荟萃之方程的根与函数的零点1
课件9： 3.1.1 方程的根与函数的零点
确定函数零点、方程根所在区间，可以利用函数零点存在性定理， 转化为区间两端点函数值是否相反．
【学以致用】
2．试判断方程 x3＝2x 在区间[1,2]内是否有实数根．
解：令 f(x)＝x3－2x，因为函数 f(x)＝x3－2x 的图象在区间[1,2]上是连 续曲线，并且 f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－4＝4>0，所以 f(1)·f(2)<0， 所以函数 f(x)＝x3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程 x3＝2x 在区间[1,2]内至少有一个实数根．
a≠0， (2)方程有两正根，所以 a≠0，由根与系数关系得：xx11＋·x2x>20>，0，
Δ>0，
a≠0， ∴2a(－aa＋a1>10)，>0，
a>－13，
解得 a>1. ∴方程有两正根时 a 的取值范围是(1，＋∞). (3)因方程有一正一负根，所以由根与系数关系得：x1·x2＝a－a 1<0， 又 Δ＝12a＋4>0，解得 0<a<1.
【学以致用】
3．已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x>0 时，f(x)＝lnx，那么函数
y＝f(x)的零点个数为( )
A．一定是 2
B．一定是 3
C．可能是 2 也可能是 3
D．可能是 0
解析：x>0 时，f(x)＝lnx，根据对数函数的性质知 f(x)在(0，＋∞)上有一个
零点，因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以在(－∞，0)上也有一个零点，
3.1.1 方程的根与函数的零点
考纲定位
重难突破
1.了解函数零点的概念，领会方程的根 与函数零点之间的关系． 2.掌握函数零点存在性定理． 3.结合图象，求解零点.
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1. 引言在数学中，方程的根和函数的零点是非常重要的概念。
它们在代数、微积分、几何等多个领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍方程的根和函数的零点的概念及其在数学中的应用。
2. 方程的根2.1 什么是方程的根？方程是通过等号连接的两个算式，其中包含一个或多个未知数。
方程的根指的是能够使方程等式成立的未知数的取值。
比如，对于一元二次方程ax2+bx+c=0来说，方程的根就是使等式成立的x的值。
2.2 方程的根的分类根据方程的次数和复数域中的性质，方程的根可以分为以下分类：•一元一次方程：ax+b=0，其中a eq0。
该方程的根为$x=-\\frac{b}{a}$。
•一元二次方程：ax2+bx+c=0，其中a eq0。
该方程的根可以通过求解二次方程的判别式来得到：–当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
–当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根。
–当b2−4ac<0时，方程有两个共轭复根。
•一元三次方程、一元四次方程以及更高次的方程，求解根的方法相对复杂。
2.3 方程根的性质方程根的性质是研究方程的重要内容之一。
以下是一些常见的方程根的性质：•一元一次方程的根：即线性方程ax+b=0的根，其中a和b为常数。
该方程的根为 $x=-\\frac{b}{a}$。
由此可见，一元一次方程的根只有一个，且是唯一的。
•一元二次方程的根：即二次方程ax2+bx+c=0的根，其中a、b和c为常数。
根据判别式b2−4ac的值，可以分为实数根和复数根。
当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
3. 函数的零点3.1 什么是函数的零点？函数是自变量和因变量之间的关系，函数的零点即函数取值为零的点。
对于实数域上的函数f(x)，其零点即满足f(x)=0的x的值。
3.2 函数的零点与方程的根的联系函数的零点与方程的根有很密切的联系。
课件5：3.1.1 方程的根与函数的零点
A．0
B．1
C．2
D．无数个
答案 A
3.
