线10ax y +-=的距离1d ==,解得:43a =-,故答案为:43-本题考查的知识点是圆的一般方程,点到直线的距离公式.15.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若该球的表面积为48π,则圆柱的侧面积为_____.【参考答案】48π.【试题解析】先由球的表面积为48π求出球的半径,然后由圆柱的侧面积公式算出即可因为球的表面积24π48πS R ==所以R所以圆柱的底面直径与高都为所以圆柱的侧面积:2ππ⨯ 故答案为:48π本题考查的是空间几何体表面积的算法,较简单.16.如图,矩形ABCD 中, 22AB AD ==,E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △(点1A 不落在底面BCDE 内),若M 在线段1A C 上(点M 与1A ,C 不重合),则在ADE 翻转过程中,以下命题正确的是___________(把正确的序号写在横线上)(1)存在某个位置,使1DE A C ⊥(2)存在点M ,使得BM ⊥平面1A DC 成立 (3)存在点M ,使得//MB 平面1A DE 成立 (4)四棱锥1A BCDE -体积最大值为24【参考答案】(3)(4)【试题解析】利用反证法可得(1)(2)错误,取M 为1A C 的中点,取1A D 的中点为I ,连接,MI IE ,可证明//MB 平面1A DE ,当平面1A DE ⊥平面BCDE 时,四棱锥1A BCDE -体积最大值,利用公式可求得此时体积为24.如图(1),取DE 的中点为F ,连接1,A F CF ,则45CDF ∠=︒,2DF =,故2154222222CF =+-⨯⨯=,故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠.若1CA DE ⊥,因为11,A D A E DF FE ==,故1A F DE ⊥,而111A F A C A ⋂=, 故DE ⊥平面1A FC ,因为CF ⊂平面1A FC ,故DE CF ⊥,矛盾,故(1)错. 若BM ⊥平面1A DC ,因为DC ⊂平面1A DC ,故BM DC ⊥, 因为DC CB ⊥,BM CB B ⋂=,故CD ⊥平面1A CB ,因为1AC ⊂平面1A CB ,故1CD A C ⊥,但1A D CD <,矛盾,故(2)错. 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时,四棱锥1A BCDE -体积最大值, 由前述证明可知1A F DE ⊥,而平面1A DE平面BCDE DE =,1A F ⊂平面1A DE ,故1A F ⊥平面BCDE ,因为1A DE △为等腰直角三角形,111A D A E ==,故12A F =, 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=,故此时体积为1332⨯=故(4)正确. 对于(3),如图(2),取M 为1A C 的中点,取1A D 的中点为I ,连接,MI IE , 则1//,2IM CD IM CD =,而1//,2BE CD BE CD =, 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形,故//IE BM ,因为IE ⊂平面1A DE ,BM ⊄平面1A DE ,故//MB 平面1A DE , 故(3)正确.故答案为:(3)(4).本题考查立体几何中的折叠问题,注意对于折叠后点线面的位置的判断,若命题的不成立,往往需要利用反证法来处理,本题属于难题.三、解答题17.已知圆C 过三点()1,3,4,2,()1,7-,圆C 的方程; 【参考答案】22(1)(2)25x y -++=【试题解析】根据圆的对称性由两点()1,3,()1,7-可得圆心在2y =-上,从而设出圆心坐标,再由()1,3,4,2到圆心的距离等于半径列出等式,得出圆C 的方程.因为圆过点()()1,3,1,7-,故圆心在2y =-上设圆心坐标(),2x -,则()()22125416x x -+=-+,解得1x =.故其半径()22112525r =-+=. 故圆方程为:22(1)(2)25x y -++=本题主要考查了由圆上三点求圆的方程,属于中档题. 18.已知4a =,3b =,()()23261a b a b -⋅+=. (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求a b -. 【参考答案】(1)23πθ=(2)||37a b -=【试题解析】(1)由已知可以求出a b ⋅的值,进而根据数量积的夹角公式,求出cos ,a b <>,进而得到向量a 与b 的夹角θ;(2)要求||a b -,我们可以根据(1)中结论,先求出2||a b -的值,然后开方求出答案.(1)||4a =,||3b =,22(23)(2)4||3||437461a b a b a b a b a b -⋅+=--⋅=-⋅=, ∴||||cos ,6a b a b a b ⋅=⋅<>=-,∴1cos ,2a b <>=-,∴,120a b <>=, ∴向量a 与b 的夹角120θ.(2)222||||||21691237a b a b a b -=+-⋅=++=,||37a b ∴-=.本题考查数量积表示两个向量的夹角、向量的模,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,cos sin C c B =. (1)求角C 的大小(2)若c =ABC ∆的面积为求ABC ∆的周长.【参考答案】(Ⅰ)3C π=.(Ⅱ)10+【试题解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式可得tan C 值,结合范围()0,C π∈,即可得解C 的值.(Ⅱ)利用正弦定理及面积公式可得ab ,再利用余弦定理化简可得a b +值,联立得,a b 从而解得ABC ∆周长.(Ⅰ)由正弦定理sin sin b cB C=,得cos sin sin B C B C =,在ABC 中,因为sin 0B ≠,sin C C =故tan 3C =, 又因为0＜C ＜π,所以3C π=.(Ⅱ)由已知,得1sin 632ab C =. 又3C π=,所以24ab =.由已知及余弦定理,得222cos 28a b ab C +-=, 所以22=52a b +,从而()2100a b +=.即10a b += 又27c =,所以ABC ∆的周长为1027+.本题主要考查了正弦定理,余弦定理的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于基础题.20.如图所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是60DAB ∠=︒且边长为a 的菱形,侧面PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点,求证:BG ⊥平面PAD . (2)求证:AD PB ⊥.(3)若E 为BC 边的中点,能否在PC 上找出一点F ,使平面 DEF ⊥平面ABCD ？