三角函数专题训练(1)

LM数学园--思考让你收获更多三角函数专题训练一．选择题（共14小题）1．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A ．B．C．πD．2π2．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A ．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）3．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A ．B．C．D．4．函数是（）A ．以4π为周期的偶函数B．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D．以4π为周期的奇函数5．函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A ．B．C．D．6．函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）．．．．7．若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A ．B．C．D．8．函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A ．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣，0] D．[﹣，0]9．函数y=2sinx的单调增区间是（）A ．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C ．[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）10．函数f（x）=Msin （ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos （ωx+φ）在[a，b]上（）A ．是增函数B．是减函数C ．可以取得最大值MD．可以取得最小值﹣M11．函数的一个单调增区间是（）A B C D12．设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x ）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A ．B．3 C．6 D．913．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．14．将函数y=sinωx（ω＞0）的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）15．（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=_________ ．16．方程的解集是_________18．（2004•贵州）已知函数的最小正周期为3π，则A= _________ ．19．（2003•上海）函数的最小正周期T= _________ ．20．（2009•宁夏）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ= _________ ．21．（2001•上海）设集合，则A∩B的元素个数为_________ 个．三．解答题（共9小题）22．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．23．（2014•南海区模拟）已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．24．（2014•红桥区二模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．25.已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x）+sinxcosx+（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若f=，θ∈，求sin2θ的值．26．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象过点（，0）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及最大值．27．已知函数f（x）=2cos2+sinωx（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，c=3，△ABC的面积为3，求a的值．28．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）设α∈（0，π），且f（α）=1，求α的值29．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅲ）若，α是第二象限的角，求sin2α．30．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b三角函数专题训练（1）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2014•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A ．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期T的值．解答：解：∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．2．（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A ．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：余弦函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．3．（2009•浙江）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A ．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：压轴题．成反比，从这个方向观察四个图象．解答：解：对于振幅大于1时， 三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T ＜2π，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 对于选项A ，a ＜1，T ＞2π，满足函数与图象的对应关系， 故选D ．点评：由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．4．（2008•江西）函数是（ ）A ． 以4π为周期的偶函数B ． 以2π为周期的奇函数C ． 以2π为周期的偶函数D ． 以4π为周期的奇函数考点： 三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．分析： 先根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，再根据周期性的定义确定选项即可． 解答：解：，所以函数f （x ）是偶函数f （4π+x ）=f （x ）≠f （2π+x ）故4π是函数f （x ）的一个周期． 故选A ．点评： 本题主要考查三角函数的奇偶性和三角函数周期性的问题．属基础题．A ．B．C．D．考点：正切函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数值的符号；正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．解答：解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选D．点评：准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”6．（2007•北京）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用两角差和的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求出函数的最小正周期．解答：解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=cos（2x+）所以函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是：T==π故选B．点评：本题是基础题，考查三角函数的最小正周期的求法，三角函数的化简，考查计算能力，常考题型．7．（2007•浙江）若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A ．B．C．D．考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先根据最小正周期求出ω的值，再由求出sinφ的值，再根据φ的范围可确定出答案．解答：解：由．由．∵．故选D点评：本题主要考查三角函数解析式的确定．属基础题．8．