x02-4中值定理
高等数学习题课3-2
x3 1 x | ( x2 1)
的渐近线。
第
三 章
解
lim y lim y
x1
x0
中 值
x 1, x 0 是曲线的两条铅直渐近线
定 理 与
lim y 1 lim y 1
f ( x) k 0, 且 f (a) 0, 证明：方程 f ( x) 0 在区间
第 三
[a,) 有且仅有一个根。
章
证 因为当 x a 时，f ( x) k 0, 所以 f ( x) 0
中 值
在区间[a,) 至多有一个根。
定 理
又因为 f (a) 0, 且
与 导
f (a f (a)) f (a) f ( )(a f (a) a)
)(1 1) 或 2
x0 )2
f (2
)
( x0 2
16 (1 2
1) x0
1)
-2-
习题课（二）
例2 证明当 x 1 时,
x2 x3
ln(1 x) x .
第
23
三 章
证 当 x 1 时,
中 值
ln(1
x)
x
x2 x
x3 3
1
4(1 )4
x4
定 理
其中
介于 0与x之间.
第 区间，拐点。
三
章 解 函数的定义域为(,1) (1,1) (1, )
中
值 定 理 与
y
x2( x2 3) ( x2 1)2 ,
y
2 x( x2 (x2
3) 1)3
导 数
y 0,得点x 3, y 0,得点x=0
的
应 用x 3, x 0划分函数的定义域，并在各区间研究
泰勒公式(泰勒中值定理)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
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9
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f (x) ex
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn
(x)
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
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20
例如 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
计算
lim
x0
e
x
2
2 cos x4
x
3
.
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
ex2 2 cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
2 ! n ! (n 1) !
由于 0 e e 3, 欲使
Rn (1)
(n
中值定理
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
拉格朗日中值定理大全
几何解释: y
yf(x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
y
yf(x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f()f(b)f(a)
ba
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
3)f(x)3 x
4)f(x)=arctanx
下一页
二.函数单调性的判定法
y
B
yA
y=f(x)
y=f(x)
A
B
0a
bx
几何特征：
f '(x)>0
0a
bx
f '(x)<0
定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导.
1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。
下一页
(C)例4：求函f数 (x) x2 的单调 1x
解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).
2）f'(x)x(1(xx)22) 令 f'( x ) 0 得 x 1 2 、 x 2 0
3)列表:
x (-∞、-2) -2 （-2、-1） （-1、0） 0 (0、+∞)
y’
+
0
中值定理与洛必达
05 中值定理与洛必达的扩展
CHAPTER
中值定理的推广形式
广义中值定理
在更广泛的函数空间中，如连续函数、可微 函数等，中值定理的适用范围得到了扩展。
边界中值定理
在函数的边界上，存在某些中值定理的形式，这些 定理描述了函数在边界上的性质。
高阶中值定理
对于高阶可导函数，存在高阶中值定理，这 些定理揭示了函数的高阶导数与零点的关系 。
柯西中值定理的证明
总结词
详细描述
通过构造辅助函数和运用拉格朗日中值定理， 证明柯西中值定理。
首先，我们构造一个辅助函数$F(x)$和 $G(x)$，满足在开区间$(a, b)$上可导，并 且满足一定的连续性条件。然后，我们利用 拉格朗日中值定理，知道存在至少一个点 $c$满足$frac{F'(c)}{G'(c)}=frac{F(b)F(a)}{G(b)-G(a)}$。这就证明了柯西中值定 理。
04
洛必达法则的求导方法
洛必达法则的求导方法包 括
2. 使用链式法则进行求导；
4. 使用商式法则进行求导；
1. 使用导数的定义和性质 进行求导；
3. 使用乘积法则进行求导；
5. 使用复合函数求导法则 进行求导。
03 中值定理与洛必达的应用
CHAPTER
在求解极限问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的应用
01 02
极限的定义
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的一个重要定 理，它说明了如果两个函数在闭区间上 连续，开区间上可导，且在该区间内函 数$f(x)$的导数不等于零，则至少存在一 点，使得两个函数在该点的导数之比等 于它们在该区间两端点处的函数值之比 。
VS
详细描述
浅析积分第二中值定理及应用
1 积分第二中值定理的证明积分中值定理无论在理论还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细下面给出该定理与其证明。
