2017高考数学总复习
(新课标)2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第2讲.
四面体的棱长)；
面体的棱长)．
●双基自测
1 ． 下 列 结 论 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”. 导学号 25401614 (1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那 么这个圆柱的侧面积是 2πS.( ) ) ) (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为 3πa2( (3)若一个球的体积为 4 3π，则它的表面积为 12π.(
体积
Sh V＝____________
1 V＝3Sh
1 1 正棱台 S 侧＝ (c＋c′)h′ V＝ (S 上＋S 下＋ S上· S下)h 2 3 球
4πR2 S 球面＝______
4 3 V＝3πR
2.几何体的表面积 各面面积之和． (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是____________ 矩形 、_____ 扇形 、 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____ 扇环形 ；它们的表面积等于_______ 侧面积 与底面面积之和． ____________
3．几何体的外接球与内切球 (1)长方体的外接球：
a2＋b2＋c2 2 ①球心：体对角线的交点；②半径：r＝____________( a，
b，c为长方体的长、宽、高)． (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： 3 a为正方体的 ①外接球：球心是正方体中心；半径r＝____( 2a 棱长)； a ②内切球：球心是正方体中心；半径r＝____( 2 a为正方体的 棱长)；
[ 答案]
1:47
5．(必修 2P36T10 改编)一直角三角形的三边长分别为 6 cm,8 cm,10 cm ， 绕 斜 边 旋 转 一 周 所 得 几 何 体 的 表 面 积 为 _______________. 导学号 25401618
2017年高考数学试卷及答案
2017年高考真题一．解答题（共12小题）1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f （x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．2017年高考真题导数专题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．2．（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f （a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜，k∈N*．一方面，ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，即（1+）（1+）…（1+）＜e；另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2；从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，所以m的最小值为3．4．（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a≥3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．5．（2017•新课标Ⅱ）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）e x，x∈R，所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）e x，令f′（x）=0可知x=﹣1±，当x＜﹣1﹣或x＞﹣1+时f′（x）＜0，当﹣1﹣＜x＜﹣1+时f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）e x．下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=1﹣0﹣1=0，所以e x≥x+1．因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0=∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．6．（2017•浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．7．（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．8．（2017•北京）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．9．（2017•天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．10．（2017•山东）已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x3﹣x2，∴f′（x）=x2﹣2x，∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=×27﹣9=0，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x3﹣ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣a3﹣sina当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣a3﹣sina当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴g（x）在R上单调递增，无极值．11．（2017•天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．12．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x=e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣ae x﹣a2=（2e x+a）（e x﹣a），①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2e x+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]。
(江苏专用)高考数学总复习 专题1.1 集合试题(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题1.1 集合【三年高考】1．【2017高考某某1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防X 空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．【2016高考某某1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确某某高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2．【2015高考某某1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算3．【2014某某1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=. 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.4.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。
(上海专用)高考数学总复习 专题07 不等式分项练习(含解析)-人教版高三全册数学试题
第七章不等式一．基础题组1. 【2017高考某某，3】不等式11x x-> 的解集为 . 【答案】(),0-∞ 【解析】不等式即：1110x--> ， 整理可得：10x-> ， 解得：0x < ，不等式的解集为：(),0-∞ .2.【2016高考某某文数】若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【考点】线性规划及其图解法【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目来看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.3. 【2015高考某某文数】若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图OAB ∆（包括边界），联立方程组⎩⎨⎧=+=2y x xy ，解得⎩⎨⎧==11y x ，即)1,1(A ， 平移直线02=+y x 当经过点A 时，目标函数y x z 2+=的取得最大值，即321max =+=z .【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 4. 【2015高考某某文数】下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B【考点定位】同解不等式的判断.【名师点睛】求解本题的关键是判断出022)1(3222>≥++=++x x x . 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.5. 【2014某某,理5】 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 【考点】基本不等式. 6. 【2013某某,文1】不等式21xx -＜0的解为______． 【答案】0＜x ＜12【解析】x (2x －1)＜0⇒x ∈(0，12)． 7. 【2013某某,文13】设常数a ＞0.若9x ＋2a x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值X 围为______． 【答案】[15，＋∞) 【解析】考查均值不等式的应用．由题知，当x ＞0时，f (x )＝9x ＋2a x ≥229a x x⨯＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15.8. 【2012某某,文10】满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是__________． 【答案】－29. 【2011某某,理4】不等式13x x+≤的解为______． 【答案】x ＜0或12x ≥ 【解析】10. 【2011某某,理15】若a ，b ∈R ，且ab ＞0.则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2ab B ．2a b ab +≥C.11 a b ab+> D ．2b a a b +≥ 【答案】D 【解析】11. 【2011某某,文6】不等式1<1x的解为________． 【答案】{x |x ＜0或x ＞1} 【解析】12. 【2011某某,文9】若变量x，y满足条件30350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则z＝x＋y的最大值为________．【答案】5 2【解析】13. 【2010某某,理1】不等式042>+-xx的解集为_______________； 【答案】)2,4(-【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 14. 【2010某某,文14】将直线l 1：nx ＋y －n ＝0、l 2：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)、x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为S n ，则lim n →∞S n ＝________.【答案】1【解析】如图阴影部分为直线l 1，l 2与x 轴、y 轴围成的封闭图形．∴S阴＝S △OAM ＋S △OCM ＝12×|OA |×|y M |＋12|OC |×|x M |＝12×1×1n n +＋12×1×1n n +＝1nn +. ∴lim n →∞S n ＝limn →∞1n n +＝lim n →∞111n+＝1. 15. 【2010某某,文15】满足线性约束条件232300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎪⎩的目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．