《.1回归分析的基本思想及其初步应用》
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的结果解读和评估
回归分析的结果应该经过详细的解读和评估。我们可以通过检验假设、计算回归系数的显著性、解释模 型的可解释性等来个领域都有广泛的应用，包括经济学、社会科学、医学、市场 营销等。它可以帮助我们理解变量之间的关系、预测未来的趋势，并支持决 策和策略制定。
回归分析的数据准备
在进行回归分析之前，需要准备好相关的数据。这包括收集和整理数据、处 理缺失值和异常值、选择合适的变量和转换方法等。良好的数据准备可以提 高回归分析的准确性和可靠性。
回归分析的基本思想及其 初步应用
回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法。它的基本思想是通过建 立数学模型来描述变量之间的关系，并利用统计学方法来判断这种关系的显 著性和可靠性。
回归分析的定义与含义
回归分析是一种通过建立数学模型来描述两个或多个变量之间关系的统计学方法。它可以帮助我们理解 变量之间的因果关系，预测未来的变化趋势，并进行决策和策略制定。
回归分析的基本原理
回归分析的基本原理是通过最小化预测值与观察值之间的差异来确定最佳拟 合线。它使用最小二乘法来估计模型参数，并通过假设检验来评估模型的显 著性。
回归分析的常用模型
回归分析有多种常用模型，包括简单线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。 每个模型都适用于不同的数据类型和研究问题，选择合适的模型可以提高分 析的准确性和可解释性。
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的基本思想及其初步应用1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报． 2．线性回归模型(1)在线性回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －＝1n ∑ni ＝1x i ，y －＝1n∑ni ＝1y i ，(x ，y )称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心． (2)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．[注意] (1)非确定性关系：线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 与确定性函数y ＝a ＋bx 相比，它表示y 与x 之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具．(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．3．刻画回归效果的方式方式方法计算公式 刻画效果R 2R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1（y i －y ）2R 2越接近于1，表示回归的效果越好残差图e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，e ^i ＝y i －y ^i残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2 残差平方和越小，模型的拟合效果越好判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．( )(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( )(3)利用线性回归方程求出的值是准确值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×变量x 与y 之间的回归方程表示( )A ．x 与y 之间的函数关系B ．x 与y 之间的不确定性关系C ．x 与y 之间的真实关系形式D ．x 与y 之间的真实关系达到最大限度的吻合 答案：D在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.25 答案：A已知线性回归方程y ^＝0.75x ＋0.7，则x ＝11时，y 的估计值为________． 答案：8.95探究点1 线性回归方程在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间的一组观察值如下表.x (s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y (μm)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)求y 对x 的线性回归方程；(3)利用线性回归方程预测时间为100 s 时腐蚀深度为多少． 【解】 (1)散点图如图所示．(2)从散点图中，我们可以看出y 对x 的样本点分布在一条直线附近，因而求回归直线方程有意义．x ＝111(5＋10＋15＋ (120)＝51011，y ＝111(6＋10＋10＋…＋46)＝21411，a ^＝y －b ^x ≈21411－0.304×51011＝ 5.36. 故腐蚀深度对腐蚀时间的线性回归方程为y ＝0.304x ＋ 5.36.(3)根据(2)求得的线性回归方程，当腐蚀时间为100 s 时，y ^＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s 时腐蚀深度大约为35.76 μm.求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炼料熔化完毕到出钢的时间)的数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)并已计算出＝1589,i ＝110y i ＝1 720，故冶炼时间y 对钢水的含碳量x 的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47. 探究点2 线性回归分析假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求相关指数R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？ 【解】 (1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝30.36，y －＝43.5，(1)该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y39.442.942.943.149.2型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． (2)刻画回归效果的三种方法①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； ②残差平方和法：残差平方和 i ＝1n(y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好；关于x 与y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070由(2)可得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：y i －y ^i －1 －5 8 －9 －3 y i －y －－20－101020由于R 21＝0.845，R 22＝0.82，0.845＞0.82， 所以R 21＞R 22.所以(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果． 探究点3 非线性回归分析某地今年上半年患某种传染病的人数y (人)与月份x (月)之间满足函数关系，模型为y ＝a e bx ，确定这个函数解析式．月份x /月 1 2 3 4 5 6 人数y /人526168747883【解】 设u ＝ln y ，c ＝ln a ， 得u ^＝c ^＋b ^x ，则u 与x 的数据关系如下表：x12 3 4 56u ＝ln y 3.95 4.114.224.3044.356 7 4.418 8非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． (4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果． (5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．某种书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：x(千册)1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y (元)10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y (元)与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程，并画出其图形．解：首先作变量置换u ＝1x，题目中所给的数据变成如下表所示的10对数据．u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15然后作相关性检测．经计算得r ≈0.999 8>0.75，从而认为u 与y 之间具有线性相关关系，由公式得a ^≈1.125，b ^≈8.973，所以y ^＝1.125＋8.973u ，最后回代u ＝1x ，可得y ^＝1.125＋8.973x.这就是题目要求的y 对x 的回归方程．回归方程的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支．1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．散点图中，解释变量在x 轴，预报变量在y 轴C ．回归模型中一定存在随机误差D ．散点图能明确反映变量间的关系解析：选D.