高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《2.2.4椭圆的参数方程》课件

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高中数学人教A版选修4-4第二讲一 1. 参数方程的概念课件

[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________．解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-4第二讲-参数方程

3π x＝， 2 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3
3π ，3 2
变式训练1
半径为2的基圆的渐开线的参数方程为
________，当圆心角φ＝π时，曲线上点的直角坐标为________．
解析半径为2的基圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)．
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)，求对应圆的摆线的参数方程．
解
首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为6，所以对 (φ为参数)．
x＝6φ－6sinφ，应圆的摆线的参数方程为 y＝6－6cosφ
x＝cosφ＋φsinφ， π 【例3】当φ＝，π时，求出渐开线 (φ为 2 y＝sinφ－φcosφ
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通
典例剖析【例1】
x＝3cosφ＋3φsinφ，给出某渐开线的参数方程 y＝3sinφ－3φcosφ
(φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是 ________，且当参数φ取 ________．
【分析】根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程 (φ为参数)进行对照可知．
故A，B两点间的距离为 |AB|＝ 3π π [ 2 ＋1－2－1]2＋1－12
＝ π＋22＝π＋2.
参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
【解】
x＝cosφ＋φsinφ， π 将φ＝2代入 y＝sinφ－φcosφ，
π π π π 得x＝cos2＋2sin2＝2， π π π y＝sin － cos ＝1. 2 2 2
π ∴A(2，1)．
x＝cosφ＋φsinφ，将φ＝π代入 y＝sinφ－φcosφ，

高考数学总复习第2节参数方程课件新人教A版选修44

数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)，即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1，故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。

人教A版高中数学选修椭圆及其标准方程PPT精品课件

O
y F2
x M F1
a2c2b2
椭圆的标准方程 y
y M
F1 O F2
x
F2
x M F1
x2y21(ab0) a2 b2
y2x21(ab0) a2 b2
焦 :F 1 ( 点 c ,0 )F 2 ,( c ,0 ) 焦 :F 1 ( 0 , 点 c )F 2 ,( 0 ,c )
a2c2b2
椭圆方程有特点系数为正加相连
M
F1
F2
F1
F2
探究2：椭圆的标准方程
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0)
M与F1和F2的距离的和等于正常数2a
(2a>2c)
y
|M 1| F |M 2| F 2 a
M
|M 1| F(xc)2y2
|M 2| F(xc)2y2
1 36 32
当堂训练
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（2）焦点坐标分别为（ 0,4）, (0,4), a 5;
解：由题意知 c： 4,a5
b 2 a 2 c 2 2 1 5 9 6
练一练：求曲线的方程
1.两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离平方和为26，求点M的轨迹方程.
解：两定点分别记为点A、B，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，得A（-3,0）、B(3,0)，设M（x,y）.
由题意 M知 A 2M ：B 2 26
y M（x,y）
MA (x3)2(y0)2 MB (x3)2(y0)2
A（-3,0）o
x B (3,0)
代入得：

2.2《圆锥曲线的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

【解析】
6.下列参数方程的曲线的焦点在横轴上的是(
)
【解析】选C.将
2x=sin （θ为参数）化为普通方程，得 y=cos
4x2+y2=1，表示焦点在纵轴上的椭圆；将 x=2t （t为参数）
2 y=2t
化为普通方程，得 y= 1 x 2 ，
2
表示焦点在纵轴上的抛物线；由于sec2θ-tan2θ=1，故将
x=sec y=tan
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
y=2sect 答案： x=3tant (t为参数) y=2sect
三、解答题（共40分）
x 2 y2 10.（12分）若F1,F2是椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上不 25 16
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程. 【解析】
11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.
x=-4t 2 +1 4.抛物线方程为 (t为参数),则它在y轴正半轴上的截 y=4t
距是( （A）1
) （B）2 （C）4 （D）不存在
2
【解析】选B.当x=-4t2+1=0时，t=〒 1 ,
一、选择题（每小题6分，共36分）

