九年级分类讨论几何部分.doc
高中数学分类讨论专题
高中数学分类讨论专题
高中数学的分类讨论专题可以包括以下几个方面：
1. 几何图形的性质：例如平面图形的性质研究，如线段、角、三角形、四边形的性质等。
2. 几何变换：研究平移、旋转、对称、相似变换等，以及其应用于几何图形的理论和实际问题。
3. 解析几何：研究平面和空间的坐标系，以及直线、圆、曲线的性质和方程，通过代数方法解决几何问题。
4. 数列和数列极限：研究等差数列、等比数列、等差数列等各类数列的性质和求和公式，以及数列极限的概念、性质和计算方法。
5. 函数及其性质：研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像、图像的变换和应用。
6. 三角函数：研究正弦、余弦、正切等三角函数的性质，以及三角恒等式、三角方程的求解等问题。
7. 解方程与方程组：研究一元二次方程、一元高次方程、一元不等式、二元一次方程组、二元二次方程组等的解法和应用。
8. 概率与统计：研究随机事件的概率、频数分布和统计指标的计算方法，以及概率和统计在实际问题中的应用。
以上是一些高中数学的分类讨论专题，不同学校和不同课程设置可能会有所不同，具体的内容可以根据学校的教材和教学大纲进行细化。
探究几何中的分类讨论
应用提高
2、如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数 y=－x2+3x图象的对称轴交于点B. 已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分 上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别 交x轴、y轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD 与△OCD相似，则点P的坐标为 .
y D O C x
应用提高
1、如图：直线y=kx＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点， 3 tan∠OAB= 4 ,点C(x,y)是直线y=kx+3上与A、B 不重合的动点.过点C的另一直线CD与y轴相交于D点， 是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在， 请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. y
B O A x
探究几何中的 分类讨论
一、由点引起的分类讨论
例1：⊙O的半径为1，弦AB=1， C C是圆上一点（不与A、B重合） 30°或150° 。 则∠ACB=_________________
此题引起分类讨论的关键词：
A B
•
O
C
小结：点在圆上时，可以把点
分别放在不同的弧上分类讨论。
一、由点引起的分类讨论
例3：如图，正方形ABCD内接于⊙O，P是BC边上 一点，连接AP．已知AB=8，CP=2， Q是线段AP上 一动点，连结BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R， 且满足AP=BR，则 BQ 的值为_________．
QR
此题引起分类讨论的关键词：
A
R
O
D
R
8
Q
•
Q
2
B
P
C
二、由高引起的分类讨论
例1：已知□ABCD的周长为30，自顶点A作AE⊥DC 于点E，AF⊥BC于点F. 若AE=3，AF=6， 则CE－CF= .
解析几何知识点总结
解析几何知识点总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：（0,180）2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α（1）.倾斜角为90°的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过A （x1,y1）和B （x2,y2）两点的直线的斜率为K ，则当X1≠X2时，k=tan α=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在； 二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：y=kx+b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （a ≠0，b ≠0）则直线方程：1=+bya x； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
分类讨论思想在数学教学中的应用
分类讨论思想在数学教学中的应用
分类讨论思想是一种重要的逻辑思维方法，在数学教学中也有广泛的应用。
下面就分
类讨论思想在数学教学中的应用进行分类讨论。
一、几何问题中的分类讨论思想
几何问题中常常要根据几何图形的特征进行分类讨论，以达到解决问题的目的。
例如，初中数学中的“巧妙构造三平方数”问题，就可以利用分类讨论思想，将所有正整数分为
奇数与偶数两类，再利用勾股定理分别证明奇数与偶数的情况，最终得到结论。
这种分类
讨论思想在解决几何问题时尤为常见，不仅可以帮助学生理解几何知识，而且能够锻炼学
生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、概率问题中的分类讨论思想
概率问题中的分类讨论思想同样重要。
在初中数学中，学生学习概率时，常常需要利
用分类讨论思想，将问题中的样本空间进行分类，从而计算出概率值。
例如，求掷骰子两次，点数和为6的概率，就可以将样本空间进行分类讨论，分别讨论两次掷骰子得到什么
点数的情况，最终计算出概率值。
这种分类讨论思想在初中概率学习中应用广泛，不仅帮
助学生掌握概率知识，而且能够提高学生的逻辑推理能力。
综上所述，分类讨论思想在数学教学中应用广泛，不仅可以帮助学生掌握各种数学知识，而且能够提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
因此，在数学教学中应注重培
养学生分类讨论思想的应用，使学生能够灵活运用这一思想方法解决各种数学问题。
立体几何中的分类讨论思想
立体几何中的分类讨论思想
在立体几何中，分类讨论是一种常用的思维方法，即通过对物体的性质进行分类，从而对物体进行讨论和分析。
举个例子，在分析几何体的形状时，可以根据几何体的棱数进行分类讨论。
如果几何体棱数为4，则该几何体可能是正方体或者长方体；如果几何体棱数为6，则该几何体可能是长方体或者正方体；如果几何体棱数为8，则该几何体可能是正方体或者正方体的变形体，如立方体。
这样，通过分类讨论，就可以缩小可能的几何体的种类，并进一步分析和确定几何体的具体形状。
分类讨论思想在立体几何中广泛应用，可以帮助我们快速地分析和解决问题。
除了棱数的分类讨论，还可以根据几何体的面数、边数、角数、对称性、平面图形的角数等特征进行分类讨论。
这些特征都可以为我们提供重要的信息，帮助我们分析和解决问题。
初中数学分类讨论思想在解题中的应用研究
多层次原则又可以称之为二分法，这两个对象之间既相互排斥又具有一定的层次性，因此在初中数学教学过程中应该广泛应用于分类讨论思想。尤其是在解题的过程中，要更加广泛地应用此方法。
二、初中数学分类讨论思想在解题中的应用问题
虽然在初中数学教学过程中分类讨论思想已经取得了一定的进步，并且有了实质性的效果，但是在实际应用的过程中仍然存在诸多难以解决的问题，其具体问题如下：
4.提升教师自身素质和水平。
初中数学教师作为教学过程中的重要组成部分，在其中发挥了十分重要的作用，因此需要逐步提高初中数学教师的自身素质和专业化能力。这需要从两个方面入手：一方面，相关的初中数学教师应该提高自身素质和专业化水平，多学习、多借鉴、多交流，相互结合相互学习，从而提高初中数学教学的有效性；另一方面，在初中数学教学过程中，还需要发挥学校的作用，组织教师进行多学习、多培训，努力提高初中数学教师的自身素质和专业化效果，真正做到与时俱进、开拓创新，优化初中数学教学的有效性。
1.初中数学分类讨论思想单一。
虽然在很多初中数学教学过程中已经应用了分类讨论思想，但是仅仅局限于几种类型题中，这样单一、落后的初中数学教学方法不仅降低了初中数学教学的质量和水平，同时还降低了初中数学教学的效果，从而导致学生无法真正掌握分类讨论思想这种方法，因此严重影响了初中数学教学的质量和水平。
2.初中数学教师水平较低。
在初中数学教学过程中，将分类讨论思想广泛应用于解题过程中，不仅能够让学生深入了解数学教学过程中的内在联系和规律，同时还能够提高学生学习数学的积极性和有效性。
一、初中数学分类讨论思想在解题中的应用原则
1.对称性原则。
在初中数学教学过程中，在解题中应用分类讨论思想，就必须明确分类讨论思想的对象，不需要对整个思想都进行分类，但是分类的标准要保持一定的规律和一致性。在这个过程中还需要考虑其对称性原则。例如：在对三角形进行分类中，将直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等进行不同的分类，就按照角和边进行分类，如果这样的话就不科学，因此说分类具有对称性。
关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用 (5)
分类讨论思想在初中数学教学中的应用数学分类讨论是一种常见的思维方法。
所谓分类讨论，就是把一个复杂或不确定的问题按不同情况分类讨论，从而得到简化或明确的。
在初中数学教学中，分类讨论思想的应用可以激发学生的思维，提高他们的分析、归纳、判断和解决问题的能力。
本文将深入探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用，并提出一些具体的教学实践建议。
一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想是指将一个复杂的问题，根据不同情况分类进行研究和讨论的思维方法。
其基本原理是“分而治之”，通过将一个问题分解成若干个相对简单的部分，再从不同角度考虑、分析和讨论，最终得出全面、准确的。
分类讨论的基本方法主要包括以下几个步骤：1. 将问题进行分类，找到不同情况。
2. 对每一种情况进行详细分析和讨论，寻找规律。
3. 综合各种情况的结果，得出最终。
分类讨论思想在数学中的应用非常广泛，例如在解决几何问题、方程式、概率统计等问题中，都可以通过分类讨论的方法得出较为简单明了的。
二、分类讨论思想在初中数学教学中的应用1. 解决数学问题分类讨论思想可以帮助学生更加深入地理解和掌握各种数学概念和定理。
例如，在解决一些复杂的几何问题时，学生可以把问题进行分类，分别研究每一种情况，并通过综合得出。
这样，学生的思维会更加开阔，能力也会得到提升。
2. 强化数学推理能力分类讨论思想在初中数学教学中还可以强化学生的推理能力。
在讨论分类的过程中，学生需要分析各种情况的规律，找到相同点和不同点，然后对每种情况进行比较和推理。
这样，学生的推理能力会得到很好的锻炼，在以后的学习和工作中也会受益匪浅。
3. 激发解决问题的热情分类讨论思想可以激发学生对数学问题的兴趣和热情，促进他们的思维发展。
在课堂上，老师可以通过举一些有趣的例子来引导学生讨论和发现规律，从而培养学生解决问题的兴趣和自信心。
三、分类讨论思想在初中数学教学中的实践建议1. 合理设置问题为了引导学生正确运用分类讨论思想解决问题，老师在教学中应该合理设置问题。
特殊平行四边形中的三种几何动点问题—2023-2024学年九年级数学上册(北师大版)(解析版)
特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题 例．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=，10cm AB AD ==，=8cm BC ．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P ，Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)直接写出CD 的长（cm ）；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，直接写出四边形PBQD 的周长（cm ）；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)(3)存在，满足条件的t 的值为2512秒或5秒【分析】（1）过点A 作AM CD ⊥于M ，根据题意证明四边形ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，则103BP t =−，2DQ t =，根据平行四边形的性质可得1032t t −=，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；（3）分两种情况进行讨论：①当点P 在线段AB 上时；②当点P 在线段BC 上时；根据三角形面积列方程计算即可．【详解】（1）解：如图1，过点A 作AM CD ⊥于M ，AM CD ⊥，=90BCD ∠︒，∴AM CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，10cm CM AB ∴==，在t R ADM 中，10cm AD =，8cm AM BC ==，根据勾股定理得，6cm DM =，16cm CD DM CM ∴=+=；（2）当四边形PBQD 是平行四边形，则点P 在AB 上，点Q 在DC 上，如图3，由运动知，103BP t =−，2DQ t =，1032t t ∴−=，2t ∴=，此时，4BP DQ ==，12CQ =，根据勾股定理得，BQ =∴四边形PBQD 的周长为()28BP BQ +=+（3）①当点P 在线段AB 上时，即：1003t ≤≤时，如图2，()1110381522BPQ S PB BC t =⋅=−⨯=，2512t ∴=；②当点P 在线段BC 上时，即：1063t <≤时，如图4，310BP t =−，162CQ t =−，()()113101621522BPQ S PB CQ t t ∴=⋅=−−=，5t ∴=或193t =（舍）， 即：满足条件的t 的值为2512秒或5秒．【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形的性质列出方程是解本题的关键．【答案】(1)①12DP t =−；15BQ t =−；②7.5t =(2)()()()220<12=12<151345 15<1844t S t t t t −≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩【分析】（1）①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；②AP BQ =时，四边形APQB 是平行四边形；（2）求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可．