第二讲：空间几何体与平行问题
高考数学二轮复习 第二编 专题五 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直课件 文
12/13/2021
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解析 若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线 a 与 b 可能平行 或异面，所以 A 错误；若 a∥α，b⊥β，且 α⊥β，则直线 a 与 b 可能平行或相交或异面，所以 B 错误；若 a⊥α，a∥b， b∥β，则 α⊥β，所以 C 正确；若 a⊥b，a⊂α，b⊂β，则 α∩β 或 α∥β，所以 D 错误．故选 C.
∴DE⊥PA. ∵E，H 分别为正方形 ABCD 边 AB，BC 的中点， ∴Rt△ABH≌Rt△DAE， 则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°， ∴DE⊥AH， ∵PA⊂平面 PAH，AH⊂平面 PAH，PA∩AH＝A， ∴DE⊥平面 PAH， ∵DE⊂平面 EFD，∴平面 PAH⊥平面 DEF.
解析 由 AP⊥PB，AP⊥PC 可推出 AP⊥平面 PBC，∴ AP⊥BC，故排除 A；由平面 BPC⊥平面 APC，BC⊥PC 可 推出 BC⊥平面 APC，∴AP⊥BC，故排除 C；由 AP⊥平面 PBC 可推出 AP⊥BC，故排除 D，选 B.
12/13/2021
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3．(2018·北京高考)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD， E，F 分别为 AD，PB 的中点．
求证：(1)PE⊥BC； (2)平面 PAB⊥平面 PCD； (3)EF∥平面 PCD.
12/13/2021
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证明 (1)∵PA＝PD，且 E 为 AD 的中点，∴PE⊥AD. ∵底面 ABCD 为矩形，∴BC∥AD， ∴PE⊥BC. (2)∵底面 ABCD 为矩形，∴AB⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，∴AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥PD.又 PA⊥PD， ∴PD⊥平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PCD.
立体几何平行和垂直知识点
立体几何的平行和垂直定理一、空间中的平行问题1、直线与平面平行的判定及其性质1判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行⇒线面平行符号表示：2性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行符号表示：作用：利用该定理可解决直线间的平行问题.2、平面与平面平行的判定及其性质1判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行线面平行→面面平行,符号表示：2性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.面面平行→线线平行符号表示：作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、在寻求平行关系时,利用中位线、平行四边形等知识是非常常见的手段．有时也可用“垂直于同一个平面的两条直线平行”进行证明.二、空间中的垂直问题1、线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.②线面垂直：如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形是直二面角平面角是直角,就说这两个平面垂直.2、线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直这个平面.线线垂直→线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.3、面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.4、在证明线线垂直时,经常利用线面垂直→线线垂直,同时要注意隐含的垂直关系,如等腰三角形的三线合一、矩形的相邻两边互相垂直、直径所对的圆周角为直角、菱形或正方形的两条对角线互相垂直且平分、边长已知时可利用勾股定理得出该三角形为直角三角形等．三、3种空间角1、异面直线的夹角1异面直线：既不相交也不平行的直线为异面直线2两条异面直线所成角的范围是0°,90°,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.3求异面直线夹角的步骤：先将异面直线进行平移使其相交,接着确定其夹角,最后构造三角形,利用正余弦定理进行计算2、直线和平面所成的角1定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.2求直线与平面所成角的思路：“一作,二证,三计算”.在“作角”时依定义关键在于找出垂线,进而确定直线在平面内的射影,最后确定直线与平面所成的角3、二面角：1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.1二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.2直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角1．2014高考北京卷文第17题如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥,12AA AC ==,E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.1求证：1//C F 平面ABE ；2求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；3求三棱锥E ABC -的体积.2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 11异面直线11CC BA 和的夹角大小是 .2CD B A B A 111和平面所成的角大小是 .3ABCD CD B A 和平面平面11所成二面角的大小是 .。
立体几何中的平行问题(讲解)
