学案6_复合函数求导
复合函数求导学案
高二数学A §1.2.3导数的四则运算法则（二）编号：14 编制： 纪登彪 审核：姜希青 时间：2012-2-27班级： ；姓名： ；学号：一、 学习目标1、 能用求导法则及导数公式求某些简单函数的导数；2、 会求简单复合函数（形如()y f ax b =+）的导数.二、 重点难点：理解并应用求导法则.三、 课前练习：求下列函数的导数（1）7653y x x x =+- （2）3cos y x x =- （3）3sin y x x =（4）()()35138y x x =-+ （5）y x= （6）cos 1sin x y x =+（7）(21y x =+（8）sin x y x = （9）22ax bx y cx d +=+四、典型例题已知可导函数()y f u =，且(),0u ax b a b a =+≠为常数,，求dy dx .五、课堂练习1、求下列函数的导数（1）()1035y x =- （2）()2254y x =- （3）()8174y x =-（4）()3435y x =- （5）y =（6）()5ln 57y x =+（7）()ln 54y x =+ （8）21x y e+= （9）213x y -=（10）()cos 35y x =+ （11）cos3x y e x = （12）()()232123y x x =--（13）()32sin5y x x =+ （14）cos3sin 2y x x = （15）()()()123y x x x =+++2、从时刻0t =开始()t s 内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由公式223q t t =+表示.求第5秒时和第7秒时的电流强度't q ，说明什么时刻电流强度达到43A ？六、选做题：设l 是1y x=图象的一条切线，证明l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.。
《复合函数的导数》教案
《复合函数的导数》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解复合函数的概念，记住复合函数的求导公式，以及会利用基本初等函数的求导公式求复合函数的导数。
【过程与方法】
通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备简单的形如的复合函数的导数的能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
二、教学重难点
【重点】
会分解简单的复合函数及会求导。
【难点】
正确分解复合函数的复合过程。
三、教学过程
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，求复合函数的导数，关键在于搞清楚
复合函数的结构，明确复合次数，由外向内层逐层求导，直到关
于自变量求导，同时注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果。
作业：想一想，生活中还有哪些量是成正比例的量?
四、板书设计
五、教学反思。
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
学案解复合函数的求导法则与应用
学案解复合函数的求导法则与应用一、引言复合函数是高等数学中的重要概念之一，求导法则是求解复合函数导数的基本工具。
在本学案中，将详细介绍复合函数的求导法则以及其应用，以帮助学生理解并掌握这一知识点。
二、复合函数的求导法则复合函数的求导法则可以简单总结为链式法则。
设函数y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数，其导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数f(u)关于u的导数，du/dx表示函数g(x)关于x 的导数。
三、复合函数求导法则的具体应用1. 基本类型在讲解复合函数求导法则的具体应用之前，首先介绍几个基本类型的复合函数求导。
（1）对常数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，且c为常数，则复合函数y=f(c)的导数为0。
（2）对幂函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，且n为常数，则复合函数y=f(u^n)的导数为dy/du * du/dx = n*u^(n-1) * g'(x)。
（3）对指数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，则复合函数y=f(a^u)的导数为dy/du * du/dx = ln(a)*a^u * g'(x)。
（4）对对数函数与自身的复合设u=g(x)为可导函数，则复合函数y=f(log_a(u))的导数为dy/du * du/dx = 1/(u*ln(a)) * g'(x)。
2. 特殊类型（1）复合函数中含有三角函数的情况设u=g(x)为可导函数，且y=f(u)=sin(u)，则复合函数y=sin(g(x))的导数为dy/du * du/dx = cos(u) * g'(x)。
（2）复合函数中含有反三角函数的情况设u=g(x)为可导函数，且y=f(u)=arcsin(u)，则复合函数y=arcsin(g(x))的导数为dy/du * du/dx = 1/sqrt(1-u^2) * g'(x)。
高二数学学案：《复合函数求导》(人教版选修)
学习目标复合函数的分解，求复合函数的导数.重点：求复合函数的导数难点：复合函数的分解学习过程一、课前准备复习教材1617P P -后，疑惑之处：复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学学习探究探究任务一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos 2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=g ，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
典型例题例1 求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中π，ϕ均为常数）变式：求下列函数的导数：（1）cos 3x y =； （2）y =小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重.动手试试练1. 函数()r V =?求()r V '练2. 一个距地心距离为r ，质量为m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2GMm F r =给出，其中M 为地球队质量，G 为常量，求F 对于r 的瞬时变化率.三、总结提升学习小结1. 会分解复合函数.2. 会求复合函数的导数. x u x y y u '''=g ；其中u 为中间变量.即：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.知识拓展人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设2sin y x =，则y '=（ ）A ．sin 2xB ．2sin xC ．22sin xD ．2cos x2. 已知()ln(f x x =+，则()f x '是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3. (lg tan )x '=4. 2(log (23))x '-+=5. 已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于课后作业1. 求下列函数的导数；（1）99(1)y x =+； （2）2x y e -=；（3）2sin(25)y x x =+2. 求下列函数的导数；（1）2tan y x x =； （2）32(2)(31)y x x =-+；（3）2ln x y x =； （4）23(21)x y x =+。