用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差． 2．下列关于统计的说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变； ②回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )； ③线性回归模型中，随机误差e ＝y i －y ^i ；④设回归方程为y ^＝－5x ＋3，若变量x 增加1个单位，则y 平均增加5个单位． 其中正确的为________(写出全部正确说法的序号)．解析：①正确；②正确；③线性回归模型中，随机误差的估计值应为e ^i ＝y i －y ^i ，故错误；④若变量x 增加1个单位，则y 平均减少5个单位，故错误． 答案：①②3．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)(元)与日销售量y (台)之间有如下关系：x 35 40 45 50 y56412811(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系；(2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)； (3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．(2)因为x －＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，(3)依题意有P ＝(161.5－3x )(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －251.562＋251.5212－4 845. 所以当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426元．故预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．知识结构深化拓展线性回归模型的模拟效果(1)残差图法：观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(2)残差的平方和法：一般情况下，比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反)，故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好．(3)R 2法：R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好．[注意] r 的绝对值越大说明变量间的相关性越强，通常认为r 的绝对值大于等于0.75时就是有较强的相关性，同样R 2也是如此，R 2越大拟合效果越好.[A 基础达标]1．废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋3x ，表明( ) A ．废品率每增加1%，生铁成本增加259元 B ．废品率每增加1%，生铁成本增加3元 C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元 D ．废品率不变，生铁成本为256元解析：选C.回归方程的系数b ^表示x 每增加一个单位，y ^平均增加b ^，当x 为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．2．已知某产品连续4个月的广告费用为x i (i ＝1，2，3，4)千元，销售额为y i (i ＝1，2，3，4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝18，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝0.8(用最小二乘法求得)，那么当广告费用为6千元时，可预测销售额约为( )A ．3.5万元B ．4.7万元C ．4.9万元D ．6.5万元解析：选B.依题意得x ＝4.5，y ＝3.5，由回归直线必过样本点中心得a ^＝3.5－0.8×4.5＝－0.1，所以回归直线方程为y ^＝0.8x －0.1.当x ＝6时，y ^＝0.8×6－0.1＝4.7.3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得的线性回归方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62xB.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x 解析：选A.由题中数据得x ＝6.5，y ＝28.5，a ^＝y －b ^x ＝28.5－2.62×6.5＝11.47，所以y 与x 的线性回归方程是y ^＝2.62x ＋11.47.故选A.4．若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5 亿元解析：选C.代入数据y ＝10＋e ，因为|e |≤0.5， 所以9.5≤y ≤10.5，故不会超过10.5亿元．5．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间的关系如下表：y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告支出5万元时，随机误差的效应(残差)为________．解析：因为y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，当x ＝5时，y ^＝50，当广告支出5万元时，由表格得：y ＝60，故随机误差的效应(残差)为60－50＝10. 答案：106．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2为________．解析：由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0， 故R 2＝1－∑ni ＝1 （y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y ）2＝1－0＝1.答案：17．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表：已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1x i y i ＝3 487. (1)求x ，y ；(2)已知纯利y 与每天销售件数x 线性相关，试求出其回归方程． 解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597.(2)因为y 与x 有线性相关关系，所以b ^＝∑7i ＝1x i y i－7x y ∑7i ＝1x 2i －7x 2＝3 487－7×6×5597280－7×36＝4.75，a ^＝5597－6×4.75＝71914≈51.36.故回归方程为y ^＝4.75 x ＋51.36.8．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表：(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？(2)通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程； (3)利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在(－0.1，0.1)范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”？参考数据和公式：y ^＝b ^x ＋a ^，其中．解：(1)记事件A 为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”， 则P (A )＝2C 25A 55＝16.(2)因为x ＝80＋75＋70＋65＋605＝70，y ＝70＋66＋68＋64＋625＝66，学生的编号i 1 2 3 4 5 数学x i 80 75 70 65 60 物理y i7066686462[B 能力提升]9.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.010．(选做题)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：身高x(cm)60708090100110体重y(kg) 6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170体重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05 (1)(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm 、体重82 kg 的在校男生体重是否正常？ 解：(1)根据题表中的数据画出散点图如图所示．由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x的周围， 于是令z ＝ln y ，得下表：x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z3.043.293.443.663.864.01作出散点图如图所示：由表中数据可得z 与x 之间的回归直线方程为 z ^＝0.662 5＋0.020x ，则有y ^＝e 0.662 5＋0.020x .(2)当x ＝175时，预报平均体重为y ^＝e 0.662 5＋0.020×175≈64.23， 因为64.23×1.2≈77.08＜82，所以这个男生偏胖．。
《回归分析的基本思想及其初步应用》
线性关系, 则选用线性回归方程y bx a );
4 按一定规则估计回归方程中的参数 ( 如最小二
乘法); 5 得出结果后分析残差图是否有异常 (个别数据对
应残差过大, 或残差呈现不随机的规律性等等), 若存 在异常, 则检查数据是否有误, 或模型是否合适等.