【详解】（1）解：①由题意可知=cm AP t ，cm CQ t =，∴()12cm DP AD AP t =−=−，()15cm BQ BC CQ t =−=−；②当四边形APQB 是平行四边形时，AP BQ =，即15t t =−，解得7.5t =．故答案为：()12cm t −，()15cm t −（2）解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则90A B DEB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABED 是矩形，∴90ADE ∠=︒，()12cm BE AD ==， ∴()15123cm CE BC BE =−=−=，∵120ADC ∠=︒，∴30CDE ADC ADE ∠=∠−∠=︒，∴()26cm DC EC ==，∴)cm DE ===，∴点P 运动到点D 时，需12秒，点P 到点C 时，需18秒；点Q 从点C 到点B 需15秒，从点B 到点A 需15+秒．故分三种情况讨论：①当012t <≤时，如图，11==(1522S BQ AB t ⋅−−）②当1215t <≤时，如图，过点P 作DH BC ⊥于点H ，()18cm PC AD DC t t =+−=−，易知DE PH ∥∴30CPH CDE ∠=∠=︒， ∴()119cm 22CH PC t ==−，∴())cm PH t ==−，∴211(15))22S BQ PH t t =⋅=−−=；③当1518t <≤时，如图，()15cm BQ t BC t =−=−，()111596cm 22BH BC CH t t ⎛⎫=−=−−=+ ⎪⎝⎭， ∴211113(15)(6)4522244S BQ BH t t t t =⋅=−⋅+=−−，综上，))()220<12=12<15134515<1844t S t t t t ≤−≤−−≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩．【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．【答案】(1)10(2)12(3)S=18(09)6216(918)t t t t <≤⎧⎨−+<≤⎩(4)t= 4或8或12【分析】（1）当t=4时，AP=8，PD=AD -AP=BC -AP=18-8=10；（2）当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，根据不同的时间段AP的关系式求出t值即可；（3）由（2）中不同时间段AP的关系式得出S的分段函数即可；（4）PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分时，可能再两个不同的时间段存在12ABQPPDCQss=四边形四边形和12PDCQABQPss=四边形四边形两种可能，根据（3）中面积的函数关系式分段求t值即可．（1）解：当t=4时，AP=2t=8，∴PD=AD-AP=18-8=10，故答案为10（2）解：当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ，若0≤t≤9时，AP=2t，则2t=t，解得t=0（不符合题意，舍去）；若9＜t≤18时，AP=36-2t，则36-2t=t，解得t=12；故答案为12（3）解：当0<t≤9时，S=12(BQ +AP)⋅AB =12(t+2t)×12= 18t；当9<t<18时，S=12(BQ +AP)．AB =- 6t + 216．综上所述，S =18(09)6216(918)t tt t<≤⎧⎨−+<≤⎩（4）解：当0≤t≤9时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴18t=13×12×18，解得t=4；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴18t=23×12×18，解得t=8；当9＜t≤18时，若12ABQPPDCQss=四边形四边形，则ABQPs四边形=13ABCDS矩形，∴-6t+216=13×12×18，解得t=24（舍）；若12PDCQABQPss=四边形四边形，则ABQPs四边形=23ABCDS矩形，∴-6t+216=23×12×18，解得t=12；综上，当t=4或8或12时，PQ所在的直线将矩形ABCD分成面积比为1：2两部分．【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．如图，在ABD中，几秒钟后，MON的面积为【答案】(1)见解析(2)5米，24平方米；(3)1秒或4秒【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA 、OB 的长，用勾股定理可求AB ，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M 、N 运动过程中与O 点的位置关系，分三种情况分别讨论．【详解】（1）证明：AO 平分BAD ∠，AB CD ∥，DAC BAC DCA ∠∠∠∴==， ACD ∴是等腰三角形，AD DC =，又AB AD =，AB CD ∴=，∴四边形ABCD 为平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：解方程27120x x −+=，得，14x =，23x = 4OA ∴=，3OB =，利用勾股定理5AB ==，28,26AC OA BD OB ∴====，∴ABCD S =菱形118622AC BD ⨯=⨯⨯24=平方米．（3）解：在第(2)问的条件下，设M 、N 同时出发x 秒钟后，MON 的面积22m ，当点M 在OA 上时，2x <，MON S =12()()4232x x −−=， 解得1214x x ==， (大于2，舍去)；当点M 在OC 上且点N 在OB 上时，23x <<，MON S =12()()3242x x −−=，整理得，2580x x −+=，此时，2=541870∆−⨯⨯=−<，∴原方程无解；当点M 在OC 上且点N 在OD 上时，即34x <≤，MON S =12 ()()2432x x −−=，整理得，2540x x −+=，解得1241x x ==， (小于3，舍去)．综上所述：M ，N 出发1秒或4秒钟后，△MON 的面积为22m ．【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想．类型二、几何图形存在性问题 Rt ABC 中， (1)求AB AC ，的长；(2)求证：AE DF =；(3)当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)AB=5，AC=10；(2)证明见解析(3)当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形，理由见解析【分析】（1（2）利用已知用未知数表示出DF ，AF 的长，进而得出AE DF =；（3）利用①当90EDF ∠=︒时；②当90DEF ∠=︒时；③当90EFD ∠=︒时，分别分析得出即可．【详解】（1）解：设AB x =，90B ∠=︒，30C ∠=︒，22AC AB x ∴==．由勾股定理得，()(2222x x −=， 解得：5x =， 5AB ∴=，10AC = ；（2）证明：由题意得AE t =，CD=2t ，则102AD t =−，在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴12DF CD t==．又AE t=，AE DF∴=；（3）解：当52t=秒或4秒时，DEF为直角三角形，理由如下：分情况讨论：①∠EDF=∠DFC=90°时，则DE BC∥，∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE，∴10-2t=2t，∴52t=；②∠DEF=90°时，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD EF，∴∠ADE=∠DEF=60°，∴∠AED=30°，∴12AD AE=，∴1 1022t t−=，∴4 t=；③∠EFD=90°时，此种情况不存在． 当52t =秒或4秒时，DEF 为直角三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键． (1)连接PD 、PQ 、DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为(2)当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得△合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒或4秒(2)存在，43t =秒或4)秒【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD 为腰的等腰三角形即可说明．【详解】（1）解：当P 在BC 上时如图：根据题意，得4AB BC CD AD ====AQ t =，4QB t =−，2BP t =，42PC t =−，7PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S =−−−=△△△△正方形，1111642(4)4(42)7222t t t t −⨯⨯−⨯−−⨯⨯−=整理，得2210t t −+=，解得121t t ==．当P 在CD 上时，此时24t <≤4(24)82DP t t =−−=− 1(82)472PQD S t ∴=−⨯=△94t ∴=答：当t 为1秒或94秒时，PQD △的面积为27cm ．（2）①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +−=+，解得143t =，24t =（不符合题意，舍去）．②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +−=−+，整理得：28160t t +−=解得14t =，24t =−（不符合题意，舍去）．答：存在这样的43t =秒或4)秒，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形．【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．例3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，BC ＝18cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P 也停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t s ．(1)从运动开始，当t 取何值时，PQ ∥CD ？(2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQCD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQBA 是矩形？(4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQBA 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4(2)不存在，理由见解析(3)6(4)不存在，理由见解析【分析】（1（2）利用菱形的判定和性质进行求解即可；（3）利用矩形的判定和性质进行求解即可；（4）利用正方形的判定和性质进行求解即可．（1）解：由运动知，AP ＝tcm ，CQ ＝2tcm ，∴DP ＝AD ﹣AP ＝（12﹣t ）cm ，∵AD BC ∥，要PQ CD ∥，∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴DP ＝CQ ，∴12﹣t ＝2t ，∴t ＝4，即t ＝4时，PQ ∥CD ；（2）不存在，理由：∵四边形PQCD 是菱形，∴CQ ＝CD ，∴2t ＝10，∴t ＝5，此时，DP ＝AD ﹣AP ＝12﹣5＝7（cm ），而DP≠CD ，∴四边形PQCD 不可能是菱形；（3）如图4，∵∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是矩形，即t ＝18﹣2t ，解得：t ＝6，∴当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形；（4）由当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形，∴AP ＝6cm ，∵AB ＝8cm ，∴AP≠AB ，∴矩形PQBA 不能是正方形，即不存在时间t ，使四边形PQBA 是正方形．【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置． 例4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且8AC =，6BD =，现有两动点M ，N 分别从A ，C 同时出发，点M 沿线段AB 向终点B 运动，点N 沿折线C D A −−向终点A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （秒）．(1)填空：AB = ；菱形ABCD 的面积S = ；菱形的高h = ．(2)若点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒a 个单位（其中52a <），当4t =时在平面内存在点得以A ，M ，N ，E 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a 的值．【答案】(1)5；24；245(2)1.5或1.94或1.4【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得AB ，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S ，最后根据菱形的面积为边长×高，由此可得高h 的长；（2）当4t =，时间固定，AM 的长度也就固定，A 、M 、N 、E 四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM 为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM 为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，86AC BD ==，，∴43AO CO BO DO AC BD ====⊥，，，∴AB=5，设菱形的高为h,则菱形ABCD 的面积为186242AB h ⨯⨯=⨯=∴245h =故答案为：5，24，245（2）解：当4t =时，4AM =，①如图2，四边形AMEN 为菱形，4AN AM ∴==，1046ND CD ∴+=−=，46a ∴=，32a =．