新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第十二讲 方程与函数

第十二讲 方程与函数
方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．
方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答． 【例题求解】
【例1】 若关于的方程mx x =-1有解，则实数m 的取值范围 ．
思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数x y -=1，mx y =函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m 的取值范围．
【例2】设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1x <1<2x ，那么a 取值范围是( ) A ．5272<<-
a B ．5
2>a C ．72
-<a D ．0112<<-a
思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函
数与x 轴的交点满足1x <1<2x 的a 的值，注意判别式的隐含制约．
【例3】 已知抛物线0)21(22=+-+=a x a x y (0≠a )与x 轴交于两点A(1x ，0)，B(2x ，0)( 1x ≠2x )．
(1)求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧； (2)若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB ＝OC 一2，求a 的值．
思路点拨 1x 、2x 是方程0)21(22=+-+a x a x 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．
【例4】 抛物线)1(2)4
5
(2212+++-=
m x m x y 与y 轴的正半轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，并且点B 在A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的3倍．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由．
思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m 的等式，求出m 的值；对于(2)依m 的值分类讨论．
【例5】 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M(，0y )位于x 轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(，0)，且1x <2x ，求证：1x <0x <2x ．
思路点拨 对于(1)，即要证042>-q p ；对于(2)，即要证0))((2010<--x x x x ．
注：(1)抛物线与x 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．
(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组． (3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于A （1x ，0），B(，0)两点，顶点为C ．
①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△=442=-ac b ． ②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△=1242=-ac b
学历训练
1．已知关于x 的函数1)1(2)6(2++-++=m x m x m y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 ．
2．已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且1722=+βα，则=k ．
3．已知二次函数y=kx 2
+(2k －1)x —1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结
论：①当x=－2时，y=l ；②当x>x 2，时，y>O ；③方程kx 2
+l(2k －1)x —l=O 有两个不相等
的实数根x 1、x 2；④x 1<－l ，x 2>－l ；⑤x 2－x 1=k
k 2
41+，其中所有正确的结论是 (只
需填写序号) ．
4．设函数)5(4)1(2+-+-=k x k x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k ＝( )．
A ．8
B ．一4
C ．1l
D ．一4或11
5．已知：二次函数y ＝x 2
+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2
b ，4
b -4
c 2
)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2
－4c －1=0
C ．b 2－4c+4=0
D ．b 2
－4c －4=0
6．已知方程1+=ax x 有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是( )
A ．a >-1
B ．a ＝1
C ．a ≥1
D ．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的
左侧，如图，二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ． （1）a 、c 的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b=－4，A B=43，求a 、c 的值．
8．已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为2
1
，与x 轴分别交于B(x 1,0)、C(x 2，0)两点(其中且1x <2x )，且132221=+x x ． (1)求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；
(2)设此抛物线与y 轴交于D 点，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的3
2
倍，求点M 的坐标． 9．已知抛物线m mx x y 22
3
212--=
交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0），交y 轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO OB AO .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
10．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于7
3
，则= .
11．函数732+-=x x y 的图象与函数63322+-+-=x x x x y 的图象的交点个数是 ．
12．已知a 、b 为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为 ．
13．是否存在这样的实数k ，使得二次方程0)23()12(2=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由． 14．设抛物线4
5
2)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点． (1)求a 的值； (2)求61832-+a a 的值．
15．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程0)4)(1(2)67(2=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．
16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O ，顶点坐标为(1，一2)，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OB OA OC ⋅=2． (1)求二次函数的解析式；
(2)求△ABC 的面积．
17．设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点A （1x ，0）、B
（2x ，0）．
(1)求证：032221>++p x px ；
(2)若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求P 的最大值．
参考答案。