2020届湖南长郡中学新高考押题模拟考试(九)理科数学

2020届湖南长郡中学新高考押题模拟考试（九）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1.已知集合{}()(){}0,150A x B x x x ，=≥=+-<则=A B I A. [－1，4) B. [0，5)C. [1，4]D. [－4，－1) U [4，5)【答案】B 【解析】由题意得{}15B x x =-<<，故{}{}[)01505A B x x x ⋂=≥⋂-<<=，. 选B ．2.已知i 为虚数单位，则复数|1i z i=+的共轭复数z 为( ) A. 22i + B. 22i -C. 1i +D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数模的运算化简复数z 的分子，再利用复数除法运算来化简z ，最后取z 的共轭复数得到结果.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z -====-++-，所以1i z =+，故选C. 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数除法的运算以及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量()()1,3,2a m b ==-r r ，，且()a b b ⊥r r r+，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数． 故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.5.设实数x y ，满足20401x y x y y ，，，-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2x y -的最小值为（ ）A. －5B. －4C. －3D. －1【答案】A 【解析】 【分析】画出线性区域，平移直线20x y -=，由此求得2x y -的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数2x y -在点()1,3处取得最小值为5-.【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值的问题.画出可行域后，平移直线到可行域边界的位置，由此求得最大值或者最小值.属于基础题.6.广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元） 广告费x23456销售额y 29 41 50 59 71由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ） A. 118.2万元 B. 111.2万元C. 108.8万元D. 101.2万元【答案】B 【解析】分析：平均数公式可求出x 与y 的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出$a，再将10x =代入回归方程得出结论.详解：由表格中数据可得，4,50x y ==，50410.2ˆa∴=⨯+，解得$9.2a =， ∴回归方程为10.2.2ˆ9yx =+， ∴当10x =时，10.2109.21ˆ11.2y=⨯+=， 即预测广告费为10万元时销售额约为111.2，故选B.点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 7.给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】分别利用空间点线面位置关系的公理和定理，对四个命题逐一判断其是否为错误命题，由此得出正确的选项.【详解】对于（1）,若直线a 在平面α内，这时直线和平面不平行，但是平面内有直线和a 是平行的，故（1）错误.对于（2）, 若直线a 在平面α内，这时直线和平面不垂直，但是平面内有直线和a 是垂直的，故（2）错误.对于（3），根据线面垂直的定义可知，（3）是正确的.对于（4），,a c 有可能是异面直线，故（4）错误.终上所述，有3个命题是错误命题，故选C.【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系.主要解题的思路是对每个命题，举出反例，由此判断命题是否正确.属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】C 【解析】当1i =时，满足进行循环的条件，执行循环体后，1S =，2i =；当2i =时，满足进行循环的条件，执行循环体后，2S =，3i =；当3i =时，满足进行循环的条件，执行循环体后，4S =，4i =；不满足进行循环的条件，故输出结果为4，故选C.9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点(,0)16π-对称 B. 关于点(,0)16π对称C. 关于直线16x π=对称 D. 关于直线4πx =-对称【答案】B 【解析】分析：利用函数()y f x =的图象与性质求出,T ω和ϕ，写出函数()y f x =的解析式，再求()f x 的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以函数的周期为2π，24T πω∴==，()()4f x sin x ϕ∴=+， 将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到函数3416y sin x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象， Q 图象关于y 轴对称，34,162k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈， 又,24ππϕϕ<∴=-，()44f x sin x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令4,4x k k Z ππ-=∈，解得,216k x k Z ππ=+∈， 0k =，得()f x 的图象关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.10.已知数列{}n a满足111,n a a +==，则20a =A. 0B.2C.D.【答案】B 【解析】 【分析】利用题目所给的递推公式，求得234,,a a a 的值，归纳得到数列是周期为3的周期数列，由此得出选项.【详解】依题意22a ===，32a ==-41a ==，……，依次类推，n a 是以3为周期的周期数列.故2018222a a a +===.故选B.【点睛】本小题主要考查递推数列求数列每一项的值，考查周期数列的判断.根据递推公式，由1a 的值，求出后面几项的值，找到规律，即周期性，由此得到选项，属于基础题.11.已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,A B 两点，则△1ABF 内切圆的半径为 A.43B. 1C.45D.34【答案】D 【解析】由22143x y +=得2,1a c == ，根据椭圆的定义可知1ABF ∆的周长为48a =，1ABF ∆面积为1211123=3=8222A B F F y y r ⨯-=⨯⨯⨯⨯，解得34r =，故选D. 12.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R .若不等式(x)x f ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ） A. [e,)+∞B. 2e [,)2+∞C. 22e [,e )2D. 2[e ,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】 问题转化为ln x a x ≥对(2e,e x ⎤∈⎦都成立，令()ln x h x x=，利用导数求得()h x 的单调性及最大值，由此求得a 的取值范围.【详解】由2ln a x bx x -≥得2ln a x x bx -≥，对任意0b ≤，(2e,e x ⎤∈⎦都成立，故ln 0a x x -≥，即ln xa x≥对(2e,e x ⎤∈⎦都成立.构造函数()ln x h x x=，其中(2e,e x ⎤∈⎦.()()2ln 1ln x h x x -'=，故当(2e,e x ⎤∈⎦时()'0h x >，即()h x 单调递增，最大值为()22e e2h =，故2e 2a ≥. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题.由于题目有两个变量，一个是b 有范围，另一个是x 有范围，最终求的是a 的范围.所以分成两个步骤来走，先根据b 的范围，消去b 后，再利用导数，结合x 的取值范围，最终来求解a 的取值范围.属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.61(21)(1)x x+-的展开式中的常数项是__________． 【答案】11- 【解析】分析：利用611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为1，1x -项的系数为166C -=-，从而可得结果.详解：611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()161r rr r T C x -+=-，611x ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为1， 1x -项的系数为166C -=-，()61211x x ⎛⎫∴+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是()26111⨯-+=-，故答案为11-.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在ABC V 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =u u u r u u u r，()AE AC AB R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为______________.【答案】311【解析】1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.15.如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，150D ∠=︒，28AB BC ==，则四边形ABCD 的面积为__________．【答案】2443- 【解析】 【分析】采用分割法对三角形进行分割，利用余弦定理求得43,AC =可判断三角形ABC 的形状以及解三角形ADC ，然后由三角形的面积公式可得结果.【详解】连接AC ，在ABC ∆中，24,60AB BC B ==∠=o， 利用余弦定理得：2222cos AC BC AB BC AB B =+-⋅⋅∠， 解得22243,AC AB AC BC =∴=+， 则ABC ∆是直角三角形，所以S ABC V 1=4432⨯⨯=83. 15DAC DCA ∴∠=∠=o ，过点D 作DE AC ⊥， 则1232AE AC ==， ()tan152323436DE AE ∴==-⋅=-o ，则ACD S ∆=()14343-62⨯⨯=24-123 =24-123+83=24-43ACD ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形故答案为24-43.【点睛】本题主要考查余弦定理及两角差的正切公式，属于简单题.16.一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为________________【答案】1123π【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为四棱锥，画出直观图后，找到球心的位置，计算出半径，由此求得球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出直观图如下图所示，其中1O 为侧面等边三角形的中心，2O 为底面正方形的中心，在1Rt AO O ∆中，1134314,422AO OO =⨯==⨯=,故外接球的半径为2222111628433R OA AO OO ==+=+=，故外接球的表面积为2281124ππ4π33R =⨯=.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查几何体外接球的表面积与体积的求法.外接球的球心的找法，先找到一个面的外心，球心在这个外心的正上方，然后再找另一个面的外心，球心也同样再这个外心的正上方，由此得到球心的位置，再解三角形得到外接圆的半径，从而求得外接球的表面积或者体积.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值； （2）若2b =ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；【答案】（1）52；（2）2222L a b c =++=+【解析】试题分析：(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得cos sin B B = ，解得B,代入()()sin sin cos cos A B A A A B +++- )sin cos sin cos A A A A ++，根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据余弦定理得222a c =+，再根据基本不等式求ac 最大值，此时ABC ∆的面积取最大，根据最大值等号取法确定a c ，值，即得三角形周长. 试题解析： （1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=， cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-++，令sin cos t A A =+，原式21122t =-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52．（2）2221sin ,2cos 24S ac B ac b a c ac B ===+-，即(2222,2a c ac ac =+≥≤当且仅当a c ==12MAX S =，周长L a b c =++=点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且345428,2a a a a +=++是35,a a 的等差中项，数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n bb a +-的前n 项和为22n n +.(1)求q 的值.(2)求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）2q =；（2）()2115432n n b n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）利用等差中项的性质以及等比数列的通项公式，列方程，解方程求得q 的值.（2）由（1）求得1n n b b +-的表达式，然后利用累加法以及错位相减法求得n b 的通项公式.【详解】解.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为1q >，所以2q =. （2）设()1n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以()111412n n n b b n -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，故()21145,22n n n b b n n --⎛⎫-=-⋅≥ ⎪⎝⎭，()()()()11123221n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-L()()23111454973222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L .设()22111371145,2222n n T n n L -⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()2211111137494522222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L所以()2211111134444522222n n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，因此()211443,22n n T n n -⎛⎫=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，又11b =，所以()2115432n n b n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，还考查了累加法求数列的通项公式，以及错位相减求和法.