②如图3，AENM 为菱形，EM 交AN 于点R ，作DP 垂直BC 于P ，菱形面积为24，4.8DP ∴=，75CP ∴=，MAR BCD ∠=∠，AMR PDC ∴∠=∠，AR CP AM CD ∴=，1.12AR ∴=，2.24AN ∴=，()()410 2.244 1.94a ND CD ∴=+÷=−÷=，③如图4，AEMN 为菱形，EN 交AM 于点T ，作BS 垂直CD 于S ，则2AT MT ==，523BT NS ∴==−=，4.8BS =， 1.4CS ∴=，1.43 4.4CN NS CS∴=+=+=，4 4.44 1.1a CN∴=÷=÷=；综上所述，a的取值有1.5或1.94或1.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键．类型三、直线位置关系问题(1)直接写出AB的长．(2)当点Q落在AB边上时，用含t的代数式表示【答案】(1)3(2)3523t−或5332t−(3)12、或175(4)920或215【分析】（1）根据勾股定理直接求出AB 的长度；（2）分类讨论Q 在AD 和BD 上的两种情况，DQ AD AQ =−或 DQ AQ AD =−；（3）当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为PQ AC ⊥，所以当Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为直角，平行四边形PQDM 不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据PQ DQ =建立等量解出t 值；当Q 在BC 上时，表示出DQ 的长度较为复杂，所以可以表示出2DQ ，利用22PQ DQ =建立方程解出t 值；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形，可直接求得t 值；（4）因为平行四边形PQDM 的四个顶点顺序已经确定，所以Q 在过点D 的AC 平行线的下方，分类讨论Q 在AD 上和在CN （见详解图）上的两种况下QM 平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当Q 在AB 上时，QM 不可能平行于AB ，当Q 在BC 上时，QM 不可能平行于BC ．【详解】（1）解：在Rt ABC 中，222AB AC BC =−，∴3=AB ；（2）解：P 从点A 出发以每秒个单位的速度沿AC 向终点C 运动，∴AP t =，PQ AC ⊥，∴APQ ABC △△∽，::3:4:5AB BC AC =，∴::3:4:5AP QP AQ =， ∴5533AP t AQ ==，点D 是边AB 的中点，∴32AD BD ==， ∴ 3523DQ t =−或5332t −；（3）解：当平行四边形PQDM 为菱形或矩形时即为轴对称图形， ∴ PQ DQ =或平行四边形PQDM 某一内角为90︒，①当Q 在AB 上时，990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，由（1）得43PQ t =，3523DQ t =−或5332t −， ∴354233t t −=或534323t t −=， 解得12t =或92， 990510t t ⎛⎫≤≤≠ ⎪⎝⎭，∴12t =；Q 在AB 上时，PQD ∠不可能为90︒，故不存在矩形的情况；②如图，当Q 在BC 上时，955t ≤≤，CPQ CBA △△∽，∴::4:3:5CP QP CQ =，AP t =，∴5CP t =−， ∴()354PQ t =−，()554CQ t =−， ∴()55945444BQ t t =−−=−， ∴222222359254511724416816DQ BD BQ t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当22PQ DQ =时，平行四边形PQDM 为菱形， ∴()22254511735168164t t t ⎡⎤−+=−⎢⎥⎣⎦，解得t =，955t ≤≤，∴t =；当Q 点在BC 中点时，平行四边形PQDM 为矩形， 此时485255t −=⨯=， 解得175t =；综上所述：当平行四边形PQDM 为轴对称图形时，t 的值为12、或175；（4）解：平行四边形PQDM ，∴Q 在过点D 的AC 平行线的下方， ①如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM AC ∥时，易得DQM QAP △△∽，平行四边形PQDM ，∴43DM QP t ==， 由（1）得3523DQ t =−， ∴35523443t DQ DM t −==， 解得920t =；②如图，Q 在AD 上，9010t ≤<，QM BC ∥时， 易得DQM QPA △△∽，∴35423453tDQDM t−==，解得8245t=（舍）；③过点D的平行线交BC于点N，点Q在CN上移动才可能会出现平行四边形PQDM的对角线QM平行于直角三角形的边，此时1755t≤≤，如图，当QM AC∥时，延长DM交AC于点H，平行四边形PQDM，∴()354DM PQ t==−且DH AC⊥，QM AC∥，∴四边形MQPH为矩形，∴()354MH PQ DM t===−，∴()365245t DH−⨯==，解得215t=；不存在QM AB∥的情况；综上所述：当QM与Rt ABC△的某条边平行时，t的值为920或215．【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行分类讨论．【答案】(1)BD =，9BE cm =(2)PQ AD ⊥，理由见详解(3)存在，t 的值为125或4(4)或【分析】（1）可求出30ADB ∠=︒，根据含30︒的直角三角形的性质可得212AD AB cm ==，BD =，根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，则30DBC ∠=︒，即可得12DE BD =，BE =，即可求解； （2）先证四边形DEQP 是平行四边形，可得四边形DEQP 是矩形，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP BQ =，列出方程可求解；（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形，90ABD Ð=°，60A ∠=︒，6AB cm =，30ADB ∴∠=︒，AD BC ∥，212AD AB cm ∴==，BD ==，30DBC ADB ∠=∠=︒，DE BC ⊥，12DE BD ∴==，BE =，9BE cm ∴==；（2）PQ AD ⊥，理由如下：如图1，动点P 从点D 出发沿DA 以1/s cm 的速度向终点A 运动，同时点Q 从点B 出发，以4/cm s 的速度沿射线BC 运动，∴当95t =时，95PD =，365BQ =， 369955QE BE BQ PD ∴=−=−==， AD BC ，∴四边形DEQP 是平行四边形，DE BC ⊥，∴四边形DEQP 是矩形，PQ AD ∴⊥；（3）存在，当CD 为边时，四边形PQCD 是平行四边形，PD CQ ∴=，124t t ∴=−，125t ∴=；当CD 为对角线时，四边形PCQD 是平行四边形，PD CQ ∴=，412t t ∴=−，4t ∴=，综上所述：t 的值为125或4；（4）如图，当点P 的对称点在线段CD 上时，60ADQ QDC ∴∠=∠=︒，60QDC BCD ∴∠=∠=︒，CDQ ∴是等边三角形，CD CQ ∴=，6124t ∴=−，32t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，32EH PD cm ==， 60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，13cm 2CE CD ∴==，32QH CQ EH CE cm ∴=−−=，在Rt PQH 中，PQ =； 如图，当点P 的对称点在线段CD 的延长线上时，120CDA ∠=︒，60PDP '∴∠=︒，点P 的对称点在线段CD 的延长线上，1302CDQ PDP '∴∠=∠=︒，BCD CDQ CQD ∠=∠+∠， 30CDQ CQD ∴∠=∠=︒，6CD CQ ∴==，12618BQ ∴=+=，418t ∴=，92t ∴=，过点P 作PH BC ⊥于H ，则PH DE ==，92EH PD cm ==，60BCD ∠=︒，6CD AB cm ==，DE BC ⊥，132CE CD cm ∴==，272QH CQ EH CE cm ∴=++=，在Rt PQH 中，PQ ==；综上所述：点P ，Q 之间的距离为或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．课后训练1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，24cm DC =，26cm AB =，动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动，P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t 秒．(1)t 为何值时，四边形DPQA 为矩形？(2)t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？【答案】(1)当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形(2)当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形【分析】（1）根据AB CD ∥，矩形的判定和性质，得AQ DP =，求出t ，即可；（2）根据平行四边形的判定和性质，得PC QB =，求出t ，即可．【详解】（1）∵AB CD ∥，∴AQ DP ∥，当AQ DP =时，四边形DPQA 为平行四边形，∵90A ∠=︒，∴平行四边形DPQA 为矩形，∵动点P 从D 开始沿DC 边向C 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动， ∴cm DP t =，3cm BQ t =，∴263AQ AB BQ t =−=−，∴263t t =−，解得：261342t ==， ∴当132t =秒时，四边形DPQA 为矩形．（2）∵AB CD ∥，∴QB PC ∥，当PC QB =时，四边形PQBC 为平行四边形，∴24PC t =−，∴243t t −=，解得：6t =，∴当6t =秒时，四边形PQBC 为平行四边形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质． 在ABC 中， 发现：(1)在点O 的运动过程中，OE 与OF 的关系是(2)当=2t 时，=EF ______cm ．【答案】(1)OE OF =，详见解析(2)8cm ，探究：3，拓展：=AB 10cm【分析】()1根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到OEC ACE ∠=∠，ACF OFC ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到OE OC =，OF OC =，等量代换证明结论；()2根据直角三角形斜边上的中线的性质解答；探究：根据矩形的判定定理得到=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，进而求出OA ，求出t ；拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到45ACE ∠=︒，进而得到90ACB ∠=︒，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）解：OE OF =，理由如下：CE 平分ACB ∠，BCE ACE ∴∠=∠，EF BC ∥，BCE OEC ∴∠=∠，OEC ACE ∴∠=∠，OE OC ∴=，同理可得，ACF OFC ∠=∠，OF OC ∴=，OE OF ∴=，故答案为：OE OF =；（2）由题意得，当=2t 时，2cm OA =，则4cm OC AC OA =−=，BCE ACE ∠=∠，GCF ACF ∠=∠，90ECF ∴∠=︒，OE OF =，()28cm EF OC ∴==，故答案为：8； 探究：当=3t 时，四边形AECF 是矩形，理由如下：90ECF ∠=︒，OE OF =，∴当=OA OC 时，四边形AECF 是矩形，此时，3cm OA OC ==，3t ∴=时，四边形AECF 是矩形，故答案为：3；拓展：当四边形AECF 是正方形时，45ACE ∠=︒，CE 平分ACB ∠，290ACB ACE ∴∠=∠=︒，()10cm AB ∴=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键． 3．已知正方形ABCD 中，8AB BC CD DA ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒．动点P 以每秒2个单位速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒8个单位速度从B 点出发沿正方形的边BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动，当点P 与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t ．(1)当运动时间为 秒时，点P 与点Q 相遇；(2)当BQ PD ∥时，求线段DQ 的长度；(3)连接PA ，当PAB 和QAD 全等时，求t 的值．