1 B. 32C ．2D ．3 【答案】C【解析】如图为线性可行域由2323x y x y +=⎧⎨+=⎩求得C (1,1)，目标函数z 的几何意义为直线在x 轴上的截距．画出直线x ＋y ＝0，平移，可知：当直线过C (1,1)时目标函数取得最大值，即z max ＝1＋1＝2.16. (2009某某,理11)当 0≤x≤1时,不等式kx x≥2sin π成立,则实数k 的取值X 围是____________. 【答案】k≤1【解析】∵0≤x≤1时，不等式kx x≥2sin π成立，设2sinx y π=,y=kx ，做出两函数的图象，∴由图象可知，当k≤1时，kx x≥2sinπ17. (2009某某,文7)已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,3,2,2x x y x y 则目标函数z=x-2y 的最小值是_________. 【答案】-918. 【2008某某,理1】不等式|1|1x -<的解集是.19. 【2007某某,理5】已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____20. 【2007某某,理13】已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A 、22a b < B 、22ab a b < C 、2211ab a b< D 、b aa b <21. 【2007某某,理15】已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若 ()2f k k ≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是A 、若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立；B 、若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立；C 、若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立；D 、若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
高考数学(理)总复习高考达标检测(二十一) 平面向量的基本运算 Word版含答案
高考达标检测（二十一） 平面向量的基本运算一、选择题1.(2017·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( ) ①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.2．(2017·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )， 解得k ＝－23.3．(2016·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.4．(2017·武汉武昌区调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→，故选D.5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ―→＝2BD ―→，CE ―→＝2EA ―→，AF ―→＝2FB ―→，则AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋13AC ―→，CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CB ―→＋13BA ―→，因此AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝CB ―→＋13(BC ―→＋AC ―→－AB ―→)＝CB ―→＋23BC ―→＝－13BC ―→，故AD ―→＋BE ―→＋CF ―→与BC ―→反向平行．6.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝y ＝23，则xyx ＋y＝13. 7．(2017·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4. 8．已知△ABC 是边长为4的正三角形，D ，P 是△ABC 内的两点，且满足AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)，AP ―→＝AD ―→＋18BC ―→，则△APD 的面积为( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：选A 取BC 的中点E ，连接AE ，由于△ABC 是边长为4的正三角形，则AE ⊥BC ，AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，又AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)，所以点D 是AE 的中点，AD ＝ 3.取AF ―→＝18BC ―→，以AD ，AF 为邻边作平行四边形，可知AP ―→＝AD ―→＋18BC ―→＝AD ―→＋AF ―→.而△APD 是直角三角形，AF ＝12，所以△APD 的面积为12×12×3＝34. 二、填空题9．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ―→＝5e 1，DC ―→＝3e 2，则OC ―→＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC ―→＝12AC ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＝12(DC ―→＋BC ―→)＝12(5e 1＋3e 2)＝52e 1＋32e 2.答案：52e 1＋32e 210．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x ＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：011．(2017·贵阳模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a∥b ，则向量a 的坐标是________．解析：设a ＝(x ，y )．∵平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1,1)，且a∥b ， ∴x 2＋y 2＝1，x －y ＝0.解得x ＝y ＝±22. ∴a ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－2212．(2016·抚顺二模)如图，平面内有三个向量OA ―→，OB ―→，OC ―→，其中OA ―→与OB ―→的夹角为120°，OA ―→与OC ―→的夹角为30°，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝23，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→ (λ，μ∈R)，即λ＋μ的值为________．解析：如图，构成平行四边形，∵∠OCD ＝90°，|OC |＝23，∠COD ＝30°，∴|CD |＝23×33＝2＝|OE |＝|μ|， |OD |＝23cos 30°＝|λ|＝4，注意共线的条件和单位向量有λ＋μ＝6.答案：6 三、解答题13.图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ，AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．14．(2017·郑州模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标． 解：(1)a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．。
2017高考题数学理真题汇编-答案
f＝x＋>，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－<x≤0.综上所述，x的取值范围是.
答案：
8．解析：由于f(x)∈[0，1)，因此只需考虑1≤x<10的情况，
6．解析：选A.根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥
－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x＞1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.
3．解析：选B.A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
4．解析：选A.因为m，n是非零向量，所以m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉<0的充要条件是cos〈m，n〉<0.因为λ<0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉<0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n<0”；而由“m·n<0”，可推得“cos〈m，n〉<0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件，故选A.
法二：＜⇒0＜θ＜⇒sinθ＜，而当sinθ＜时，取θ＝－，＝＞.故选A.
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第3节 二次函数与幂函数模拟创新题 理-人教版
【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第3节 二次函数与幂函数模拟创新题 理一、选择题1.(2016·某某某某模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，2]B.(0，1]C.(0，2]D.[1，＋∞)解析 f (0)＝4；f (1)＝3，结合二次函数图象可得1≤m ≤2.故选A. 答案 A2.(2015·某某某某模拟)设函数y ＝x 13与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 构造函数f (x )＝x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，从而转化为函数的零点的问题，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<0，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12存在零点，故选B.答案 B3.(2016·某某某某一中月考)若a <0，则下列不等式成立的是( )A.2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>(0.2)aB.(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>(0.2)a>2a D.2a >(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析 若a <0，则幂函数y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a . 答案 B 二、填空题4.(2016·某某某某联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________.解析 依题意得方程x2＋ax ＋b ＝0的两根是－2和3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6.所以f (x )＝x 2－x －6，不等式a ·f (－2x )>0，即为－(4x 2＋2x －6)>0.所以2x 2＋x －3<0，解得－32<x <1.所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1三、解答题5.(2014·某某模拟)指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22的大小.解 f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋1（x ＋2）2＝1＋(x ＋2)－2，其图象可由幂函数y ＝x －2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且其图象关于直线x ＝－2对称(如图).