2014-4-24
2014-4-24
b 0.849是斜率的估计值, 说明身高x每增加 1个单位时, 体重y就增加0.849个单位, 这表明 体重与身高具有正的线性相关关系如何描述 . 它们之间线性相关关系的强弱 ?
2014-4-24
探究 身高 172cm的 女大学生的体重一定 是 60.316kg 吗 ? 如果 不是, 其原因是什么? 显然, 身高172cm的女
x
180
ˆ y bx a 2014-4-24
图1.1 1
从图1.1 1中可以看出, 样本点呈条状分布 , 身 高和体 重有比 较好的 线性相关关系 ,因此可 以用线 性回归方程刻
y
70 65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 175
x
180
画它们之间的关系. 根据探究中的公式 1 和 2 , 可以得到
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
2014-4-24
在现实中 , 我们经常会遇到类似下 面的问题 : 肺癌是严重威胁人类性命的一种疾病 , 吸烟 与患肺癌有关系吗 ? 肥胖是影响人类健康的 一个重要因素,身高和 体重之间是否存在 线 性相关关系 ? 等等.
不能用女大学生的身高和体重之间的回归方程, 描述 女运动员的身高和体重之间的关系同样 . , 不能用生长 在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归方程, 描述北方干旱地区的树木的高与直径之间的关系.
1[1].1回归分析的基本思想及其初步应用
![1[1].1回归分析的基本思想及其初步应用](https://img.taocdn.com/s3/m/adaa57d3ad51f01dc281f1d2.png)
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并 预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重.
例1
从某大学中随机选出8名女大学生……
解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取
61 (0.849 165 85.712) 6.627
0.849 x 85.712 y
编 号 身 高 体 重 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59
残差平方和
把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为： n ( yi i ) 2 称为残差平方和 y
结合例1除了身高影响体重外的其他因素是不可测量的，不能希望有某种方法获 取随机误差的值以提高预报变量的估计精度，但却可以估计预报变量观测值中所 包含的随机误差，这对我们查找样本数据中的错误和模型的评价极为有用，因此 在此我们引入残差概念。
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异 ei =yi 称为 yi 相应于点（xi，yi ） 的残差。 例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）
身 高 与 体 重 残 差 图
异 常 点
• 错误数据 • 模型问题
误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性， 都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。 误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差 越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与 随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测 量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具， 被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。 残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。 残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性， 回归方程的选择有关。
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
3.1回归分析的基本思想及其初步应用
35
40
45Leabharlann 水稻产量y330 345
365
405 445
450 455
施化肥量x
水稻产量y
15
20
25
365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
y
500 450
水稻产量
400
350
·
· ·
·
·· ·
施化肥量
40 50
30010
20
30
x
2013-6-4
1、定义：
5
1
3
5
4
3
2
7
1
9
求两变量间的回归方程. 解：列表：
i xi 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 5 7 3 8 4 9 2 10 1
yi
xiyi
-9
9
-7
14
-5
15
-3
12
-1
5
1
5
5
15
3
12
7
14
9
9
x 0, y 0,
2013-6-4
x
i 1
10
2 i
110,
高二数学 选修2-3
3.1回归分析的基 本思想及其初步 应用（一）
2013-6-4
数学３——统计内容 1. 画散点图
2. 了解最小二乘法的思想
3. 求回归直线方程 y＝bx＋a 4. 用回归直线方程解决应用问题
2013-6-4
复习 变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据： 施化肥量x 15 20 25 30
1-1 回归分析的基本思想及其初步应用
能力拓展提升一、选择题11．对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关D．样本相关系数r∈(－1,1)[答案] D[解析]∵相关系数|r|≤1，∴D错．12．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)423 5销售额y(万元)49263954 根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元[答案] B[解析]此题必须明确回归直线方程过定点(x，y)．易求得x＝3.5，y＝42，则将(3.5,42)代入y^＝b^x＋a^中得：42＝9.4×3.5＋a^，即a^＝9.1，则y＝9.4x＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．13．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D[解析] r 越接近1，相关性越强，残差平方和m 越小，相关性越强，故选D.14．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝(12)xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)[答案] D[解析] 可以代入检验，当x 取相应的值时，所求y 与已知y 相差平方和最小的便是拟合程度最高的．二、填空题15．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：x 100 120 140 160 180 y4554627592那么变量y 关于x 的回归方程是________． [答案] y ^＝0.575x －14.9[解析] 根据公式计算可得b ^＝0.575，a ^＝－14.9，所以回归直线方程是y ^＝0.575x －14.9.16．已知x ，y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ，则a 的值为________．