动力学5
化学反应动力学-第五章-气相反应动力学
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一、双分子气相化合反应
若按过渡状态理论对双分子气相化合反应进行分 析,则反应物与活化络合物之间建立动态平衡,以 浓度表示的平衡常数为：
kc fM
e
E0 RT
fA fB
k k BT h f
M E0 RT
反应速率常数为：
e
fA fB
ห้องสมุดไป่ตู้
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一、双分子气相化合反应
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一、单分子气相异构化反应
2. 反常的气相异构化反应
例如顺丁烯二酸二甲酯的顺反异构化反应
HC— COOCH3 HC— COOCH3 HC— COOCH3 C H 3O O C — C H
该反应的实测动力学参数如下： 频率因子 活化能 A = 1.3×105 s-1 E = 110.9 kJ／mol
R CH 3
R C 2H 5
R n C 3H 7
1.6×1015 4×1015
1×1015
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139.8 124.7
122.2
142.3 142.3
142.3
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第五章、气相反应动力学
气相异构化反应
§5-1 单分子气相反应
这类反应的共同特点是:反应分子取得能量活化变为活 化分子,然后分解为两个自由基。
R 1 R 2 [R 1 R 2 ] R 1 R 2
由于生成的自由基的能量与活化分子的能量相近,它们 之间的能量差很小。所以,可以认为活化能E就是反应 开始状态与反应终结状态的能量之差,也可以认为就是 相应断裂键的“解离能”。其反应历程如下图所示。
化学动力学习题
第5章化学动力学习题一、思考题1．化学反应速率是如何定义的反应速率方程如何表达2．影响反应速率的因素有哪些3．如何加快均相和多相反应的反应速率4．质量作用定律适用于什么样的反应5．能否根据反应方程式直接写出反应速率方程式为什么6．速率常数受哪些因素的影响浓度和压力会影响速率常数吗7．什么是反应级数零级反应和一级反应各有什么特征8．一个反应的活化能为180 kJ·mol-1，另一个反应的活化能为48 kJ·mol-1。
在相似的条件下，这两个反应中哪一个进行较快些为什么9．为什么说使用催化剂不会改变体系的热力学性能10．为什么不同的反应升高相同的温度，反应速率提高的程度不同11．是不是对于所有的化学反应，增加任意一个反应物的浓度都会提高反应速率为什么12．碰撞理论和过渡态理论的基本要点是什么两者有什么区别13．何为反应机理你认为要想了解反应机理，最关键是要怎么做14．试解释浓度、压力、温度和催化剂加快反应的原因。
15．总压力与浓度的改变对反应速率以及平衡移动的影响有哪些相似之处有哪些不同之处举例说明。
16．比较“温度与平衡常数的关系式”同“温度与反应速率常数的关系式”，有哪些相似之处有哪些不同之处举例说明。
17．反应2NO（g）+2H2（g）=== N2（g）+2H2O（g）的速率方程是r = k c2（NO）c（H2）试讨论以下各种条件变化时对反应速率的影响（1）NO的浓度增加1倍；（2）有催化剂参加；（3）升高温度；（4）反应容器的体积增大1倍18．对于下列平衡体系：C (s) + H2O (g) = CO (g) + H2(g)，q为正值。
(1) 欲使平衡向右移动，可采取哪些措施(2) 欲使（正）反应进行得较快（平衡向右移动）的适宜条件如何这些措施对K及k（正）、k（逆）的影响各如何二、是非题（对的在括号内填“√”号，错的填“×”号）1.反应速率常数仅与温度有关，与浓度、催化剂等均无关系。
05 第五章 化学动力学基础
(2.1 3.0) rH 2 0.1(mol L-1 s -1 ) 3 3
rNH 3 (0.6 0) 0.1(mol L-1 s -1 ) 3 2
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r kc ( NO)c(O2 )
