大连市第十三届大学生数学竞赛(文科)试题
大连市数学竞赛试题17-21届
学 校姓 名大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A ）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1． 已知tan 2x y =，则dy =tan 22ln 2sec x xdx2．2202x x dx -=⎰2π 3． 21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，则22d y d x =3sin cos __________4t t t t - 4． 设111()24x xef x e+=+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点5． 函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，则()y y x =的驻点为____(1,1)______6． 幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处条件收敛，则此级数的收敛半径为_____2_____7． 已知22:14y L x +=，逆时针方向，则224Lxdy ydxx y -=+⎰_____4_____π 8． 曲线2x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22-9． 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线只有_____2_____条10．22203()xxdx f x y dy +⎰⎰化为极坐标系下的先对ρ后对θ的二次积分为2sec 304()d f d πθπθρρρ-⎰⎰考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1 页阅卷人得 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数二、（本题8分）已知301()sin 21lim21x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.解：因为301()sin 21lim21xx f x x e →+-=-， 又 30lim(1)0x x e →-=，所以0lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分从而3001()sin 21()sin 22limlim 123x x x f x x f x xe x→→+-==-⨯，…………………………4分 又0sin 2lim12x xx→=，所以0lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。
2014年大连市第二十三届大学生数学竞赛获奖名单
报名费奖励 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是
一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等 一等
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
姓名 孙振兴 郭芳州 张明昊 杜海越 姚永胜 王琦 王冉 郑孟添 徐伍 毛财胜 鲁泽 朱旻晖 温睿 梁学 刘鹏 曲炳钢 田茂江 董兆晨 项顶顶 陈子谦 宋宇岑 贾英琦 曹雪健 客博伟 祁鑫鑫 刘佳宁 陈禹廷 王家钰 李义 隋心 提博洋 王苏韬 田宇新 王恩泽 曹孙林 邹家树 赵雨浓 屈坤 蔡刘壮 陈建辉 陈鑫东 陈红磊 陆雨萌 王睿 杨长 顾正豪
大连市高等数学竞赛试题B答案完整版
大连市高等数学竞赛试题B答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分）1. n ⎭⎝∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x xx→-= 1/2 . 3. 0lim x x x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5.若221lim 2,2x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解 当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分） 当0=x 时，由于),0(01sin lim )(lim 300f xx x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。
（10分）解：0,1,1x x x ===-为间断点。
（3分） 当0x =时，由于00lim ()lim 1,1||x x x f x x x ++→→==+而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。
（5分） 当1x =时，由于11lim ()lim 1,1||x x x f x x x →→==+所以1x =是可去间断点。
（7分） 当1x =-时， 而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。
（8分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页第 1页曲线)0(316>=x x y 上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小？ 3在),(y x 处的法线方程为 )(x X k y Y -=-，因为52x y ='，所以521x k -=，法线方程为 )(215x X x y Y --=-，（4分）整理后为 64545312121212x x X x x x X y Y ++-=+-=，法线在y 轴上的截距为 643121x x b +=。
大连市第3-6届高等数学竞赛试题
大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。
3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且证明：4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。
5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。
7.（10分）试求的和函数，并计算8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜求证：| a1+a2+…+a n|≤１10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。
大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。
2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。
3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。
4、设f(x)= 定义A(x)=令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。
6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。
7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，试证：｜｜≤在［０，１］上成立。
辽宁省大连市2013届高三双基测试数学(文)试题扫描版含答案
2013年大连市高三双基测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.A ；2.B ；3.C ；4.B ；5.A ；6.B ；7.D ；8.C ；9.B ；10.C ；11.A ；12.D.二、填空题13．π24；14．242.8；15．2214x y -=；16．n 3. 三.解答题17.解：（Ⅰ）依题意得22sin A sin B -2Asin C sin C -， ··············································· 2分由正弦定理得：222a b c -=-． ········································································ 4分∴222a c b +-=．由余弦定理知：222cos 22a c b B ac +-==，∴4B π=. ·············································· 6分（Ⅱ）∵3sin 5A =,∴sin 2A <,∴A B <. ······························································ 8分 又4B π=,∴4A π<,∴4cos 5A =， ·············································································· 10分∴333cos cos()cos cos sin sin 44410C A A A πππ=-=+=-. ······························· 12分 18．