[答案] 2.6[解析] 由已知得x －＝2，y －＝4.5，而回归方程过点(x －，y －)，则4.5＝0.95×2＋a ，∴a ＝2.6. 三、解答题17．某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表： 数学成绩x 88 76 73 66 63 化学成绩y 7865716461(1)画出散点图；(2)如果x 、y 呈线性相关关系，求y 对x 的线性回归方程． [解析] (1)散点图如图：(2)x ＝73.2，y＝67.8，∑i ＝15x 2i ＝27 174，∑i ＝15y 2i ＝23 167，∑i ＝15x i y i ＝25 054，∴b ^＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625，a ^＝y －－b ^x －＝22.05，所求回归方程为y ^,\s\up6(^))＝22.05＋0.625x .18．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积(m 2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15∑5i ＝1x i ＝109，l xx ＝∑5i ＝1(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，l xy ＝∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a^， 则b ^＝l xy l xx＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －b ^x ＝1.816 6.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2)，当x ＝150m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
ˆ y
160
（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次 函数ｙ＝ｂｘ＋ａ来描述它们之间的关系。这时我 们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系： ｙ＝ｂｘ＋ａ+ｅ其中ａ和ｂ为模型的未知参数，e ˆ 是y与 y之间的误差,通常ｅ称为随机误差。
图表标题 80 60 40 20 0 150 160 170 180
模 分 析 拟
y = f(x)
y = f(x)
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 1）：相关关系是一种不确定性关系； 注 2）：对具有相关关系的两个变量进行
统计分析的方法叫回归分析。 2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变 量是预报变量;
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察 它们之间的关系（是否存在线性关系）； 是否存在线性关系
（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关 系，则选用线性回归方程y=bx+a）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘 法）； （5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残 差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常， 则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
n (xi -x)(yi -y) b= i=1 ˆ = n 2 (xi -x) i=1 ˆ a=y-bx. ˆ
x y
i=1 n
n
i i 2
- nxy - nx
2
x
i=1
高中数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案2 新人教A版选修1-2
11.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑. （2）学习要领：①注意i y 、 i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：52211521()155110.8451000()i i i ii y y R y y ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()iii ii y y y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.第三课时。
1.11 回归分析的基本思想及其初步应用(文、理)
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用【学习目标】1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1） 函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S 与半径r 之间的关系S=πr 2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量； （2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩． 3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据． 4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
要点二、线性回归方程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中x 表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，y 表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，xy 表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．a、b 的意义是：以 a 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化b 个单位． 要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。
回归分析的基本思想及其初步应用
t检验用于检验单个自变量对因变量的影响是否显著。如果t检验的P值小于显著性水平，则认为该自变 量对因变量的影响是显著的。
回归系数的解释
偏效应
回归系数表示在其他自变量保持不变 的情况下，某一自变量变化一个单位 时因变量的平均变化量。它反映了自 变量对因变量的偏效应。
标准化回归系数
为了消除自变量量纲的影响，可以对 回归系数进行标准化处理。标准化回 归系数表示自变量和因变量的标准化 值之间的相关系数，具有可比性。
03
回归分析的初步应用
一元线性回归分析
01
建立一元线性回归模型
通过收集样本数据，以自变量 和因变量的线性关系为基础， 建立一元线性回归模型。
02
参数估计
利用最小二乘法等估计方法， 对模型中的参数进行估计，得 到回归方程的系数。
03
假设检验
对回归方程进行显著性检验， 判断自变量和因变量之间是否 存在显著的线性关系。
通过调整模型参数或引入新的 变量等方式优化模型，提高模 型的拟合精度和预测能力。
逐步回归分析
1 引入变量
从所有自变量中逐步引入对因变量有显著影响的变量， 建立初始回归模型。
2 检验与调整
从所有自变量中逐步引入对因变量有显著影响的变量， 建立初始回归模型。
3 逐步筛选
从所有自变量中逐步引入对因变量有显著影响的变量， 建立初始回归模型。
立
详细阐述了线性回归模型的构建 过程，包括模型的假设、参数的 估计和模型的检验等步骤。
回归分析的初步应
用
通过实例演示了回归分析在解决 实际问题中的应用，包括预测、 解释变量关系和控制变量等方面 的应用。
对未来学习的建议与展望
深入学习回归分析的理论知识
25-3.1回归分析的基本思想及其初步应用(1)