2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》课件(人教A版选修4-4)

y=t
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
【解析】设飞机在点H将物资投出机舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平面直角坐标系，由于物资做平抛运动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin

高中数学新人教a版高二选修4-4精品课件：1.椭圆的参数方程

y
B O
Aφ
M
Nx
y P
θ
O
A x
一分耕耘一分收获
第二章参数方程
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3cos
y
5
sin
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y
而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.
A
B
M
设∠XOA=φ
O
Nx
一分耕耘一分收获
第二章参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
1 .参数方程
x y
a b
scions是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x y
a b
cos, sin .
焦点在Y轴xy
b cos, a sin .
一分耕耘一分收获
第二章参数方程
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:

2015年秋新人教A版高中数学选修4-4：2.2.1《椭圆的参数方程》ppt课件

θ， θ
(θ 为参
数)中参数的几何意义不同，椭圆中的 α 是离心角，圆中的 θ 是旋转角．
π π 正解：设|OP|＝t，所以 P 的坐标为tcos ，tsin . 6 6 x＝4 3cos α ， x 2 y2 把椭圆的参数方程化为普通方程得＋＝1， 48 4 y＝2sin α π π 将 Ptcos ，tsin 代入椭圆的普通方程得： 6 6 3t2 t 2 2 2
π ∠POx＝，求点 P 的坐标． 6 π 错解：设 P 的坐标为(x，y)，当∠POx＝时，由椭圆的参数方 6
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程得 π y＝2sin 6 ，
π x＝4 3cos ， 6
即点 P 的坐标为(6，1)．
x＝acos 分析：椭圆 y＝bsin
α， α
x＝rcos (α为参数)和圆 y＝rsin
x＝5cos θ， x 2 y2 解析：设＋＝1 的参数方程为 (θ为参数)Байду номын сангаас代 25 16 y＝4sin θ
栏目链接
入目标函数得 z＝x－2y＝5cos θ－8sin θ
＝ 52＋82cos (θ＋θ0)
8 ＝ 89cos (θ＋θ0)tanθ0＝5.
栏目链接
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x 2 y2 4 ． (2014· 新课标全国卷 Ⅰ) 已知曲线 C ：＋＝ 1 ，直线 l ： 4 9
x＝2＋t， (t 为参数)． y＝2－2t
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．

高中人教版数学选修4-4课件2椭圆的参数方程ppt版本

二、锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
由例4我们得到了椭圆 x2 y2 1(a b 0)的 a2 b2
一个参数方程{为x acos(为参数) y bsin
这是中心在原O点，焦点在x轴上的椭圆的参数方程。
思考：类比圆程的中参参数数方的意的义参，数椭方圆程
参数的意义是y 什么？
A
BM

o
x
在椭圆的参数方通程常中规，定参的数范围是 [0,2)
思考：椭圆的中参参数的数方意程义与圆的 {xy参 rrcsoi数 ns (为参)中数参的数意义类似吗？
由图可以看出，是参点 M所数对应的圆的半
径OA(或OB)的旋转(称角为M 点的离心)，角不
是OM的旋转角，是参半数O 径M的旋转角。
例 2 、在椭圆 x2y21 上求一点 M ，使点 M 到 94
直线 x2y100 的距离最小，并求出最小距离
思考：与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数
x, y满足 x2 y2 1的前提下，求出z x 2y的 25 16
最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？
作业：基训 P19-20
9、10
再见

