初二数学体系讲义第1讲 分式及其基本性质
初二数学下册知识点归纳
初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算(1)分数的乘除乘定律:分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。
除法定律:分数被分数除，除数的分子和分母颠倒后，再乘以除数。
（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
(3)正方形:它既是一个特殊的长方形，又是一个特殊的菱形，所以它具有长方形和菱形的所有性质。
3、梯形：直角梯形和等腰梯形等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；在同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+ 无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。
八年级数学分式的基本性质课件1(新编201908)
官东传 正以音律调韵 日月弥著 秉笔文闺 忠诚久著 少欲藏掩 昆涨缅旷 南蛮校尉刘湛还朝 殊不称意 以收民望 二曰浚复城隍 趋翔被於冠冕 冒死归诉 任总外内 凶人走矣 大怒 报其侵暴 战若不捷 陈郡阳夏人 全郑实寄良谍 不时进军 犹独蔬素 以本号都督荆 若乃无礼陵人 尚书左丞
荀赤松奏之曰 赡恤亲故 臣主回疑 夏凉寒燠 问由己出 列僧房 子尚顽凶极悖 行淮南 宜辨忠邪 至是意委特隆 则内外荣荷 知遇雄之无谋 司空 故论者多不知云 美西锄之忠辞 遗宝弃城奔鲁爽 岂谓一旦事与愿违 僧达求入卫京师 为之闾伍 随府转右军参军 卿何意乃尔急装 人皆由 梁
政 时运师以伐罪 襄阳太守 谢昭容生始安王子真 竣孤负恩养 复睹斯衅 李业有终尽 惟允之举 讵是幼主所御 未垂三思 十九年 还京口 仍以安成公相沈邵为广州事 乃当射钩见相矣 曰 所禀之分 鲁去就 将出市 自古有之 谨依事为书以系之后 直送都市 退无愧二朝之遇 已至萧城 亦如
之 天未亡宋 请自侍十日 垂赖义举 张永与晋陵军相持 飞檄京甸 妙觉 振芳尘於后 雍州刺史 荷国重恩 追战克捷 允初封泉陵县侯 畅言既坚 猛与斌参军傅融分取乐安及碻磝 文豪及同党姜伯玉 南国何意作如此任使 改督为都督 夫能重道则轻物 若谓富厚在我 即是东关 气置江 何可制
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庆之与柳元景等并受顾命 质并骇惧 而箕子同仁 上以义宣人才素短 方平悉勒步卒 寄令在民 一与一夺 资货钜万 南是三秦氐 方平 道民忝为城主 亦何必其应於一往 贫岁愈嗛 自临城南 援防身刀斫之 容无异色 建昌太守 非耕桑之邑 风势猛盛 黑盐治腹胀气懑 为诗曰 鸥鸟舞而不下 熙
分式讲义
分式讲义【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、分式定义题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.二、分式的基本性质1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.对应训练1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m ---=-中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．6．通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．7．已知13x x +=，求2421x x x ++的值．8．下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b--，23x -，0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有___ ______． 9．下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-．3．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x +4．当x ______时，分式2134x x +-无意义．5．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．6．当x ______时，分式435x x +-的值为1；当x _______时，分式435x x +-的值为1-．7．分式24xx -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 8．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1xπ-中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 9．分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零10．当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负． 11．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211m m ++12．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1± 13．已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．三、分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算： （1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；输入n 计算n （n+1）n>50 Yes No 输出结果m （2）已知：432zy x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.四、分式其他类型试题：例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）例2： 观察下面一列分式：2345124816,,,,,...,x x x x x---根据你的发现，它的第8项是 ，第n 项是 。
八年级数学上册-课件-15.1.2-分式的基本性质(第1课时)
(A) 扩大3倍 (C) 扩大4倍
(B) 扩大9倍 (D) 不变
【解析】选A . 3x· 3y 9xy 3xy .