3.1回归分析的基本思想及其应用教材分析本节内容是数学选修2-3 第三章 统计案例 的起始课，是在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.本节课的重点是回归分析的基本方法、随机误差e 的认识、残差，难点是回归分析的基本方法.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果.教学目标重点: 回归分析的基本方法、随机误差e 的认识、残差. 难点：回归分析的基本方法.知识点：回归分析的基本方法、随机误差e 、残差.能力点：如何探寻回归分析的基本方法，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用最小二乘法求回归直线方程.考试点：求解线性回归方程，从残差的角度讨论回归模型的拟合效果. 易错易混点：随机误差e 与残差之间的区别与联系.拓展点：从相关系数、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤.教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：a y bx =- 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑11n i i x x n ==∑ 11ni i y y n ==∑ (,)x y 称为样本点的中心. 如何推导这两个计算公式？【设计意图】由学生所熟悉的最小二乘法引入新课，消除了学生对新知的恐惧感，引出最小二乘法的中的系数,a b ∧∧的计算公式的推导过程.二、探究新知从已经学过的知识，截距a 和斜率b 分别是使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值，由于212212211(,)[((]{[(2[([(][(]}[(2[([(](ni i i ni i i i i nni i i i i i Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x n y x αββββαβββββαβαβββββαβα=====-----=---+---⋅--+--=---+---⋅--+--∑∑∑∑）+））]）]）））]）]））因为1111[((([(([(]([(]0,nniiiii i n ni i i i y x y x y x y x y x y x y x y x n y x y x ny n x n y x βββαβαβββαβββαββ====-----=-----=-----=-----=∑∑∑∑）]）））]））））所以2212222111222221122111[([(]()2()()()(()()[()()](()[]()()()ni i i n n ni i ii i i i nniii i ni i i i nni i iii i Q y x y x n y x x x x x y y y y n y x x x y y x x y y n y x x x y y x x x x αββββαβββαβαβ==========---+--=----+-+------=--+---+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑（，））]）））1n=∑在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，既有121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑y x αβ=-通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出.所以：a y bx =- 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑这正是我们所要推导的公式.三、理解新知准确理解最小二乘法中系数,a b ∧∧的计算公式，以及回归方程的求解过程. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1、 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如图所示：(1) 画出以身高为自变量x,体重为因变量y 的散点图;(2) 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程;(3) 求预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. 解：（1）由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x ,体重为因变量y 作散点图:（2）0.849,85.712:0.84985.712.b a y x ==-∴=-回归方程(3)对于身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报体重为：0.84917285.71260.316()y kg =⨯-=ˆ0.849b=是斜率的估计值，说明身高x 每增加1个单位时，体重y 就增加0.849 个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．如何描述它们之间线性相关关系的强弱？【设计意图】通过具体例子让学生感受回归分析思想的应用.最后的问题为接下来引入残差做了铺垫.在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法．本相关系数的具体计算公式为()()niix x y y r --=∑当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r 的绝对值大于0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系．165在本例中，可以计算出r =0. 798．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的．显然，身高172cm 的女大学生的体重不一定是60. 316 kg ，但一般可以认为她的体重接近于60 . 316 kg .图3 . 1- 2 中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点．由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：y bx a e =++, ( 3 )这里a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与y bx a =+之间的误差．通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值 E (e ）=0，方差D （e ）=2()D e σ=＞0 ．这样线性回归模型的完整表达式为：2,()0,().y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩ (4) 在线性回归模型（4）中，随机误差e 的方差越小，通过回归直线y bx a =+ (5)预报真实值y 的精度越高．随机误差是引起预报值y 与真实值y 之间的误差的原因之一，大小取决于随机误差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中a 和b 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a 和b 之间也存在误差，这种误差是引起预报值y 与真实值y 之间误差的另一个原因．【设计意图】引入随机误差e 后，将回归方程推广到回归模型. 思考:产生随机误差项e 的原因是什么?一个人的体重值除了受身高的影响外，还受许多其他因素的影响．例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等．事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系．这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 e 的原因．