443三角形相似的判定条件
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定条件在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在解决几何问题时经常出现，还与实际生活中的许多场景有着紧密的联系。
那什么是相似三角形呢？简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，它们就是相似三角形。
而要判断两个三角形是否相似，就需要依据一定的判定条件。
相似三角形的判定条件主要有以下几种：第一种判定条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。
这是一个非常重要的判定方法，也比较容易理解。
比如说，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，另一个三角形也有两个角分别是 30 度和 60 度。
因为三角形的内角和是 180 度，所以第三个角的度数也就确定了。
这样一来，这两个三角形的三个角都分别相等，它们的形状就相同，从而可以判定这两个三角形是相似的。
第二种判定条件是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设我们有两个三角形，其中一个三角形的两条边的长度分别是 4 和 6，夹角是 60 度；另一个三角形对应的两条边的长度分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。
我们可以计算出这两组对应边的比例，4∶8 ＝ 1∶2，6∶12 ＝ 1∶2，比例相等，而且夹角也相等，所以这两个三角形就是相似的。
第三种判定条件是“三边成比例的两个三角形相似”。
比如一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边分别是6、8、10。
我们来计算一下它们对应边的比例，3∶6 ＝ 1∶2，4∶8 ＝ 1∶2，5∶10 ＝ 1∶2，三边的比例都相等，那么这两个三角形就是相似的。
为了更好地理解和运用这些判定条件，我们来看一些实际的例子。
假设在一个建筑工地上，有一个工人需要测量一个大型三角形广告牌的高度，但他无法直接测量。
不过，他在地面上立了一根已知长度的杆子，然后分别测量出杆子的影子长度和广告牌的影子长度。
通过这种方法，就可以利用相似三角形的知识来计算出广告牌的高度。
在这个例子中，杆子和它的影子以及广告牌和它的影子分别构成了两个直角三角形。
中考数学《三角形》考点：相似三角形的判定方法
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中考数学《三角形》考点：相似三角形的判定方法
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
1、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似;
2、如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似;
3、如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是数学几何中的一个重要概念，它在解决实际问题和证明定理时起着关键作用。
相似三角形的判定是基于其边比和角相等的条件，而相似三角形的性质则涉及到各个角的对应关系和边的比例关系。
本文将详细介绍相似三角形的判定方法和性质。
一、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，常用的判定方法有以下几种：1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的一个角相等，且对应边的夹角也相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三边分别成比例，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们是相似的。
3. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，那么它们是相似三角形。
这些判定方法是相似三角形性质的基础，通过判定可以确定两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质1. 两个相似三角形的对应角相等，即相应的角相等。
这是相似三角形定义的直接性质，对应角相等是相似三角形的必要条件。
2. 两个相似三角形的对应边成比例。
如果两个三角形相似，则它们的对应边的长度之比等于任意两个对应边的长度之比。
具体来说，设两个相似三角形的对应边分别为AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，则有AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。
3. 两个相似三角形的高线成比例。
如果两个相似三角形的高线分别为h和h'，那么h/h'等于相应的边的长度之比。
4. 两个相似三角形的面积之比等于对应边长度之比的平方。
设两个相似三角形的面积分别为S和S'，对应边的长度之比为k，则有S/S' = k^2。
5. 两个相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
三角形的相似判定
三角形的相似判定相似三角形是初中数学中的基本概念之一，掌握相似三角形的判定方法对于解决与三角形相关的各种问题具有重要意义。
本文将介绍三角形相似的判定方法，并给出相应的几何证明。
三角形相似的判定方法有三种，它们分别是AAA判定法、AA判定法和SAS判定法。
AAA判定法：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角所对的边成比例，那么这两个三角形是相似的。
SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且这个角的两边与另一个三角形的两边成比例，那么这两个三角形是相似的。
现在，我们来依次证明这三种判定法。
首先，证明AAA判定法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形是相似的。
我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应，∠B与∠E对应，∠C与∠F对应。
这样，由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，三角形ABC与DEF的对应边也重合，因此三角形ABC与DEF是完全重合的，即相似。
