第3章 直线的倾斜角
新人教A版必修高中数学第三章《倾斜角与斜率》
k=- a ,由题意知- a >1 或- a <0,解得-1<a<- 1 或 a<-1 或 a>0.
a 1
a 1
a 1
2
综上知,a<- 1 或 a>0. 2
答案:(-∞,- 1 )∪(0,+∞) 2
课堂探究
题型一 直线的倾斜角、斜率的定义
【例1-1】 直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k=
k=
时,α=135°;当k>0时,α的范围是
即时训练1-1:已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜 角为( ) (A)0° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:因为 k= 2 2 =0,所以直线的倾斜角为 0°.故选 A.
4 1
1-2:给出下列命题:
①任意一条直线有唯一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
(4)若 y1=y2,x1≠x2,则直线与 x 轴平行或重合,斜率 k= 0 =0.
x1 x2 x2 x1
x2 x1
自我检测(教师备用)
1.下列说法正确的是( D ) (A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角 (B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 (C)与x轴平行的直线的倾斜角为180° (D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率 2.若直线的倾斜角为120°,则直线的斜率为( B )
.
4.斜率与倾斜角之间的关系
当当0°<α<90°时,斜率k>0,且k值增大,倾斜角随着增大;
当α=90°时,斜率k不存在(此时直线是存在的,直线与x轴垂直);
当90°<α<180°时,斜率k<0,且k值增大,倾斜角随着增大.
第三章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
[课时作业][A 组 基础巩固]1.直线x =1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，-1C.90°，不存在D.180°，不存在【答案】C【解析】直线x =1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，但斜率不存在.2.若直线过点(1,2)，(4,2，则此直线的倾斜角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】由题意得22413k ==-，∴直线的倾斜角为30°.3.经过点M (-2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为() A.1B.4C.1或3D.1或4【答案】A【解析】由两点斜率公式得412mm -=+，解之得m =1.4.若A (-2,3)，B (3，-2)，1(,)2C m 三点共线，则m 的值为( )A.-2B.12-C.1 2D.2【答案】C【解析】由23213(2)32m--+=---得12m=.5.如图，设直线l₁，l₂，l₃的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则k₁，k₂，k₃的大小关系为()A.k₁＜k₂＜k₃B.k₁＜k₃＜k₂C.k₂＜k₁＜k₃D.k₃＜k₂＜k₁【答案】A【解析】根据“斜率绝对值越大，直线的倾斜程度越大”可知k₁＜k₂＜k₃.6.已知直线l₁的倾斜角为α，直线l₂与l₁关于x轴对称，则直线l₂的倾斜角为()A.180°-αB.90°-αC.90°+αD.45°+α【答案】A【解析】如图所示，可得直线l₂与l₁的倾斜角互补，故直线l₂的倾斜角为180°-α.7.(填空题)设斜率为m (m ＞0)的直线上有两点(m,3)，(1，m )，则此直线的倾斜角为________°.(填数字)【答案】60【解析】由31m m m-=-得：23m =，∵m ＞0，∴m =.又在[0°，180°)内tan 60︒=∴倾斜角为60°.8.已知实数x ，y 满足方程x +2y =6，当1≤x ≤3时，12y x --的取值范围为( ) A.13(,][,)22-∞-⋃+∞ B.35(,][,)22-∞⋃+∞ C.31(,][,)22-∞-⋃+∞ D.1(,][1,)2-∞-⋃+∞ 【答案】C 【解析】12y x --的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x +2y =6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且53(1,),(3,)22A B ，由于31,22NA NB k k =-=，所以12y x --的取值范围是31(,][,)22-∞-⋃+∞.9.(主观题)已知A (m ，-m +3)，B (2，m -1)，C (-1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值.【解析】由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠-1. ∴(3)41AC m k m -+-=+，(1)42(1)BC m k --=--. ∴(3)4(1)4312(1)m m m -+---=⋅+--.整理得：-m-1=(m-5)(m+1)，即(m+1)(m-4)=0，∴m=4或m=-1(舍去).∴m=4.10.(主观题)已知M(2m+3，m)，N(m-2,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？(3)当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？