2.3 教学设计—— 复合函数的求导法则
教学活动
教学资源
覆盖目标
课程育人
10’
融入数学文化的知识，查阅历史上的第三次数学危机，了解在解决问题的时候不能犯“自我指谓”的错误。
师生共同分享各自查阅的有关资料，并介绍罗素的“理发师悖论”帮助学生理解“自我指谓”的问题。
多媒体课件
素质目标1
导入新课
10’
求复合函数 的导数
1.教师引导学生利用倍角公式转化问题；
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
复合函数的求导法则
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课主要学习复合函数的求导，以及在复合函数求导的基础上，学习隐函数的导数。复习复合函数的分解是掌握复合函数求导的基础。
教学目标
知识目标
1.掌握复合函数的求导法则；
2.通过显函数和隐函数的对比，掌握隐函数的概念和隐函数的求导法则；
3.掌握对数求导法。
能力目标
1.会求复合函数的导数；
2.会求隐函数的导数；
3.对于幂指函数，能利用对数求导法求导；
4.会求任意一个初等函数的导数。
素质目标
1.培养学生的数学文化素养；
2.让学生体会由简到难、逐层深入的数学思想；
3.提高学生的分析推理能力，培养学生严谨的学习态度。
教学过程
教学环节
时间分配
5’
1.学生课后认真看书进一步理解求导法则；
2.布置课后作业，巩固求导法则的应用。
教学反思
隐函数求导的基础是复合函数求导，复合函数求导的基础是会复合函数的分解，因此一定要让学生先复习复合函数的分解。
2.学生动手练习，得到结果；
3.教师引导学生分析得到的结果所具有的特征。
复合函数求导法则的教学设计
复合函数求导法则的教学设计摘要：本文主要介绍了《复合函数求导法则》这节课的一种创新性讲法，利用这种新的教学设计方法，不仅便于理解、容易掌握，更加强了学员分析、解决问题的能力。
关键词：复合函数复合分解求导法则复合函数求导法则是《高等数学》课程中的一个重要内容，是在学习了导数的概念，函数求导法则的基础上，对函数求导方法的进一步研究，并为后面学习导数的应用打下了坚实的基础。
通过对本节课的学习，不仅增强了学员对函数性质的理解，同时也加强了学员对现实生活中客观现象的认知能力。
下面我根据自己的实际教学效果，介绍本节课的教学设计如下：一、教学目的（一）教学目标1.认知上：了解复合函数求导法则，通过对法则的学习，能够熟练求出复合函数的导数。
2.能力上：通过对复合函数求导法则的学习，培养学员分析归纳、抽象概括的能力以及联系与转化的思维方法。
3.情感上：通过对本节课的学习，激发学员学习数学的兴趣，并养成严谨的学习态度。
（二）教学重点和难点本节课的教学重点是复合函数求导法则和计算，教学难点是三层复合函数求导的计算。
（三）教学方法主要运用讲授法，并结合启发式教学法，引导学员从数学本身和军事现象入手，探讨复合函数求导数的方法。
充分贯彻“以学为主”，发挥学员的积极性。
二、教学创新通过深入挖掘教材，我突破了传统的教学模式，并没有直接给出复合函数求导法则，而是通过对“为什么学？学什么？有什么用？”这三个问题进行回答，来展开教学。
（一）为什么学？本节课，我首先从数学问题和军事问题入手，突出学习复合函数求导法则的必要性和迫切性，从而引出问题。
这么做的目的不仅考虑了数学的连贯性，并且在发挥素质教育功能的基础上，贯彻职业技术士官教改中的“为专业服务，注重应用和实践”的思想，同时回答了我们本节课“为什么要学习这个课题”。
这么设计即复合学员基础较差的实际特点，又符合学员从感性到理性，从具体到抽象的认知规律。
（二）学什么？如何计算？对于课题，我重点从法则和计算这两个方面来进行研究。
高中数学同步学案 简单复合函数的求导法则
§5 简单复合函数的求导法则学 习 目 标核 心 素 养1．了解复合函数的概念．(难点) 2．掌握复合函数的求导法则．(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点)1．通过对复合函数的求导法则的理解,提升了学生的逻辑推理的核心素养.2．通过运用复合函数求导法则进行求导的学习,培养了学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地,对于两个函数y ＝f(u)和u ＝φ(x)＝ax ＋b,给定x 的一个值,就得到了u 的值,进而确定了y 的值,这样y 可以表示成x 的函数,我们称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝φ(x)的复合函数,记作y ＝f(φ(x)),其中u 为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f(φ(x))的导数和函数y ＝f(u),u ＝φ(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数是y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4A [A 中的函数是一个多项式函数,B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4,y ＝cos u 的复合函数,C 中的函数可看作函数u ＝ln x,y ＝1u的复合函数,D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3,y ＝u 4的复合函数,故选A.]2．(ln 2x)′等于( ) A.12x B.1x C.1xln 2 D.ln 2xB [(ln 2x)′＝12x (2x)′＝1x.]3．已知f(x)＝ln(3x －1),则f′(1)＝________. 32 [f′(x)＝13x －1·(3x－1)′＝33x －1,∴f′(1)＝32.]复合函数的定义【例1】 指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y ＝(3＋5x)2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x.思路探究：分析函数的复合过程主要是设出中间变量u,分别找出y 和u 的函数关系,u 和x 的函数关系．[解] (1)y ＝(3＋5x)2是由函数y ＝u 2,u ＝3＋5x 复合而成的． (2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u,u ＝x 2－2x ＋5复合而成的． (3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u,u ＝3x 复合而成的．判断复合函数的方法判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析,里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次运算而得到的函数．1．指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y ＝ln x ；(2)y ＝esin x；(3)y ＝cos(3x ＋1)．[解] (1)y ＝ln u,u ＝x. (2)y ＝e u,u ＝sin x. (3)y ＝cos u,u ＝3x ＋1．