对一道二次函数中考题的再认识

对一道二次函数中考题的再认识作者：张暐来源：《新高考·升学考试》2018年第04期《义务教育数学课程标准》（2013年）指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.为了真正理解数学知识，同学们不仅要重视数学知识与生活经验的联系，与学科知识的联系，认真参加实验、操作、尝试等活动，并进行观察、分析、抽象和概括，运用知识进行判断，还应了解知识的数学实质及其体现的数学思想，理清相关知识之间的区别与联系.应该这么说，恰当选择综合题切入点是解决综合题中知识点的关键，这對同学们的思维拓展与知识点的掌握来说都有比较高的要求.下面就结合一道二次函数与几何相结合的中考综合题，谈谈个人的一些见解.问题：（2015年苏州卷）如图1，已知二次函数y=x2+（1-m）x-m（其中0（1）∠ABC的度数为°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.解答二次函数的应用问题关键在于对二次函数图形的基础知识的把握，这些基础知识包括通过二次函数的解析式来确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等等；二次函数的表达式分为一般式、顶点式和交点式，不同表达式中挖掘出图像的信息也有所不同.如何“从已知推测未知，由未知寻求需知”，以及在图中适当添加辅助线，是否借助于三角形、四边形的知识来提高解题能力等，这是在二次函数应用解题中的基本步骤、基本思路和基本方法.同学们都应在平时的学习中去挖掘，并要通过知识点的迁移综合提高在应用方面的能力、提高综合解题能力.下面就本题第（3）小题的解法进行一下剖析.一、一题多法，触类旁通求线段的最大和最小值往往可以通过先求线段的长度，把长度表达式求出来.这时候可以列出函数表达式，利用二次函数的顶点式来求最值；但此类问题的解决办法并非是单一和一成不变的，利用圆的性质的特殊性也可以谋求解决的思路和方法，甚至于一些代数的方法；特别是对于综合题而言，解题方法往往会有很多.下面是我在参加这次中考阅卷中总结的五种证明方法.证法1：由（2）知Pm-12，1-m2 ，A（-1，0），C（0，-m），∴PA2=m-12+12+1-m22=m+122+1-m22=m2+2m+14+m2-2m+14=m2+12，PC2=m-122+1-m2+m2=m2-2m+14+1+m22=m2-2m+14+m2+2m+14=m2+12，∴PA2+PC2=m2+1.又∵AC2=1+m2，∴PA2+PC2=AC2，且PA2=PC2，∴PA=PC，∴∠APC=90°.∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC为等腰直角三角形，∴Q（-m，0）或（0，m）.当Q（-m，0）时，PQ2=1-m22+-1+m2+m2=52m-252+110，∴当m=25时，即Q（-25，0），PQ最小.当Q（0，m）时，PQ2=m-122+1-m2-m2=52m-252+110，∴当m=25时，即Q0，25时，PQ最小.综上所述，当Q-25，0或0，25时，PQ最小.【点评】在△PAC中，要判断△PAC的形状，如果用几何法显然行不通，在已知△PAC 的三顶点P、A、C坐标的情况下，显然可以通过点坐标求出三条线段的长度，再通过勾股定理逆定理来判断这个三角形是一个直角三角形.既然确定了△PAC的形状，那么与之相似的△QBC的形状也就确定了，这就为求出Q点坐标提供了便利.证法2：过点P作PD⊥y轴，如图2，PE⊥x轴，由证法1可知，∵PA2=PC2，∴PA=PC.又∵Pm-12，1-m2，∴PD=PE，∴Rt△PDC全等于Rt△PEA，∴PA=PC，∠APE=∠CPD.又∵∠PDO=∠DOE=∠PEO=90°，∴四边形ODPE是矩形，∴∠CPD+∠CPE=90°，∴∠APE+∠CPE=90°，即∠APC=90°，∴△PAC为等腰直角三角形.接下去的思路和方法与证法1相同.【点评】在证明一个三角形是等腰直角三角形的时候，往往是在用几何法无路可寻的情况下，考虑用添线的方法构造全等三角形或相似三角形.在这个位置，构造△APE与△CPD的全等，应该还是比较容易想到的，这是一种常见的在平面直角坐标系中证明线段相等的方法，也是中考中常见的一种添线方法.证法3：连接PB（图3），由P点、A点、B点、C点坐标算出PA、PB、PC三条线段的长度，发现PA=PB=PC，从而发现A、B、C三点在以点P为圆心，PA长为半径的一个圆上.∵Bm，0，C0，-m，∴OB=OC=m.∵∠BOC=90°，∴∠CBO=45°.又∵AC=AC，∴∠APC=2∠CBD=90°，∴△APC为等腰直角三角形.接下去同上.【点评】这一方法一下子为这道题目的解决开拓了更为广阔的思路.能用构造圆的方法去解决问题，往往能做到出“奇”制“胜”，巧妙地运用圆中的定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角度数的两倍，易得三角形BOC是一个等腰直角三角形，进而直接揭示出∠APC=90°这一基本事实，而这种方法的关键是能得到PA=PB=PC，从而用圆的知识去解决问题.证法4：过点P作PD⊥AC，先证明PA=PC.∵PA=PC，PD⊥AC，∴D为AC中点.∵A（-1，0），C（0，-m）.∴D-12，-m2.又∵Pm-12，1-m2，从而证得：PD=AD=CD.∴A、C、P在以点D为圆心，12AC为半径的圆上，∴∠APD=∠CPD=45°，∴∠APC=90°.接下去证明略.【点评】已知PA=PC这个基本结论，证法4与证法3有部分相似之处.过等腰三角形的顶点向底边作高的方法，也是等腰三角形中常见的一种添线方式.