定理1[1]:设f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调且在a、b处连续,那么在[a b]上存在ξ使dx x f b g dx x f a g dx x g x f abba)()()()()()( (1)证明:假设g(x)单调减少且非负,将区间[a,b]分成几部分,即a=x 0<x 1<x 2…<x n =b;△x k =x k -x k -1(k=1,2,…,n)记λ=max{△x 1…△x n }则b adx x g x f )()(].,[,)()(lim 1101kk x x k n k k x x dx x f g kk。
由于g(x)单调减少且非负即)(1 g )(2g … )(n g 0而xaxank x x b x a bx a dx u f dx x f du u f kk )(sup )()(inf 11根据阿贝尔引理xab x a x x x an k k bx a du u f g dx x f g du u f g k k )(sup )()()()(inf )(1111当0 有)()(1a g g 即:xaxab x a bab x a du u f a g dx x g x f du u f a g )(sup )()()()(inf )(。
所以,当0)( a g 时()(a g =0显然无须证明)。
xa b x a baxabx a du u f dx x g x f a g du u f )(sup )()()(1)(inf 。
由介值定理知连续函数 xadu u f )(在[a,b]上某点 处取得上、下确界之间的中间值即:dx x f a g dx x g x f b aa)()()()( (2)令G(x)=g(x)-g(b),由于g(x)单调减小,则G(x)单调减小且非负,由(2)得:ababadxx f b g a g dx b g x g x f dx x G x f )()]()([)]()([)()()(即ab ab adx x f b g a g dx x f b g dx x g x f)()]()([)()()()( badx x f b g dx x f a g)()()()( [a b]。
定积分中值定理
定积分中值定理定积分是微积分的一个基本概念。
在数学和物理中，通常把函数、不等式或多项式函数在某区间上的最大（小）值称为该函数的中值。
也就是说，函数在某区间上的中值是在函数值的下限和上限之间的那些数值。
中值定理是数学的一个重要定理，其对于实际应用具有非常重要的意义。
1。
函数y=f(x)在x处取得最大值x=f(x)，此时函数y= f(x)的中值为f(x)。
中值定理是很有用的，它的证明方法又比较简单。
有了中值定理，人们只需对数据的特征作进一步研究即可知道各种特征下的最大（小）值是多少。
0。
若f(x)=frac{1}{x}，则当x=0时， f(x)=1，当x=-1时，f(x)=-1，即f(x)=-2.显然，函数y=f(x)在x=-1时的中值也是-2。
1。
当f(x)=1/x时，若f(x)=frac{1}{x}，那么，函数y=f(x)+1/x的中值为1/(x+1)，其中x为最大值，此时y=f(x+1)(x+1)当x>-1时，函数y=f(x)+1/x的最大值为(-2)，其中x为最大值；当x<-1时，函数y=f(x)+1/x的最大值为-1，其中x为最大值。
此时的情况同上，且与1相同。
2。
当f(x)=frac{1}{x^2-x}时，若f(x)=frac{1}{x^3-x^2-1}，那么，函数y=f(x)+1/x的中值为1/(x^2-x^3)，其中x为最大值。
3。
当f(x)=frac{1}{x^4-x^3-1}时，若f(x)=frac{1}{x^4-x^3-2}，那么，函数y=f(x)+1/x的中值为1/(x^4-x^3-2)，其中x为最大值。
4。
当f(x)=frac{1}{x^5-x^3-1}，若f(x)=frac{1}{x^5-x^3-2}，那么，函数y=f(x)+1/x的中值为1/(x^5-x^3-2)，其中x为最大值。
显然，函数y=f(x)在x>-1时的中值也是1/(x^5-x^3-2)。
积分中值定理中间值的渐进性
积分中值定理中间值的渐进性在积分中值定理中，只确定了中间点的存在性，却没给出中间点在区间内的位置。
通过讨论当区间长度趋近于零时，定理所确定的中间点在区间上的渐进性，得到一些相应的结论，并对其中一些结论进行证明。
标签：中值定理；中间值；渐进性积分第一中值定理：若函数f（x）在闭区间a，b上连续，则至少存在一点ξ∈a，b，使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）。
积分第二中值定理：如果函数f（x），g（x）在闭区间a，b上连续，且g（x）在a，b上不变号，则至少存在一点ξ∈a，b，使得∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx。
在上述积分中值定理中，一般来说，不能断定中间值ξ就是区间a，b的中点，但当f′（a）存在且f′（a）≠0时，则有如下结果：定理1：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a可导且f′（a）≠0。
若∫xaf（t）dt=f（ξ）（x-a），ξ∈（a，x）则有limx→aξ-ax-a=12。
证明：考虑函数h（x）=∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2，利用积分第一中值定理得limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2=limx→af（ξ）（x-a）-f（a）（x-a）（x-a）2=limx→af（ξ）-f（a）x-a=limx→af（ξ）-f（a）ξ-aξ-ax-a=f′（a）limx→aξ-ax-a，另一方面，应用L’Hospital法则又有limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2=limx→af（x）-f（a）2（x-a）=12f′（a）比较后即得到limx→aξ-ax-a=12。
定理2：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a可导且f′（a）≠0，g（t）∈Ca，x 且不变号，g（a）≠0。