求复合函数的导数(1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝1(2x －1)3；(3)y ＝5log 2(1－x)；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x.思路探究：先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导． [解] (1)函数y ＝e2x ＋1可看作函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数,∴y′x ＝y′u ·u x ′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1．(2)函数y ＝1(2x －1)3可看作函数y ＝u－3和u ＝2x －1的复合函数,∴y′x ＝y′u ·u x ′＝(u －3)′(2x－1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4.(3)函数y ＝5log 2(1－x)可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数, ∴y′x ＝y′u ·u′x ＝(5log 2u)′·(1－x)′ ＝－5uln 2＝5(x －1)ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数,函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y′x ＝(u 3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u 2·cos x＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(4)y ＝102x ＋3.[解] (1)原函数可看作y ＝u 4,u ＝2x －1的复合函数,则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x－1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x)－12可看作y ＝u－12,u ＝1－2x 的复合函数,则y x ′＝y u ′·u x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12u －32·(－2)＝(1－2x)－32＝1(1－2x )1－2x .(3)原函数可看作y ＝sin u, u ＝－2x ＋π3的复合函数,则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u·(－2) ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (4)原函数可看作y ＝10u,u ＝2x ＋3的复合函数, 则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(2ln 10)102x ＋3.复合函数导数的应用1．求曲线y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在x ＝π6处切线的斜率．[提示] ∵y′＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,∴切线的斜率k ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝－2． 2．求曲线y ＝f(x)＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程． [提示] ∵f′(x)＝e2x ＋1·(2x＋1)′＝2e 2x ＋1,∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2, ∴曲线y ＝e2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12, 即2x －y ＋2＝0.【例3】 已知函数f(x)＝ax 2＋2ln(2－x)(a∈R),设曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切,求实数a 的值．思路探究：求出导数f′(1),写出切线方程,由直线l 与圆C 相切,建立方程求解． [解] 因为f(1)＝a,f′(x)＝2ax ＋2x －2(x<2),所以f′(1)＝2a －2,所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切,所以圆心到直线l 的距离等于半径,即d ＝|2－a|4(a －1)2＋1＝12,解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程；若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标．总之,在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．3．曲线y ＝f(x)＝esin x在(0,1)处的切线与直线l 平行,且与l 的距离为2,求直线l 的方程．[解] 设u ＝sin x,则f′(x)＝(e sin x)′＝(e u)′(sin x)′＝cos xe sin x.f′(0)＝1．则切线方程为y －1＝x －0, 即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1．故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．判断复合函数的复合关系的一般规律是：从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系．这样一层一层分析,最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．2．求复合函数导数的几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3.( )(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝13x 2. ( ) (3)(e 2x)′＝e 2x.( ) (4)(cos 2x)′＝－sin 2x. ( ) (5)(ln 5x)′＝1x.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________.2 [令y ＝f(x),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f′(0)＝2．因为f(x)＝e ax,所以f′(x)＝(e ax)′＝(e ax)·(ax)′＝ae ax,所以f′(0)＝ae 0＝a,故a ＝2．]3．已知f(x)＝e 2x－2x,则f′(x )e x －1＝________.2(e x＋1) [f′(x)＝2e 2x－2,∴f′(x )e x －1＝2e 2x－2e x －1＝2(e x＋1)(e x－1)e x－1＝2(e x＋1)．] 4．求下列函数的导数．(1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y ＝(2x －1)3； (3)y ＝e－2x ＋1．[解] (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看做函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数, 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u)′·(x＋3)′ ＝－sin u·1＝－sin u ＝－sin(x ＋3)．(2)函数y ＝(2x －1)3可以看做函数y ＝u 3和u ＝2x －1的复合函数, 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 3)′·(2x－1)′ ＝3u 2·2＝6u 2＝6(2x －1)2．(3)函数y ＝e－2x ＋1可以看作函数y ＝e u和u ＝－2x ＋1的复合函数,由复合函数的求导法则可得y′＝y′u ·u′x ＝(e u)′·(－2x ＋1)′＝e u·(－2)＝－2e u＝－2e －2x ＋1．。