2
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殷焕顺
2.应用速率方程的注意事项
①反应物是气体时，可用分压代替浓度。
如基元反应：
2 NO( g ) O2 (g) → 2 N O2 (g)
r kc ( NO)c(O2 ) rp k p p ( NO) p(O2 )
2
2
②固体或纯液体不写入速率方程。
mol· -1· -1 L min
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殷焕顺
1.1 平均速率
对任一化学反应:
aA bB
选用产物表示时， 取 + 号；选用反 应物表示时，取 - 号，目的是使 反应速率为正值。
在时间间隔△t内，其平均速率为：
c( A ) rA t c( B ) rB t
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殷焕顺
1. 速率方程
如任意反应：aA + bB = dD + eE
速率可表示为：
r k c c
x A
y B
k 为反应速率常数；
x、y 分别为反应物A、B的反应级数；
x + y为反应的总级数。
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殷焕顺
质量作用定律－古德贝格(Guldberg)
质量作用定律
描述：在一定温度下，对简单反应(或复合反应中 的基元反应), 化学反应的速率与以反应方程式中 化学计量数为指数的反应物浓度的乘积成正比。
冶金动力学5气固-气液相反应动力学
吸附速率： 脱附速率： 吸附平衡时，
ra ka pA(1A)2
rd
kd
2 A
ra rd
Kp
A 1 Kp
在低压时， A
p ；在高压时， (1 A )
1 p
双分子吸附
A ka A B ka B
A的吸附速率： A的脱附速率： A吸附平衡时， B吸附平衡时，
rA a
ka
r2 k2CO k2 CO2
整理得
r
k1k2 k1
pCO
k k 1 2k3 k1k2k3
pCO2
1
k1 k1
pCO
k3 k3
pCO2
上式就是还原反应得速度公式。
r
k2 ApCO源自pCO2 K1 ApCO BpCO2
讨论
如果系统中CO2的压力很小，则
r k2 ApCO 1 ApCO
C+O2=CO2
MO+CO=M+CO2
19
气-固相反应的特征
Ⅰ
反应气体传质
化学反应
Ⅱ
反应气体扩散
Ⅲ
生成气体传质
Ⅴ
气体边界层
生成气体扩散
Ⅳ
生成物层 反应界面
金属氧化过程： I - II - III 碳酸盐分解过程: III - IV – V 碳的燃烧过程： I - III – V 氧化物还原过程： I - II - III - IV - V
1
kdA 4r02
cA,b r0 ri
DeA 4r0ri
铁）和吸附态的CO2; 3. 吸附的CO2脱附。 上面这些步骤都是可逆反应。
实验表明，吸附和脱附的速度比较快，界面化学反应比较慢， 是整个反应的限制性环节。这一机理常称为LangmuirHinshewood机理。
电动力学第五章答案
v
v
解
v v 1 ∂ϕ A 与 ϕ 满足洛仑兹规范 故有 ∇ ⋅ A + 2 =0 c ∂t v Q ϕ = −∇ ⋅ Ζ 代入洛仑兹规范 有 v 1 ∂ v ∇ ⋅ A + 2 ⋅ (−∇ ⋅ Ζ) = 0 c ∂t
k
v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
第五章
电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
∴ 由 1>2>得
v ∇⋅ A = 0
2
kh
v v E , B 相互垂直 v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来
汽车系统动力学复习资料5
5车辆操纵稳定性汽车操纵稳定性的定义：在驾驶员不感觉过分紧张、疲劳的条件下，汽车能按照驾驶员通过转向系及转向车轮给定的方向行驶，且当受到外界干扰时，汽车能抵抗干扰而保持稳定行驶的能力。