若∫xaf（t）g（t）dt=f（ξ）∫xag（t）dt，ξ∈（a，x）则有limx→aξ-ax-a=12证明：考虑函数h（x）=∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2，利用积分第二中值定理得limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2=limx→af（ξ）-f（a）∫xag（t）dt=limx→af（ξ）-f（a）ξ-ax-a∫xag（t）dtξ-ax-a=f′（a）g（a）limx→aξ-ax-a另一方面，應用柯西微分中值定理又有limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2=limx→af（x）g（x）-f（a）g（x）2g（x）∫xag（t）dt=limx→af（x）-f（a）x-ax-a2∫xag（t）dt=f′（a）2g（a）比较后即得到limx→aξ-ax-a=12。
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
考研数学高数真题分类—中值定理
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第三章中值定理综述：中值定理的证明向来是考研数学的难点.在考研数学一的考试中，这一部分的出题的频次比较稳固，一般两年出一道大题.从考试的状况来看，考生在这一部分广泛得分率不高.其主要原由是练习不够，不熟习常有的思想方法，以及对质明题惯有的害怕心理.其实这一部分的题目也是有必定套路的，只需掌握一些常有的证明思路，在大部分状况下就都可以轻松应付了.本章需要用到的主要知识点有：闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理，介质定理），费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和积分中值定理.依据题目的形式，我们将这一部分的题目分为了 3种种类：中值定理的简单应用（直接能作出协助函数的），复杂的中值定理证明（需要平等式变形才能作出协助函数的），证明存在两点, a,b使得它们知足某种等式.常考题型一：对中值定理内容的考察1.【02—34分】设函数 f x在闭区间a,b上有定义，在开区间a,b上可导，则（）A当f a fb 0时，存在a,b，使得f0B对任何a,b，有lim fx f0xC对f a fb时，存在a,b，使f'0D存在(a,b)，使f(b)f(a)f()(b a).2.【04-34分】设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)0,f(b)0，则以下结论中错大全标准文案误的是()起码存在一点x 0(a,b)起码存在一点x 0(a,b)起码存在一点x 0(a,b)(A) 起码存在一点x 0(a,b)，使得f(x 0)>f(a). ，使得f(x 0)>f(b). ，使得f(x 0) 0.，使得f(x 0)=0.3．【96-25 分】求函数 f(x) 1 x在x0点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒睁开1x式.4.【03-24 分】y 2x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 .常考题型二：闭区间上连续函数性质5.【02-36 分】设函数 f(x),g(x)在[a,b]上连续，且 g(x) 0.利用闭区间上连续bb函数性质，证明存在一点[a,b]，使f(x)g(x)dxf()g(x)dx .a a 常考题型三：罗尔定理的使用6.【08-24分】设f(x)x 2(x1)(x2)，求f(x)的零点个数()A 0B 1C 2D 3【07—12311分】设函数f(x),g(x)在a,b 上连续，在(a,b)内拥有二阶导数且存在相等的最大值， f(a) g(a),f(b) g(b)，证明：存在(a,b)，使得f() g().8.【00—123 6分】设函数fx 在[0,]上连续，且 fxdx0，f x cosxdx 0 .试证：在0,内起码存在两个不一样的点1、2，使得f1f 20.9.【96—28分】设fx 在区间 a,b 上拥有二阶导数，且 fa fb 0,fafb 0试证明：存在a,b 和a,b ，使f0，及f0 .大全标准文案10.【03—38分】设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0) f(1)f(2)3,f(3)1.试证：必存在(0,3)，使f() 0.11.【10—3 10分】设函数f(x)在0,3上连续,在0,3内存在二阶导数,且2f(0)2 f(2)f(3),f(x)dx(I) 证明存在 (0,2),使f( ) f(0);;(II)证明存在(0,3),使f( )0．12.【93—3 6分】假定函数f(x)在[0,1] 上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,f(0)),B(1,f(1))的直线与曲线 y f(x)订交于点C(c,f(c))，此中0c1，证明：在(0,1)内起码存在一点，使f()【小结】：1. 对命题为f (n)()0的证明，一般利用以下三种方法：（1）考证为f (n1)(x)的最值或极值点，利用极值存在的必需条件或费尔马定理可得 证；（2）考证f (n1)(x)在包括x于其内的区间上知足罗尔定理条件.（3）假如f(x)在某区间上存在 n 个不一样的零点，则f (n)(x)在该区间内起码存在一个零点.2．证明零点独一性的思路：利用单一性；反证法.4.证明函数在某区间上起码有两个零点的思路有：证明该函数的原函数在该区间上有三个零点；先证明起码有一个零点， 再用反证法证明零点不是独一的. （这些结论在证明题中不可以直策应用，应用它们的时候需要写出证明过程，但记着它们对复杂一点的证明题是很好的思路提示.） 费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程都是需要掌握的，它们不只是直接的考点。
中值定理的应用
5. 证明有关中值问题的结论：
题型一：证明存在 使 f ( ) 0或A(常数).
例1. 设f (x) 在[0,1]上可导，0 f (x) 1,且 f (x) 1,
(0 x 1),证明在(0,1)内必有唯一的 , 使 f ( ) .
[这里关键，需找a,b使f (a) f (b)( 0) ]
2. 使f ( ) 0 :
(1)对f (x)用费马定理或罗尔定理； (2)需找三个点a,b,c,使f (a) f (b) f (c),(a b c) 则1 (a,b)使f (1) 0; 2 (b, c)使f (2 ) 0;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g 2 ( x)
x
0.
