弧度制和角度制转化练习和答案

课时作业2 弧度制和弧度制与角度制的换算
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．与－13π
3终边相同的角的集合是( ) A ．{π3}
B ．{5π3}
C ．{α|α＝2k π＋π
3，k ∈Z }
D ．{α|α＝2k π＋5
3π，k ∈Z }
解析：与－133π终边相同的角α＝2k π－13
3π，k ∈Z ， ∴α＝(2k －6)π＋6π－133π＝2(k －3)π＋5
3π(k ∈Z )． 答案：D
2．终边经过点(a ，a )(a ≠0)的角α的集合是( ) A ．{π4}
B ．{π4，5π4}
C ．{α|α＝π
4＋2k π，k ∈Z }
D ．{α|α＝π
4＋k π，k ∈Z }
解析：分a >0和a <0两种情形讨论分析．当a >0时，点(a ，a )在第一象限，此类角可记作{α|α＝2k π＋π
4，k ∈Z }；当a <0时，点(a ，a )在第三象限，此类角可记作{α|α＝2k π＋5
4π，k ∈Z }，∴角α的集合为{α|α＝k π＋π
4，k ∈Z }．
答案：D
3．在直径为4cm 的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π
5cm B.2π5cm C.π
3cm
D.π2cm
解析：利用弧长公式l ＝αr ，α＝36°＝36×π180＝π
5，r ＝2cm ， ∴l ＝π5×2＝2π
5(cm)． 答案：B
4．若集合A ＝{x |x ＝k π2＋π
4，k ∈Z }，B ＝{x |－2≤x ≤1}，则A ∩B ＝( )
A ．{－3π4，－π4，π
4} B ．{－π4，π
4} C ．{－5π4，－3π4，－π
4}
D ．{－π4，π4，3π
4}
解析：集合A 中的元素为：…－54π，－34π，－π4，π4，3
4π……，且－34π<－2，3
4π>1，故应选B.
答案：B
5．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A ．1 B.12 C.π6或5π6
D.π3或5π3
解析：将该弦记为弦AB ，设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角
∠AOB ＝2α或2π－2α，由于弦AB 等于半径，所以∠AOB ＝π
3，可得2α＝π3或2π－2α＝π3，解得α＝π6或α＝5π6.
答案：C
6．蒸汽机飞轮的半径为1.2米，以300周/分钟的速度按照逆时针方向旋转，则飞轮每秒转过的弧度数和轮沿上任一点每秒所转过的弧长分别是( )
A ．5π rad 和10π米
B ．10π rad 和10π米
C ．10π rad 和12π米
D ．5π rad 和12π米
解析：由题意知飞轮每分转300周，则每秒转5周，所以飞轮每秒转过2π×5＝10π(rad)．由飞轮半径为1.2米，得轮沿上任一点每秒转过的弧长l ＝10π×1.2＝12π(米)．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知角α的终边与π3的终边相同，在[0,2π)内终边与α
3角的终边相同的角为______________．
解析：由题意得α＝2k π＋π
3，(k ∈Z )， 故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )，又∵0≤α
3<2π，
所以当k ＝0、1、2时有α3＝π9，79π，13
9π满足． 答案：π9，79π，139π
8．圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．
解析：设原来圆的半径R ，弧长为l ，圆心角为θ，变化后圆的半径为3R ，圆心角为θ′，则θ′＝l 3R ＝1
3θ，∴该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的1
3.
答案：13
9．已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析：设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
l ＋2r ＝6，12lr ＝2，
解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，
∴α＝l
r ＝1或4. 答案：1或4
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π
12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
解：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12. 显然π12<π10<1<7π
12，故α<β<γ<θ＝φ.
11．已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时它有最大面积？
解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则由扇形的周长为20得l ＝20－2r .所以S 扇＝12lr ＝1
2(20－2r )·r ＝(10－r )·r ＝－(r －5)2＋25.由l >0知0<r <10，所以r ＝5时，面积S 取最大值．此时，α＝l r ＝10
5＝2(弧度)．
∴当扇形的圆心角为2弧度时，扇形面积最大．
12．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
解：(1)如图①中以OB 为终边的角330°，可看成－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，
∴{θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π
12，k ∈Z }． (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π
6， ∴{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π
2，k ∈Z }∪
{θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π
2，k ∈Z } ＝{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π
2，k ∈Z }∪ {θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π
2，k ∈Z } ＝{θ|k π＋π6<θ<k π＋π
2，k ∈Z }．。