又∵－2－(－π)＝π－2＜－22－(－2)＝2－22， ∴f (－π)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22.创新导向题二次函数图象的应用6.已知“0<t <m (m >0)”是“函数f (x )＝－x 2－tx ＋3t 在区间(0，2)上只有一个零点”的充分不必要条件，则m 的取值X 围是( ) A.(0，2)B.(0，2]C.(0，4)D.(0，4]解析 由f (x )在区间(0，2)上只有一个零点得f (0)·f (2)<0，解得0<t <4，由题意得(0，m )(0，4)，所以0<m <4，故选C.答案 C专项提升测试 模拟精选题一、选择题7.(2016·某某滨州模拟)定义在R 上的函数f (x )，当x ∈(－1，1]时，f (x )＝x 2－x ，且对任意的x 满足f (x －2)＝af (x )(常数a >0)，则函数f (x )在区间(5，7]上的最小值是( ) A.－14a 3B.14a 3 C.14a3 D.－14a3解析 f (x －2)＝af (x )⇒f (x －4)＝af (x －2)＝a 2f (x )⇒f (x －6)＝af (x －4)＝a 3f (x )，x ∈(5，7]⇒x －6∈(－1，1]，则f (x )＝1a 3f (x －6)＝1a 3[(x －6)2－(x －6)]＝1a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －6）－122－14a 3，当x －6＝12时，f (x )有最小值为－14a3. 答案 D8.(2015·某某某某模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 2)<x 2f (x 1)；③f （x 1）x 1>f （x 2）x 2；④f （x 1）x 1<f （x 2）x 2. 其中正确结论的序号是( ) A.①②B.①③C.②④D.②③解析 设幂函数为y ＝x n，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＝2－3n ＝24＝2－32，得n ＝12，则幂函数为y ＝x ，由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x 增大而减小，即f （x 2）x 2<f （x 1）x 1，x 1f (x 2)<x 2f (x 1)，所以②③正确，选D.答案 D 二、填空题9.(2016·某某天门模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴，y 轴无交点，且关于原点对称，则m 的值为________. 解析 由题意m 2－2m －3<0，解得－1<m <3，∵m ∈N *，∴m ＝1，2，幂函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，当m ＝1时，y ＝x －4为偶函数；当m ＝2时，y ＝x －3满足条件，即m ＝2. 答案 2 三、解答题10.(2015·某某七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，某某数a 的取值X 围；(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值X 围.解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，2x 2－1＝1， 解得：x ＝1或x ＝－1， 当x <－1时，f (x )＝1恒成立. ∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a a ＋1>0，解得：a ≥13，即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立.∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞). ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立.当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5.∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值X 围是[－3，1).创新导向题利用二次函数单调性求参数取值X 围11.已知函数f (x )＝－2x 2＋|x |＋1，若f (log 2m )>f (3)，则实数m 的取值X 围是________. 解析 f (3)＝－2×32＋3＋1＝－14，若f (log 2m )>f (3)，则－3<log 2m <3， 所以18<m <8.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，8 幂函数的解析式及求值12.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则lg f (2)＋lg f (5)＝________.解析 设f (x )＝x α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f (x )＝x 12，所以lg f (2)＋lg f (5)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫212×512＝lg 1012＝12. 答案 12。
高考数学总复习选做矩阵试题含解析
由xy′ ′＝10 21xy＝x＋y2y，得xy′′＝ ＝xy＋ . 2y， 又点 M′(x′，y′)在 l′上，所以 x′＋by′＝1， 即 x＋(b＋2)y＝1，
依题意得ab＝ ＋12， ＝1， 解得ab＝ ＝1－，1.
(2)由 Ayx00＝xy00，得xy00＝ ＝xy00＋ ，2y0，
解得 y0＝0.
3．特征值和特征向量
设矩阵 A＝ac bd，如果存在数 λ 以及非零向量 ξ，使得 Aξ＝λξ，则称 λ 是矩阵 A 的一 个特征值，ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．
4．特征向量的性质 设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的 特征向量，对于任意的非零平面向量 α，设 α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2 为实数)，则对任意的正 整数 n，有 Anα＝t1λn1ξ1＋t2λn2ξ2.
【解析】由题意得
2 2y 2 xy 4
2
y
y
，解得
x y
4
1 2
.∴
x
y
7 2
.
5．【2013
江苏，理
21B】[选修
4－2：矩阵与变换](本小题满分
10
分)已知矩阵
A＝
1 0
0 2
，
B＝
1 0
2 6
，求矩阵
A－1B.
【答案】
1 0
2 3
．
【解析】解：设矩阵
A
的逆矩阵为
a c
b
专题 2 矩 阵
【三年高考全收录】
1．【2017
年高考江苏】已知矩阵
A
0 1
1 0
,
(新课标)2017届高考数学总复习 课后作业(四十四)文 新人教A版
【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习 课后作业（四十四）文 新人教A 版[全盘巩固]一、选择题1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋ (m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠12．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3 D ．－333．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或14．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜05．两直线x m －yn ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )A B C D二、填空题6．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．7．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 8．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 三、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．[冲击名校]1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)2．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．83．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 4．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为________．5．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 6．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．2．解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 4．解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．二、填空题6．解析：设P (x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.答案：－137．解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝08．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)三、解答题9．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 10.解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.[冲击名校]1．解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．2．解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.3．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本(均值)不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：164．解析：直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.答案： 35．解析：直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：36．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]。
2017高考数学专题数列全
所以an=
(k∈N*).
(2)S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+5+…+2n-1)+(2×30+2×31+…+2×3n-1)
第三十四页，共47页。
命题角度二 裂项相消求和 【典题3】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为
第八页，共47页。
【答案】(Ⅰ)设{an}的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1. 所以{an}的通项公式为 an=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. (Ⅱ)因为 bn=
所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90+2×900+3×1=1 893.
D.Sn=3-2an
【解析】选D.因为等比数列的首项为1,公比为 ,
2
3
所以Sn=3-2an.
第十四页，共47页。
2.(2016·绍兴模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且
a3+a8=13,S7=35,则a7= ( )
A.8
B.9 C.10
D.11
【解析】选A.由已知条件可得,
所以a7=a1+6d=2+6×1=8.
n
（2）看到前n项和形式，想到_________________.