接下来，证明AA判定法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，并且AB/DE = AC/DF，我们需要证明这两个三角形是相似的。
同样地，我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应，∠B与∠E对应。
根据已知条件，我们可以得出AB/DE = AC/DF，即AB/DE = BC/EF。
由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，根据正弦定理可知AB/DE = BC/EF，因此，三角形ABC与DEF的对应边成比例，即相似。
最后，证明SAS判定法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，我们需要证明这两个三角形是相似的。
同样地，我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应。
相似三角形判断条件
相似三角形判断条件相似三角形是指两个三角形，他们彼此的所有内角和外角都相等。
相似三角形的几何原理是三角形具有相似性的基本原理，它指的是两个三角形所有内角和外角都相等。
在几何原理中，最重要的一点是如何证明两个三角形是相似的。
下面我们就来详细看看相似三角形的判断条件。
首先，相似三角形的判断条件是：（1）两个三角形的外角是相等的。
（2）两个三角形的内角是相等的。
（3）两个三角形的边长比相等。
假设三角形ABC，DEF两者的所有角和边长都是已知的，那么在证明他们是否为相似三角形的时候，可以用到几何定理，如半周长定理：两个三角形的半周长比等于它们的定点外角的正弦值的乘积；三角形外角公式：所有三角形的外角之和是180°；三角形内角公式：任何三角形的内角之和是180°；三角形边长比公式：任意一条边的长度比等于两两比的其他两边的比值的乘积；以及内部三角形内外角公式：内部三角形的外角是内角的两倍。
由以上几何定理可以推出，相似三角形存在条件即：（1）两个三角形的外角都相等。
（2）两个三角形的内角都相等。
（3）两个三角形的边长比都相等。
另外，如果有一个相似三角形，它的定点坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），可以用三个定点距离来证明它的相似性，即用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方；用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比。
总之，判断两个三角形是否为相似三角形的原则是：它们的所有外角和内角都相等，它们的边比都相等，或者可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
综上所述，相似三角形的判断条件就包括了三角形的外角、内角和边比都相等，以及可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
相似三角形是几何原理中的基本概念，在几何中有很多应用。
例如，它可以用于解决以下问题：（1）最小外接圆半径：给定三角形ABC，找出最小外接圆半径；（2）最大内接圆半径：给定三角形ABC，求出最大内接圆半径；（3）多边形面积计算：给定由三角形ABC的共同点组成的多边形，计算多边形的面积；（4）共轭多边形：给定三角形ABC，求出其共轭多边形；（5）三角形的中心：给定三角形ABC，找出它的中心点；（6）三角形的重心：给定三角形ABC，找出它的重心；以及（7）三角形的切线：给定三角形ABC，求出三条切线。
三角形相似的充要条件
三角形相似的充要条件在几何学中，三角形相似是指两个或多个三角形之间的对应角相等，并且对应边成比例。
相似的概念在很多几何问题中起着重要的作用，它帮助我们推导和解决各种三角形的性质和问题。
本文将介绍三角形相似的充要条件。
一、充要条件之AA相似法则AA相似法则是指若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E。
首先，我们可以通过角度关系得到一个对应边的比例，即AB/DE = BC/EF。
其次，我们可以通过角度关系得到另一个对应边的比例，即AB/DE = AC/DF。
因此，我们可以得出AB/DE = BC/EF = AC/DF，即符合相似的定义。
所以，由AA相似法则可知，若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
二、充要条件之SAS相似法则SAS相似法则是指若两个三角形的一个角相等，两个对应边成比例，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF。
首先，根据角度关系可以得到另一个角相等，即∠B = ∠E。
其次，根据对应边的比例可以得到另一条边的比例，即BC/EF =AC/DF。
因此，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC/EF = AC/DF，即符合相似的定义。
所以，由SAS相似法则可知，若两个三角形的一个角相等，两个对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、充要条件之SSS相似法则SSS相似法则是指若两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE = BC/EF = AC/DF。
首先，根据对应边的比例可以得到一个对应角的形式，即∠A =∠D。
其次，根据对应边的比例可以得到另一个对应角的形式，即∠B = ∠E。
因此，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，即符合相似的定义。
所以，由SSS相似法则可知，若两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形判定
相似三角形判定相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等的情况。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法及其应用。
一、相似三角形的判定条件1. 直角三角形相似判定对于两个直角三角形，若它们的一个角相等（除直角外），并且两个锐角分别相等，那么这两个直角三角形是相似的。
换句话说，如果两个直角三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
