习题5 khdaw

h(n) = n(−0.5) n ε (n) + (−0.5) n ε (n) = (n + 1)(−0.5) n ε (n)
5.8 用图解法和竖式法求题图所示离散序列的卷积和。
x(n ) h(n )
2 1 0 1 2 3 1
3
n
0
1
2
3
n
题 5.18 图 将两序列样值以各自 n 的最低位按左端对齐，如下排列：
2z z − 0.25
n
yzi [ n ] = 2 ( 0.25 )
b> 零状态响应
0.25 z Y ( z) − Y ( z) = 1 z z− 3
Y ( z) =
z2
1 ( z − )( z − 0.25) 3
Y ( z) 4 −3 = + 1 z − 0.25 z z− 3
⎛1⎞ yzs [ n ] = 4 ⎜ ⎟ ε [ n] − 3(0.25) n ε [n] ⎝3⎠
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习题解答的主要过程
5.2 试求解下列齐次差分方程。 （1） y ( n ) − 6 y ( n − 1) + 9 y ( n − 2) = 0 ， y (0) = 0 ， y (1) = 3 解：特征方程为 λ2
− 6λ + 9 = 0 λ1 = λ2 = 3
c> 全响应
n n
⎛1⎞ y[n] = yzi [n] + yzs [n] = 4 ⎜ ⎟ − (0.25) n , n ≥ 0 ⎝3⎠
5- 5 用 z 变换方法计算系统的响应 y[n] 。
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（ 2 ） y[n] − 0.4 y[n − 1] = 2 x[n] + x[n − 1] ， x[n] = 0.5 n ε [n] ， y[−1] = 5 解：方程两边取 z 变换得
−1 −1 Y ( z ) − 0.4 ⎡ ⎣ z Y ( z ) + y [ −1]⎤ ⎦ = (2 + z ) X ( z)
Y (z) 4z 20 −16 = = + z ( z − 0.5 )( z − 0.4 ) z − 0.5 z − 0.4 y [ n ] = 20 ( 0.5 ) − 16 ( 0.4 ) , n ≥ 0
5- 4 用 z 变换方法计算下列系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 （ 1 ） y[n] − 0.25 y[n − 1] = 3 − n ε [n] ， y[−1] = 8 解： a> 零输入响应
⎡1 ⎤ Y ( z ) − 0.25 ⎢ Y ( z ) + 8⎥ = 0 ⎣z ⎦
Y ( z) =
（ 2 ）单位脉冲响应； （ 3 ）画系统函数的极零点分布图； （ 4 ）粗略画出幅频特性曲线； （ 5 ）画出系统的结构框图。
解： （ 1）
（ 2）
1 1 1 + z −1 z2 + z 3 3 H ( z) = = 3 −1 1 −2 3 1 2 1− z + z z − z+ 4 8 4 8 1 10 7 z+ − H ( z) 3 = = 3 + 3 1 1 1 1 z ( z − )( z − ) z − z− 2 4 2 4 7 1 ⎤ ⎡10 1 h[n] = ⎢ ( ) n − ( ) n ⎥ ε [n] 3 4 ⎦ ⎣3 2
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x ( n) h( n)
1 3 3
1 2 3 2
1 1 3 2 1
1 3 2 1 6 2 1 3 1 1
x(n) ∗ h(n) = {3 5 6 6 3 1｝
↑
n =0
+ 3 5
6
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5 - 12 已知一离散系统的差分方程为
y[n] −
求： （ 1 ）系统函数；
3 1 1 y[n − 1] + y[ n − 2] = x[ n] + x[ n − 1] 4 8 3
5.6 求题图各系统的单位脉冲响应。
y( n ) x(n ) x(n ) y(n )
n n
Σ
D 1
D
Σ
-1
D
D
-0 .2 5
(1) 题 5.6 图 （2） y(n) = x(n) − y(n − 1) − 0.25 y(n − 2)
(2)
h(n) + h(n − 1) + 0.25h(n − 2) = δ (n)
x [ n]
∑
z −1
3 4 1 3 1 − 8
y [n]
z−1
z−1
题 4 － 16 图 3 5 - 13 因果系统的系统函数 H ( z ) 如下所示，试说明这些系统是否稳定。 （ 1） H ( z ) =
z+2 ( z − 1)( z − 0.9) z+2 2 8z − 2 z − 3
（ 2） H ( z) =
（ 3） & （ 4）
4 3.5
jIm ( z )
3
H ( e jΩ )
2.5 2 1.5 1
−1
1 − 3
1 4
1 2
1 Re ( z )
0.5 0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ω π 题 4 － 16 图 1 题 4 － 16 图 2
（ 5 ）有多种框图。
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r
yh (n) = (C2 + C1n)3n
代入初始条件 y (0) = 0 y (1) = 3
yh (n) = ∑Ci nr−iλ n
i =1
y(0) = yh (0) = C2 = 0
y(1) = yh (1) = [C2 + C1 ]3 = 3
C1 = 1, C2 = 0
yh (n) = n3n ε (n)
3( z + 0.9) z ( z − 1.2)( z − 0.9) 3( z − 1) 2
（ 3） H ( z) =
（ 4） H ( z) =
z 3 − 1.8 z 2 + 0.81z
解：（ 1 ）不稳定，因为极点 p =1 不在单位圆内。 （ 2 ）不稳定，因为极点 p =1.2 不在单位圆内。 （ 3 ）稳定，因为极点皆在单位圆内 。 （ 4 ）稳定，因为极点在单位圆内。
两边取 Z 变换，得
H ( z ) + z −1H ( z ) + 0.25 z −2 H ( z ) = 1
H ( z) =
1 1 + z + 0.25 z −2
−
az z2 −0.5 z z n na ε ( n ) ↔ 取逆变换： H ( z ) = = + ( z + 0.5)2 ( z + 0.5)2 z + 0.5 ( z − a) 2