直线、平面平行的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；2、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面平行的判定 1、判定定理：（1）内容： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）符号语言：2、判定直线与平面平行，主要有三种方法： （1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。
可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于直线、平面平行判定定理性质定理 线面平行面面平行判定定理性质定理另一平面。
要点诠释：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。
考点二、直线与平面平行的性质1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、符号语言：．考点三、平面与平面平行的判定 1、 面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 2、图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3、平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．4、符号语言：5、判定平面与平面平行的常用方法： ①利用定义（常用反证法）；②利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；③利用面面平行的传递性：////.//αβαγγβ⎫⇒⎬⎭④利用线面垂直的性质：//l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭。
4空间几何体中平行、垂直相关定理
空间几何中平行问题
一．线面平行的判定定理和性质定理
二.面面平行的判定定理和性质定理
a βαβ⎫⎪
⎬⊂⎪⎭
9.5 空间几何中垂直问题
一．直线与平面垂直
1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
2.判定定理与性质定理
二．平面与平面垂直
1.二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
2.平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
3.平面与平面垂直的判定定理与性质定理。
立体几何专题：空间几何体的平行和垂直
变式三
A
D O B
C
如图，四棱锥P—ABCD中， PA ⊥平面ABCD，底面ABCD是直 角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点． (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD； (II) 求证：BE//平面PAD． P
变式四
A
E D C
B
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，
折叠,使得DE ⊥ EC. (1) 求证：BC⊥面CDE ； (2) 求证：FG//面BCD； (3)在线段AE上找一点R,使得面BDR ⊥面DCB,并说明理由. D
D
·
E
F
·
C G F
G
变式三
E
A B A B
C
A1
D
变式四
A
O
CBຫໍສະໝຸດ 1 ABC 90 , SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD . 2 (1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证： SAB 面SBC ; 面
。
S
变式五
B A D C
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=600，PA=AB=BC，
E是PC的中点．
证明:平面PDC⊥平面ABE.
P
变式六
A
B
E D C
题型二、已知面面垂直， 怎么样证明面面垂直
四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面
ABC⊥底面BCDE，BC=2， 2，AB=AC． CD
证明：平面ABD⊥平面ACE。
例题二
（2010江苏）如图，平面PAC⊥平面ABC, AC⊥ BC, PE∥CB, M, N分别是AE, PA的中点。 ⑴求证：MN∥平面ABC； ⑵求证：平面CMN ⊥平面PAC.
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。
理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。
下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。
一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。
3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。
2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
高中必修2立体几何——空间中的平行关系(教案)
空间中的平行关系【知识导图】知识讲解知识点1 线面平行于面面平行的判定定理ββ⎪⎪⎪⎭∥∥知识点2 线面平行与面面平行的性质bβ⎪=⎭例题解析类型一直线与平面平行的判定与性质【例题1】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP DQ=.求证：PQ∥平面BCE．【解析】方法一：如图所示aγaFC作PM AB ∥交BE 于M ，作QN AB ∥交BC 于N ，连接MN . 正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，AE BD ∴=． 又AP DQ =，PE QB ∴=． 又PM AB QN ∥∥，PM PE QB AB AE BD ∴==，QN BQ DC BD =，PM QNAB DC∴=． PM QN ∴∥＝，即四边形PMNQ 为平行四边形，PQ MN ∴∥．又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄PQ ⊄平面BCE ，PQ ∴∥平面BCE ． 方法二：如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK ．AE BD =，AP DQ =， PE BQ ∴=，AP DQ PE BQ∴=．FCKF又AD BK ∥，DQ AQ BQ QK ∴=，AP AQPE QK∴=，PQ EK ∴∥． 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ，PQ ∴∥平面BCE ．方法三：如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM BE ∥，交AB 于点M ，连接QM .PM ∴∥平面BCE ．