高教五版高数(经济类)中值定理洛必达法则]随堂讲义
高教五版高数(经济类)定积分的概念与性质随堂讲义
极限为 0 !
2017年4月15日星期六
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2.
设 f ( x) 在 [0 ， 1] 上连续且单调递减，试证对任何
a ( 0, 1) 有
证明：
a
0
f ( x)dx a f ( x)dx .
0
1 0
1
a 0
a 0
f ( x)dx a f ( x)dx
a 1 0 a a 1
f ( x)
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即
7. 设
a
b
f ( x ) dx f ( x ) dx
a
b
积分估值定 理
M max f ( x) , m min f ( x) , 则
[a , b] [a , b]
( a b)
2017年4月15日星期六
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例3（补充题）试证:
证: 在区间[0,1]上单调递增，
利用积分估值定理，得
因此定理成立.
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说明:
• 积分中值定理对
y
• 可把
y f ( x)
理解为 f ( x ) 在 [ a, b] 上的平均值 . 因
o a
b x
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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1. 定积分定义 —— 乘积和式的极限 2. 定积分的几何意义 3. 定积分存在的2个充分性条件 4. 定积分的7条基本性质
上可ห้องสมุดไป่ตู้ ,
因
在
a
于是
c
b
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
[a , b]
高数学习资料（含讲义及全部内容）（三）
第三章：中值定理与导数的应用§3.1 中值定理本节将运用微分学的两个基本定理，本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo 定理：Rollo 定理：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在[a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(x )=0.证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况：又有二种情况：（1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，\)('x f ＝0，因此，可知x 为（a,b ）内任一点，都有f '(x )＝0。
（2）M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ¹f(a)（对m ¹f(a)同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点x ，使得f(x )=M,即f(x)在x 点得最大值。
下面来证明：f '(x )=0首先由（ii ）知f '(x )是存在的，由定义知：是存在的，由定义知：f '(x )=xx x x x --=--®®x M x f x f x f x x )(lim )()(lim ………….(*) .(*) 因为M 为最大值，Þ对x "有f(x)£M Þf(x)－M £0, 当x>x 时，有x xx --=--x M x f x f x f )()()(£0 当x<x 时，有xx x --=--x Mx f x f x f )()()(³0。
高教五版高数(经济类)热力学复习大纲(新教材)随堂讲义
答：因为理想气体的热力学能和焓为温度的单值函数，只 要温度变化相同，不论经历任何过程其热力学能和焓的变 化都会相同，因此，所给第一组公式对理想气体的任何过 程都是适用的；但是第二组公式是分别由热力学第一定律 的第一和第二表达式在可逆定容和定压条件下导出，因而 仅分别适用于可逆的定容或定压过程。就该组中的两个公 式的前一段而言适用于任何工质，但对两公式后一段所表 达的关系而言则仅适用于理想气体。
状态的判断、喷管形状的确定，出口流速和流 量的确定）
绝热节流
– 理想气体和实际气体的节流过程有什么区别。
– 绝热节流的特征（不可逆、节流过程前后，气 体的参数变化）
– 节流的几种功能
第十章 气体动力循环
概念：
– 各种循环的构成； – P-v图和T-s图； – 提高循环热效率的基本方法，回热的基本思路
答：可以。熵是状态参数，只要初、终 状态相同，不论经历何种过程工质的熵 变应相同，因此以上4式对理想气体的任 何过程都适用。
第4章 对于理想气体的任何一种过程,下列两组公式是否都适用：
u cv (t2 t1) h cp (t2 t1)
q u cv (t2 t1 ) q h cp (t2 t1 )
损失） –特别注意非理想气体的熵变计算问题，例如习题5-15
、5-16、 5-17
可用能（火用）：
–热流火用、热力学火用、物流火用和焓火用的计算。
特别注意几点：
– 遇到判断过程的方向性、过程的可逆与否、 过程（循环）的可能性、参数的可能性等等 都用热力学第二定律的表达式来判断。
– 遇到求可用能损失，就求孤立系熵增或过程 熵产，然后乘上环境温度。
蒸气制冷循环（图、分析）
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
高教五版高数(经济类)经济数学Ⅴ随堂讲解
偏导数
L x
Lx (x,
y)与
L y
Ly
(x,
y)
分别表示这两种
产品的边际利润.
2020年1月16日星期四
2
例 1 某企业销售两种产品,两种产品的需求量 x 与 y 是由产品的价格 p1 与 p2 所确定,需求函数为
x 40 2 p1 p2 , y 25 p1 p2 , 假设企业生产两种产品 x 单位与 y 单位的成本为
2020年1月16日星期四
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例 2 某单位计划用 5000元购买甲、乙两种商品,假 设购买甲种商品的数量为 x ,乙种商品的数量为 y , 并且购买这两种商品的效用函数为
U (x, y) 3ln x 2ln y , 已知甲种商品的单价为 60 元,乙种商品的单价为 40 元,试问两种商品各购买多少时,才能使购买这两种 商品的效用最大?