2. AAA相似判定对于两个三角形，如果它们的三个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
3. AA相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两个角对应的两边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
4. SAS相似判定对于两个三角形，如果它们的一个角相等，而且两边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的应用1. 比例计算相似三角形的边长比例可以用来计算未知长度。
例如，如果我们知道一个三角形的两个边与另一个三角形的两个边成比例，那么我们可以利用这个比例关系计算出未知边的长度。
2. 测量不可达距离在实际测量中，由于一些地方不可达或较难到达，我们可以利用相似三角形的原理来计算这些位置的距离。
通过测量已知距离和相似三角形的比例关系，我们可以确定不可达位置的距离。
3. 设计模型和原型相似三角形的原理也经常用于设计模型和原型。
通过在一个比例上缩小或放大一个已知的三角形，我们可以得到与原三角形相似的模型。
4. 空间推理在几何学中，相似三角形的概念经常被用于进行空间推理。
通过判断不同角度和边长的三角形是否相似，我们可以推断出一些与角度和长度相关的性质。
总结：相似三角形的判定条件包括直角三角形相似判定、AAA相似判定、AA相似判定和SAS相似判定。
相似三角形的应用广泛，包括比例计算、测量不可达距离、设计模型和原型以及空间推理等方面。
通过掌握相似三角形的判定条件和应用，我们可以在几何学和实际问题中更好地运用相似三角形的概念。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法主要有以下几种：
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而且两个相邻边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
4. 共边判定法：如果两个三角形有一条边是相等的，并且其他两边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
需要注意的是，以上判定方法只能判断两个三角形是否相似，不能得出相似三角形的具体比例关系。
若要确定相似三角形的比例关系，需要通过对应边长的比值来确定。
相似三角形的判定
相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。
一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形中有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法：使用AA相似定理，当我们知道两个三角形的两个角分别相等时，就可以判定它们相似。
具体判定方法是测量三角形的两个角，并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
2. 边边判定法：使用SSS相似定理，当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的三条边，并将其比较。
如果它们的比例相等，则两个三角形相似。
3. 边角边判定法：使用SAS相似定理，当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例，并测量它们对应的夹角，将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。
一些常见的应用包括：1. 测量高度：通过测量阴影的长度和实物的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。
2. 估算距离：在实际测量中，通过相似三角形的比例关系，我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。
3. 图像变换：相似三角形的性质在图像变换中也有应用。
例如，图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。
三角形的相似判定
三角形的相似判定相似三角形是高中数学中非常重要的概念之一。
在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
本文将从相似三角形的定义、判定方法和一些相关性质进行探讨。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
2. 判定相似三角形的方法（1）AA判定法当两个三角形的两个对应角相等时，如果它们的第三个对应角也相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可推出∠C=∠F，从而得出两个三角形相似。
（2）SAS判定法当两个三角形的一个对应边成比例，两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可推出∠B=∠E，从而得出两个三角形相似。
（3）SSS判定法当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则得出两个三角形相似。
3. 相似三角形的性质（1）相似三角形内角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角都相等。
这一性质可以通过AA判定法和SAS判定法得到证明。
（2）相似三角形边长比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。
这一性质可以通过SAS判定法和SSS判定法得到证明。
（3）相似三角形面积比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积之比为k²。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF相似且AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k²。
4. 常见应用相似三角形的概念在几何问题中有广泛的应用。
例如，可以利用相似三角形的性质解决高塔定影问题、测量无法直接获得的长度等。
5. 实例分析现举一个例子来说明相似三角形的判定及应用。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
三角形像似的条件
三角形相似的条件：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。