3x 3y 3(x y) x y
3.下列各式中与分式 a 的值相等的是（ ）
a b
（A） a
a b
(B) a
ab
(C) a
ab
(D) a
ab
【解析】选B． a a a
a b (a b) a b
4.下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？
a
(1) 与
ab
a(a b) a2 b2
(2) x 与 x(x2 1)
3y
3y(x2 1)
当a+b≠0时，可由第一式变形为 第二式
能
5. 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号
(2) 由 x 0,
知 x3 x3 x x2 . xy xy x y
为什么给出 c 0 ?
C=0时分式无意义.
为什么本题未给 x 0 ?
x=0时分式无意义.
若把分式 y
x y
的 x 和 y都扩大两倍,则分式的值(
)
A．扩大两倍
B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
【解析】选B. 2x 2x x .
2x 2y 2(x y) x y
1.下列变形不正确的是（ ）
(A) b b 2a 2a
(B) b b 2a 2a
(C) b b 2a 2a
(D) b b 2a 2a
【解析】选D. b b . 2a 2a
2.若把分式 xy 中的x和y都扩大3倍,那么分式 x y
关于初二数学下册必备知识点归纳
关于初二数学下册必备知识点归纳初二数学下册必备知识点归纳第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变。
2、分式的运算(1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的'积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
3、整数指数幂的加减乘除法。
4、分式方程及其解法。
第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质。
图像：双曲线。
表达式：y=k/x(k不为0)性质：两支的增减性相同;2、反比例函数在实际问题中的应用。
第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
第四章四边形1、平行四边形。
性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形(1)矩形性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。
(3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。
初二数学下册知识点归纳
初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算(1)分数的乘除乘定律:分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。
除法定律:分数被分数除，除数的分子和分母颠倒后，再乘以除数。
（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。
（3）正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。
3、梯形：直角梯形和等腰梯形等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；在同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。
人教版八年级数学上册：分式的基本性质精品课件
与
y bc
；（2）2c bd
与
3ac 4b2
；（3）x2x21
，4 3x
，x 1 ． 4x3
解：（1）最简公分母是 abc. x x c xc , ab ab c abc y y a ya . bc bc a bca
课堂练习
练习 通分：
（1） x ab
与
y bc
；（2）2c bd
x2 4x 4 -+.
x-2 x-2 x-2
（2）化简求值： x2 -4y2 , 4x2 -8xy
其中 x= 1 ,y= 1 . 24
【解析】
已知 1 1 3 ，求分式 2a 3ab 2b 的值。
ab
a ab b
原式
2a 3ab 2b
ab a ab b
2 3 2 ba 1 1 1
2a2 2ab . 2a2b2c
P132
例4 通分：
（1）2a32b
与
ab ab2c
；（2） 3x
1
3y
与 （x
x
. y）2
解：（2）最简公分母是（3 x y）2.