【参考答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析【试题解析】(1)证明PG AD ⊥,利用面面垂直的性质即可证明(2)证AD ⊥平面BPG 即可得AD PB ⊥(3)存在点F ,且F 为PC 的中点,证明MF ⊥平面ABCD ,即可证出平面 DEF ⊥平面ABCD .证明:连接PG ,BD ,因为PAD ∆是等边三角形,G 为AD 边的中点,所以PG AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD,所以PG⊥平面ABCD,所以PG BG⊥.因为四边形ABCD是菱形,所以AB AD=.又因为60BAD∠=︒,所以ABD∆是等边三角形,所以BG AD⊥.又因为PG AD G⋂=,,所以BG⊥平PAD.(2)证明:因为AD PG⊥,AD BG⊥,PG BG G⋂=,所以AD⊥平面BPG.又因为BP⊆平面BPG,所以AD PB⊥.(3)存在点F,且F为PC的中点.证明如下:连接CG交DE于M,连接FM,因为AD BC且AD BC=,又E,G分别是BC,AD的中点,连接EG,所以CE DG且CE DG=,所以四边形CEGD是平行四边形,所以CM MG=.又因为CF FP=,所以MF PG.由(1)知PG⊥平面ABCD,所以MF⊥平面ABCD.又MF⊆平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.本题主要考查了两个平面垂直的性质、判定,线面垂直的判定、性质,属于中档题. 21.已知数列{}n a满足()2*12324623Nnnn n na a a a+++⋅⋅⋅=+∈.(1)求数列{}n a的通项;(2)设2(1)2nn nb n a=+⋅,求数列{}nb的前n项和nS,当2n114m mS≥++对一切正整数n恒成立时,求实数m的取值范围.【参考答案】(1)*()1nna n Nn=∈+;(2)[]6,2-.【试题解析】(1)先求出1a,再用错位相减法求出2n≥时的na,再检验1a是否符合(2)na n≥,进而求出*()na n N∈;(2)首先根据(1)求出数列{}n b的通项公式,再求出数列{}n b的前n项和n S;又因为n S递增,所以2n114m mS≥++对一切正整数n恒成立等价于i2n m n11()4S m m≥++,即21114m mS≥++,进而求出实数m的取值范围.解:(1)当1n =时,124a =,所以112a =, 当2n ≥时,212324623nnn n a a a a +++⋅⋅⋅=+ ①, 212312462(1)(1)3(1)n n n n a a a a --+++⋅⋅⋅=-+- ②, 由①-②得222n nn a =+,所以1n n a n =+,当1n =时也符合此式, 综上可知*()1n na n N n =∈+. (2)因为2(1)2n n n b n a =+⋅,所以4nn b n =⋅,所以231424344nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ③,234141424344n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ④,由③-④得:2311113444444(14)4444414314()433n n n n n n n n S n n n n ++++-=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅-=-⋅=-⋅-=--所以1314499n n n S +-=⨯+, 又因为0n b >,所以n S 的最小值为14S =, 所以21414m m ≥++, 所以62m -≤≤,即实数m 的取值范围是[]6,2-.本题主要考查数列的通项公式和数列前n 和的求解,以及数列与不等式的结合等问题,考查运算求解能力,属于中等题型. 22.在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,AB DC ,AB AD ⊥,1DC AD ==,2AB =,45PAD ∠=︒,E 是PA 的中点,F 在线段AB 上,且满足0B C D F ⋅=.(1)求证:DE 平面PBC ; (2)求二面角F PC B --的余弦值;(3)在线段PA 上是否存在点Q ,使得FQ 与平面PFC 所成角的余弦值是6,若存在,求出AQ 的长;若不存在,请说明理由.【参考答案】(1)见解析;(2)3;(3)210【试题解析】分析:该题是立体几何的有关问题,第一问在证明线面平行时,可以利用常规方法,用线面平行的判定定理来证明,也可以应用空间向量来证明,用直线的方向向量与平面的法向量是垂直的即可,第二问求二面角的余弦值,用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得,第三问假设其存在,设出点的坐标,建立等量关系式从而求得结果,做好取舍即可. 详解:(1)证明:取PB 的中点M ,AB 的中点N ,连接EM 和CM ,∴CDAB 且12CD AB =, ∴E ,M 分别为PA ,PB 的中点.EM AB ∥且12EM AB =∴EM CD ∥且EM CD =,四边形CDEM 为平行四边形, ∴DE CM ∥,CM ⊂平面PBC ,DE ⊄平面PBC ,∴DE平面BPC.(1)由题意可得DA,DC,DP两两互相垂直,如果,以D为原点,DA,DC,DP分别是x,y,z轴建立空间直角坐标系D xyz-,则()100A，，,()120B，，,()010C，，,()001P，，,1122E⎛⎫⎪⎝⎭，，设平面PBC的法向量为()m x y z=，，()110BC=--，，,()011CP=-，，m BC x ym CP y z⎧⋅=--=⎨⋅=-+=⎩∴x yy z=-⎧⎨=⎩,令1y=∴()111m=-，，又1122DE⎛⎫= ⎪⎝⎭，，,∴0m DE⋅=,∴DE m⊥DE⊄平面PBC∴DE平面PBC(2)设点F 坐标为()10t，，则()110CF t=-，，,()120DB=，，,由0BC DF⋅=得12t=,∴1102F⎛⎫⎪⎝⎭，，设平面FPC 的法向量为()n x y z=，，,1102CF⎛⎫=-⎪⎝⎭，，由n PCn FC⎧⋅=⎨⋅=⎩得12y zx y-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩即2y zy x=⎧⎨=⎩令1x=∴()122n=，，1223m n⋅=-++=则cos 33n m n m n m ⋅===⋅，又由图可知,该二面角为锐角故二面角F PC D --(3)设()0AQ AP λλλ==-，，,[]01，λ∈,∴FQ FA AQ =+ 12，，λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴1n FQ λ⋅=-∴cos FQ n==，∵FQ 与平面PFC=整理得: 220810λλ+-=,解得:110λ=,12λ=-(舍)∴存在满足条件的点Q ,1101010AQ ⎛⎫=-⎪⎝⎭，，,且10AQ =点睛:在解决立体几何问题时,尤其空间关系的时候,可以有两种方法,一是常规法,二是空间向量法,在应用面的法向量所成角来求二面角的时候,一定需要分清楚是其补角还是其本身,在涉及到是否存在类问题时,都是先假设存在,最后求出来就是有,推出矛盾就是没有.。

黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题数学含答案

哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020-2021学年高二10月月考数学(文)试题

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020-2021学年高二10月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为（）A ．()5,0B ．()0,5C ．)D ．(2．命题“若a b >，则11a b ->-”的否命题．．．是（） A ．若a b >，则11a b -≤- B ．若a b ≥，则11a b -<- C ．若a b ≤，则11a b -≤-D ．若a b <，则11a b -<-3．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（） A ．21B ．42C ．63D ．844．抛物线2y ax =的准线方程为1y =-，则实数a 的值是（） A ．14B ．12C ．14-D ．12-5．已知椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 作x 轴的垂线，交椭圆于,A B 两点.若等边1ABF ∆的周长为）A ．22132x y +=B ．22136x y +=C ．22123x y +=D ．22194x y +=6．如果双曲线()2210,0x y m n m n-=>>的渐近线方程渐近线为12y x =±，则椭圆221x y m n+=的离心率为（）A B ．34C D ．5167．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．B ．C ．D ．8．已知命题p ：函数12x y a +=-恒过（1,2）点；命题q ：若函数(1)f x -为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝9．已知双曲线2212x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥则12F PF △的面积是( )A ．4B ．2C ．1D ．1210．已知点P 在曲线1C ：221169x y -=上，点Q 在曲线2C ：()2251x y -+=上，点R 在曲线3C ：()2251x y ++=上，则PQ PR -的最大值是（） A ．6B ．8C ．12D ．1011．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π612．已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦F ，若BF AC ⊥，且3AF CF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．52C D ．23二、填空题13．已知命题p ：2x ∀<，380x -<，那么p ⌝是_________.14．双曲线221916x y -=上一点P 到点()15,0F -的距离为7，则点P 到点()25,0F 的距离为______.15．已知F 是抛物线2yx 的焦点，M 、N 是该抛物线的两点，3MF NF +=，则线段MN 的中点到x 轴的距离为____________.16．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．三、解答题17．设2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．、抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)Q m 到焦点的距离为5.（1）求,p m 的值；（2）过焦点且斜率为1的直线l 交抛物线于,A B 两点，求线段AB 的长. 19．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.20．四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PCD 面积为P ABCD -的体积.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点12p ⎫⎪⎭（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.22．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 为右2AF AB =，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 的交点分别是P ，Q 和M ，N 使得12OPQOMNSS =？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.参考答案1．D 【分析】直接根据椭圆的方程求出27c =，再根据焦点在y 轴，即可得答案；【详解】27c =，又椭圆的焦点在y 轴，∴椭圆的一个焦点为(，故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标，属于基础题. 2．C 【解析】由否命题的相关结论可知：命题“若a b >，则11a b ->-”的否命题是“若a b ≤，则11a b -≤-”. 本题选择C 选项. 3．B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.4．A 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，求得准线方程为14y a=-，然后由题意得到关于a 的方程，解得即可【详解】解：抛物线2y ax =的标准方程为21x y a=，其准线方程为14y a =-，由题意得114a -=-，解得14a =，故选：A 【点睛】此题考查抛物线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题 5．A 【解析】由题意可得等边1ABF ∆的边长为3，则3AB =，由椭圆的定义可得122a AF AF =+=+=a =由1222F F c ===，即有1c =，则b == 则椭圆的方程为22132x y +=，故选A ．6．A 【分析】根据双曲线的渐近线方程，确定m ，n 的关系，再确定椭圆几何量之间的关系，即可求得结论．【详解】解：由题意，14n m ，4m n ∴= ∴椭圆221x y m n+=中，24a m n ==，2b n =，243c m n n n n =-=-=，c e a ∴===故选：A ．【点睛】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7．B 【分析】由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋2.再联立直线和抛物线的方程消去y ，利用弦长公式求解. 【详解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋2.由2822y x y x ⎧=⎨=-+⎩得x 2－4x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1.∴|AB |==. 故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查圆锥曲线的弦长公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线A B AB y y =-;弦长公式：AB =公式中k 表示直线的斜率，a 是直线和椭圆的方程组消去y 后化简后20ax bx c ++=中2x 的系数，∆=-24b ac 是20ax bx c ++=的判别式；20ax bx c ++=不一定是一元二次方程；如果是先消去x ，则弦长公式变为AB =k 是直线的斜率，a 是20ay by c ++=中2y 的系数，∆是20ay by c ++=的判别式．8．B 【解析】函数恒过定点，所以命题错误；若函数为偶函数，所以有，关于直线对称，所以命题错误；所以为真，为真，选B.9．C 【分析】由双曲线第一定义，得到122PF PF a -=，由勾股定理得到222124PF PF c +=，通过这两个式子之间的化简，得到121212PF F S PF PF =⋅的值. 【详解】由双曲线2212x y -=，可知a c ==所以122PF PF a -==22121228PF PF PF PF +-⋅= 12PF PF ⊥，则由勾股定理得22212412PF PF c +==因此可得122PF PF ⋅= 所以1212112PF F SPF PF =⋅= 故选C 项. 【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形的面积.属于简单题. 10．D 【分析】由题意分析知道两圆圆心正好是双曲线的焦点()()125,0,5,0F F -，根据双曲线的定义结合方程得到218PF PF -=，然后根据圆的性质得到所求距离之差的最大值. 