【解析】(1)斜率大于0，即1123(2)5m mkm m m--==>+--+，解之得m＞1或m＜-5.(2)斜率小于0，即110 23(2)5m mkm m m--==<+--+，解之得-5＜m＜1.(3)当直线垂直于x轴时直线倾斜角为直角，即2m+3=m-2，解之得m=-5.[B组能力提升]1.已知点P(1,1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为()A.135°B.90°C.45°D.30°【答案】C【解析】如图所示，因为直线l不经过第四象限，故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值，易求得其值为45°.2.过点M (0,1)和N (-1，m ²)(m ∈R)的直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.0°≤α＜180°B.45°≤α＜180°C.0°≤α≤45°或90°＜α＜180°D.0°≤α≤45°或90°≤α＜180°【答案】C【解析】如图所示，当点N 从点A 移动到点B (-1，1)时，倾斜角由45°减小到0°；当从点B 上移时，倾斜角为钝角并逐渐减小，且向90°接近.由倾斜角的定义，得直线l 的倾斜角α为0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.3.已知A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则11a b+=( ) A.1 B.12D.2【答案】B【解析】由题知22,22AB AC b k k a -==- 又A ，B ，C 三点共线，∴AB AC k k =，∴4=(2-a )(2-b )，∴2a +2b =ab ，∴1112a b +=.4.已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为( )A.B.3,0)C.3,0)D.【答案】B【解析】设点Q 的坐标为(x,0)，则20tan1503k x -==︒=-，解得3x =.5.(主观题)已知坐标平面内三点A (-1,1)，B (1,1)，1)C .(1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的变化范围.【解析】(1)由斜率公式得 1101(1)AB k -==--.3113BC k +-==. 3113AC k +-==. 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.又∵tan 0°=0，3tan 603,tan 30︒=︒=， ∴AB 的倾斜角为0°，BC 的倾斜角为60°，AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由CA k 增大到CB k ，所以k 的取值范围为3[,3]3.6.(主观题)已知实数x，y满足y=-2x+8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.【解析】如图，由点(x，y)满足关系式2x+y=8，且2≤x≤3，知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)，故22,3 OA OBk k==.因为yx的几何意义是直线OP的斜率，且OB OP OAk k k≤≤，所以yx的最大值为2，最小值为23.。
高中数学人教A版 必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案
课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。
在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。
这是解析几何的创始。
新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。
引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。
高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结
高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程一、知识点 倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =二、直线方程对应练习 一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y x B.052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜013. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 22 14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。
必修②第三章《直线与方程》复习一
必考部分内容 直线的斜率和倾斜角 直线方程（五种形式） A 要求 B √ √ C
直线的平行与垂直关系
两直线的交点 两点间的距离 点到直线的距离
√
√ √ √
两条平行线间的距离
√
2013年6月27日星期W
基础知识
1.直线的倾斜角：取值范围是［0,π)
2.直线的斜率及斜率公式
k＝tanα
整理得(81－d2)k2－54k+ 9－d2=0 又k∈R,则△=(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0
解得： d 3 10 综上d取值范围为 d 3 10 0 0
思想与方法
例题3. 两条互相平行的直线分别过A(6，2)、B(–3，–1)两点的, 并且各自绕着A、B旋转,若两条平行线间距离为d. (1) 求距离d的取值范围； (2) 求当d取最大值时两条直线的方程.
解 : 设过点(1,0)的直线l与两平行线分别交于A、B两点.