本函数是
C 2Q 5 ,
其中 Q 表示该产品在在两个市场的销售总量,即
Q Q1 Q2 . (1) 如果该企业实行价格差别政策,试确定两个市场
上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润;
(2) 如果该企业实行价格无差别政策,试确定两个市
场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业的总利
在 点 ( 8 ,11 ) 处 , A Lxx (8,11) 4 , B Lxy (8,11) C Lyy (8,11) 6 , AC B2 15 0 且 A 4 0,所以函数 L(x, y) 在点( 8 ,11)处取到极 大值,也即最大值.即当企业每天生产甲种产品 8 单 位,乙种产品 11 单位时,获得的利润最大 ,最大利润 为 L(8 ,11) 755 .
高教五版高数(经济类)经济数学Ⅷ随堂讲义
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例 6 ( 存款模型 ) 设 S 0 是初始存款，年利率为 r (0 r 1) ， t 年末金额累积到 St (t 1,2,) .若以 复利累积，那么 St 1 St rSt (1 r )St , t 0,1, 2 求 t 年末累积金额 St .
解
因为 St 1 St rS t (1 r )St 为一阶常系数次线性
月要还款 2101.81 元. 2017年4月15日星期六
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例 9 (蛛网模型)在市场经济中存在这样的循环现象：若 去年的猪肉生产量供过于求，则猪肉的价格就会降低； 价格降低会使今年养猪者减少，使今年猪肉生产量供不 应求，于是猪肉价格上扬；价格上扬，又使明年的猪肉 生产量增加，造成新的供过于求…… 据统计，某城市 1991 年的猪肉产量为 30 万吨，肉 价为 6.00 元/kg，1992 年猪肉产量 25 万 t,肉价 8.00 元/kg,已知 1993 年的猪肉产量为 28 万 t，若维持目前 的消费水平与生产模式，问若干年以后猪肉的生产量与 价格是否会趋于稳定？若能够稳定，求出稳定的生产量 和价格.
p p n 1 p n 1 P0 (1 ) a[1 (1 ) ]. 12 12 12
Y yn
n 1 12 m
m年的利息总和为
由 12ma － P0 ＝ Y 得
2017年4月15日星期六
p p 12 m P0 (1 ) 12 a 12 . p 12 m (1 ) 1 12
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例3
dL 已知某厂的纯利润 L 对广告费 x 的变化率 dx
与常数 A 和纯利润 L 之差成正比，且当 x 0 时， L L0 ，试求纯利润 L 与广告费 x 之间的函数关系.
中值定理与洛必达法则与导数的应用
中值定理与洛必达法则与导数的应用中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在一条闭区间上是连续的，并且在这个区间的两个端点上函数值分别为正和负，那么在这个区间内，一定存在至少一个点，它对应的函数值为零。
具体来说，设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且有$f(a)\cdot f(b) < 0$，那么在开区间$(a,b)$内，至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
这个定理的直观意义是，如果我们有一条曲线从$y=f(a)$到$y=f(b)$，并且这条曲线穿过$x$轴，那么在曲线上一定存在一个点$c$，使得$y=f(c)=0$。
这个定理在数学的多个领域中都有重要的应用，包括方程求解、函数图像的研究等。
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中用于计算极限的一种重要方法。
它是由17世纪法国数学家洛必达（Guillaume François Antoine, marquis de l'Hôpital）提出的。
洛必达法则提供了一种简单有效的方法来处理特定形式的极限。
具体来说，如果我们要计算一个形如$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$的极限，其中$f(a)=g(a)=0$或$f(a)=g(a)=\infty$，那么洛必达法则告诉我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$求导数，然后再计算导数的极限。
也就是说，这个极限等于$\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，前提是这个极限存在。
洛必达法则的应用广泛。
它可以用于计算各种不定型的极限，如$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$0 \cdot \infty$等，以及一些特殊的函数极限，如$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$、$\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x$等。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义
第三章 微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x af x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大．2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='． 说明：我们指出，对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求20tan lim tan x x xx x→-时，可先用~tan x x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式． 三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）； （3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）； （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-． 证明：原不等式即为13x -+，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即130x -+>，亦即13x>-．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''； （2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()y f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】 【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()l n266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-， 因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=，即 2C π=，故arcsin arccos 2x xπ+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“”型未定式，由洛必达法则可得 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-．3．求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅．4．求 2tan lim tan 3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）： 原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．