人教新课标版数学高二A版选修4-4课件第二讲第1节第3课时参数方程和普通方程的互化

(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键．
(2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．
3．已知方程 y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论 θ 如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ 为何值时，该抛物线在直线 x＝14 上截得的弦最长，并求出此弦长．
(1)（x－31）2＋（y－52）2＝1，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数)
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t 为参数)
[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量 x 代入方程，求出 y 即可．
(1)将
x＝
3cos
θ＋1
代
入（x－3 1）2
＋
（y－2）2 5
所以 x2＋y2 的最小值为 9.
答案：9
8．点(x，y)是曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
(θ 为参数，0≤
θ＜2π)上任意一点，则xy的取值范围是________．
解析：曲线 C：xy＝＝s－in2＋θcos
θ，
是以(－2，0)为圆心，
1 为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设xy＝k，∴y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴ |－k22＋k|1＝1，k2＝13.
(1)求常数 a； (2)求曲线 C 的普通方程．
解：(1)由题意可知有1a＋t2＝2t1＝3，故ta＝＝11，，∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t，由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程得 y＝(x－2 1)2，即 (x－1)2＝4y 为所求.

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-3第二讲-参数方程

x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
称为标准形式，其中参
数t的几何意义是：|t|表示参数t对应的点M到________，t就是有向 → 线段 M0M 的数量．当点M在点M0的上方时，________；当点M在点M0的下方时________；当点M与点M0重合时，________.
4 x ＝ 1 ＋ 5t，的方程为 y＝3t 5
(t为参数)．代入椭圆方程x2＋9y2＝9，并
整理得：97t2＋40t－200＝0. 由t的几何意义，知所求的弦长为
|t2－t1|＝ t2＋t12－4t2t1 ＝－200 60 40 2 －－4 ＝ 22. 97 97 97
3．直线参数方程的应用直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义.
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通
【例1】
典例剖析 x＝5＋3t，设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(u为参数)．
规律程，只要用代入法消去参
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α<π)的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα，
其中参数t有几何意义，t＝M0M，即t表示有向线
→ 段 M0M 的数量，其中M(x，y)为直线上任意一点，因为倾斜角α∈ [0，π)，所以sinα≥0，再化参数方程的标准形式时应注意这一点．
(t为参数)．
规律技巧
本题可使用直线的普通方程求解．也可以使用参
数方程求解，但是使用普通方程求解，计算量大，如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解．就可以转化为三角函数求最值问题，计算简便．

2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件(人教A选修4-4)

提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建立方程求解．设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)，弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝，kBA＝，－asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．

人教A版高中数学选修4-4课件 2.4摆线课件

第二讲参数方程四渐开线与摆线
2.摆线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人民教育出版社高中 |选修4-4
人民教育出版社高中 |选修4-4
摆线的概念
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．
摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
人民教育出版社高中 |选修4-4
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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总结：
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动，圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点的位置也可以由圆心角φ唯一确定．
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[例2] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
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[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
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轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
向量OB ＝(2α，2)，向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
人民教育出版社高中 |选修4-4

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《2-2圆锥曲线的参数方程》课件2

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题型二
双曲线参数方程的应用
x2 y2 与双曲线交于 A，【例2】直线 AB 过双曲线a2－b2＝1 的中心 O， B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA，PB 的斜率的乘积为定值．
[思维启迪] 先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标，
(4)抛物线 x
x＝2pt，＝－2py(p>0)的参数方程为 2(t y＝－2pt
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试一试：将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型．
x＝acos (1) y＝bsin
θ， (θ 为参数，a、b 为常数，且 a>b>0)； θ
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【反思感悟】本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．
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【变式2】
x＝sec 双曲线 y＝tan
炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，
y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得
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x＝v0t， x＝150t， 2 1 2(g＝9.8 m/s )，即 2 y＝588－4.9t ， y＝588－ gt 2 这是炸弹飞行曲线的参数方程． (2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y＝0，即 588－4.9t2＝0，解得 t0＝2 30. 由此得 x0＝150×2 30＝300 30≈1 643(m)．即飞机在离目标约 1 643m(水平距离)处投弹才能击中目标．