意义：操纵方便性、高速安全性行驶方向：直线、转弯干扰：路不平、侧风、货物或乘客偏载汽车系统坐标系及运动形式汽车操纵稳定性输入、输出输入：转向盘角度输入。
响应：时域响应、频域响应。
汽车时域响应分为稳态响应和瞬态响应。
1、转向盘角阶跃输入下进入的稳态响应：等速直线行驶，急剧转动转向盘，然后维持转角不变，即对汽车施以转向盘角阶跃输入，汽车经短暂的过渡过程后进入等速圆周行驶工况。
2、转向盘角阶跃输入下的瞬态响应：等速直线行驶和等速圆周行驶两个稳态运动之间的过渡过程所对应的瞬间运动响应。
稳态响应特性分类：不足转向、中性转向、过度转向。
转向盘保持一个固定转角不变，缓慢加速或以不同车速等速行驶时，不足转向的汽车转向半径逐渐增大，中性转向的汽车转向半径不变，而过度转向的汽车转向半径逐渐减小。
驾驶员---汽车闭环系统汽车时域响应：把汽车作为开环控制系统的控制特性。
驾驶员－汽车系统闭环控制系统：在汽车行驶过程中，驾驶员根据需要，操纵转向盘使汽车做转向运动。
路面的凹凸不平、侧风、偏载等干扰因素会影响汽车的行驶。
驾驶员则根据道路、交通等情况，通过眼、手及身体感知的汽车运动状况（输出参数），经过头脑的分析、判断（反馈），修正其对转向盘的操纵。
如此不断地反复循环，使汽车能稳定行驶。
汽车操纵稳定性的评价方法1、客观评价法：通过道路试验，用测试仪器测量转向时的汽车系统的物理参数。
试验项目：(1)、蛇形试验：评价汽车的随动性、收敛性、方向操纵轻便性和事故可避性等。
(2)、响应试验(转向盘转角阶跃输入)转向瞬态：评价汽车的动态特性。
(3)、转向瞬态响应试验(转向盘转角脉冲输入)：评价汽车的动态特性。
(4)、转向回正性能试验：评价汽车从曲线行驶自行回复到直线行驶的过渡过程和能力。
飞行器结构动力学 第5章 弹性体振动
第5章 工程振动测试和实验
5.1
弦 的 振 动
例5-1 设张紧弦在初始时刻被拨到如图5-2所示的位置， 然后无初速度地释放。求弦的自由振动。
图5-2
例5-1示意图
l 6h l x , 0 x 6 解：按题设，有 y ( x, 0) 6h l (l x) , xl 6 5l
y ( x, 0) 0 t
第5章 工程振动测试和实验
5.1
故有
弦 的 振 动
i 1, 2,
Ai 0 ,
12h l 6 ix 12h l ix Bi 2 x sin dx 2 (l x) sin dx 0 l l 5l l 6 l 72h i sin , i 1, 2, 2 5(i ) 6
( x, t ) X ( x)(t )
且有
(t ) A sin t B cos t
X ( x) C sin
c
x D cos
c
x
第5章 工程振动测试和实验
5.3 轴的扭转振动
轴在固定端的边界条件为
X (0) 0
（a）
轴在l端截面处的扭矩应为
GI p (l , t ) x
因而弦的自由振动可表示为（只写出前4项）：
y ( x, t )
72h 1 x sin cos 2 l l 5 2 1 3x 3 sin cos 9 l l T
T
t
0.866 2x 2 sin cos 4 l l T
T
t
0.866 4x 4 t sin cos 16 l l
dX dX (0) (l ) 0 dx dx
5-结构动力学(有限元计算)解读
结构运动方程
结构运动方程是描述外部动力作用与结构体 系动力变形关系的数学物理方程，又称动力平衡 方程。运动方程可就不同角度分类，例如，离散 体系运动方程和连续体系运动方程，单自由度体 系运动方程和多自由度体系运动方程，弹性体系 运动方程和非线性体系运动方程，时域运动方程 和频域运动方程等。运动方程有时域波动方程、 差分方程、一阶微分方程、二阶微分方程、积分 方程和频域方程等不同的数学表述方式。
大，且积分方程求解困难，故一般不采用式（3.2.4）进行实际振动分析。
频域运动方程
时域运动方程经傅立叶变换可得频域运动方程。多自由 度弹性体系在地震作用下的频域运动方程为：
U () Hdd ()Ug ()
3.2.5
式中： U ( ) 为频域的地震反应矢量； H dd ( ) 为系统传递函 数矩阵； Ug () 为频域中的地震动输入矢量。运动方程（5） 为复数代数方程组，体系的频域反应经傅立叶反变换可得时 域反应。
置的空间坐标； k ( x, ) 为体系的位移影响系数，即作用于 处的单位力在 x 处