在没有想到证明∠APC=90°的情形下，可以先利用等腰三角形“三线合一”得到D为AC中点，从而由线段中点公式，得到D 点坐标，再利用两点之间距离公式去计算DA=DP=DC，从而得到A、P、C三点共圆，进而得到△ADP与△DPC都是等腰三角形，则∠APD=∠CPD=45°，所以∠APC=90°.证法5：由A（-1，0），Pm-12，1-m2，C0，-m，同样先证明PA=PC，再求直线PA，PC的解析式，其余略.【点评】在中考题证明垂直的问题中，除了用几何法来解决问题，也可用代数法来处理，代数法的关键是要准确算出直线解析式.如果两个k值相等，意味着两条直线平行，如果它们的乘积互为负倒数，说明两条直线互相垂直，从而为本题的解决提供了一种独特的解题思路，真所谓“柳暗花明又一村”.综观上述5种证明方法，其实是不同的解题思路.解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案.波利亚在《数学的发现》中认为解题“就是在原先隔开的事物或想法（已有的事情与要求的事物，已知量和未知量、假设与结论）之间去找出联系……这种联系就像一座桥……像是一条由一系列结论组成的链.”在这道中考题的解决过程中就体现了这一种思维方式.这道题不是直接去探求△QBC的形状，而是先试图去探求与之相似的△ACP的形状，从而由一般到特殊，得到一个非常特殊的等腰直角三角形.解决这一问题又是对直角三角形逆定理的应用、两点之间距离公式、判断若干个点共圆等知识点的考察.在中考题的考查中，特别是大题的解决当中，比较扎实的数学基础知识，几何和代数的灵活运用与结合，“解决问题”的能力，包含一些添加辅助线的方法，都是我们解决问题，突破问题重难点的手段和方法.这就要求平时同学们一要加强代数和几何的基本知识运用，二要作出必要的延伸，把知识点尽可能串联起来，为解决问题拓宽思路.二、探究本质，寻找源头设置压轴题的实质，是考查学生对所有初等数学知识点的掌握程度，以及综合运用知识点的能力.就像我们建造楼房一样，先要把门、窗、地面、房顶做结实了，建造起来的房屋才会更加结实和牢固.这就要求同学们不仅要牢固掌握代数或几何的单个知识点，而且更应注意培养综合运用已学知识解決复杂问题的能力.就这道中考题而言，在（1）、（2）两小题中我们运用因式分解的方法首先得到抛物线和x轴的两个交点坐标，通过抛物线的顶点坐标又确定了P点的坐标，再利用等腰三角形的特殊性来解决问题.如果这个三角形不是等腰三角形，而是一般的三角形，我们要解决这样的相似三角形的存在性问题，如何去做呢？变式题：如图5，在平面直角坐标xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c，经过点A（1，3），B（0，1）.（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，在y轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P点坐标.【图形分析】这也是一道二次函数中相似三角形的存在性问题，在中考大题中也是比较常见的.在初三阶段《新课程初中数学学习能力自测丛书》的习题解答中处于难度较高的运用分类思想解决的问题.【方法分析】由对称性得点C的坐标（4，3），将直线AC与y轴交点记作点D，由A （1，3），B（0，1），C（4，3），可以得tan∠ABD=12，tan∠BCD=24=12，所以∠ABD=∠BCD.∵BC=25，AB=5，AC=3，∴在△ABC与△ABP中，∠ACB=∠ABP.当CACB=BPBA时，325=BP5，解得BP=32，P0，52；当CACB=BABP时，325=5BP，解得BP=103，P0，133.【思想分析】解相似三角形的存在性问题，一般分为三个步骤：第一步寻找分类标准；第二步列方程；第三步解方程并检验.难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使列方程和解方程又快又好.一般情况下，寻找一组相等的角，然后根据对应边成比例，分两种情况列方程.三、拓展提升，增强能力在中考题中，我们除了遇见三角形的存在性问题，还会遇到平行四边形的存在性问题.【引申】在中考题原题基础上追加一问：在平面内是否存在点Q（不与原点重合），使得以P、A、C、Q为顶点的四边形为平行四边形？证明：∵A（-1，0），C（0，-m），P（m-12，1-m2），∴过△PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的Q点1. AQ1∥PC，AQ1=PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点Q1.∵Pm-12，1-m2，先向右平移1-m2个单位，再向下平移m+1-m2=m+12个单位，所以点A （-1，0）先向右平移1-m2个单位，再向下平移m+12个单位，得Q1-m-12，-12-m；2.3. 同理可得：Q2m-32，m+12，Q3m+12，1-3m2.上述问题的拓展和延伸，自然而然就联想到知识点的延伸.在几何基本图形中，三角形与四边形往往是构造图形的基础，也是有利于同学们发挥空间想象能力的一个最好的几何平台，有助于锻炼同学的平面几何空间想象能力.对于二次函数与相似三角形或四边形综合问题的应用学习，能让同学们通过掌握此类综合题的基本技法和技巧，了解在综合题研究上的技巧.在中考问题证明、溯源和拓展延伸的过程中，让同学们通过计算、观察、画图、定位分类、整理、归纳、总结、采用多种添加辅助线等方法，在确定点坐标之前，通过由特殊到一般的思想方法，使自己的逻辑推理能力和解题能力可以有所提高.总的来说，综合题往往标新立异，在中考短暂的时间内要对综合题有所突破，这就需要同学们在平时的解题中精化解题思路，并能进行一题多解，拓宽思路，注意知识点之间的联系，从而提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.。