解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n ，由2n＝0.04，得n ＝50． ···· 2分 ∴250.550x ==，503625214y =----=，140.2850y z n ===． ···················· 4分 （Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为,,a b c ，在（5.1，5.4]的2人为,d e ． 由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},c d ，{},c e ，{},d e ，共10种． ··································· 7分 设事件A 表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的可能的结果有：{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},d e ，共4种． ··································································· 9分 ∴42()105P A ==．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25． ······················ 12分 19．解:(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， 090ACB ∠=，∴090DAC ∠=.∵PA ⊥平面ABCD ,DA ABCD ⊂平面,∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC . ······································································································· 6分 (Ⅱ)设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，则GH 平行且等于12AD . ································································································ 8分 连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，∴GC ∥FH ，∵FH ⊂平面PAE ，CG ⊄平面PAE ，∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE . ··································· 10分 设S 为AD 的中点，连结GS ，则GS 平行且等于1122PA =， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴GS ⊥平面ABCD ， ∴11312A CDG G ACD ACD V V S GS --===V . ········································································ 12分 20.解：（Ⅰ）函数2ln )(ax x x f -=的定义域为),0(+∞， xax ax x x f 1221)(2+-=-='， ··················································································· 1分∴①当0≤a 时，0)(>'x f ，所以函数2ln )(ax x x f -=的增区间为),0(+∞， ········ 3分②当0>a 时，若0)(>'x f 有,220a a x <<若0)(<'x f 有,22aa x > 所以函数2ln )(ax x x f -=的减区间为),22(+∞a a ，增区间为)22,0(aa ， 由①②得当0≤a 时，函数)(x f 的增区间为),0(+∞，当0>a 时，函数)(x f 的减区间为),22(+∞a a ，增区间为)22,0(aa ． ··············································································· 6分 证明（Ⅱ）当81=a 时，x x x f 44)(2+-='， ∴)2,0(∈x 时函数)(x f 是增函数，),2(+∞∈x 时函数)(x f 是减函数， ····················· 8分∴函数)(x f 的最大值为212ln )2(-=f ，81)1(-=f ， 在),2(+∞取4e x =， 计算得8842()4428(1)88e f e f =-<-=-<， ··························································· 10分 （也可以选取其它有效值）．∴)2()1()(4f f e f <<， )2,0(∈x 时函数)(x f 是增函数，),2(+∞∈x 时函数)(x f 是减函数，∴存在),2(40e x ∈，使)1()(0f x f =，∴存在),2(0+∞∈x ，使)1()(0f x f =． ········································································ 12分 21.解（Ⅰ）设),(11y x A ，由对称性可得),(11y x B --将),(11y x A 带入椭圆可得2211221x y a b+=， 直线PA 和PB 斜率乘积221222111222221111(1)x b y y y b a x a x a x a x a a --⨯===------． ·············· 2分 由直线PA 和PB 斜率乘积为21-，所以2122=a b ，所以2122=a c ， 所以椭圆M 离心率为22． ······························································································ 5分 （Ⅱ）椭圆方程可化为2222a y x =+，联立⎩⎨⎧==+kx y a y x 2222，可得22221k a x +=，222221k a k y +=， ····································· 7分 设O 为坐标原点，则2222211k k a OA ++=)(||，同理可得22222111kk a OC ++=)(||． 所以22222221(1)(1)||2121a a k k AC k k ++=+++ 4222242223633412523212k k a a a k k k k ++=⨯=⨯≥+++++． ·················································· 10分当且仅当1±=k 时取等号，所以38342=a ， 即22=a ，所以椭圆M 的方程为2212x y +=． ···························································· 12分 (另解：所以22222221(1)(1)||2121a a k k AC k k ++=+++ 2222222222223(1)3(1)4212(21)(2)3()2k k a a a k k k k ++=⨯≥⨯≥+++++） 22．解: (Ⅰ) 连结OC ，因为,OA OB CA CB ==,则OC AB ⊥． ································· 2分所以直线AB 是⊙O 的切线． ······················································································ 4分 (Ⅱ)因为AB 是⊙O 的切线，所以BCD E ∠=∠,又B B ∠=∠,所以△BCD ∽△BCE ,所以BC BE CE BD BC CD ==, 所以2()BE EC BD CD=, ············································································································· 8 因为1tan 2CED ∠=,所以4BE BD=,因为⊙O 的半径为3, 所以2BD =,所以5OA =． ···················································································· 10分23．