构造辅助函数 F(x) f (x) g(x)
(3) 要证 f () f ()g() 0.
即证 F(x) eg(x) [ f (x) f (x)g(x)] 0.
x
(3) g(a) g(b) 0. 由Rolle定理 (a, b), 使g( ) 0.
即 ek f ( ) ek kf ( ) 0
由于ek 0, f ( ) kf ( ) 0
即 f ( ) k. f ( )
总结：通过恒等变形
7). 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维,设辅助函数. 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,
可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数,可考虑用柯
西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用
中值定理命题证明中的辅助函数构造
ｃｏｍｐｕｔｉｎｇＡｐｐｌｉｃ毗ｉ咖，Ｈ岫柚ｕｎｌｖｅ雌时ｏｆＡｒｔｓ蛆ｄ ｓｃｉｅｎｃｅ．ｃｈａ。唱ｄｃ，Ｈ皿蚰４１５０００，ｃｈｉｍ）
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【２】常明．陈球垄基于ｓＧＭＬ，）（ＭＬ的文件结构化研究与实现【Ｊ】 计算机研究与发展，２００２．３９ｆ２）
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图３是运行是系统生成的排课数据所见即所得 的界面，界面上 部可以按照班 级、教师和教室 选择的控件，下 部是具体数据信 息浏览效果．
３ 结论
图３输出运行结果
ｘＭＬ以其合理的数据组织结构和可扩展特性， 结合目前的ｎｅｔ和Ｊａｖａ技术，使得开发的过程更加便 捷．但由于ｘＭＬ推出时问较短，特别是大多数行业
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积分中值定理大全
积分中值定理大全积分中值定理是一种数学定理，它可以用来解决不同类型的积分问题。
虽然它在数学中是非常重要的，但是很多人仍然不清楚它的定理。
在本文中，我们将介绍积分中值定理的定义、其中的重要概念，以及它的几个应用。
一、积分中值定理的定义积分中值定理是一种数学定理，也叫中值定理或中值定理的有限形式。
它的定义如下：在函数f (x)在区间[a, b]上连续，则有：$$int_{a}^{b} f(x) dx = fleft(frac{a+b}{2}right)Big(Delta xBig)$$其中Δx = (b-a)为a和b之间的间隔。
积分中值定理也称为中点法，它表明在[a,b]区间上，积分的值等于对应点处函数f (x)的值乘以区间长度。
二、重要概念在积分中值定理中存在一些重要的概念，包括：1.间[a,b]：积分中值定理要求函数f (x)在[a,b]区间连续。
因此，为了正确使用积分中值定理，首先需要确定[a,b]这个区间。
2.续函数：积分中值定理要求函数f (x)在[a,b]区间连续，因此，为了使用积分中值定理，我们必须确定函数f (x)是否连续。
3.分：在积分中值定理中，它是用来计算函数f (x)在[a,b]区间上的积分。
三、积分中值定理的应用1.求解微分方程的过程中，积分中值定理可以有效地减少计算量，使得解析解处理速度更快。
2.分中值定理也可以用于求解定积分的问题，而不用求解特定积分。
3.分中值定理还可以用于计算多项式函数的定积分。
4.分中值定理可以用于计算隐式函数的定积分。
5.分中值定理可以用来证明一些重要数学定理，如几何定理、微积分定理等。
四、总结从上文可以看出，积分中值定理是一种非常有用的数学定理，它可以用来解决多种类型的积分问题，有效地提高解析解处理的速度。
除此之外，它也可以用于计算定积分，证明一些重要的数学定理，以及研究隐式函数的定积分。
由此可见，积分中值定理无疑是一个非常重要的数学定理，一定要掌握。
罗尔中值定理
几种特殊Байду номын сангаас况
几种特殊情况
（1）有界开区间上的有界函数 若函数在区间上连续且可导，并有，则至少存在一个，使得。 （2）有界区间上的无界函数 若函数在区间上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个，使得。 （3）无界区间上的有界函数 若函数在区间上连续且可导，并有，则至少存在一个，使得。 （4）无界区间上的无界函数 若函数在区间上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个，使得。 （5）半无界区间上的有界函数 若函数在区间[ )上连续且可导，并有，则至少存在一个，使得。 （6）半无界区间上的无界函数
证明过程
证明过程
证明：因为函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M和 m表示，分两种情况 讨论：
1.若 M=m，则函数 f(x)在闭区间 [a,b]上必为常函数，结论显然成立。
2.若 M>m，则因为 f(a)=f(b)使得最大值 M与最小值 m至少有一个在 (a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是 f(x)的极值点，又条件 f(x)在开区间 (a,b)内可导得，f(x)在 ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一 定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
范例解析
范例解析
用罗尔中值定理证明：方程 3在 (0,1)内有实根。 证明：设 则 F(x)在 [0,1]上连续，在 (0,1)内可导，，所以由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，所以，所以ξ 是方程在 (0,1)内的一个实根。 结论得证。
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罗尔中值定理
三大微分中值定理之一
目录
01 证明过程
03 几种特殊情况
02 几何意义 04 范例解析
基本信息