又平面ABEF平面BCE BE =，PM BE ∴∥，AP AMPE MB∴=． 又AE BD =，AP DQ =，PE BQ ∴=．AP DQ PE BQ ∴=，AM DQMB QB∴=． MQ AD ∴∥．又AD BC ∥，MQ BC ∴∥，MQ ∴∥平面BCE .又PMMQ M =，∴平面PMQ ∥平面BCE ．又PQ ⊂平面PMQ ，PQ ∴∥平面BCE ．【例题2】如图，直四棱柱1111ABCDA B C D 的底面是菱形，14AA ，2AB ，60BAD ，,,E M N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．(1)证明：//MN 平面1C DE ；F【答案】 (1)证明见解析； 【解析】(1)证明：如图，取AD 中点F ，连接NF ,BF ∵在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面是菱形，,,E M N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点∴111122NF AA BM AA BF DE ∥，∥，∥∴四边形BMNF 为平行四边形，四边形BFDE 为平行四边形 ∴MN ∥BF ∥DE∵MN 在平面C 1DE 外，DE 平面C 1DE ∴//MN 平面1C DE类型二 面面平行的判定与性质【例题1】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、E 、F 分别是棱11A B 、11A D 、11B C 、11C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【解析】连接MF ，M 、F 是11A B 、11C D 的中点，四边形1111A B C D 为正方形，11MF A D ∴∥＝．又11A D AD ∥＝，MF AD ∴∥＝．∴四边形AMFD 是平行四边形．AM DF ∴∥．DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ，AM ∴∥平面EFDB ，同理AN ∥平面EFDB ．又AM ⊂平面ANM ，AN ⊂平面ANM ，AMAN A =，∴平面AMN ∥平面EFDB ．CA1A达标训练基础1．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ）A ．只和这个平面内的一条直线平行B ．只和这个平面内的两相交直线不相交C ．和这个平面内的任何一条直线都平行D ．和这个平面内的任何一条直线都不相交 2．如果a b 、是异面直线，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是（ ） A ．b α∥ B ．b 与α相交 C ．b α⊂ D ．不确定3．已知αβ、是两个不同的平面，下列四个条件中能推出αβ∥的是（ ）①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥；③存在两条平行直线a b 、，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥；④存在两条异面直线a b 、，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③4．下图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为 ．5.如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是A B C DACE答案与解析 1．【答案】D【解析】因为直线和平面平行，则直线和平面就没有交点，直线和平面内的直线就平行或异面． 2．【答案】D【解析】b 与α相交或b α⊂两种情况． 3．【答案】C【解析】对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，故当a α⊥，a β⊥，αβ∥，故①正确；对于②，若γα⊥，γβ⊥，α与β可能平行，也可能相交(此时α，β的交线与γ垂直)，故②不正确；对于③，若a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥，则α与β可能平行，也可能相交(此时a ，b 均与交线平行)，故③不正确；对于④，存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥．可将α内的直线平移到β内的直线c ，则有相交直线b ，c 都与平面α平行，根据面面平行的判定定理，可得④正确．故选C ． 4．【答案】平行四边形【解析】平面ABFE ∥平面CDHG ， 又平面EFGH 平面=ABFE FE ， 平面EFGH平面CDHG HG =，EF HG ∴∥．同理EH FG ∥，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形．5.【答案】：A【解析】：B 中，AB //MQ ;C 中，AB //MQ ;D 中，AB //NQ .所以答案为A.巩固1．考查下列三个命题，在“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l 、m 为直线，α、β为平面），则此条件为________． ①m l l m αα⊂⎫⇒⎬⎭∥∥； ②m l l m αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥； ③l l αβαβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥．2．P 是ABC △所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若:=2:3PA AA ′′，则:ABC A B C S S =△△′′′（ ） A ．2:25 B ．4:25 C ．2:5 D ．4:53．已知直线a ，b ，平面α，且a b ∥，a α∥，a ，b 都在平面α外，求证：b α∥．4.如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC =21AD ， ∠BAD =∠ABC =90°，E 是PD 的中点。
第2讲 大题专攻——空间中的平行、垂直与空间角问题 2023高考数学二轮复习课件
目录
二、真题感悟 1．(2022·全国甲卷)(证明线线垂直、求线面角)在四棱锥 P-ABCD
中，PD⊥底面 ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2， DP＝ 3. (1)证明：BD⊥PA； 解：证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1，所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA.