教学设计9：简单复合函数求导
简单复合函数求导教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ·ln a (a >0) f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a (a >0且a ≠1)f (x )＝ln x f ′(x )＝1x导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．默写完后，给予点评． 设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题． 提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f (x )＝ln x 的导数是什么？函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？ 学情预测：f (x )＝ln x 的导数是f ′(x )＝1x ，函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x )＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x >－23)，则y ＝ln u .从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝ln u 和函数u ＝3x ＋2(x >－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f (u )，u 与x 的关系记作u ＝g (x )，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f (u )＝f (g (x ))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x－2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．理解新知例1 指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)； (4)y ＝sin 2(1－1x)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． (2)函数y ＝e－0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝πx ＋φ的复合函数． (4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sin v 及v ＝1－1x 的复合函数．活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程． 设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2 写出由下列函数复合而成的函数． (1)y ＝ln u ，u ＝12x －3；(2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5. 解：(1)y ＝ln(12x －3)；(2)y ＝e 3x ＋5. 设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果．探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？ (二)复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′(y x′表示y对x的导数)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(板书)理解新知例3 求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(3x＋2)．解：(1)因为函数y＝(3x－2)2可以看作函数y＝u2和u＝3x－2的复合函数，所以y＝(3x －2)2对x的导数等于y＝u2对u的导数与u＝3x－2对x的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(3x－2)′＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.(2)因为函数y＝ln(3x＋2)可以看作函数y＝ln u和u＝3x＋2的复合函数，所以y x′＝y u′·u x′＝(ln u)′·(3x＋2)′＝1u·3＝33x＋2.设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习．运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y＝(2x＋3)2可以看作函数y＝u2和u＝2x＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′(2x＋3)′＝4u＝8x＋12.(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝e u和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(e u)′(－0.05x＋1)′＝－0.05e u＝－0.05e－0.05x＋1.(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看作函数y＝sin u和u＝πx＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(sin u)′(πx＋φ)′＝πcos u＝πcos(πx＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． 分解 y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导 y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)． 回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代． 例5 求下列函数的导数． (1)y ＝x －a x 2－2ax；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax ＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2.点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． (2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 2(2x )＝1－14(1－cos4x )＝34＋14cos4x .y ′＝－sin4x .