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2,PA AB AC BC ====.（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为105,求AN NB 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1ANNB=． 【解析】试题分析：（1）由2,22AB AC BC ===⇒222BC AB AC =+⇒所以AB AC ⊥⇒AC CD ⊥．又因为PA ⊥底面ABCD ⇒PA CD ⊥⇒CD ⊥平面PAC ；（2）如图以A 为原点建立空间直角坐标系，求得平面MAB的法向量和⇒⇒1x =⇒1,NB 1AN ==⇒1ANNB=． 试题解析： （1）连结AC ，因为在ABC ∆中，2,22AB AC BC ===222BC AB AC =+， 所以AB AC ⊥．因为//AB CD ，所以AC CD ⊥．又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AC PA A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAC（2）如图以A 为原点，,,AB AC AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,2,0A P B C D -．因为M 是棱PD 的中点，所以()1,1,1M -．所以，设为平面MAB 的法向量，所以，即0{20x y z x -++==，令1y =，则0{11x y z ===-，所以平面MAB 的法向量因为N 是在棱AB 上一点，所以设．设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 因为平面MAB 的法向量，所以．解得1x =，即1,NB 1AN ==，所以1ANNB= 考点：1、线面垂直；2、线面角.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式计算x ；（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】（1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 21.设函数2()x f x x e =．（1）求曲线()f x 在点()1,e 处的切线方程；（2）若()f x ax <对(,0)x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求整数n 的值，使函数1()()F x f x x=-在区间(,1)n n +上有零点． 【答案】（1）32y ex e =-；（2）1a e<-；（3）0n =． 【解析】试题分析：（1）求得()()22xf x x x e =+'，得到()1f '，即可利用点斜式方程求解切线的方程；（2）由()f x ax <，对(),0x ∈-∞恒成立，转化为()x f x a xe x<=，设()xg x xe =，求得()g x '，即可利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解a 的取值范围；（3）令()0F x =得()1f x x=，可判定得()F x 的零点在()0,+∞上，利用导数得到()f x 在()0,+∞上递增，即可利用零点的判定定理，得到结论． 试题解析：（1）()()22xf x x x e =+'，∴()13f e '=，∴所求切线方程为()31y e e x -=-，即32y ex e =- （2）∵()f x ax <，对(),0x ∈-∞恒成立，∴()x f x a xe x<=，设()()(),1xxg x xe g x x e =+'=，令()0g x '>，得1x >-，令()0g x '<得1x <-，∴()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增，∴()()min 11g x g e =-=-，∴1a e<- （3）令()0F x =得()1f x x=，当0x <时，()210,0xf x x e x =><，∴()F x 的零点在()0,+∞上，令()0f x '>得0x >或2x <-，∴()f x 在()0,+∞上递增，又1x在()0,+∞上递减， ∴方程()1f x x=仅有一解0x ，且()0,1,x n n n Z ∈+∈，∵()1110,202F e F ⎛⎫=->=<⎪⎝⎭， ∴由零点存在的条件可得01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0n = 考点：导数的综合应用问题．【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数的几何意义求解曲线上某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值（最值）、以及不等式的恒成立问题等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的综合性，属于中档试题． 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．【答案】（1）24cos 120ρρθ--=（2）AB =【解析】 试题分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将6πθ=代入24cos 16ρρθ-=，可得20ρ--=１２，设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，利用12AB ρρ=-求解即可．试题解析： （1）将方程424x cosa y sina=+⎧⎨=⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ，ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 12ρρθ-=． （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 166ρρθπθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去θ得2120ρ--=， 根据题意可得12,ρρ是方程2160ρ--=的两根，∴121216ρρρρ+==-， ∴12AB ρρ=-==．23.已知函数()3h x x =--.（1）若()2h x x n --≤对任意的0x >恒成立，求实数n 的最小值；（2）若函数35,03()2,3x f x xx x ⎧+<<⎪=⎨⎪≥⎩，求函数()()()g x f x h x =+的值域. 【答案】（1）实数n 最小值为1-；（2）函数()()()g x f x h x =+的值域为2,)+∞.【解析】试题分析：（1）h （x ）-|x-2|≤n 对任意的x ＞0恒成立，等价于()min23n x x -≤-+-对任意的x ＞0，由此能求出实数n 的最小值（2）推导出()()32,0333,3x x g x f x x x x x ⎧++<<⎪=--=⎨⎪+≥⎩，由此能求出数()()()g x f x h x =+的值域．试题解析：（1）()2h x x n --≤对任意的0x >恒成立， 等价于32x x n ----≤对任意的0x >恒成立， 等价于()min23n x x -≤-+-对任意的0x >因为()23231x x x x -+->---=，当且仅当[]2,3x ∈时取等号，所以1n -≤，得1n ≥-. 所以实数n的最小值为1-.（2）因为()35,032,3x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨⎪≥⎩，()()()g x f x h x =+所以()()32,0333,3x x g x f x x xx x ⎧++<<⎪=--=⎨⎪+≥⎩， 当03x <<时，3222x x ++≥=， 当3x ≥时，36x +≥.综上，()2g x ≥.所以函数()()()g x f x h x =+值域为)2,⎡+∞⎣.点睛：本题考查不等式恒成立，考查函数的值域的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．21。