第二十三页，共47页。
【规范解答】(1)选A.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln2-ln1+2=2+lnn. (2)当n≥2时,Sn=2an=2(Sn-Sn-1),Sn=2Sn-1,S1=2, 所以Sn=2n，所以an=
2017数学高考试题答案
2017数学高考试题答案一、选择题1. 根据题目所给的函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求f(2)的值。
解析：将x=2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2*(2)^3 - 3*(2)^2 - 12*2 + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15。
2. 题目描述了一个等差数列的前五项和为50，首项为a1，公差为d。
求该等差数列的前三项和。
解析：设等差数列的前n项和为Sn，根据等差数列前n项和的公式Sn = n/2 * (2*a1 + (n-1)*d)，代入n=5, Sn=50得到：50 = 5/2 *(2*a1 + 4*d)。
化简得：a1 + 2*d = 20。
现在我们需要求前三项和，即S3 = 3/2 * (2*a1 + 2*d)。
由于我们已经知道a1 + 2*d = 20，所以S3 = 3/2 * 20 = 30。
3. 题目要求解不等式3x - 2 > 7x - 6，并表示解集。
解析：将不等式3x - 2 > 7x - 6化简，首先将7x移到左边得到4x < 4，然后除以4得到x < 1。
所以解集为x < 1。
4. 题目描述了一个圆的半径为5，圆心位于坐标轴上，求圆上一点到圆心的最大距离。
解析：圆的方程为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心坐标，r是半径。
由于圆心位于坐标轴上，所以h和k中有一个为0。
不妨设h=0，k不为0（因为如果k=0，则圆心就在x轴上）。
圆上一点到圆心的最大距离就是圆的直径，所以最大距离为2r = 2*5 = 10。
5. 题目要求解方程2x^2 - 5x + 3 = 0的根。
解析：这是一个二次方程，我们可以使用求根公式x = [-b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)来解。
将a=2, b=-5, c=3代入公式，得到x = [5 ± sqrt((-5)^2 - 4*2*3)] / (2*2) = [5 ± sqrt(25 - 24)] / 4 = [5 ± sqrt(1)] / 4。
高考备考：2017年高考数学主要考点总结_知识点总结
高考备考：2017年高考数学主要考点总结_知识点总结
数学是最重要的一科了，高考复习资料很多，现在学生经常陷入书山题海不能自拔！高考题千变万化，万变不离其宗。
宗就是“高考考点”，我们给您总结了高考的重点！
专题一：集合
考点1：集合的基本运算
考点2：集合之间的关系
专题二：函数
考点3：函数及其表示
考点4：函数的基本性质
考点5：一次函数与二次函数。
考点6：指数与指数函数
考点7：对数与对数函数
考点8：幂函数
考点9：函数的图像
考点10：函数的值域与最值
考点11：函数的应用。
热点20统计2017年高考数学二轮核心考点总动员(附解析)
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点20 统计【热点考法】本热点考题形式为选择填空题或解答题，以实际问题为背景、与概率、框图等结合主要考查抽样方法、样本频率分布估计总体频率分布、样本数字特征估计总体数字特征、回归分析、独立性检验等统计知识与方法，考查应用意识、阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力，难度为基础题或中档题，分值为5至17分. 【热点考向】 考向一 抽样方法【解决法宝】 解决抽样问题的策略1.随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．2.系统抽样：（1）若从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，用系统抽样时，应先将总体中的各个个体编号，再确定分段间隔k ，以便对总体进行分段．(2)当N n 是整数时，取k ＝N n 作为分段间隔即可，当Nn 不是整数时，应先从总体中随机剔除一些个体，使剩余个体数N ′能被n 整除，这时分段间隔k ＝N ′n.（3）利用简单随机抽样确定在第一组中抽取的个体的号码数，譬如第一组号码为0n ，则第n 组号码为)1(0-+n k n .3.分层抽样：若总体有差异的几部分组成，用分层抽样方法，按同比例比例抽样. 例1【四川省遂宁市2017届高三上学期期末】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ） A ．9B ．10C ．12D ．13【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n 的值．【解析】因为甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别为120,80,60，所以甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3， 所以丙车间生产产品所占的比例为133， 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的133， ∴样本容量131333=÷=n ，故选D. 例2【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，3】某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 【分析】利用系统抽样方法即可确定第一组的号码.【解析】第一组用简单随机抽样抽取的号码为1000443(181)1840--⨯=，选C 考向二 总体估计【解决法宝】1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者的含义：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4.茎叶图图中的中位数：数据从小到大排成一排，中间为一个数或两个数的平均值.5.样本数据的算术平均数，即x =)(121n x x x n+++ ． 6.标准差的平方就是方差，方差的计算基本公式])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=例3【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，4】某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n m -的值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】由平均值公式即可求出m ，由中位数即可求出n ，即可求出|n-m|的值. 【解析】甲组学生成绩的平均数是788684889590928837m m +++++++=⇒=，乙组学生成绩的中位数是89，所以9,6n n m =-=，选B.例4【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，18】（本小题满分12分）重庆市某厂党支部10月份开展“两学一做”活动，将10名党员技工平均分为甲，乙两组进行技能比赛．要求在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：两组技工的技术水平；（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【分析】（1）根据给出的数据进行计算即可，方差大的差异大；（2）用列举法分别列了两组里各有5人，从两组里分别抽1人及其中质量合格的所有事件，然后用古典概型概率公式可得结论．【解析】（1）依题中的数据可得：()()114579107,56789755x x =++++==++++=甲乙， ()()()()()()()()()()222222222222147577797107 5.251576777879725S S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲乙∵22,x x S S =>甲乙甲乙，∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大；考向三 回归分析【解决法宝】1.散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图. 2.①正相关：如果散点图中的点分布在从左下到右上的区域内，称为正相关. ②负相关：若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关. 3．求回归直线方程的关键(1)正确理解和合理选择回归方程系数的计算公式并能准确地进行运算，若样本数据较小，选第二个公式，若样本数据较大但与样本均值差较小用第1个公式．(2)根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．（3）计算线性回归方程公式:y a bx=+，其中()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 4.回归直线一定过样本中心点（x ，y ）.例5【广西陆川县中学2017届高三上学期12月考，17】（本小题满分12分）假设某商品的销售量x （件）与利润y （万元）有如下统计数据：且已知5552211190,140.8,112.3,iii i i i i xy x y ======∑∑∑ 1.4≈≈.（1）对x y ,进行线性相关性检验；（2）如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程，并估计销售量为10件时，利润约是多少？附相关公式：()()niix x y y r --=∑，()()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xn x====---⋅==--∑∑∑∑，a yb x =-⋅【分析】（1）直接套用附加相关系数的公式计算，即可得x 与y 之间的相关关系；（2）运用公式求得回归直线方程，将10x = 代入所求回归直线方程中，即可估计利润. 【解析】（1）2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==相关系数r 的分子为()()55115122.354512.3iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()()552221159051610iii i x x xx==-=-=-⨯=∑∑，()()55222115140.812515.8iii i y y yy==-=-=-=∑∑，所以0.987r ===≈.因为0.9870.75>，所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系.（2）因为()1522112.31.23,0.0810ni ii i i x y nx yb a y b x x n x ==-⋅====-⋅=-∑∑ 所以所求的回归直线方程为 1.230.08y x =+当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=，即估计销售量为10 件时，利润约为12.38 万元.考向四 独立性检验【解决法宝】独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：①根据实际问题需要的可信度确定临界值0；②利用公式2K =2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++，由观测数据计算得到随机变量2K 的观测值k ；③如果k ＞0k ，就以20(1())100%P k k ->⨯的把握认为“X 与Y 有关系”；否则就说样本观测值没有提供“X 与Y 有关系”的充分证据.例6【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，7】某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9% 附：参考公式和临界值表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【分析】根据实际问题需要的可信度确定临界值，由观测数据计算得到随机变量2K 的观测值k ，即可作出判定.【解析】由题意，得2230(42168)10 6.63512182010K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，故选C. 【热点集训】1.【黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末】某校高中研究性学习小组对本地区2005年至2007年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（ ）A ．82万盒B ．83万盒C ．84万盒D ．85万盒 【答案】D【解析】该地区三年销售盒饭总数为30×1+45×2+90×1.5=255， ∴该地区每年平均销售盒饭255÷3=85（万盒），故选D ．