最新数学北师版九年级上册第4章图形的相似4.4.2利用边角关系判定两三角形相似课件
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用两边及夹角判定三角形相似
BC AB 4
44
想一想
如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中
一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出了如图所示的三
角形.由此你能得到什么结论?
4 cm 3.2 cm
如果两个三角形两边对应成比例， 50°
但相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形不一定相似，相等的 2 cm 1.6 cm
A
∴ AB AE . 又∵∠DAB =∠CAE， D AC AD
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC .
B
∴ △ABC ∽△AED .
E C
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练
1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，
AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，
使 △ABC ∽ △DBA 的条件 ( D )
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD ·BC D. AB2 = BD ·BC → AB BC
北师大版九年级上数学第4章图形的相似4.4.3-三角形相似条件应用(教案)
此外，在学生小组讨论环节，我注意到有些学生发言不够积极，可能是因为他们对主题不够熟悉或者自信心不足。为了鼓励这些学生，我将在今后的教学中更加关注他们的表现，多给予肯定和鼓励，帮助他们建立自信。
-学会运用三角形相似性质解决实际问题，如求三角形的未知边长、面积等。
-能够运用相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，进行相关计算和证明。
举例：讲解如何利用已知相似三角形的比例关系，求解未知三角形的边长或面积。
2.教学难点
-理解相似三角形的证明过程，特别是如何通过已知条件推导出相似关系。
-灵活运用相似三角形的性质解决复杂问题，如涉及多个相似三角形的综合应用题。
4.课后及时进行教学反思，不断调整和改进教学方法，以提高教学质量。
3.理解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等；
4.通过实际案例分析，使学生能够灵活运用三角形相似条件，培养其解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，使其能够运用三角形相似察和思考解决实际问题中的相似三角形问题；
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
4.培养学生团队合作精神，通过小组讨论和问题探究，提高沟通交流能力；
5.激发学生数学学习兴趣，使其在探索相似三角形的过程中，体验数学的奥妙和美感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握三角形相似的条件，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
北师大版九年级数学上册 第四章 4.4 探索三角形相似的条件 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似 教案
第2课时利用两边及夹角判定三角形相似教学目标：1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）教学过程：一、情景导入画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？二、典例讲解探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（）A.AB·CD＝BD·BCB.AC·CB＝CA·CDC.BC2＝AC·DCD.BD2＝CD·DA方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.探究点二：相似三角形的判定定理2的应用如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA的情况.三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.教学反思：经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关.。
第四章+图形的相似相似三角形判定定理的证明+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
考向3 网格中的相似（结合位置关系）
第7题图
7.(2022·河北市)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点 ， 的连线与钉点 ， 的连线交于点 ，则：
（1） 与 是否垂直?____（填“是”或“否”）；
是
（2） _ ___.
中考热点1 正方形中的相似（多结论问题）
C
A. 平分 B. C. D.
2.如图，已知 .求证: .
证明： ， ， ， ， .
3.如图所示，在 中， ， .
（1）若 ，求 的长;
解： ， ， ， ，
（2）若 ，求 的长.
[答案] ， .
4.如图， 与 都是等边三角形， ，下列结论中: ; ; .正确的序号是______.
解：③理由如下： ， ， ，又 ， .选①也可以.
考向1 相似的条件与判定
第5题图
5.如图，无法保证 与 相似的条件是( )
B
A. B. C. D.
考向2 相似的性质
第6题图
6.(2022·武威市)如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 __ .
[答案] 过点 作 于点 ，连接 .
四边形 是平行四边形， ， ，
平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， . ， ， .
课后强化
1.(2022·山东济南期中)如图，在四边形 中，已知 ，则补充下列条件后不能判定 和 相似的是( )
（1）当四边形 是矩形时，如图1，求证: ; ；
解：连接 ，过点 作 于点 四边形 是矩形， ， 平分 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， .
