向量组的线性相关性线性方程组的解的结构线性方程组的求解
线性代数B(部分)第四部分小结
(5) 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b 的两个不 同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解 系,k1, k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解必是 （ ）． β1 − β 2 β1 + β 2 (a)k1α1 + k2 (α1 + α 2 ) + ;(b)k1α1 + k2 (α1 − α 2 ) + ; 2 2 β1 − β 2 β1 + β 2 (c)k1α1 + k2 ( β1 − β 2 ) + ;(d )k1α1 + k2 ( β1 − β 2 ) + . 2 2 解 由非齐次线性方程组解的结构知， Ax b Ax＝b的通解 为其一个特解与对应的齐次线性方程组的通解之和．由此 对照4个选项， 因
其中 ξ1, ξ2,…, ξn-r为Ax = 0的基础解系；η*是Ax =b的一个 特解.
四、典型例题
1、填空、选择题 、填空、 例1 填空 （1）设向量组α1＝（1，1，1）, α2＝（1，2，3）, α3＝（1，3，t）线性相关，则t＝_________． 解 本题有多种解法，可以用由向量组组成的行列式 等于零，也可以用由向量组组成的矩阵的小于3．由于
解 因为β，α1，α2线性相关，所以β，α1，α2， α3也 线性相关，而β，α2，α3线性无关,由定理知α1可用β, α2, α3 线性表示．故选(C). (2)设A为n阶方阵，且R(A)=n－1， α1，α2是Ax＝0的 两个不同的解向量, k为常数, 则Ax＝0的通解[ ]． (A) kα1; (B) kα2; (C) k(α1－α2); (D) k(α1+ α2).
β1－β 2
2 β1 + β 2 解，所以可排除(a)、(c),在(b) 、 (d)中 是Ax＝b 2
大学数学易考知识点线性代数与概率论
大学数学易考知识点线性代数与概率论大学数学易考知识点：线性代数与概率论线性代数是大学数学中非常重要且基础的一门学科，它涉及到向量空间、矩阵、行列式、线性方程组等内容。
概率论则是研究随机事件发生的概率及其规律性的数学学科。
在大学数学考试中，线性代数与概率论是比较易于考察且知识点较为独立的部分。
本文将介绍大学数学考试中线性代数与概率论的一些常见易考知识点。
一、线性代数1. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念之一，在考试中常涉及到向量空间的基本性质、子空间、线性组合、线性相关性、线性无关性等内容。
此外，线性变换也是考察的重点，包括线性变换的定义、性质、矩阵表示及其相关定理等。
2. 矩阵与行列式矩阵是线性代数的重要工具，考试中经常涉及到矩阵的基本运算、特殊矩阵、矩阵的秩与逆等知识点。
行列式也是考试的常见题型，包括行列式的定义、性质、展开及其应用等内容。
3. 线性方程组与解空间线性方程组是线性代数的基本问题之一，考试中常涉及到线性方程组的求解、解的结构、解的个数等知识点。
此外，解空间也是考查的重点，包括零空间、列空间、行空间等相关概念及其性质。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，考试中常涉及到特征值与特征向量的定义、性质、求解、对角化等知识点。
矩阵的对角化定理也是考查的重点，需掌握其条件与应用。
二、概率论1. 随机变量与概率分布随机变量是概率论的基础，考试中常涉及到随机变量的定义、分类、概率分布、期望、方差等知识点。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等；常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
2. 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论的重要定理，考试中常涉及到大数定律的弱/强收敛形式、伯努利大数定律、切比雪夫大数定律等；中心极限定理的常见形式包括林德伯格-列维中心极限定理、中心极限定理的矩形式等。
3. 随机过程与马尔可夫链随机过程是概率论的重要内容，考试中常涉及到随机过程的定义、分类、马尔可夫性质等知识点。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
高中数学中的向量线性相关与线性无关
高中数学中的向量线性相关与线性无关在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。
而在向量的研究中，线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。
本文将探讨高中数学中的向量线性相关与线性无关的概念及其应用。
一、向量的线性相关与线性无关的定义在向量的研究中，我们经常会遇到多个向量同时出现的情况。
而这些向量之间的关系可以分为线性相关和线性无关两种情况。
1. 线性相关如果存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以下关系：$k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=0$其中，$0$表示零向量。
那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性相关。
2. 线性无关如果不存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以上关系，那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性无关。
二、线性相关与线性无关的几何意义线性相关与线性无关的概念在几何上有着重要的意义。
我们以二维向量为例进行说明。
假设有两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$，我们可以将它们画在二维平面上。
如果这两个向量共线，即它们的方向相同或相反，那么它们是线性相关的。
反之，如果这两个向量不共线，即它们的方向不同，那么它们是线性无关的。