【答案】(1)3.2(2)3.2(3)t 为0.8或83【分析】（1）先判断出点P ，Q 相遇时，必在正方形的边BC 上，利用运动路程之和为正方形的正常建立方程即可；（2）先判断出四边形BQDP 是平行四边形，得出BP DQ =，进而表示出BP ，DQ ，用BP DQ =建立方程求解即可；（3）分点Q 在正方形的边AB ，AD ，CD ，BC 上，建立方程求解即可得出结论；【详解】（1）解：点P 的运动速度为2，8BC =，∴点P 运动到点C 的时间为4，点Q 的运动速度为8，∴点Q 从点B 出发沿BA AD DC CB −−−方向顺时针作折线运动到点C 的时间为(888)83++÷=，∴点P ，Q 相遇时在边BC 上，284832t t ∴+=⨯=，3.2t ∴=，故答案为3.2；（2）解：如图1，//BQ PD ，∴点Q 只能在边AD 上，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，∴四边形BQDP 是平行四边形，BP DQ ∴=，2288t t ∴=⨯−，1.6t ∴=，288 3.2DQ t ∴=⨯−=；（3）解：①当点Q 在边AB 上时，如图2，AB AD =，ABP DAQ ∠=∠，要使PAB ∆和ΔQAD 全等，只能是PAB QDA ≅，BP AQ ∴=，88AQ t =−，2BP t =，882t t ∴−=，0.8t ∴=，②当点Q 在边AD 时，不能构成QAD ，③当点Q 在边CD 上时，如图3，同①的方法得，要使PAB 和QAD 全等，只能是PAB QAD ≅，BP DQ ∴=，2816t t ∴=−，83t ∴=，④当点Q 在边BC 时，QAD 不是直角三角形，而PAB 是直角三角形，所以，不能全等；即：当PAB 和QAD 全等时，t 的值为0.8或83；【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论． 4．如图，在ABCD Y 中，9034BAC CD AC ∠=︒==，，．动点P 从点A 出发沿AD 以1cm /s 速度向终点D 运动，同时点Q 从点C 出发，以4cm /s 速度沿射线CB 运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，设点P 运动的时间为t 秒()0t >．(1)CB 的长为______．(2)用含t 的代数式表示线段QB 的长．(3)连接PQ ，①是否存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②是否存在t 的值，使得PQ 与AB 互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(4)若点P 关于直线AQ 对称的点恰好落在直线AB 上，请直接写出t 的值．【答案】(1)5(2)55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭(3)①不存在，理由见解析；②存在，t 的值为53(4)t 的值为12或2【分析】（1）根据平行四边形的性质得3AB DC ==，再根据勾股定理即可求解；（2）根据题意可得4CQ t =，先求出当点Q 与点B 重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q 在线段BC 上时和当点Q 在线段CB 的延长线上时；（3）①连接PC AQ ，，假设PQ 与AC 互相平分，则可得四边形APCQ 是平行四边形，进而可得AP CQ =，解得即可到答案；②连接PB AQ ，，假设PQ 与AB 互相平分，则可得四边形APBQ 是平行四边形，进而可得AP BQ =，解得即可到答案；（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时和当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴3AB DC ==，∵90BAC ∠=︒，∴5BC =，故答案为：5；（2）在ABCD Y 中，AD BC =，AD BC ∥，由题意得，4CQ t =，当点Q 与点B 重合时，45t =， ∴5s 4t =， 当点Q 在线段BC 上时，54QB BC CQ t =−=−，当点Q 在线段CB 的延长线上时，45QB CQ BC t =−=−， 综上所述，55404QB t t ⎛⎫=−<≤ ⎪⎝⎭或5454QB t t ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭；（3）①不存在，理由如下：如图，连接PC AQ ，，若PQ 与AC 互相平分，则四边形APCQ 是平行四边形，∴AP CQ =，∵4AP t CQ t ==，，∴4t t =，解得0=t （不合题意），∴不存在t 的值，使得PQ 与AC 互相平分；②存在，如图，连接PB AQ ，，若PQ 与AB 互相平分，则四边形APBQ 是平行四边形，∴AP BQ =，∴45t t =−， ∴5s 3t =， ∴当5s 3t =时，PQ 与AB 互相平分； （4）当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 下方时，如图，由对称得，PAQ P AQ '∠=∠，∵AD BC ∥，∴PAQ AQB ∠=∠，∴P AQ AQB '∠=∠，即BAQ AQB ∠=∠，∴3BQ AB ==，∴2CQ BC BQ =−=，∴42t =，解得12t =；当点P 关于直线AQ 对称的点落在点A 上方时，如图，由对称得，12∠=∠，∵AD BC ∥，∴13∠=∠，∵24∠∠=∴3=4∠∠，∴3BQ AB ==，∴8CQ BC BQ =+=，∴48t =，解得2t =，综上所述，t 的值为12或2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 5．如图，矩形ABCD 中，4CD =，30CBD ∠=︒．一动点P 从B 点出发沿对角线BD 方向以每秒2个单位长度的速度向点D 匀速运动，同时另一动点Q 从D 点出发沿DC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 、Q 运动的时间为t 秒()0t >．过点P 作PE BC ⊥于点E ，连接EQ ，PQ ．(1)求证：PE DQ =；(2)四边形PEQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．(3)当t 为何值时，PQE V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)能，83t =(3)当2t =或165，见解析【分析】（1）由垂直得90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，由30CBD ∠=︒，可得PE t =，即可证明结果；（2）先证明四边形PEQD 是平行四边形，82PD t =−，DQ t =，当PD DQ =时，四边形PEQD 为菱形，即可求解；（3）分类讨论：①当90EPQ ∠=︒，②当90PQE ∠=︒，③当90PEQ ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵PE BC ⊥，∴90BEP ∠=︒，在Rt BEP 中，2BP t =，∵30CBD ∠=︒，∴PE t =，又∵DQ t =，∴PE DQ =；（2）解：能，理由如下：∵四边形ABCD 为矩形，PE BC ⊥，90BEP C ︒∠==∠，∴PE DQ ∥，由（1）知，PE DQ =，∴四边形PEQD 为平行四边形，在Rt CBD 中，4CD =，30CBD ∠=︒，∴28BD CD ==，∵2BP t =，∴82PD BD BP t =−=−，若使平行四边形PEQD 为菱形，则需PD DQ =，即82t t −=， ∴83t =， 即当83t =时，四边形PEQD 为菱形； （3）解：①当90EPQ ∠=︒时，四边形EPQC 为矩形，∴PE QC =，∵PE t =，4QC t =−，∴4t t =−，即2t =；②当90PQE ∠=︒时，90DPQ PQE ∠=∠=︒，在Rt DPQ 中，906030PQD ∠=︒−︒=︒，∴2DQ DP =，∵DQ t =，82DP t =−∴()282t t =−，即165t =．③当90PEQ ∠=︒时，此种情况不存在，综上所述，当2t =或165时，PQE V 为直角三角形．【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键．(1)=a ______cm ，b =______cm ；(2)t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？(3)另有一点Q 从点E 出发，按照E D C →→的路径运动，且速度为1cm /s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，BPQ V 的面积等于26cm ．【答案】(1)3，3(2)2s =t(3)3s 2或11s 3或5s【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值；（2）先求出18cm BCDE C =四边形，可得9cm BE BP +=，可求4cm BP =，即可求解；（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）∵()230a −=，∴30,290a a b −=+−=，∴3,3a b ==；故答案为：3，3；（2）∵3cm,3cm AE DE ==，∴6cm AD BC ==，∴18cm BCDE C BC CD DE EB =+++=四边形，∵EP 把四边形BCDE 的周长平分，∴9cm BE BP +=，∴4cm BP =，点P 在BC 上，∴42s 2t ==；（3）①点P在BC上(03)t<≤，∵12462BPQtS=⨯⨯=V，∴3.2t=；②相遇前，点P在CD上13 (3)3t<≤，∵[]1(4(3)(26)662BPQS t t=⨯−−−−⨯=，∴113t=；③相遇后，点P在CD上13(5)3t<≤，∵[]1(3)(26)4662BPQS t t=⨯−+−−⨯=，∴.5t=；∴综上所述，当3s2t=或11s3或5s时，BPQV的面积等于26cm．【点睛】本题考查了矩形的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论思想是解本题的关键．角形与DCQ全等．【答案】(1)1(2)54t=或4或232(3) 3.5t=，5.5或10【分析】（1）根据题中条件求出AP 的长即可求解；（2）分三种情况讨论：①当点P 在AB 上时，②当点P 在BC 上时，③当点P 在AD 上时；（3）连接CQ ，要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ，分类讨论即可．【详解】（1）解：动点P 的速度是2cm/s ，∴当2t =时，224AP =⨯=，∵5cm AB =，∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时，CDP △是等腰三角形，∴PD CP =，在长方形ABCD 中，,90AD BC A B =∠=∠=︒，∴()HL DAP CBP ≌，∴AP BP =， ∴1522AP AB ==，∵动点P 的速度是2cm/s ， ∴54t =；②当点P 在BC 上时，CDP △是等腰三角形，如图所示，∵90C ∠=︒，∴5CD CP ==，∴3BP CB CD =−=， ∴53422AB BP t ++===；③当点P 在AD 上时，CDP △是等腰三角形．如图所示，∵90D Ð=°，∴5DP CD ==， ∴585523222AB CB CD DP t ++++++===， 综上所述，54t =或4或232时，CDP △是等腰三角形； （3）解：根据题意，如图，连接CQ ，∵5,90,6AB CD A B C D DQ ==∠=∠=∠=∠=︒=，∴要使一个三角形与DCQ 全等，则另一条直角边必须等于DQ ．①当点P 运动到1P 时，16CP DQ ==，此时1DCQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：1527AB BP +=+=， ∴72 3.5t =÷=；②当点P 运动到2P 时，26BP DQ ==，此时2CDQ ABP △≌△， ∴点P 的路程为：25611AB BP +=+=，∴112 5.5t =÷=③当点P 运动到3P 时，35AP DQ ==，此时3CDQ BAP △≌△， ∴点P 的路程为：3585220AB BC CD DP +++=+++=， ∴20210t =÷=，④当点P 运动到4P 时，即P 与Q 重合时，46DP DQ ==，此时4CDQ CDP △≌△， ∴点P 的路程为：4585624AB BC CD DP +++=+++=∴24212t =÷=，此结果舍去，不符合题意，综上所述，t 的值可以是： 3.5t =，5.5或10．【点睛】本题考查了动点问题，灵活运用分类讨论思想是解题关键．。
(完整版)几何图形初步知识点
几何图形初步知识点归纳1.几何图形1、几何图形：从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。
2、立体图形：这些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
3、平面图形：这些几何图形的各部分都在同一个平面内。
4、虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。
立体图形中某些部分是平面图形。
5、三视图：从左面看，从正面看，从上面看6、展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
7、⑴几何体简称体；包围着体的是面；面面相交形成线；线线相交形成点；⑵点无大小，线、面有曲直；⑶几何图形都是由点、线、面、体组成的；⑷点动成线，线动成面，面动成体；⑸点：是组成几何图形的基本元素。
练习：1、下列叙述正确的有 （ ）（1）棱柱的底面不一定是四边形；（2）棱锥的侧面都是三角形；（3）柱体都是多面体；（4）锥体一定不是多面体A.1个B.2个C.3个D.4个2、若一个多面体的顶点数20，面数为12，则棱数为 （ ）A.28B.32C.30D.263、在世界地图上，一个城市可以看作 （ ）A.一个点B.一条直线C.一个面D.一个几何体4、直线AB 上有一点C ，直线AB 外有一点D ，则A 、B 、C 、D 四点能确定的直线有（ ）A.3条B.4条C.1条或4条D.4条或6条5、C 为线段AB 延长线上的一点，且AC=AB ，则BC 为AB 的 （ ）23A.B.C. D. 323121236、如图中是正方体的展开图的有（ ）个A 、2个B 、3个D 1、底面是三角形的棱柱有 个面， 个顶点， 条棱。
2、手电筒发出的光给我们的形象是 。
3、下列说法中：①直线是射线长度的2倍；②线段AB 是直线AB 的一部分；③延长射线OA 到B 。
正确的序号是 。
aA B4、已知：线段AC和BC在同一直线上，如果AC=10㎝，BC=6㎝，D为AC的中点，E为BC的中点，则DE= 。