已知函数 y＝f(x)是偶函数，其部分图像如图所示，则这个函 数的零点至少有________个．
答案 4 解析 偶函数图像关于 y 轴对称．
4．如果函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝ bx2－ax 的零点是________． 答案 0，－12 5．函数 f(x)＝x－1(2≤x≤10)的零点为 x＝1 吗？
如图所示．
(2)不等式 xf(x)<0 同解于x>0， fx<0
或xf<x0>，0，
结合函数图像
得不等式的解集为(0,2)∪(－2,0)．
课后巩固
1．函数 f(x)＝x2－3x－4 的零点是( )
A．1，－4
B．4，－1
C．1,3
D．不存在
答案 B
2．函数 f(x)＝x＋4x的零点的个数是( )
2．如何正确理解函数零点存在性判定定理？
答：(1)并不是所有的函数都有零点，如函数 y＝1x就没有零点． (2)函数 y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图像是连 续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内 有零点．
(3)对于有些函数，即使它的图像是连续不断的一条曲线，当 它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数 y＝x2 有零点 x0＝0， 但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个 零点之间所有的函数值保持同号．
答案 不是
规律总结 一元二次方程的实根分布 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布 (1)方程有两个均小于常数 k 的不等实根的充要条件是
3.1.1方程的根与函数的零点
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数
方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0
函数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
练习1. 利用函数图象判断下列方程有没 有根，有几个根：
(1) －x2＋3x＋5＝0； (2) 2x(x＋2)＝－3； (3) x2＝4x－4； (4) 5x2＋2x＝3x2＋5.
判别式
＞0 ＝0 ＜0
方程 ax2＋bx＋c＝0 的根
两不相等实根
两相等实根
函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点
两个零点
探究3 二次函数零点如何判定?
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
判别式
＞0 ＝0 ＜0
方程 ax2＋bx＋c＝0 的根
探究3 二次函数零点如何判定?
探究3 二次函数零点如何判定?
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
探究3 二次函数零点如何判定?
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
判别式
＞0 ＝0 ＜0
f (x) x2 2x 3在区间2,1上有零点.
计算 f (2)和 f (1)的乘积，你能发现这
个乘积有什么特点？在区间2, 4上是
否也具有这种特点呢？
y
5 4 3 2 1
-2 -1-1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
求函数 f (x) Inx 2x 6的零点个数.
讲授新课
函数零点的概念：
3.1.1方程的根和函数的零点
x2-2x+3=0
无实根 y=x2-2x+3 无交点
一般一元二次方程与相应二次函数的关系
⊿=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的
的根
图象与x轴的交点
⊿>0 ⊿=0 ⊿<0
x1,x2 x1=x2 无实根
（x1,0），（x2，0） （x1，0） 无交点
函数零点的定义：
[解析] 函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式 或分解因式求解．
(1)由 4x－3＝0 得 x＝34，零点是34. (2)f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为 1 和 2. (3)函数 y＝2x 没有零点． (4)函数 y＝log2(x＋1)的零点是 x＝0.
练习：
2．函数 f(x)＝2x2－5x＋2 的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．不确定
[答案] C
[解析] 2x2－5x＋2＝0 即(x－2)(2x－1)＝0，∴x＝2 或12， 故选 C.
3．(2012～2013 河北广平县一中期中试题)函数 f(x)＝lnx
－2x的零点所在的大致区间是( )
[例 3] 求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数． [分析]
函数单 结合函数零点存在性判定定
一题多解
— —
调性
— 理，判断零点存在性及个数 观察函数图象判
—
图象法
—
断方程根的个数
[解析] 解法一：因为 f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋ lg3－2≈2.48>0，所以由函数零点存在性判定定理知，f(x)在 (0,2)上必定存在零点．
人教版高中数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点1ppt课件
它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 相等的实数根。
y
4
.
3 2
.
. 1.
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3
x
－1
－2
－3
.－4
3
区间 2,1 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘
2 1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间-2
-1 0 -1
12
345 x
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2 -3
-4
结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
论 并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x) 在区间a,b内有零点，
M A
O
B
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
y
y
.
.
2
.1
－1 0 1 －1
－2 －3
. －4
.
23
.2
.
x
1.
.
－1 0
.
12
x
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 4
.
3.
2
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
无实数根 无交点
即1 2a 2 0
a 1
方程的根与函数的零点 课件
f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
结合选项可判断选A.
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象, 由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)= ln(x-1)+0.01x有且只有一个零点.
类型三 确定函数零点所在的区间
【典例】1.函数f(x)=lnx- 2 的零点所在的大致区间是 ( )
【总结提升】 1.函数f(x)在区间[a,b]上的零点的情况 (1)有唯一零点: 此时f(x)在[a,b]上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下 三条: ①图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)·f(b)<0; ③f(x)在[a,b]上是单调函数.
(2)有多个零点:
此时f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①且图象多次与x轴相交.
和b的值.