解：（Ⅰ）射线l 的直角坐标方程：(0)y x x =≥，则射线l 的参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==为参数t t t y t x ,0(,22,22） ····················································· 2分曲线C 的直角坐标系方程：2)2(-=x y . ········································································ 4分（Ⅱ）联立⎩⎨⎧-==,)2(,2x y x y 得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====,4,4,1,1y x y x 和， ∴),4,4(),1,1(B A ····················································································································· 6分∴线段AB 的中点直角坐标为),25,25( ∴线段AB 的中点极坐标为)4,225(π. ················································································· 10分24．解：∵]3,21[∈t ，∴54,25|1||25|36,124,1t t t t t t t t ⎧-+≥⎪⎪⎪---=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩， ·········································· 4分 可得其最大值为32． ··········································································································· 6分 解不等式3|1||2|2x x -+-≤，当2x ≥可得924x ≤≤，当12x <<可得恒成立， 当1x <可得314x ≤<，综上可得解集为39[,]44． ························································· 10分。
大连市数学竞赛试题17-21届
学 校姓 名大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A ）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1． 已知tan 2x y =，则dy =tan 22ln 2sec x xdx2．2202x x dx -=⎰2π 3． 21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，则22d y d x =3sin cos __________4t t t t - 4． 设111()24x xef x e+=+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点5． 函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，则()y y x =的驻点为____(1,1)______6． 幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处条件收敛，则此级数的收敛半径为_____2_____7． 已知22:14y L x +=，逆时针方向，则224Lxdy ydxx y -=+⎰_____4_____π 8． 曲线2x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22-9． 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线只有_____2_____条10．22203()xxdx f x y dy +⎰⎰化为极坐标系下的先对ρ后对θ的二次积分为2sec 304()d f d πθπθρρρ-⎰⎰考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1 页阅卷人得 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数二、（本题8分）已知301()sin 21lim21x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.解：因为301()sin 21lim21xx f x x e →+-=-， 又 30lim(1)0x x e →-=，所以0lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分从而3001()sin 21()sin 22limlim 123x x x f x x f x xe x→→+-==-⨯，…………………………4分 又0sin 2lim12x xx→=，所以0lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。
辽宁省大连市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题(word版,详解)
辽宁省大连市2013届高三第一次模拟考试数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．球的表面积公式：24S R π=，其中S 表示球的表面积，R 表示球的半径．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B = ，则y 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e2．设复数11iz i-=+，则z 为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 计算sin 47cos17cos 47cos73︒︒-︒︒的结果等于（ ）A.21B. 33C.22D.234. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（ ）A .4B .6C .7D .12 5. 已知a b 、均为单位向量，且a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π6. 若曲线22(1)(2)4x y -+-=上相异两点P Q 、关于直线20kx y --=对称，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）A. 4B. 8C. 16D. 208. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为 （ ）A ．2,6πωπϕ==B ．,6πωπϕ==C ．,3πωπϕ==D ．2,3πωπϕ==9．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ）A ．—1B ．1C ．—2D ．210．下列说法正确的是（ ） A ．(0,)x π∀∈，均有sin cos x x >B ．命题“R x ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<” C ．“0a =”是“函数32()f x x ax x =++为奇函数”的充要条件D ．R x ∃∈，使得5sin cos 3x x +=成立 11．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或612．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围是（ ） A ．4[,3]5 B ．4(0,][3,)5+∞ C ．4[,5]5 D ．4(0,][5,)5+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）13.已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin2:3:4A B C =，则cos C 的值为 ．14. 已知双曲线C ：22221y x a b-=(0,0)a b >>，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．15．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===．则这个球的表面积为 ．16．已知函数()y f x =的定义域为R ，且具有以下性质：①()()0f x f x --=；②(2)(2)f x f x +=-；③)(x f y =在区间[0，2]上为增函数，则对于下述命题：（Ⅰ）)(x f y =的图象关于原点对称 ； （Ⅱ）)(x f y =为周期函数，且4是一个周期；（Ⅲ）)(x f y =在区间[2，4]上为减函数．所有正确命题的序号为 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分). 