初中几何分类讨论问题经典题例析
初中数学分类讨论问题经典题例析(几何部分)山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406） 张荣建在几何计算中，根据题设条件常常可以做出形状不同的独立图形，因而必须针对不同图形进行分类求解。
1、三角形形状不确定时，需考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形、三角形的高在三角形内还是三角形外等情况画出不同图形，分别求解。
经典题1、已知△ABC 的AB=32,AC=2,BC 边上的高AD=3，求BC 长。
分析：三角形的高AD 与AB 、AC 的关系不确定，符合条件的图形有图1和图2，所以要在两个图形中分别求解。
解：在图1中，∵A D ⊥BC,∴BD=3)3(22222=-=-AD AB ，CD=1)3(22222=-=-AD AC ，∴BC=BD+CD=4。
在图2中，同理求得：BD=3，CD=1，BC=BD-CD=3-1=2。
经典题2、平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，A E ：CE=2：3，AB=5，BE=3.求平行四边形的面积。
解：符合条件的图形有两个，如图3和图4，在图3中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()36436=⨯+。
在图４中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()12436=⨯-。
经典题３、已知△ABC 的AB=32,AC=2, BC 边上的高AD=3，有一个正方形的一边在已知△ABC 的AB 边上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求这个正方形的面积。
分析：正方形与三角形的位置关系有两种情况，如图５和图６，所以要在两个图形中分别求解。
解：由经典题1，BC=4或BC=2,当BC=4时，∵()2222216232BC AC AB ==+=+，∴△ABC 为直角三角形，所以图５符合题意，设正方形边长为x ，∵G E ∥AB ，∴3132323422232+=∴-=∴-=∴=x x ，x ，x x ，CA CE AB GE ，即正方形边长为3132+。
九年级大单元主题复习教学探索——以《直角三角形的复习》为例
九年级大单元主题复习教学探索——以《直角三角形的复习》为例传统的中考复习中，几何部分按照一般三角形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、四边形、圆这样的顺序进行分块复习。
每节课后，学生在做相应的作业都能表现良好，但在复习阶段后做综合题则多表现的无所适从。
这种现象的根本原因在于，学生通过传统的复习方式，贮存的仍然是单块分散的知识点，缺乏系统性，导致他们一旦无法用常规思路解决新问题时，缺乏变通性。
基于这种现状，笔者在制定九年级第一轮中考复习计划时，力求在教学中抓住本质，将初中3年的知识点拆分重组成新的模块，共15个单元进行专题复习。
通过该办法，可以在复习教学中启发学生思考，构建知识体系，让学生形成良好的数学认知结构。
接下来笔者以“三角形”模块为例，阐述具体的单元主题复习方法。
之所以选择“三角形”模块举例，是因为笔者认为三角形虽然结构简单但却是最重要的几何图形，三角形的知识是研究解决其他几何图形不可或缺的基础。
例如四边形的问题基本上可以转化为三角形来解决，大多数圆的问题在去掉圆后也是回归到三角形问题上来。
基础不牢，地动山摇，所以三角形的学习在整个几何板块具有举足轻重的地位。
三角形中的代表——等腰三角形和直角三角形，几乎占据了初中阶段几何部分的半壁江山。
等腰三角形具有轴对称性，若将等腰三角形对折，使两腰重合，就成为了一个直角三角形。
直角三角形的特殊之处在于边之间的关系，我们也可以戏称直角三角形为勾股三角形，直角三角形的三边利用勾股定理建立起了等量关系。
而直角三角形最大的功能就是定量研究，在很多几何问题中都能找到等腰三角形的基本结构，而当中的计算最终可转化在直角三角形中进行，直角三角形中的计算主要是角度和线段长。
对于九年级第一轮复习的学生来说，已较好的掌握了直角三角形的基本性质，但直角三角形与其他几何图形的联系较为欠缺，知识缺乏系统性。
根据这些特点，采用直角三角形内求线段长的教学任务，学生容易接受。
数学思想之分类讨论
数学思想之分类讨论分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．一、代数 （一）数、式1、若x 的相反数为3，y ＝5，则x ＋y 的值为（ ）．（D ） （A ）－8 （B ）2 （C ）8或－2 （D ）－8或22、若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则（C ）A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－1 3、已知│x│=4，│y│=12，且xy<0，则xy=_______．（－8） 4、已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______．（±1）5、若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()abb c m m m++-的值是______．（0或－2）6、已知11||1,||a a a a-=+则的值为（ ）（B ）. .5 3 .51A C ±7、化简|1|x -（10－2x 或8或2x －10）8、已知：数3、6、x ，三个数中的一个数是另两个数的比例中项，求x ．（23，12，±23）（二）函数、方程1、在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数ky x=的图象的交点的个数是（ ）（A ） A ．0个或2个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个2、一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）（D ） A ．14 B ．－6 C ．－4或21 D ．－6或143、已知关于x 的方程m 2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有实数根，求m 的取值范围．（m≥－41）二、几何（一）锐角与钝角1、已知：△ABC 中，∠A=40°，AB 、AC 边上的高所在直线相交于H ，求∠BHC ．(140°或40°)2、等腰三角形面积是2，腰长是5，求底角的正切值．（2或21） 3、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与直线AC 相交所得的锐角为50°，•则底角∠B 的大小为__________．（20°或70°）4、△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BD 为AC 边上的高，BD ＝3，∠ACB 的度数是__ _____．（300或600）5、△ABC 中，AB=AC ，CH 是AB 上高，CH=53AB ，BC=10，求（1）tgB ；（2）若正方形DEFG 内接于△ABC ，使D 在AB 上，G 在AC 上，E 、F 在BC 上，求正方形边长．（tgB=3或tgB=31；1053或710） 6、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=15，AD=8，CD=13，sinB=54，求BC ．（22或12）（二）等腰三角形1、等腰三角形的两条边分别为5cm ，6cm ，则周长为 cm ．（16或17）2、等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）（A ） A ．5cm B ．3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定3、若等腰三角形的一个内角为50°，则其他两个内角为（ ） （D ） A ．50°，80° B ．65°， 65°C ．50°，65°D ．50°，80°或 65°，65° 4、等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．（70°或40°） 5、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．（6，8或9，5）6、已知：在平面直角坐标系中有两点A （－1，1），B （3，2），在x 轴上找出点C ，使△ABC 为等腰三角形．（（3，0）（－5，0）（±13+3，0）（811，0）） 7、直线y=33x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于B ，求（1）∠BAO 的余弦值；（2）是否存在点C ，使△ABC 是底角为30°的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点C 坐标；若不存在，请说明理由．（（1）cos ∠BAO=23；（2）（－33，0）或（0，3）） 8、在等腰三角形中，如果有两条中线的长分别为3厘米和32厘米，那么这个等腰三角形的周长为 厘米．（8+27或22+45）9、为了美化环境，计划在某小区内用30m 2•的草皮铺设一块边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边．（①当10；②当10为腰且三角形为锐角三角形时，另两边为10，当10为腰且三角形为钝角三角形时，另两边为10，10、在△ABC 中，正方形DEFG 的顶点D 、E 在BC 边上，顶点F 、G 分别在AC 、AB 边上，如果△ABC 是等腰三角形，且腰长为10cm ，底边长为12cm ，求正方形DEFG 的边长．（524或49240）（三）直角三角形1、已知Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．（5或7）2________．（23、Rt △ABC 中，sinA=54，c=10，求b ．（6或350）（四）相似1、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已有三角形框架甲，它的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，•那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）（C ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 2、两个相似三角形的对应中线的比为2∶3，其中一个三角形的周长是20cm ，则另一个三角形的周长为 cm ．（30或340） 3、在△ABC 中，AB ＝8厘米，AC ＝6厘米，点D 、E 分别在边AB 、AC 边上，且以点A 、D 、E 为顶点的三角形和以点A 、B 、C 为顶点的三角形相似．如果AD ＝2厘米，那么AE ＝ 厘米．（23或38） 4、RtΔABC 中，∠C=90º ，BC=8，AC=6，则其内接正方形的边长为 ．（340或37120） 5、已知等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AD=BC=10，DC=13，tgA=0．75，E 是AB 上一点，如果△AED 相似△BCE ，求BE 的长．（229，25或4） 6、Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以C 为圆心，BC 为半径作圆交AB 于D ，如果点E 在CB 的延长线上，且△ABE 与△ACD 相似，求BE ．（310或6） 7、已知二次函数y=92x 2+322x+2的图像与x 轴、y 轴交于点A 、B ，一次函数y=－2x+b 图像经过B 点，并与x 轴交于点C ，若D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图像经过B 、D 两点的一次函数解析式．（y=－522x+2或y=42x+2）（五）圆1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD 之间的距离为__________．（1cm或7cm）2、已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________．（2cm 或4cm）3、若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（）（C）A．2 B．8 C．2或8 D．1或44、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．（1或5）5、若半径为1cm和2cm的两圆相外切，•那么与这两个圆相切、且半径为3cm的圆的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个（A）6、⊙O1与⊙O2相交于AB，且AB=24，两圆的半径分别为r1=15，r2=13，求两圆的圆心距．（14或4）7、已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．（105°或15°）8、已知O是△ABC的外心，∠A为最大角，∠BOC的度数为y°，∠BAC的度数为x°，求y与x的函数关系式．（y=2x（0<x<90）或y=360°－2x（90<x<180））9、已知半径为3，5的两圆的两条公切线相互垂直，求圆心距．（82或22）10、已知半径为2和3的两圆相交于点A、B，且AB=22，求A、B与两圆心组成的四边形面积．（2±2）11、已知⊙O的直径AB=6cm，P为⊙O外一点，PA、PC切⊙O于A、C，C为弧AB的三等分点，求PC．（3或33）（六）位置1、点A在x轴上，且点A到原点的距离为4，则点A的坐标为．（（4，0）或（－4，0））2、线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC= ．（10cm或4cm）3、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC= 15 ，则AB的长为．（3+5或4+25）4、平面上A、B两点到直线k距离分别是2－3与2＋3，则线段中点C到直线k的距离是．（2或3）5、已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为cm．（1cm或5cm）6、已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．