同样地，对于三维向量，我们可以将它们画在三维空间中。
如果多个向量共面，那么它们是线性相关的。
反之，如果多个向量不共面，那么它们是线性无关的。
三、线性相关与线性无关的应用线性相关与线性无关的概念在向量的运算中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 向量的线性组合线性相关的向量可以通过调整系数的大小，通过线性组合的方式得到零向量。
而线性无关的向量则不能通过线性组合得到零向量。
2. 坐标系的建立在坐标系的建立中，我们通常会选择线性无关的向量作为坐标轴。
这样可以保证坐标系的唯一性和准确性。
3. 向量的基与维数如果向量组中的向量线性无关，并且能够通过线性组合得到其他向量，那么我们称这组向量为基。
解析向量的线性相关性
解析向量的线性相关性引言向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
在解析几何中，向量可以用于描述空间中的方向和大小。
而向量的线性相关性则是研究向量之间的关系，对于理解向量的性质和应用至关重要。
本文将深入探讨向量的线性相关性，包括相关性的概念、判定条件以及实际应用。
一、向量的线性相关性概念及表示向量的线性相关性是指存在一组不全为零的系数，使得这组系数与向量的线性组合等于零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，其中v1、v2、...、vn为向量，那么这组向量就是线性相关的。
向量的线性相关性可以用矩阵的行列式来判断。
设有向量v1、v2、...、vn组成的矩阵A，若|A| = 0，则这组向量线性相关；若|A| ≠ 0，则这组向量线性无关。
二、向量的线性相关性判定条件1. 零向量与任意向量线性相关：对于任意向量v，存在一个不为零的实数k，使得k0 = 0。
2. 两个向量线性相关的充要条件是它们共线：若v1与v2线性相关，则存在一个不为零的实数k，使得v1 = kv2。
反之，若v1 = kv2，则v1与v2线性相关。
3. 三个向量线性相关的充要条件是它们共面：若v1、v2、v3线性相关，则存在一组不全为零的实数k1、k2、k3，使得k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0。
反之，若存在一组不全为零的实数k1、k2、k3，使得k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0，则v1、v2、v3线性相关。
三、向量的线性相关性的应用向量的线性相关性在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景。
1. 平面嵌入在计算机图形学中，平面嵌入是指将一个平面嵌入到另一个平面中的过程。
向量的线性相关性可以用来判断两个平面是否相交。
如果两个平面的法向量线性相关，那么它们相交；反之，它们不相交。
2. 线性方程组的解线性方程组的解可以通过向量的线性相关性来求解。
向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构
注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
chapter4向量组及其线性组合
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
向量组的线性组合与线性相关性
线性组合的几何意义
几何解释
在几何上，线性组合可以表示为向量 的平移和伸缩变换。通过改变标量的 值，可以得到不同的线性组合结果， 从而描绘出不同的几何图形。
应用
线性组合在解析几何、计算机图形学 等领域有广泛应用，如通过线性组合 表示平面上的点、线、面等几何对象 。
PART 03
线性相关与线性无关
REPORTING
性质
线性组合满足交换律、结合律、分配律等基本的数学运算规 则。
线性组合的几何意义
几何解释
在几何上，线性组合可以表示为向量 的平移和伸缩变换。通过改变标量的 值，可以得到不同的线性组合结果， 从而描绘出不同的几何图形。
应用
线性组合在解析几何、计算机图形学 等领域有广泛应用，如通过线性组合 表示平面上的点、线、面等几何对象 。
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
目的和背景
研究向量组的线性组合与线性相关性的目的
揭示向量组内部元素间的依赖关系，为向量空间的理论研究和实际应用提供基础 。
线性组合与线性相关性的重要性
在数据分析、机器学习、图像处理等领域中，向量组的线性组合与线性相关性是 理解数据结构和特征提取的关键。
关；否则，线性无关。
行列式法
对于$n$个$n$维向量，可以 构造一个$n$阶行列式。如果 行列式为零，则向量组线性 相关；否则，线性无关。
线性相关与线性无关的判断方法
观察法
通过观察向量组是否包含零 向量或是否共线/共面来判断 其线性相关性。包含零向量 或共线/共面的向量组必定线
性相关。
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法判断向量组线性相关的方法是线性代数中的一个重要概念，它对于研究向量空间的性质和解决实际问题都具有重要意义。
在实际应用中，我们经常需要判断给定的向量组是否线性相关，这就需要运用相应的方法进行分析。
接下来，我们将介绍几种常见的方法来判断向量组的线性相关性。
一、行列式法。
对于给定的向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们可以将它们按列排成一个矩阵$A=[{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n]$。
然后，我们计算矩阵$A$的行列式$|A|$，如果$|A|=0$，则向量组线性相关；如果$|A|\neq0$，则向量组线性无关。
二、线性方程组法。
另一种判断向量组线性相关的方法是通过解线性方程组来进行分析。
对于向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们可以构造一个线性方程组$X{\alpha}_1+Y{\alpha}_2+\cdots+Z{\alpha}_n=0$，其中$X,Y,\cdots,Z$为未知数。