因为随机误差是随机变量，所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征．均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差2σ来衡量随机误差的大小．为了衡量预报的精度，需要估计护的值．一个自然的想法是通过样本方差来估计总体方差．如何得到随机变量e 的样本呢？由于模型（3）或（4）中的e 隐含在预报变量y 中，我们无法精确地把它从y 中分离出来，因此也就无法得到随机变量e 的样本．解决问题的途径是通过样本的估计值来估计2σ．根据截距和斜率的估计公式（1）和（2 ) , 可以建立回归方程y bx a =+,因此y 是（5）中y 的估计量．由于随机误差e y y =-，所以e y y =-是e 的估计量．对于样本点（11,x y ) , (22,x y ) ，…， (,n n x y ) 而言，相应于它们的随机误差为,1,2,,i i i i i e y y y bx a i n =-=--=,其估计值为,1,2,,i i i i i e y y y b x a i n ∧∧∧∧=-=--=,i e ∧称为相应于点(,)i i x y 的残差（residual )．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用22111(,)(2)22n i i e Q a b n n n σ∧∧∧∧===>--∑ 作为2σ的估计量， 其中a 和b 由公式（1) (2）给出，Q （a ,b ）称为残差平方和（residual sum of squares )．可以用2σ∧衡量回归方程的预报精度．通常，2σ∧越小，预报精度越高．在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差12,,,n e e e ∧∧∧来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析． 【设计意图】引入残差的概念，使学生会运用残差分析的思想分析模型的拟合效果. 表3- 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据．e -6.373 的估计值等，这样作出的图形称为残差图．【设计意图】通过例1的具体数据让学生感受残差分析的应用. 【变式练习】观察两相关变量得如下数据：求两个变量的回归方程. 解：10102110,0,110,110,i i i i i x y x x y ======∑∑10110221101101001,000.11010010i ii i i x y x yb a y b x b x x∧∧∧∧==--⨯∴====-=-⋅=-⨯-∑∑ 所以所求回归直线方程为y x =【设计意图】让学生自己动手解决求回归方程的问题，加深对回归分析思想的印象.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：1．回归直线方程，随机误差及残差．2．思想：回归分析的思想、数形结合的思想、残差分析的思想．教师总结: 公式的证明过程用到了前面两章学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识(如本节的随机误差和残差)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． 【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1．阅读教材P80—84；2．书面作业 P89 习题3.1 1.（1）、（2）、（4）.3．课外思考：如何运用回归分析的思想对未知量进行预报轨迹呢？【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用回归分析的思想，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解回归分析的思想，从而让学生深刻地体会随机误差，残差分析的思想，培养学生回归分析的基本思想，起到承上启下的作用．七、教后反思1.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.2.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计1i nb ==∑bx。
回归分析的基本思想及其初步应用
n
Q( , ) [ yi xi ( y x) ( y x) ]2
n
i 1
{[yi xi ( y x)]2 2[ yi xi ( y x)][( y x) ] [( y x) ]2}
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xn)
2 n yi i1
我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：
^
^
a y b x,......(1)
n
n
y ^
( xi x)( yi y)
xi
nxy
i
b i1 n
(xi x)2
i 1 n
xi2
2
nx
, ......(2)
i 1
i 1
其中x
1 n
(xi x)2
i 1
yx
这正是我们所要推导的公式。
2019/12/18
1、回归直线方程
1、所求直线方程叫做回归直线方程；
相应的直线叫做回归直线。 2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
n
n
y bˆ
( xi
最新人教版高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学 一、回归分析回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的常用统计分析方法.通常把变量观测数据称为样本.1.散点图与回归方程(1)设对y 及x 做n 次观测得数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n).以(x i ,y i )为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图.其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量，y 为随机变量，常称其为因变量.知识拓展 散点图是直观判断变量x 与y 是否相关的有效手段. (2)a 与回归系数b 的计算方法若散点呈直线趋势,则认为y 与x 的关系可以用一元回归模型来描述.设线性回归方程为y=a+bx+ε.其中a 、b 为未知参数，ε为随机误差，它是一个分布与x 无关的随机变量.最小二乘估计aˆ和b ˆ是未知参数a 和b 的最好估计. x b y aˆˆ-=,b ˆ=∑∑==---ni ini i ix xy y x x121)())((.深化升华 bˆ的计算还可以用公式b ˆ=∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221来计算，这时只需列表求出相关的量代入即可. 2.相关性检验如下图中的两个散点图，很难判断这些点是不是分布在某条直线附近.假如不考虑散点图，按照最小二乘估计计算a 与b ，我们可以根据一组成对数据，求出一个回归直线方程.但它不能反映这组成对数据的变化规律.为了解决上述问题，我们有必要对x 与y 作线性相关性的检验，简称相关性检验.对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，检验统计量是样本相关系数r.r=∑∑∑∑∑∑======---=----ni i ni i ni ii ni i n i i ni i iy n y x n x yx n yx y y x x y y x x122122112121)()()()())((.r 具有以下性质:当r 大于0时，表明两个变量正相关，当r 小于0时，表明两个变量负相关；|r|≤1；|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱.通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.相关性检验临界值如下表所示.相关性检验的临界值表深化升华 相关性检验的步骤也可如下: (1)作统计假设:X 与Y 不具有线性相关关系.