m( ) 为杆的单位长度质量； 引起的位移；p( , t ) 为随位置和时间变化的外荷载；
为杆的长度； e 为自然对数的底， i 1 ， 为复阻尼系数。 具有积分微分方程形式的运动方程概念清晰，但位移影响系数的计算量
因为 u 不等于零，故可得与式 3.2.1.1-4 相同的方程。
哈密尔顿原理
哈密尔顿积分变分原理可表示为
t2
t1
δ(T V )dt δWnc dt 0
t1
t2
3.2.1.3-1
式中： 包括应变能及任何保守外力 （如 T 为体系的总动能； V 为体系的位能， 重力）的势能； Wnc 为作用于体系的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载） 所作的功；δ 为在指定时间区间内所取的变分。哈密尔顿原理表明在任何时 间区间 t1 ~ t 2 内，动能和位能的变分与非保守力所作的功的变分之和必须等 于零。应用此原理可直接导出任何给定体系的运动方程。 在虚功分析中， 尽管功本身是标量， 但被用来计算功的力和位移都是矢 量。利用哈密尔顿原理建立运动方程时，不直接使用惯性力和弹性力，而代 之以动能和位能的变分项，平衡关系只与纯粹的标量（能量）有关，这是此 法与虚位移原理方法的区别。
结构动力学-5节
ɺɺ1 = −X11ω2 sin(ω t +α) y ɺɺ2 = −X21ω2 sin(ωt +α) y
位移与惯性力同频同步。 位移与惯性力同频同步。 m2
X2
第一阵型可视为由惯性力 mω2 X11 1
m2ω2 X21 mω2 X11 1
m2ω2 X21 所产生的静位移。第二阶振型 也如此。
mnω Xn
2
mn
Xn
X2
X1
ω
1
ω
2
[I ] −[ f ][m] = 0
⇒([k] −ω2 [m]){X} = {0}
[ f ][k] = [I ]
[k](
1
ω
[I ] −[ f ][m]){X} = {0} 2
解频率方程得方程的n 解频率方程得方程的n个正根
ω1,ω2 ,⋯ n ω
---频率谱 ---频率谱
ω2 将 ω1和 分别代入方程
(k11 − m1ω12 ) X11 + k12 X 21 = 0 X11 k12 = X 21 m1ω12 − k11
k11X1 + k12 X 2 − m1ω 2 X1 = 0
k21X1 + k22 X 2 − m2ω 2 X 2 = 0 2 (k11 − m1ω2 ) X12 + k12 X 22 = 0 X12 k12 = 2 X 22 m1ω2 − k11
ɺ y1(t) X11ω1 cos(ω1t +α1) X11 = = ɺ y2 (t) X21ω1 cos(ω1t +α1) X21
3, 体系发生自由振动时，是两种特解（简谐振动）的叠加 体系发生自由振动时，是两种特解（简谐振动） 四个未 ɺ y1 X 11 X 12 = sin(ω1t + α1 ) + sin(ω2t + α 2 ) 知数，由 y2 X 21 X 22 边界条件 确定。 发生按振型的自由振动是有条件的； 发生按振型的自由振动是有条件的；
电动力学第五章—
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t
结构动力学5
t
在ti≤t≤ti+1时段内体系的运动方程： 初值条件：
τ
&& & mu (τ ) + cu (τ ) + ku (τ ) = p (τ ) = pi + α iτ
u (τ )
τ =0
& = ui , u (τ )
τ =0
& = ui
运动方程的特解:
αi 1 u p (τ ) = ( pi + α iτ ) − 2 c k k
5.1 数值算法中的基本问题
根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为 两大类： 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立 求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的 平方成正比，例如Newmark—β法、Wilson —θ法。 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联 立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线 性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。