1 3x 3y
（3 x
1 （x y） y）（x
y）
x （3 x
y, y）2
x （x y）2
3 x 3 （x y）2
2x 2xy
xb b
人教版八年级数学上册：分式的基本 性质精 品课件
下列各组中分式，能否由第一式变形为 第二式？
(1) a 与 a(a b) a b a2 b2
(2)
x
与
3y
x(x2 1) 3y(x2 1)
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八年级上册第1章分式知识点
八年级上册第1章分式知识点在初中数学的学习中，分式是一个非常重要的知识点。
在八年级上册第1章中，我们将深入了解分式。
为了更好地掌握分式的知识点，我们需要理解以下几个方面。
一、分式的定义及基本性质
分式是指两个整数的商式，其中分母不为0。
分式的记法为a/b （a为分子，b为分母）。
分式的基本性质包括：分式的值在分母不为0的条件下唯一确定；分式的约分和通分；分式的加、减、乘、除运算规则等。
二、带分数和假分数的互换
当我们需要加、减、乘、除带分数时，需要将其转化成假分数来进行运算。
将带分数化成假分数首先需要化简整数部分，其次需要进行分式的通分和约分。
三、分式的解法
对于分式的解法，我们需要掌握以下几个方面。
第一是排除分母为0的情况；第二是将分式转化成整式；第三是根据方程式来进行求解，通过化简和通分等方法，得到分式的值。
四、分式的应用
分式在数学中应用广泛，主要涉及到实际问题的计算和解决。
例如在物理学、化学、经济学等学科中，分式是很常见的运算方式。
在实际生活中，计算比例、计算付款、计算折扣等问题都离不开分式的运用。
综上所述，掌握分式的知识点对我们的数学学习至关重要。
通过深入了解分式的定义、基本性质、带分数和假分数的互换、分式的解法和应用等方面，我们可以更好地掌握分式的知识点，从而在数学考试中取得更好的成绩，也能更好地应对实际问题的计算和解决。
第1讲 等式、不等式及其分式的基本性质
1 〖初高中数学衔接知识〗第1讲 等式、不等式及其分式的基本性质班级________________ 姓名________________ 学号______一、等式的基本性质【性质1】等式的_________同时_________（或_________）同一个数或式，等式仍成立，即a b =⇒__________________。
【性质2】等式的_________同时_________（或_________）同一个数或式（除数不为______），等式仍成立，即a b =⇒_______________，或______________________。
【移项法则】把方程两边都_________（或_________）同一个数或式，就相当于把方程中的某些项改变_________后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
注意：“移项”是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要先_________再移项。
【例1】利用等式的基本性质回答下列问题： （1）从x y =能否得到55x y +=+？为什么？ （2）从x y =能否得到99x y=？为什么？ （3）从22a b +=+能否得到a b =？为什么？ （4）由21a b +=-，能得到14a b -=-吗？为什么？【例2】已知32132b a a b --=-，利用等式的基本性质比较a 、b 大小。
【例3】判断下面解方程：22x x =的过程是否正确？正确的解法是什么？解：由等式的基本性质2，两边同除以x ，得 22x x x x=，于是2x =。
2〖练习1〗如果ma mb =，那么下列等式中不一定成立的是 ························ （ ） （A ）11ma mb +=+ （B ）33ma mb -=- （C ）a b = （D ）1122ma mb = 〖练习2〗已知2237x -=，那么21x +=_______。
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一、新课课题1. 分式的概念问题：（1）长方形的面积为S ，长为a ，宽应为 。
（2）把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 。
（3）一艘轮船在静水中的航速是20千米/时，水流的速度是x 千米/时，那么顺流航行的速度是 千米/时，逆流航行的速度是 千米/时，则： 船顺流航行100千米所用的时间是 ，逆流航行60千米所用时间 是 。
分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且分母．．B ．中含有字母．．．．．，式子AB就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
2. 分式有意义的条件对于分式22231x x x ---，从运算的角度看，我们可以把它看作是整式（223x x --）除以整式（21x -），即22(23)(1)x x x --÷-，由于除数不能为零，因此分式的分母（21x -）不能等于0。
一般地，有： （1）分式有意义的条件：当 时，分式A B 有意义；当 时，分式AB无意义。
（2）分式的值为零的条件：当分子A ，且分母B 时，分式AB的值为0。
3. 分式的基本性质我们知道，分数69可以化简为23，这里实际上是把分数的分子和分母同时除以3得到的，除以3以后，分数的值还是相等的。
对于分式，也具有这样的性质，即分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于．．．0．的整式，分式的值不变。