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n n n n a a a a ++-= ． （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[]21,7,22.3（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列22⨯列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？/cm/cm()21122122121+2++1+2-=n n n n n n n n n χ，（Ⅱ）若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，求出上述甲工艺所抽取的100件产品的单件利润的平均数.19．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2D 为11AC 中点． （Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）三棱锥1B AB D -的体积．20. （本小题满分12分）设离心率12e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x轴正半轴上一点，以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线30x +=相切，过点P 直线椭圆M 相交于相异两点A 、C ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求Q 点坐标．D21.（本小题满分12分）已知R m ∈，函数2()2x f x mx e =-．（Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求m 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的 AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠；（Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长. 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上．(Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知512)(-+-=ax x x f (a 是常数，a ∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．2013年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．A ；2．D ；3. A ；4. B ；5.B ；6. D ；7．C ；8. C ；9. A ；10．C ；11．B ；12． A ． 二.填空题 13.14-； 14.15．3π；16．（Ⅱ），（Ⅲ）． 三.解答题17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-= ，∴1110n n n nn n a a a a a a ++++-= ，∴1111n na a +-=，··························· 3分 111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． ········ 4分 11(1)1nn n a =+-⨯=，1n a n =． ··················· 6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知2=2nn nn a ．12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯ ． ······································································· ① 23+12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯ ． ·································································· ② ······················································································································· 9分 由①-②得121=2+2++22nn n S n +--⨯ ．∴1=(1)22n n S n +-+． ················································································12分法二：令212n n n b n c c +==- ，令()2n n c An B =+ ， ∴11()2()22n n n n n n b c c An A B An B n ++=-=++-+= ．∴12A B ==-，． ······················································································ 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c +++++=-+-++-=-1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+ ． ············································12分 18······································ 3分841.302.290110100100)50604050(20022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ， ···················································· 6分所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品有关． ···································· 8分 （Ⅱ）甲工艺抽取的100件产品中，一等品有50件，二等品有30件，三等品有20件， ··································· 10分 所以这100件产品单件利润的平均数为24)152020303050(1001=⨯+⨯+⨯. ················· 12分 19．解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ， DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ,∴1BC ∥平面1AB D ． ···························································································· 6分 （Ⅱ）过点D 作11DH A B ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -，∴1111AA A B C ⊥平面，1AA DH ⊥，1111AA A B A = ，∴DH ⊥平面11ABB A ．DH 为三棱锥1D ABB -的高 ·········································· 8分 1112ABB S AB BB ∆== 1112MH A B ==， ················································ 10分1tan3DH A D π==∵1113B AB D D ABB V V --=== ····························································· 12分 20.解：（Ⅰ）设以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ，∴1||NF a =，∵12e =，∴2a c =， ∴13NF P π∠=， 1||2F P a =． ······················································································ 3分 ∴2(,0)F c 是以1PF 为直径的圆的圆心，∵该圆和直线30x +=相切，∴2c =1,2,c a b ===，∴椭圆M 的方程为：22143x y +=．··············································································· 5分 （Ⅱ）法一：设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组22143(3).