所以向量―AB→＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量． 而―BE→·―AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以BE⊥AB， 又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.
目录
(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明 由(2)知平面 PAD 的一个法向量为―AB→＝(1，0，0)，向量―PD→＝(0，
目录
02
目录
利用向量证明平行与垂直
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1， 点E为棱PC的中点．证明： (1)BE⊥DC； 证明 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐 标系A-xyz，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2， 0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．
向量―BE→＝(0，1，1)，―D→C ＝(2，0，0)， 故―BE→·―D→C ＝0. 所以BE⊥DC.
目录
(2)BE∥平面PAD； 证 明 因 为 AB⊥AD ， 又 PA⊥ 平 面 ABCD ， AB ⊂ 平 面 ABCD ， 所 以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，
高考数学专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直课件文
证明
押题预测 1.不重合的两条直线 m ， n 分别在不重合的两个平面 α， β 内，下列为真 命题的是 A.m⊥n⇒m⊥β C.α∥β⇒m∥β √ 押题依据 B.m⊥n⇒α⊥β D.m∥n⇒α∥β
空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体
几何的重点内容，也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充
真题体验 1.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的 两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线
(1) AB与平面MNQ不平行的是________.( 填序号)
解析
答案
2.(2017· 江苏 ) 如图，在三棱锥 A—BCD 中， AB⊥AD ， BC⊥BD ，平面 ABD⊥ 平面 BCD ，点 E ， F(E 与 A ， D 不重合 ) 分别在棱 AD ， BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本 性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判 定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥 等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到 立体几何中.
跟踪演练1 题正确的是
又PF∩CF＝F，PF，CF⊂平面PCF，
所以DE⊥平面PCF.
证明
(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；
证明
(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？
若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
解答
思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口. (2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得 出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论.
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行关系指的是两条直线或两个平面永远不会相交，在同一个平面内保持固定的距离；而垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。
平行和垂直关系在几何学中有广泛的应用，不仅帮助我们理解空间的结构和形态，也在实际生活中发挥着重要的作用。
1. 平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交的关系。
当两条直线或两个平面的方向向量相等或相互垂直时，它们可以被认为是平行的。
1.1 直线的平行当两条直线的方向向量相等时，它们被称为平行直线。
我们可以使用向量的方法来判断两条直线是否平行。
假设有两条直线 l₁和 l₂，它们的方向向量分别为 a₁和 a₂。
若 a₁和 a₂相等，则 l₁和 l₂平行。
1.2 平面的平行两个平面是平行的，当且仅当它们的法向量相等或者互相垂直。
设两个平面的法向量分别为 n₁和 n₂，若 n₁和 n₂相等，则这两个平面平行。
平行关系在几何学中有许多应用。
例如，在平行四边形中，对角线之间的线段互相平分，每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。
另外，在建筑设计中，平行关系也被广泛应用，如平行的墙壁或平行的连廊等。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面相交时，彼此之间的夹角为90度。
垂直关系在空间几何中非常重要，常常用于求解角度，确定垂直平面等问题。
2.1 直线的垂直两条直线 l₁和 l₂垂直的充分必要条件是它们的方向向量的内积为0。
如果 l₁的方向向量 a₁和 l₂的方向向量 a₂满足 a₁·a₂=0，则 l₁和 l₂垂直。
2.2 平面的垂直两个平面P₁和P₂垂直的充分必要条件是它们的法向量相互垂直。
设平面 P₁的法向量为 n₁，平面 P₂的法向量为 n₂，若 n₁·n₂=0，则 P₁和 P₂垂直。
垂直关系在几何学中有许多应用。
例如，在直角三角形中，两条直角边互相垂直。
此外，垂直关系还可以应用于地理测量、建筑设计等领域。
空间立体几何中的平行问题
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立体空间中的平行
复习定理
空间中的平行
解决空间直线与平面平行的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
空间平行之间的转化
⑤
② ①③ ④
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
CD / / AB, BC AB ，且 AB AE BE 2BC 2CD 2，动点 F 在棱 AE 上，且
EF FA.试探究 的值，使 CE / / 平面 BDF ，并给予证明；
E
●F
B
A
C
D
小结：
关键
高频 考点
线线平行-------- 线面平行------- 面面平行
转化思想：把空间问题转化为平面问题解决 证明推理过程要规范、严密，条件缺一不可！
a,b
a a
//
b
A
//
b //
☺ 简称：线面平行，面面平行.