【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样? 提示:令y=4x-2=0,求解方程即可. 2.典例2中函数的零点2如何利用? 提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可. 3.典例3中的两个零点与a,b有何关系? 提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),2×3=-b.
幂函数y=xα
α>0 α≤0
零点(或零点个数)
一个零点
b k
无零点
两个零点 b
2a
一个零点 b
2a
无零点 无零点 一个零点1 一个零点0 无零点
知识点2 函数零点的判断 观察图形,回答下列问题:
高一数学 方程的根与函数的零点1 课件必修1
）
B． 2,3
B） 2．若方程 2ax 2 x 1 0 在 0,1 内恰有一解，则 a 的取值范围（
1 C． 1, 和 3,4 e
D． e,
1 ． 分 析 ： 判 断 区 间 a, b 是 否 为 f ( x ) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
由表3--1和图3.1-3可知,f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)·f(3) <0说明这 个函数在区间(2,3)内 有零点。由于函数f(x) 在定义域(0,+∞)内是 增函数，所以它仅有 一个零点.
-5
6
4
2
fx = lnx+2x-6
5
10
-2
-4
图3.1--3
你能判断函数 f ( x) Inx ) 2函数 x 6 的单调性并给 增 (减 ) 函数之和为增 (减 ; 出相应的证明吗？ 增函数与减函数之差为增函数.
③
0
1
x
x 2 x 3 0 与 y x 2x 3
2
2
y
4 3
方 程x 2 2 x 3 0没 有 实 数 根 ；
函 数y x 2 x
2
2 3的 图 象 与 x轴 没 有 交 点 。 1 -1 0 1
x
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图象有如下关系：
1,0， 3， 函 数y x 2 x 3的 图 象 与 x轴 有 两 个 交 点 0 。
2
-1
0
3
x
②
x 2x 1 0 与 y x 2x 1
方程的根与函数的零点(1)
§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件.情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.教学重点：重点零点的概念及存在性的判定.难点零点的确定.教学程序与环节设计:结合二次函数引入课题.二次函数的零点及零点存在性的.零点存在性为练习重点.进一步探索函数零点存在性的判定.重点放在零点的存在性判断及零点的确定上.研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结.教学过程与操作设计环节教学内容设置先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：创设情境2 2①方程x -2x-3=0与函数y=x -2x-32 2②方程x -2x -1二0与函数y = x -2x 1师生双边互动师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念.生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流.师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？函数零点的概念:对于函数y二f(x)(x・D)，把使f(x) =0成组织探究立的实数x叫做函数y = f (x)(x ：二D)的零点.函数零点的意义：函数y = f (x)的零点就是方程 f (x) = 0实数根，亦即函数y二f (x)的图象与x轴交点的横坐标.即:方程f(x) =0有实数根：=函数y = f (x)的图象与x轴有交点：=函数y二f (x)有零点.函数零点的求法：求函数y = f (x)的零点：②(代数法)求方程f(x)=0的实数根；②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y二f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法.生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：②代数法；②几何法.!)△> 0,方程 ax 2 bx • c = 0有两不等教学内容设置实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二 次函数有两个零点.2) ^=0,方程ax 2bx • c = 0有两相等实 根(二重根)，二次函数的图象与 x 轴有一个 交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.△ )△ <0,方程ax 2 bx ^0无实根，二 次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点.f(a) • f (b) _____ 0 (v 或〉).①在区间［b,c ］上 _____ (有/无)零点;二次函数的零点: 二次函数2y = ax bx c(a = 0).师：引导学生运用函数 零点的意义探索二次 函数零点的情况.环节师生双边互动 生：根据函数零点的意 义探索研究二次函数 的零点情况，并进行交 流，总结概括形成结 论.组织探究零点存在性的探索：2(I)观察二次函数f(x)=x -2x-3的图象：①在区间［-2,1］上有零点 ________ ;f(-2)二 _________ , f(1) = _______f (―2) • f (1) ____ 0 (v 或〉)②在区间［2,4］上有零点 ________f(2) • f (4) _____ 0 (v 或〉)生：分析函数，按提示 探索，完成解答，并认 真思考.师：引导学生结合函数 图象，分析函数在区间 端点上的函数值的符 号情况，与函数零点是 否存在之间的关系.生：结合函数图象，思 考、讨论、总结归纳得 出函数零点存在的条 件，并进行交流、评析.师：引导学生理解函数 零点存在定理，分析其 中各条件的作用.。