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 化简整理得2222(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得235k <． 则22121222243612,4343k k x x x x k k -+==++．·············································································· 8分 直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则22221221121221212272247223()44343==2463643k k y x y x x x x x k k x k y y x x k --+-+++==++--+∴Q 点坐标为4(,0)3． ··································································································· 12分法二：设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -， 设直线方程为3x my =+．由2231.43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)18150m y my +++=， 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得253m >． 12212218,3415.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩···································································································· 8分直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则212211212122152(3)(3)24343=3+=18334m y my y my my y m x m y y y y m ++++==+++-+ ． ∴Q 点坐标为4(,0)3． ··································································································· 12分21. 解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-．令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， ·················································································· 2分 当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤．∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． ············ 4分 （Ⅱ）①若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴xe m x=有两不等实根． ·································· 6分令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x -'=当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 要使xe m x=有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞．（注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增）． ································· 12分解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根．∵()2()x h x m e '=-，当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根∴m 的取值范围是(,)e +∞． ························ 8分22．解：（Ⅰ）证明 ,AC BDABC BCD =∴∠=∠ ． ···················································· 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． ····························· 5分 （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠， 由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ ····················································································· 7分∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB=，∴BC =3． ················································ 10分 23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(22=-+y x ，曲线2C 的一般方程为4)2(22=+-y x ． ································································· 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =，)0,2(到该直线距离为2，所以公共弦长为2222222=-． ························ 5分（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． ······································································· 7分 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得554=ρ， θ不妨取锐角55arcsin， 所以)55arcsin ,558(P ．························································································ 10分 24．解：（Ⅰ）136(),2()14().2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩∴0)(≥x f 的解为{}42-≤≥x x x 或 ． ·················· 5分（Ⅱ）由0)(=x f 得,=-12x 5+-ax ． ················· 7分第 11 页 共 11 页 令12-=x y ,5+-=ax y ,作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． ················· 10分。
大学生学科竞赛
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赛期四天。
2、大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。
每队可设一名指导教师（或教师组），教育部高等教育司、中国工业与应用数学学会每年9月下旬从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论。
2013数学联赛辽宁赛区预赛试题详细解答
64 2 y y 16 ， 17
2
设z x
15 64 2 26 y ，所以 17 z 2 y 16 。 4 x 2 y 4 z y 。由柯西不等式： 17 17 17
2 2
64 2 16 169 64 2 169 26 2 2 16 y y y ，即 17 z 17 z 4z 17 17 272 17 17 272 17 25 26 26 16 4z y 5 4 z y 5 。因此 16 17 17 3 27 16 x 2 4 y 2 16 xy 12 x 6 y 9 5 7 。选择 A 2 4
2
f
14. 已知数列 an 满足 a1 3 ， an 1 an nan ， n N , R 。 （1）若 an 2n 恒成立，求 的取值范围； （2）若 2 ，求证：
解答：设与 x, y 轴都垂直且过原点的直线为 z 轴，则设折起之后， P x, y ,0 ， Q x,0, y 。 所以 PQ