2
+
c ⎞ 2m ⎞ c ⎞ ⎛ ⎛ m ui +1 = pi − ⎜ k − 2 ⎟ ui − ⎜ 2 − ⎟ ⎟ ui −1 2 ∆t ⎠ 2 ∆t ⎠ ∆t ⎠ ⎝ ⎝ ∆t
⎛ 1 ⎞ B = e −ζωn ∆t ⎜ sin ω D ∆t ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ D ⎠
⎧ ⎡⎛ 2 1 ⎪ 2ζ ζ −ζωn ∆t ⎢⎜ 1 − 2ζ +e − C= ⎨ ⎢⎜ ω D ∆t k ⎪ ω n ∆t 1−ζ 2 ⎣⎝ ⎩ ⎤⎫ ⎞ ⎟ sin ω ∆t − ⎛1 + 2ζ ⎞ cos ω ∆t ⎥ ⎪ ⎜ ⎬ D D ⎜ ω ∆t ⎟ ⎟ ⎟ ⎥⎪ n ⎝ ⎠ ⎠ ⎦⎭
& u (τ ) = A1 + (ω D A3 − ζω n A2 )e −ζω nτ cos ω Dτ − (ω D A2 + ζω n A3 )e −ζω nτ sin ω Dτ
化学反应动力学-第五章-气相反应动力学
(C6H5 )3 C C(C6H5 )32(C6H5 )3C
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二、单分子气相分解反应
这类反应的共同特点是:反应分子取得能量活化变为活 化分子,然后分解为两个自由基。
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生成自由基的单分子气相反应历程示意
(R1 R2)≠
Ea
-R1 R2
R1 + R2 ΔH
反应坐标
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二、单分子气相分解反应
按照阿仑尼乌斯公式 k AeEa RT
取自然对数 2.303lg k 2.303lg A Ea RT
Ea
2.303(lg A lg k)RT 1000
(2)质心点模型： 假定分子为一个质点,分子间的相互作用来源于 质点的质心力。分子间作用能的大小视为质点间 距离的函数。只有当分子间距离比较大时，即远 大于分子直径时，分子才能近似为质点。
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三、活化能
反应的活化能——活化分子具有的能量 假设A、B双分子的反应是：
A + B AB 产物
（一）碰撞理论证明了质量作用定律的正确性：
对于基元反应 A B 产物
可得：
r kab
按碰撞理论，上述反应的速率为：
r碰 pzA0B eEc RT ab
且
k pzA0B eEc RT
可见，碰撞理论从微观证明了质量作用定律的
正确性。
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七、碰撞理论与经典动力学的基本定理
势能剖面图
势能 Eb+E0+
结构动力学5
p(t )e
i j t
dt
p(t )e
k k 0
N 1
i j t k
t t
p(t )e
k k 0
N 1
i
2kj N
将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用矩形积 分公式得：
1 u (t k ) 2 1 2
U ( )e
it k
p(τ)dτ的动力反应
：
du(t ) p( )d h(t ) , t
在任意时间t结构的反应， 等于t以前所有脉冲 作用下反应的和 ：
u (t ) du
0
t
p( )h(t )d
0
t
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 2、对任意荷载的反应
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 ：
1 U ( ) i 2 nU ( ) n U ( ) P( ) m
2 2
U ( ) F u(t ) , P( ) F p(t )