然后，我们求解该线性方程组，如果存在不全为零的解，则向量组线性相关；如果只有零解，则向量组线性无关。
三、秩的方法。
我们还可以通过矩阵的秩来判断向量组的线性相关性。
对于给定的向量组${\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n$，我们将它们按列排成一个矩阵$A=[{\alpha}_1, {\alpha}_2, \cdots, {\alpha}_n]$，然后计算矩阵$A$的秩$r$。
如果$r<n$，则向量组线性相关；如果$r=n$，则向量组线性无关。
四、线性相关性的性质。
除了以上方法外，我们还可以利用线性相关性的性质来判断向量组的线性相关性。
例如，如果向量组中存在一个向量是其他向量的线性组合，则该向量组线性相关；如果向量组中的向量个数大于向量的维数，则向量组线性相关。
第四章线性方程组与向量组的线性相关性
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 由定理2可知
➢ 定理3 设n元齐次线性方程组 Ax=0，
⑴ R(A)=n 方程组Ax=0有惟一解， 即方程组Ax=0只有零解
A为方阵时，A≠0 ⑵ R(A)<n 方程组Ax=0有无穷多组解，
即方程组Ax=0有非零解 A为方阵时，A=0 ➢ 注：定理1.3及推论1.2自行阅读。
2r2r1 5r2r3
1 0
0 1
1 1
1 0
3 1
0 5 5 0 5
0 0 0 0 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 原方程组可化为
x1 x3 x4 3
x2 x3
1
x3与x4可任意取值， 称为自由未知量
令x3k1,x4k2(k1,k2为任意 ),得 方常 程 组 的数 解
x1 3 k1 k2
向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。
➢ 性质1若向量组1, 2,…,s可由向量组1, 2,…, t 线性表示，向量组1, 2,…,t 可由向量组1, 2, …,p线性表示，则向量组1, 2,…,s可由向量组 1, 2,…,p线性表示。（传递性）
§2 向量组的线性相关性
➢ 性质2
⑴向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,s等价； ⑵若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 则向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,s等价； ⑶若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,p等价， 则 向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,p等价。
➢ 例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
线性代数各章学习要点3
第3章n维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。
本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后，应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。
无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。
3. 1 n维向量及其运算定义（n维向量）由数域F中的n个数a-i,a2/ , a n组成的有序数组-■ - ( a i, a2, , a n)a2耳一称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中a1, a2 / ,a n称为向量的分量（或坐标）。
分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。
如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量。
行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行。
以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
设有向量■■ = （a i,a2,…，a n），- - （b1 ,b2 / , b n ）则向量相等的定义为- a i = b i （i=1,2,…,n）向量的加法定义为a + P =（a i +b i a? +b2 …a* +b n T数乘向量的定义为k：（「k）二（ka i,ka2, ,ka n）T向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中：■,'-,为n维向量，k,l为常数）：（1）二：+：= ：+=；)( :• - ) ( - )；(3)存在零向量0= ( 0,0，…，0 ) T，使得〉+0= ;(4)存在:-的负向量-二=(_a i,_a2,…，-a n)T,使得〉+ (-二)=0；(5)仁• = ：•；(6)k(l ： )=(kl):-;(7)k(: + 1 )=k +k :;(8)(k+l)用=k : +1 :;如果记矩阵A = (a j )m n的第j列向量为：a i ja2jQ j = : , (j=1,2,…,n)貝一则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式：论一：* - X2J2…'x n J n二 b而齐次线性方程组A X=0则可写成向量形式：Xv 1 ■ X2： 2 …• X n： n = 03. 2向量组的线性相关性定义(线性组合)设宀，：^，…，〉m是一组n维向量，k1, k2/ ,k m是一组常数，则称向量kr 1 k2： 2 k m： m为向量〉1,〉2,i,〉m的一个线性组合，并称k1,k2 / , k m为该线性组合的系数。
线性方程组与向量的线性相关性
问 取何值时，此方程组（1）有唯一解;（2）无解;
（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.