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗 日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
x的平方减4因式分解
x的平方减4因式分解
【1】问题背景和目的
在数学中，因式分解是一项重要的技能，它能帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
本文将详细介绍如何对x-4进行因式分解，使我们能够更直观地了解这个二次方程的性质和解决方案。
【2】因式分解的方法
一般来说，我们对一个二次多项式进行因式分解，主要是寻找两个数（或多项式），使得它们的乘积等于原多项式，并且它们的和等于二次项的系数。
在这个例子中，我们要找到两个数，使得它们的乘积为-4，和为0。
【3】x-4的因式分解过程
观察二次项x和常数项-4，我们可以发现它们符合差平方公式，即a-b = (a+b)(a-b)。
在这个例子中，a=x，b=2。
根据差平方公式，我们可以将x-4分解为：
x-4 = (x+2)(x-2)
【4】分解结果及应用
现在我们已经将x-4成功分解为(x+2)和(x-2)两个因式的乘积。
这个结果可以帮助我们解决一系列相关的问题，如求解方程、求解不等式、求解最值等。
例如，我们可以通过以下步骤求解方程x-4=0：
1.将方程x-4=0转化为(x+2)(x-2)=0
2.根据零乘法，得到x+2=0或x-2=0
3.求解得到x=-2或x=2
【5】总结
通过对x-4进行因式分解，我们不仅掌握了差平方公式，还学会了如何运用这个公式解决实际问题。
第19讲 拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)(详细解析)
高中数学芝士
第19讲拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义
3能运用拉格朗日中值定理解题
【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。
本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习
第1页共16页。
高数中值定理
⾼数中值定理第三章中值定理与导数的应⽤中值定理与导数的应⽤的结构洛必达法则Rolle 定理Lagrange 中值定理常⽤的泰勒公式型0,1,0∞∞型21∞-∞型∞?0型00型∞∞Cauchy 中值定理Taylor 中值定理xx F =)()()(b f a f =0=n gfg f 1=211221111∞∞∞-∞=∞-∞取对数令gf y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根⽅法.导数的应⽤第三章中值定理与导数的应⽤1. 中值定理2. 常⽤麦克劳林公式3. 洛必达法则4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点7. 最值问题8. 典型例题1. 中值定理泰勒中值定理设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在ξ ,使（柯西中值公式）)()()()()()(''ξξg f b g a g b f a f =--（拉⽒中值公式）)()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使罗尔中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=010)1(000)()()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n nk n n x x n f x x n x f x f ξ拉⽒中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导, 那末),(b a ∈?ξ,使)()!12()1(sin 22012+=+++-=∑n nk k kx o k x x )()!2()1(cos 1202+=+-=∑n nk k k x o k x x )()1()1ln(11nnk k k x o k x x +-=+∑=-!)1()1(k n k +--=ααααΛ)()1(0nn=+∑=αα)(110n nk k x o x x +=-∑=)(!nnk kxx o k x e +=∑=2. 常⽤麦克劳林公式不定型或）（∞∞001不定型）（00,1,0,,02∞∞-∞∞?∞3. 洛必达法则)()()(lim )()(lim ??∞=''=→→或l x g x f x g x f x x 0 1100∞=∞=∞∞=∞01ln exp∞=∞11ln exp 1?=010ln exp 00211221111∞∞∞-∞=∞-∞上单调减少在，则函数内如果在上单调增加在设函数],[)(0)(),()2(],[)(0)(),()1(),(],[)(b a x f y x f b a b a x f y x f b a b a b a x f y =<'=>'=单调性定理 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点．点统称为极值点和极⼩值点极⼤值值点；⼩的⼀个极⼤是值，称⼩的极⼤是就称值，那么⼩的某邻域内的唯⼀最⼤在是如果)()()()()()()()()()()(0000x f x x f x f x x f x f 极值定义5. 函数图形性质的讨论x(x0, x1)x1(x1, x2)x2(x2, x3)x3(x3, x4) f '(x)+--+f "(x)-+f (x)图形单增极⼤f ( x1)单减⽆极值单减极⼩f ( x3)单增先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1,x2,x3 ), 再按下表判断若)(x f 在0x 可导有极值 , 则0x 为)(x f 的驻点极值可疑点：不取极值在不变号，则的左、右邻域如果在取极⼤值在，则，右邻域的左邻域如果在取极⼩值在，则，右邻域的左邻域如果在的去⼼邻域可导，那么在设连续函数0000000)()()3()(0)(0)()2()(0)(0)()1()(x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x x x f y '<'>'>'<'=极值第⼀充分条件取极值必要条件驻点（即使0)(0='x f 的点）、不可微点取极⼤值在，则如果取极⼩值在，则如果的邻域⼆阶可导，那么在驻点设函数00000)(0)()2()(0)()1()(x x f x f x x f x f x x f y <''>''=极值第⼆充分条件6. 