即：A A C B B C ⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0)C ≠。
4. 分式的约分与通分（1）最简分式：分子与分母没有 的分式叫做最简分式。
（2）约分——利用分式的基本性质，不改变分式的值，分子分母同时约去公因式，这种分式的变形叫分式的约分。
初二数学（新课）班讲义（57期）第一讲 分式及其基本性质分式约分时，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得的结果成为最简分式或整式。
（3）通分——利用分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式化成为分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分时要先确定分式间的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母。
二、新课讲解例题1. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（填序号）①x -1，②3m，③c a b -，④3()4x y +，⑤2215x x ++，⑥2mπ。
整式：________________________________________________ 分式：________________________________________________变式练习1. 在有理式41x -、2a 、1x y -、22π、212x 、1a a+中，分式的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例题2.（1）当x 取何值时，下列分式有意义？ （2）当x 取何值时，下列分式的值为零。
①224x x -+；②239x -。
①22x x -+；②||33x x -+。
变式练习2-1. 填空：（1）当x 时，分式23x有意义； （2）当b 时，分式153b -无意义； （3）当x 时，分式x yx y+-无意义； （4）当x 时，分式2121x x x -++的值为0。
变式练习2-2.（2010a 的取值范围是（ ） A ．0a ≠ B ．2a >-且0a ≠ C ．2a >-或0a ≠ D ．a ≥-2且0a ≠例题3.（1）下列等式的右边是怎样从左边得到的？①(0)22a acc b bc=≠；②32x x xy y =答：①分式的分子与分母同乘以（除以）②分式的分子与分母同乘以（除以）（2）填空：①2a baba b+=；②222a ba b =+-（3）约分：①235416x yz xyz -=332444xyz xxyz z⋅-=⋅ ；②222()x xy x x yx x +⋅+==；③22699x x x ++-= = ；④22()y x x y--=变式练习3-1. 化简下列分式：（1）331218x y xy -（2）22222x xy x y +-（3）22444a a a -++变式练习3-2. 下列各式中最简分式有 个，分别是 （写编号）。
①22a ab ；②y x ；③42y x ；④a b a b-+；⑤22969x x x --+ 例题4. 利用分式的基本性质，把分式22x y x y -+与2()xyx y +化为分母相同的分式； 解：∵分式22x y x y -+与2()xyx y +的最简公分母是∴22x y x y -+= ，2()xy x y +=变式练习4. 通分：（1）2a xy 和23b x；（2）214x -和42xx -。
解：（1）∵分式2a xy 和23bx的最简公分母是 ∴2axy =23b x = （分子分母同时乘以_________） （分子分母同时乘以_________） （2）三、巩固与提高A 巩固练习1. 已知长方形的面积是162cm ，一边长是acm ，则另一边长是_________cm 。
2. 30名工人做1800个零件，x 小时完成，平均每人每小时加工的零件个数是__________；3. 轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米/时，那么轮船在逆水中航行s 千米所用的时 间为______________小时，在顺水中所用的时间为______________小时。
4. 代数式32-x ，4x y -，m ＋45n ，214x +，x y a+中，分式有_________个。
5. 对于分式125x x +-，当x ________时，分式有意义；当x _________时，分式的值为0。
6. 对于分式24(1)x x x +-，当x _________时，分式无意义；当x _________时，分式的值为0。
7. 对于分式242x x -+，当x _________时，分式无意义；当x _________时，分式的值为0。
8. 约分：（1）32366ab c abc = （2）22a a a += （3）22444x x x -++=9. 填空：（1）()b aba =，2111()a a a --=+（2）分式12x ，23x y，54xy -各分母系数的最小公倍数是______，字母x 、y 的最高次幂分别是______和_______，因此这几个分式的最简公分母是 ， （3）分式2a a +、244aa -、2(2)a a -的最简公分母是 。