①当l的斜率存在时，设所求 直线l的方程是 y k ( x 1) y k ( x 1) k 6 5k 由 得 A点的坐标是( , ); k 1 k 1 x y6 0 y k ( x 1) k 3 4k 由 , 得 B 点的坐标是( , ); k 1 k 1 x y3 0
x y (4)截距式： 1 a b
(5)一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
基础知识
5.直线间的位置关系与判定方法：
若l1: y＝k1x＋b1， l2: y＝k2x＋b2， 则①l1∥l2 k1=k2且b1≠b2 ； ②l1⊥l2 k1k2=－1 ； ③l1与l2相交 k1≠k2 ； ③l1与l2重合 k1=k2且b1=b2
第三章 直线与方程
[易错防范] 1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角 应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角 小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA. 2．如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x 轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相 交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题 时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．
直线的倾斜角
[例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l
的倾斜角为
()
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
(2)下列说法中，正确的是
()
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
[成功破障]
已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB
有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解：∵直线PA的斜率kPA＝
4－0 3－－1
＝1，直线PB的斜率kPB＝
43－－12＝3，
∴要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1,3]．
[随堂即时演练]
两条直线平行的判定
[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)； (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
人教版高中数学必修二第三章第一节《直线的倾斜角与斜率》课件
解：直线AB的斜率 kAB142371
直线BC的斜率
kBC01(14)1 2B源自y A直线CA的斜率
kCA
12 03
1
由 kAB0及 kCA 0 知，直线AB与
CA的倾斜角均为锐角；
O
x
C
由 kBC 0 知，直线AB与CA的倾斜角
为钝角。
*
例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分 别为1，﹣1,2及﹣3的直线 l1,l2,l3及l4 。
y2 y1 x2 x1
ktany2 y1
x2 x1
当直线P1P2与x轴平行或重合时，k
立吗？为什么？
y2 x2
y1 x1
还成
成立。此时，y1=y2, k=0(或者说倾斜角为00，k=tan00=0）
小结:经过两点 P1(x1, y1)和 P2(x2,y2)（ x1 x2 ）的直线的 斜率公式 k y2 y1
倾斜角为锐角
k tan tan QP 1 P 2 QP 2 P1Q y 2 y1 x 2 x1
y
p2(x2, y2)
o Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
x
倾斜角为钝角
tan ta1n8 0 (0 )tan
tan QP 2 QP 1
y2 y1 x1 x2
y
l3
A3
l1
O
A1
x A2
l A4 4
l2
解：设 A1(x1, y1) 是直线 l1
一点，根据斜率公式有
1
上的
y1 0
x1 0
即 y1 x1
设 x1 1 则 y1 1 。于是A1的
高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（ ） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（ ）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（ ）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。
第三章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
人教A版数学 ·必修2
返回导航
上页
下页
二、斜率的概念及斜率公式 1．定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值 叫作这条直线的斜率． 2．记法：斜率常用 k 表示，即 k＝tanα ．
人教A版数学 ·必修2
3．斜率与倾斜角的对应关系
返回导航
上页
下页
图示
倾斜角 α＝0° 斜率 k＝0
0°＜α＜90°
[答案] 60°或 120°
人教A版数学 ·必修2
返回导航
上页
下页
求直线倾斜角的方法及关注点：
人教A版数学 ·必修2
返回导航
上页
下页
1．设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为________． 解析：如图：
返回导航
上页
下页
[解析] 如图所示，由题意可知， 4－0 2－0 kPA＝ ＝－1，kPB＝ ＝1. －3－1 3－1 (1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(－∞，－1]∪ [1，＋∞)． (2)由题意知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间．又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，所以 α 的取值范围是[45°，135°]．
人教A版数学 ·必修2
返回导航
上页
下页
1．已知直线经过点 A(0，4)和点 B(1，2)，则直线 AB 的斜率为( A．3 B．－2 C．2 D．不存在
)
4－2 解析：kAB＝ ＝－2. 0－1
答案：B
人教A版数学 ·必修2
返回导航
上页
人教版高中数学必修二 第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)0 (0，＋∞) 不存在(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是() A．0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5 B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B． 3 C．1 D．22A[由题意可知，k＝tan 30°＝3 3.]直线的倾斜角时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率AB 则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x ＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5(2)1[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]直线倾斜角与斜率的综合1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角；当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.【例3】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围 [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为： 已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC ＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC 都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0 k＞0 不存在k＜0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1， 解得a ＝1±52.]3．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)(0°，90°] [当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。