（2）当四边形 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定定理2课件新版北师大版
2．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中不能 判断△ABC∽△AED 的是( D )
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．AADE＝AACB D．AADB＝AACE
3．已知，如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别是 AB，CB 延长线上 的点，CE＝9，AD＝15，连接 DE.若 BC＝6，AC＝8.求证：△ABC∽△DBE.
证明：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝ BC2＋AC2＝10， ∴DB＝AD－AB＝15－10＝5， ∴DB∶AB＝5∶10＝1∶2. ∵EB＝CE－BC＝9－6＝3， ∴EB∶BC＝3∶6＝1∶2＝DB∶AB． 又∵∠DBE＝∠ABC， ∴△ABC∽△DBE.
4．如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且CADD＝CBDD. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB 的大小．
∴QADC＝42aa＝2，DPCQ＝2aa＝2，∴QADC＝DCQP . 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.
[2016·新泰期中]如图，已知 AP2＝AQ·AB，且∠ABP＝∠C，
证明：△QPB∽△PBC． 证明：∵AP2＝AQ·AB， ∴AAQP＝AABP. 又∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABP， ∴∠APB＝∠AQP，∴∠BQP＝∠CPB． 又∵∠ABP＝∠C，∴△QPB∽△PBC．
归类探究
类型 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 P 是 BC 边上的点，且 BP＝3PC，
点 Q 是 CD 的中点，试判断△ADQ∽△QCP，说明理由．
解：△ADQ∽△QCP.理由： 设 PC＝a，则 BP＝3a， BC＝4a． ∵点 Q 是 CD 的中点， ∴DQ＝QC＝12CD＝2a，
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件第3课时用三边关系判定两三角形相似
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2
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(3)解：如图，连接 P2 P5， P2 P4， P4 P5，则△ P2 P4 P5
(2)判断△ ABC 和△ DEF 是否相似，并说明理由；
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(2)解：△ ABC 和△ DEF 相似.
理由：根据勾股定理，得 DE ＝4 ， DF ＝2 ，
EF ＝2 .∴
＝ ＝ ＝
.
∴△ ABC ∽△ DEF .
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则不同的截法有(
B
A. 一种
B. 二种
C. 三种
D. 四种
1
2
3
)
4
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9. 如图，已知点 E 是四边形 ABCD 内一点，连接 AC ， EB ，
EC ， ED ，满足
＝ ＝ .
(1)求证：∠ DCA ＝∠ ECB ；
(1)证明：∵ ＝ ＝ ，∴△ DEC ∽△ ABC .
5， DE ＝15， DF ＝25.求证：△ ABC ∽△ DEF .
证明：∵∠ B ＝90°， AB ＝6， BF ＝3， CF ＝5，
∴ BC ＝ BF ＋ FC ＝3＋5＝8.∴ AC ＝ ＋ ＝10.
∵∠ E ＝90°， DE ＝15， DF ＝25，
2023年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节第二课时利用两边及夹角判定三角形相似
第四章
4.4 探索三角形相似的条件
第二课时 利用两边及夹角判定三角形相似
课程导入
课程讲授
习题解析
课堂总结
前言
学习目标及重难点
1. 掌握相似三角形的判定定理2. （重点）
2. 能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）
课时A计划
课程导入
回顾旧识
1．相似三角形的定义是什么？
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
B
解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
课时A计划
课程讲授
新课推进
随堂小练习
1. 下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是 ( C )
AE AC
A. AD＝AB
B. ∠B＝∠ADE
AE
DE
C.
AC＝ BC
D. ∠C＝∠AED
AB DB
AB DB
∴ ＝ ，即 ＝ ，
CE AB
CE AC
∴△ADB∽△EAC.
课时A计划
习题解析
习题1
1．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，
可以得到△ABC∽△BDC的是 ( C )
C
A．AB·CD＝BD·BC
B．AC·CB＝CA·CD
C．BC2＝AC·DC
D
D．BD2＝CD·DA
∵ DE∥B′C′，
C'
B'
A
∴△A′DE∽△A′B′C′.