一、相似三角形的判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。
二、相似三角形介绍三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
三、相似三角形的性质1.性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2.性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
四、特殊情况1.凡是全等的三角形都相似。
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。
反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。
2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。
由此，所有的等边三角形都相似。
3.设三角形ABC与三角形A'B'C'的相似比为k，三角形A'B'C'与三角形ABC的相似比为k'，则k'=1/k。
三角形相似的的判定定理
三角形相似的那些事儿在咱们日常生活中，数学无处不在，就连咱们小时候玩的拼图、搭积木，都藏着数学的奥秘。
今天，咱们就来聊聊一个既有趣又实用的数学概念——三角形相似，特别是它的判定定理。
别一听“定理”俩字儿就觉得头疼，咱们用接地气的方式，把它聊得明明白白。
一、啥是三角形相似？首先，咱们得知道啥是三角形相似。
简单来说，就是两个三角形，虽然大小不一样，但形状一模一样，就像是同一个模具做出来的两个饼，一个大点儿，一个小点儿，但都是圆的，对吧？三角形也一样，形状相同，只是边长比例不同，这就叫三角形相似。
二、判定定理一：两边成比例且夹角相等第一条判定定理，听起来挺高大上的，其实用咱老百姓的话来说，就是“两边长度按比例来，它们之间的那个夹角还得一样”。
想象一下，你有两个三角形，一个叫小明，一个叫小红。
你量了量，发现小明的一个角和小红的一个角是“孪生兄弟”，一模一样大。
你再量量这两个角对应的两边，嘿，它们之间的比例也是固定的，比如小明的一边是小红的两倍，另一边也是两倍。
这时候，你就可以拍着胸脯说：“这俩三角形，相似了！”三、判定定理二：三边成比例第二条定理更简单直接，就是“三条边都按比例来”。
还是拿小明和小红举例子，你量了量，发现小明三角形的三条边分别是小红三角形的两倍、三倍和四倍。
这时候，你都不用看角，就能断定：“这俩三角形，铁定是相似的！”这就像是你有两个大小不同的风筝，虽然一个飞得高，一个飞得低，但只要它们的骨架比例一样，那它们飞起来的形状就是一样的。
四、判定定理三：两个角分别相等第三条定理说的是“只要有两个角分别相等，这俩三角形就相似”。
这个也好理解，你想啊，三角形内角和总是180度，对吧？如果两个三角形有两个角都一样，那第三个角肯定也一样，因为180度减去那两个相同的角，剩下的肯定也相同。
这就像是你和你朋友都戴了一顶帽子和一副眼镜，虽然帽子和眼镜的大小不一样，但只要款式一样，从远处一看，你俩就像双胞胎似的。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
判定两个三角形是否相似是解决几何问题中的重要一步。
下面我们将介绍三角形相似的判定方法，希望能帮助大家更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看一下相似三角形的定义。
两个三角形是相似的，当且仅当它们的对应角相等，并且对应边的比值相等。
换句话说，如果两个三角形的对应角相等，那么它们就是相似的。
而且，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么它们也是相似的。
接下来，我们来介绍三角形相似的判定方法。
首先是AAA相似判定法。
如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为，如果两个三角形的对应角相等，那么它们的对应边的夹角也相等，从而可以推出它们的对应边的比值相等，符合相似三角形的定义。
其次是AA相似判定法。
如果两个三角形的一个角相等，而另外两个角的对应边分别成比例，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为，如果两个三角形的一个角相等，而另外两个角的对应边分别成比例，那么根据三角形内角和定理，我们可以得出这两个三角形的另外两个角也相等，从而符合相似三角形的定义。
再次是SAS相似判定法。
如果两个三角形的一个角相等，而另外两个角的对应边分别成比例，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为，如果两个三角形的一个角相等，而另外两个角的对应边分别成比例，那么根据正弦定理，我们可以得出这两个三角形的另外两个角也相等，从而符合相似三角形的定义。
最后是SSS相似判定法。
如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为，如果两个三角形的对应边成比例，那么根据正弦定理，我们可以得出这两个三角形的对应角也相等，从而符合相似三角形的定义。
综上所述，我们介绍了四种三角形相似的判定方法，分别是AAA相似判定法、AA相似判定法、SAS相似判定法和SSS相似判定法。
通过这些判定方法，我们可以更轻松地判断两个三角形是否相似，从而在解决几何问题时更加得心应手。
《怎样判定三角形相似》 知识清单
《怎样判定三角形相似》知识清单三角形相似是初中数学中的重要内容，掌握判定三角形相似的方法对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们来详细了解一下如何判定三角形相似。
一、定义法如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是三角形相似最基本的定义，但在实际应用中，直接通过定义来判定相似往往比较困难，因为要同时验证角相等和边成比例。
二、相似三角形的判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
这是判定三角形相似最常用的方法之一，因为角的大小相对容易测量和比较。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C'，且∠A ＝∠A'，则这两个三角形相似。
这里需要特别注意的是，必须是夹角相等，而不是任意两个角。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝AC ／ A'C'，那么三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似。