4 x 2 2 y 2 2 4 x 2 2 y 2 4 2 xy 4 2 2 2 4 ，选择 D 1 3 a b c abc i ，若 ，则 的值为（） 2 2 b c a a bc
b
xy 1 。 1 xy 1 xy 1
x y xy
1 1 1 1 4 1 4 1 2 1 xy 4 。因此 z 1 ，答案为 3 x y x y xy 1 3
。
8. 长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AB AA1 4 ， AD 3 ，则异面直线 A1 D 与 B1 D1 的距离为 解答：以 D1 为原点， D1C1 为 x 轴， D1 A1 为 y 轴， D1 D 为 z 轴建立空间坐标系。
2021年第十三届全国大学生数学竞赛非数学类初赛参考答案
xn
.
【解】
记 a = 1011， yn = 1+ xn ，函数
f (x) = x + a 2x
(x 0) ，则 y1 = 2a ，且
yn+1 = f ( yn ) (n 1) .
------------ 5 分
2
2021 年初赛试题及参考解答
易知，当 x 2a 时， x f (x) 2a ，所以{yn} 是单调减少且有下界的数列，
n→
n
2
Bn
=
(b − a)2 f (b) −
24
f (a).
------------ 4 分
六、(14 分) 设{an} 与{bn}均为正实数列，满足： a1 = b1 = 1 ，且 bn = anbn−1 − 2 ，
n = 2,3,
.又设 {bn }
为有界数列，证明级数
n =1
1 a1a2
cos = x, cos = y, cos = z ，因此
------------ 2 分
( ) f (x, y, z)dS = 1
4
xf
x
(
x,
y,
z)
+
yf
y
(
x,
y,
z)
+
zf
z
(
x,
y,
z)
dS
= 1 4
cos
f
x
(
x,
y,
z)
+
cos
f
y
(
x,
y,
z)
+ cos
f
z
(
x,
y,
z)
大连数学竞赛试题及答案
大连数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 无法确定3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个数是质数？A. 15B. 29C. 36D. 495. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中2/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 16B. 20C. 24D. 327. 一个数的1/3加上它的1/4等于30，那么这个数是多少？A. 40B. 60C. 80D. 1208. 一个正方形的对角线长度是10cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 50B. 75C. 100D. 2009. 下列哪个分数是最接近1/2的？A. 1/3B. 3/4C. 2/5D. 4/710. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是多少厘米？B. 14C. 28D. 无法确定二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的3倍加上5等于35，这个数是________。
12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是________元。
13. 一个长方形的长是15cm，宽是长的2/3，那么它的宽是________cm。
14. 一个数的1/2与它的1/3的和是10，这个数是________。
15. 一个数除以4的商是12，余数是3，那么这个数是________。
16. 一个数的3/4加上它的1/4等于21，这个数是________。
17. 一个班级有45名学生，其中3/5是女生，那么这个班级有________名男生。
18. 一个数的75%是150，这个数的25%是________。
19. 一个正方形的周长是32cm，那么它的边长是________cm。
2020年辽宁省大连市北京师范大学附属中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2020年辽宁省大连市北京师范大学附属中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下面表述恰当的是( )A．回归直线必过样本中心点B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么此人有99%的可能患有肺病D．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽取一件产品作检验，这种抽样为简单随机抽样参考答案：A2. 已知数列{a n}的首项为a1=1，且满足a n+1=a n+，则此数列的第4项是（）A．1 B．C．D．参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用递推关系即可得出．【解答】解：∵a1=1，且满足a n+1=a n+，则=1，同理可得：a3=，a4=．故选：B．3. 设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有两个极值点x1，x2，若点P（x1，f（x1））为坐标原点，点Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上运动时，则函数f（x）图象的切线斜率的最大值为（）A．3+B．2+C．2+D．3+参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判断出a＜0，b＞0，得到k max=，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出k的最大值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若点P（x1，f（x1））为坐标原点，则f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣，∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上，∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0，∴k max=﹣=，而表示⊙C上的点Q与原点连线的斜率，由，得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0，得：△=0，解得：k=，∴的最大值是2+，∴k max=3+，故选：D．4. 已知函数，则函数的图象可能是（）参考答案：B5. 若，则tan2α=（）A．B．C．D．参考答案：考点：两角和与差的正切函数；二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由题意和两角和与差的正切函数可的tanα，再由二倍角的正切公式可得tan2α解答：解：∵，∴tanα=tan[﹣（﹣α）]==，∴tan2α==故选：C点评：本题考查两角和与差的正切函数，涉及二倍角的正切公式，属基础题．6. 分别是的中线，若，且与的夹角为，则=（）（A） ( B ) (C)(D)参考答案：C由解得.7. 已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m=±2B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2参考答案：B【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m=2．故选B．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查方程思想，比较基础．8. 已知i是虚数单位，则复数所对应的点是（）A．（2，2） B．（-2，2） C．（-2，-2） D．（2，-2）参考答案：C略9. 已知，则 ( )A. B. C.D.参考答案：B略10. 已知命题p：在△ABC中，若AB＜BC，则sinC＜sinA；命题q：已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件．在命题p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q 中，真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】首先分别分析两个命题的真假，然后根据复合命题真假的判断选择．【解答】解：命题p：在△ABC中，若AB＜BC，则sinC＜sinA；根据正弦定理得到命题p 是真命题；命题q：已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件；由a＞1?；推不出a＞1，因为a可能小于0；故命题q是假命题；所以命题p∧q是假命题，p∨q是真命题，（￢p）∨q是假命题，（￢p）∧q是假命题，故在命题p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q中，真命题个数为1个；故选：A．【点评】本题考查了复合命题真假的判断；首先要正确判断两个命题的真假；然后根据复合命题真假的判定方法解答．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x,y满足约束条件且的最小值为-6，则常数= .参考答案：12. 设为等差数列的前项和，，则______.参考答案：-613. (14)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，f’(x)为的导函数，则f(1) +f (4)= 。