A' D A' E
∴ A' B' A' C' .
北师大版九年级上册课件第四章图形的相似课件：4.4.3 用三边关系判定两三角形相似
OC的中点．求证：
△DEF∽△ABC.
证明：∵D，E，F分别为OA，OB，OC的中点， ∴DE，EF，FD分别为△OAB，△OBC，△OCA的 中位线．
∴∴DA△BE＝DEEBFFC＝∽FC△DAA＝B12C. .
返回
题型 3 计算证等比在判定三角形相似中的应用
12．如图，四边形ABCD、四边形DCFE、四边形 EFGH是大小相同的正方形．
AE＝BF＝CD，
∴BE＝CF＝AD，∠A＝∠B＝∠C.
∴△ADE≌△BEF≌△CFD.
∴EF＝FD＝ED，
∴△ABC∽△DEF.
即△DEF是等边三角形． 又∵△ABC是等边三角形，
∴DABE＝BECF＝DACF.
返回
三角形中位线的性质证等比
题型 2 在判定三角形相似中的应用
11．如图，O为△ABC内一点，点
22，CAGC＝
22aa＝
22，AAGF＝
5a ＝ 10a
22.
∴CAFC＝CAGC＝AAGF.
∴△ACF∽△GCA.
(2)求∠1＋∠2的度数．
∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF. ∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
返回
计算验证法
13．(中考·菏泽)如图，在边长为1的小正方形组成的网
理由：根据勾股定理，得 P2P5＝ 10， P2P4＝ 2，P4P5＝2 2. ∴PB2CP5＝PA4BP5＝PA2PC4＝ 510. ∴△P4P5P2∽△ABC.
返回
②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；
⑥△EFK.②～⑥中，与①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤
B
C．④⑤⑥ D．②③⑥
北师大版九年级数学上册第4章 用三边关系判定两三角形相似
再试一试．
同学们回忆并思考以下问题：
什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相
似的方法？
证明三角形全等的方法有哪些？你能从中获得证明三角形相似的启
发吗？
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两
个三角形相似呢？
同学们，在上课前大家先来做一个画图游戏。
①请大家画一个边长分别为3、4、5的三角形，和同桌对比
2.相似三角形判定定理 2 是什么？
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？
画△ABC与△A'B'C'，使 ， 和 都等于给定的值k．设法比
’’ ’’ ’’
较∠A与∠A'的大小．△ABC与△A'B'C'相似吗？改变k值的大小，
画△ABC，△A'BC'，使 ,
都等于给定的值k= .
’’ ’’ ’ ‘
（1）比较∠A 与∠A'的大小；
（∠A=∠A'）
（2）△ABC 与△A'B'C'相似吗？说说你的理由.
（相似.）
（3）改变k值的大小，（2）中的结论还成立吗？
（成立）
（4）本题可得到什么结论？
（三边成比例的两个三角形相似）
如右图，如果
’’
=
’’
=
，则△ABC∽ΔΑ'Β'C'.
’’
典例精讲
【题型一】利用三边关系判定三角形相似
例1：判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
北师版九年级上册数学第4章 图形的相似 用边角关系判定两三角形相似
证明：∵AB·BF＝BC·BD，
∴BADB＝BBCF. 又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBF， ∴∠A＝∠D. 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC.
∴EADE＝EEFC，即 AE·EC＝EF·ED.
【中考·随州】在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在
6 边以AAB，上D，，且E为AD顶＝点2的，三点角E在形边与A△CA上B，C相当似AE．＝_1_52_或__53_时，
2 如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点，要使△ACD∽ △ABC，则必须具备的条件可以是( D ) A.CADC＝ABDC B.CADD＝BACB C．CD2＝AD·DB D．AC2＝AD·AB
3 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC， AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有( ) B A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBD
北师版九年级上
第四章图形的相似
4.4.2 用 边 角 关 系 判 定 两 三 角 形 相 似
习题链接
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2D
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3B
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4B
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答案呈现
1 下列能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( B )
A.AA′BB′＝AA′CC′
B.AA′BB′＝AA′CC′且∠A＝∠A′
C.ABBC＝AA′′BC′′且∠B＝∠C′ D.AA′BB′＝AA′CC′且∠B＝∠B′
∴BA＝BE.∴AACB＝CBGG.由(1)知AACB＝AADC，∴DCGF＝CBGG. ∴CG2＝DF·BG.