(,1]-∞-解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=， 令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：(,1]-∞-由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】 一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）．2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线；01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确． 3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0)（D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x <时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤． 若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为xm ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立； （2）当01x <<时，111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-． 5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =． 再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x=．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。
中值定理与洛必达
洛必达法则的求导方法
洛必达法则是通过求导来研究函数的极限，常用的求导方法包括链式法则、 乘积法则、商的导数法则等。
在使用洛必达法则时，需要先对函数进行求导，然后利用极限的性质来求 解。
在求导过程中，需要注意一些特殊情况，如分母为零、无穷大等，这些情 况下需要特别处理。
03
中值定理与洛必达法则的应用
求解积分方程
利用中值定理和洛必达法则，可以求 解积分方程，找到满足特定条件的函 数。
ห้องสมุดไป่ตู้4
中值定理与洛必达法则的证明
罗尔定理的证明
总结词
罗尔定理是微分学中的基本定理之一， 它表明如果一个函数在闭区间上连续， 在开区间上可导，且在区间的两端取值 相等，则在开区间内至少存在一点，使 得该点的导数为零。
详细描述
拉格朗日中值定理的证明基于罗尔定理，通过构造辅助函数并应用罗尔定理证 明至少存在一点满足导数的特定性质。这个定理在微分学中也有重要的应用， 例如在研究函数的单调性、凹凸性等问题时常常用到。
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且在该区间 内至少存在一点，使得两个函数的导数相等，则至少存在一点，使得两个函数在该点的函数值的比等于它们在该 区间内导数的比。
b)$内可导，所以$F(x)$也在$(a, b)$内可导。 最后，我们利用中值定理，存在一点$c$在
$(a, b)$内，使得$F'(c) = frac{F(b) - F(a)}{b - a}$。由于$F(b) - F(a) = frac{f(b)g(a) f(a)g(b)}{g(b)g(a)}$，所以我们可以得到 $frac{f'(c)}{g'(c)} = frac{f(b)g(a) -
高等数学 微分中值定理与导数的应用 (4.2.1)--洛必达法则
不存在并不意味着
lim
xa
f (x) g(x)
不存在
■ 推论
在定理的条件中 x a 改为 x ，有
l
f (x) g ( x)
■ 定理( 型 )
（1） lim g(x) xa
（2）f (x)，g(x) 在 a 的邻域可
且 g(x) 0
A
法法法法法
0 0
型的极限
lim
xa
f (x) g(x)
lim
xa
f (x) g ( x)
在右端有意义 的情况下成立
证明方法 : 怎样应用 Cauchy 定理？
x a+( 或 a-, 等 ) 法则仍适用
应用法则时勿忘等价无穷小替换
lim
xa
f (x) g ( x)
Chap 4 .2
L’Hospital 法则
■
定理(
0 0
型
)
（1）lim f (x) lim g(x) 0
xa
xa
（2） f (x)，g(x) 在 a点邻域可导 且 g(x) 0
（3）lim xa
f (x) g ( x)
A
( A 可以为)
lim
xa
f (x) g(x)
导
lim
xa
f (x) g(x)
A
（3）lim xa
f (x) g ( x)
A
( A 可以为)
x a+( 或 a-, 等 ) 法则仍适用
■
0 , , 00 , 1 , 0 型 化为
0 0
或
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1.
型未定式洛必达法则
定理 4
2) f ( x ) 与 F ( x ) 在 ( a )内可导,
f ( x) 3) lim x a F ( x )
存在 (或为 )
f ( x) f ( x ) lim lim xa F ( x) x a F ( x )
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(洛必达法则)
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2 lim 1 x 1 2
例9 求
1
2
0 型 0
1 x 解: 原式 lim 1 x 1 2 cos x x
x2 1 lim x 1 x 2 1 cos x
1
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22
2.
定理 5.
型未定式的洛必达法则
x
1,
16
二 、 洛必达(L’Hospital)法则
在第一章求极限时， 或无穷大量之比的极限． 例如， 我们遇到过许多无穷小量之比 我们称这类极限为未定式． （Indeterminate Form)
sin x ex 1 lim , lim , 都是无穷小量之比 的极限。 x 0 x 0 x x
说明: 定理中
换为
x a ,
x ,
之一,
条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
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tan x 6 例 10 求极限 lim . π x sec x 5
矛盾, 故假设不真!
但
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2. 拉格朗日（Lagrange）中值定理 y
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点
y f ( x)
o
a
ba
b x
使 f ( ) f (b) f ( a ) .
18
定理条件:
2) f ( x ) 与 F ( x ) 在 ( a )内可导, f ( x) 存在 (或为 ) 3) lim x a F ( x )
证:
无妨假设 则 西定理条件, 故
f ( a ) F ( a ) 0, 在指出的邻域内任取
在以 x, a 为端点的区间上满足柯
f ( x) f ( x) f ( a ) f ( ) F ( x) F ( x) F ( a ) F ( ) f ( ) lim x a F ( )
(3)
f (0) f ( x0 ) 0
至少存在一个 0, x0 ，使得
得证
由罗尔定理知，
f ( ) 4a0 3 3a1 2 2a2 a3 0
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例3 证明方程 正实根 . （补充题） 证: 1) 存在性 . 设
有且仅有一个小于1 的
4a0 x 3a1x 2a2 x a3 0 至少有一个小于 x0 的正根.