【详解】由双曲线的方程可知，双曲线的半实轴a =4,半虚轴b =3,∴半焦距为c 5=, 双曲线的两个焦点坐标分别为()()125,0,5,0F F -，且218PF PF -=, 而这两点正好是两圆()222:51C x y -+=和()232C :51x y ++=的圆心，两圆的半径都是1,如图所示,当点P 固定时，12max min 1,1PQ PF PR PF =+=-, 所以PQ PR -的最大值为1212(1)(1)28210PF PF PF PF +--=-+=+=，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的方程和定义，考查与圆有关的距离最值问题，属中档题. 11．C 【解析】分析：利用面积公式12ABCSabsinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 12．A 【详解】如图，因为BF AC ⊥，所以四边形1AFBF 为矩形，设AF m =，则12AF a m =+，又3AF CF =，所以3FC m =，132CF m a =+，所以()()()2222432a m m m a ++=+，得m a =，所以13BF AF a ==，又因为222BF AF AB +=，即()()22232a a c +=，所以得离心率e =，选择A 【点睛】双曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系，掌握常用变形技巧，有助于提高解题准确度13．02x ∃<，3080x -≥【分析】利用全称命题的否定形式是把∀改为∃，把结论否定，即可得到答案. 【详解】命题p ：2x ∀<，380x -<，否定形式p ⌝：02x ∃<，3080x -≥.故答案为：02x ∃<，3080x -≥【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 14．13 【分析】求出双曲线的3a =，运用双曲线的定义可得1226PF PF a -==，解方程即可得到所求值【详解】解：双曲线221916x y -=的3a =，由题意得17PF =，由双曲线的定义可得1226PF PF a -==，即276PF -=，解得213PF =或21PF =,又22PF c a ≥-=,所以213PF = 故答案为：13 【点睛】此题考查双曲线的定义的应用，属于基础题 15．54【分析】依题意可得抛物线的焦点坐标与准线方程，利用抛物线的定义将M 、N 到焦点的距离转化为其到准线的距离计算即可. 【详解】抛物线的焦点为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为14y =-，过M 、N 分别作准线的垂线，则MM MF '=，NN NF '=，所以3MM NN MF NF ''+=+=，所以中位线322MM NNPP''+'==，所以则线段MN的中点P到x轴的距离为13154244 PP'-=-=，故答案为：5 4【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，将M、N到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，属于中档题.16．15.【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|=10=15，则|PM|+|PF1|的最大值为15.故答案为15.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．1 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围.【详解】由题意得，命题1:|12p A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，命题:{|1}q B x a x a =≤≤+， p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，p ∴是q 的充分不必要条件，即A B ⊆，11a ∴+≥且12a ≤， 102a ∴≤≤，故实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，以及根据必要不充分条件求参数的问题，解答时注意等价转化思想的运用. 18．（1）2p =，4m =±；（2）||8AB =. 【分析】（1）运用抛物线的定义可以直接得到方程，进而求解出p 的值，再把点的坐标代入抛物线的方程中，可以求出m 的值；（2）设出,A B 两点坐标，把直线l 的方程与抛物线方程联立，利用根与系数关系，结合抛物线定义可以求出线段AB 的长. 【详解】（1）抛物线的焦点是,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由题可得452p +=，解得2p =所以，抛物线的方程为24y x =，又点(4,)Q m 在抛物线上，所以244,4m m =⨯=± （2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为1y x =-联立241y xy x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=所以，126x x +=，12||28AB x x =++=. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了数学运算能力. 19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 2acbc aA bcac -+-===. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故 ()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【分析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取AD 中点M ，由于平面PAD 为等边三角形，则PM AD ⊥，利用面面垂直的性质定理可推出PM ⊥底面ABCD ，设BC x =，表示相关的长度，利用PCD ∆的面积为.（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积【详解】21．（1）2214xy+=；（2）2532.1）运用椭圆的离心率公式和点满足方程，解方程可得a ，b ，即可得到椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程，由点差法和中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到中点弦方程，分别求得与x ，y 轴的交点，可得三角形的面积．【详解】（1）由已知2c a =，223114a b +=得2a =，1b =，c = ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程得221114x y +=，222214x y +=两式相减得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=，中点坐标公式得121x x =+，121y y += ∴14AB k =-直线AB 方程为111242y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭令0x =，58y =，令0y =，52x =1552528232S =⨯⨯=. 【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式的运用，考查中点弦方程的求法，注意运用点差法的运用，考查运算能力，属于中档题．22．（1）22143x y +=；（2）存在，103x y ++=或103x y -+=.【分析】（12AF AB =可得=2a =，即可得答案；（2）由题可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线，设该直线为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，利用韦达定理、面积关系，即可得答案；（12AF AB =所以= 由右顶点()2,0B 得2a =，23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=.（2）存在，由题可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线，设该直线为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y 联立221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690k y ky +--=，122634k y y k +=+，122934y y k -=+，则12y y -== 联立214x ky y x =-⎧⎨=-⎩得2440y ky +-=，344y y k +=-，344y y =-所以34y y -=若12OPQOMN SS =，则123412y y y y -=-，解得k =，所以符合题意的直线为103x y++=或103x y -+=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的定直线，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用.。