（3163+=x y 或3163+-=x y ） 7、抛物线y ＝ax 2＋c 与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．（y ＝2x 2＋3或y ＝8x 2－3）8、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正弦值是21，设梯形面积为y ，梯形中较短的底边长为x ，求y 与x 的函数关系．（y=－95x 2+38x+4（0<x<6）或y=－92x 2+32x+4（0<x<6））9、已知，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB ∶CD=6∶5，∠C 、∠D 的平分线都与AB 交于N ，M 两点，且N ，M 把AB 三等分，若梯形周长为76，求梯形中位线的长．（22或15418）10、如图，路灯A 的高度为7米，在距离 路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD ⊥BD ， 如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上 （EF ⊥BD ，垂足为F ，EF <CD ），他的影子的 总长度为3米, 求该学生到路灯正下方B 点的 距离BF 的长.（10.125米或18米）11、设方程023=--xx 的两根为x 1、x 2，且x 1<x 2，（1）求出x 1、x 2的值；（2）若A （x 1，0），B（x 2，0），C （0，x 2），D （－x 1，x 2+1），点O 为坐标原点，在△AOC 、△BOC 、△CDB 、△ACB 中是否有相似三角形．如果有，指出哪几对并证明；（3）若E 是y 轴上点，且满足它与A 、B 、C 三点组成的四边形面积，恰好等于四边形ABDC 的面积，求点E 的坐标．（（1）x 1=－1，x 2=3；（2）△AOC ∽△DCB ；（3）（0，23-）或（0，215））12、已知直线y=－33x+334，与x 轴相交于点A ，并经过B 点，已知OB=2，（1）求A 、B 的坐标；（2）若点E 在线段OA 上，点F 在线段EA 上，EF=2，分别过E 、F 作OA 垂线EM 、FN ，点M 、N 在△OAB 的边上，设OE=x ，那么x 为何值时，在△OAB 内且夹在直线EM 与FN 之间的面积为△OAB 面积的一半．（（1）A （4，0），B （1，3）；（2）23（舍231±））（第24题图）三、综合题（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参考）（一）等腰三角形1、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个 动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ．（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持 不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x, GP=y 求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义城； （3）如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 长.（答案：（1）GH=2；（2）y=233631x +（0<x<6）；（3）6或2）2、已知，在ABC ∆中()A B ∠<∠，8,AB AC ==7cos 8A =. （1）求BC 的长（如图a ）；（2）P 、Q 分别是AB 、BC 上的点，且:2:1BP CQ =，连结PQ 并延长，交AC 的延长线于点E ，设,CQ x CE y ==（如图b ）.①求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域；②当x 为何值时，PEA ∆是等腰三角形？27.（1）BC=4（2）①()2022x y x x∴=<<-②若AP AE =，8AP <，8AE >，矛盾∴AP AE =不存在. …1分 若AE PE =，则A APE ∠=∠,,APE B A B ∠>∠∠<∠ ，矛盾∴AE PE =不存在.………………………………………………… 1分 若AP EP =，过点P 作PM AE ⊥,垂足为点M .822AE yAM +∴==………………………………………………………1分 872cos 828y AM A AP x +∴===-………………………………………………1分整理得7212x y +=，又22x y x ∴=-，解得126,45x x ==（舍）……1分AB CQPABC 图a图b∴当65x =时，PEF ∆是等腰三角形. …………………………………1分3、如图5，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点A ，与大圆相交于B ，大圆的弦BC ⊥AB ，过点C 作大圆的切线交AB 的延长线于D ，OC 交小圆于E ．（1） 求证：△AOB ∽△BDC ；（2） 设大圆的半径为x ，CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．（3） △BCE 能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．25．解：（1）略；（2）函数解析式为122-=x x y ，定义域为1>x ．（3）当EB =EC 时，∠ECB =∠EBC ，而∠ECB =∠OBC ，∴EB ≠EC ．当CE =CB 时，OC =CE +OE =CB+OE=2+1=3．………………………………（1分） 当BC =BE 时，∠BEC =∠ECB =∠OBC ，则△BCE ∽△OCB ．………………（1分）则,OCBCBC CE =设OC = x ,则CE =1-x ,x x 221=-,2171±=x (负值舍去). ∴OC =2171+.…………………………………………………………………（1分）综上所述，△BCE 能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或2171+．（二）直角三角形1、如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm ，cosB=54，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM=∠B ．（1）设BP=x ，CM=y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出 函数的定义域．（2）当△PCM 为直角三角形时, 求点P 、B 之间的距离．（答案：（1）y=582xx +-（0<x<8）；（2）425或4）2、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，AD ＝6，BC ＝12，点E 在 AD 边上，且AE ：ED ＝1：2，连接CE ，点P 是AB 边上的一个动点，（P 不与A ，B 重合） 过点P 作PQ ∥CE，交BC 于Q ，设BP ＝x ，CQ ＝y ， （1）求CosB 的值；ABPCM（2）求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）连接EQ ，试探索△EQC 有无可能是直角三角形，若可能，试求出x 的值，若不能，请简要说明理由。
等腰三角形中的分类讨论问题归类
等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。
本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。
通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。
一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。
首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。
其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。
此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。
这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。
二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。
四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。
例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。
专题十二中考数学分类讨论专题
分类讨论专题在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类按一个标准； （3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 综合中考的复习规律,分类讨论的知识点可分为三大类：1. 代数类：代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点坐标未给定所在象限等.2. 几何类：几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3. 综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.代数类考点1与数与式有关的分类讨论1. 化简：|x-1|+|x-2|2. 已知α、β是关于x 的方程x 2+x+a=0的两个实根;1求a 的取值范围； 2试用a 表示|α|+|β|; 3. 代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有 A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个考点2与方程有关的分类讨论4. 解方程：①a -2x =b -1 ②试解关于x 的方程111=--x )x (5. 关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有实数根,则k 的取值范围是A ．4k≤ B.104k k ≤≠或 <14 D. k≥146. 已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= 1若方程有实数根,求k 的取值范围2若等腰三角形ABC 的边长a=3,另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根,求ΔABC 的周长. 考点3函数部分7. 一次函数ykx b x =+-≤≤，当31时,对应的y 值为19≤≤x ,则kb 的值是 ;A. 14B. -6C. -4或21D. -6或148. 设一次函数21y ax a 的图象不经过第一象限,求a 的取值范围;9. 比较一次函数12y x 与二次函数2212y x 的函数值y 1与y 2的大小; 10. 图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M1,-4. 1求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；2将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.变式就b 的取值范围,讨论.直线)1(<+=b b x y 与此图象有公共点的个数图9几何类一、与等腰三角形有关的分类讨论 考点4与角有关的分类讨论1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________ 考点5与边有关的分类讨论1. 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________. 考点6与高有关的分类讨论1. 一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°,则此等腰三角形的顶角是________度.2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,这个等腰三角形的顶角是______度.3. 为美化环境,计划在某小区内用230m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.4. 如图,在网格图中找格点M,使△MPQ 为等腰三角形.并画出相应的△MPQ 的对称轴. 考点7综合应用1. 在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知A －2,2,试在x 轴上确定点P,使△AOP 为等腰三角形,求符合条件的点P 的坐标2. 如图,在平面直角坐标系xoy 中,分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A 3,4．连接OA ,若在直线a 上存在点P ,使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是3. 直角坐标系中,已知点P －2,－1,点Tt ,0是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；2当t 取何值时,△P 'TO 是等腰三角形 (2)A －二、与圆有关的分类讨论圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性,圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.考点8 由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论1.已知点P到⊙O的最近距离为3cm,最远距离为13cm,求⊙O的半径.考点9 由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论1.A、B是⊙O上的两点,且∠AOB=136o,C是⊙O上不与A、B重合的任意一点,则∠ACB的度数是___________.考点10 由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论1.已知横截面直径为100cm的圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,求下水道中水的最大深度.