复习定理
空间中的平行
4.平面与平面平行的判定与性质
➳性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的任何一条直线都平行于另外一个平面。
a
//
a
//
☺ 简称：面面平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
5.平面与平面平行的判定与性质
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
高中数学必修二-立体几何中的平行关系
立体几何中的平行关系知识集结知识元直线与平面平行的定义、平面与平面平行的定义知识讲解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l 无数个点(共线) 例题精讲直线与平面平行的定义、平面与平面平行的定义例1.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3例2.已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是（）A．a⊂α，若b∥a，则b∥αB．α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．a⊥b，b⊥c，则a∥cD．a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β例3.已知两个不重合的平面α、β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．①B．②C．①③D．③例4.已知直线b,平面α,有以下条件:①b与α内一条直线平行;②b与α内所有直线都没有公共点;③b与α无公共点;④b不在α内,且与α内的一条直线平行.其中能推出b∥α的条件有.(把你认为正确的序号都填上)直线与平面平行的判定知识讲解1．直线与平面平行的判定定理自然语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α图形语言2．直线与平面平行的判定定理的证明已知：a∥b，a∉α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。
高中数学《空间的平行关系》复习和习题课件PPT
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(2)直线与平面平行的判定定理：平面α外的一条直线l与平面α内的一条直线m
平行，则直线l与平面α平行.(线线平行 线面平行)
(3)直线与平面平行的性质定理：已知直线l与平面α平行，且经过直线l的平面β
与平面α相交于直线m，则直线l与直线m平行.(线面平行 线线平行)
知识清单
知识点四 平面与平面的平行
典例精析
例
变式训练
变式训练3
下列说法正确的是（）. A．经过平面外一点有且仅有一条直线平行于这个平面 B．经过平面外一点有且仅有一条直线垂直于这个平面 C．经过直线外一点有且仅有一个平面平行于这条直线 D．经过直线外一点有且仅有一条直线垂直于这条直线
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知识清单
知识点二 直线与平面的位置关系
直线与平面的三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平 行.
(1)直线在平面内：直线上的所有点都在平面内. (2)直线与平面相交：直线与平面只有唯一一个公共点. (3)直线与平面平行：直线与平面没有公共点.
知识清单
知识点三 直线与平面的平行
(1)直线与平面平行的定义：若直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平 行.