解：求解带参数的方程组，包括何时无解、有唯一解、有
无限多个解，是Thm3.1的综合应用, 在线性代数中占
有重要地位， 因此要熟练掌握它的解法.
带参数 的非齐次方程AX=b，一般有两个求解方法：
其一是当A为方阵时, 先根据系数行列式 A 0, 求得使
1 0
1 1
1 1
4 3
1 2
x1
x2
x2
x3
x3 4 3x4
x4
2,
1,
0 0 0 0 0
0 0.
r1
r2
1 0
0 1
2 1
7 3
1 2
0 0 0 0 0
未知元的个数多于方 程的个数，则存在不 受约束的未知元，称
x1 1 2c1 7c2 ,
x2 x3
线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.
，则称
4
二、初等行变换解线性方程组(以例说明)
2
x1 x1
x2 x3 4 x4 1, 3 x2 x3 5 x4 4,
x1 2 x3 7 x4 1.
行对应方程，列 对应未知元
1 1 1 4 1 r2 2r1 1 1 1 4 1
1 1 1 0 (A,b) 1 1 1 3
不能作变换
r2 ( 1)
1 1 1
r1 r3 1 11 1 1 1111
r2
r3
r1
(1
)r1
0 01 101
1 1
1
21
13 12
3 00 2
不能 作变
r3 r2 1 1 1 0
第二章-线性代数学习指导书(1)
第二章 线性方程组一．主要内容本章主要讨论向量组的线性性质，线性方程组的可解条件及其解法等内容．（一）、向量组的线性相关性列向量（行向量）是一类特殊的矩阵，因而它的运算（如加法、数乘、转置等）和性质与矩阵的相应运算和性质一样．值得注意的是n 维列向量与n 维行向量才能做相乘运算，例如，令12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12y y y ,y n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体) 则111121221222T 1212xy (,,,),n n n n n n n n x x y x y x y x x y x y x y y y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(字母新罗马用斜体)()12121122,,,.T T n n n n y y x y x x x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++= ⎪ ⎪⎝⎭这表明：n 维列向量与n 维行向量的积是n 阶方阵，n 维行向量与n 维列向量的积是一个数，这个数被定义为这两个向量的内积（参见第三章）．为了研究一组同维数的列向量间的相互关系，引入了向量的线性表示和向量组的线性无关性以及向量组等价等概念．它们是研究线性方程组的基础． 假设有一组n 维列向量：1j 2j j nj a a ,1,2,,.a j s α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体)构造矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 则向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是()R A s <. 因此，可用下面步骤判断向量组12,,,s ααα的线性相关性．第一步：对矩阵A 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵B ；第二步：行阶梯形矩阵B 的非零行数即为矩阵A 的秩()R A ；第三步：如果()R A s <，则12,,,s ααα线性相关，否则线性无关.在向量组线性相关的情况下，还应求出它的最大线性无关向量组与线性关系式．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，因而，可利用矩阵的初等行变换求解．具体解法如下：第一步：对矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 施行初等行变换化为行标准形12(,,,)s B βββ=；第二步：求最大线性无关组．因为行标准形B 中首元1所在的列构成的向量组12,,,r i i i βββ是矩阵B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以，12,,,r i i i ααα是12,,,s ααα的一个最大线性无关组．第三步：求线性关系式．若行标准形B 中的列向量12,,,k j j j βββ满足关系式12120k j j r j d d d βββ+++=，则矩阵A 中的列向量12,,,k j j j ααα也满足关系式12120k j j r j d d d ααα+++=． 因此，位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵B 对应列的相应分量.