判定极值的充分条件7. 最值问题求最值的步骤：1. 建⽴⽬标函数2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点3. 确定最值点：(3) 若知函数有唯⼀最值可疑点, ⽽由实际问题本⾝知函数的最⼤(⼩)值⼀定存在, 则该最值可疑点必是所求最⼤(⼩)值点例1.]65,6[sin ln 的正确性上在验证罗尔定理对ππ=x y 解8. 典型例题5lnsin [,].66y x ππ∴=函数在上满⾜罗尔定理的条件:22,(0,1,)D k x k k πππ<<+=±Q L 5[,].66ππ且在上连续5cot (,)66y x ππ'=⼜在内处处存在5()()66f f ππ=并且ln2=-cot 0,y x '==由5(,)66ππ在内显然有解.2x π=,2πξ=取()0.f ξ'=则这就验证了命题的正确性..)1(51lim 520x x xx +-+→求极限解.2的次数为分⼦关于x Θ5)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +?-?++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim 2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=例2.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(b a f bf a ba f f x f +='+'==ηξηξ使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与b a Θ10<+<∴ba a,]1,0[)(上连续在⼜x f 由介值定理,,)(ba a f +=τ使得),1,0(∈τ存在有上分别⽤拉⽒中值定理在,]1,[],,0[)(ττx f 例3),0(),()0()(τξξττ∈'=-f f f )1,(),()1()()1(τηηττ∈'-=-f f f ,1)1(,0)0(==f f 两式分别乘有)(1)(1ηξf f ''和并注意到1))(())((=+'++'b a f bb a f a ηξ.)()(b a f b f a +='+'∴ηξ).,0,0(,2ln )(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+证明不等式证),0(ln )(>=t t t t f 令,1ln )(+='t t f 则,)(>=''tt f .0,0),,(),(ln )(是凹的或在>>=∴y x x y y x t t t f )2()]()([21yx f y f x f +>+于是,2ln 2]ln ln [21y x y x y y x x ++>+即.2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+即例4])1,0[(21)(:,1)(),1()0(,]1,0[)(∈≤'≤''=x x f x f f f x f 证明且上⼆阶可微在若函数证],1,0[0∈x 设有展成⼀阶泰勒公式处把在,)(0x f x 20000))((21))(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ则有令,1,0==x x 21000)(21)()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=202000)1)((21)1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ例52022010)1)((21)(21)(x f x f x f -''-''='ξξ)1()0(f f =两式相减，并注意到则有,1)(≤''x f 及2020)1(2121x x -+≤21412141)21(220=+≤+-=x 的任意性知命题真再由0x.,,)1,2(sin 2程两曲线的公共曲率圆⽅点处并写出向点具有相同的曲率和凹在使抛物线与正弦曲线⼀抛物线求作处上点过正弦曲线M M c bx ax y M x y ++=π曲率圆的圆⼼坐标分别曲率半径和处的曲率在点曲线,),()(y x x f y =,])(1[232y y k '+''=,1k=ρ'''++='''+'-=y y y y y y y x x 2020)(1])(1[例6,1)2(=πf 有=π')2(f ,0=π'')2(f .1-,2c bx ax y ++=对于曲线,)sin(x y =对曲线=π)2(f 有,242c b a +π+π=π')2(f ,b a +π=π'')2(f .2a 若两曲线满⾜题设条件,必在该点处具有相同的⼀阶导数和⼆阶导数,于是有,1242=+π+πc b a ,0=+πb a .12-=a 解此⽅程组得,21-=a ,2π=b .812π-=c 故所求作抛物线的⽅程为.8122122π-+π+-=x x y 两曲线在点处的曲率圆的圆⼼为),0,2(π1)2(22=+π-y x.,,,,,12并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数-+=x xx y 解:)1(定义域,1±≠x ),,1()1,1()1,(+∞---∞Y Y 即1)(2--+-=-x xx x f Θ),(x f -=为奇函数y ')2(222)1(11-+-=x x ,)1()3(2222--=x x x ,0='y 令.3,0,3-=x 得例7y ''222)1()3(2-+=x x x ,)1(1)1(133++-=x x ,0=''y 令.0=x 得,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x )(x f ;1的铅直渐近线为曲线y x =∴,lim 01-∞=--→y x ,lim 01+∞=+-→y x ;1为铅直渐近线-=∴x x y a x ∞→=lim Θ)1(1lim 2-+=∞→x xx x x ,1=)(lim ax y b x -=∞→)(lim x y x -=∞→1lim 2-=∞→x xx ,0=.的斜渐近线为曲线直线y x y =∴,)3,0,3(),1()4(分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点==-=±=x x x x ,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x ;1为铅直渐近线=∴x。