3 2
证 作辅助函数
f ( x) a0 x4 a1x3 a2 x2 a3 x 显然，函数 f ( x) 满足： ， (1)在闭区间 [0, x0 ] 上连续，
(2)在开区间 (0, x0 ) 内可导，
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y
y f ( x)
o
a
使
b x
f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
4
若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 下面证明 则至少存在一点 使
因为
f ( ) 0. (a, b) 则 f ( ) 存在，
解:
2 2
0 型 0
x 5x 6 ( x 5x 6) lim 2 lim 2 x 2 x 12 x 20 x 2 ( x 12 x 20)
1 2x 5 lim x 2 2 x 12 8
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
2x 5 lim x 2 2 x 12
则
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5
注 罗尔中值定理的三个条件是结论成立的充分条件， 但不是必要条件. 罗尔中值定理的几何意义：
函数 y f ( x) x a, b 的图形是一条连续的曲线段， 曲线上的每一点都有切线(且切线不垂直 X 轴)，曲线两 个端点处的纵坐标相等，则曲线上至少存在一点，过该 点的切线平行于 x 轴(如图 3-1).从图形上可以看出，曲 线上的最高点或最低点处的切线都平行于 x 轴，这给了 我们一个证明定理的启发：点 可能是最值点.
于是存在 (0, x) ，使得
x 0 e 1 e 1
x0
即
e
x
1
e , 0 x. 1
x e 1
因为 x 0, 所以 e e0 1, 从而
即 e x 1 x 成立.
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x
e .
即定理结论成立 . 证毕
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10
拉格朗日中值定理的几何意义：
若连接曲线 y f ( x) 的弧 AB 上除 两个端点外，曲线上每一点都有切线 y (且切线不垂直 X 轴)， 那么在弧 AB 上 至少存在一点 C ( , f ( )) ，使得过这点 o a 的切线平行于弦 AB (如图 3－2 所示).
2) f ( x ) 与 F ( x ) 在 ( a )内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim x a F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim x a F ( x ) xa F ( x)
(洛必达法则) （证明略）
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证: 问题转化为证 作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 ,
f (b ) f ( a ) f ( ) 0 b a ( ) f (b ) f ( a ) f ( x ) ( x) x ba
在 ( a , b ) 内可导,
且
b f ( a ) a f (b ) ( a ) (b ) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
两个重要推论 推论1
y f ( x)
b x
若 函 数 y f ( x) 在 区 间 I 上 可 导 ， 且 f ( x) 0 , x I ， 则 f ( x) 在 区 间 I 上 为 常 函 数 ， 即
f ( x) C ， C 为常数.
推论2
若 函 数 f ( x) 和 g ( x) 在 区 间 I 上 可 导 ， 且 f ( x) g ( x) , x I ， 则在区间 I 上 f ( x) 和 g ( x) 只相差某 一常数，即 f ( x) g ( x) C ，( C 为某一常数).
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
证明分析:
使
要证
a b F (b) F ( a ) F ( )(b a ) 0 f (b ) f ( a ) F ( ) f ( ) 0 ( ) F (b ) F ( a ) f (b ) f ( a ) ( x) F ( x) f ( x) F (b ) F ( a )
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例4 证明 证: 设
由推论可知 令x=0,得 又 故所证等式在定义域
(常数)
上成立.
经验: 欲证
x I 时 f ( x ) C0 ,
只需证在 I 上
f ( x ) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 .
自证:
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显然， f ( x) 在 [1,3] 上满足罗尔定理的三个条 件，存在 1 ， 1 (1,3) 使得 f (1) 0 . 符合罗尔 定理的结论．
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7
例 2 如果方程 a0 x4 a1x3 a2 x2 a3 x 0 有一个正根 x0 ，证明方程
2
3.1 微分中值定理
（The Mean Value Theorem）
第三章
罗尔中值定理
一、微分中值定理 拉格朗日中值定理
柯西中值定理
二、洛必达(L’Hospital)法则
三、小结与思考题
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3
一、微分中值定理
1. 罗尔（Rolle）定理
满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点 证: M 和最小值 m .
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( 在 x , a 之间)
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洛必达法则
推论1
定理 1 中
换为
x a ,
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 推论 2 若
理1条件,
则
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20
x2 5x 6 例8 求 lim 2 x 2 x 12 x 20
(a, b)
从而
ba (b a) 1 2
即
1 a 2 1 2 1 b2 ba ba ba 2 2 1 b 1 1 a2 ba ba arctan b arctan a 2 1 b 1 a2
易知