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020届高三10月月考数学(文)试题

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020届高三10月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1B ．1C ．i -D ．i2．已知集合{|A x x =是1-20以内的所有素数}，{}|8B x x =≤，则A B =（）A ．{}3,5,7B ．{}2,3,5,7C ．{}2,3,5,7D ．{}1,3,5,73．在等差数列{}n a 中， 35712a a a +=-，则19a a +=（） A ．8B ．12C ．16D ．204．函数()2sin f x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．已知0.30.3 3.12.10.2log ,log ,0.2a b c -===，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤D ．4a ≤7．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2f -的值为（） A ．0B ．3C ．32D ．92-8．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．15 B ．14C ．13D ．129．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A ．1003B ．1043C ．27D ．1810．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-11．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为1，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（） A．B ．323π C ．12π D ．16π12．已知函数()ln f x x x k =-+，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个数a ，b ，c 均存在()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则k 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．(),3e -∞-D ．()3,e -+∞13．已知(1,2),(1,1)a b ==，若()ka b b +⊥，则实数k 的值_________.14．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______. 15．数式11111+++⋅⋅⋅中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则11t t+=，则210t t --=，取正值得t =.用类似=__________.16．定义1nii nu =∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“快乐数”为131n +，则数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前2019项和为________. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-.(1)求证{}1n a +为等比数列； (2)求数列{}n S 的前n 项和n T .18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin 2cos a B b A C +=+．（1）求角C 的大小；（2）若2a =，2222a b c +=，求ABC ∆的面积．19．已知()()2cos 23sin ,1,cos ,m x x n x y =+=-，且m n ⊥.将y 表示为x 的函数，若记此函数为()f x ，（1）求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[]0,x π∈上的最大值与最小值.20．在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADEF ；（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.21．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．已知函数()1ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设函数()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】【分析】根据复数除法的计算公式计算，由复数的概念即可得到结果. 【详解】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的概念，属于容易题. 2．B 【解析】【分析】分别求出集合A 、B 中的元素，再进行交集运算. 【详解】由题意知集合{}2,3,5,7,11,13,17,19A ={}{}|8|88B x x x x =≤=-≤≤，所以{}2,3,5,7A B =故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算。

黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷

黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}20,1,2,{Z |3}A B x x ==∈<，则A B =U （）A ．{}0,1B ．{}1,0,2-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,1,2,3-2．“2ω=”是“()()()sin 0f x A x A ωφ=+≠最小正周期为π”的（）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知1a >，则161a a +-的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．114．函数()()22log 4f x x =-在(),a -∞上单调递减，则实数a 取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,+∞C ．(],0-∞D ．[)0,+∞5．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos25α=-，则π2sin(π)sin 23πcos(π)cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭（）A ．3B ．3-C ．5D ．536．已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列命题正确的有（）个①()0f = ②()f x 在5π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③2π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心 ④()f x 最小正周期为π A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数()cos f x x x ωω=-，若关于x 的方程()10f x -=在区间(]0,2π上有且只有四个不相等的实数根，则正数ω的取值范围是（）A ．37,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．325,26⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．313,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．313,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题8．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()20x x f x f x '+->恒成立，则下列结论正确的有（）A ．()()4132f f <B ．()()163154f f >C ．()()6254f f <D ．()()254245f f >9．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（） A ．1y x= B ．e e x x y -=- C ．3y x =D ．2log y x =10．已知函数，()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．将y =f x 的图象向右平移π3个单位，得到sin y A x =的图象C ．12,R x x ∀∈，都有()()124f x f x -<D ．若方程()2f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数1,m ⎛∈- ⎝⎦11．已知函数3()31f x ax x =-+，则（）A ．()f x 在[]1,1-单调递减，则1a <B ．若0a >，则函数()f x 存在2个极值点C ．若1a =，则()f x 有三个零点D ．若()0f x ≥在[]1,1-恒成立，则4a =三、填空题12．已知角α的终边上一点P x （，且cos α=，则x =. 13．设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -≥+的解集为 .14．若函数()e xf x ax =-在区间()0,1上有极值点，则实数a 的取值范围是.四、解答题 15．已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．16．已知函数()π4cos sin R 3f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期以及单调递减区间；(2)设函数()π4cos 112g x f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求函数()g x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值．17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，(1)求证：⊥BC 平面P AB ； (2)求二面角A PC B --的大小．18．在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos 2cos C a cB b-=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC S =△b =a c +的值；（3）若A C ∠<∠，求222sin sin A C +的取值范围.19．已知函数()()2ln f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，使得当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由；（3）当(]0,x e ∈时，证明225(1)ln 2e x x x x >++.。