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
结构动力学
（2003春）
结构动力学
第五章
单自由度体系对任意荷载的反应
在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也 不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要 采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力 反应问题。
本章介绍三种动力反应问题的分析方法： 时域分析方法—Duhamel积分法， 频域分析方法—Fourier变换法， 时域逐步积分法—中心差分法；Newmark—β法； Wilson—θ法。
电动力学5-5(天线辐射)
1
以上两节研究了小区域内高频 ) 2
最常用的天线是半波 天线，这种天线的长 度约为半波长。
辐射功率数量级
要得到较大的辐射功率， 必须使天线长度至少达到 与波长同数量级。
本节计算半波天线的辐射
2
1．天线上的电流分布 当天线长度与波长同数量级时，不能用逐级 展开式，而必须直接用非展开公式计算。
0cI 0eikR cos( 2 cos ) Ε ( x ) i e c eR 2 R sin
12
辐射能流密度为
2 2 cos ( 2 cos ) cI 1 0 0 0 S Re( ) 2 2 eR 2 2 8 R sin
辐射角分布由因子
4 4
coskz cos(kz cos )dz
2 cos( cos ) 2 k si n2
11
将积分结果代入得
0 I 0 ikR cos( 2 cos ) ( x ) ez 2 2kR si n
由此计算出辐射区的电磁场
0 I 0 ikR cos( 2 cos ) Β( x ) i e 2R si n
当x点在天线表面上时，A(x)是一维波 动方程的解。把公式用到x点在天线表面上 的情况。如图，x点是天线表面一点，x’点 是表面上另一点，两点距离为r。函数A(z) 的形式已知，而J(x’)是未知函数。
此式可以看作未知函数J(z’)的积分方程, 我们要 求这个积分方程满足端点条件J=0的解。则关于天线 的边值问题就化为解积分方程的问题。原则上这个方 程是可以解出J(x’)。
l Rr 197 ~ 19
2
16
3. 天线阵
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大学物理College Physics华中科技大学段小春●作业mg f ma+= 解：牛顿第二定理f kv= -2-T3 将质量为m 的物体以初速度v0竖直上抛。
空气阻力正比于物体的速度，比例系数为k>0。
求（1）任一时刻物体的速度；（2）达到的最大高度竖直向上为正：()dv mg kv mdt +=-)()dvmg kv mdt+=(--dvdt k g v=-+0()0/t v t v m dv dt k mg k v=⎰⎰-+●质点的角动量:Pr L⨯=●力矩：M r F=⨯r F 0M θ(须指明参考点)OrPαLm(动量矩)(须指明参考点)t L M d d =rF A d d ⋅=●力对空间的积累效应单个质点的动能定理:222121a b ba mv mv r F -=⋅⎰ d ord αrr 'abF质点系的动能定理：kka kb E E E A A D =-=+内外●保守力和势能d ()()bb a aF r f r f r ⋅=-⎰ oa r abbr F做功与物体的运动路径无关:可能的形式？F重力：F mg= 弹力：F kx=-引力：2ˆGMmF r r = d ()()][]b ab b a pb pa aA F r E r E r E E =⋅=-=⎰-[--势能：mgy E p = 21 2kx E p = r GMm E p -=（1）保守力将质点由a 沿任意路径移动到b 再由b 沿任意路径移回到a 点，那么（2）保守力(如: 重力、弹力、万有引力)的功与路径无关，由此可以引入的势能概念。
)(=-=a a aba E E A 保守力的环流为零。