(2)根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r 的一个临界值r 0.05. (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值.(4)作出统计推断.如果|r|＞r 0.05，表明有95％的把握认为X 与Y 之间具有线性相关关系.如果|r|≤r 0.05，我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直线方程是没有意义的. 3.回归分析的基本概念(1)在数学上，把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方和加起来，即用∑=-ni iy y12)(表示总的效应，称为总偏差平方和.(2)数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y i －i yˆ)是随机误差的效应，称i e ˆ=(y i -i y ˆ)为残差.(3)分别将残差的值平方后回来，用数学符号表示为∑=-ni i iy y12)(称为残差平方和.它代表了随机误差的效应.(4)总偏差平方和与残差平方和的差称为回归平方和.(5)回归效果的刻画我们可以用相关指数R 2反映.R 2=1-∑∑==--n i ini i iy y yy1212)()ˆ(.显然，R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.4.非线性回归问题 在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析，然而非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归应该说是解决问题的好方法.首先，所研究对象的物理背景或散点图可帮助我们选择适当的非线性回归方程yˆ=μ(x；a，b).其中a及b为未知参数，为求参数a及b的估计值，往往可以先通过变量置换，把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值.问题·探究问题函数关系是一种确定性关系，而对一种非确定性关系——相关关系，我们如何研究？导思:由于相关关系不是一种确定性关系，我们经常运用统计分析的方法，即回归分析，按照画散点图，求回归方程，用回归方程预报等步骤进行.探究:我们可以知道，相关关系中，由部分观测值得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性问题转化成确定性问题来研究.由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用，从某种意义上看，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还要使我们对函数关系的认识上升到一种新的高度.典题·热题思路解析：散点图是表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形.解：散点图如下:例2每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与2８天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.思路解析：求回归直线方程和相关系数，可以用计算器来完成.在有的较专门的计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数，而如果要用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解：(1)r=)6.721294.64572)(20512518600(6.722051218294322⨯-⨯-⨯⨯-≈0.999>0.75.说明变量y 与x 之间具有显著的线性正相关关系.bˆ=143004347205125186006.72205121829432=⨯-⨯⨯-≈0.304, x b y aˆˆ-==72.6－0.304×205=10.28. 于是所求的线性回归方程为yˆ=0.304x+10.28. 深化升华 为了进行相关性检验，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量，为求回归直线方程扫清障碍.若由资料知y 对x 有线性相关关系.试求:(1)线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ的回归系数a ˆ,b ˆ. (2)使用年限为10年时，估计维修费用是多少？思路解析：因为y 对x 有线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.利用公式bˆ=∑∑==--ni i ni ii x n x yx n yx 1221,aˆ=y -b ˆx 来计算回归系数.有时为了方便常列表对应写出x i y i ，x i 2,以利于求和.解：(1)x =4，y =5，∑=ni ix12=90，∑=ni ii yx 1=112.3，于是bˆ=245905453.112⨯-⨯⨯-=1.23，aˆ=y -b ˆx =5-1.23×4=0.08. (2)回归直线方程为yˆ=1.23x+0.08.当x=10年时，y ˆ=1.23×10+0.08=12.38(万元)，即估计使用10年的维修费用是12.38万元.方法归纳 知道y 与x 呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出了回归方程也是毫无意义的，而且估计和预测的量也是不可信的.例4一只红铃虫的产卵数y与x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间思路解析：首先要作出散点图，根据散点图判定y与x之间是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再求线性回归方程.在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一指数函数曲线的周围.解：散点图如下所示:由散点图可以看出:这些点分布在某一条指数函数y=pe qx(p,q为待定的参数)的周围.现在，问题变为如何估计待定的参数p和q，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnp,b=q)周围.这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了.由下图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.经过计算得到线性回归方程为zˆ=0.272x－3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为yˆ=e0.272x－3.843.方法归纳线性回归问题在解决前可以先画散点图，通过散点图判断是否为线性回归，如果不是线性回归,要先转换为线性回归问题.。
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的基本思想及其初步应用学习任务：进一步了解与线性回归模型有关的一些统计思想（引入残差变量的必要性；残差分析和相关指数的作用；对模型预报结果的正确认识等）。
主要知识点：回归模型与函数模型的区别；线性回归模型的数学表达式；建立回归模型的基本步骤；随机误差产生的原因；回归方程的预报结果（相关系数、相关指数、残差分析等角度）；非线性相关关系转化为线性回归模型。
重点：回归模型与函数模型的区别；回归模型拟合效果的刻画——相关指数与残差分析。
难点：残差变量的解释；偏差平方和分解的思想。
一、函数关系与相关关系函数关系是两个变量之间的一种确定性的关系，而相关关系是一种非确定性的关系。
相关关系有线性相关关系与非线性相关关系。
用统计方法解决问题的基本步骤为：提出问题、收集数据、分析整理数据、预测或决策。
例1 为了预报一名身高为172cm的女大学生的体重，从某大学中随机选取8名女大学生作为样本，收集她们的身高和体重的数据如下表所示.。