（二）、线性方程组理论线性方程组理论是一个应用很广的数学理论，它包含解的存在性、解的唯一性和求解等内容.设含有m 个方程n 个未知量的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （１）其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(),.A A b = 1．线性方程组解的存在性与唯一性 存在性：线性方程组（１）有解的充分必要条件是R(A)R(A).=唯一性：若R(A)R(A)n,==则线性方程组（１）有唯一解；若R(A)R(A)n,=<则线性方程组（１）有无穷多解．2．线性方程组的求解步骤第一步： 写出线性方程组（1）的增广矩阵(),,A A b =并利用矩阵的初等行变换将A变为行标准形；第二步：分别求出线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩R(A),和R(A),并运用解的存在性与唯一性定理进行判定．若有解时，继续求解．否则，停止求解；第三步：若线性方程组（１）的解唯一，则根据A的行标准形直接求解，完成计算．若线性方程组（１）的解不唯一，则根据A的行标准形求线性方程组（１）的一个特解．这时，首先确定自由变量．可令A的行标准形中非零行的首元1所在的列对应的变量为约束变量，其个数为R(A),其它未知量为自由变量，其个数为n R(A).-然后将所有的自由变量赋值为零，求得特解．第四步：求线性方程组（1）的导出组的基础解系．首先确定导出组的基础解系中所含向量的个数n R(A),-同时根据A的行标准形确定自由变量；然后，分别取n R(A)-阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值，并根据A的行标准形求得导出组的基础解系.第五步：用线性方程组（1）的特解与导出组的基础解系表示线性方程组（1）的解．值得注意的是，对于一个数学问题（或实际问题），它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容，这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式．二．基本要求与疑难解析（一）基本要求1.熟悉线性方程组的不同表达形式(方程组形式,矩阵形式,向量形式).2.理解线性方程组的可解条件，熟练掌握求解线性方程组的消元法.3.熟悉齐次线性方程组有非零解(只有零解)的充分必要条件，熟悉非齐次线性方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件.4.理解n维向量、n维向量空间概念，熟悉n维向量的线性运算.5.理解n维向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理，会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关.6.理解向量组的最大无关组及向量组的秩的概念及其相关定理，会求向量组的最大无关组与秩.7.熟悉齐次线性方程组解的结构.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法.8.熟悉非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的联系.熟练掌握非齐次线性方程组的结构式通解的求法.（二）疑难解析1、用消元法求解线性方程组时，能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗？答：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等变换：（1）某个方程乘非零常数k；（2）一个方程乘常数k加到另一方程；（3）对换两个方程的位置，将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换，化为阶梯形矩阵.因此，求解线性方程组时，一般不能对增广矩阵施行初等列变换，但可以对换矩阵的两列，此时相应地未知元也要对换.2、向量组的线性相关与线性表示两个概念之间有什么联系？理解它们之间的关系要注意些什么？答：一向量组线性相关就意味着存在不全为零的一组数，以它们为系数所作的此向量组的线性组合为零.这等价于向量组中有某向量可以由其余向量线性表示.在后一句话中我们要注意两点：第一，向量组线性相关只说明向量组中存在某一个向量可由其余向量线性表示，并不一定是每个向量都可由其余向量线性表示.第二，线性相关的向量组中至少有一向量可由其余向量线性表示.3、如何判断向量组线性相关？答：根据书中的定理，某些向量组可直接判断它是线性相关的，如向量组中向量的个数多于其维数，向量组含有零向量或含有显然线性相关的部分组（如含有对应系数成比例的两个向量）等.一般的向量组可通过矩阵判别法来判断,即把向量组中向量作为列排成一矩阵A ，然后计算矩阵A 的秩，当且仅当A 的秩小于向量的个数时向量组线性相关.