微分中值定理的应用
导数是研究可微函数及进行经济分析的有力武器,但导数的直接应用是很有限的,它主要的应用是通过微分中值定理来实现的,而微分中值定理的应用在微分学中是极其重要的,且运用广泛。
微分中值定理建立了函数的导数与函数的差值之间的具体联系,提供了他们可以相互转化的条件,而成为用函数的导数研究函数性质的一个有力工具。
函数的某种性质,凡是可以用函数的某种差值来表达的,就有可能通过中值定理转化为导数的一种性质,从而可以应用导数来研究函数。
一、微分中值定理证明等式在微分中值定理的应用中,利用定理证明:存在一点使得所给等式成立,是一类重要的题型。
此类问题的关键是构造辅助函数,为寻求辅助函数,通常用移项的方法(即将被证明等式一端的项全部移到另一端);或将等式变形,变形后用逆推的方法。
例1已知在f(x)[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(1)=0且,求证在(0,1)内至少存在一点ξ,使得ξf'(ξ)=-f(ξ)。
证明:令F(x)=xf(x),显然f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,由罗尔定理知,在(0,1)内至少存在一点ξ,使得:F'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0,即ξf'(ξ)=-f(ξ)。
此题可见,此类题目主要问题是构造辅助函数,选用合适的辅助函数才能使题目得证。
但在多数问题中,并不是应用一次中值定理就能解决问题,而是要多次应用各种中值定理来解决问题,此类题目复杂多变,我们可掌握规律,灵活运用定理,学会选用辅助函数。
二、微分中值定理证明不等式例2证明不等式x 1+x<ln(1+x)<x,对一切x>0成立。
证明:由于f(x)=ln(1+x)在(0,∞)上连续,在(0,∞)内可导,对任何x>0,在[0,∞)上应用拉格朗日中值定理,存在ξ∈(0,x),使f(x)-f(0)=f'(ξ)x由f(0)=ln(1+0)=0,所以ln(1+x)=x 1+ξ。
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例验证函数满足拉格朗日定理并求ξ
3 − x2 0 ≤ x ≤1 2 f ( x) = 1 1< x ≤ 2 x
f(x)在[0,2] 上连续,(0,2)可导
− x 0 ≤ x < 1 f '( x) = −1 x = 1 1 − 2 1< x ≤ 2 x
由罗尔定理知, 至少存在一点 使得 f
′(ξ)
=
f
(
5π ) = 6
ln
1 2
cos x = x =ξ = cot ξ = 0 sin x
ξ ∈ (π 6
,
5π 6
),
事实上,确有 ξ = π ∈ (π , 5π ) , 使 f ' (ξ ) = cot ξ = 0 . 2 6 6 (ξ)=0的根的存在性定理 注：罗尔定理可作为 f ′ (ξ)=0的根的存在性定理.
取得 .
∴ 最值不可能同时在端点
则在 ( a , b ) 内至少存在一点 ξ 使 f (ξ ) = M .
∴ 由费马定理(P84)知 : f ′(ξ ) = 0.
定理可推广 在 ( a , b ) 内可导, 且
x→a+
lim f (x) = lim f (x)
x→b−
在( a , b ) 内至少存在一点 (
例5 设
a1 + a 2 + L + a n = 0 ,
n
试证方程 a 1 + 2 a 2 x + L + na 在区间(0,1)内至少有一个实根。 内至少有一个实根。 在区间 内至少有一个实根 证明： 证明：
x
n −1
= 0,
f ( x ) = a1 x + a 2 x 2 + L + a n x n ,
§2-4
y C A
B
0
a
ξ
b
x
定理2-1（费马定理） 上有定义， 定理 （费马定理） 设函数 f (x)在[a , b]上有定义，并且 在 上有定义 在点c∈ 取到最值， 在点c可导 在点 ∈(a , b)取到最值， f (x)在点 可导，则 f ′(c)=0。 取到最值 在点 可导， 。
证明：不失一般性。 取到最大值， 证明：不失一般性。设 f (x)在点 x = c 取到最大值， 在点 (c)， ∈(a,b)。 则 f (x) ≤ f(c)，x∈(a,b)。 (c)
几何解释: 几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
o a
ξ1
ξ2 b
x
物理解释: 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 折返点处 瞬时速 度等于零. 度等于零
注:
罗尔定理的三个条件，缺一不可 罗尔定理的三个条件，缺一不可.
1 x + 1 , x∈[0, 1) y=f (x)= 2
推论
如果函数 f ‘(x) =g’(x)在区间 I 上恒成立, 那末 f (x)=g(x)+C 在区间 I 成立（C为任意常数）.
证明: 证明 令F(x)= f (x)− g (x) 由已知条件 F ′ (x )=0 所以 f (x)- g(x)=C 所以 f (x)≡g(x)+C , ∀x∈I.
f (b ) − f ( a ) (x) = f ′ ( x ) − , b−a 所以 ϕ′ (ξ ) = f ′(ξ ) − f (b ) − f ( a ) =0
f (b) − f (a) 由此得 f (ξ ) = . b−a
′
b−a
即
f (b)−f (a)=f ′ (ξ )(b−a).