从散点图中可以看出，图像同时经过这8个样本点的函数是不存在的，因此，这里的体重变量y与身高变量x不具有确定的函数关系；事实上，注意到当x=165时，y有48,57,61三个不同的取值，根据函数概念可知，这里的变量y与变量x根本就不可能具有函数关系；但由于这8个样本点分布在从左下方到右上方的一个带形区域内，使我们初步感觉到身高变量x与体重变量y并非没有关系，因此，应存在某一直线l，使这8个点都落在该直线附近，从而说明这里的变量y与变量x具有非确定性的线性相关关系。
那么，这条直线l的方程是什么？如何根据直线l的方程预报一名身高为172cm的女大学生的体重？预报值的含义是什么？预报的精确度又如何呢？回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其最基本的过程为：画散点图→求回归方程→用回归方程进行预报。
二、最小二乘估计公式（求回归直线方程的一种方法）例1中的8名女大学生是一个随机抽样样本，所获得的8组身高和体重的数据对称为观测数据（或样本数据）.一般地，设对变量x 与y 有一组观测数据),...,3,2,1)(,(n i y x i i =，这些样本点都分布在直线l 的附近，直线l 的方程为：αβ+=x y （称变量x 为解释变量，变量y 为预报变量或观测变量）.方程中αβ,是客观存在的真实值，但由于变量x 与y 并不具有线性函数关系，我们无法确切地知道αβ,具体是何值。
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残差平
n
残差平方和为
(yi－y^ )2，残差平方和
越小
，模型
i＝1
方和
拟合效果越好
n
yi－y^ i2
i＝1
相关指 R2＝1－
，R2 表示 解释 变量对 预报 变量变
数 R2
n
yi－ y 2
i＝1
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好
想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是 个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除 了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动 等．
程．(重点) 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模型．(难点、易错点)
自学导引
1．回归分析
回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常
用方法．
2．线性回归模型
(1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一
条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因
此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参数，
其中 x ＝1ni＝n1xi， y ＝1ni＝n1yi，( x ， y )称为样本点的中心．
(3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e， 因变量y由 自变量x 和 随机误差e 共同确定，即自变量x只解 释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变 量y称为预报变量．
解 (1)散点图如图．
(2) x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
题型一 求线性回归方程 【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科
A B CDE
数学成绩(x) 88 76 73 66 63
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
(1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． [思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关， 若相关再利用线性回归模型求解．
4．非线性回归分析 (1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不是 一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系 而是非线性相关关系． (2)非线性回归方程线性化 ①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数) lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数) lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a， 则u＝dx＋b，图象为一直线．
3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系， 则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否 有误，或模型是否合适等．
e为
随机误．差
(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a^和b^就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
b^ ＝
i＝1
＝
，a^ ＝ y －b^ x ，
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤； 4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．
【核心扫描】 1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方
名师点睛 1．线性回归方程
(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． (2)求线性回归方程^y＝b^x＋a^的关键是求未知参数a^和b^，其中b^ 可借助于计算器求出，因为a^＝ y －b^ x ，即 y ＝b^ x ＋a^，所以点 ( x ，y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ，y )．
试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必 过( ).
x1234 y1357
A．点(2,3) C．点(2.5,4)
B．点(1.5,4) D．点(2.5,5)
提示 选 C.线性回归方程必过样本点的中心( x ， y )，即(2.5,4)．
3．刻画回归效果的方式
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－y^i)是随机 误差．称e^i＝yi－y^i 为残差，e^i 称为相应于点(xi，yi)的残
(3)求线性回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出 x ， y ， x12＋x22＋…＋x2n，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn 的值； ②计算未知参数a^，b^； ③写出线性回归方程^y＝b^x＋a^.
2．线性回归分析 (1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值． (2)随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②省略了一些因素的影响产生的误差； ③观测与计算产生的误差． (3)残差分析是回归分析的一种方法． (4)用相关指数R2来刻画回归效果． R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
差.
n
(yi－y^ i)2
称为残差平方和
i＝1
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值
等，这样作出的图形称为残差图
残差 图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高