线都与另一个平面平行.(面面平行 线面平行)
典例精析
例
变式训练
变式训练1
如图92所示，AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的 线段，M、N分别为AB、CD的中点. 求证：MN∥平面α．
典例精析
例
变式训练
空间几何体的位置关系练习空间几何体的位置关系判断
空间几何体的位置关系练习空间几何体的位置关系判断在空间几何学中，了解和判断几何体的位置关系是非常重要的。
通过准确地判断几何体之间的位置关系，我们可以更好地理解和解决问题。
本文将为您介绍一些空间几何体的位置关系，并提供练习来帮助您检验和巩固所学知识。
一、平行和垂直关系在空间几何中，平行和垂直是最基本的位置关系之一。
当两个几何体的相邻面平行时，我们称它们为平行关系。
例如，当两个矩形的底边相互平行时，我们可以说它们是平行的。
另一方面，当两个几何体的相邻面垂直时，我们称它们为垂直关系。
例如，当一个长方体的底面和侧面垂直时，我们可以说它们是垂直的。
练习1：判断以下几组几何体的位置关系，是平行还是垂直？1. 两个长方形的相邻边是否平行？2. 一个正方体的底面和侧面是否垂直？3. 一个长方体的前面和后面是否平行？4. 两个正方体的底面是否垂直？二、相交和包含关系除了平行和垂直关系，相交和包含也是我们需要了解的空间几何体的位置关系。
当两个几何体的部分区域重叠时，我们可以说它们是相交的。
例如，当两个立方体的一部分区域重叠时，我们可以说它们相交。
另一方面，当一个几何体完全包含另一个几何体时，我们可以说它们是包含关系。
例如，当一个球体完全包含在一个长方体内时，我们可以说它们是包含关系。
练习2：判断以下几组几何体的位置关系，是相交还是包含？1. 一个圆柱体和一个长方体是否相交？2. 一个正方体是否包含一个小立方体？3. 一个球体和一个圆柱体是否相交？4. 一个长方体是否包含一个小正方体？三、平面和直线的关系在空间几何中，我们也需要了解平面和直线之间的位置关系。
当一条直线与一个平面相交时，我们可以说它们是相交关系。
例如，当一条直线与一个平面相交于一点时，我们可以说它们相交。
另一方面，当一条直线在一个平面内，且与该平面的任意一条线都不相交时，我们可以说它们是平行关系。
例如，当一条直线在一个平面内且与该平面的水平线平行时，我们可以说它们是平行的。
空间几何体的平行
空间几何体的平行知识回顾：1、直线与平面平行的定义：2、直线与平面平行的判定定理：⑴线线平行⇒线面平行；⑵平面α∥β，直线a⊂α⇒a∥β3、直线与平面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行4、两个平面平行的判定定理：⑴平行于同一平面的两个平面平行；⑵垂直于同一直线的两个平面平行.⑶如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.5、两个平面平行的性质定理：⑴α∥β，a⊂α⇒a∥β；⑵α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a∥b.⑶α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑷夹在平行平面间的平行线段相等.⑸过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.双基训练：一．选择题：1、直线l与平面平行的定义是（）(A)与平面内的一条直线不相交(B) 与平面内的两条直线不相交(C) 与平面内的任意直线不相交(D) 与平面内的无数直线不相交.2、α、β表示平面，m、n表示直线，则m∥α的条件是（）(A) α⊥β并且m⊥β(B) α∩β=n，m∥n(C) m∥n，n∥α(D) α∥β，m⊂.β3、过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（）(A) 不存在(B) 只有一个(C)有无数个(D) 不能确定4、如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系是（）(A)平行(B)相交(C)平行或者相交(D)不能确定5、下列命题正确的是（）(A)如果两个平面有三个公共点，那么它们重合(B)过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行(C)在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行(D)如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行6、给出命题：⑴垂直于同一直线的两个平面平行；⑵平行于同一直线的两个平面平行；⑶垂直于同一平面的两个平面平行；⑷平行于同一平面的两个平面平行；其中正确命题个数有（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)47、已知a、b、c是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列命题：⑴a∥c，b∥c⇒a∥b；⑵a∥γ，b∥γ⇒a∥b；⑶c∥α，c∥β⇒α∥β；⑷γ∥α，β∥α⇒α∥β；⑸a∥c，α∥c⇒a∥α；⑹a∥γ，α∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是（）(A)⑴、⑷、(B) ⑴、⑷、⑸(C)⑴、⑵、⑶(D)⑵、⑷、⑹8、平面M 上有不共线的三点到平面N 的距离相等，那么平面M 、N 的关系为（ ） (A ) 平行 (B )重合 (C )平行或者重合 (D )不能确定 9、下列命题：⑴直线上有两点到平面距离相等，那么直线与平面平行⑵夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行与这两个平面 ⑶直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，那么直线n ∥α(A )⑴与⑵ (B ) ⑵与⑶ (C )⑶ (D )⑵10．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有（ ）条． A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题：1、过两条平行直线中的一条和另一条平行的平面有 个.2、直线a ∥直线b ，a ∥平面α，那么b 与α的关系为 . 3．两个平面可以将空间分成________部分．4．三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多可确定_______________个平面． 5．若两条直线a ，b 分别在两个平行平面内，则a ，b 的位置关系是____________．三．解答题：1、α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，求证：a ∥l .2.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，已知F E 、分别是BC AB 、的中点．求证：11//C A EF ．3、正方体AC 1中，M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是B 1C 1、 C 1D 1的中点.⑴求证：E 、F 、B 、D 共面；⑵求证：平面AMN ∥平面EFDB .alα βNMF E D 1C1 B 1A 1 DC BAA 14．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．5．如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ．6、如图，两个全等的正方形ABCD 与ABEF ，M ∈AE ，N ∈BD ，并且M 、N 分别是中点， 求证：MN ∥平面BCEN· M FE DCBA· A1BA D C P N QM。
福建省福清市高考数学二轮复习专题五立体几何第二讲空间中的平行及垂直课件
角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点.