第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析
BB第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析（提高班）1.已知数列{}n a 满足()31221211,,2,,kk k nn n a e a e eaa an n Z k R -++-++===≥∈∈，求20171i i a =∏解：对12211kk k n n n ea a a -++-=两边同时取对数得()()()()111112ln ln 2ln 1ln 21ln 21ln n n n n n n k k a a k a a k a k a +----++=+⇒+=++-+ 设()()111ln 222n n n n n b a b k b kb n +-=+⇒=+-≥()()11222n n n n b b k b b n +-⇒-=-≥又211121ln 1ln 2,1ln 2nn n n b a e b a a e-=+=+==+=⇒=记()20172017201820191121is i i i S a e e -===-⇒==∑∏2.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF =， 证明：AE AF BE CF EDF BAC +=+⇔∠=∠证明：如图，取,AB AC 的中点,M N ， 延长DM 至点P ，使得MP MA = 联结,,EP MN DN一方面，若AE AF BE CF EM FN +=+⇒= 则由,PME MAN DNF MP MA DN ∠=∠=∠== 所以：PME DNF ∆∆≌所以：,PE DF DE NDF MPE PDE ==∠=∠=∠ 所以：EDF MND BAC ∠=∠=∠又因为：若EDF BAC MDE NDF ∠=∠⇒∠=∠ 由正弦定理得sin sin sin sin EM DE DF FNMDE DME DNF NDF===∠∠∠∠所以：EM FN AE AF BE CF =⇒+=+3.记Q 为1,2,,100L 的若干个排列组成的集合，且满足对于任意的1,100,,a b a b ≤≤≠至多存在一个Q σ∈使得在σ中a 的下一个数恰为b ；求集合Q 的元素个数的最大值解:首先,假设||101Q ≥。
辽宁2013年高考文科数学试题(带答案和解释)
辽宁2013年高考文科数学试题（带答案和解释）文绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第I卷一、：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合（A）（B）（C）（D）（2）复数的模为（A）（B）（C）（D）（3）已知点（A）（B）（C）（D）（4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：其中的真命题为（A）（B）（C）（D）（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）（B）（C）（D）（6）在，内角所对的边长分别为A． B． C． D．（7）已知函数A． B． C． D．（8）执行如图所示的程序框图，若输入A． B． C． D．（9）已知点A． B．C． D．（10）已知三棱柱A． B． C． D．（11）已知椭圆的左焦点为F（A）（B）（C）（D）（12）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为 ,则（A）（B）（C）（D）第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列.（15）已知为双曲线.（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量（I）若（II）设函数18．（本小题满分12分）如图，（I）求证：（II）设19．（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：（I）所取的2道题都是甲类题的概率；（II）所取的2道题不是同一类题的概率.20．（本小题满分12分）如图，抛物线（I）；（II）21．（本小题满分12分）（I）证明：当（II）若不等式取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
辽宁省大连市辽宁师范大学附属艺术中学高三数学文期末试题含解析
辽宁省大连市辽宁师范大学附属艺术中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D2. 下列命题中错误的是（A）如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面（D）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面参考答案：D本题主要考查了空间中点线面的位置关系与判断，关键是空间中点线面之间的平行与垂直关系的判断等，难度一般。
选项A中，由于α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，故选项A 正确；选项B中，α不垂直于β，即两者平行或相交不垂直时，这时α内一定不存在直线垂直于β，故选项B正确；选项C中，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则有l⊥γ，故选项C正确；选项D 中，由于α⊥β，那么α内垂直于交线的直线才垂直于β，其他的不垂直，故选项D错误；3. 在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（） A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC参考答案：答案：C4. 复数，则复数z的模等于A．2 B． C． D．4参考答案：B略5. 在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为，已知命题p：“若两条直线，平行，则”．那么=Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个参考答案：B略6. 已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为T n，则T2014的值为（）．B ．参考答案：C略7. 若直线与直线平行, 则实数的值等于( )A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1或－2参考答案：A8. 我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f（x）=a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0的值的秦九韶算法，即将f（x）改写成如下形式：f（x）=（…（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（）A．v=vx+a i B．v=v（x+a i）C．v=a i x+v D．v=a i（x+v）参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，可得答案．【解答】解：秦九韶算法的过程是（k=1，2，…，n）这个过程用循环结构来实现，应在题目的空白的执行框内填入v=vx+a i，故选：A．9. 若x,y满足约束条件则z=4x+3y的最小值为A.20B.22C. 24D.28参考答案：B略10. 中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为．参考答案：π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】证明△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1，即O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，可得球的体积．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，∴该三棱锥外接球的体积为π，故答案为：π．12. 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB⊥AC，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A —BCD 中，DA⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC 三者面积之间关系为 ．参考答案：13. 已知，，若直线与直线互相垂直，则ab 的最大值是__________．参考答案：.分析：根据两直线垂直的条件，求出满足的关系式，再利用基本不等式求出的最大值。