2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二10月月考数学(理)试题Word版含答案

2019-2020学年黑龙江省哈师大附中10月月考高二数学（理）试题一．填空题：（每题5分，共60分）1.到两定点)02(1，-F 和)02(2，F 的距离之和为4的点的轨迹是（） A.椭圆 B.线段 C.圆 D. 以上都不对2.椭圆121122=-++my m x 的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是（） A.210<<m B.211<<-m C.01<<-m D.0>m 3.命题“若12,11>>+>>ab b a b a 且则且”的逆否命题是（）A ．若11,12≤≤≤≤+b a ab b a 且则且B ．若11,12≤≤≤≤+b a ab b a 或则且C ．若11,12≤≤≤≤+b a ab b a 且则或D ．若11,12≤≤≤≤+b a ab b a 或则或4.椭圆2255x ky +=的一个焦点为(0,2), 则实数k 的值为 ( )5.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B.22(2)(1)1x y -+-=C.22(1)(3)1x y -+-=D.223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭7.已知12,F F 为椭圆14:22=+y x C 的左右焦点，点P 在C 上，213PF PF =，则=∠21cos PF F ( ) A.31 B ．31- C ．32 D ．32- 8.直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 上的点的最近距离是（） A ．22B ．12-C ．122-D ．19.已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱CD 中点，则直线1A E 与直线1BC 所成角的余弦值为（）A ．3 B ．13 C ．3D ． 010.椭圆1162522=+y x 的左右焦点为21,F F ，P 为椭圆上任一点，则21PF PF 的最小值为（） A.25 B.16 C.10 D.911.已知命题:p 01,≤+∈∃x R x ，命题01,:2>++∈∀mx x R x q 恒成立。

哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020届高三数学10月月考试题文

17．（10 分）已知数列{an｝的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=2an﹣ n．
(1）求证｛an+1}为等比数列；
（2）求数列{Sn}的前 n 项和 Tn．
18。(12 分)在 ABC 中,内角 A ， B ,C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且。 asin B 1 bsin A 2cosC （1)求角C 的大小；（2）若 a 2, a2 b2 2c2 ,求 ABC 的面积.
在（0，+∞）内恒成立．
10
黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校 2020 届高三数学 10 月月考试题文
即：ax2—x+a≥0 得：
恒成立．
由于， ∴
，∴
∴f（x）在(0,+∞）内为增函数，实数 a 的取值范围是．
。。。.。。..。.6 分
（Ⅱ）∵ 在［1，e]上是减函数
∴x=e 时，g（x)min=1，x=1 时,g(x)max=e，即 g(x）∈[1，e］
D.i
2.已知集合 A {x | x 是 1—20 以内的所有素数} ， B x x 8，则 A B
（）
A． 3,5,7
B． 2,3,5,7
C． 1,2,3,5,7
D． 1,3,5,7
3．在等差数列中，
，则
（)
A．8 D．20
B．12
C．16
4．函数 f (x) 2x sin x 的图象大致是（）
12。已知函数
f
x
x
ln
x
k
，在区间
1 e
,
e
上任取三个数
a,
b,
c
均存在
f a, f b, f c为边长的三角形,则 k 的取值范围是( ）

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020学年高二数学10月月考试题文

哈师大青冈实验中学2020学年度10月份考试高二学年数学试题（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．圆()()22125x y -+-=的圆心坐标为（） A ．B ．C ．D ．2.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）PRINTA. 4B. 1C. 2D. 33．频率分布直方图中，最高矩形底边中点的横坐标所对的数字特征是 A ．中位数 B ．众数 C ．标准差 D ．平均数4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：()2224x y +-=的位置关系是（） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切5.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A. 08B. 07C. 02D. 016．已知一个五次多项式为f （x ）=5x 5–4x 4–3x 3+2x 2+x +1，利用秦九韶算法计算f （2）的值时，可把多项式改写成f （x ）=（（（（5x –4）x –3）x +2）x +1）x +1，按照从内到外的顺序，依次计算：v 0=5，v 1=5×2–4=6，v 2=6×2–3=9，v 3=9×2+2=20，则v 4的值为（） A ．40B ．41C ．82D ．837.根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为 A. 25 B. 30 C. 31 D. 617题 8题9题8. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为A. 9B. 10C. 11D. 139. 阅读下面的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写（） A. i<3 B. i<4 C. i<5 D. i<610. 圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A.22(2)5x y -+=B.22(2)5x y +-=C.22(2)(2)5x y +++=D.22(2)5x y ++=11．用更相减损术求得81与135的最大公约数是( ) A ．54 B ．27 C ．9 D ．8112．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是（） A ．[－22，22]B ．(－22，22)C ．[－2,2]D ．(－2,2)二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分）13.某单位200名职工,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,……,196~200号),若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________. 14．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当INPUT xIF x<=50 THENy=0.5*xELSEy=25+0.6*(x –50)END IFPRINT yEND时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生__________天．15. 阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．16. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．三、解答题：（第17题10分，其余每题均为12分，满分70分）17.已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．18.某电子商务公司对10000名网络购物者2020年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间 [0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．⑴.求直方图中的a的值⑵.估计这10000名网络购物者在2020年度的消费的中位数和平均数。

哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学年高一10月月考数学试题含答案

哈师大青冈实验中学2019—-2020学年度10月份考试高一学年数学一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

1．把集合用列举法表示为A 。

B. C. D.2．集合{123}A =，，，集合{113}B =-，，，集合B A S ⋂=，则集合的真子集有 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．8个3．函数412-=xy 的定义域为 A 。