考点11 由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论1.⊙O的直径AB=2,过点A有两条弦AC=2,AD=3,求∠CAD的度数.考点12 由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论1.已知在直角坐标系中,半径为2的圆的圆心坐标为3,-3,当该圆向上平移个单位时,它与x轴相切.2.如图,直线443y x=-+与x轴,y轴分别交于点M,N1求M,N两点的坐标；2如果点P在坐标轴上,以点P为圆心,125为半径的圆与直线443y x=-+相切,求点P的坐标.考点13 由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论1.已知⊙O1与⊙O2相切,⊙O1的半径为3 cm,⊙O2的半径为2 cm,则O1O2的长是 cm ．2. 如图,在8×4的方格每个方格的边长为1个单位长中,⊙A 的半径为1,⊙B 的半径为2,将⊙A 由图示位置向右平移 个单位长后,⊙A 与⊙B 相切．3. 如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为a ,0,半径为5,如果两圆内含,那么a 的取值范围是_________．4. 在直角坐标平面内,O 为原点,点A 的坐标为1,0,点C 的坐标为0,4,直线CM x ∥轴如图7所示．点B 与点A 关于原点对称,直线b x y +=b 为常数经过点B ,且与直线CM 相交于点D,联结OD ．1求b 的值和点D 的坐标；2设点P 在x 轴的正半轴上,若△POD 是等腰三角形,求点P 的坐标； 3在2的条件下,如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切,求⊙O 的半径．三、与直角三角形有关的分类讨论1. 已知点M 0,1,N 0,3,在直线y=2x ＋4上找一点P 使△MPN 为直角三角形,求点P 的坐标.2. 如图,已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,点B 的横坐标是1． 1求P 点坐标及a 的值；2如图1,抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的关系式；3如图2,点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点点E 在点F 的左边,当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标．x四、与相似三角形有关的分类讨论考点14 对应边不确定1. 如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm ／s 的速度向B 点匀速运动；同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm ／s 的速度向A 点匀速运动,问：是否存在时刻t,使以A,.M,N 为顶点的三角形与ΔACD 相似 若存在,求t 的值；若不存在,请说明理由． 2.考点15 对应角不确定1. 如图1,∠A=500,∠B=600,一直线l 与△ABC 的边AC 、AB 边相交于点D 、E 两点,当∠ADE 为________度时,△ABC 与△ADE 相似. 考点16 图形的位置不确定1. 在平面直角坐标系中,已知点P －2,－1. 过P 作y 轴的垂线PA,垂足为A.点T 为坐标轴上的一点.若以P,O,T 为顶点的三角形与△AOP 相似,请写出点T 的坐标变式 若点T 在第四象限,请写出点T 的坐标.2. 如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,E 是AB 的中点,过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB ＝4,BC ＝6,∠B ＝60°．1求点E 到BC 的距离；2点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ,过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时如图2,△PMN 的形状是否发生改变 若不变,求出△PMN 的周长；若改变,请说明理由；ABCEDl图1C②当点N 在线段DC 上时如图3,是否存在点P ,使△PMN 为等腰三角形 若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由．F E A DBC图5备用F E A DBC 图4备用F E A DB C图2N P MF E A D B C图3MPN F E A DBC 图1课下巩固练习一、填空题：1. 已知AB 是圆的直径,AC 是弦,AB ＝2,AC ＝2,弦AD ＝1,则∠CAD＝ ．2. 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .3. 已知两圆内切,一个圆的半径是3,圆心距是2,那么另一个圆的半径是________．4. 等腰三角形的一个内角为70°,则其顶角为______．5. 在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中,作格点△ABC 和△OAB 相似相似比不为1,则点C 的坐标是_____. 二、选择题：1. 若等腰三角形的一个内角为500,则其他两个内角为 A ．500,80oB ．650, 650C ．500,650D ．500,800或 650,6502. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－1 3. 等腰三角形的一边长为3cm,周长是13cm,那么这个等腰三角形的腰长是 A ．5cm C ．5cm 或3cm D ．不确定4. 若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°,则弦AB 所对的圆周角的度数为 A ．300 B 、60C ．150D ．300或 15005. 若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a,最小距离为ba>b,则此圆的半径为 A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b二、解答题：1. 在ΔABC 中,∠BAC＝90°,AB＝AC ＝圆A 的半径为1,如图所示,若点O 在BC 边上运动,与点B和C 不重合,设BO ＝x,ΔAOC 的面积为y . 1求y 关于x 的函数关系式.2以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时ΔAOC 的面积.2. 在直角坐标系XOY 中,O 为坐标原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A5,0,B0,4,C －1,0,点M 和点N 在x轴上,点M 在点N 的左边点N 在原点的右边,作MP⊥BN,垂足为P 点P 在线段BN 上,且点P 与点B 不重合直线MP 与y 轴交于点G,MG ＝BN. 1求点M 的坐标.2设ON ＝t,△MOG 的面积为S,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.3过点B 作直线BK 平行于x 轴,在直线BK 上是否存在点R,使△ORA 为等腰三角形 若存在,请直接写出R 的坐标；若不存在,请说明理由.3. 如图,以矩形OABC 的顶点O 为原点,OA 所在的直线为x 轴,OC 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系．已知OA ＝3,OC ＝2,点E 是AB 的中点,在OA 上取一点D ,将△BDA 沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处．1直接写出点E 、F 的坐标；2设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ,且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的关系式．4. 在平面直角坐标系内,已知点A2,1,O 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k,有k 个就标到P K 为止,不必写出画法5. 已知(1)A m -，与(233)B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． 1求k 的值；2若点(10)C -，,则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ,使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形 若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由．6. 如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A 3,0,B 0,3两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . 1求直线AB 的关系式;2若S 梯形OBCD 43,求点C 的坐标; 3在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 7. 二次函数2312y x x =--的图象与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点C .1求ABC △的面积．；2在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ACBD 为直角梯形 若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由．。
分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用
分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用摘要分类讨论思想是初中数学中重要的数学思想之一。
本文主要从数与式、解方程、几何和函数的四个方面，通过典型例题的浅析，阐明了分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用。
最后对如何提高初中生分类讨论思想应用水平提出若干建议，旨在帮助学生能够更好的认识和理解分类讨论思想，并将分类讨论思想运用到实际的解题当中去。
【关键词】：^p ：分类讨论思想；初中数学；解题能力 Abstract The thought of classified discussion is one of the important mathematal thoughts in junior middle school mathemats.In this paper, from the four aspects of number and formula, solving equation, geometry and function, through the analysis of typal eles, the author epounds the lation of classified discussion in junior high school mathemats problem-solving.Finally, some suggestions are put forward on how to improve the lation level of the classified discussion ideas of junior high school students, in order to help students better understand and understand the classified discussion ideas, and ly the classified discussion ideas to the actual problem-solving.Key words：Classified Discussion Thought; Junior Middle School Mathemats; Problem Solving Ability 目录 1 引言 1 2 分类讨论思想概述 2 3 分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用 3 3.1 分类讨论思想在数与式的应用 3 3.2 分类讨论思想在解方程的应用 4 3.3分类讨论思想在几何的应用 6 3.4分类讨论思想在函数的应用 8 4 提高初中生分类讨论思想应用能力的几点建议 11 4.1 课堂中加强数学思想的渗透 12 4.2 加强学生基础知识的学习 12 4.3提高意识，增加练习量 12 4.4 端正学生学习态度 13 5 结论 13 致谢 15 参考文献 16 1 引言数学史不仅需要考虑到新概念和新定理，更加需要关注数学思想方法的形成发展。
初中数学知识可以分为代数、几何、函数、统计四大部分。
初中数学知识可以分为代数、几何、函数、统计四大部分。
在这四大部分中我是这样渗透数学思想和数学方法的。
（一）：代数部分。
如：分式的基本性质一节。
可复习分数的基本性质，练习，1约分3212 2计算、12121-31+。
通过练习可知：3212的分子与分母分别除以4得到83。
31的分子与分母分别乖以4得到124，21的分子与分母分别乖以6得到126把异分母变成同分母进行加减。
类似地可得分式的基本性质：分式的分子与分母都乖以（或除以）同一个不等于的零式子整式，分式的值不变。
式子表示是：m b m a b a ⨯⨯=；mb m a b a ÷÷=（m 0≠）,再例题讲解，这就用了类比方法。
a 的意义，2a 的化简都要对a ,0,0〈〉a a =0，这三种情况进行讨论。
这就用到了分类讨论思想。
可化为一元一次方程的分式方程一节中用去分母的方法对方程3-60380x x =+两边乖以（x+3）(x-3),约去分母得：80（x-3）=60(x+3).这样把分式方程转化成了整式方程就是以前学过的了。
这里渗透了转化思想把待解决的分式方程归结到已学的整式方程中去，提高了学生分析问题解决问题的能力。
例3审题分析设未知数用“结果甲比乙少用2小时输完”建立方程。
这里用到了分析法和方程思想。
（二）：几何部分：如;20.3菱形的判定一节的教法与矩形的判定类似先通过对菱形的性质的逆命题给出猜想，再通过操作验证，最后给出逻辑证明。