（2007•江苏）函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A ．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣，0] D．[﹣，0]考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的单调性求得答案．解答：解：f（x）=sin x﹣cos x=2sin（x﹣），因x﹣∈[﹣π，﹣]，故x﹣∈[﹣π，﹣]，得x∈[﹣，0]，故选D点评：本题主要考查了正弦函数的单调性．对于正弦函数的单调性、奇偶性、对称性等特点应熟练掌握．9．（2002•北京）函数y=2sinx的单调增区间是（）A ．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C ．[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：由于y=2u是增函数，只需求u=sinx的增区间即可．解答：解：因为y=2x是增函数，求函数y=2sinx的单调增区间，就是g（x）=sinx的增区间，它的增区间是[2kπ﹣π/2，2kπ+π/2]（k∈Z）故选A．点评：本题考查复合函数的单调性，是基础题．10．（1999•广东）函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（）A ．是增函数B．是减函数C ．可以取得最大值MD．可以取得最小值﹣M考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：由函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=﹣M，f（b）=M，可利用赋值法进行求解即可解答：解：∵函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，且f （a）=﹣M，f（b）=M采用特殊值法：令ω=1，φ=0，则f（x）=Msinx，设区间为[﹣，]．∵M＞0，g（x）=Mcosx在[﹣，]上不具备单调性，但有最大值M，故选：C点评：本题综合考查了正弦函数与余弦函数的图象及性质，利用整体思想进行求值，在解题时要熟练运用相关结论：y=Asin（wx+φ）为奇（偶）函数⇒φ=kπ（φ=kπ+）（k∈Z）11．函数的一个单调增区间是（）A ．B．C．D．考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；转化思想；换元法．分析：化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．解答：解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g （t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A点评：本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．12．（2014•太原二模）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A ．B．3 C．6 D．9考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．解答：解：函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈z．令k=1，可得ω=6．故选C．点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．13．（2009•辽宁）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A ．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acos φ+Asinφ）=0，然后求f（0）．解答：解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）=，故=，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=（Acosφ+Asinφ）=0，∴f（0）=Acosφ=．故选C．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．14．（2006•安徽）将函数y=sinωx（ω＞0）的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A ．B ．C ．D ．考点： 由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．分析： 先写出y=sin ωx 平移后所对应的解析式，再通过特殊点求出ω，则问题解决． 解答：解：将函数y=sin ωx（ω＞0）的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，解得ω=2，所以平移后的图象所对应的解析式为y=sin2（x+），即y=sin （2x+）．故选C ．点评： 本题考查图象的平移变换及特殊点法求解析式．二．填空题（共7小题）15．（2014•上海）设常数a 使方程sinx+cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3= ．考点： 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题： 三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin （x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x 1，x 2，x 3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．16．方程的解集是{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）考点：正弦函数的图象；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先利用两角和公式对化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x的解集．解答：解：=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）=∴sin（x﹣）=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）点评：本题主要考查了正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．17．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．考点：余弦函数的奇偶性；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值解答：解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数g（0）=0⇒2sin（φ）=0∵0＜φ＜π∴φ=．故答案为：点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易．18．（2004•贵州）已知函数的最小正周期为3π，则A= ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：解析：本题借助复合角求周期公式T=即可求出A的值．解答：解：由周期公式T=可知T==3π，解得A=所以答案是点评：本题主要考查三角函数的周期及其求法，属于基础题型．难度系数0.9．19．（2003•上海）函数的最小正周期T= π．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先通过正弦函数的两角和公式对函数进行化简，再正弦函数的性质求出答案．解答：解：y=sinxcos（x+）+cosxsin（x+）=sin（x+x+）=sin（2x+）对于y=sin（2x+），最小正周期T==π故答案为：π点评：本题主要考查三角函数的周期性的求法．关键是把函数化简成y=Asin（ωx+φ）的形式．20．（2009•宁夏）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ= ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合．分析：根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值﹣1，以及﹣π≤φ＜π，求出φ即可．解答：解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π﹣）=，∴=，∴ω=．∵当x=π时，y有最小值﹣1，因此×+φ=2kπ﹣（k∈Z）．∵﹣π≤φ＜π，∴φ=．故答案为：点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意﹣π≤φ＜π的应用，考查计算能力．21．（2001•上海）设集合，则A∩B的元素个数为 1 个．