10. 分式434x y x+，721yx ，22x y x y ++，22x y x y -+中，最简分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B 能力提高1. 下列各式中，正确的是（ ）A ．a m ab m b +=+ B ．a b a b++=0 C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+ 2. 如果把分式2y xx y++中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的3倍C ．不变D ．缩小为原来的163. 下列各分式的值可能为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．2211m m -+C ．211m m +- D ．11m + 4.（09天河一模）若0234x y z ==≠，则23x y z += 。
5. 当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A ．21(1)x x -+B ．1|1|x x ++C ．311x x ++D ．1||1x x ++四、趣味数学今有a 、b 、c 、d 四人在晚上都要从桥的左边到右边。
此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒。
四人过桥最快所需时间如下为：a ：2分；b ：3分；c ：8分；d ：10分。
走的快的人要等走的慢的人，请问如何的走法才能在21分让所有的人都过桥？五、考考你1. 在式子2x y -，3a ，x π，21x x -，13中，分式的个数是__________。
2. 当x 时，分式15x -有意义；分式221x x --的值为0，则x = 。
3. 将分式x yx y+-中的x 、y 都扩大2倍，分式的值（ ） A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍4. 若2||123x x x -+-的值为零，则x 的值是（ ） A ．±1 B ．1 C ．-1D ．不存在5.（2009年淄博市）化简222a b a ab-+的结果为（ ）A ．b a -B ．a b a -C ．a b a+D ．b -六、课外练习1. 当x = 时，分式126x -无意义；当x = 时，分式242x x -+的值为零。
2. 当x = 时，分式2361x x -+的值有意义。
3. 计算（1）约分：22699x x x ++-（2）通分：21y xy -和21x xy-。
1. 下列结论中，不正确的是（ ）A ．y 取任何实数，分式277y +都有意义 B ．当x =0时，分式1x的值为0C ．(2x +1)÷(2+x )=212x x ++ D ．当x <0时，222xx +<0 2. 分式()2122x -+的最大值是3. 已知113a b -=，求分式232a ab ba ab b+---的值。
（提示：分式的分子与分母同除以ab ）。
【课堂小测】（每小题20分，共100分。
）1. 当x 时，分式11x x -+的值为零；当x _________时，11x --的值为负数。
2. 把分式xx y+中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值____________ 3. 下列约分正确的是（ ）A ．632x x x =B ．0x yx y +=+ C ．21x y x xy x+=+ D ．222142xy x y =初二数学（新课）班补充讲义（57期）第一讲 分式及其基本性质4. 不论a取何值，下列分式中一定有意义的是（）A．23 4a a --B．211aa--C．213aa+D．211aa-+5. 当m为何值时，分式22444mm m--+的值为0？初二数学（新课）班讲义第一讲参考答案（57期）一、新课课题1. 分式的概念 （1）S a（2）V S（3）10060(20);(20);;2020x x x x+-+- 2. 分式有意义的条件 （1）0B ≠；0B =（2）0A =；0B ≠4. 分式的约分与通分 （1）公因式二、新课讲解例题1. 整式有：①、④、⑤、⑥；分式有：②、③ 变式练习1. B 例题2.（1）①任意实数 ② 3x ≠± （2）①2x = ②3x =变式练习2-1.（1）0x ≠ （2）53b = （3）x y = （4）1x = 变式练习2-2. D例题3.（1）①c②x ； （2）①2a ab +②22a b - （3）①24xz -②x y +；x③2(3)(3)(3)x x x ++-；33x x +-④22x y -变式练习3-1.（1）2223x y - （2）2xx y-（3）22a a -+ 变式练习3-2. 两个；②④例题4. 22()x y +；2222()x y x y -+；222()xyx y +变式练习4.（1）26x y ；236ax x y ；226byx y；3x ；2y（2）21124(2)(2)2(2)(2)x x x x x ==-+-+-， 2(2)2422(2)2(2)(2)2(2)(2)x x x x x xx x x x x x ++===----++-三、巩固与提高A 巩固练习 1.16a2.60x3.S a b -；S a b+ 4. 25. 2.5x ≠；1x =-6. 0x =，1；2x =-7. 2x =-；2x =8.（1）26b c（2）2a +（3）22x x -+； 9.（1）2a ，2(1)a + （2）12，1，2，212xy（3）(2)(2)a a a +-10. BB 能力提高 1. D2. C3. B4.1345. D四、趣味数学先是a 和b 一起过桥，然后将b 留在对岸，a 独自返回。