这就渗透了类比的数学方法。
又如19.2三角形全等的判定中的“边角边”公理的讨论对两边一角该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹角;另一种是角不夹在两边的中间，形成两边一对角进行讨论。
这就用到了分类讨论思想。
对几何证明题例题 分析从已知出发能得到什么结论，又从求证中需要什么条件。
这就用到了分析综合法。
（三）函数。
如：一次函数的性质一节。
画出y=132+x 的图象从列表中的数看：X 的值增大Y 的值也增大;从图象上从左到右上升。
正五边形的分类讨论
正五边形的分类讨论
正五边形是一个具有特殊几何性质的多边形，有着一些独特的分类。
本文将讨论正五边形的分类及其特征。
边长相等的正五边形
首先，我们来讨论边长相等的正五边形。
这是最常见的分类，其中所有五条边的长度相等。
此类正五边形是对称的，是最简单的形态。
角度相等的正五边形
除了边长相等外，我们还可以讨论角度相等的正五边形。
在这种情况下，五个角的度数相等。
这类正五边形也是对称的，但每个角度的度数要相等。
具有对称轴的正五边形
另一种分类是具有对称轴的正五边形。
这意味着正五边形中存在一条直线，当将该正五边形沿着这条直线对折时，两部分完全重合。
这种正五边形具有显著的平衡性和对称性。
具有旋转对称性的正五边形
某些正五边形具有旋转对称性。
这意味着将该正五边形顺时针或逆时针旋转一定角度后，可以得到完全相同的形态。
这种分类下的正五边形有多个旋转中心。
具有镜像对称性的正五边形
正五边形中的某些形态具有镜像对称性。
这意味着可以找到一个镜面，使得将正五边形沿着该镜面对折后，两部分完全重合。
总结
正五边形可以根据边长、角度、对称轴以及旋转和镜像对称性进行分类。
这些不同的分类体现了正五边形的几何特征和性质。
通
过研究和理解这些分类，我们可以更好地认识和应用正五边形的几何学概念。
以上为正五边形的分类讨论。
希望对您有所帮助！。
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辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课 类型三角形中的分类讨论 圆中的分类讨论 中考链接授课日期时段教学内容一、专题精讲专题一、三角形形状不定分类讨论例 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。
如图1，当△ABC 的高在形内时，由AD BD DC 2=·， 得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。
由 ∠B ＝25°。
可知∠BAD ＝65°。
所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。
如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。
由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD 所以∠B ＝∠CAD ＝25°； ∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115°巩固 已知三角形相邻两边长分别为20 cm 和30 cm ，第三边上的高为10 cm ，则此三角形的面积为________cm 2.答案 (100 2＋50 3)或(100 2－50 3) 专题二、等腰三角形的分类讨论例1 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC 的2、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°答案：D例3 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝24，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．答案：（1）如图，过A、D分别作于K，于H，则四边形ADHK是矩形。
∴在中，在中，由勾股定理得，∴（2）如图，过D作交BC于G点，则四边形ABGDA DCB MN是平行四边形。
∵∴∴∴由题意知，当M、N运动到t秒时，∵∴又∵∴∴即解得。
（3）分三种情况讨论：①当NC=MC时，如图③，即，∴②当MN=NC时，如图④，过N作于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，∴解得解法二：∵∴∴即，∴③当MN=MC时，图“略”，过M作于点F，，（方法略），当、或时，为等腰三角形。
巩固已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为(0，2)，点E为线段AB 上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y 轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线的图象经过A，C两点.(1)求此抛物线的函数表达式；(2)求证：∠BEF=∠AOE；(3)当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；【分析】(1)根据题意，由A、B两点的坐标，利用勾股定理，可求得AB的长，又由AB=OC，可知OC的长，则点C的坐标可求，然后利用待定系数法，可求得抛物线的解析式；(2)由A、B两点的坐标，得OA=OB，又由∠AOB=90°，可知∠BAO=∠ABO=45°，由∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE ，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，易证∠BEF=∠AOE；(3)当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；【解答】解：(1)如图1，∵A(-2，0)，B(0，2)，∴OA=OB=2，∴，∴.∵OC=AB，∴，即.由抛物线的图象经过A、C两点，得解得∴抛物线的表达式为.(2)∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°.又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE ，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE.(3)当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°，在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°. 又∵∠AOB=90°，∴此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立.②如图2，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°.在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°，∴EF∥AO，∴∠BEF=∠BAO=45°，EF⊥y轴，∴∠BEO=∠BEF+∠OEF=90°.又∵由(2)可知∠ABO=45°，∴∠EOF=∠ABO，∴BE=OE ，，∴E(-1，1)③如图3，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H在△AOE和△BEF中，∠EAO=∠FBE，EO=FE，∠AOE=∠BEF，∴△AOE≌△BEF(ASA)，∴AO=BE=2.∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，∴∠AOB=∠EHB ，∴EH∥AO，∴∠BEH=∠BAO=45°.在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°，∴EH=BH=BEcos45°=2×，∴OH=OB-BH=，∴综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为(-1，1)或.专题三、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例1已知x，y为直角三角形两边的长，满足x y y224560-+-+=，则第三边的长为_____________。
解析：由x y y224560-+-+=，可得x240-=且y y2560-+=分别解这两个方程，可得满足条件的解xy1122==⎧⎨⎩，或xy2223==⎧⎨⎩由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
当两直角边长分别为2，2时，斜边长为222222+=； 当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5； 当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。
综上，第三边的长为22或5或13。
例2 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧． (1)当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长；(2)将(1)问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形B'EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B'EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B'D ，B'M ，DM ，是否存在这样的t ，使△B'DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；【分析】(1)首先设正方形BEFG 的边长为x ，易得△AGF ∽△ABC ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE 的长；(2)首先利用△MEC ∽△ABC 与勾股定理，求得B'M ，DM 与B'D 的平方，然后分别从若∠DB'M=90°，则；若∠DB'M=90°，则；若∠B'DM=90°，则去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案； 【解答】解：(1)如图①，设正方形BEFG 的边长为x ，则BE=FG=BG=x ， ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB-BG=3-x. ∵GF ∥BE ，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；(2)存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于点H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB'=HE=t,HB'=|t-2|,EC=4-t.∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2-t.在Rt△B'ME中，；在Rt△DHB'中，；过点M作MN⊥DH于点N，则MN=HE=t，NH=ME=2-t，∴DN=DH-NH=3-(2-t)=t+1，在Rt△DMN中，.(Ⅰ)若∠DB'M=90°，则，即，解得：t=.(Ⅱ)若∠B'MD=90°，则，即，解得：，(舍去)，∴t=.(Ⅲ)若∠B'DM=90°，则，即：，此方程无解，综上所述，当t=或时，△B'DM是直角三角形；巩固如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A(6，0)，，，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t(秒).（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式（2）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；【分析】(1)根据已知点利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2)根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，当2<t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为直角三角形；【解答】解：(1)设所求抛物线的解析式为，把A(6，0)，，三点坐标代入得：解得：即所求抛物线解析式为：；（2）根据题意得出：0≤t≤3.当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，，，∵∠POQ<∠POC=60°，∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，若∠OPQ=90°，如图2，则，即，解得：，(舍去).若∠OQP=90°，如图3，则，即，解得：t=2.当2<t≤3时，Q在OC边上运动，此时QP=2t>4，∠POQ=∠COP=60°，OQ<OC=2，故△OPQ不可能为直角三角形，综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ 为直角三角形； 专题四、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类例1 如图所示，在ABC △中，64AB AC P ==，，是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A P Q 、、为顶点的三角形和以A B C 、、为顶点的三角形相似，则AQ 的长为（ ）(A)3 (B)3或43 (C)3或34 (D)43析解：由于以A P Q 、、为顶点的三角形和以A B C 、、为顶点的三角形有一个公共角（A ∠），因此依据相似三角形的判定方法，过点P 的直线PQ 应有两种作法：一是过点P 作PQ ∥BC ，这样根据相似三角形的性质可得AQ AP AB AC =，即264AQ =，解得3AQ =；二是过点P 作APQ ABC ∠=∠，交边AB 于点Q ，这时APQ ABC V :V ，于是有AQ AP AC AB =，即246AQ =，解得43AQ =. 所以AQ 的长为3或43，故应选(B)。