高中数学 第3章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定教材梳理素材 新人教A
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、两直线平行的判定1.如果两条直线的倾斜角都是90°，即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°，即斜率均存在，那么有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.3.在判断两条直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等,则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示 这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l 1、l 2可能重合时，我们得到k 1=k 2⇔⎩⎨⎧.,//2121重合与或l l l l 用上述的结论可以证明三点共线问题. 二、两直线垂直的判定1.如果两条直线l 1、l 2中的一条与x 轴平行(或重合)，另一条与x 轴垂直(也即与y 轴平行或重合)，即两条直线一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线l 1、l 2的斜率都存在，且其中一个不为0，那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.方法归纳 在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0，则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0，则二者仍垂直.问题·探究问题1 三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2 如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？ 探究:设l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，记D 1=A 1B 2-A 2B 1，D 2=B 1C 2-C 1B 2，D 3=A 1A 2-B 1B 2.当D 1≠0时，l 1与l 2相交；当D 1=0,D 2≠0时，l 1与l 2平行；当D 1=D 2=0时，l 1与l 2重合；当D 3=0时，l 1与l 2垂直.问题3 木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为l 1，为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线l 2；若平行移开，弹第三次线，记为l 3；若换成与l 2垂直方向弹线，得直线l 4，问l 1与l 2、l 3、l 4的关系如何？探究:由题意容易分析判断，l 1与l 2重合，而平行移开弹线，所以l 1与l 3平行，l 4与l 2垂直，所以l 1与l 4垂直.典题·热题例1 直线l 1：2x+my+4=0与直线l 2：(m+1)x+3y-2=0平行，则实数m 的值为( )A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3 思路解析：(方法一)当m=0时，直线l 1的斜率不存在，而l 2的斜率存在，所以l 1与l 2不平行；当m≠0时，若l 1∥l 2，则有312+=m m ，解得m=2或m=-3.经验证，当m=2或m=-3时，两条直线平行.故应选C.(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.答案:C误区警示 在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.例2 如图3-1-2所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t ，2+t)、R(-2t ，2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状.图3-1-2思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:k OP =t t =--.010，k QR =t t t t t =--=---+-1)21(2)2(2， k OR =t t 10202-=---，k PQ =tt t t t 1221212-=-=-+-+. ∴k OP =k QR ，k OR =k PQ .从而OP∥QR，OR∥PQ.∴四边形OPQR 为平行四边形.又k OP ·k OR =-1，∴OP⊥OR.故四边形OPQR 为矩形.方法归纳 判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其中斜率相等的直线，从而确定两直线平行.例3 绕倾斜角为30°的直线l 上一点P(2，1)按逆时针方向旋转30°得到直线l 1，且l 1与线段AB 的垂直平分线互相平行，其中A(1，m-1)、B(m ，2)，求m 的值.思路解析：由题意，需求出直线AB 的斜率，而AB 的斜率与直线l 1的斜率互为负倒数，直线l 1的倾斜角可求，从而斜率也可求.如图3-1-3，直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°，所以l 1的斜率k 1=tan60°=3.图3-1-3又直线AB 的斜率为mm m m --=---13121，所以AB 的垂直平分线的斜率为3131--=---m m m m .因为l 1与AB 的垂直平分线平行，所以313--=m m .解得m=34+. 深化升华 对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式来求解，这就需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.。
高中数学必修二第三章3.1.1倾斜角与斜率
应用举例 例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，和2的直线。
练习巩固
P86 1 —4
课堂小结：
（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们间有什 么关系？
课堂小结：
（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们间有什 么关系？
（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？
课堂小结：
3．斜率公式
通过探索，完善
问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结 论还成立吗?