B 。

C 。

D .4．下列表示正确的个数是（）（１）{}{}2100;(2)1,2;(3){(,)}3,435x y x y x y +=⎧∉∅∅⊆=⎨-=⎩;(４)若A B ⊆则A B A =⋂A ．0B ．1C ．2D ．35．已知全集U ＝R,集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为A ．(1](2,)-∞⋃+∞，B ．(0)(12)-∞⋃，，C ．[1)2，D ．(12]， 6．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<满足A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是A ．{|2}a a ≥B ．{|1}a a ≤C ．{|1}a a ≥D ．{|2}a a ≤7．已知1()1xf x x =-,则()f x 的解析式为A ．1()(0xf x x x-=≠,且1)x ≠ B ．1()(01f x x x=≠-，且1)x ≠C ．1()(01f x x x =≠-，且1)x ≠D ．()(01xf x x x =≠-,且1)x ≠ 8．已知集合2{|560},{|10}A x xx B x mx =-+==-=，若,A B B ⋂=，则m 的值是A ．12 B ．13或12 C ．13D ．0或12或 139．已知,，若集合，则的值为A 。

B 。

C 。

D.10．若函数()f x 定义域为[]0,1，则()()1•02f x a f x a a ⎛⎫+-<<⎪⎝⎭的定义域为 A ．[]0,1 B ．[],a a - C ．[],1a a - D ．[]0,1a -11．给定全集U ，非空集合,A B 满足A U ⊆，B U ⊆,且集合A 中的最大元素小于集合B 中的最小元素，则称(),A B 为U 的一个有序子集对,若,则U 的有序子集对的个数为A ．48B ．49C ．50D ．5112．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督,根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表。

哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三数学10月月考试题理

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019届高三数学10月月考试题理一、选择题（每小题5分，共计60分）1.设集合}7|{2x x x A <=,}1725|{<<=x x B ，则B A 中整数元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62.下面是关于复数iz -=12的四个命题:1p ：2z =，2:p 22z i =，3:p z 的共轭复数为i +-1，4:p z 的虚部为1,其中真命题为( ）A ．23,p p B ．12,p p C ．24,p p D ．34,p p3．“2)4k k Z παπ=-∈（"是“2cos 2α=”的（ )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 。

充要条件D 。

既不充分也不必要条件 4.已知：1tan log ,,1cos log1cos 2cos 1sin ===c b a π ，则c b a ,,的大小关系为（ )A ．c b a >>B ．c b a <<C ．c a b >>D ．a b c >> 5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗,羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半。

"马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半。

”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升,c 升，1斗为10升；则下列判断正确的是（） A ．c b a ,,依次成公比为2的等比数列，且750=aB ．c b a ,,依次成公比为2的等比数列,且750=cC ．c b a ,,依次成公比为21的等比数列，且750=aD ．c b a ,,依次成公比为21的等比数列，且750=c6。