特别，对于由n 个n 维向量构成的向量组，只需考察A 的行列式，即当且仅当0=A 时向量组线性相关.4、向量组的最大无关组有什么特性？它在向量组的讨论中起什么作用？答：向量组的最大无关组有两个重要特性：第一，它是向量组的线性无关部分组，第二，它与原向量组等价.最大无关组也可以从其它角度来刻画：向量组的最大无关组就是向量组中含向量最多的线性无关部分组，也是与向量组等价的部分组中含向量最少的部分组.向量组的最大无关组不唯一，但每个最大无关组所包含向量的个数是相同的，称它为向量组的秩，是反映向量组本质的一个量.因为向量组的最大无关组与原向量组等价，根据等价关系的对称性和传递性，在讨论两向量组的线性关系时，诸如讨论一向量组是否可由另一向量组线性表示，两向量组是否等价，两向量组的秩之间的关系等，通常用最大无关组来代表原向量组.因为最大无关组是线性无关的，且其所含向量的个数就是向量组的秩，讨论起来较方便.特别是对包含无限多个n 维向量的向量组，它的最大无关组仅含有限个向量，这样就可以把对无限向量组的讨论转化为对有限向量组的讨论.5、向量组的等价与等秩有什么联系？答：根据等价的向量组的极大无关组也等价以及教材中有关定理可知等价的向量组必等秩.但等秩的向量组不一定等价，例如设),1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321===εεε则向量组21,εε与向量组31,εε的秩都为2，但显然这两个向量组不等价.只有当两向量组中有一个可由另一个线性表示时，这两个向量组等秩就一定等价.特别地，一个向量组的部分组如果与原向量组等秩，则它们是等价的.6、如何理解矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系？什么是由此结论得出的求向量组的极大无关组的方法？答：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系是指如果矩阵A 通过初等行变换化为矩阵B ，那么对A 的任一列向量部分组，该部分组线性相关当且仅当B 对应的列向量部分组也线性相关.因而ir i i ,,ααα 21是A 的列向量组的最大无关组当且仅当B 中对应的列向量组ir i i βββ,,,21 是B 的列向量组的最大无关组. 前一论断证明如下：设A 通过初等行变换化为矩阵B ，任取A 的第k i i i ,,,21 列ik i i ααα,,, 21构成矩阵A 1，则A 1通过前面给出的初等行变换得到的矩阵正是由B 的第k i i i ,,,21 列ik i i βββ,,,21 构成的矩阵B 1，因而)()(11B r A r =.又ik i i ααα,,, 21线性相关当且仅当,)(1k A r <也就是.)(1k B r <而k B r <)(1当且仅当ik i i βββ,,,21 线性相关.所以矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系.利用这一性质，我们求向量组的最大无关组时，只须把所给向量组中向量为列构成一矩阵A ，然后用初等行变换化A 为阶梯形矩阵B ，因为B 的每个非零行第一个不为零的元素所在的列向量构成的列向量部分组是B 的列向量组的一个最大无关组，所以A 的相应的列向量部分组就是所给向量组的一个最大无关组.7、非齐次线性方程组AX ＝b 的解与A 的列向量组之间有何联系？(用b Ax =，或0=Ax ，下同)答：将线性方程组AX ＝b 写成向量形式b x x x n n =+++ααα 2211，其中i α为A 的第i 列构成的列向量，因此b 可由n ααα,,,21 线性表示⇔AX ＝b 有解.b 可由n αα,,1 唯一线性表示⇔AX ＝b 有唯一解.b 可由n αα,,1 表示，且表示法不唯一⇔AX ＝b 有无穷多解.8、齐次线性方程组的基础解系是否唯一？判别一个向量组是否为AX ＝0的基础解系的方法有哪些？答：当方程组AX ＝0存在基础解系（有非零解）时，其基础解系是不唯一的。
行列式的应用
行列式的应用行列式是一个重要的数学工具，在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些行列式的应用：1. 线性代数中的解析几何：行列式可以用来描述向量的线性相关性，判断向量组是否线性相关或线性无关，以及计算向量组的体积、面积等几何性质。
2. 线性代数中的矩阵方程求解：行列式可以用来求解线性方程组的解，通过计算行列式的值可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或有无穷多个解。
3. 线性代数中的矩阵的逆：行列式可以用来判断矩阵是否可逆，即是否存在逆矩阵。
通过计算行列式的值可以判断矩阵是否可逆，若行列式的值不为零，则矩阵可逆。
4. 线性代数中的特征值与特征向量：行列式可以用来计算矩阵的特征值，特征值与特征向量在很多应用中具有重要的意义，例如在物理学中的量子力学和振动系统的分析中。
5. 几何学中的面积和体积计算：行列式可以用来计算平面上的三角形面积、立体图形的体积等几何性质。