2021年大连市数学竞赛试题A答案
考生注意：考试时间150 分钟试卷总分100 分共三页第1 页二、（本题8分）已知0|sin |(n I x x dx n π=⎰为正整数)，求I .解：令x n t π=-，则0()|sin()|n I n t n t dt πππ=---⎰......................................2分()|sin |n n t t dt ππ=-⎰|sin |n n t dt I ππ=-⎰...................................................2分2|sin |n t dt I ππ=-⎰..................................................2分2sin ntdt I ππ=-⎰22n I π=-故，2I n π=...........................................................................................2分（本题9分）设函数()f x 连续，且0)0(')0(==f f ，记000(), 0,()ln[1()],0,x u x du f t dt x F x f x t dt x -⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩⎰⎰⎰求)('x F 及)0(''F .解 当0<x 时，⎰=xdt t f x F 0)()('；当0>x 时，令t x u +=，则⎰+=xdu u f x F 0)](1ln[)(，得)](1ln[)('x f x F +=.………………................................................................................................2分由于0)(lim )(lim )0()(lim )0(000'===-=⎰⎰⎰---→→→-xx uxx x dt t f x dtt f du xF x F F ，0))0(1ln())(1ln(lim ))(1ln(lim )0()(lim )0(000'=+=+=+=-=+++→→→+⎰f x f xduu f xF x F F x xx x ，所以0)0('=F ，从而0(), 0,'()0, 0,ln[1()],0,x f t dt x F x x f x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪+>⎪⎩⎰………………...............................................................................................3分考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 2 页=-=-→-xF x F F x )0(')('lim )0(0''0)(lim )(lim 00===--→→⎰x f xdt t f x xx ,.....................................2分xF x F F x )0(')('lim )0(0''-=+→+xx f x x f x x )(lim )](1ln[lim 00++→→=+=)0(')0()(lim 0==-=+→f xf x f x所以0)0(''=F ………......................................................................2分四、（本题8分）设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0,y x a ==所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积1V 及2D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积2V ；(2)问当a 为何值时，12V V +解 如图所示.(1)由题设及旋转体体积公式，有222514(2)(32)5a V x dx a ππ==-⎰..............................…2分 22222044422 2a yV a a dya a a πππππ=⋅-=-=⎰.................................................................................…2分(2)设54124(32)5V V V a a ππ=+=-+.令34(1)0V a a π'=-=，得(0,2)内的惟一驻点1a =...............................….......................................................................................2分当01a <<时，0V '>；当12a <<时，0V '<.故1a =是极大值点，亦即最大值点，此时12V V +取得最大值1295π.......................................................................…2分考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 3页五、（本题9分）求[]Dx y dxdy +⎰⎰，（这里[]x 表示不超过x 的最大整数）}2y ≤≤.解：将正方形区域用三条直线1,2,3x y x y x y +=+=+=分成四个区域：1234,,,D D D D ，即12340,(,),1,(,),[]2,(,),3,(,)x y D x y D x y x y D x y D ∈⎧⎪∈⎪+=⎨∈⎪⎪∈⎩………………………...............................................................................3分 所以1234[]0123DD D D D x y dxdy dxdy dxdy dxdy dxdy +=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰………………………......................3分33123622=++=.……………………….....................................................................................3分 六、（本题8分）求由方程22222410x y z x y z ++-+-=所确定的函数(,)z f x y =的极值.解 方程两边分别对,x y 求偏导数得''''2224022240x x y y x zz z y zz z ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩,令''0x y z z ==,得1,1x y ==-,代入到原方程中,得 0(1,1,6)M -,1(1,1,2)M --.……………………….....................................................................…2分由于'''2'''''2''''''''222()40222()402240xx x xx yy y yy y x xy xy zz z z zz z z z z zz z ⎧++-=⎪⎪++-=⎨⎪+-=⎪⎩,所以对于点0(1,1,6)M -0221|4M z A x ∂==-∂,02|0M z B x y ∂==∂∂,0221|4M z C y ∂==-∂.………………………….......................3分故 03612>=-B AC ,又104A =-<,从而点(1,1)-是),(y x z 的极大值点,极大值为(1,1)6z -=. 类似地,对于点1(1,1,2)M --,有1221|4M z A x ∂==∂,12|0M z B x y ∂==∂∂,1221|4M z C y ∂==∂. 故 03612>=-B AC ,又104A =>,从而点(1,1)-是),(y x z 的极小值点,极小值为(1,1)2z -=-. ……………………...............................................................................................................................……3分共 三 页 第 4 页七、（本题10分）若级数2121()n nna a∞-=+∑收敛，且lim0nna→∞=，则级数1nna∞=∑收敛.证明：设级数2121()n nna a∞-=+∑与1nna∞=∑的部分和分别是n A与n B。