高中数学人教A版选修4-4《椭圆的参数方程》(第一课时)教学设计

《椭圆的参数方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教科书通过推广前一节例4，得出椭圆的参数方程（与椭圆的标准方程相对应）．这个参数方程实际上是通过纯粹的代数和三角变换得到的，参数ϕ的几何意义并不明确．为此，教科书利用“思考”，引导学生类比圆的参数方程中参数的几何意义，探究椭圆参数方程中参数的几何意义．参数ϕ不是x轴正半轴沿逆时针方向旋转到OM的位置时所转过的角度(称为OM的旋转角)，这一点与圆的参数方程中的参数有着显著差异．离心角ϕ容易与点M和中心O连∠混淆．线的倾斜角xOM应当说，由学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教科书采用了直接讲解的方法．二、学情分析学生是在学习了选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》、选修4-4《第一讲坐标系》2．平面直角坐标系中的伸缩变换与《第二讲参数方程》1．参数方程的概念、2．圆的参数方程等知识之后，自然而然地要研究椭圆的参数方程，而前面知识就作了相应的知识基础准备．其次，教学对象是我们学校高2013级的A层次的班级2班，学生的学习习惯较好，有较强的动手操作能力，有一定的自主学习基础与能力，也善于合作研究、讨论学习．这为学习新知提供了一定的能力基础．三、学习目标1．通过类比圆的参数方程，选择参数写出椭圆的参数方程，理解参数的几何意义．2．体会参数法的应用，能用椭圆参数方程解决一些简单问题，建立椭圆参数方程与代数变换、三角函数之间的联系．3．进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，从不同的角度认识椭圆的几何性质．四、教学重点和难点重点：根据问题的条件（椭圆的几何性质）引进适当的参数，写出椭圆的参数方程，体会参数的意义、椭圆参数方程的应用；难点：根据椭圆的几何性质选取恰当的参数，建立椭圆的参数方程以及椭圆的参数方程中参数的几何意义．1/ 72 / 7五、教学基本流程六、教学情景设计3/ 74/ 75/ 76/ 7（3）在椭圆中，还可以选取其它变量作为参数吗？请将你选取的参数与离心角作为参数进行比较．七、板书设计八、课后反思1．椭圆的参数方程一、1．圆的参数方程2．椭圆的参数方程参数的几何意义θM0rM(x, y)yxOMBAOyx三、课堂小结与作业布置三、应用举例[例]已知椭圆C的方程为22194x y+=．若2392z x y=+-，其中(),x y是椭圆C上的点．求z的最大值和最小值．xy23O7/ 7。

2017_2018学年高中数学第二章参数方程第2节第1课时椭圆的参数方程课件新人教A版选修4_4

2cos φ 2cos φ 令 y＝0，则 x＝，即|OP|＝ 1＋sin φ. sin φ＋1
sin φ－1 MB2 的方程：y－1＝ x， 2cos φ
2cos φ ∴|OQ|＝ 1－sin φ. 2cos φ 2cos φ ∴|OP|· |OQ|＝ × 1＋sin φ 1－sin φ＝4.
利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用 θ 表示点的坐标，再利用 sin2θ ＋cos2θ ＝1 进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
x2 y2 2．设 F1、F2 分别为椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0) 的左、右两个焦点． (1)若椭圆 C 上的点
3 A 1，2到
F 1， F2 的距离之பைடு நூலகம்等
于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标； (2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 F1P 的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点 A 到 F1，F2 的距离之和是 4，得 2a ＝ 4， 3 2 （2） 3 1 即 a＝2.又点 A(1，2)在椭圆上，因此4＋ b2 ＝1，
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程； (2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．
x2 y2 1．已知实数 x，y 满足25＋16＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大值与最小值．
x＝5cos φ， x2 y 2 解：椭圆25＋16＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝4sin φ
2 x 得 b2＝3，于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为 4