通过构建矩阵并计算行列式的值，可以得到几何性质的解析表达式。
6. 统计学中的多元随机变量的联合密度函数：行列式可以用来计算多元随机变量的联合密度函数。
通过计算行列式的值，可以得到多元随机变量的概率分布。
7. 物理学中的刚体运动学：行列式可以用来描述刚体的转动和运动。
通过计算刚体的转动惯量矩阵的行列式，可以得到刚体的转动惯量，从而分析刚体的运动状态。
8. 工程学中的电路分析：行列式可以用来分析电路的相关参数，如电流、电压的分布、电路的功率等。
通过构建电路的增广矩阵，并计算其行列式的值，可以得到电路的解析解。
以上仅是行列式的一些应用领域，实际上行列式在数学、物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
线性方程组的矩阵行列式与解性质
线性方程组的矩阵行列式与解性质线性方程组是数学中的重要概念，它描述了多个线性方程的集合，我们可以通过矩阵行列式与解的性质来研究线性方程组的解的存在性、唯一性以及可解性等问题。
本文将介绍线性方程组的矩阵行列式与解的性质，以便更好地理解和解决线性方程组的问题。
一、矩阵行列式与解的存在性对于一个线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
当且仅当矩阵A的行列式不等于零时，线性方程组有解。
这是线性代数中的克拉默法则。
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以通过计算矩阵的行列式来判断线性方程组是否有解。
如果矩阵A的行列式等于零，即|A|=0，则线性方程组无解。
这意味着系数矩阵的行向量是线性相关的，存在某个向量可以表示为其余向量的线性组合。
二、矩阵行列式与解的唯一性当线性方程组的系数矩阵A满足行满秩条件时（即A的行向量线性无关），线性方程组的解是唯一的。
行满秩条件可以用行列式来刻画。
如果A的行列式不等于零且行满秩，则线性方程组有唯一解。
这也称为克拉默法则的第二部分。
当矩阵A的行列式不等于零时，我们可以使用矩阵的逆来求解线性方程组的唯一解。
设A的逆矩阵为A^-1，则方程组的解可以表示为x=A^-1b。
三、矩阵行列式与解的可解性对于一个线性方程组Ax=b，如果系数矩阵A的行数小于列数，即m<n，那么线性方程组可能有无数个解，也可能无解。
当m<n时，矩阵A是一个矩形矩阵，存在自由变量。
这意味着线性方程组具有无穷多个解。
我们可以使用参数化的方法来表示解。
例如，考虑一个二维线性方程组的例子：x + 2y = 32x + 4y = 6该方程组的系数矩阵A为[[1, 2], [2, 4]]，行列式为0。
系数矩阵的秩为1，小于列数2。
因此，这个方程组有无穷多个解，可以表示为x=a，y=3-2a，其中a为任意实数。
总结起来，线性方程组的矩阵行列式与解的性质是线性代数中的重要概念。
通过计算矩阵的行列式，我们可以判断线性方程组的解的存在性。
向量——线性代数
向量的线性相关性 线性方程组的解的结构 线性方程组的求解
向量的基本知识
n维（实）向量 维 行向量 列向量 零向量 负向量
α = ( a1 , a 2 , ⋯ , a n )
ai
α = ( a1 , a 2 , ⋯ , a n )
β ( b1 , b 2 , ⋯ , bn )
线性相关。 线性相关。
练习 判断向量组的线性相关性
α1 = ( 2,1, −1, −1) , α 2 = ( 0,3, −2, 0 ) , α 3 = ( 2, 4, −3, −1)
解 设
k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0
2k1 + 2k3 = 0 k + 3k + 4k = 0 1 2 3 −k1 − 2k2 − 3k3 = 0 −k1 − k3 = 0
4. n+1个n维向量必线性相关。 维向量必线性相关。 个 维向量必线性相关
线性无关的一些命题 1. 如果方程
x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xmα m = 0
只有零解， 只有零解，则向量组
α1 , α 2 , ⋯ , α m ,
线性无关。 线性无关。
2. 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性无关。 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性无关。
例1
讨论
维向量组（ 维单位坐标向量） n 维向量组（称为 n 维单位坐标向量） 的线性相关性。 的线性相关性。
e 1 = (1, 0 , 0 , ⋯ , 0 ) e 2 = ( 0 , 1, 0 , ⋯ , 0 ) ⋯ e n = ( 0 , 0 , 0 , ⋯ , 1)
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a1 b1, a2 b2, , an bn 为向量 与向量 的和向