2.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，4】高三学生体检，某班级随机抽取5名女学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）的数据如下表：根据上表可得回归直线方程为0.92y x a =+，则a =（ ） A ．96.8- B ．96.8C ．104.4-D ．104.4【答案】A【解析】回归直线方程过点y x （，），而165,63x y ==，所以630.9216596.8a =-⨯=-，选A.3.【江西南昌市2017届上学期摸底，5】一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm ）分布茎叶图如图，测得平均身高为177cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D【解析】180+181+170+173+170+178179177=7x ++，解得8x =，选D.4.【山东肥城市2017届高三上学期升级统测，3】如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[)[)[)30,35,35,40,40,45的上网人数呈现递减的等差数列, 则年龄在[)35,40的频率是（ ）A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3 【答案】C【解析】[)[)[)30,35,35,40,40,45的概率和为1(0.010.07)50.6-+⨯=，又[)[)[)30,35,35,40,40,45的概率依次成等差数列，所以[)35,40的频率为0.60.2.3=选C. 5.【株洲市2017届高三年级教学质量统一检测（一）】已知样本数据y x ,,5,4,3的平均数是5，标准差是2， 则xy =（ ）A ．42B ．40C ．36D ．30【答案】A6.【河北省唐山一中2017届高三上学期12月调研考试】右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的重量的中位数为( )A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5 【答案】C【解析】设中位数为x .0.0650.30.5⨯=<, ()100.10.50.3x ∴-⨯=-,解得12x =.故C 正确. 7.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，7】某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9% 附：参考公式和临界值表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】由题意，得2230(42168)10 6.63512182010K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，故选C ．8.【广东珠海市2017届上学期调研测试（1），4】已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的,m n 的比值mn=（ ） A ．38 B ．13 C ．29D ．1【答案】A【解析】因为乙的中位数是23，所以3m =，可求得甲的平均数是23，因此乙的平均数也是23，进而得8n =，38m n =，故选A. 9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，3】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30 【答案】A【解析】由分层抽样得，从高二年级抽取的学生人数为13334350=++⨯人.10.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，4】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5C ．3.5D ．2.75 【答案】A【解析】设这100个成绩的平均数即为x ，则1202103404105203100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．11.【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），5】本学期王老师任教两个平行班高三A 班，高三B 班，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比：根据图表，不正确的结论是（ ）A ．A 班的数学成绩平均水平好于B 班 B ．B 班的数学成绩没有A 班稳定； C.下次考试B 班的数学平均分数高于A 班 D ．在第1次考试中，A ，B 两个班的总平均分为98. 【答案】C【解析】由图知，A 、B 、D 正确，此图不能预测出下次两个班的平均成绩，故C 不正确，故选C ．12. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，3】某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A ．0927B ．0834C ．0726D ．0116 【答案】A【解析】系统抽样就是等距抽样，编号满足01225,k k Z +∈，因为092701225161=+⨯，所以选A.13.【北京市西城区2016届高三第一学期期末】某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.【答案】9【解析】14.【江西南昌市2017届上学期摸底，16】对某文科班50名同学的一次数学成绩进行了统计，全年级文科数学平均分是100分，这个班数学成绩的频率分布直方图如图：（总分150分）从这个班中任取1人，其数学成绩达到或超过年级文科平均分的概率是.【答案】33 50【解析】33 1(0.0080.026)1050 -+?15.【四川2016年普通高考适应性测试，11】某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取35岁以下职工人数为．【答案】25【解析】抽取35岁以下职工人数为125 10025500⨯=16.【2017届湖南省长沙市高三上学期统一模】空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．某环保人士从当地某年的记录数据中，随机抽取10天的数据，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年大于100的天数约为__________．（该年为365天）【答案】146【解析】茎叶图中大于100的天数为4天，所以，解得：，所以该年大于100的天数为146天.17. 【河南南阳一中2017届高三上学期第4次月考，18】为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为15．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】（1）列联表见解析；（2）有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；（3）8 15.【解析】（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，34x+=，6x=，（2）由已知数据可求得：2230(6824)8.522 6.6351020822K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．18.【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由；（Ⅲ）已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨，当时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准;(Ⅲ)元【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图，可得，解得.（Ⅱ）前6组的频率之和为，而前5组的频率之和为，由，解得，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.(Ⅲ)设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则，即，由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民的月平均水费估计为19.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】某手机厂商推出一款吋大屏手机，现对名该手机使用者（名女性，名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户：具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；（Ⅲ）如果评分不低于分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别和对手机的“认可”有关；附：【答案】（Ⅰ）女性用户的波动小，男性用户的波动大（Ⅱ）（Ⅲ）有的把握【解析】（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数为；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等。
2017高考题数学理真题汇编-正文
φ＝
7π 24
5． (2017 ·高考全国卷甲
)函数 f(x)＝ sin2x＋
3 3cos x－4
x∈
π 0，2
的最大值是
________ ．
6． (2017 ·高考浙江卷 )已知△ ABC， AB＝ AC＝ 4，BC＝ 2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD ＝ 2，连接 CD ，则△ BDC 的面积是 ________，cos∠ BDC ＝ ________．
B ．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数
D ．是偶函数，且在 R 上是减函数 4． (2017 ·高考山东卷 )已知当 x∈ [0 ， 1] 时，函数 y＝(mx－ 1)2 的图象与 y＝ x＋m 的图
象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( )
A ． (0， 1]∪ [2 3，＋∞ ) B ． (0， 1]∪ [3，＋∞ )
则 P→A·(P→B ＋P→C)的最小值是 (
)
A ．－ 2
3 B ．－ 2
4 C．－ 3
D．－ 1
4． (2017 ·高考全国卷丙 )设复数 z 满足 (1＋ i) z＝ 2i，则 |z|＝ ( )
1 A．2
2 B． 2
C. 2
D．2
5．(2017 ·高考全国卷丙 )在矩形 ABCD 中，AB ＝1，AD＝ 2，动点 P 在以点 C 为圆心且与
4．(2017 ·高考天津卷
)设函数
f(x)＝ 2sin( ωｘ＋φ)，x∈ R，其中
ω>0，|φ|<π.若 f
5π 8
＝
2，f
11π 8
＝ 0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则 ( )
高考数学一轮总复习 专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习(含解析)理-人教版高三全册数学
专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题回放1.【2017年全国一卷理数（3）】设有下面四个命题1p ：若复数满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2.【2017年卷理数第6题】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 3.【2017年某某卷理数第4题】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A4.【2017年某某数学第6题】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 +S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性 考点分析考点 了解A 掌握B 灵活运用C命题的概念 A 四种命题的相互关系 B 全称命题与特称命题 B 充分条件与必要条件C高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值X 围． 融会贯通题型一 四种命题的关系及真假判断【典例1】【2017届某某某某市高三理一诊】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ）．A ．若a b ≤，则a c b c +≤+B ．若a c b c +≤+，则a b ≤C ．若a c b c +>+，则a b >D ．若a b >， 则a c b c +≤+ 【答案】A 【解析】试题分析：“若p 则”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，所以原命题的否命题是“若b a ≤，则c b c a +≤+”，故选A.考点：四种命题【例2】有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题，其中真命题的序号是________.【答案】②③解题方法与技巧：(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(4) 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 【变式训练】【2017届某某抚州市七校高三理上学期联考】,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ） A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 【答案】C考点：原命题与它的逆否命题之间的关系． 知识： 一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 二．四种命题及其关系 1．四种命题 命题 表述形式 原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝逆否命题若q ⌝，则p ⌝即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