这一判定方法相对较为严格，但在一些复杂的图形中，通过计算边的比例可以较为准确地判断三角形是否相似。
三、直角三角形相似的判定1、一个锐角相等的两个直角三角形相似因为直角三角形已经有一个直角相等，如果再有一个锐角相等，那么根据三角形内角和为 180 度，第三个角也必然相等，从而两个直角三角形相似。
判断三角形的相似性
判断三角形的相似性三角形的相似性是几何学中一个重要的概念。
在判断三角形的相似性时，我们需要观察和比较三角形的边长和角度。
通过观察三角形的特征，我们可以确定它们之间的相似性关系。
本文将详细探讨判断三角形相似性的方法和标准。
一、三角形的相似性定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，并且对应边长成比例时，我们可以说这两个三角形是相似的。
相似性关系可以用以下符号表示：△ABC ~ △DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
对应边长的比例可以写成：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、AAA判定相似性准则如果两个三角形的所有角度相等，那么这两个三角形一定相似。
这是三角形相似性判定中最简单的一种情况。
例如，如果△ABC 的三个角度分别为∠A、∠B和∠C，而△DEF 的三个角度也分别为∠A、∠B 和∠C，那么可以确定△ABC 和△DEF 是相似的。
三、AA相似性准则如果两个三角形的两个对应角度相等，那么这两个三角形可能相似。
为了确认相似性，我们还需要比较第三个对应角度以及对应边长的比例关系。
如果对应的第三个角度也相等，并且对应边长成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，且AB/DE = AC/DF，那么可以确定△ABC 和△DEF 是相似的。
四、侧角相似性准则如果两个三角形的两个对应角度相等，并且两个对应边长的比例关系成立，那么这两个三角形一定相似。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，且AB/DE = AC/DF，那么可以确定△ABC 和△DEF 是相似的。
五、SAS相似性准则如果两个三角形的一个对应角度相等，并且两个对应边长的比例关系成立，那么这两个三角形可能相似。
为了确认相似性，我们还需要比较第二个对应角度以及对应边长的比例关系。
如果第二个对应角度也相等，并且对应边长成比例，那么这两个三角形是相似的。
六、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质。
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你来做做看吧！
知识间的关系对比
ASA AAS SAS SSS
有两个角对应相等的两个三角形相似。
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角 形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似.
小结
∴ ∠ABD＝∠CBE
2、已知△ABC的三边长分为 2 ， 6 ，2， △A′B′C′的两边长分别是1和 3 ，如果 △ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的
第三边长应该是( A )
A、 2 B、 2
2
C、 6 2
D、 3
3
3、要做两个形状完全相同的三角形框 架，其中一个框架的三边长分别为3、 4、5，另一个框架的一边长为6，怎样 选料可以使两个三角形相似？
注意：6可以是最长边，也可以是 最短边，还可以是最短与最长之间 的边。由此：有三种情况
已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条 件判断它们是否相似.
(1)∠B＝∠B’＝75°， ∠C＝50°， ∠A’＝55°
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
A
c
b
A’
c’ b’
Ba
C B’ a’ C’
△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
是否有△ABC∽△A’B’C’
A
A’
c
b
Ba
C
c b1 B’ 1 a1 C’
解:∵△ABC与△A’B’C’都是等边三角形
a b c且a' b' c'
a b＝c a' b' c'
△ABC ∽△A' B' C'
交流展示、揭示新知
4.4.3 探索三角形相似的条件
回顾与反思
1、三角形相似有哪些判定方法？ 2、两个全等三角形一定相似吗？ 两个相似三角形一定全等吗？
交流讨论
在△ABC与△DEF 中，如果 AB BC CA k，
DE EF FD
(1)当K=1时， △ABC与△DEF 有什么关系? (2)当K≠1时， △ABC与△DEF 有什么关系?
D A
B
CE
F
探索:
三边对应成
A
比例
A’
B
C B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
归纳：
A
B
C
E
数学表达式：
D
在△ABC和△DEF中， ∵ AB BC CA
F DE EF FD
∴△ABC∽△DEF
问题:两个等边三角形一定相似吗？
两个三角形相似的判定方法： (1)两角对应相等的两个三角形相似.
(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.
C'
6
4
C
3
2
A'
5 B'
A
B
2.5
梳理知识、自我升华
如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？ 你有哪些判断方法？
试一试：
(1) 在△ABC和△A′B′C′中， 已知：AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm， A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 判定△ABC与△ A′B′C′是否相似，说明理由．
(2)一个三角形三边的长分别为6cm，9cm， 7.5cm， 另一个三角形三边的长分别为 12cm，10cm，8cm，这两个三角形相似吗？ 为什么？
例题欣赏
如图，已知 AB BC CA
BD BE ED
求证：∠ABD＝∠CBE
B
证明：∵
∴ △ABC∽△DBE
A
D C
E
∴∠ABC＝∠DBE
∵∠ABD- ∠DBC ＝∠DBE- ∠DBC