证法二
例2: (i)
1 , f (x)满足条件(2), (3), 但不满足条件(1),
x=1
y
3 2 1
′( x ) = 1 在(0, 1)内, f 2
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
x
(ii)
y = f ( x) =| x |
x ∈[−1, 1]
f (x)在[-1, 1]上,满足条件(1), (3), 但不满足条件(2), 当 x∈(−1, 0)时, f (x)= −1. x∈(0, 1)时, f ′ (x)= 1. x=0时, f ′ (0)不存在.
证 设F ( x ) = [ f (b ) − f (a )] x − f ( x )(b − a )
F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导, 在闭区间[ ]上连续,在开区间( )内可导, 在闭区间
F (b ) = [ f (b) − f (a )]b − f (b )(b − a ) = af (b ) − bf ( a )
△y=
要求:| △x |很小， 且f ′ (x)≠0
f ′ ( x+ θ △x )·△x
要求: △x有限.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 有限增量公式
注:拉氏公式的几种形式
f (b) − f (a) f ′(ξ ) = b−a
f(b)-f(a)=f (ξ)(b (ξ)(bf(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) ξ在a,b之间 a,b之间
f ′(ξ ) =
C A
f (b) − f (a) b−a
B
0
a
ξ
b
x
(1)
几何意义:
) 除端点外, 若连续曲线弧 AB上,
处处具有不垂直于 x 轴的切线, 那末在这曲线弧内至少有一点, 在该点处的切线 平行于弦 AB.
y
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB .
f ( x ) − f (c ) ∴ 当x < c时 , 有 ≥ 0; x−c f ( x ) − f (c ) ′ 由极限的保号性 f − ( c ) = lim ≥ 0; x−c x→c−
f ( x ) − f (c ) 当x > c时 , 有 ≤ 0; x−c
′ f + (c ) = lim
x →c +
f ( x ) − f (c ) ≤ 0; x−c
从而 f ′(c)=0。 。
一、微分中值定理
1、罗尔（ Rolle）定理 、罗尔（ ）定理. 罗尔定理: 若函数 f (x) 满足:
(1) f (x) 在 [a, b]上连续; (2) f (x)在( a, b )内可导; (3) f (a)=f (b) 则在( a, b )内至少有一点ξ , 使得 f ′ (ξ )=0 .
f (b) − f (a) ( x − a) 证: 令ϕ (x)= f (x)−L(x) = f ( x) − f (a) − b−a
显然: ϕ (x)在 [a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 ϕ (a)=ϕ (b), 由罗尔定理, ∃ξ∈(a, b), 使ϕ′ (ξ )=0 . 而ϕ′
使
证明提示: 证明提示 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例1. 验证罗尔定理对 f ( x ) = ln sin x 在区间 π 5π [ , ]上的正确性. 6 6
π f ( x ) = ln sin x 在 π , 56 上连续, 解: 因为 6
π , 5π ) 在( 内可导, 且 f ( π ) 6 6 6
A
C
y = f ( x)
M
N
D
B
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
证 分析 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b ). 分析:
f (b) − f (a ) 弦AB方程为 y = f (a ) + 方程为 ( x − a ). b−a 曲线 f ( x ) 减去弦 AB ,
所得曲线 a , b两端点的函数值相等 .
f(b)-f(a)=f [a+θ(b a)]（ [a+θ(bf(b)-f(a)=f’[a+θ(b-a)]（b-a） (0<θ<1) f(x+△x)-f(x)=f (ξ) (ξ)△ f(x+△x)-f(x)=f’(ξ)△x f(x+△x)-f(x)=f [x+θ [x+θ△ f(x+△x)-f(x)=f’[x+θ△x] △x
证 Q f ( x ) 在 [a , b] 连续 , 必有最大值 M 和最小值 m .
(1) 若 M = m .
则 f ( x) = M . 都有 f ′( ξ ) = 0.
由此得 f ′( x ) = 0. ∀ ξ ∈ (a , b ),
( 2) 若 M ≠ m .
设 M ≠ f (a ),
Q f ( a ) = f (b ),
则 f(0)=f(1)=0，从而存在 ξ<1,使得 ，从而存在0<ξ 使得
f (ξ ) = 0.
'
f (ξ ) = a1 + 2 a 2ξ + L + na nξ
'
n −1
= 0.
2. 拉格朗日
(Lagrange) 中值定理 中值定理.
y
拉格朗日中值定理 (微分中值定理）: 微分中值定理） 微分中值定理 若函数 f (x)满足 (1) f (x) 在 [a, b] 上连续; (2) f (x) 在(a, b) 内可导. 则在 (a, b) 内至少有一点ξ , 使等式 f (b)−f (a)=f ′ (ξ )(b−a). − − 成立.
f ( x )在[2，]上满足R − 定理条件，则 ∃ξ 3 ∈ ( 2，)使f ′(ξ 3 ) = 0, 3 定理条件， 3
个实根。 即 f ′( x ) = 0至少有 3个实根。 是三次多项式， 有三个零点。 又 f ′( x )是三次多项式，所以至 多 有三个零点。