总结斜率计算公式：k=
（x1≠x2）。
应用举例 例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1） ,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾 斜角是锐角还是钝角。
应用举例 例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，和2的直线。
坡度（比）=
问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾 斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的 正切值”。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样 的量来刻画直线的倾斜程度？
问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾 斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的 正切值”。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样 的量来刻画直线的倾斜程度？
问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾 斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的 正切值”。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样 的量来刻画直线的倾斜程度？
问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同， 斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？
3．斜率公式
3．斜率公式
发现：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与 斜率也就确定了，说明直线的斜率可以用两点坐标来表 示，只要找到倾斜角的正切值与坐标的关系。
高中数学必修2第三章 直线与方程 课件3.1.1 直线的倾斜角和斜率
高 量
B
6
2、直线的斜率
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫 做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
当 =0°时，
k tan
k 0
当00＜ 当
＜ 90°时， k 0
k不存在（直线存在）
7
=90°时，
9
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
（1）如果直线 l1 的斜率为0， l1 l2 ，那
l 2的斜率怎样？ （2）如果直线 l的斜率 k 的范围是 0 k 1
么直线 那么它的倾斜角的范围是什么？
(3)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大?
10
例1：直线
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
3、斜率公式 直线过P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点,则
y2 y1 k x2 x1
12
金太阳教育网
y2 y1 y1 y2 k x2 x1 x1 x2
斜率公式与两点的顺序无关；
品质来自专业 信赖源于诚信
斜率公式表明：直线对于x轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点的坐标表示， 而不需求出直线的倾斜角，使用比较方便；
8
金太阳教育网
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫 做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，
品质来自专业 信赖源于诚信
判断：
k tan
1.若直线的斜率存在，则必有唯一的倾斜角 与之对应. 2.若直线的倾斜角存在，则必有唯一的斜率 与之对应. 3.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan .
-1 1 2
高中数学必修2第三章：直线与方程课件 3.1直线的倾斜角与斜率
升高量 升 坡度（比） 前进量 高
前进
结论：坡度越大，楼梯越陡．
11
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角
直线的斜率(slope)。 用小写字母 k 表示，即：
的正切值叫做这条
k tan
例如： 30 k tan30
即k不存在
13
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为
tan
②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在
③两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；
④每条直线都有倾斜角。
⑤每条直线都有斜率。
14
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度
4
x
o
一点能确定一条直 线的位置吗？
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
品质来自专业 信赖源于诚信
思考？
2、当直线平行于x轴，或与 x 轴重合时， k tan0 0 上述公式还适用吗？为什么？
y
P 1 ( x1 , y1 )
0
P 2 ( x2 , y2 )
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
3.1.1直线的倾斜角与斜率
1
金太阳教育网
勒奈· 笛卡尔（RenéDescartes，
高中数学 同步教学 直线的倾斜角与斜率
②一条直线的倾斜角可以为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴；
④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合
建立了一一映射关系．
数 学
正确结论的个数
必
修 ②
A．1个
人 教
C．3个
版
B．2个 D．4个
(A)
返回导航
·
·
第三章 直线与方程
[解析] 由倾斜角α∈[0°,180°)知②错； 又平行于x轴的直线的倾斜角是0°, 这样的直线有无数条,故③④错；只有①是正确的．
数 学 必 修 ② 人 教 版
返回导航
·
第三章 直线与方程
命题方向2 ⇨已知两点坐标求倾斜角和斜率
典例 2 已知坐标平面内三点 A(－1,1)、B(1,1)、C(2， 3＋1)． (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的取值范围．
新课标导学
数学
必修② ·人教A版
第三章
直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
课时
第三章 直线与方程
为缓解日益严重的交通压力,各地都加大了基础设施建设的力度,先后投资发 展轨道交通与城市高架桥建设,如图是高架桥的效果图,纵横交错的桥梁远远看去 如一条条直线,有的相互平行,有的相互垂直,高架桥两边的护栏是平行的,而路灯 的灯杆与护栏则是垂直的,如果我们把护栏与灯杆都看作直线,那么,从何角度研究 直线以及如何研究呢？这就是本章将要学习的直线与方程．
数
又∵0°≤α<180°,∴α＝45°．
学
必
修
②
人 教
直线的倾斜角与斜率