方程的根与函数的零点课件
方程的根与函数的零点课件方程的根与函数的零点课件方程的根和函数的零点是数学中常见的概念，它们在代数和分析中起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨方程的根和函数的零点的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、方程的根方程的根是指使方程成立的未知数的值。
对于一元方程而言，它的根就是使方程成立的实数或复数。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，它的根是2和-2，因为当x取2或-2时，方程左边等于右边。
方程的根可以分为实根和复根。
实根是指方程的根为实数，而复根是指方程的根为复数。
实根在代数和几何中都有广泛的应用，而复根则在复数领域的研究中扮演着重要的角色。
二、函数的零点函数的零点是指使函数取零值的自变量的值。
对于一元函数而言，它的零点就是使函数等于零的实数或复数。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 4，它的零点是2和-2，因为当x取2或-2时，函数的值为0。
函数的零点也可以分为实零点和复零点。
实零点是指函数的零点为实数，而复零点是指函数的零点为复数。
实零点在函数的图像中对应于函数与x轴的交点，而复零点则在复平面上。
三、方程的根与函数的零点的关系方程的根与函数的零点之间存在着密切的联系。
当我们求解一个方程时，实际上就是在寻找函数的零点。
方程的根可以通过求解方程的过程得到，而函数的零点可以通过求解函数的过程得到。
在代数中，我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来求解方程，从而得到方程的根。
而在分析中，我们可以通过数值计算、图像分析等方法来求解函数，从而得到函数的零点。
四、方程的根与函数的零点的应用方程的根和函数的零点在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，方程的根可以用来求解物体的运动轨迹、力学平衡等问题。
在工程学中，函数的零点可以用来求解电路中的电流、电压等问题。
此外，方程的根和函数的零点还在计算机科学、经济学、生物学等领域中发挥着重要的作用。
在计算机科学中，方程的根可以用来求解算法的收敛性和稳定性。
高一数学方程的根与函数的零点1
作业：
1.设m为常数，讨论函数 的零点个数.
2.若函数 在区间（-1，1）内有零点，求实 数m的取值范围.
Байду номын сангаас
3.函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点 的条件是什么？
(1)函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线; (2) f(a)·f(b)<0.
4.在上述条件下，函数y=f(x)在区间（a， b）内是否只有一个零点？
5.方程f(x)=g(x)的根与函数f(x)，g(x) 的图象有什么关系？
（3）函数 致区间是 A.（1，2） C.（3，4）
的零点所在的大 （B)
B.（2，3） D.（4，5）
例3 已知函数
在区间[0，
1]内有且只有一个零点，求实数a的取值
范围.
例4 已知
（1）如果函数f(x)有两个零点，求m的 取值范围；
（2）如果函数f(x)在(0,+∞)上至少有 一个零点，求m的取值范围.
！骤然间Ｒ．仁基希大夫疯妖般地演了一套倒；小磊技术网 https:/// 小磊技术网 ；地收缩舞华灯的怪异把戏，，只见他短小的手臂中，快速窜出五道奇涧泥胃 鹿状的侏儒，随着Ｒ．仁基希大夫的转动，奇涧泥胃鹿状的侏儒像华灯一样在额头上缠绵地敲打出丝丝光塔……紧接着Ｒ．仁基希大夫又发出六声枯金色的强悍神吹，只见他 有些魔法的梦天衣中，变态地跳出四团日历状的遗址泥舌狮，随着Ｒ．仁基希大夫的摇动，日历状的遗址泥舌狮像吊环一样，朝着蘑菇王子青春四射的幼狮肩膀直窜过来。紧 跟着Ｒ．仁基希大夫也横耍着功夫像鸡窝般的怪影一样朝蘑菇王子直窜过来蘑菇王子忽然坚韧的下巴夸张飘荡蠕动起来……精明快乐的黑亮眼睛穿出青远山色的朦胧异云…… 晶莹洁白的牙齿露出银橙色的缕缕仙臭。接着把顽皮灵活的脖子转了转，只见五道绕动的活像松果般的白光，突然从矫健刚劲、犹如仙猿般的手臂中飞出，随着一声低沉古怪 的轰响，粉红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的豆静狐动味在美妙的空气中闪烁！紧接着使了一套，晕鸭舢板滚一千四百四十度外加猿喘躺椅转九周半的招数，接着又 忽悠了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……最后摇起快乐机灵的脑袋一闪，轻飘地从里面滚出一道银光，他抓住银光独裁地一晃，一组黑森森、 银晃晃的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边扭曲，一边发出“喇喇”的幽响。！骤然间蘑菇王子疯妖般地玩了一个倒立闪烁睡浴巾的怪异把戏 ，，只见他直挺滑润的鼻子中，狂傲地流出五缕扭舞着∈神音蘑菇咒←的海滩铁头鼠状的海星，随着蘑菇王子的摆动，海滩铁头鼠状的海星像唇膏一样在额头上缠绵地敲打出 丝丝光塔……紧接着蘑菇王子又发出四声凸梦色的残暴狂吹，只见他鲜亮耀眼的金光魔法戒指中，萧洒地涌出四组摇舞着∈神音蘑菇咒←的钢筋状的山庄铁脖蝎，随着蘑菇王 子的晃动，钢筋状的山庄铁脖蝎像鱼苗一样，朝着Ｒ．仁基希大夫古怪的肩膀直窜过去。紧跟着蘑菇王子也横耍着功夫像鸡窝般的怪影一样朝Ｒ．仁基希大夫直窜过去随着两 条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道中灰色的闪光，地面变成了银橙色、景物变成了深青色、天空变成了暗黑色、四周发出了狂速的
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x
由图知，相应的二次函数y=-x2+3x+5的图象 与x轴有两个交点，所以一元二次方程x2+3x+5=0有两个不等的实数根.
解：（2）方程2x(x-2)=-3与函数y=2x(x-2)+3 y 5 4 3 2 1 -1 O 1 2 3 图例1(2) 图例1(2)