2017高考总复习高中数学高考总复习椭圆习题和详解
高中数学圆锥曲线——椭圆一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4，2πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C [解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1， ∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2．(文)(2016·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4， ∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2016·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝1[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433 B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2016·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[答案] A[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A. 6．(文)(2016·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )A.513B.1213C.35D.45[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a＋c＝9a－c＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a＝132c＝52，∴e＝ca＝513.(理)(2016·北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12B.5－12C.3－12D.5＋12[答案] B[解析] ∵FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)，FB→·AB→＝0，∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，∵e>0，∴e＝5－12.7．(2016·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1→·PF2→＝0，则1e12＋1e22＝( )A．2 B. 2C. 3 D．3[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：|PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a′2)，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，∴1e 12＋1e 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2. 8．(2016·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确； ∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423，∴|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪⎪⎪423－0＝83，故③正确． 9．(文)(2016·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．(文)(2016·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，49B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [答案] C[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，已知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2016·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.故选C. 二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2016·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 [解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2， ∴c a <22. 12．(2016·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.[答案] 54[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知， sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案]22<e <1 [解析] 在椭圆x 2a 2＋y 2a2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得 (a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1. (理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[答案] 10＋210[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF | ∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |. 同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |， 10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2016·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案]x 24＋y 23＝1 [解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2016·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )， 由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2016·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)由题意⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )， 所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2016·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0) ∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |32＋－12＝3c ＝2 3∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2x 2a 2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b23a 2＋b2 ①y 1·y 2＝－3b 2a 2－43a 2＋b2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b2 ③－2y22＝－3b 2a 2－43a 2＋b2④③2④得12＝48b 43a 2＋b 22·3a 2＋b23b 2a 2－4 ＝16b 23a 2＋b2a 2－4⑤又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.17．(文)(2016·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， 直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0 设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k x 0＋22－2 解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k2)． ∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2. 由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)． 故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)， ∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2016·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b2＝1 把(1,1)代入得14＋1b2＝1 ∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1 ∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立．(3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1＋1x 24＋3y 24＝1消去y 得 (1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0∵点A (1,1)在椭圆上∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。
高考数学专题复习 (5)
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可得aa2＋＋aa－－12＋＋11＝477＋＋11＝6.
点 拨： 指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、
分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．②先 乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．③底数是负
指数函数
1．根式
(1)n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的______________， 其中 n＞1，且 n∈N*.
①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个______________数， 负数的 n 次方根是一个______________数，这时 a 的 n 次方根用符
号__________________表示．
有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型
函数图象，数形结合求解．
(1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是 ()
A
B
C
D
解：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称， 又 e|x|≥1，所以 f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除 B、
C、D，只有 A 满足．故选 A.