解法二：y ′＝(sin 4x )′＋(cos 4x )′＝4sin 3x (sin x )′＋4cos 3x (cos x )′ ＝4sin 3x cos x ＋4cos 3x (－sin x )＝4sin x cos x (sin 2x －cos 2x ) ＝－2sin2x cos2x ＝－sin4x .点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x )3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1.【答案】(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x )2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝xx 2＋1.变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)； (4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2x sin(2x ＋5)． 【答案】(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3；(4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)． 设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算．达标检测1．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝sin 3x ＋sin 3(3x )；(3)y ＝sin(2x )2x －1；(4)y ＝log a (x 2－2)．2．求y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)的导数． 【答案】1.(1)y x ′＝10(2x ＋1)4； (2)y x ′＝3sin 2x cos x ＋9sin 2(3x )cos(3x )； (3)y x ′＝2cos2x (2x －1)－2sin2x(2x －1)2；(4)y x ′＝2x(x 2－2)ln a .2．y x ′＝4x ＋32x 2＋3x ＋1.课堂小结1．复合函数的定义．2．复合函数的求导法则，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为比较简单的函数，然后再利用复合函数的求导法则求导．3．复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代．布置作业课本习题1.2A 组第6、7题，B 组第2题．补充练习基础练习 一、选择题1．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．3 3C ．－6 3D ．63 2．函数y ＝sin 23x ＋5cos x 2的导数是( )A ．2sin3x －5sin x 2B ．2si n 6x －10x sin x 2C ．3sin6x ＋10sin x 2D ．3sin6x －10x sin x 2 二、填空题3．若函数f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝__________.4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是__________． 三、解答题5．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离． 【答案】1.B 2.D 3.1ln3 4.3x －y －11＝0 5. 5.拓展练习1．求下列函数的导数．(1)y ＝2x sin(3x ＋π6)；(2)y ＝x sin2x ＋cos3x ；(3)y ＝cos(－2x ＋π6)；(4)y ＝22x ＋1.2．求曲线y ＝sin2x 在点P (π，0)处的切线方程．3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．【答案】1.(1)y x ′＝2sin(3x ＋π6)＋6x cos(3x ＋π6)．(2)y x ′＝sin2x ＋2x cos x －3sin3x . (3)y x ′＝2sin(－2x ＋π6)．(4)y x ′＝22x ＋2ln2. 2．2x －y －2π＝0. 3．a ＝3，b ＝－11，c ＝9.设计说明本节课主要讲了两个方面的内容：一、复合函数的定义和复合函数的复合过程与分解过程；二、复合函数的求导法则与由初等函数构成的复合函数的求导方法．通过大量的例题与练习巩固这两方面的知识，使学生对这部分知识不仅要熟悉还要灵活掌握，为接下来的利用导数研究函数的性质打下坚实的基础．在方法方面，重在引导与不断地总结；在法则方面，重在加强练习．在教学过程中不断地与学生互动，使学生不断超越自我，享受成功的喜悦．。
简单复合函数的导数教学设计
简单复合函数的导数教学设计
一、教学目标
1.了解复合函数的定义;
2.熟练掌握求解简单复合函数导数的技巧;
3.在熟悉的背景下建立简单复合函数的直观印象;
4.学会分类求复合函数的导数。
二、教学方法
首先利用PPT呈现复合函数的基本定义，通过问答形式进行一定的知
识点的讲解，来协助学生对复合函数的结构逻辑的形成比较准确的认识。
之后利用课本上的题例，并发放已完成部分的学习练习，引导学生结
合实例掌握简单复合函数的导数求解技巧。
最后结合习题，让学生运用所学技巧，建立简单复合函数的直观印象，达到提升个人解题技能的目的。
三、教学过程
1. 呈现复合函数：了解基本定义和函数结构，简单讲解已有函数的求
导法与复合函数求导法的不同。
2. 学习练习：给出学习练习，向学生展示给定函数的函数表达式，引导学生根据函数表达式求求解复合函数的导数步骤。
3. 探究题：利用引导性探究题，让学生通过比较同类型函数，对复合函数形式和求导规律进行归纳，结合习题在熟练的背景里建立简单复合函数的直观印象。
4. 练习：结合习题，让学生掌握求解简单复合函数的技巧，学会分类求复合函数的导数，提升个人解题技能。
五、教学反思
复合函数的导数的求解在数学里有较多的定理和技巧，建议多利用实际案例，让同学们熟练掌握技巧，提高解题能力。
大学复合函数求导教案
课时：2课时教学目标：1. 理解复合函数的概念和性质。
2. 掌握复合函数求导的基本方法，包括链式法则和换元法。
3. 能够熟练运用复合函数求导方法解决实际问题。
教学重点：1. 复合函数求导的基本方法。
2. 链式法则和换元法的应用。
教学难点：1. 链式法则和换元法的应用。
2. 复合函数求导的步骤。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习一元函数的概念和性质。
2. 引入复合函数的概念，举例说明。
二、新授课1. 复合函数的定义：由两个函数复合而成的函数称为复合函数。
2. 复合函数的性质：复合函数具有连续性、可导性等性质。
3. 复合函数求导的基本方法：a. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u)g'(x)。
b. 换元法：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(g(x))g'(x)。
三、例题讲解1. 例1：求函数y=ln(x^2)的导数。
2. 例2：求函数y=sin(2x)的导数。
四、课堂练习1. 练习1：求函数y=ln(x^2+1)的导数。
2. 练习2：求函数y=sin(x^2)的导数。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的定义和性质。
2. 回顾复合函数求导的基本方法。
二、例题讲解1. 例3：求函数y=ln(e^x)的导数。