(1)求证:DE∥平面 PBC;
(2)求三棱锥 A-PBC 的体积.
第十五页，共34页。
考点(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
简单命
题.
第三页，共34页。
1.直线与平面的位置关系
(1)线面平行
①线面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面
z
平行.
②线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面
的交线和该直线平行.
(2)线面垂直
z
①线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交(xiāngjiāo)直线都垂直,那么这
ABCD,AD∥BC,平面 BCEF∩平面 ADEF=EF,∠
BAD=60°,AB=2,DE=EF=1.
(1)求证:BC∥EF;
(2)求三棱锥 B-DEF 的体积.
思路分析:(1)由 AD∥BC,可证 BC∥平面 ADEF,进而可证 BC∥EF;(2)
在平面 ABCD 内作 BH⊥AD 于点 H,先证
diǎn)3
考点4
(1)证明:如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF.
在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2,
∴BF∥CD 且 BF=CD.
∴四边形 BCDF 为平行四边形.
∴DF∥BC.
在△PAB 中,PE=EA,AF=FB,∴EF∥PB.
又∵DF∩EF=F,PB∩BC=B,
优品课件之高三数学知识点：空间中的平行问题
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高三数学知识点：空间中的平行问题
高三数学知识点：空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）
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空间几何体和平行问题
1．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
2．若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为（ ）
A
D
3．若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。
4． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;
5.（如图）在底半径为2，母线长为4
求圆柱的表面积
6.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m
⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
图（1）
请写出下列每一步推导用到的定理：(用符号语言表示)
线线平行线面平行面面平行
①：______________________________________________________；
②：______________________________________________________；
③：______________________________________________________；
④：______________________________________________________；
⑤：______________________________________________________；
1.已知两条相交直线a 与b ，a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是( )
、
A b ∥平面α 、
B b 与平面α相交 、
C α平面⊂b 、
D b ∥平面α 或b 与平面α相交 2.如果直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是( )
、
A b ∥平面α 、
B b 与平面α相交 、
C α平面⊂b 、
D b ∥平面α 或α平面⊂b 3.已知直线a ∥平面α，直线α平面⊂b ，则a 与b 的关系为( )
、A 相交 、B 平行 、C 异面 、D 平行 或异面
4.下列说法正确的是( )
、A 直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；
、B 若直线a 在平面α外，则a ∥平面α；
、C 如果直线a ∥b ，α平面⊂b ，则a ∥平面α；
、D 如果直线a ∥b ，α平面⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
5.某四棱锥的三视图如图所示，求该四棱锥的表面积和体积。
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是多少？
7.如图，在四棱锥ABCD O —中，底面ABCD 是菱形，，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。
求证：直线MN ∥平面OCD 。
8.如图，三棱台ABC DEF —，DE AB 2 ，H G ，分别为BC AC ，的中点。
求证：平面ABED ∥平面FGH 。
9.如图所示，已知三棱锥BCD A —被一平面所截，截面EFGH 为平行四边形。
求证：FG AB ∥。
10.如图，在三棱柱111C B A ABC —中，点1D 是11C A 上的点，当1111C D D A 的值等于何值时，
1BC ∥平面11D AB 。