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哈师大青冈实验中学2019—2020学年度10月份考试高二学年数学试题（理科）一.选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知函数f （x ）＝x 2﹣2x+m.若：f （x ）有零点；q ：0＜m ≤1，则 A.p 是q 的充分不必要条件 B.p 是q 的必要不充分条件 C.p 是q 的充要条件 D.p 是q 的不充分不必要条件2.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A.22B.32 C.52D.723.已知命题“()21,4204x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.（﹣∞，0） B.[0，4]C.[4，+∞）D.（0，4）4.下列命题中为真命题的是 A.∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0 B.∃x 0∈R ，x 02+x 0＝﹣1 C.∀x ∈R ，x 2﹣x+＞0D.∀x ∈R ，﹣x 2﹣1＜05.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A.8B.62C.82D.83 6.方程()2111x y -=--所表示的曲线是 A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆7.正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则PB 与平面PEF 所成角的正弦为A.B.C.D.8.如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置DA 2B 2C 2﹣D 3A 3B 3C 3中放一个单位正方体礼盒DABC ﹣D 1A 1B 1C 1，现以点D 为坐标原点，DA 2、DC 2、DD 3分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则正确的是A.D 1的坐标为（1，0，0）B.D 1的坐标为（0，1，0）C.B 1B 3的长为D.B 1B 3的长为9..ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A.π2B.π3C.π4D.π610.已知直线m mx y 3+=和曲线24x y -=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡552,0 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,552C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552,552D.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡714,0 11.已知111ABC A B C -是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，则平面ABC 与平面1AB D 所成的锐二面角为)A.45B.60C.75D.3012.已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分）13.设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________.14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______15.如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，，点O 到平面ABC 的距离为 .16.如图是一正方体的表面展开图.B 、N 、Q 都是所在棱的中点.则在原正方体中，①MN 与CD 异面；②MN ∥平面PQC ；③平面MPQ ⊥平面CQN ；④EQ 与平面AQB 形成的线面角的正弦值是；⑤二面角M 一BQ 一E 的余弦值为.其中真命题的序号是三、解答题：（第17题10分，其余每题均为12分，满分70分）17.（10分）已知条件0132:2≤+-x x p ,条件()()0112:2≤+++-a a x a x q ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件求实数a 的取值范围.18.（12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值.19.（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =，求m .20. （12分）已知在平面直角坐标系中,动点M 到定点()0,3-F 的距离与它到定直线:l 334-=x 的距离之比为常数23. (1)求动点M 的轨迹Γ的方程;(2)设点⎪⎭⎫⎝⎛21,1A 若P 是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA 的中点B 的轨迹方程. 21.（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，BC ⊥BB 1，CC 1＝，AC 1＝.1）证明：平面ABC ⊥平面BB 1C 1C.2）M ，N 分别是BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AC 1上的动点，若二面角P ﹣MN ﹣C 的平面角的大小为30°，试确定点P 的位置.22.（12分）如图所示，在四棱锥S ABCD ﹣中，底面ABCD 是边长为2的正方形，SA ⊥平面ABCD ，二面角S DC A ﹣﹣的大小为4π，E F G 、、分别是SA SB BC 、、的中点. （1）求证：//SD 平面EFG ；（2）在线段BC 上是否存在一点M ，使得点A 到平面EFM 的距离为45，若存在，求出BMMC的值；若不存在，请说明理由.参考答案一. 选择题:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B C B D C A C D C A A D12解答：作SO垂直于平面ABCD，垂足为O，取AB的中点M，连接SM.过O作ON垂直于直线SM，可知2SEOθ=∠，3SMOθ=∠，过SO固定下的二面角与线面角关系，得32θθ≥.易知，3θ也为BC与平面SAB的线面角，即OM与平面SAB的线面角，根据最小角定理，OM与直线SE所成的线线角13θθ≥，所以231θθθ≤≤..二.填空题:13.63na n=-14.29π1516. ①②④17.解：由得，112x≤≤由得因为的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件.实数的取值范围是18.（1）解：由sin4sina Ab B=，及sin sina bA B=，得2a b=.22310x x-+≤2(21)(1)0x a x a a-+++≤{}1q x a x a≤≤+命题为112p x x⎧⎫∴≤≤⎨⎬⎩⎭命题为p q⌝⌝是a由2225()ac a b c =--，及余弦定理，得222555cos 25acb c aA bcac -+-===-.（2）解：由（Ⅰ），可得25sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin 5sin 45a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以225cos 1sin 5B B =-=.于是4sin 22sin cos 5B B B ==， 23cos 212sin 5B B =-=，故4532525sin(2)sin 2cos cos 2sin ()55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-19.答案：（1）12n n a -=或1(2)n n a -=-；（2）6.解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2534a q a ==，∴2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112n nn S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+， ∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍），∴6m =.20.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设动点坐标为，然后把已知条件用数学语言表示，化简后可得；（2）设动点坐标为，用表示出点的坐标，再把点坐标代入（1）中轨迹方程后化简即可.【详解】(1)设动点M(x,y),由已知可得=,即x 2+2x+3+y 2=,化简得+y 2=1,即所求动点M 的轨迹Γ的方程为+y 2=1. (2)设点B(x,y),点P(x 0,y 0),由得由点P 在轨迹Γ上,得+=1,整理得+4=1,∴线段PA的中点B的轨迹方程是+4=1.21.分析】（1）推导出AC⊥CC1，BC⊥CC1，从而CC1⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面BB1C1C.（2）连结AM，推导出AM⊥BC，从而AM⊥平面BB1C1C，以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系M﹣xyz，由此利用向量法能求出点P为线段AC1上靠近点C1的四等分点，且坐标为P（﹣，，）.21.【解答】解：（1）证明：∵AC＝2，CC1＝，AC1＝，∴＝，∴AC⊥CC1，∵BC⊥BB1，BB1∥CC1，∴BC⊥CC1，∵AC∩BC＝C，∴CC1⊥平面ABC，∵CC1⊂平面BB1C1C，∴平面ABC⊥平面BB1C1C.（2）解：连结AM，∵AB＝AC＝2，M是BC的中点，∴AM⊥BC，由（1）知，平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AM⊥平面BB1C1C，以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系M﹣xyz，则平面BB1C1C的一个法向量＝（0，0，1），A（0，0，），N（0，），C1（﹣1，，0），设＝t，（0＜t＜1），P（x，y，z），则＝（x，y，z﹣），＝（﹣1，），代入上式得x＝﹣t，y＝，z＝，∴P（﹣1，），设平面MNP的一个法向量＝（x，y，z），＝（0，，0），＝（﹣t，，），由，令z＝t，得＝（，0，t），∵二面角P ﹣MN ﹣C 的平面角的大小为30°， ∴＝，即＝，解得t ＝，∴点P 为线段AC 1上靠近点C 1的四等分点，且坐标为P （﹣，，）.22. 【分析】（1）连接BD ，取BD 的中点P ，连接FP GP ，，可证PG ⊂平面//EFG PG SD ，，故而论成立；（2）设BM a ＝，建立坐标系，利用向量求出A 到平面EFM 的距离，解方程得出a 的值，得出结论.【解答】（1）证明：连接BD ，取BD 的中点P ，连接FP GP ，，P G ，分别BD BC ，是的中点E F ，，分别是SA SB ，的中点，////PG CD EF AB ∴，，又//AB CD ，//EF PG PG ∴∴⊂，平面EFG ， F P ，分别是SB BD ，的中点，//SD FP ∴，又SD ⊄平面EFG FP ⊂，平面EFG ， //SD ∴平面EFG ．（2）解：SA ⊥平面ABCD CD ⊂，平面ABCD ，SA CD ∴⊥，又AD CD SA SA A ⊥⋂，＝， CD ∴⊥平面SAD ， CD SD ∴⊥，SDA ∴∠为二面角S DC A ﹣﹣的平面角，即4SDA π∠＝，2SA AD ∴＝＝，以A 为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：设BM a ＝，0,0,00,0,1A E （）,（）,1,0,12,,0F M a （﹣），（﹣）,则1,0,0EF ∴=（﹣）， ()2,,1EM a =--， ()0,0,1AE =. 设平面EFM 的法向量为n x y z ＝（，，），则00n EF n EM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，020x x ay z -=⎧∴⎨-+-=⎩，令1z =可得10,,,1.n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭2cos ,11AE n AE n AE na•∴==+，A ∴到平面EFM 的距离2cos ,511d AE AE n a =∴=+，解得43a =. 02a <<，∴线段BC 上存在一点M ，使得点A 到平面EFM 的距离为45.且432423BMMC ==-.。