2019-2020学年数学人教A版选修4-4课件：第2讲第4课时椭圆的参数方程

消去 θ，得x＋122＋43y2＝1，这就是线段 F1P 的中点的轨迹
方程．
1．在利用yx＝＝bascions
θ， θ
(θ 为参数)研究椭圆问题时，椭圆
上的点的坐标可记作(acos θ，bsin θ)．
2．椭圆的参数方程化为普通方程的主要方法：利用 sin2θ
＋cos2θ＝1．
方程为xy＝＝43csions
φ， φ
(φ 为参数)．
4．如下图，在椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 中内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？
【解析】椭圆的参数方程为yx＝＝45scions
θ， θ
(0≤θ＜2π)，
设第一象限内椭圆上的点 M(x，y)，由椭圆的对称性，知内
接矩形的面积为 S＝4xy＝4·5cos θ·4sin θ＝40sin 2θ．
率．
【解题探究】将参数的值直接代到参数方程中，即可求出对应点M的坐标，再利用斜率公式求出直线的斜率．
【解析】点 M 的坐标为xy＝＝24csionsπ3π3＝＝21，3，
直线 OM 的斜
率为 k＝yx＝213＝2 3．
参数方程xy＝＝24csions
t， t
(t 为参数)化为普通
因此
S＝x＋y＝
3 cos
φ ＋ sin
φ
＝
2

3 2 cos
φ＋12sin
φ ＝
2sinπ3＋φ．所以当 sinπ3＋φ＝1，即 φ＝π6时，S 取最大值 2．
在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次．
当 sin 2θ＝1，即 θ＝π4时，面积的最大值 Smax＝40，

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题型一例1
椭圆的参数方程的应用：求最值
x2 y2 已知实数 x，y 满足＋＝1， 25 16
求目标函数 z＝x－2y 的最大值与最小值．
[解] x2 y2 椭圆＋＝1 的参数方程为 25 16
x＝5cosφ， (φ 为参数)． y＝4sinφ
代入目标函数得
z＝5cosφ－8sinφ＝ 52＋82cos(φ＋φ0) ＝
由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角 (称为点M的离心角 )，不是OM的旋转角，参数是半径OM的旋转角。
x2 y 2 例1、在椭圆 1上求一点M，使点M 到 9 4 直线x 2 y 10 0的距离最小，并求出最小距离
x 3 cos 解：因为椭圆的参数方程为{ (为参数) y 2 sin 所以可设点M (3 cos ,2 sin ) 由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离 d 3 cos 4 sin 10 5
M x
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 x a cos { (为参数) y b sin 这是中心在原点 O，焦点在x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围是 [0,2 )
思考：
椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方 x r cos 程{ (为参数)中参数的意义类似吗？ y r sin
8 89cos(φ＋φ0)tanφ0＝5 .
所以目标函数 zmin＝－ 89，zmax＝ 89.
利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大小值，通常是利用辅助角公式转化6＝1，点 A 的坐标为
(3,0)．在椭圆上找一点 P，使点 P 与点 A 的距离最大．
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
y A
B
M

x
o
设以ox为始边，OA为终边的角，点M的坐标 y，由点A, B均在角的终边上，由三角函数的 y 定义有 A x OA cos a cos y OB sin b sin
o
B
是( x, y )，那么点A的横坐标为x, 点B的纵坐标为
解
x＝5cosθ，椭圆的参数方程为 (θ 为参数)． y＝4sinθ
设 P(5cosθ，4sinθ)，则 |PA|＝ 5cosθ－32＋4sinθ2 ＝ 9cos2θ－30cosθ＋25 ＝ 3cosθ－52＝|3cosθ－5|≤8，
当 cosθ＝－1 时，|PA|最大．此时，sinθ＝0，点 P 的坐标为(－5,0)．
3 4 5(cos sin ) 10 1 5 5 5 cos( 0 ) 10 5 5
3 4 5(cos sin ) 10 1 5 5 5cos( 0 ) 10 5 5
3 4 其中0满足 cos0 , sin 0 5 5 由三角函数性质知，当－0＝0时，d取最小值 5 9 8 此时3 cos 3 cos 0 ,2 sin 2 sin 0 5 5 9 8 所以，当点M位于( , )时，点M与直线 5 5 x 2 y 10 0的距离取最小值 5。

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高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

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