即 m≤4，所以 m 的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]．
(3)(2018·浙江丽水月考)当 x∈(－∞，－1]时，不等式 (m2 － m)·4x － 2x<0 恒 成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
不妨令 a<b<c，由图象可知，a<b<2，则由
f(a)＝f(b)得 1
－2a＝2b－1，则 2a＋2b＝2.结合图象可得 4<c<5，故 16<2c<32，所
2017年高考数学——高频考点易背顺口溜
2017年高考数学——高频考点易背顺口溜函数学习口诀正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。
二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
正多边形诀窍歌份相等分割圆，n值必须大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前。
经过分点做切线，切线相交n个点。
n个交点做顶点，外切正n边形便出现。
正n边形很美观，它有内接、外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，如果n值为偶数，中心对称很方便。
正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。
圆中比例线段遇等积，改等比，横找竖找定相似; 不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。
函数与数列数列函数子母胎，等差等比自成排。
数列求和几多法?通项递推思路开; 变量分离无好坏，函数复合有内外。
同增异减定单调，区间挖隐最值来。
二项式定理二项乘方知多少，万里源头通项找; 展开三定项指系，组合系数杨辉角。
整除证明底变妙，二项求和特值巧; 两端对称谁最大?主峰一览众山小。
立体几何多点共线两面交，多线共面一法巧; 空间三垂优弦大，球面两点劣弧小。
线线关系线面找，面面成角线线表; 等积转化连射影，能割善补架通桥。
方程与不等式函数方程不等根，常使参数范围生; 一正二定三相等，均值定理最值成。
参数不定比大小，两式不同三法证; 等与不等无绝对，变量分离方有恒。
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教学计划1.复数、命题、充分必要条件、二次函数、不等式2.函数的单调性、复合函数的单调性、函数图像、定义域、指数、对数、指数函数3.函数值域、对数函数、比较大小、零点、函数周期、流程图4.偶函数、奇函数、平均数、中位数、众数、方差、标准差5.抽象函数、幂函数，三次函数，函数习题讲解、练习、加强6.含绝对值的函数，反比例函数、频数、频率、概率、茎叶图、频率分布直方图、线性回归方程、曲线拟合7.幂函数 ---二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、函数一般性质、茎叶图、频率分布直方图、线性回归方程、方差、流程图，面向高考有的放矢专项训练练习8.习题课、检测课2016-7-4 内容：复数、命题、充分必要条件、二次函数、不等式考点类型题目1、复数2、命题真假的判断3、命题的否定4、充分、必要条件5、不等式●复数6、复数的符号是什么？有什么规定？7、复数的形式是什么？什么是实部？什么是虚部？8、复数z = a + bi,对应的点的坐标是什么？9、复数z = a + bi的模|z|如何计算？10、复数z = a + bi,在什么情况下是虚数？在什么情况下是实数？11、复数z = a + bi,在什么情况下是纯虚数？12、复数z = a + bi,它的共轭复数是什么？13、一个复数z * 它的共轭复数z = ？14、两个复数相等，指的是什么？●命题15、命题的四种形式假设原命题是：若P,则Q说出它的逆命题，否命题，逆否命题16、原命题，逆命题，否命题，逆否命题，哪两个命题互为等价命题？17、在命题中，“全部”、“有一个”分别用什么符号表示？18、命题中含有量词，它的否定形式是什么？19、你会判断一个命题的真假吗？20、P表示一个命题，则它的否定用什么符号表示？21、“P且Q”如何否定？“P或Q”如何否定？●充分必要条件22、如何判断P是Q的充分必要条件？23、如何判断P是Q的充分不必要条件？24、如何判断P是Q的必要不充分条件？25、P命题为真的解集为A，Q命题为真的解集为B,则当P是Q的充分必要条件时， A、B是什么关系？当P是Q的充分不必要条件时， A、B是什么关系？当P是Q的必要不充分条件时， A、B是什么关系？26、若非P是非Q的必要不充分条件，则Q是P的什么条件？●二次函数27、二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点坐标是________28、二次函数的图像与X轴有0、1、2个交点，则满足的条件分别是什么？29、二次函数有两根，写出韦达定理。
30、如何判断二次函数的开口方向？●不等式31、不等式在做乘除运算时，要注意什么问题？32、如何解下列不等式：-2(x-2)(x+3)>0, 2|12|>-x , 2|1|2≤-x , 2)13(2≤-x ,2)2(23>-x031>+-xx, 0321≤-+xx, 12123≤++xx22323>+-x x33、 你会用穿针法解不等式吗？解不等式0)5(ln )1(21>+⋅⋅-+x x e x ● 其它34、 三次函数：;;3333b a b a b a b a >>>>则若则若 35、 集合为空的条件：},3212|{},3212|{m x m x B m x m x A -≤≤-=-≤<-=当A=Φ时,求m 的取值范围；当B=Φ时,求m 的取值范围.36、 集合的交运算：大于取最大，小于取最小；集合的并集运算：同前相反，大于取最小，小于取最大。
例：B A B A x x B x x A ,},200|{},82-|{求≤≤=≤<=37、 分情况讨论的题目，一般取并集，但也有取交集的情况，需具体分析。
● 2016-7-4课后作业（要检查）： 1. 复数5道题 2. 命题形式5道题 3. 充要条件8道题 4. 解不等式10道题 5. 二次函数4道题2016-7-5 内容：零点、指数、对数、指数函数、对数函数、比较大小、解析式、定义域、值域● 考点类型题目 1、 零点 2、 函数解析式 3、 函数定义域 4、 函数值域 5、 函数求值6、 指数和对数比较大小7、 指数对数综合● 函数零点1. 函数零点从解析式和图像上是如何定义的？2. 如何求函数零点的取值范围？3. 如何判断函数零点的个数？ ● 指数4. 写出指数运算的几个公式。