3.1直线的倾斜角与斜率✧ 知识要点倾斜角1. 定义：取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜．．角．. 2. 倾斜角的范围：直线的斜率1. 定义：倾斜角不是 的直线，它的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.2. 当α 时，k当α 时，直线的斜率不存在当α 时 k3. 计算公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2) 说明：过两点的斜率公式与两点的顺序无关，当倾斜角α＝90°时，斜率的坐标公式不再适合．两直线平行1. 判定方式：l 1∥l 2⇔k 1=k2. （两直线不重合时）两直线垂直1. 判定方式：l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.（两条直线都有斜率）✧ 经典例题例题1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.例题2 .若三点A(2,3)，B(3,2)，C(21,m)共线，求实数m 的值.变式：1.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab ≠0)共线，则a 1+b1的值等于_____________.例题3 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长.变式：1. 过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段A 的中心，求直线l 的斜率和倾斜角.例题4 已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.课后练习1、已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为( )A.13B．－13C．3 D．－32、关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)3、已知直线y=kx＋k＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围.4、已知两直线l1:y=2k(x+2),l2:y=3k(x-2),它们与x轴围成一个三角形,若使P(3,3)在这三角形内,求k的范围.第3章 3.1 3.1.1一、选择题1．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B. 3 C.233D ．－ 3 2．已知点A (1,0)、B (3，－2)，直线l 经过点P (0，－3)与线段AB 相交，则l 的斜率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，3B.⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞) C ．不存在 D.⎣⎡⎦⎤－13，3或不存在 3．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.124．①直线l 的倾斜角是α，则l 的斜率为tan α；②直线l 的斜率为－1，则其倾斜角为45°；③与坐标轴平行的直线没有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率． 上述命题中，正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知直线l 1与l 2垂直，l 1的倾斜角α1＝60°，则l 2的斜率为( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－336．过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或47．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．35°或135°D ．90°二、填空题8．等腰三角形ABC 中，底边BC 平行于x 轴，AB 的斜率为k ，则边AC 的斜率为________．9．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．10．若过P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是________．11．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.三、解答题12．求经过A(ma，mb)，B(a，b)，(ab≠0，m≠1)两点的直线的斜率，并判断倾斜角为锐角还是钝角．13．若直线l的斜率为函数f(a)＝a2＋4a＋3(a∈R)的最小值，求直线l的倾斜角α.14．已知A(－3,8)，B(2,4)，若P A的斜率是PB斜率的两倍，点P在y轴上，求点P的坐标．15．已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一条直线上，求a的值．第3章 3.1 3.1.2一、选择题1．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)2．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194 C ．5 D ．43．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)、(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．14．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°5．直线l 1⊥l 2，又l 2过点A (1,1)，B (m ，n )，l 1与y 轴平行则n ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．不存在6．已知A (－1,2)，B (1,3)，C (0，－2)，点D 使AD ⊥BC ，AB ∥CD ，则点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－97，47B.⎝⎛⎭⎫547，137C.⎝⎛⎭⎫383，133D.⎝⎛⎭⎫387，577．已知点M (1，－3)、N (1,2)、P (5，y )，且∠NMP ＝90°，则log 8(7＋y )的值为( )A ．1B.23 C ．0 D.12 二、填空题8．平行四边形ABCD 中，已知三个顶点坐标为A (－3,1)、B (3,0)、C (－1,2)，则D 点坐标为________．9．直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是______．三、解答题10.已知实数x 、y 满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求xy 的最大值和最小值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】 D
直线的斜率
已知坐标平面内三点 A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
y2－y1 【精彩点拨】 (1)利用 k＝ 及 k＝tan α 求解； x2－x1 (2)先求出 AC、BC 的斜率，进而求出 k 的范围．
[再练一题] 2．已知两点 A(－3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点． (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 【导学号：09960093】
【解】
4－0 2－0 如图所示，由题意可知 kPA＝ ＝－1，kPB＝ ＝1. －3－1 3－1
0° (2)当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__.