2. 例4：求函数y=sin(2ln(x))的导数。
三、课堂练习1. 练习3：求函数y=ln(x^2-1)的导数。
2. 练习4：求函数y=sin(2x^2)的导数。
四、总结1. 总结复合函数求导的基本方法。
2. 强调链式法则和换元法的应用。
五、布置作业1. 完成课后练习题。
2. 复习本节课所学内容。
教学反思：1. 本节课通过讲解和例题分析，使学生掌握了复合函数求导的基本方法。
2. 在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题。
3. 需要进一步加强对学生解题思路的引导，提高学生的解题能力。
大学复合函数求导公式教案
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的方法。
2. 使学生能够熟练运用复合函数求导公式，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
教学难点：1. 复合函数求导公式的推导过程。
2. 复合函数求导公式的应用。
教学准备：1. 复习导数的基本概念。
2. 复习函数的复合。
3. 准备相关例题和习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的基本概念，如导数的定义、导数的性质等。
2. 引入复合函数的概念，让学生理解复合函数的含义。
二、新课讲解1. 复合函数的概念：- 定义：由两个或两个以上的函数复合而成的函数称为复合函数。
- 举例：y = f(u)，u = g(x)，则y = f(g(x))为复合函数。
2. 复合函数求导公式：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
- 举例：求y = ln(x^2)的导数。
解：令u = x^2，则y = ln(u)，根据复合函数求导公式，有y' = (1/u) 2x = 2x/x^2 = 2/x。
三、例题讲解1. 例题1：求y = sin(2x)的导数。
解：令u = 2x，则y = sin(u)，根据复合函数求导公式，有y' = cos(u) 2 = 2cos(2x)。
2. 例题2：求y = e^(3x^2)的导数。
解：令u = 3x^2，则y = e^u，根据复合函数求导公式，有y' = e^u 6x = 6xe^(3x^2)。
四、课堂小结1. 复合函数的概念。
2. 复合函数求导公式。
第二课时一、复习1. 回顾复合函数的概念。
2. 回顾复合函数求导公式。
二、新课讲解1. 复合函数求导公式的推导过程：- 设y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
大学复合函数教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本法则。
2. 通过实例分析，使学生能够熟练运用复合函数求导法则进行计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 复合函数求导的基本法则。
2. 复合函数求导的应用。
教学难点：1. 复合函数求导法则的应用。
2. 复杂复合函数的求导。
教学内容：一、导入1. 复习一元函数求导的基本方法。
2. 介绍复合函数的概念，强调复合函数在数学中的应用。
二、新课内容1. 复合函数的定义- 给出复合函数的定义，让学生理解复合函数的概念。
- 通过实例，让学生感受复合函数在数学中的应用。
2. 复合函数求导法则- 介绍复合函数求导的链式法则。
- 通过实例，让学生掌握链式法则的应用。
- 介绍复合函数求导的乘积法则和商法则。
- 通过实例，让学生掌握乘积法则和商法则的应用。
3. 复合函数求导的应用- 通过实例，让学生学会运用复合函数求导法则解决实际问题。
- 强调复合函数求导在求解极限、求导数、研究函数性质等方面的应用。
三、课堂练习1. 给出几个复合函数的求导题目，让学生在课堂上进行练习。
2. 教师对学生的练习进行点评和指导。
四、总结1. 复习本节课所学的复合函数求导法则。
2. 强调复合函数求导在数学中的应用。
教学过程：1. 导入新课，复习一元函数求导的基本方法，引入复合函数的概念。
2. 讲解复合函数求导的基本法则，通过实例让学生掌握链式法则、乘积法则和商法则。
3. 通过课堂练习，让学生学会运用复合函数求导法则解决实际问题。
4. 总结本节课所学内容，强调复合函数求导在数学中的应用。
教学评价：1. 课后作业：布置几道复合函数求导的题目，让学生课后练习。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的练习情况，了解学生对复合函数求导法则的掌握程度。
3. 期末考试：在期末考试中，考察学生对复合函数求导法则的掌握程度。
复合函数求导教案大学生
教学对象：大学生教学目标：1. 理解复合函数的概念，掌握复合函数求导的基本方法。
2. 能够运用链式法则和乘积法则求复合函数的导数。
3. 通过实例分析，提高学生运用复合函数求导解决实际问题的能力。
教学重点：1. 复合函数的定义和链式法则。
2. 乘积法则在复合函数求导中的应用。
教学难点：1. 复合函数求导过程中，正确运用链式法则和乘积法则。
2. 复合函数求导的复杂情况分析。
教学准备：1. 教师准备PPT，包括复合函数定义、链式法则、乘积法则等知识点。
2. 学生提前预习教材，了解复合函数的基本概念。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的定义和基本求导法则。
2. 提出问题：如何求复合函数的导数？二、新课讲解1. 复合函数的定义：函数y=f(u)，其中u=g(x)称为复合函数。
2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y对x的导数为y' = f'(u) g'(x)。
3. 乘积法则：设y=f(x) g(x)，则y对x的导数为y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)。
4. 复合函数求导实例分析：- 例1：求y=cos(2x)的导数。
- 例2：求y=sin(x^2)的导数。
- 例3：求y=e^sinx的导数。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求y=ln(3x)的导数。
- 求y=tan(x^2)的导数。
- 求y=e^(1/x)的导数。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾复合函数求导的基本方法：链式法则和乘积法则。
2. 强调复合函数求导的关键在于正确运用法则。
五、作业布置1. 完成教材课后习题，巩固所学知识。
2. 分析以下问题，并尝试用所学方法求解：- 求y=cos(2sinx)的导数。
- 求y=e^(x^2)的导数。
教学反思：本节课通过讲解复合函数求导的基本方法，使学生掌握了链式法则和乘积法则在复合函数求导中的应用。
高二数学 简单复合函数的求导法则导学案
陕西省西安市田家炳中学高二数学 简单复合函数的求导法则导学案
【学习目标】
1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则；
2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。
【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。
【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；
3、带※ 为选做题;
【自主探究】 1.复合函数
对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量.