5. 指数形式：把负指数形式写成正指数形式_____)32(, _____2,--==x x 6. 指数形式：根式形式与指数形式互化_____5, _____3,4345==7. 指数函数图像：画出x x x x y y y y )52(,)32(,3,2====的图像，并判断它们的单调性，定义域，值域.8. 指数不等式：解不等式254)52(,3)32(,32,913>≤>≤x x x x ● 对数9. 写出对数的几个运算公式。
10. 对数的2个简写形式：8ln 5lg ，分别表示什么含义？ 11.对数函数图像：画出x y x y x y x y 523232log ,log ,log ,log ====的图像，并判断它们的单调性，定义域，值域. 12.对数不等式：解不等式2log ,94log log ,91log log 52323233>≤<x x x 5log 3≤x● 指数与对数的综合 13. 比较大小3.02)21(,23log ==b a14.指数与对数的互化：把指数写成对数：7,3,5325===x x e x 把对数写成指数：5)2lg(,5lg lg 2=-=x x 15. 指数和对数运算化简：利用公式进行化简。
16.你会求对数函数的定义域吗？),2lg(2ax x y +-=)2lg(),lg(2x ax y a x y +-=+=的值域均为R ，分别求它们的定义域。
● 函数解析式1. 已知y=f(x)=2x 2-3x+1,求y=f(2x-1)的解析式。
2.已知y=f(2x-1)=2x2-3x+1,求y=f(x)的解析式。
3.你会求f(f(x)),f(g(x))吗？4.求函数解析式，常见的几种题型是什么？●函数定义域5.什么是函数的定义域？6.函数解析式中含有平方根，如何求定义域？7.解析式中含有对数，如何求定义域？8.解析式中分母含有自变量x，如何求定义域？9.由函数图像，如何求其定义域？10.你是否真正理解定义域了？y=f(x)的定义域为（3， 5],则y=f(2x-1)的定义域是什么？y= f(2x-1)的定义域为（3， 5],则y= f(x)的定义域是什么？11.解函数题目，你首先想到的是什么？●函数值域12.什么是函数值域？13.由函数图像，如何求函数值域？14.求函数值域，常用的方法是什么？换元法；二次函数根式判别法；图像法●函数求值15.分段函数在求值域时，要注意什么问题？●2016-7-5课后作业1.函数零点5道题2.指数运算8道题3.对数运算10道题4.指数与对数综合6道题5.函数解析式5道题6.函数定义域5道题7.函数值域5道题2016-7-6 内容：函数单调性、图像、图像平移、周期、偶函数、奇函数、含绝对值的函数、抽象函数、幂函数 --- 反比例函数，二次函数，三次函数。
反函数。
变化率●考点类型题目1、函数单调性2、判断函数图像3、对称函数---奇偶性4、周期函数5、反函数6、 函数综合题● 函数的单调性 16. 函数是单调递增的，用文字如何描述？用符号如何表示？ 17. 函数y=f(x)在定义域内是单调函数，指的是什么？ 18. 由函数图像如何判断其单调区间？19.分段函数在整个定义域内单调的，如何求其中常数a 的取值范围？ 20.常见的表示函数单调的2种形式：)f(x -)f(x x -x 0,))f(x -)(f(x )x -x 12121212<>⋅（21. 若y=f(x)单调递增的，则y=-f(x)的单调性是什么？ 22. 若y=f(x)单调递增的，则0)()(1≠=x f x f y ，的单调性是什么？ 23.你会判断一个函数是复合函数吗？如何判断一个复合函数的单调性？ 24. 的单调性试判断函数))((,ln )(,1-4)(x g f y x x g xx x f ==+=● 函数的奇偶性 25. 如何判断一个函数是奇函数？ 26. 一个函数是偶函数，应满足什么条件？ 27. 奇函数是否都过原点？28.当x ≥0时，已知奇函数的解析式，如何求函数在整个区间上的解析式？29.已知偶函数在负区间上的解析式，如何求函数在整个区间上的解析式？30.奇偶函数的图像有什么特点？31.奇偶函数的区间有什么特点？32.奇偶函数在左右区间上的单调性，有什么特点？33.偶函数如果在正区间上单调递增，且|a|>|b|,对f(|a|),f(|b|),你能得到什么结论？34.分别判断下列函数的单调性：y=x3 ,y=x2 ,y=sinx, y=cosx,y=tanx, y=e x+e-x, y=e x-e-x ,y=ln(|x|+1), y=e2x35.y=f(|x|)是否一定是偶函数？为什么？●周期函数36.如果函数的周期是T，则f(x+T)=f(x)在定义域内恒成立，对吗？37.若f(x+a)=f(x+b) 在定义域内恒成立，则它是周期函数吗？若是，则最小正周期是多少？38.说出你学过的几个周期函数.39.你会写周期函数的解析式吗？●函数图像40.函数平移口诀是什么？41.把函数y=f(x)=2x2-3x+1的图像上移2，下移3后，得到函数y=g(x),则y=g(x)的解析式是什么？42.把函数y=f(x)的图像上移2，下移3后，得到函数y=g(x)=2x2-3x+1，则y=f(x)的解析式是什么？43.函数平移时，应注意什么问题？哪个是源函数，哪个是目标函数。
●抽象函数44.如果函数y=f(x)关于x=a直线对称，则满足什么条件？45.如果函数y=f(x)关于点（a,b）中心对称，则满足什么条件？46.如果函数y=f(x)当x>a时单调递减，图像关于x=a直线对称，若x1+x2>2a，对f(x1)和 f(x2)，则可以有什么结论？47.y=f(x)与y=f(-x)的图像有什么关系？48.y=f(x)与y=-f(x)的图像有什么关系？49.y=f(x)与y=f(|x|)的图像有什么关系？50.y=f(x)与y=|f(x)|的图像有什么关系？51.y=f(x)与y=f(-|x|)的图像有什么关系？●反函数52.原函数满足什么条件时，才存在反函数？53.原函数与反函数有什么对应关系？54.你会求一个函数的反函数吗？●函数变化率55.指数函数、幂函数、直线、对数函数的变化率，由高到低，如何排序？56.判断函数y=x-1与y=lnx交点的个数.57.判断函数y=2x与y=x2交点的个数.●其它58.若a为常数，x1、x2为变量， x1 < x2，且x1+x2>2a,则可以说明什么？同理，x1+x2<2a, x1+x2 = 2a,又分别可以说明什么？●2016-7-6课后作业8.函数零点5道题9.指数运算8道题2016-7-7 内容：流程图、统计：平均数、中位数、众数、方差、标准差、茎叶图、频率分布直方图、频数、频率、概率、线性回归方程即最小二乘法、散点图、曲线拟合●考点类型题目1、方差2、茎叶图3、频率分布直方图4、线性回归方程●流程图1.在流程图中，s=s+x代表什么含义？2.解流程图题目时，要注意哪2点？箭头的方向即语句执行的顺序，分支执行时条件为真或为假。