（3）质点在任一位置的势能，等于把质点由该位置移到势能为零的参考点的过程中，保守力所做的功:注意：⎰=⋅=0r F A abad 保即：)(d pa pb baab E E r F A -=-⋅=⎰=pb E 设：abE E =--=)0(原则上, 势能零点可任选。
3. 机械能守恒定律由上式0 0 ==+E A A D 非保内外若恒量==a b E E 只有保守内力做功时，系统的总机械能保持不变。
功能原理：或写成：kka kb E E E A A D =-=+内外ppa pb E E E A D -=--=)(保内——机械能kakb E E A A A -非保内保内外EE E A A a b D =-=+非保内外p k E E E +=例：一长方体蓄水池，面积S ＝50m 2，储水深度h 1＝1.5m 。
假定水表面低于地面的高度是h 2＝5m 。
若要将这池水全部抽到地面上来，抽水机需做多少功? 若抽水机的效率为80％。
输入功率P ＝35kW ，则抽完这池水需要多长时间？解：1h 2h S建立如图所示的坐标系y 。
y⎰⋅=r rF A 0d －－适用于质点池中的水整体上可以看做质点吗？否！yy y d +在任意位置y 处取很薄一层水，则可当做质点处理。
将y 处这层水抽到地面需做功为⎰+⋅=21h h y r g m A d d d ⎰+⋅=21h h y r g y S d d ρ)(d y h h y gS -+⋅=21ρyy h h gS A h d )(⎰-+⋅=∴121ρ])[(221121h h h h gS -+=ρ(J)61024⨯≈.t P ./A D ⋅=80P .At 80=∴D )(s 151≈Oj F F =r j r d d =j g m ⋅=d例：已知双原子分子的势能曲线如下图所示。
图中r 为原子间距离或一原子相对于另一原子的位置矢量的大小。
试分析此种分子内原子间相互作用力的规律。
p E or r解：保守力做功等于势能增量的负值。
所以，P E A d d -=)(z y,x,)d d d (d z z E y y E x x E A PP P ∂∂+∂∂+∂∂-=∴又r F Ad d ⋅=)()z k y j x i k F j F i F z y x d d d (++⋅++=zF y F x F z y x d d d ++=比较以上式子可得zF y F x F z z E y y E x x E z y x P P P d d d )d d d (++=∂∂+∂∂+∂∂-0)()()(=∂∂++∂∂++∂∂+z zE F y y E F x x E F Pz P y P x d d d 要求上式对任意d x ,d y ,d z 成立，必有：),,( z y x i =∂∂-=iE F Pi rE F Pd d -=斜率,0r r <因而，作用力为斥力；,0r r =作用力为零；,0r r >作用力为吸引力。
例:地球可看作是半径R = 6400 km 的球体，一颗人造地球卫星在地面上空h =800km 的圆形轨道上，以v 1=7.5km/s 的速度绕地球运动。
突然点燃一火箭，其冲力使卫星附加一个向外的径向分速度v 2=0.2km/s 使卫星的轨道变成椭圆形。
求：此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高处？解：因此，卫星对地心的角动量守恒。
h1v 2v vrR卫星受地球的万有引力和火箭的反冲力的作用。
此两力均通过地心。
（忽略卫星质量的变化）根据角动量守恒定律：v m r v v m r '⨯'=+⨯ )(212//v r )1( 1r v m r mv ''=∴卫星进入椭圆轨道后，卫星、地球系统只有万有引力做功，机械能守恒：)2(21)(2122221r Mm G v m r Mm G v v m '-'=-+)3(212r v m rMm G =对卫星原来的圆运动有：远地点高度km99711=-'=R r h 近地点高度km 61322=-'=R r h 联立解得：1v r ⊥v r '⊥' v m r v m r '⨯'=⨯ 1r 'v '1v 2v vrR公斤重的铁锤猛击石块，石块裂开，而人安然无恙！解:(根据资料，通常人的肋骨平均能承受5000N 的力，如果将肋骨压下0.02m ，肋骨就要断裂。
)首先估算欲使肋骨断裂所需的能量E .Jd 1000.025000=⨯=⋅=⎰r F E再考虑石块所获得的能量的大小。