量，记作 ，称向量 a1 b1, a2 b2, , an bn
为向量 与向量 的差向量，记作 。
1，
，
2
， n
线性无关。
●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
因为 1O 0 1 0 2 0 n O
例3 证明下列向量组线性无关。
1 1，0，0， ，0，2 0，1，0， ，0， ，n 0，0，0， ，1
证明 设 k11 k22 knn o
k4 0 3k3 0
2k1 5k2 k3 4k4 0
k1 k2 3k3 k4 0
利用矩阵的初等变换，可求得
可见，向量组 1,2 , ,n
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22 xnn 0
有非零解
k1 2, k2 k3 1, k4 0 注：有无穷多组解
练习：已知 3,5,7,9, 1,5,2,0, ，求
解 4,0,5,9
● 向量的线性关系
线性组合的概念：设有同维向量 1,2 , ,n , ，如果存在
一组数 k1, k2 , , kn ，使得 k11 k22 knn 成立，
(4) () o
(5) 1 (6) () () ()
(7) （ ）= (8) ( )
交换律 结合律
分配律
●例1 设向量 （2，1，0）， （1，1，3），求3 4
解 3 4 32，1，0 41，1，3 6， 3，0 4，4，12 10， 7，12
ai 称为向量 的第i个分量（或坐标）。
如果将有序数组写成一列的形式，则称向量
a1
a2
为列向量。
an
实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。
●几个概念
1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。
2、相等向量：如果向量 与 是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量 与 相等。
2、数乘向量
设向量 (a1, a2 , , an ), R, 则称向量 (a1, a2,
为数 与向量 的数称向量，记作
, an )
向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。
●向量线性运算的运算律
（1） （2）（ ） （ ） （3） o
则称向量 可由向量组 1,2 , ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2 , ,n 的线性组合。
例2 设 1 （1，2，1），2 （2，3，6）， =（5，8，13），
判断向量 能否由向量组 1，2 线性表示？如果可以，求出
表达式。
解 设 k11 k22
小结：
则 所以
k1 2k2 5 2k1 3k2 8 k1 6k2 13
kk12
1 2
1 22
可由向量组1，
，
2
， n
线性表示
线性方程组
x11 x22 xnn 有解
●线性相关、线性无关的概念
设有向量组1，
3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。
4、负向量：称向量 a1, a2, , an 为向量 a1, a2, , an
的负向量，记作 。 5、向量组：如果n个向量 1,2 , ,n 是同维向量，则称为
向量组 1,2 , ,n
●向量的线性运算
1、向量的加减法
，
2
， n
，如果存在一组不全为零的数
k1, k2 , , kn ，使得 k11 k22 knn o 成立，则称
向量组
1，，2源自， n线性相关，否则，称向量组
1，
，
2
， n
线性无关。即当且仅当 k1, k2 ,
, kn
全为零时，k11 k22 knn o 才成立，则称向量组
练习 判断向量组的线性相关性
1 2,1,1,1,2 0,3,2,0,3 2,4,3,1
解 设 k11 k22 k33 0
2k1 2k3 0
则有
k1k1 3k22k2
●向量与线性方程组
引例 一个方程对应一组数
a1x1 a2x2 anxn b a1, a2, ,an,b
矩阵的一行对应一组数
线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。
●向量的定义
由n个数 a1, a2 , , an 组成的有序数组 (a1, a2 , , an )
称为一个 n 维行向量，记作 (a1, a2 , , an ) ，其中
则 （k1，k2， ，kn）（0，0， ，0）
所以 k1 k2 kn 0
所以向量组
1，
，
2
， n
线性无关。
称向量组 1，2， ，n 为n维向量空间的单位坐标向量组。
任何一个n维向量 a1, a2, , an 都可由向量组
1，2， ，n 线性表示， a11 a22 ann
例4 讨论向量组 1 1，1，2，2，1，2 0，2，1，5，1， 3 2，0，3，1，3，4 1，1，0，4，1 的线性相关性
解 设 k11 k22 k33 k44 0
k1 2k3 k4 0
则
2k1k1 2kk22