2.复合函数的导数
如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y
【合作探究】
1、 求下列函数的导数
（1
（3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y
（5
【巩固提高】
1.
（2
课堂小结
、首先要弄清楚复合关系，特别要注意中间变量；
2、尽可能的将函数化简，然后再求导；
、要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用；
4、复合函数的求导法则通常称为链条法则，它像链条一样必须一环一环套下去，而不能丢到其中。
丹阳市高中数学第一章导数及其应用第6课时复合函数的导数教案苏教版
简单复合函数的导数【教学目标】理解并掌握)(b ax f y +=型复合函数的求导法则．【教学重点、难点】正确分解复合函数的复合过程【教学过程】一、问题情境：观察函数2)13()(-=x x f 和x x f 2sin )(=，怎样求导数？二、知识要点：1. 复合函数：一般地，两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过u ，y 可以表示成x 的函数(())y f g x =，则称(())y f g x =为复合函数，u 叫做中间变量.2．复合函数()f ax b +的导数[()]f ax b '+：一般地，若()y f u =，u ax b =+，()f u ，()u x 均可导，则：a y u y y u x u x ⋅=⋅=''''. （'x y 和'u y 分别表示y 关于x 的导数及y 关于u 的导数）推广： ()y f u =，()u u t =，()t g w =，()w w x =，则'''''x w t u x w t u f y ⋅⋅=.三、例题分析：例1、求下列函数的导数：（1）3)32(-=x y ； (2) )15ln(+=x y ； (3)131y x =-；(4) )21cos(x y -=； （5）2x y e =.例2、求下列函数的导数：（1）x x x f ---=1332)(； （2）)62cos(3sin )(π-+=x x x f .例3、求下列函数在0x x =处的导数：（1）1),3(log 02=-=x x y x ； （2）25),42ln()2(0=--=x x x y .例4、求与曲线4)62sin(ππ=+=x x y 在处的切线平行，并且在y 轴上的截距为3的直线方程.四、课堂小结：1、理解复合函数的概念；2、会求简单复合函数的导数.五、课内练习1、（1）函数x u u y 23cos -==π与的复合函数是（2）函数x e u u y 2ln -==与的复合函数是2、已知函数='-==21134|)32(x y x y ，则 3、若函数=-'+=)31()6sin()(f x x f ，则ππ 4、函数)1(log 2x y -=的导函数为5、已知函数='==+-232|2x x y y ，则6、若2131==-x y ax 在处的导数为3ln 2-，则a = 7、函数21)()21(=∈+=x N n x y n ，在处的导数为 8、设一质点的运动方程为)32cos(31ππ+=-t e s t （s 单位：m ，t 单位：s ），则质点在s t 31=时的速度为9、曲线C ：)03)(,(cos 3sin 000<<-+=x y x P x x y π在点处的切线的斜率为3，求C 在点P 处的切线方程.10、已知函数()(2)()()(0)f x x x a x b a b =+--+>，且(0)0,(4)0f f ''=≥，求()f x 的解析式.。
教学设计7：简单复合函数求导
简单复合函数求导教学目标：㈠知识目标：复合函数的求导法则．㈡能力目标：掌握复合函数的求导法则，并能进行简单的运用． 教学重点：复合函数的求导法则的应用．教学难点：复合函数的求导法则的应用．教学方法：讲授法．教具准备：多媒体投影．教学过程：Ⅰ.新课引入[师]上节课我们学习了复合函数的概念以及复合函数的求导法则，请同学们回忆一下，怎样的函数叫做复合函数呢？复合函数一般是什么形式呢？[生]由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．[师]复合函数的求导法则是怎样的？[生] 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．即 x u x u y y '''⋅=．[师]复合函数求导的基本步骤是怎样的？[生]复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．．[师]对于复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导．本节课我们将在应用的过程中进一步熟练的掌握复合函数的求导法则． Ⅱ.新课讲授例1求下列函数的导数： ⑴4)31(1x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)63cos(π-=x y ； ⑷21x y +=． 解：⑴4)31(1x y -=4)31(--=x ． 设4-=u y ，x u 31-=，则x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=-)3(45-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5)31(12x -=． 说明：①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；本题如果选成1-=u y ，v u -=1，x v 3=就复杂了．②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．如此例的解题过程可以直接写成)3()31(4]')31[('54-⋅--=-=--x x y 5)31(12--=x 5)31(12x -=． ⑵⑶⑷由学生板演完成，答案：⑵2cos 2x x ；⑶)63sin(3π--x ；⑷21xx +． 例2求51xx y -=的导数． 