8 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD，CD 上 的点，AE＝ED，DF＝14DC，连接 EF 并延长，交 BC 的延长线于点 G，连接 BE.
新北师大版九年级上册数学 第4章图形的相似 4.4 相似三角形
4.4相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值 方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理12-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''ABC A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为__________________3. ABC ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆ABC ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（ ）① 相似三角形的对应角相等，对应边相等.② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. ABC ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（ ）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（ ） 2.74A cm 2.76B cm 2.78C cm 2.80D cm9.下列说法错误的是（ ）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（ ） .A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则ACD ∆与ABC ∆的相似比是________. ②在Rt ABC ∆中，D 是AC 的中点，DE 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为ABC ∆的重心，作//DG AC 交BC 于,D 作//EG AB 交BC 于,E 则GDE ∆的面积与ACB ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在ABC ∆中，//,DE BC 且分ABC ∆为面积相等的两个部分，则:DE BC =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则ABC ∆与222A B C ∆的相似比是（ ）5.6A6.5B 5.6C 或65 8.15D 例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求AB 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BCD ABC ABC DE BC S S ∆∆=求CE 的长.例5.如图，在ABC ∆中，,AB AC =BD 为腰AC 上的高.求证：212CD CA BC ⋅=例 6.①如图，梯形ABCD 中，0//,90,AB DC B E ∠=为BC 上一点，且,AE ED ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求AB 的长.②已知如图，在梯形ABCD 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段AB 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出AP 的长度.例7.如图所示，在ABC ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8BC =厘米，斜边10AB =厘米，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿CA 向点A 以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，AB BC=___________. 2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,DC =______.3、如图AD 是ABC ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则AB =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则ABC ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2AB DE =则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在ABC ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果ADE ∆与ABC ∆能够相似，且4AD cm =时，则AE =______________cm .8、E 是平行四边形ABCD 的BC 边上一点，AE 交BD 于,F 且:4:5,BE EC =求BF FD 和AF FE的值.9、在锐角ABC ∆中，F 是AC 上一点，且1,2AF G FC =是BF 中点，连结AG 并延长，交BC 与.E （1）求BE EC 的值。
新北师大版九年级数学上册《四章 图形的相似 4 利用边的关系判定三角形相似》公开课教案_0
第3课时 三边成比例的两个三角形相似
【学习目标】
1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法．
2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题．
【学习重点】
掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”．
【学习难点】
会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．
1．两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．下列说法正确的是( )
A ．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B ．所有的直角三角形相似
C ．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
D ．所有的等腰三角形相似
3．已知△ABC 如图所示，则与△ABC 相似的是图中的( )
,) ,A ) ,B ) ,C )
,D )
预习导学
知识模块一 探索三边成比例的两个三角形相似
1那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．
画△ABC 与△A′B′C′，使AB
A ′
B ′、BC
B ′
C ′和CA
C ′A ′都等于给定的值k.
(1)设法比较∠A 与∠A′的大小．
(2)△ABC 与△A′B′C′相似吗？说说你的理由．
改变k 值的大小，再试一试．
2：(演示课件)
判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．
知识模块二判定定理3的应用
1．自学自研教材P94页的例3.
1、幻灯片展示：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
要求：先独立思考，然后小组合作交流展示．
导学测评：完成教材P
的随堂练习．
94
课堂小结：判断两三角形相似方法有：1；
2.；3 .。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用三边判定三角形相似
B′
C′
B
C
通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'， 又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽ △A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.