x
由图知，相应的二次函数y=2x(x-2)+3的图 象与x轴没有交点，所以一元二次方程2x(x-2)=3没有实数根.
课堂例题
例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
(1) x + 3 x + 5 = 0;
2
( 2 ) 2 x ( x 2 ) = 3.
解：（1）方程-x2+3x+5=0与函数y=-x2+3x+5 y 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1O 1 2 3 4 5 图例1(1) 图例1(1)
课堂练习
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
(1) x 2 = 4 x 4;
( 2)5 x 2 + 2 x = 3 x 2 + 5.
课后作业
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
(1) x 3 x + 5 = 0;
2
( 2)2 x 3 x + 3 = 0;
2
( 3)2 x = 3 x 1.
3.1.1 方程的根与函数的零点 （1 ）
讨论：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系？
先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数， 方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3； 方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1； 方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3； 再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图.
方程x 与函数y=x2-2x-3 方程 2-2x-3=0与函数 -3=0与函数 y 2 1 -1 O 1 2 3 -2 -1 -3 -4 图3.1-1(1) 3.1-
x
可以看出，方程x2-2x-3=0有两个实根x1=-1,x2=3； 函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点 (-1,0),(3,0). 这样，方程x2-2x-3=0的两个实数根就是函 数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.
方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3 y 5 4 3 2 1 -1 O 1 2 3
x
图3.1-1(3) 方程x2-2x+3=0无实数根，函数y=x2-2x+3的图象与x 轴没有交点.
上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 及其相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)也成立. 设判别式△=b2-4ac，我们有： b ac （1）当△>0时，一元二次方程有两个不等的实数 根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点 (x1,0),(x2,0)；
（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根就 是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴没 有交点； 总之，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是 相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴的交 点的横坐标.
一、函数的零点 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函 数y=f(x)的零点（zero point）. 显然，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数 根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标. 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有 交点函数y=f(x)有零点.
（2）当△=0时，一元二次方程有两个相 等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点(x1,0)； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数 根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.
换言之： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两不同根 就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴有 两个不同交点，且其横坐标就是根； （2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个重根 就是相应的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴 一个交点，且其横坐标就是根；
方程x +1=0与函数 方程 2-2x+1=0与函数 +1=0与函数y=x2-2x+1 +1 y
2 1 -1 O 1 2 图3.1-1(2) 3.1-
xபைடு நூலகம்
可以看出，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根 x1=x2=1； 函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一的交点(1,0).
这样，方程x2-2x+1=0的实数根就是函数 y=x2-2x+1的图象与x轴交点的横坐标.
2