解：511⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ， '541151'⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y 254)1()1(1151x x x x x ----⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-254)1(1151x x x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- 5654)1(51---=x x ． 例3求证：1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C ，其中N n ∈*． 说明：这个等式我们在学习有关二项式定理等知识时，用倒序求和等方法给出过证明，这里我们利用求导数、赋值的方法证明这个等式．证明：由二项式定理知=+n x )1(n n n n n n nx C x C x C x C C +++++ 332210， 两边同时对x 求导，得13211320)1(--+++++=+n n n n n nn x nC C x C C x n ． 令1=x 得12-⋅n n n n n n n nC C C C ++++= 32132．说明：n x )1(+是作为复合函数对求导的．Ⅲ.课堂练习：课本P 123 练习；Ⅳ.课时小结：对于复合函数的求导，要理解法则，掌握步骤，灵活应用．Ⅴ.课后作业：⒈⑷⒉⒊⑴板书设计：教学后记：。
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§1.2.2 复合函数求导法则
一、复习回顾
1、基本初等函数的导数公式
1、若c x f =)((c 为常数)，则=')(x f
2、若)()(Q x x f ∈=αα，则=')(x f
3、若x x f sin )(=，则=')(x f
4、若x x f cos )(=，则=')(x f
5、若x a x f =)(，则=')(x f
6、若x e x f =)(，则=')(x f
7、若x x f a log )(=，则=')(x f
8、若x x f ln )(=，则=')(x f
2、导数的运算法则
(1)[]='±)()(x g x f (2) []=')()(x g x f
(3) ='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡)()(x g x f 0≠)(x g 例：求下列函数的导数.
(1)()1;1
x f x x -=
+ (2)()tan ;f x x = (3);x y x e =⋅
二、新知探索
如何求函数213)(-=x y 的导函数？
1．一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作
2.复合函数求导
▲复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为 ''='x u x u y y
例：1.()2
13-=x y ①将复合函数分解为基本初等函数⎩
⎨⎧-==132
x u u y ()()'''
2''' 31
u u x x y u y y u u x u u x ===-=②将对的导数记为，将对的导数记为，''
' u x y y u =⋅=③
2.sin 2y x =
①将复合函数分解为基本初等函数⎩⎨⎧==x
u u y 2sin '
''
'
u u x x y u y y u x u u ==②将对的导数记为，将对的导数记为，
三、典例精析
例1 求下列函数的导数.
(1)()323y x =- (2)()ln 51y x =+
(3)131
y x =
- (4)()cos 12y x =-
四、【当堂检测】
1.求下列函数的导数.
(1)()223y x =+ (2)()313y x =- (3)12x y e -= (4)1ln y x
=
(5)23x y x =+ (6)22log y x x =+ (7)ln y x x =⋅
2.（09宁夏卷）求曲线21x y xe x =++在x=0处的切线方程.
【配餐练习】
1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( )
A ．3x 2cos x ＋x 3sin x
B ．3x 2cos x －x 3sin x
C ．3x 2cos x
D ．－x 3sin x
2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )
A.193
B.163
C.133
D.103
3．下列求导运算正确的是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x ·log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x
4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝3x －4
B ．y ＝－3x ＋2
C ．y ＝－4x ＋3
D ．y ＝4x －5
5．(2011年高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4
，0)处的切线的斜率为( )
A ．－12 B.12 C ．－22 D.22
6．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0
7．若函数f (x )＝12
f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2
8．曲线y ＝x ln x 在x ＝1处的切线方程为________．
9．若函数f (x )＝e x
x
在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c 的值为________．
10．求下列函数的导数：
(1)f (x )＝ln(8x )； (2)y ＝x 1＋x
(3)y ＝3x 2＋x cos x (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．
11．设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e
.求a ，b 的值．
12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.求f (x )的解析式．。