A
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. D
归纳总结
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 符号语言： ∵ AB BC CA ， AB BC CA ∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
典例精析
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
(1) 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA， C
在 △DEF 中， DE > EF > FD. 3
∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2
= 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2)
= 4B′C′ 2 = (2B′C′)2.
∴
BC
=
2B′C′，BB'CC '
1 2
A'B' AB
A'C '. AC
∴ △A′B′C′∽△ABC.
议一议 如图，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？
即∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°. D
C E
例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ =
90°，且 A' B' A' C' 1 . 求证：△ A′B′C′∽△ABC. AB AC 2
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（来自教材）
知1－练
1 如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
（来自教材）
知1－练
2 已知△ABC如图所示，则图中与△ABC相似的是(
)
（来自《典中点》）
知1－练
3 能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是(
)
A. AB AC , 且∠B＝∠B′
A' B ' AB B. A' B ' AB C. A' B ' AB D. B 'C ' A'C 'C , 且∠B＝∠A′ A'C ' AC , 且∠A＝∠B′ A'C '
.
解得x＝6.所以AE的长为6.
知2－讲
错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似， 夹这个角的两边的比必须相等．但两边的对应 关系无法确定，所以应分两种情况考虑．
正解： 设AE的长为x. ∠DAE与∠BAC是公共角，
要使△ADE和△ABC相似， AD AE AD AE 则有 AC AB 或者 ， AB AC 3 x 3 x 即 或者 . 8 16 16 8 解得x＝6或x＝1.5.
所以AE的长为6或1.5.
知2－练
1
AD AC 如图，已知 ，AD＝3 cm，AC＝6 cm， AE AB
BC＝8 cm，则DE的长为________cm.
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)， 如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 ________时，使得由点B、O、C组成的三角形与
DE AD 3 . BC AB 4
∵BC=3，
3 3 9 ∴DE= BC 3 . 4 4 4
（来自教材）
知1－讲
4.想一想
如果△ABC与△A′B′C ′两边成比例，且其中
一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似 吗？ 小明和小颖分别画出了如图所示的三角形.由此你 能得到什么结论？
第四章 图形的相似
4.4
探索三角形相似的条件
第2课时
利 用 边角关系判定 两 三 角 形相似
1
课堂讲解
相似三角形的判定定理2 相似三角形的判定定理2的应用
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴
交流.
小明认为，两边成比例的两个三角形不一定相似.如 果再增加一个条件，你能说出有 哪几种可能的情况吗？ 我们先来考虑增加一角相等的情况. 相等的角可以 是其中一边的 对角，也可以 是两边的夹角.
知1－导
知识点
1
相似三角形的判定定理2
AB AC 和 画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′， A B A C
都等于给定的值k.设法比较 ∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小. △ABC和
△A′B′C′相似吗？
改变k值的大小，再试一试.
知1－讲
1.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似．
△AOB相似(不包括全等)．
（来自《典中点》）
知2－练
3 (贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶 点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所 在的格点为( )
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
（来自《典中点》）
1．“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽
然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系 固定，后者对应关系不固定． 2．如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不 明确时，从对应角入手，相等的角或公共角为
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 相似三角形的判定定理2的应用
例2 如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8 ，在AC上取一
点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，
使△ADE和△ABC相似，求AE的长． 错解：设AE的长为x.∠DAE与 ∠BAC是公共角，要使△ADE 和△ABC相似，则有
AD AE 3 x ，即 AC AB 8 16
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中， AB AC k, AB AC
且∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
2. 易错警示：运用该定理证明相似时，一定要注意边角 的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于判定三
角形全等的SAS方法．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，
AD 3 , 求DE的长. AE=1.5，AC=2,BC=3，且 AB 4
知1－讲
AE 3 , 解： ∵AE=1.5，AC=2. AC 4 AD 3 AD AE , . AB 4 AB AC
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两
个三角形相似).
对应角，则夹对应角的两边成比例，根据对
应分两种情况讨论．
1.必做: 完成教材P93，T1、2、3， 教材P95，T1-T3
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题