2．倾斜角的范围
0°≤α<180° 直线的倾斜角 α 的取值范围为____________.
3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点 ____
倾斜角． 及它的______
如图 311 所示，直线 l 的倾斜角为(
[再练一题] 1．设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方 向旋转 45° ，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角为( ) 【导学号：09960092】 A．α＋45° B．α－135° C．135° －α D．当 0° ≤α<135° 时，倾斜角为 α＋45° ；当 135° ≤α<180° 时，倾斜角为 α －135°
【解析】 (1)错误．除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是 90° 的直线有且只有一个斜率和它对应． (3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点 P 和 一个倾斜角 α. (4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次 序可以同时调换．
)
图 311 A．30° C．120° B．60° D．以上都不对
【解析】 根据倾斜角的定义知，直线 l 的倾斜角为 30° ＋90° ＝120° . 【答案】 C
教材整理 2
直线的斜率及斜率公式
阅读教材 P83“思考”以下至 P85“例 1”以上部分，完成下列问题． 1．斜率的定义
正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母 k 表示， 一条直线的倾斜角 α 的____
【解析】
根据题意，画出图形，如图所示：
因为 0° ≤α<180° ，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面， 不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当 0° ≤α<135° 时，l1 的倾斜角为 α＋45° ； 当 135° ≤α<180° 时，l1 的倾斜角为 45° ＋α－180° ＝α－135° .故选 D.
【自解答】
(1)由斜率公式得
1－1 3＋1－1 kAB＝ ＝0，kBC＝ ＝ 3. 1－－1 2－1 3＋1－1 3 kAC＝ ＝3. 2－－1 倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180° . 又∵tan 0° ＝0， ∴AB 的倾斜角为 0° .
tan 60° ＝ 3， ∴BC 的倾斜角为 60° . 3 tan 30° ＝3， ∴AC 的倾斜角为 30° .
由题意画出如下草图
由图可知： 当 α 为钝角时，倾斜角为 α－90° ， 当 α 为锐角时，倾斜角为 α＋90° ， 当 α 为直角时，倾斜角为 0° . 综上，直线 l
0° <α<90° ， α＋90° 转动前的倾斜角为 90° ≤α<180° . α－90°
1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答． 2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准 倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
tan α 即 k＝_____.
2．斜率公式
y2－y1 x2－x1 当 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝_______.
x1＝x2 时，直线 P1P2 没有斜率． 3．斜率意义 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 ________．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． (3)一个倾斜角 α 不能确定一条直线． (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( ( ( ( ) ) ) )
(2)如图，当斜率 k 变化时，直线 CD 绕 C 点旋转，当直线 CD 由 CA 逆时针 方向旋转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由 kCA 增大到 kCB，所以 k
的取值范围为 3 ， 3 . 3
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k＝tan α(α≠90° )解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 y2 －y1 k＝ (x ≠x )求解． x2 －x1 1 2 3．涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[小组合作型]
直线的倾斜角
已知直线 l 过原点， l 绕原点按顺时针方向转动 α 角(0° <α<180° )后， 恰好与 y 轴重合，求直线 l 转动前的倾斜角是多少？
【精彩点拨】 画草图 ―→ 标记α ―→ 找倾斜角与α的关系 ―→ 求倾斜角
【自主解答】
3.1
直线的倾斜角与斜率 倾斜角与斜率
3.1.1
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)
[基础· 初探] 教材整理 1 直线的倾斜角
阅读教材 P82～P83“思考”以上部分，完成下列问题． 1．倾斜角的定义 (1)当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向 ______与直线 l 向上方向 之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．