2.5.2等比数列前n项和性质

【自主解答】 (1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列． 即 7，S4－7,91－S4 成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得 S4＝28 或 S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2.∴S4＝28.
3．等比数列{an}的前 5 项和 S5＝10，前 10 项和 S10＝50，则它的前 15 项和 S15＝________.
【解析】 由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10－S5， S15－S10 成等比数列， 故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， 即(50－10)2＝10(S15－50)， 解得 S15＝210.
【答案】 210
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
阶 段 一
阶 段 三
第 2 课时
等比数列前 n 项和的性质及应用
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1.掌握等比数列前 n 项和的性质的应用.重点 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.重点 3.能用分组转化方法求数列的和.重点、易错点）
[基础·初探]
教材整理 等比数列前 n 项和的性质
阅读教材 P57 第 13 行～P58，完成下列问题． 等比数列前 n 项和的性质 性质一：若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠± 1)， 则数列{an}是等比 ____数列．
[再练一题] 1．(1)等比数列{an}共 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q＝________. (2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝2， S3n＝14， 则 S4n ＝________.
(2)设 S1＝a2＋a4＋a6＋„＋a80， S1 S2＝a1＋a3＋a5＋„＋a79.则S ＝q＝3 即 S1＝3S2. 2 4 又 S1＋S2＝S80＝32，∴3S1＝32，解得 S1＝24. 即 a2＋a4＋a6＋„＋a80＝24.
【答案】 (1)A (2)24
1． 在涉及奇数项和 S 奇与偶数项和 S 偶时， 常考虑其差或比进行简化运算． 若 S偶 S奇－a1 项数为 2n，则 ＝q(S 奇≠0)；若项数为 2n＋1，则 ＝q(S 偶≠0)． S奇 S偶 2．等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数 列，其公比为 qn(q≠－1)． 3．等比数列{an}的公比为 q，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. 4．若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0 且 q≠1)，则 数列{an}成等比数列．
[小组合作型]
等比数列前n项和性质应用
(1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2＝7，S6＝91，则 S4 为( A．28 B．32 C．21 D．28 或－21 )
(2)等比数列{an}中， 公比 q＝3， S80＝32， 则 a2＋a4＋a6＋„＋a80＝________.
【精彩点拨】 (1)由 S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列求解． S偶 (2)利用 ＝q，及 S2n＝S 奇＋S 偶求解． S奇
性质二：若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则
qnSm ①Sn＋m＝Sn＋_____.
S偶Байду номын сангаас②在等比数列中，若项数为 2n(n∈N )，则 ＝ q . S奇
*
③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比 ____数列．
1．下列说法正确的是________．(填序号) (1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120，则该 等比数列的公比 q＝2. (2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a· 3n－1－1，则 a＝1. (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列． (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．
S偶 120 1 【解析】 (1)错误．因为由等比数列前 n 项和的性质 ＝q，得 q＝240＝2. S奇 a11－qn a1 n a1 (2)错误．因为由 Sn＝ ＝－ q＋ 1－ q 1－q 1－q 知在 Sn＝a· 3
n－1
a n a －1＝3· 3 －1 中3＝1，故 a＝3.
(3)正确．因为 a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q4(a1＋a2)， 所以 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 成等比数列． (4)错误．因为在等比数列中 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 成等比数列，故 S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列．
【答案】 (3)
a1＋a3＋a5＋a7 1 2．已知等比数列{an}的公比 q＝3，则 ＝________. 【导学号： a2＋a4＋a6＋a8 05920041】
【解析】 a2 a4 a6 a8 ∵q＝a ＝a ＝a ＝a ， 1 3 5 7
a1＋„＋a7 1 ∴ ＝q＝3. a2＋„＋a8
【答案】 3