设大石块质量为M ，铁锤质量为m ，从h 高度下落到石块上。
可设铁锤击中石块后与石块一起运动。
则由动量守恒（理由?）()0mv v M m =+()ghv20=M m mv v +=∴0ghMm m 2+=Pt F d d =公斤重的铁锤猛击石块，石块裂开，而人安然无恙！解:果将肋骨压下0.02m ，肋骨就要断裂。
)首先估算欲使肋骨断裂所需的能量E .Jd 1000.025000=⨯=⋅=⎰r F EM m mv v +=∴0ghMm m 2+=石块获得的动能为gh m M 2212⋅=221Mv E k =gh mM M E k ⋅+=21)(mh kg,m kg,M 55100=== 若取：J E k 11≈即，此种情况下表演者的安全有保障。
E<<公斤重的铁锤猛击石块，石块裂开，而人安然无恙！解:果将肋骨压下0.02m，肋骨就要断裂。
)首先估算欲使肋骨断裂所需的能量E .Jd 1000.025000=⨯=⋅=⎰r F Egh m M M E k ⋅+=21)(gh M m E k⋅≈2Mm <<小，表演者越危险。
注意：若把石块换成钢板，且减小M ，会使m/M 的值增大，同时锤与钢板是弹性碰撞，将使钢板获得的能量增大。
这样就可能出现危险。
L 0o例: 将一个质点沿一个半径为r 的光滑半球形碗的内表面水平地投射,碗保持静止。
设v 0是质点恰好能达到碗口所需要的初速度。
试求出v 0作为θ0的函数的表达式。
mgN yx 受力分析:所以沿y 轴方向的力矩M y =0解：故角动量在y 方向上的分量L y 守恒: L 0y =L y 00mv r =mvr M r F =⨯取球心o 为参考点,并设开始时质点在黑板面内,且速度垂直向外。
rF 垂直黑板向内,故垂直于y 轴。
rL 0= rmv 0sin90º= rmv 0L 0y =L 0sin θ0 = rmv 0sin θ0= mv 0r 0(L y =L )d d LM t=则:0r rθ0tL M yy d d =又，机械能守恒:00sin r r θ=002cos gr v θ=三式联立解得：00mv r =mvrL 0orr rθ002202121θcos mgr mv +=例、（演示）桌上有一张纸，纸上放着一本书。
试解释：1) 若缓慢地拖动纸片，书随纸片移动，可以被拖至桌上任意位置；2)若迅速地抽动纸片，书不随纸片移动，而几乎是留在原地。
F纸片书第3章刚体的定轴转动什刚体形状和大小保持不变的理想固体。
刚体是一种理想的物理模型；刚体可看成由无数相对位置不变的质点组成的质点系；在实际应用中，若物体变形不明显，或在某阶段基本不变形，只要能满足实用精度，就可用刚体运动的相关定律来处理。
一、刚体的运动刚体：特殊的质点系平动：刚体上所有点运动状态都相同转动：各质元均作圆周运动刚体的运动1. 刚体的平动——用质心运动来代表整体的运动平动ABA'B'A"B"到底用哪个点来代表？+()质心匀质薄圆盘匀质细直杆质心？1）质心的位矢设N 个质点m 1, m 2,⋯, m N ，对应的位矢为Nr r r 21,定义：质心的位矢∑∑=i i i c m r m r∑=i i c x m M x 1∑=i i c y m M y 1∑=i i c z m Mz 1⎰=mx M x c d 1⎰=m y M y c d 1⎰=m z Mz c d 1质心→注几何对称中心质量均匀分布：⎰=m r r c dMkz j y i x r c c c c++=2）质心运动定理质心的速度：t r v cc d d=质心的加速度：t v a cc d d =设m i 受力内外、i i f F则：——质心运动定理即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点，所受的力是质点系受的所有外力之和。
注：质心上可能既无质量，又未受力。
如：篮球中心∑∑=ii i c m r m r=∑内i f c a M F=合外记：∑=外合外iFF 可证：∑=im M刚体各点都绕同一直线（转轴）作圆周运动，称为转动。
最简单的情况是转轴的位置和方向都固定不变的转动，称为刚体的定轴转动。
在同一时间内，各点对轴的转角相等，但线速度不同。
对于转动规律，用角量来描述较为方便。