考点：余弦函数的单调性；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：先化简集合A，再代入B中检验，即可得到结论．解答：解：由2lgx=lg（8x﹣15），可得x2﹣8x+15=0，∴x=3或x=5，检验知符合题意，∴A={3，5}，x=3时，0；x=5时，，∴A∩B的元素个数为1个故答案为：1点评：本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．三．解答题（共9小题）22．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．23．（2014•南海区模拟）已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．3微信专题：计算题．分析：（1）先借助诱导公式把角化成相同的角，即sin（ωx+）=cos[﹣（ωx+）]=cos[（ωx+）﹣]=cos（ωx﹣），然后借助二倍角公式化成一个角一个函数的形式根据周期公式即可求出ω的值．（2）由三角函数值为可求出相应的两个角A，B．由内角和求出C角，利用正弦定理即可求出答案．解答：解：（1）∵==．（4分）而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数，∴，解之，得ω=1．（6分）（2）由（1）得．若x是三角形的内角，则0＜x＜π，∴．令，得，∴或，解之，得或．由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且，∴，，∴．（10分）又由正弦定理，得．（12分）点评：本题主要考查三角函数的诱导公式，二倍角公式和三角函数的周期及其求法，并结合解斜三角形知识考查了正弦定理等知识．属于三角函数章节与解斜三角形的综合考查．24．（2014•红桥区二模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角差的正弦函数化简求f（x）为，然后求出它的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，直接求出求函数f（x）的单调增区间．解答：解：（Ⅰ）==，所以函数f（x）的最小正周期为2π．（（8分））（Ⅱ）令，得．故函数f（x）的单调增区间为：．（13分）点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，三角函数式的化简与求值，三角函数的单调增区间的求法，考查计算能力．25．（2014•德州一模）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x）+sinxcosx+（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若f=，θ∈，求sin2θ的值．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=sin（2x+），从而可求得函数f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）依题意知，sin（2θ+）=，利用同角三角函数间的关系式可求得cos（2θ+）=﹣，利用两角差的正弦即可求得sin2θ的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=（cos cosx﹣sin sinx）（cos cosx+sin sinx）+sin2x+=cos2x﹣sin2x+sin2x+=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π，最大值为1；（Ⅱ）f（θ+）=，即sin（2θ+）=，∵θ∈，2θ+∈（，），∴cos（2θ+）=﹣=﹣，∴sin2θ=sin（2θ+﹣）=sin（2θ+）cos﹣cos（2θ+）sin=×﹣（﹣）×=．点评：本题考查三角恒等变换应用，着重考查三角函数的周期性、最值及其求法，考查同角三角函数间的关系式与两角差的正弦的综合应用，属于中档题．26．（2014•顺义区二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象过点（，0）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及最大值．考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象过点（，0），可得sin﹣cos=0，由此解得a 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数函数f（x）=sin（2x﹣），由此求得函数的最小正周期和最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象过点（，0），∴sin﹣cos=0，解得a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数函数f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴最小正周期T==π，最大值为．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的最值，属于中档题27．（2014•清远一模）已知函数f（x）=2cos2+sinωx（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，c=3，△ABC的面积为3，求a的值．考点：三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x），可得f（x）=sin（ωx+）+1，根据函数的周期为T==π，求得ω=2，可得f（）的值．（Ⅱ）在锐角△ABC中，由条件可得sin（2A+）+1=2，求得A的值．根据=3求得b，再利用余弦定理求得a的值．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos2+sinωx=cosωx+sinωx+1=sin（ωx+）+1，∴函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+）+1，f（）=sin+1=2．（Ⅱ）在锐角△ABC中，∵f（A）=2，c=3，△ABC的面积为3，∴sin（2A+）+1=2，sin（2A+）=，∴A=．再根据=3∴，∴b=2．∴a==．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．28．（2014•延庆县一模）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）设α∈（0，π），且f（α）=1，求α的值．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，根据正弦函数的性质求得函数的最大和最小值，函数的值域可得，利用三角函数的周期公式求得最小正周期．（2）利用（1）中函数的解析式，把x=α代入，根据结果为求得α值．解答：（1）解：f（x）=sinx•cosx+sin2x===，因为，所以，即函数f（x）的值域为．函数f（x）的最小正周期为．（2）解：由（Ⅰ）得，所以，因为0＜α＜π，所以，所以，所以点评：本题主要考查了正弦函数的值域和定义域，周期性及其求法等．考查了学生对三角函数基本公式的把握程度．29．（2014•东莞二模）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅲ）若，α是第二象限的角，求sin2α．考点：正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：常规题型；计算题．分析：（Ⅰ）将代入已知函数关系式计算即可；（Ⅱ）利用辅助角公式将f（x）化为f（x）=2sin（2x+）即可求f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅲ）由f（）=2sinα=，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函数的二倍角公式即可求得sin2α．解答：解：（Ⅰ）f（）=sin（2×）+cos（2×）=×﹣×=0；（Ⅱ）∵f（x）=2（sin2x+cos2x）=2（cos sin2x+sin cos2x）=2sin（2x+）．∴f（x）的最大值为2，最小正周期T==π；（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sinα=，即sinα=，又α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，考查正弦函数的性质及应用，利用辅助角公式求得f（x）=2sin（2x+）是关键，属于中档题．，30．（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b ﹣a的最小值．考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得．（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．∴相邻两个零点之间的距离为或．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．。